Considera esempi di divisione dei decimali in questa luce.
Esempio.
Dividi il decimale 1,2 per il decimale 0,48.
Soluzione.
Risposta:
1,2:0,48=2,5 .
Esempio.
Dividi il decimale periodico 0.(504) per il decimale 0.56 .
Soluzione.
Traduciamo la frazione decimale periodica in un ordinario:. Traduciamo anche la frazione decimale finale 0,56 in una frazione ordinaria, abbiamo 0,56 \u003d 56/100. Ora possiamo passare dalla divisione dei decimali originali alla divisione delle frazioni ordinarie e terminare i calcoli: .
Traduciamo la frazione ordinaria risultante in una frazione decimale dividendo il numeratore per il denominatore in una colonna:
Risposta:
0,(504):0,56=0,(900) .
Il principio della divisione di infinite frazioni decimali non periodiche differisce dal principio di divisione delle frazioni decimali finite e periodiche, poiché le frazioni decimali non ripetitive non possono essere convertite in frazioni ordinarie. La divisione di infinite frazioni decimali non periodiche si riduce alla divisione di frazioni decimali finite, per le quali si effettua numeri di arrotondamento fino a un certo livello. Inoltre, se uno dei numeri con cui si effettua la divisione è una frazione decimale finita o periodica, allora si arrotonda anche alla stessa cifra della frazione decimale non periodica.
Esempio.
Dividi il decimale infinito non ricorrente 0,779... per il decimale finale 1,5602.
Soluzione.
Per prima cosa devi arrotondare le frazioni decimali per passare dalla divisione di una frazione decimale infinita non ripetuta alla divisione di frazioni decimali finite. Possiamo arrotondare ai centesimi: 0,779…≈0,78 e 1,5602≈1,56. Quindi, 0.779…:1.5602≈0.78:1.56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .
Risposta:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Dividere un numero naturale per una frazione decimale e viceversa
L'essenza dell'approccio alla divisione di un numero naturale per una frazione decimale e alla divisione di una frazione decimale per un numero naturale non è diversa dall'essenza della divisione delle frazioni decimali. Cioè, le frazioni finite e periodiche vengono sostituite da frazioni ordinarie e le infinite frazioni non periodiche vengono arrotondate.
Per illustrare, si consideri l'esempio della divisione di una frazione decimale per un numero naturale.
Esempio.
Dividi la frazione decimale 25,5 per il numero naturale 45.
Soluzione.
Sostituendo la frazione decimale 25,5 con una frazione ordinaria 255/10=51/2, la divisione si riduce a dividere una frazione ordinaria per un numero naturale: . La frazione risultante in notazione decimale è 0.5(6) .
Risposta:
25,5:45=0,5(6) .
Divisione di una frazione decimale per un numero naturale per colonna
La divisione delle frazioni decimali finali per numeri naturali viene convenientemente eseguita da una colonna per analogia con la divisione per una colonna di numeri naturali. Ecco la regola della divisione.
A dividere un decimale per un numero naturale per una colonna, necessario:
- aggiungi alcune cifre a destra nella frazione decimale divisibile 0, (durante la divisione, se necessario, puoi aggiungere qualsiasi numero di zeri, ma questi zeri potrebbero non essere necessari);
- esegui la divisione per una colonna di una frazione decimale per un numero naturale secondo tutte le regole per dividere per una colonna di numeri naturali, ma quando la divisione della parte intera della frazione decimale è completata, allora in quella privata devi inserire una virgola e continuare la divisione.
Diciamo subito che come risultato della divisione di una frazione decimale finita per un numero naturale, si può ottenere una frazione decimale finale o una frazione decimale periodica infinita. Infatti, dopo la divisione di tutte le cifre decimali della frazione divisibile diversa da 0, possiamo ottenere un resto 0 e otterremo una frazione decimale finale, oppure il resto inizierà a ripetersi periodicamente e otterremo una frazione decimale periodica.
Affrontiamo tutte le complessità della divisione delle frazioni decimali in numeri naturali per colonna durante la risoluzione degli esempi.
Esempio.
Dividi il decimale 65.14 per 4 .
Soluzione.
Eseguiamo la divisione di una frazione decimale per un numero naturale per colonna. Aggiungiamo una coppia di zeri a destra nel record della frazione 65.14, mentre otteniamo la frazione decimale uguale ad essa 65.1400 (vedi frazioni decimali uguali e disuguali). Ora puoi iniziare a dividere la parte intera della frazione decimale 65.1400 per un numero naturale 4 per una colonna: 
Questo completa la divisione della parte intera della frazione decimale. Qui in privato devi mettere una virgola e continuare la divisione: 
Siamo arrivati a un resto di 0, in questa fase termina la divisione per colonna. Di conseguenza, abbiamo 65.14:4=16.285.
Risposta:
65,14:4=16,285 .
Esempio.
Dividi 164,5 per 27.
Soluzione.
