TESTO SPIEGAZIONE DELLA LEZIONE:
Se tre linee perpendicolari a coppie vengono tracciate attraverso un punto nello spazio, su ciascuna delle quali vengono scelte una direzione e un segmento unitario, allora dicono che è dato un sistema di coordinate rettangolari nello spazio.
Le rette su cui è stata scelta la direzione sono chiamate assi delle coordinate e sono indicate come segue: Ox, Oy, Oz, hanno i loro nomi: rispettivamente l'asse delle ascisse, l'asse delle ordinate e l'asse applicato, e il loro punto comune è l'origine di coordinate. Di solito è indicato con la lettera O.
L'intero sistema di coordinate è indicato con Oxyz.
Se i piani vengono disegnati attraverso gli assi coordinati Ox e Oy, Oy e Oz, Oz e Ox, allora tali piani saranno chiamati piani coordinati e indicati rispettivamente: Oxy, Oyz, Ozx.
Il punto O divide ciascuno degli assi delle coordinate in due travi. Il raggio la cui direzione coincide con la direzione dell'asse è chiamato semiasse positivo, mentre l'altro raggio è chiamato semiasse negativo.
In un sistema di coordinate rettangolari, ogni punto M dello spazio è associato a una terna di numeri, chiamati sue coordinate. Sono definiti in modo simile alle coordinate dei punti sul piano.
Vediamo come è fatto.
Tracciamo per il punto M tre piani perpendicolari agli assi coordinati, e indichiamo con M₁, M₂ e M₃ i punti di intersezione di tali piani rispettivamente con gli assi dell'ascissa, dell'ordinata e dell'applicato.
La prima coordinata del punto M (si chiama ascissa e viene solitamente indicata con la lettera x) è definita come segue: x = OM₁, se M₁ è un punto del semiasse positivo;
x= - OM₁, se M₁ è un punto del semiasse negativo; x \u003d 0 se M₁ coincide con il punto O.
Allo stesso modo, utilizzando il punto M₂, viene determinata la seconda coordinata (ordinata) nel punto M,
e con l'aiuto del punto M₃ - la terza coordinata (applicata) z del punto M.
Le coordinate del punto M sono scritte tra parentesi dopo la designazione del punto M (x; y; z).
Ricorda che la prima è l'ascissa, la seconda è l'ordinata, la terza è l'applique.
Trova le coordinate dei punti A, B, C, D, E, F, mostrati in figura.
Disegniamo attraverso il punto A tre piani perpendicolari agli assi delle coordinate, quindi i punti di intersezione di questi piani, rispettivamente, con gli assi dell'ascissa, dell'ordinata e dell'applicata saranno le coordinate del punto A. Il punto A ha coordinate: ascissa = 9, ordinata = 5, applicata = 10 e si scrive così : A (9; 5; 10).
Le coordinate dei seguenti punti si scrivono in modo simile:
Il punto B ha coordinate: ascissa = 4, ordinata = -3, applicata = 6
Il punto C ha coordinate: ascissa = 9, ordinata = 0, applicata = 0
Il punto ha coordinate D: ascissa = 4, ordinata = 0, applicata = 5
Il punto E ha coordinate: ascissa = 0, ordinata = 8, applicata = 0
Il punto F ha coordinate: ascissa = 0, ordinata = 0, applicata = -3
Se il punto M (x; y; z) si trova sul piano delle coordinate sull'asse delle coordinate, alcune delle sue coordinate sono uguali a zero.
Se МЄОху (il punto M appartiene al piano Oxy), allora l'applicata del punto M è uguale a zero: z=0.
Allo stesso modo, se МЄОхz (il punto M appartiene al piano Oxz), allora y = 0, e se МЄОуz (il punto М appartiene al piano Oyz), allora x = 0.
Se МЄОх (il punto M giace sull'asse delle ascisse) l'ordinata e l'applicata del punto M sono uguali a zero: y=oez=0. Nel nostro esempio, questo è il punto C.
Se МЄОу (il punto M giace sull'asse y), allora x=0 e z=0. Nel nostro esempio, questo è il punto E.
