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Dimostra le rette parallele. Retta. Linee parallele. Concetti basilari

Segni di parallelismo di due rette

Teorema 1. Se all'intersezione di due rette di una secante:

    gli angoli diagonali sono uguali, o

    gli angoli corrispondenti sono uguali, o

    la somma degli angoli unilaterali è quindi 180°

le linee sono parallele(Fig. 1).

Prova. Ci limitiamo alla dimostrazione del caso 1.

Supponiamo che all'intersezione delle rette a e b per una secante AB attraverso gli angoli di giacitura siano uguali. Ad esempio, ∠ 4 = ∠ 6. Proviamo che a || b.

Supponiamo che le rette a e b non siano parallele. Quindi si intersecano in un punto M e, di conseguenza, uno degli angoli 4 o 6 sarà l'angolo esterno del triangolo ABM. Sia, per chiarezza, ∠ 4 l'angolo esterno del triangolo ABM, e ∠ 6 quello interno. Dal teorema sull'angolo esterno di un triangolo segue che ∠ 4 è maggiore di ∠ 6, e questo contraddice la condizione, il che significa che le rette a e 6 non possono intersecarsi, quindi sono parallele.

Corollario 1. Due rette distinte in un piano perpendicolare alla stessa retta sono parallele(figura 2).

Commento. Il modo in cui abbiamo appena dimostrato il caso 1 del Teorema 1 è chiamato metodo della dimostrazione per assurdo o riduzione all'assurdo. Questo metodo ha preso il nome perché all'inizio del ragionamento viene fatta un'ipotesi opposta (opposta) a ciò che è necessario dimostrare. Si chiama riduzione all'assurdo per il fatto che, argomentando sulla base dell'assunto fatto, si giunge a una conclusione assurda (assurdità). Ricevere una tale conclusione ci costringe a rifiutare l'ipotesi fatta all'inizio e ad accettare quella che doveva essere dimostrata.

Compito 1. Costruisci una retta passante per un dato punto M e parallela ad una data retta a, non passante per il punto M.

Soluzione. Tracciamo una linea p attraverso il punto M perpendicolare alla linea a (Fig. 3).

Quindi tracciamo una linea b attraverso il punto M perpendicolare alla linea p. La retta b è parallela alla retta a secondo il corollario del Teorema 1.

Una conclusione importante segue dal problema considerato:
Per un punto non su una retta data si può sempre tracciare una retta parallela alla retta data..

La proprietà principale delle rette parallele è la seguente.

Assioma delle rette parallele. Per un punto dato non su una retta data, c'è solo una retta parallela alla retta data.

Considera alcune proprietà delle rette parallele che derivano da questo assioma.

1) Se una retta interseca una delle due rette parallele, allora interseca l'altra (Fig. 4).

2) Se due rette diverse sono parallele alla terza retta, allora sono parallele (Fig. 5).

Vale anche il seguente teorema.

Teorema 2. Se due rette parallele sono attraversate da una secante, allora:

    gli angoli di giacitura sono uguali;

    gli angoli corrispondenti sono uguali;

    la somma degli angoli unilaterali è 180°.

Conseguenza 2. Se una retta è perpendicolare a una di due rette parallele, allora è anche perpendicolare all'altra.(vedi figura 2).

Commento. Il Teorema 2 è chiamato l'inverso del Teorema 1. La conclusione del Teorema 1 è la condizione del Teorema 2. E la condizione del Teorema 1 è la conclusione del Teorema 2. Non tutti i teoremi hanno un inverso, cioè se un dato teorema è vero, allora il teorema inverso può essere falso.

Spieghiamo questo con l'esempio del teorema sugli angoli verticali. Questo teorema può essere formulato come segue: se due angoli sono verticali, allora sono uguali. Il teorema inverso sarebbe questo: se due angoli sono uguali, allora sono verticali. E questo, ovviamente, non è vero. Due angoli uguali non devono essere per forza verticali.

Esempio 1 Due rette parallele sono attraversate da una terza. È noto che la differenza tra due angoli unilaterali interni è di 30°. Trova quegli angoli.

Soluzione. Lascia che la figura 6 soddisfi la condizione.

In questo articolo parleremo di linee parallele, daremo definizioni, designeremo i segni e le condizioni del parallelismo. Per chiarezza del materiale teorico, useremo illustrazioni e la soluzione di esempi tipici.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definizione 1

Rette parallele nel piano sono due rette nel piano che non hanno punti in comune.