Dividiamo una frazione decimale per un numero naturale per una colonna. Dopo aver diviso la parte intera, otteniamo la seguente immagine: 
Ora mettiamo una virgola in privato e continuiamo la divisione con una colonna: 
Ora si vede chiaramente che i resti di 25, 7 e 16 hanno cominciato a ripetersi, mentre i numeri 9, 2 e 5 si ripetono nel quoziente. Quindi dividendo il decimale 164,5 per 27 otteniamo il decimale periodico 6.0(925) .
Risposta:
164,5:27=6,0(925) .
Divisione di frazioni decimali per colonna
La divisione di una frazione decimale per una frazione decimale può essere ridotta alla divisione di una frazione decimale per un numero naturale per una colonna. Per fare ciò, il dividendo e il divisore devono essere moltiplicati per un tale numero 10, o 100, o 1000, ecc., In modo che il divisore diventi un numero naturale, quindi dividere per un numero naturale per una colonna. Possiamo farlo grazie alle proprietà della divisione e della moltiplicazione, poiché a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) e così via.
In altre parole, per dividere un decimale finale per un decimale finale, bisogno di:
- nel dividendo e nel divisore, sposta la virgola a destra di tanti caratteri quanti sono dopo il punto decimale nel divisore, se allo stesso tempo non ci sono abbastanza caratteri nel dividendo per spostare la virgola, allora devi aggiungere il numero richiesto di zeri a destra;
- dopodiché, esegui la divisione per colonna di una frazione decimale per un numero naturale.
Considera, quando risolvi un esempio, l'applicazione di questa regola per dividere per una frazione decimale.
Esempio.
Esegui la divisione di colonna 7.287 per 2.1.
Soluzione.
Spostiamo la virgola in queste frazioni decimali di una cifra a destra, questo ci permetterà di passare dalla divisione della frazione decimale 7,287 per la frazione decimale 2,1 alla divisione della frazione decimale 72,87 per il numero naturale 21. Dividiamo per una colonna: 
Risposta:
7,287:2,1=3,47 .
Esempio.
Dividi il decimale 16,3 per il decimale 0,021.
Soluzione.
Sposta la virgola nel dividendo e nel divisore verso destra di 3 cifre. Ovviamente, non ci sono abbastanza cifre nel divisore per contenere la virgola, quindi aggiungiamo il numero richiesto di zeri a destra. Ora dividiamo la colonna della frazione 16300.0 per il numero naturale 21: 
Da questo momento iniziano a ripetersi i resti 4, 19, 1, 10, 16 e 13, il che significa che si ripeteranno anche i numeri 1, 9, 0, 4, 7 e 6 nel quoziente. Di conseguenza, otteniamo una frazione decimale periodica 776,(190476) .
Risposta:
16,3:0,021=776,(190476) .
Si noti che la regola vocale consente di dividere un numero naturale per una frazione decimale finale per una colonna.
Esempio.
Dividi il numero naturale 3 per la frazione decimale 5.4.
Soluzione.
Dopo aver spostato a destra la cifra della virgola 1, arriviamo a dividere il numero 30.0 per 54. Dividiamo per una colonna: 
.
Questa regola può essere applicata anche quando si dividono infinite frazioni decimali per 10, 100, .... Ad esempio, 3,(56):1000=0.003(56) e 593.374…:100=5.93374… .
Dividere i decimali per 0,1, 0,01, 0,001, ecc.
Poiché 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100, ecc., Dalla regola di divisione per una frazione ordinaria segue quella che divide una frazione decimale per 0,1, 0,01, 0,001, ecc. è come moltiplicare il decimale dato per 10 , 100 , 1000 , ecc. rispettivamente.
In altre parole, per dividere una frazione decimale per 0,1, 0,01, ..., devi spostare la virgola a destra di 1, 2, 3, ... cifre e se non ci sono abbastanza cifre nella frazione decimale per spostare la virgola, devi aggiungere il numero richiesto di zeri a destra.
Ad esempio, 5,739:0,1=57,39 e 0,21:0,00001=21.000 .
La stessa regola può essere applicata quando si dividono infiniti decimali per 0,1, 0,01, 0,001, ecc. In questo caso, dovresti stare molto attento con la divisione delle frazioni periodiche, in modo da non essere confuso con il periodo della frazione, che si ottiene come risultato della divisione. Ad esempio, 7.5(716):0.01=757,(167) , poiché dopo aver spostato la virgola nel record della frazione decimale 7.5716716716 ... due cifre a destra, abbiamo il record 757.167167 ... . Con infiniti decimali non periodici, tutto è più semplice: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Dividere una frazione o un numero misto per un decimale e viceversa
La divisione di una frazione ordinaria o di un numero misto per una frazione decimale finita o periodica, così come la divisione di una frazione decimale finita o periodica per una frazione ordinaria o un numero misto, si riduce alla divisione di frazioni ordinarie. Per fare ciò, le frazioni decimali vengono sostituite dalle corrispondenti frazioni ordinarie e il numero misto viene rappresentato come frazione impropria.
Quando si divide una frazione decimale infinita non periodica per una frazione ordinaria o un numero misto e viceversa, si deve procedere alla divisione delle frazioni decimali, sostituendo la frazione ordinaria o il numero misto con la corrispondente frazione decimale.