Se МЄОz (il punto M si trova sull'asse dell'applicata), allora x \u003d 0 e y \u003d 0. Nel nostro esempio, questo è il punto F.
Se tutte e tre le coordinate del punto M sono uguali a zero, ciò significa che M \u003d O (0; 0; 0) è l'origine delle coordinate.
Date le coordinate di quattro vertici del cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1: A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0; 1; 0); UN 1 (1; 0; 0). Trova le coordinate dei rimanenti vertici del cubo.
Poiché la figura è un cubo, tutti i lati sono uguali a uno, tutte le facce sono quadrate.
Il punto C appartiene al piano Oxy, cioè la sua coordinata z è uguale a zero, la coordinata x è uguale al lato SD e uguale ad AB, il che significa che è uguale a uno, la coordinata y è uguale al lato di il cubo CB, il che significa che è uguale ad AD e uguale a uno.
Allo stesso modo, il punto B 1 appartiene al piano Oxz, cioè la sua coordinata y è uguale a zero, la coordinata x è uguale al lato, la coordinata x è uguale al lato A1B1 ed è uguale ad AB, il che significa che è uguale a uno, la coordinata z è uguale al lato del cubo B B1, il che significa che è uguale ad AA1 ed è uguale a uno.
Il punto D 1 appartiene al piano Oyz, cioè la sua coordinata x è uguale a zero, la coordinata y è uguale al lato A 1 D 1 e uguale ad AD, il che significa che è uguale a uno, la coordinata z è uguale a il lato del cubo A 1 B 1, il che significa che è uguale ad AB e uguale a uno.
Il punto C 1 non appartiene a nessun piano, cioè tutte le coordinate sono diverse da zero, la coordinata x è uguale al lato C 1 D 1 e uguale ad AB, il che significa che è uguale a uno, la coordinata y è uguale a il lato del cubo B 1 C 1, il che significa che è uguale ad AD e uguale a uno, e la coordinata z è uguale al lato CC 1 cioè AA 1 ed è anch'essa uguale a uno.
Trovare le coordinate delle proiezioni del punto C(; ;) sui piani coordinati Oxy, Oxz, Oyz e sugli assi coordinati Ox, Oy, Oz.
1) rilasciare le perpendicolari al piano Oxy - questa è CN, al piano Oxz - CL, e al piano Oyz la retta CR.
Pertanto, la proiezione del punto C sul piano Oxy è il punto N e ha coordinate x uguale a meno radice di tre, y uguale a meno radice di due per due, z uguale a zero.
La proiezione del punto C sul piano Oxz è il punto L e ha coordinate x uguale meno radice di tre, y è zero, z è uguale a radice di cinque meno radice di tre.
La proiezione del punto C sul piano Oyz è il punto R e ha coordinate x uguale a zero, y uguale meno la radice di due per due, z uguale alla radice di cinque meno la radice di tre.
2) Dal punto N tracciamo le perpendicolari all'asse Ox - la linea retta NK, e alla Oy - la linea retta NG, e all'asse Oz tracciamo una perpendicolare dal punto R - questa è la linea retta RP.
La proiezione del punto C sull'asse del bue - punto K ha coordinate x pari a meno la radice di tre e yez sono uguali a zero.
La proiezione del punto C sull'asse Oy - il punto G ha coordinate xez pari a zero, y è uguale a meno la radice di due per due.
La proiezione del punto C sull'asse Oz - punto P ha coordinate xey pari a zero, z pari alla radice di cinque meno la radice di tre.
Un sistema di coordinate rettangolare su un piano è formato da due assi di coordinate X'X e Y'Y reciprocamente perpendicolari. Gli assi delle coordinate si intersecano nel punto O, che è chiamato origine delle coordinate, su ciascun asse viene scelta una direzione positiva. La direzione positiva degli assi (nel sistema di coordinate destrorso) viene scelta in modo che quando l'asse X'X viene ruotato in senso antiorario di 90°, la sua direzione positiva coincide con la direzione positiva dell'asse Y'Y. I quattro angoli (I, II, III, IV) formati dagli assi delle coordinate X'X e Y'Y sono chiamati angoli delle coordinate (vedi Fig. 1).