Definizione 2

Linee parallele nello spazio 3D- due rette nello spazio tridimensionale che giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune.

Va notato che per determinare le linee parallele nello spazio, la precisazione "sdraiata sullo stesso piano" è estremamente importante: due linee nello spazio tridimensionale che non hanno punti comuni e non giacciono sullo stesso piano non sono parallele, ma intersecanti.

Per indicare linee parallele, è comune usare il simbolo ∥ . Cioè, se le rette date aeb sono parallele, questa condizione dovrebbe essere scritta brevemente come segue: a ‖ b . Verbalmente, il parallelismo delle rette è indicato come segue: le rette a e b sono parallele, oppure la retta a è parallela alla retta b, oppure la retta b è parallela alla retta a.

Formuliamo un'affermazione che svolge un ruolo importante nell'argomento in esame.

Assioma

Per un punto che non appartiene a una retta data, esiste una sola retta parallela alla retta data. Questa affermazione non può essere dimostrata sulla base dei noti assiomi della planimetria.

Nel caso in cui si tratta di spazio, il teorema è vero:

Teorema 1

Per qualsiasi punto nello spazio che non appartenga a una data retta, ci sarà solo una retta parallela a quella data.

Questo teorema è facile da dimostrare sulla base dell'assioma di cui sopra (programma di geometria per le classi 10-11).

Il segno di parallelismo è condizione sufficiente per garantire rette parallele. In altre parole, l'adempimento di questa condizione è sufficiente a confermare il fatto del parallelismo.

In particolare, esistono condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo delle rette nel piano e nello spazio. Spieghiamo: necessario significa la condizione, il cui adempimento è necessario per linee parallele; se non è soddisfatta, le rette non sono parallele.

Riassumendo, condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo delle rette è tale condizione, la cui osservanza è necessaria e sufficiente perché le rette siano tra loro parallele. Da un lato questo è un segno di parallelismo, dall'altro una proprietà insita nelle linee parallele.

Prima di dare una formulazione precisa delle condizioni necessarie e sufficienti, ricordiamo alcuni altri concetti aggiuntivi.

Definizione 3

linea secanteè una retta che interseca ciascuna delle due rette non coincidenti date.

Intersecando due rette, la secante forma otto angoli non espansi. Per formulare la condizione necessaria e sufficiente, useremo tipi di angoli come trasversali, corrispondenti e unilaterali. Dimostriamoli nell'illustrazione:

Teorema 2

Se due rette su un piano intersecano una secante, allora perché le rette date siano parallele è necessario e sufficiente che gli angoli di giacitura trasversali siano uguali, o gli angoli corrispondenti siano uguali, o la somma degli angoli unilaterali sia uguale a 180 gradi.

Illustriamo graficamente la condizione necessaria e sufficiente per le rette parallele nel piano:

La prova di queste condizioni è presente nel programma di geometria per i gradi 7-9.

In generale, queste condizioni valgono anche per lo spazio tridimensionale, purché le due rette e la secante appartengano allo stesso piano.

Indichiamo alcuni altri teoremi che vengono spesso utilizzati per dimostrare il fatto che le rette sono parallele.

Teorema 3

In un piano due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro. Questa caratteristica è dimostrata sulla base dell'assioma del parallelismo sopra menzionato.

Teorema 4

Nello spazio tridimensionale, due linee parallele a una terza sono parallele tra loro.

La dimostrazione dell'attributo è studiata nel programma di geometria del 10° grado.

Diamo un'illustrazione di questi teoremi:

Indichiamo un'altra coppia di teoremi che dimostrano il parallelismo delle linee.

Teorema 5

In un piano due rette perpendicolari ad una terza sono parallele tra loro.

Formuliamone una simile per uno spazio tridimensionale.

Teorema 6

Nello spazio tridimensionale, due linee perpendicolari a una terza sono parallele tra loro.

Illustriamo:

Tutti i teoremi, i segni e le condizioni di cui sopra consentono di dimostrare convenientemente il parallelismo delle linee con i metodi della geometria. Cioè, per dimostrare il parallelismo delle rette, si può mostrare che gli angoli corrispondenti sono uguali, oppure dimostrare il fatto che due rette date sono perpendicolari alla terza, e così via. Ma notiamo che spesso è più conveniente usare il metodo delle coordinate per dimostrare il parallelismo delle rette in un piano o nello spazio tridimensionale.