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Molti studenti delle scuole superiori dimenticano come fare la divisione lunga. Computer, calcolatrici, telefoni cellulari e altri dispositivi sono diventati così strettamente integrati nelle nostre vite che le operazioni matematiche elementari a volte portano a uno stupore. E come facevano le persone a fare a meno di tutti questi benefici qualche decennio fa? Per prima cosa devi ricordare i principali concetti matematici necessari per la divisione. Quindi, il dividendo è il numero che verrà diviso. Il divisore è il numero per cui dividere. Ciò che accade di conseguenza si chiama privato. Per la divisione in una linea, viene utilizzato un simbolo simile ai due punti - ":", e quando si divide in una colonna, viene utilizzata l'icona "∟", è anche chiamata angolo in un altro modo.
Vale anche la pena ricordare che qualsiasi divisione può essere verificata mediante moltiplicazione. Per verificare il risultato della divisione, è sufficiente moltiplicarlo per un divisore, di conseguenza, dovresti ottenere un numero che corrisponde al dividendo (a: b \u003d c; quindi, c * b \u003d a). Ora su cos'è una frazione decimale. Un decimale si ottiene dividendo un'unità per 0,0, 1000 e così via. La scrittura di questi numeri e le operazioni matematiche con essi sono esattamente le stesse che con i numeri interi. Quando si dividono i decimali, non è necessario ricordare dove si trova il denominatore. Tutto diventa così chiaro quando si scrive un numero. Innanzitutto, viene scritto un numero intero e, dopo il punto decimale, vengono scritti i suoi decimi, centesimi, millesimi. La prima cifra dopo la virgola corrisponde alle decine, la seconda alle centinaia, la terza alle migliaia e così via.
Ogni studente dovrebbe sapere come dividere i decimali per i decimali. Se sia il dividendo che il divisore vengono moltiplicati per lo stesso numero, la risposta, ovvero il quoziente, non cambierà. Se la frazione decimale viene moltiplicata per 0,0, 1000, ecc., la virgola dopo il numero intero cambierà posizione: si sposterà a destra di tante cifre quanti sono gli zeri nel numero per cui è stata moltiplicata. Ad esempio, quando si moltiplica un decimale per 10, il punto decimale si sposterà di un numero a destra. 2.9: 6.7 - moltiplichiamo sia il divisore che il divisibile per 100, otteniamo 6.9: 3687. È meglio moltiplicare in modo che, quando moltiplicato per esso, almeno un numero (divisore o dividendo) non abbia cifre dopo la virgola, ad es. Alcuni altri esempi di virgole a capo dopo un numero intero: 9.2: 1.5 = 2492: 2.5; 5.4:4.8 = 5344:74598.
Attenzione, la frazione decimale non cambierà il suo valore se gli vengono assegnati degli zeri sulla destra, ad esempio 3.8 = 3.0. Inoltre, il valore della frazione non cambierà se gli zeri alla fine del numero vengono rimossi da esso sulla destra: 3.0 = 3.3. Tuttavia, gli zeri nel mezzo del numero non possono essere rimossi - 3.3. Come dividere una frazione decimale per un numero naturale in una colonna? Per dividere una frazione decimale in un numero naturale in una colonna, è necessario effettuare la voce appropriata con un angolo, dividere. In una virgola privata, devi metterla quando la divisione di un numero intero è finita. Ad esempio, 5.4|2 14 7.2 18 18 0 4 4 0 Se la prima cifra del numero nel dividendo è minore del divisore, vengono utilizzate le cifre successive finché non è possibile la prima azione.
In questo caso, la prima cifra del dividendo è 1, non può essere divisa per 2, quindi per la divisione vengono utilizzate contemporaneamente due cifre 1 e 5: 15 è diviso per 2 con il resto, risulta nel quoziente 7 e il resto rimane 1. Quindi usiamo la cifra successiva del dividendo - 8. Lo riduciamo a 1 e dividiamo 18 per 2. Nel quoziente annotiamo il numero 9. Non rimane nulla nel resto der, quindi annotiamo 0. Il numero rimanente 4 abbassiamo il dividendo e lo dividiamo per il divisore, ad es. Si chiama privato. È abbastanza facile risolvere la domanda su come dividere una frazione decimale per una frazione decimale in una colonna, se conosci alcuni trucchi. Dividere i decimali nella tua testa a volte è piuttosto difficile, quindi viene utilizzata una divisione lunga per rendere il processo più semplice.
Con questa divisione, si applicano tutte le stesse regole di quando si divide una frazione decimale per un numero intero o quando si divide in una stringa. A sinistra nella riga, scrivi il dividendo, poi metti il simbolo "angolo" e poi scrivi il divisore e inizia a dividere. Per facilitare la divisione e il trasferimento in un posto conveniente, una virgola dopo un numero intero può essere moltiplicata per decine, centinaia o migliaia. Ad esempio, 9.2: 1.5 \u003d 24920: 125. Attenzione, entrambe le frazioni vengono moltiplicate per 0,0, 1000. Se il dividendo è stato moltiplicato per 10, anche il divisore viene moltiplicato per 10. In questo esempio, sia il dividendo che il divisore sono stati moltiplicati per 100. Successivamente, il calcolo viene eseguito nello stesso modo mostrato nell'esempio di divisione di una frazione decimale per un numero naturale. Per dividere per 0,1; 0,1; 0,1, ecc., è necessario moltiplicare sia il divisore che il dividendo per 0,0, 1000.
Molto spesso, dividendo in un quoziente, cioè nella risposta, si ottengono infinite frazioni. In questo caso è necessario arrotondare il numero ai decimi, centesimi o millesimi. In questo caso, si applica la regola, se dopo il numero a cui è necessario arrotondare la risposta è inferiore o uguale a 5, la risposta viene arrotondata per difetto, se superiore a 5 per eccesso. Ad esempio, si desidera arrotondare il risultato di 5,5 ai millesimi. Ciò significa che la risposta dopo la virgola dovrebbe terminare con il numero 6. Dopo il 6 c'è 9, il che significa che la risposta viene arrotondata per eccesso e otteniamo 5,7. Ma se fosse necessario arrotondare la risposta 5,5 non ai millesimi, ma ai decimi, la risposta sarebbe simile a questa: 5,2. In questo caso, 2 non è stato arrotondato perché è seguito da 3 ed è minore di 5.
ogni parte.
Soluzione. Per risolvere il problema, esprimiamo la lunghezza del nastro in decimetri: 19,2 m = 192 dm. Ma 192: 8 = 24. Quindi, la lunghezza di ciascuna parte è 24 dm,
cioè 2,4 M. Se moltiplichiamo 2,4 per 8, otteniamo 19,2. Quindi 2,4 è il quoziente di 19,2 diviso 8.
Scrivono: 19.2: 8 = 2.4.
La stessa risposta può essere ottenuta senza convertire i metri in decimetri. Per fare ciò, devi dividere 19,2 per 8, ignorando la virgola, e inserire una virgola nel quoziente quando termina la divisione dell'intera parte:
Dividere una frazione decimale per un numero naturale significa trovare una frazione che, moltiplicata per questo numero naturale, dà il dividendo.
Per dividere un decimale per un numero naturale, è necessario:
1) dividere la frazione per questo numero, ignorando la virgola;
2) mettere una virgola nel privato quando finisce la divisione dell'intera parte;
Se la parte intera è minore del divisore, il quoziente parte da zero numeri interi:
Dividi 96,1 per 10. Se moltiplichi il quoziente per 10, dovresti ottenere di nuovo 96,1.
In altre parole, con l'aiuto della divisione, una frazione ordinaria viene convertita in un decimale.
Esempio. Convertiamo la frazione in decimale.
Soluzione. La frazione è il quoziente di 3 diviso 4. Dividendo 3 per 4, otteniamo la frazione decimale 0,75. Quindi, = 0,75.
Cosa significa dividere un decimale per un numero naturale?
Come si divide un decimale per un numero naturale?
Come dividere un decimale per 10, 100, 1000?
Come convertire una frazione comune in un decimale?
1340. Eseguire la divisione:
a) 20,7:9;
b) 243,2:8;
c) 88.298: 7;
d) 772,8: 12;
e) 93,15:23;
e) 0,644:92;
h) 1:80;
h) 0,909: 45;
i) 3:32;
j) 0,01242: 69;
h) 1,016:8;
m) 7,368: 24.
1341. 3 trattori, del peso di 1,2 tonnellate ciascuno, e 7 motoslitte furono caricati sull'aereo per la spedizione polare. La massa di tutte le motoslitte è di 2 tonnellate in più rispetto alla massa dei trattori. Qual è la massa di un'aeroslitta?
a) 4x - x = 8,7; c) a + a + 8,154 = 32;
b) Zu + bû = 9,6; d) 7k - 4k - 55,2 = 63,12.
1349. Due ceste contengono 16,8 kg di pomodori. In un paniere ci sono il doppio dei pomodori che nell'altro. Quanti chilogrammi di pomodori ci sono in ogni cesto?
1350. L'area del primo campo è 5 volte l'area del secondo. Qual è l'area di ciascun campo se piazza il secondo è di 23,2 ettari in meno rispetto all'area del primo?
1351. Per la preparazione della composta si faceva un impasto di 8 parti (in peso) di mele secche, 4 parti di albicocche e 3 parti di uva passa. Quanti chilogrammi di ciascuno dei frutti secchi erano necessari per 2,7 kg di tale miscela?
1352. In due sacchi 1,28 centesimi di farina. Nel primo sacchetto ci sono 0,12 centesimi di farina in più rispetto al secondo. Quanti quintali di farina ci sono in ogni sacco?
1353. Ci sono 18,6 kg di mele in due ceste. Nel primo cesto ci sono 2,4 kg di mele in meno rispetto al secondo. Quanti chilogrammi di mele ci sono in ogni paniere?
1354. Espresso in frazione decimale:
1355. Per raccogliere 100 g di miele, un'ape consegna all'alveare 16.000 carichi di nettare. Cos'è un carico di nettare?
1356. Ci sono 30 g di medicinale in una fiala. Trova la massa di una goccia di medicinale se ci sono 1500 gocce nella fiala.
1357. Converti una frazione comune in un decimale e procedi come segue:
1358. Risolvi l'equazione:
a) (x - 5,46) -2 = 9;
b) (y + 0,5): 2 = 1,57.
1359. Trova il valore dell'espressione:
a) 91,8: (10,56 - 1,56) + 0,704; e) 15,3 -4:9 + 3,2;
b) (61,5 - 5,16): 30 + 5,05; f) (4,3 + 2,4: 8) 3;
c) 66.24 - 16.24: (3.7 + 4.3); g) 280,8: 12 - 0,3 24;
d) 28,6 + 11,4: (6,595 + 3,405); h) (17,6 13 - 41,6): 12.
1360. Calcola oralmente:
a) 2,5 - 1,6; b) 1,8 + 2,5; c) 3,4 - 0,2; d) 5 + 0,35;
3,2 - 1,4; 2,7 + 1,6; 2,6 - 0,05; 3,7 + 0,24;
0,47 - 0,27; 0,63 + 0,17; 4,52 - 1,2; 0,46 + 1,8;
0,64-0,15; 0,38 + 0,29; 4-0,8; 0,57 + 3;
0,71 - 0,28; 0,55 + 0,45; 1 - 0,45; 1,64 + 0,36.
a) 0,3 2; d) 2,3 3; g) 3,7 10; io) 0,185;
b) 0,8 3; e) 0,214; g) 0,096; j) 0,87 0.
c) 1,2 2; e) 1,6 5;
1362. Indovina quali sono le radici dell'equazione:
a) 2,9x = 2,9; c) 3,7x = 37; e) a 3 \u003d a;
b) 5,25x = 0; d) x 2 \u003d x e) m 2 \u003d m 3.
1363. Come cambierà il valore dell'espressione 2.5a se a: viene aumentato di 1? aumentare di 2? raddoppiare?
1364. Dicci come segnare il numero sul raggio delle coordinate: 0,25; 0 5; 0,75. Pensa a quali dei numeri dati sono uguali. Quale frazione con denominatore 4 è uguale a 0,5? Addizionare: 
1365. Pensa alla regola con cui è composta una serie di numeri, e scrivi altri due numeri di questa serie:
a) 1,2; 1,8; 2.4; 3; ... c) 0,9; 1,8; 3,6; 7.2; ...
b) 9,6; 8,9; 8.2; 7,5; ... d) 1.2; 0,7; 2.2; 1,4; 3.2; 2.1; ...
1366. Segui questi passaggi:
a) (37,8 - 19,1) 4; c) (64,37 + 33,21 - 21,56) 14;
b) (14,23 + 13,97) 31; d) (33,56 - 18,29) (13,2 + 24,9 - 38,1).
a) 3,705; 62,8; da 0,5 a 10 volte;
b) 2,3578; 0,0068; 0,3 100 volte.
1368. Arrotondare il numero 82.719,364:
a) fino a unità; c) fino ai decimi; e) fino a migliaia.
b) fino a centinaia; d) fino ai centesimi;
1369. Agire:
1370. Confronta:
1371. Kolya, Petya, Zhenya e Senya hanno pesato sulla bilancia. I risultati sono stati: 37,7 kg; 42,5 kg; 39,2 kg; 40,8 kg. Trova la massa di ogni ragazzo se sai che Kolya è più pesante di Senya e più leggero di Petya, e Zhenya è più leggero di Senya.
1372. Semplifica l'espressione e trova il suo valore:
a) 23,9 - 18,55 - mt se m = 1,64;
b) 16,4 + k + 3,8 se k = 2,7.
1373. Risolvi l'equazione:
a) 16,1 - (x - 3,8) = 11,3;
b) 25,34 - (2,7 + y) = 15,34.
1374. Trova il valore dell'espressione:
1) (1070 - 104 040: 2312) 74 + 6489;
2) (38 529 + 205 87) : 427 - 119.
1375. Eseguire la divisione:
a) 53,5:5; e) 0,7:25; i) 9.607: 10;
b) 1,75:7; e) 7,9: 316; j) 14,706: 1000;
c) 0,48: 6; g) 543,4: 143; k) 0,0142: 100;
d) 13.2:24; h) 40.005: 127; m) 0,75: 10.000.
1376. L'auto ha camminato lungo l'autostrada per 3 ore a una velocità di 65,8 km / he poi per 5 ore ha camminato su una strada sterrata. A quale velocità ha camminato lungo la strada sterrata se il suo intero percorso è di 324,9 km?
1377. C'erano 180,4 tonnellate di carbone nel magazzino. Questo carbone è stato fornito per il riscaldamento delle scuole. Quante tonnellate di carbone sono rimaste nel magazzino?
1378. Campi arati. Trova l'area di questo campo se sono stati arati 32,5 ettari.
1379. Risolvi l'equazione:
a) 15x = 0,15; e) 8p - 2p - 14,21 = 75,19;
b) 3.08: y = 4; g) 295,1: (n - 3) = 13;
c) Za + 8a = 1,87; h) 34 (m + 1,2) = 61,2;
d) 7z - 3z = 5,12; i) 15 (k - 0,2) = 21.
e) 2t + 5t + 3,18 = 25,3;
1380. Trova il valore dell'espressione:
a) 0,24:4 + 15,3:5 + 12,4:8 + 0,15:30;
b) (1,24 + 3,56): 16;
c) 2,28 + 3,72: 12;
d) 3,6 4-2,4: (11,7 - 3,7).
1381. Furono raccolte 19,7 tonnellate di fieno da tre prati. Il fieno è stato raccolto equamente dal primo e dal secondo prato e il fieno è stato raccolto dal terzo di 1,1 tonnellate in più rispetto a ciascuno dei primi due. Quanto fieno è stato raccolto da ogni prato?
1382. Il negozio ha venduto 1240,8 kg di zucchero in 3 giorni. Il primo giorno sono stati venduti 543 kg, il secondo - 2 volte di più rispetto al terzo. Quanti chilogrammi di zucchero sono stati venduti il terzo giorno?
1383. L'auto ha superato la prima sezione del percorso in 3 ore e la seconda in 2 ore La lunghezza di entrambe le sezioni insieme è di 267 km. Qual era la velocità dell'auto in ciascuna sezione se la velocità nella seconda sezione era di 8,5 km/h in più rispetto alla prima?
1384. Converti in frazioni decimali;
1385. Costruisci una figura uguale alla figura mostrata nella Figura 151.
1386. Un ciclista ha lasciato la città alla velocità di 13,4 km / h. Dopo 2 ore, un altro ciclista lo ha seguito, la cui velocità era di 17,4 km / h. Attraverso
quante ore dopo la sua partenza il secondo ciclista raggiungerà il primo?
1387. La barca, muovendosi controcorrente, percorse 177,6 km in 6 ore. Trova la velocità della barca se la velocità della corrente è 2,8 km/h.
1388. Un rubinetto che eroga 30 litri d'acqua al minuto riempie una vasca in 5 minuti. Quindi il rubinetto è stato chiuso e si è aperto un foro di scarico, attraverso il quale è fuoriuscita tutta l'acqua in b minuti. Quanti litri d'acqua sono stati versati in 1 minuto?
1389. Risolvi l'equazione:
a) 26 (x + 427) = 15 756; c) 22 374: (k - 125) = 1243;
b) 101 (351 + y) = 65 549; d) 38 007: (4223 - t) = 9.
N. Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematica Grado 5, Libro di testo per istituti scolastici
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In questo articolo analizzeremo un'azione così importante con le frazioni decimali come la divisione. Per prima cosa formuliamo i principi generali, quindi analizzeremo come dividere correttamente le frazioni decimali per colonna sia in altre frazioni che in numeri naturali. Successivamente, analizzeremo la divisione delle frazioni ordinarie in decimali e viceversa, e alla fine vedremo come dividere correttamente le frazioni che terminano in 0, 1, 0, 01, 100, 10, ecc.
Qui prendiamo solo casi con frazioni positive. Se c'è un segno meno prima della frazione, allora per agire con esso, devi studiare il materiale sulla divisione di numeri razionali e reali.
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Tutte le frazioni decimali, sia finite che periodiche, sono solo una forma speciale di scrittura di frazioni ordinarie. Pertanto, ad essi si applicano gli stessi principi delle loro corrispondenti frazioni ordinarie. Pertanto, riduciamo l'intero processo di divisione delle frazioni decimali alla loro sostituzione con quelle ordinarie, seguito dal calcolo con metodi a noi già noti. Facciamo un esempio specifico.
Esempio 1
Dividi 1,2 per 0,48.
Soluzione
Scriviamo le frazioni decimali sotto forma di frazioni ordinarie. Saremo in grado di:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Quindi, dobbiamo dividere 6 5 per 12 25 . Noi crediamo:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Dalla frazione impropria risultante, puoi selezionare l'intera parte e ottenere un numero misto 2 1 2, oppure puoi rappresentarlo come frazione decimale in modo che corrisponda ai numeri originali: 5 2 \u003d 2, 5. Come fare questo, abbiamo già scritto in precedenza.
Risposta: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Esempio 2
Calcola quanti saranno 0 , (504) 0 , 56 .
Soluzione
Innanzitutto, dobbiamo convertire una frazione decimale periodica in una ordinaria.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Successivamente, tradurremo anche la frazione decimale finale in un'altra forma: 0, 56 = 56 100. Ora abbiamo due numeri con i quali sarà facile per noi eseguire i calcoli necessari:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Abbiamo un risultato che possiamo anche convertire in decimale. Per fare ciò, dividi il numeratore per il denominatore usando il metodo della colonna:
Risposta: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Se, nell'esempio della divisione, abbiamo incontrato frazioni decimali non periodiche, agiremo in modo leggermente diverso. Non possiamo portarli alle solite frazioni ordinarie, quindi quando dividiamo, dobbiamo prima arrotondarli a una certa cifra. Questa azione deve essere eseguita sia con il dividendo che con il divisore: arrotonderemo anche la frazione finita o periodica esistente per motivi di accuratezza.
Esempio 3
Trova quanto sarà 0, 779 ... / 1, 5602.
Soluzione
Prima di tutto, arrotondiamo entrambe le frazioni ai centesimi. Ecco come si passa da infinite frazioni non ricorrenti a decimali finiti:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Possiamo continuare i calcoli e ottenere un risultato approssimativo: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0,5.
La precisione del risultato dipenderà dal grado di arrotondamento.
Risposta: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Come dividere un numero naturale per un decimale e viceversa
L'approccio alla divisione in questo caso è quasi lo stesso: sostituiamo le frazioni finite e periodiche con quelle ordinarie e arrotondiamo quelle infinite non periodiche. Iniziamo con l'esempio della divisione con un numero naturale e una frazione decimale.
Esempio 4
Dividi 2,5 per 45.
Soluzione
Portiamo 2, 5 nella forma di una frazione ordinaria: 255 10 \u003d 51 2. Successivamente, dobbiamo solo dividerlo per un numero naturale. Sappiamo già come fare:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Se traduciamo il risultato in notazione decimale, otteniamo 0 , 5 (6) .
Risposta: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Il metodo di divisione per colonna va bene non solo per i numeri naturali. Per analogia, possiamo usarlo anche per le frazioni. Di seguito indicheremo la sequenza di azioni che devono essere eseguite per questo.
Definizione 1
Per dividere una colonna di frazioni decimali per numeri naturali, devi:
1. Aggiungi alcuni zeri alla frazione decimale a destra (per la divisione, possiamo aggiungerne un numero qualsiasi di cui abbiamo bisogno).
2. Dividi una frazione decimale per un numero naturale usando un algoritmo. Quando la divisione della parte intera della frazione termina, inseriamo una virgola nel quoziente risultante e contiamo ulteriormente.
Il risultato di tale divisione può essere una frazione decimale periodica finita o infinita. Dipende dal resto: se è zero, il risultato sarà finito e se i resti iniziano a ripetersi, la risposta sarà una frazione periodica.
Prendiamo alcune attività come esempio e proviamo a completare questi passaggi già con numeri specifici.
Esempio 5
Calcola quanto sarà 65 , 14 4 .
Soluzione
Usiamo il metodo della colonna. Per fare ciò, aggiungi due zeri alla frazione e ottieni la frazione decimale 65, 1400, che sarà uguale all'originale. Ora scriviamo una colonna per dividere per 4:
Il numero risultante sarà il risultato della divisione della parte intera di cui abbiamo bisogno. Mettiamo una virgola, separandola, e continuiamo:
Abbiamo raggiunto il resto zero, quindi il processo di divisione è completato.
Risposta: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Esempio 6
Dividi 164,5 per 27.
Soluzione
Dividiamo prima la parte frazionaria e otteniamo:
Separiamo la figura risultante con una virgola e continuiamo a dividere:
Vediamo che i resti cominciarono a ripetersi periodicamente, e i numeri nove, due e cinque cominciarono ad alternarsi nel quoziente. Ci fermeremo qui e scriveremo la risposta come frazione periodica 6, 0 (925) .
Risposta: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Tale divisione può essere ridotta al processo di ricerca di una frazione decimale privata e di un numero naturale già descritto sopra. Per fare ciò, dobbiamo moltiplicare il dividendo e il divisore per 10, 100, ecc. in modo che il divisore diventi un numero naturale. Quindi eseguiamo la sequenza di azioni di cui sopra. Questo approccio è possibile grazie alle proprietà della divisione e della moltiplicazione. In forma letterale, li abbiamo scritti così:
a: b = (a 10) : (b 10) , a: b = (a 100) : (b 100) e così via.
Formuliamo la regola:
Definizione 2
Per dividere una frazione decimale finale per un'altra, devi:
1. Spostare a destra la virgola nel dividendo e nel divisore del numero di caratteri necessari per trasformare il divisore in un numero naturale. Se non ci sono abbastanza segni nel dividendo, aggiungiamo zeri sul lato destro.
2. Successivamente, dividiamo la frazione per una colonna per il numero naturale risultante.
Diamo un'occhiata a un problema specifico.
Esempio 7
Dividi 7, 287 per 2, 1.
Soluzione: per rendere il divisore un numero naturale, dobbiamo spostare la virgola di un carattere a destra. Quindi siamo passati alla divisione della frazione decimale 72, 87 per 21. Annotiamo i numeri ottenuti in una colonna e calcoliamo
Risposta: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Esempio 8
Calcola 16 , 3 0 , 021 .
Soluzione
Dovremo spostare la virgola su tre cifre. Non ci sono abbastanza cifre nel divisore per questo, il che significa che è necessario utilizzare zeri aggiuntivi. Pensiamo che il risultato finale sarà:
Vediamo la ripetizione periodica dei residui 4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 . Il quoziente ripete 1 , 9 , 0 , 4 , 7 e 5 . Quindi il nostro risultato è il decimale periodico 776 , (190476) .
Risposta: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Il metodo da noi descritto permette di fare il contrario, ovvero dividere un numero naturale per una frazione decimale finale. Vediamo come è fatto.
Esempio 9
Calcola quanti saranno 3 5 , 4 .
Soluzione
Ovviamente dovremo spostare la virgola a destra di un carattere. Dopodiché possiamo iniziare a dividere 30 , 0 per 54 . Scriviamo i dati in una colonna e calcoliamo il risultato:
Ripetendo il resto otteniamo il numero 0 , (5) , che è un decimale periodico.
Risposta: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Come dividere i decimali per 1000, 100, 10, ecc.
Secondo le regole già studiate per dividere le frazioni ordinarie, dividere una frazione in decine, centinaia, migliaia è simile alla moltiplicazione per 1/1000, 1/100, 1/10, ecc. Si scopre che per eseguire la divisione, in questo caso, è sufficiente spostare la virgola sul numero desiderato di cifre. Se non ci sono abbastanza valori nel numero da trasferire, è necessario aggiungere il numero richiesto di zeri.
Esempio 10
Quindi, 56, 21: 10 = 5, 621 e 0, 32: 100.000 = 0, 0000032.
Nel caso di decimali infiniti, facciamo lo stesso.
Esempio 11
Ad esempio, 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) e 593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .
Come dividere i decimali per 0,001, 0,01, 0,1, ecc.
Usando la stessa regola, possiamo anche dividere le frazioni per i valori specificati. Questa azione sarà simile alla moltiplicazione per 1000 , 100 , 10 rispettivamente. Per fare ciò, spostiamo la virgola su una, due o tre cifre, a seconda delle condizioni del problema, e aggiungiamo zeri se non ci sono abbastanza cifre nel numero.
Esempio 12
Ad esempio, 5, 739: 0, 1 = 57, 39 e 0, 21: 0, 00001 = 21.000.
Questa regola si applica anche ai decimali infiniti. Ti consigliamo solo di stare attento al periodo della frazione che si ottiene nella risposta.
Quindi, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , perché dopo aver spostato la virgola nella notazione decimale 7 , 5716716716 ... due cifre a destra, abbiamo ottenuto 757 , 167167 ... .
Se nell'esempio abbiamo frazioni non periodiche, allora tutto è più semplice: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .
Come dividere un numero misto o una frazione comune per un decimale e viceversa
Riduciamo anche questa azione alle operazioni con frazioni ordinarie. Per fare ciò, sostituisci i numeri decimali con le corrispondenti frazioni ordinarie e scrivi il numero misto come frazione impropria.
Se dividiamo una frazione non periodica per un numero ordinario o misto, dobbiamo fare il contrario, sostituendo la frazione ordinaria o il numero misto con la corrispondente frazione decimale.
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IO. Per dividere una frazione decimale per un numero naturale, devi dividere la frazione per questo numero, poiché i numeri naturali vengono divisi e messi in una virgola privata quando la divisione dell'intera parte è terminata.
Esempi.
Eseguire la divisione: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.
Soluzione.
Esempio 1) 96,25: 5.
Dividiamo per un "angolo" nello stesso modo in cui i numeri naturali dividono. Dopo aver preso nota del numero 2 (il numero dei decimi è la prima cifra dopo la virgola nel registro del dividendo 96, 2 5), metti una virgola nel quoziente e continua la divisione.
Risposta: 19,25.
Esempio 2) 4,78: 4.
Dividiamo come dividiamo i numeri naturali. In privato, metti una virgola appena demoliamo 7
- la prima cifra dopo la virgola del dividendo 4, 7
8. Continuiamo ulteriormente la divisione. Sottraendo 38-36, otteniamo 2, ma la divisione non è finita. Come stiamo? Sappiamo che gli zeri possono essere aggiunti alla fine della frazione decimale - questo non cambierà il valore della frazione. Assegniamo zero e dividiamo 20 per 4. Otteniamo 5: la divisione è finita.
Risposta: 1,195.
Esempio 3) 183,06: 45.
Dividi come 18306 per 45. Nel quoziente, metti una virgola non appena prendiamo la cifra 0
- la prima cifra dopo la virgola del dividendo 183, 0
6. Proprio come nell'esempio 2), abbiamo dovuto assegnare zero al numero 36 - la differenza tra i numeri 306 e 270.
Risposta: 4,068.
Conclusione: quando si divide una frazione decimale per un numero naturale in privato metti una virgola subito dopo demoliamo la cifra al posto dei decimi del dividendo. Nota: tutto evidenziato numeri in rosso in questi tre esempi appartengono alla categoria decimi del dividendo.
II. Per dividere un decimale per 10, 100, 1000, ecc., devi spostare la virgola a sinistra di 1, 2, 3, ecc. cifre.
Esempi.
Eseguire la divisione: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.
Soluzione.
Spostare la virgola a sinistra dipende da quanti zeri dopo uno ci sono nel divisore. Quindi, quando si divide una frazione decimale per 10
porteremo nel divisibile virgola a sinistra di una cifra; quando si divide per 100
- sposta la virgola lasciato da due cifre; quando si divide per 1000
trasferimento in data frazione decimale virgola tre cifre a sinistra.