La posizione del punto A sul piano è determinata da due coordinate x e y. La coordinata x è uguale alla lunghezza del segmento OB, la coordinata y è la lunghezza del segmento OC nelle unità selezionate. I segmenti OB e OC sono definiti da linee tracciate dal punto A parallele rispettivamente agli assi Y'Y e X'X. La coordinata x si chiama ascissa del punto A, la coordinata y si chiama ordinata del punto A. La scrivono così: A (x, y).
Se il punto A si trova nell'angolo di coordinate I, allora il punto A ha ascissa e ordinata positive. Se il punto A si trova nell'angolo di coordinate II, allora il punto A ha un'ascissa negativa e un'ordinata positiva. Se il punto A si trova nell'angolo di coordinate III, allora il punto A ha ascissa e ordinata negative. Se il punto A si trova nell'angolo di coordinate IV, allora il punto A ha un'ascissa positiva e un'ordinata negativa.
Sistema di coordinate rettangolari nello spazioè formato da tre assi coordinati reciprocamente perpendicolari OX, OY e OZ. Gli assi delle coordinate si intersecano nel punto O, che è chiamato origine, su ciascun asse viene scelta la direzione positiva indicata dalle frecce e sull'asse l'unità di misura dei segmenti. Le unità di misura sono le stesse per tutti gli assi. OX - asse delle ascisse, OY - asse delle ordinate, OZ - asse applicato. La direzione positiva degli assi è scelta in modo che quando l'asse OX viene ruotato di 90° in senso antiorario, la sua direzione positiva coincide con la direzione positiva dell'asse OY, se questa rotazione viene osservata dal lato della direzione positiva dell'asse OZ . Un tale sistema di coordinate è chiamato giusto. Se si prende il pollice della mano destra come direzione X, l'indice come direzione Y e il medio come direzione Z, si forma un sistema di coordinate destro. Dita simili della mano sinistra formano il sistema di coordinate sinistro. I sistemi di coordinate destro e sinistro non possono essere combinati in modo che gli assi corrispondenti coincidano (vedere Fig. 2).
La posizione del punto A nello spazio è determinata da tre coordinate x, y e z. La coordinata x è uguale alla lunghezza del segmento OB, la coordinata y è uguale alla lunghezza del segmento OC, la coordinata z è la lunghezza del segmento OD nelle unità selezionate. I segmenti OB, OC e OD sono definiti da piani tracciati dal punto A paralleli rispettivamente ai piani YOZ, XOZ e XOY. La coordinata x si chiama ascissa del punto A, la coordinata y si chiama ordinata del punto A, la coordinata z si chiama applicata del punto A. La scrivono così: A (a, b, c).
Horts
Un sistema di coordinate rettangolare (di qualsiasi dimensione) è anche descritto da un insieme di orti, co-diretti con gli assi delle coordinate. Il numero di orti è uguale alla dimensione del sistema di coordinate e sono tutti perpendicolari tra loro.
Nel caso tridimensionale, tali vettori sono solitamente indicati io J K O e X e sì e z. In questo caso, nel caso del sistema di coordinate destro, valgono le seguenti formule con il prodotto vettoriale dei vettori:
- [io J]=K ;
- [J K]=io ;
- [K io]=J .
Storia
René Descartes fu il primo a introdurre un sistema di coordinate rettangolari nel suo Discorso sul metodo nel 1637. Pertanto, il sistema di coordinate rettangolari è anche chiamato - Sistema di coordinate cartesiano. Il metodo delle coordinate per descrivere gli oggetti geometrici ha gettato le basi per la geometria analitica. Anche Pierre Fermat contribuì allo sviluppo del metodo delle coordinate, ma il suo lavoro fu pubblicato per la prima volta dopo la sua morte. Cartesio e Fermat usarono il metodo delle coordinate solo sul piano.
Il metodo delle coordinate per lo spazio tridimensionale fu applicato per la prima volta da Leonhard Euler già nel XVIII secolo.
Guarda anche
Collegamenti
Fondazione Wikimedia. 2010 .