Parallelismo di rette in un sistema di coordinate rettangolari

In un dato sistema di coordinate rettangolari, una linea retta è determinata dall'equazione di una linea retta su un piano di uno dei possibili tipi. Allo stesso modo, una linea retta data in un sistema di coordinate rettangolare nello spazio tridimensionale corrisponde ad alcune equazioni di una linea retta nello spazio.

Scriviamo le condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo delle rette in un sistema di coordinate rettangolari, a seconda del tipo di equazione che descrive le rette date.

Cominciamo con la condizione delle rette parallele nel piano. Si basa sulle definizioni del vettore di direzione della linea e del vettore normale della linea nel piano.

Teorema 7

Affinché due rette non coincidenti siano parallele su un piano, è necessario e sufficiente che i vettori di direzione delle rette date siano collineari, oppure i vettori normali delle rette date siano collineari, oppure il vettore di direzione di una retta sia perpendicolare a il vettore normale dell'altra retta.

Diventa ovvio che la condizione di rette parallele sul piano si basa sulla condizione di vettori collineari o sulla condizione di perpendicolarità di due vettori. Cioè, se a → = (a x , a y) e b → = (b x , b y) sono i vettori di direzione delle rette a e b ;

e n b → = (n b x , n b y) sono vettori normali delle rette a e b , allora scriviamo la precedente condizione necessaria e sufficiente come segue: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y oppure n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n un y = t n b y o a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , dove t è un numero reale. Le coordinate della direzione o dei vettori diretti sono determinate dalle equazioni date delle linee. Consideriamo gli esempi principali.

  1. La linea a in un sistema di coordinate rettangolare è determinata dall'equazione generale della linea: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; retta b - LA 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Quindi i vettori normali delle linee date avranno coordinate (A 1 , B 1) e (A 2 , B 2) rispettivamente. Scriviamo la condizione di parallelismo come segue:

LA 1 = t LA 2 B 1 = t B 2

  1. La retta a è descritta dall'equazione di una retta con una pendenza della forma y = k 1 x + b 1 . Linea retta b - y \u003d k 2 x + b 2. Allora i vettori normali delle rette date avranno coordinate (k 1 , - 1) e (k 2 , - 1), rispettivamente, e scriviamo la condizione di parallelismo come segue:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Pertanto, se le linee parallele su un piano in un sistema di coordinate rettangolari sono date da equazioni con coefficienti di pendenza, allora i coefficienti di pendenza delle linee date saranno uguali. E l'affermazione inversa è vera: se le linee non coincidenti su un piano in un sistema di coordinate rettangolari sono determinate dalle equazioni di una linea con gli stessi coefficienti di pendenza, allora queste linee date sono parallele.

  1. Le rette a e b in un sistema di coordinate rettangolari sono date dalle equazioni canoniche della retta sul piano: x - x 1 a x = y - y 1 a y e x - x 2 b x = y - y 2 b y o le equazioni parametriche della retta sul piano: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y e x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Allora i vettori di direzione delle rette date saranno: a x , a y e b x , b y rispettivamente, e scriviamo la condizione di parallelismo come segue:

un x = t b x un y = t b y

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio 1

Date due linee: 2 x - 3 y + 1 = 0 e x 1 2 + y 5 = 1 . Devi determinare se sono paralleli.

Soluzione

Scriviamo l'equazione di una retta in segmenti sotto forma di equazione generale:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vediamo che n a → = (2 , - 3) è il vettore normale della retta 2 x - 3 y + 1 = 0 , e n b → = 2 , 1 5 è il vettore normale della retta x 1 2 + y 5 = 1.

I vettori risultanti non sono collineari, perché non esiste un tale valore di t per il quale l'uguaglianza sarà vera:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Pertanto, la condizione necessaria e sufficiente del parallelismo delle rette sul piano non è soddisfatta, il che significa che le rette date non sono parallele.

Risposta: le rette date non sono parallele.

Esempio 2

Linee date y = 2 x + 1 e x 1 = y - 4 2 . sono parallele?

Soluzione

Trasformiamo l'equazione canonica della retta x 1 \u003d y - 4 2 nell'equazione di una retta con pendenza:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vediamo che le equazioni delle rette y = 2 x + 1 e y = 2 x + 4 non sono le stesse (se così fosse, le rette sarebbero le stesse) e le pendenze delle rette sono uguali, il che significa che le rette date sono parallele.