Scopri cos'è il "sistema di coordinate cartesiane" in altri dizionari:
Sistema di coordinate cartesiane, sistema di coordinate rettilineo su un piano o nello spazio (solitamente con assi reciprocamente perpendicolari e la stessa scala lungo gli assi). Prende il nome da R. Cartesio (vedi DECARTS di René). Cartesio introdusse per primo... Dizionario enciclopedico
SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANO- un sistema di coordinate rettangolari su un piano o nello spazio, in cui le scale lungo gli assi sono le stesse e gli assi delle coordinate sono reciprocamente perpendicolari. D.s. k. è indicato con le lettere x:, y per un punto su un piano o x, y, z per un punto nello spazio. (Cm.… …
SISTEMA DI COORDINATE CARTEANE, sistema introdotto da René DECARTES, in cui la posizione di un punto è determinata dalla distanza da esso alle linee (assi) che si intersecano reciprocamente. Nella versione più semplice del sistema, gli assi (indicati come xey) sono perpendicolari. Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico
Sistema di coordinate cartesiano
Un sistema di coordinate rettilineo (Vedi Coordinate) su un piano o nello spazio (solitamente con la stessa scala lungo gli assi). Lo stesso R. Cartesio in "Geometria" (1637) utilizzò solo il sistema di coordinate sul piano (in generale, obliquo). Spesso… … Grande Enciclopedia Sovietica
Un insieme di definizioni che implementa il metodo delle coordinate, ovvero un modo per determinare la posizione di un punto o di un corpo utilizzando numeri o altri simboli. L'insieme di numeri che determinano la posizione di un particolare punto è chiamato coordinate di questo punto. In... ...Wikipedia
sistema cartesiano- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atikmenys: engl. Sistema cartesiano; Sistema di coordinate cartesiane vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Sistema cartesiano, f; Sistema cartesiano ... ... Fizikos terminų žodynas
SISTEMA DI COORDINATE- un insieme di condizioni che determinano la posizione di un punto su una linea retta, su un piano, nello spazio. Esistono varie S. a.: cartesiane, oblique, cilindriche, sferiche, curvilinee, ecc. Grandezze lineari e angolari che determinano la posizione... ... Grande Enciclopedia del Politecnico
Sistema di coordinate rettilinee ortonormali nello spazio euclideo. D.p.s. k. sul piano è dato da due assi di coordinate dirette reciprocamente perpendicolari, su ciascuno dei quali viene scelta una direzione positiva e un segmento dell'unità ... Enciclopedia matematica
Il sistema di coordinate rettangolari è un sistema di coordinate rettilinee con assi reciprocamente perpendicolari su un piano o nello spazio. Il sistema di coordinate più semplice e quindi più comunemente utilizzato. È molto facilmente e direttamente generalizzato per ... ... Wikipedia
Libri
- Fluidodinamica computazionale. Base teorica. Libro di testo, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. Il libro è dedicato a una presentazione sistematica dei fondamenti teorici per l'impostazione dei problemi di modellazione matematica dei flussi di fluidi e gas. Particolare attenzione è posta alle problematiche dell'edilizia...
Se introduciamo un sistema di coordinate su un piano o nello spazio tridimensionale, allora saremo in grado di descrivere le forme geometriche e le loro proprietà utilizzando equazioni e disequazioni, cioè saremo in grado di utilizzare i metodi dell'algebra. Pertanto, il concetto di sistema di coordinate è molto importante.
In questo articolo mostreremo come si posiziona un sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano e nello spazio tridimensionale e scopriremo come vengono determinate le coordinate dei punti. Per chiarezza, presentiamo illustrazioni grafiche.
Navigazione della pagina.
Sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano.
Introduciamo un sistema di coordinate rettangolari sul piano.
Per fare ciò, disegniamo due linee reciprocamente perpendicolari sul piano, scegliamo su ciascuna di esse direzione positiva, indicandolo con una freccia, e selezionare su ciascuno di essi scala(unità di lunghezza). Indichiamo il punto di intersezione di queste linee con la lettera O e lo considereremo Punto di riferimento. Quindi abbiamo ottenuto sistema di coordinate rettangolari in superficie.
Viene chiamata ciascuna delle linee con l'origine scelta O, direzione e scala linea coordinata O asse delle coordinate.
Un sistema di coordinate rettangolare su un piano è solitamente indicato con Oxy, dove Ox e Oy sono i suoi assi coordinati. Si chiama l'asse del Bue asse x, e l'asse Oy lo è asse y.
Ora concordiamo sull'immagine di un sistema di coordinate rettangolare sul piano.
Di solito, l'unità di lunghezza sugli assi Ox e Oy viene scelta per essere la stessa e viene tracciata dall'origine delle coordinate su ciascun asse delle coordinate nella direzione positiva (contrassegnata con un trattino sugli assi delle coordinate e l'unità è scritta accanto a it), l'asse delle ascisse è diretto verso destra e l'asse y è in alto. Tutte le altre opzioni per la direzione degli assi delle coordinate si riducono a quella espressa (asse Ox - a destra, asse Oy - in alto) ruotando il sistema di coordinate di un certo angolo rispetto all'origine e guardandolo dall'altro lato di l'aereo (se necessario).
Il sistema di coordinate rettangolari è spesso chiamato cartesiano, poiché fu introdotto per la prima volta nel piano da René Descartes. Ancora più spesso, un sistema di coordinate rettangolari è chiamato sistema di coordinate cartesiane rettangolari, mettendo tutto insieme.
Sistema di coordinate rettangolari nello spazio tridimensionale.
Il sistema di coordinate rettangolari Oxyz nello spazio euclideo tridimensionale è impostato in modo simile, ma non vengono prese due, ma tre linee reciprocamente perpendicolari. In altre parole, l'asse delle coordinate Oz viene aggiunto agli assi delle coordinate Ox e Oy, che viene chiamato asse applicato.
A seconda della direzione degli assi delle coordinate, nello spazio tridimensionale si distinguono i sistemi di coordinate rettangolari destro e sinistro.
Se si guarda dalla direzione positiva dell'asse Oz e la svolta più breve dalla direzione positiva dell'asse Ox alla direzione positiva dell'asse Oy avviene in senso antiorario, allora si chiama il sistema di coordinate Giusto.
Se visto dalla direzione positiva dell'asse Oz e la rotazione più breve dalla direzione positiva dell'asse Ox alla direzione positiva dell'asse Oy avviene in senso orario, allora viene chiamato il sistema di coordinate Sinistra.
Coordinate di un punto in un sistema di coordinate cartesiane su un piano.
Innanzitutto, considera la linea coordinata Ox e prendi un punto M su di essa.
Ogni numero reale corrisponde a un punto unico M su questa linea di coordinate. Ad esempio, un punto situato sulla linea delle coordinate ad una distanza dall'origine in direzione positiva corrisponde al numero , e il numero -3 corrisponde a un punto situato a una distanza di 3 dall'origine in direzione negativa. Il numero 0 corrisponde all'origine.
D'altra parte, ogni punto M sulla linea coordinata Ox corrisponde a un numero reale. Questo numero reale è zero se il punto M coincide con l'origine (punto O). Questo numero reale è positivo e uguale alla lunghezza del segmento OM in una data scala, se il punto M viene allontanato dall'origine in direzione positiva. Questo numero reale è negativo ed è uguale alla lunghezza del segmento OM con segno meno se il punto M viene allontanato dall'origine nella direzione negativa.
Il numero viene chiamato coordinata punti M sulla linea delle coordinate.
Consideriamo ora un piano con il sistema di coordinate cartesiane rettangolari introdotto. Segniamo un punto arbitrario M su questo piano.
Sia la proiezione del punto M sulla linea Ox, e siano le proiezioni del punto M sulla linea coordinata Oy (se necessario, vedi l'articolo). Cioè, se tracciamo linee che passano per il punto M e che sono perpendicolari agli assi delle coordinate Ox e Oy, i punti di intersezione di queste linee con le linee Ox e Oy sono, rispettivamente, i punti e .
Supponiamo che un punto sull'asse delle coordinate Ox corrisponda a un numero e un punto sull'asse Oy a un numero.
Ogni punto M del piano in un dato sistema di coordinate cartesiane rettangolari corrisponde ad un'unica coppia ordinata di numeri reali, chiamata coordinate del punto M in superficie. Viene chiamata la coordinata punto dell'ascissa M, UN - punto ordinato M.