Proviamo a risolvere il problema in modo diverso. Innanzitutto, controlliamo se le linee date coincidono. Usiamo qualsiasi punto della linea y \u003d 2 x + 1, ad esempio (0, 1) , le coordinate di questo punto non corrispondono all'equazione della linea x 1 \u003d y - 4 2, il che significa che le linee non coincidono.

Il passo successivo è determinare l'adempimento della condizione di parallelismo per le linee date.

Il vettore normale della retta y = 2 x + 1 è il vettore n a → = (2 , - 1) , e il vettore direzione della seconda retta data è b → = (1 , 2) . Il prodotto scalare di questi vettori è zero:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

I vettori sono dunque perpendicolari: ciò ci dimostra il soddisfacimento della condizione necessaria e sufficiente perché le rette originarie siano parallele. Quelli. le rette date sono parallele.

Risposta: queste linee sono parallele.

Per dimostrare il parallelismo delle linee in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale, viene utilizzata la seguente condizione necessaria e sufficiente.

Teorema 8

Affinché due rette non coincidenti nello spazio tridimensionale siano parallele, è necessario e sufficiente che i vettori di direzione di queste rette siano collineari.

Quelli. per date equazioni di linee nello spazio tridimensionale, la risposta alla domanda: sono parallele o no, si trova determinando le coordinate dei vettori di direzione delle linee date, oltre a verificare la condizione della loro collinearità. In altre parole, se a → = (a x, a y, a z) e b → = (b x, b y, b z) sono rispettivamente i vettori di direzione delle rette a e b, allora affinché siano parallele, l'esistenza di un tale numero reale t è necessario, in modo che valga l'uguaglianza:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Esempio 3

Linee date x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 e x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . È necessario dimostrare il parallelismo di queste linee.

Soluzione

Le condizioni del problema sono le equazioni canoniche di una retta nello spazio e le equazioni parametriche di un'altra retta nello spazio. Vettori di direzione a → e b → le linee date hanno coordinate: (1 , 0 , - 3) e (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , quindi a → = 1 2 b → .

Pertanto, la condizione necessaria e sufficiente per le rette parallele nello spazio è soddisfatta.

Risposta: si dimostra il parallelismo delle rette date.

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Che giacciono sullo stesso piano e coincidono o non si intersecano. In alcune definizioni scolastiche, le linee coincidenti non sono considerate parallele; tale definizione non è considerata qui.

Proprietà

  1. Il parallelismo è una relazione di equivalenza binaria, quindi divide l'intero insieme di linee in classi di linee parallele tra loro.
  2. Per ogni dato punto può esserci esattamente una retta parallela a quella data. Questa è una proprietà distintiva della geometria euclidea, in altre geometrie il numero 1 è sostituito da altri (nella geometria di Lobachevsky ci sono almeno due di queste linee)
  3. 2 rette parallele nello spazio giacciono sullo stesso piano.
  4. Quando due rette parallele si intersecano, viene chiamata una terza retta secante:
    1. La secante deve intersecare entrambe le rette.
    2. Durante l'attraversamento si formano 8 angoli, di cui alcune coppie caratteristiche hanno nomi e proprietà speciali:
      1. Menzogne ​​incrociate gli angoli sono uguali.
      2. Rispettivo gli angoli sono uguali.
      3. Unilaterale la somma degli angoli è di 180°.

Nella geometria di Lobachevsky

Nella geometria di Lobachevsky nel piano attraverso un punto Impossibile analizzare l'espressione (errore lessicale): Cal di fuori di questa linea AB

Ci sono un numero infinito di linee rette che non si intersecano UNB. Di questi, parallelo a UNB solo due sono nominati.

Dritto CEè chiamata retta isoscele (parallela). UNB nella direzione da UN a B, Se:

  1. punti B e E giacere su un lato di una linea retta UNC ;
  2. dritto CE non attraversa la linea UNB, ma qualsiasi raggio passante all'interno dell'angolo UNCE, attraversa la trave UNB .

Allo stesso modo, una linea retta, isoscele UNB nella direzione da B a UN .

Vengono chiamate tutte le altre linee che non intersecano quella data ultraparallelo o divergente.

Guarda anche


Fondazione Wikimedia. 2010 .

  • Linee incrociate
  • Nesterikhin, Yuri Efremovich

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    LINEE PARALLELE Grande dizionario enciclopedico

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Libri

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1. Se due rette sono parallele alla terza retta, allora sono parallele:

Se una un||c e b||c, poi un||b.

2. Se due rette sono perpendicolari alla terza retta, allora sono parallele:

Se una un⊥c e b⊥c, poi un||b.

I restanti segni di parallelismo delle linee si basano sugli angoli formati all'intersezione di due linee da una terza.

3. Se la somma degli angoli unilaterali interni è 180°, allora le rette sono parallele:

Se ∠1 + ∠2 = 180°, allora un||b.

4. Se gli angoli corrispondenti sono uguali, le linee sono parallele:

Se ∠2 = ∠4, allora un||b.

5. Se gli angoli interni trasversali sono uguali, allora le linee sono parallele:

Se ∠1 = ∠3, allora un||b.

Proprietà delle rette parallele

Gli enunciati inversi ai segni del parallelismo delle rette sono loro proprietà. Si basano sulle proprietà degli angoli formati dall'intersezione di due rette parallele con una terza retta.

1. Quando due rette parallele si intersecano con una terza retta, la somma degli angoli unilaterali interni da esse formati è di 180°:

Se una un||b, quindi ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Quando due rette parallele si intersecano con una terza retta, gli angoli corrispondenti formati da esse sono uguali:

Se una un||b, allora ∠2 = ∠4.

3. All'intersezione di due linee parallele con una terza linea, gli angoli di giacitura formati da esse trasversalmente sono uguali:

Se una un||b, allora ∠1 = ∠3.

La seguente proprietà è un caso particolare di ciascuna delle precedenti:

4. Se una retta su un piano è perpendicolare a una delle due rette parallele, allora è anche perpendicolare all'altra:

Se una un||b e c⊥un, poi c⊥b.

La quinta proprietà è l'assioma delle rette parallele:

5. Per un punto che non giace su una data retta, si può tracciare una sola retta parallela alla retta data.

Istruzione

Prima di iniziare la dimostrazione, assicurati che le linee giacciano sullo stesso piano e possano essere tracciate su di esso. Il metodo di prova più semplice è il metodo di misurazione con un righello. Per fare ciò, usa un righello per misurare la distanza tra le linee rette in più punti il ​​​​più distanti possibile. Se la distanza rimane la stessa, le linee date sono parallele. Ma questo metodo non è abbastanza preciso, quindi è meglio usare altri metodi.

Disegna una terza linea in modo che intersechi entrambe le linee parallele. Con loro forma quattro angoli esterni e quattro interni. Considera gli angoli interni. Quelli che giacciono attraverso la linea secante sono chiamati giacenti trasversalmente. Quelli che giacciono su un lato sono chiamati unilaterali. Utilizzando un goniometro, misurare i due angoli diagonali interni. Se sono uguali, le rette saranno parallele. In caso di dubbio, misurare gli angoli interni unilaterali e sommare i valori risultanti. Le rette saranno parallele se la somma degli angoli interni unilaterali è uguale a 180º.

Se non hai un goniometro, usa un quadrato di 90º. Usalo per costruire una perpendicolare a una delle linee. Dopodiché, continua questa perpendicolare in modo tale che intersechi un'altra linea. Usando lo stesso quadrato, controlla a quale angolo questa perpendicolare lo interseca. Se anche questo angolo è uguale a 90º, allora le linee sono parallele tra loro.

Nel caso in cui le linee siano date nel sistema di coordinate cartesiane, trova le loro guide o vettori normali. Se questi vettori sono, rispettivamente, collineari tra loro, allora le rette sono parallele. Riporta l'equazione delle rette in una forma generale e trova le coordinate del vettore normale di ciascuna delle rette. Le sue coordinate sono uguali ai coefficienti A e B. Nel caso in cui il rapporto tra le coordinate corrispondenti dei vettori normali sia lo stesso, sono collineari e le linee sono parallele.

Ad esempio, le rette sono date dalle equazioni 4x-2y+1=0 e x/1=(y-4)/2. La prima equazione è di forma generale, la seconda è canonica. Porta la seconda equazione in una forma generale. Usa la regola di conversione della proporzione per questo, e finirai con 2x=y-4. Dopo la riduzione a una forma generale, ottieni 2x-y + 4 = 0. Poiché l'equazione generale per ogni riga è scritta Ax + Vy + C = 0, allora per la prima riga: A = 4, B = 2, e per la seconda riga A = 2, B = 1. Per la prima coordinata diretta del vettore normale (4;2) e per la seconda - (2;1). Trova il rapporto delle coordinate corrispondenti dei vettori normali 4/2=2 e 2/1=2. Questi numeri sono uguali, il che significa che i vettori sono collineari. Poiché i vettori sono collineari, le rette sono parallele.