È vera anche l'affermazione inversa: ogni coppia ordinata di numeri reali corrisponde ad un punto M del piano in un dato sistema di coordinate.
Coordinate di un punto in un sistema di coordinate rettangolare nello spazio tridimensionale.
Mostriamo come vengono determinate le coordinate del punto M in un sistema di coordinate rettangolare dato nello spazio tridimensionale.
Siano e le proiezioni del punto M sugli assi coordinati Ox , Oy e Oz rispettivamente. Lascia che questi punti sugli assi delle coordinate Ox , Oy e Oz corrispondano ai numeri reali e .
Un sistema di coordinate rettangolare su un piano è formato da due assi di coordinate reciprocamente perpendicolari X"X E Y"Y O, che è chiamata origine, ciascun asse ha una direzione positiva. IN mano destra sistema di coordinate, la direzione positiva degli assi viene scelta in modo che con la direzione dell'asse Y"Y su, asse X"X guardò a destra.
Quattro angoli (I, II, III, IV) formati dagli assi coordinati X"X E Y"Y, sono chiamati angoli di coordinate o quadranti (vedi Fig. 1).
Posizione del punto UN sul piano è determinata da due coordinate X E sì. Coordinata X uguale alla lunghezza del segmento OB, coordinare sì- lunghezza del segmento OC OB E OC definito da linee tracciate da un punto UN paralleli agli assi Y"Y E X"X rispettivamente.
Coordinata X chiamata ascissa del punto UN, coordinare sì- punto ordinato UN. Lo scrivono così:
Se punto UN si trova nelle coordinate dell'angolo I, quindi il punto UN ha ascissa e ordinata positive. Se punto UN si trova nelle coordinate dell'angolo II, quindi il punto UN ha l'ascissa negativa e l'ordinata positiva. Se punto UN si trova nelle coordinate dell'angolo III, quindi il punto UN ha ascissa e ordinata negative. Se punto UN si trova nelle coordinate dell'angolo IV, quindi il punto UN ha l'ascissa positiva e l'ordinata negativa.
Riso. 2: Piano cartesiano
Coordinate cartesiane rettangolari del punto P in superficie si chiamano prese con un certo segno della distanza (espressa in unità di scala) da questo punto a due linee reciprocamente perpendicolari - assi coordinati o, che è lo stesso, proiezioni del raggio vettore R P punta avanti due assi coordinati reciprocamente perpendicolari.
Sistema di coordinate rettangolari nello spazio formato da tre assi coordinati reciprocamente perpendicolari BUE, OH E oz. Gli assi delle coordinate si intersecano in un punto O, che viene chiamata origine delle coordinate, su ciascun asse viene selezionata la direzione positiva indicata dalle frecce e sugli assi l'unità di misura dei segmenti. Le unità di misura sono generalmente le stesse per tutti gli assi (il che è facoltativo). BUE- asse delle ascisse, OH- asse y, oz- asse dell'applique.
Se si prende come direzione il pollice della mano destra X, indicando la direzione Y e la media per direzione Z, quindi si forma Giusto sistema di coordinate.
Dita simili della mano sinistra formano il sistema di coordinate sinistro.
In altre parole, la direzione positiva degli assi viene scelta in modo tale che quando l'asse viene ruotato BUE in senso antiorario di 90° la sua direzione positiva coincideva con la direzione positiva dell'asse OH, se questa rotazione viene osservata dal lato della direzione positiva dell'asse oz. I sistemi di coordinate destro e sinistro non possono essere combinati in modo che gli assi corrispondenti coincidano.
Posizione del punto UN nello spazio è determinato da tre coordinate X, sì E z. Coordinata X uguale alla lunghezza del segmento OB, coordinare sì- lunghezza del segmento OC, coordinare z- lunghezza del segmento OD nelle unità di misura selezionate. Segmenti OB, OC E OD sono definiti da piani tracciati da un punto UN paralleli ai piani YOZ, XOZ E XOY rispettivamente. Coordinata X chiamata ascissa del punto UN, coordinare sì- punto ordinato UN, coordinare z- punto di applicazione UN. Lo scrivono così: