“Il lettore ha già notato nella nostra presentazione l’uso frequente del concetto “probabilità”.

Questa è una caratteristica della logica moderna in contrapposizione alla logica antica e medievale. Un logico moderno capisce che tutta la nostra conoscenza è solo più o meno probabilistica e non certa, come filosofi e teologi sono abituati a pensare. A lui non interessa particolarmente il fatto che l'inferenza induttiva dia solo probabilità alla sua conclusione, poiché non si aspetta niente di più. Tuttavia, ci penserà se troverà motivo di dubitare anche della probabilità della sua conclusione.

Due problemi hanno quindi acquistato nella logica moderna un’importanza molto maggiore che in passato. Il primo è la natura della probabilità, il secondo il significato dell'induzione. Parliamo brevemente di questi problemi.

Esistono, di conseguenza, due tipi di probabilità: definita e incerta.

La probabilità di un certo tipo si trova nella teoria matematica della probabilità, dove vengono discussi problemi come lanciare dadi o lanciare monete. Si verifica ovunque ci siano più possibilità e nessuna di esse sia da preferire all'altra. Se lanci una moneta, dovrebbe cadere testa o croce, ma entrambe le cose sembrano ugualmente probabili. Pertanto, le probabilità di testa e croce sono del 50%, una è considerata affidabilità. Allo stesso modo, se lanci un dado, questo può atterrare su uno qualsiasi dei sei lati e non c'è motivo di favorirne uno rispetto all'altro, quindi ognuno ha una probabilità di 1/6. Le compagnie di assicurazione utilizzano questo tipo di probabilità nel loro lavoro. Non sanno quale edificio brucerà, ma sanno quale percentuale di edifici brucia ogni anno. Non sanno quanto vivrà una determinata persona, ma conoscono l’aspettativa di vita media in un dato periodo. In tutti questi casi, la stima della probabilità non è di per sé meramente probabile, tranne nel senso in cui tutta la conoscenza è meramente probabile. Una stima di probabilità può essa stessa avere un alto grado di probabilità. Altrimenti le compagnie di assicurazione fallirebbero.

Sono stati fatti grandi sforzi per aumentare la probabilità di induzione, ma c’è motivo di credere che tutti questi tentativi siano stati vani. La probabilità caratteristica delle inferenze induttive è quasi sempre, come ho detto sopra, di natura incerta.

Ora ti spiegherò di cosa si tratta.

È diventato banale affermare che tutta la conoscenza umana è fallibile. È ovvio che gli errori sono diversi. Se lo dico Budda visse nel VI secolo prima della Natività di Cristo, la probabilità di errore sarà molto alta. Se lo dico Cesareè stato ucciso, la probabilità di errore sarà ridotta.

Se dico che adesso è in corso una grande guerra, la probabilità di un errore è così piccola che solo un filosofo o un logico possono ammetterne la presenza. Questi esempi riguardano eventi storici, ma una gradazione simile esiste in relazione alle leggi scientifiche. Alcune di esse hanno il carattere ovvio di ipotesi, alle quali nessuno darà uno status più serio a causa della mancanza di dati empirici a loro favore, mentre altre sembrano così precise che non ci sono praticamente dubbi da parte degli scienziati sulla loro validità. verità. (Quando dico “verità”, intendo “verità approssimativa”, poiché ogni legge scientifica è soggetta a qualche emendamento.)

La probabilità è qualcosa che si trova tra ciò di cui siamo sicuri e ciò che siamo più o meno propensi ad ammettere, se questa parola viene intesa nel senso della teoria matematica della probabilità.

Sarebbe più corretto parlare di gradi di certezza o di affidabilità . Questo è un concetto più ampio di ciò che ho chiamato “certa probabilità”, che è anche più importante”.

Bertrand Russell, L'arte di trarre conclusioni / L'arte di pensare, M., “House of Intellectual Books”, 1999, p. 50-51.

È improbabile che molte persone si chiedano se sia possibile calcolare eventi più o meno casuali. In termini semplici, è possibile sapere quale sarà il prossimo lato del cubo? Fu questa domanda che si posero due grandi scienziati, che gettarono le basi per una scienza come la teoria della probabilità, in cui la probabilità di un evento è studiata in modo abbastanza approfondito.

Origine

Se provi a definire un concetto come teoria della probabilità, otterrai quanto segue: questo è uno dei rami della matematica che studia la costanza degli eventi casuali. Naturalmente, questo concetto non rivela tutta l'essenza, quindi è necessario considerarlo in modo più dettagliato.

Vorrei iniziare con gli ideatori della teoria. Come accennato in precedenza, ce n'erano due e furono uno dei primi a provare a calcolare l'esito di questo o quell'evento utilizzando formule e calcoli matematici. In generale, gli inizi di questa scienza apparvero nel Medioevo. A quel tempo, vari pensatori e scienziati cercarono di analizzare i giochi d'azzardo, come la roulette, il craps e così via, stabilendo così lo schema e la percentuale di un particolare numero che cadeva. La fondazione fu posta nel XVII secolo dagli scienziati sopra menzionati.

Inizialmente, i loro lavori non potevano essere considerati grandi risultati in questo campo, perché tutto ciò che facevano erano semplicemente fatti empirici e gli esperimenti venivano condotti visivamente, senza l'uso di formule. Nel corso del tempo, è stato possibile ottenere grandi risultati, che sono apparsi come risultato dell'osservazione del lancio dei dadi. È stato questo strumento che ha contribuito a ricavare le prime formule intelligibili.

Gente simile mentalmente

È impossibile non menzionare una persona come Christiaan Huygens nel processo di studio di un argomento chiamato "teoria della probabilità" (la probabilità di un evento è coperta proprio da questa scienza). Questa persona è molto interessante. Lui, come gli scienziati presentati sopra, ha cercato di derivare lo schema di eventi casuali sotto forma di formule matematiche. È interessante notare che non lo ha fatto insieme a Pascal e Fermat, cioè tutte le sue opere non si sono intersecate con queste menti. Huygens dedusse

Un fatto interessante è che il suo lavoro è uscito molto prima dei risultati del lavoro degli scopritori, o meglio, vent'anni prima. Tra i concetti individuati, i più famosi sono:

• il concetto di probabilità come valore del caso;
• aspettativa matematica per casi discreti;
• teoremi di moltiplicazione e addizione di probabilità.

È anche impossibile non ricordare chi ha dato un contributo significativo allo studio del problema. Conducendo i propri test, indipendentemente da chiunque, è stato in grado di presentare una dimostrazione della legge dei grandi numeri. A loro volta, gli scienziati Poisson e Laplace, che lavorarono all'inizio del diciannovesimo secolo, riuscirono a dimostrare i teoremi originali. Fu da questo momento che la teoria della probabilità cominciò ad essere utilizzata per analizzare gli errori nelle osservazioni. Gli scienziati russi, o meglio Markov, Chebyshev e Dyapunov, non potevano ignorare questa scienza. Basandosi sul lavoro svolto da grandi geni, stabilirono questa materia come una branca della matematica. Queste figure funzionavano già alla fine dell’Ottocento e grazie al loro contributo furono dimostrati i seguenti fenomeni:

• legge dei grandi numeri;
• Teoria delle catene di Markov;
• teorema del limite centrale.

Quindi, con la storia della nascita della scienza e con le principali persone che l'hanno influenzata, tutto è più o meno chiaro. Ora è giunto il momento di chiarire tutti i fatti.

Concetti basilari

Prima di toccare leggi e teoremi, vale la pena studiare i concetti di base della teoria della probabilità. In esso l'evento gioca un ruolo di primo piano. Questo argomento è piuttosto voluminoso, ma senza di esso non sarà possibile capire tutto il resto.

Un evento nella teoria della probabilità è qualsiasi insieme di risultati di un esperimento. Ci sono parecchi concetti di questo fenomeno. Pertanto, lo scienziato Lotman, che lavora in quest'area, ha affermato che in questo caso stiamo parlando di ciò che "è successo, anche se potrebbe non essere successo".

Gli eventi casuali (la teoria della probabilità presta loro particolare attenzione) è un concetto che implica assolutamente qualsiasi fenomeno che abbia l'opportunità di verificarsi. Oppure, al contrario, questo scenario potrebbe non verificarsi se vengono soddisfatte molte condizioni. Vale anche la pena sapere che sono gli eventi casuali a catturare l'intero volume dei fenomeni che si sono verificati. La teoria della probabilità indica che tutte le condizioni possono ripetersi costantemente. È la loro condotta che si chiama “esperienza” o “prova”.

Un evento affidabile è un fenomeno che ha il 100% di probabilità di verificarsi in un dato test. Di conseguenza, un evento impossibile è quello che non accadrà.

La combinazione di una coppia di azioni (condizionatamente, caso A e caso B) è un fenomeno che si verifica simultaneamente. Sono designati come AB.

La somma delle coppie di eventi A e B è C, in altre parole, se si verifica almeno uno di essi (A o B), allora si otterrà C. La formula per il fenomeno descritto è scritta come segue: C = A + B.

Gli eventi incongruenti nella teoria della probabilità implicano che due casi si escludano a vicenda. In nessun caso possono verificarsi contemporaneamente. Gli eventi congiunti nella teoria della probabilità sono il loro antipodo. Ciò che si intende qui è che se A accadesse, ciò non impedirebbe in alcun modo B.

Gli eventi opposti (la teoria della probabilità li considera in grande dettaglio) sono facili da capire. Il modo migliore per capirli è il confronto. Sono quasi uguali agli eventi incompatibili nella teoria della probabilità. Ma la loro differenza sta nel fatto che in ogni caso deve verificarsi uno dei tanti fenomeni.

Eventi ugualmente probabili sono quelle azioni la cui ripetizione è uguale. Per renderlo più chiaro, puoi immaginare di lanciare una moneta: la perdita di uno dei suoi lati ha la stessa probabilità di cadere dall'altro.

È più facile considerare un evento di buon auspicio con un esempio. Diciamo che ci sono un episodio B e un episodio A. Il primo è il lancio dei dadi con un numero dispari, il secondo è l'apparizione del numero cinque sul dado. Allora risulta che A favorisce B.

Gli eventi indipendenti nella teoria della probabilità vengono proiettati solo su due o più casi e implicano l'indipendenza di qualsiasi azione da un'altra. Ad esempio, A è la perdita di testa quando si lancia una moneta e B è l'estrazione di un jack dal mazzo. Sono eventi indipendenti nella teoria della probabilità. A questo punto è diventato più chiaro.

Anche gli eventi dipendenti nella teoria della probabilità sono ammessi solo per un insieme di essi. Implicano la dipendenza dell'uno dall'altro, cioè il fenomeno B può verificarsi solo se A è già accaduto o, al contrario, non è avvenuto, quando questa è la condizione principale per B.

Il risultato di un esperimento casuale costituito da un componente sono eventi elementari. La teoria della probabilità spiega che questo è un fenomeno accaduto una sola volta.

Formule di base

Quindi, i concetti di "evento" e "teoria della probabilità" sono stati discussi sopra; è stata anche data una definizione dei termini di base di questa scienza. Ora è il momento di conoscere direttamente le formule importanti. Queste espressioni confermano matematicamente tutti i concetti principali in un argomento così complesso come la teoria della probabilità. Anche qui la probabilità di un evento gioca un ruolo enorme.

È meglio iniziare con quelli di base e prima di iniziare con loro, vale la pena considerare cosa sono.

La combinatoria è principalmente una branca della matematica; si occupa dello studio di un numero enorme di numeri interi, nonché di varie permutazioni sia dei numeri stessi che dei loro elementi, di vari dati, ecc., Che portano alla comparsa di un numero di combinazioni. Oltre alla teoria della probabilità, questo ramo è importante per la statistica, l'informatica e la crittografia.

Quindi, ora possiamo passare alla presentazione delle formule stesse e alla loro definizione.

Il primo di essi sarà l'espressione per il numero di permutazioni, assomiglia a questo:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

L'equazione viene applicata solo se gli elementi differiscono solo nell'ordine della loro disposizione.

Ora verrà presa in considerazione la formula di posizionamento, che assomiglia a questa:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Questa espressione è applicabile non solo all'ordine di posizionamento dell'elemento, ma anche alla sua composizione.

La terza equazione della combinatoria, ed è anche l'ultima, si chiama formula per il numero di combinazioni:

C_n^m = n! : ((n - m))! :M!

Una combinazione si riferisce a selezioni non ordinate, pertanto ad esse si applica questa regola.

Era facile comprendere le formule combinatorie; ora puoi passare alla definizione classica di probabilità. Questa espressione assomiglia a questa:

In questa formula, m è il numero di condizioni favorevoli all'evento A, e n è il numero di tutti i risultati ugualmente possibili ed elementari.

Esistono moltissime espressioni; l'articolo non le tratterà tutte, ma verranno toccate quelle più importanti, come, ad esempio, la probabilità della somma degli eventi:

P(A + B) = P(A) + P(B) - questo teorema serve ad aggiungere solo eventi incompatibili;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - e questo serve per aggiungere solo quelli compatibili.

Probabilità che si verifichino eventi:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - questo teorema vale per eventi indipendenti;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - e questo è per il dipendente.

L'elenco degli eventi sarà completato dalla formula degli eventi. La teoria della probabilità ci parla del teorema di Bayes, che assomiglia a questo:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., N

In questa formula, H 1, H 2, ..., H n è un gruppo completo di ipotesi.

Esempi

Se studi attentamente qualsiasi sezione della matematica, non è completa senza esercizi e soluzioni di esempio. Lo stesso vale per la teoria della probabilità: eventi ed esempi qui sono una componente integrale che conferma i calcoli scientifici.

Formula per il numero di permutazioni

Diciamo che ci sono trenta carte in un mazzo di carte, a partire da un valore pari a uno. Prossima domanda. Quanti modi ci sono per impilare il mazzo in modo che le carte con valore uno e due non siano una accanto all'altra?

Il compito è stato impostato, ora passiamo a risolverlo. Per prima cosa devi determinare il numero di permutazioni di trenta elementi, per questo prendiamo la formula presentata sopra, risulta P_30 = 30!.

Sulla base di questa regola, scopriamo quante opzioni ci sono per piegare il mazzo in modi diversi, ma dobbiamo sottrarre da esse quelle in cui la prima e la seconda carta sono una accanto all'altra. Per fare ciò, iniziamo con l'opzione quando il primo è superiore al secondo. Risulta che la prima carta può occupare ventinove posti, dal primo al ventinovesimo, e la seconda carta dal secondo al trentesimo, per un totale di ventinove posti per una coppia di carte. A loro volta, gli altri possono accettare ventotto posti e in qualsiasi ordine. Cioè, per riordinare ventotto carte, ci sono ventotto opzioni P_28 = 28!

Di conseguenza, se consideriamo la soluzione in cui la prima carta è sopra la seconda, ci saranno 29 ⋅ 28 possibilità extra! = 29!

Utilizzando lo stesso metodo, è necessario calcolare il numero di opzioni ridondanti nel caso in cui la prima carta sia sotto la seconda. Risulta anche essere 29 ⋅ 28! = 29!

Ne consegue che ci sono 2 ⋅ 29 opzioni extra!, mentre i modi necessari per assemblare un mazzo sono 30! - 2 ⋅ 29!. Non resta che contare.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Ora devi moltiplicare tutti i numeri da uno a ventinove e infine moltiplicare tutto per 28. La risposta è 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Soluzione di esempio. Formula per il numero di posizionamento

In questo problema, devi scoprire quanti modi ci sono per mettere quindici volumi su uno scaffale, a condizione che ci siano trenta volumi in totale.

La soluzione a questo problema è un po’ più semplice della precedente. Utilizzando la formula già nota, è necessario calcolare il numero totale di arrangiamenti di trenta volumi su quindici.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

La risposta, di conseguenza, sarà pari a 202.843.204.931.727.360.000.

Ora prendiamo un compito leggermente più difficile. Devi scoprire quanti modi ci sono per disporre trenta libri su due scaffali, dato che uno scaffale può contenere solo quindici volumi.

Prima di iniziare la soluzione, vorrei chiarire che alcuni problemi possono essere risolti in diversi modi, e questo ha due metodi, ma entrambi utilizzano la stessa formula.

In questo problema puoi prendere la risposta dal precedente, perché lì abbiamo calcolato quante volte puoi riempire uno scaffale con quindici libri in modi diversi. Risultò A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Calcoleremo il secondo scaffale utilizzando la formula di permutazione, perché al suo interno si possono inserire quindici libri, mentre ne rimangono solo quindici. Usiamo la formula P_15 = 15!.

Si scopre che il totale sarà A_30^15 ⋅ P_15 modi, ma, oltre a questo, il prodotto di tutti i numeri da trenta a sedici dovrà essere moltiplicato per il prodotto dei numeri da uno a quindici, alla fine si otterrà il prodotto di tutti i numeri da uno a trenta, ovvero la risposta è uguale a 30!

Ma questo problema può essere risolto in un altro modo: più semplice. Per fare questo, puoi immaginare che ci sia uno scaffale per trenta libri. Sono tutti posizionati su questo piano, ma poiché la condizione richiede che ci siano due scaffali, ne abbiamo visto uno lungo a metà, quindi ne otteniamo due su quindici. Da ciò risulta che ci possono essere P_30 = 30 opzioni per la disposizione!.

Soluzione di esempio. Formula per il numero di combinazione

Considereremo ora una versione del terzo problema della combinatoria. È necessario scoprire quanti modi esistono per disporre quindici libri, a patto di sceglierne tra trenta assolutamente identici.

Per risolvere, ovviamente, verrà applicata la formula del numero di combinazioni. Dalla condizione diventa chiaro che l'ordine dei quindici libri identici non è importante. Pertanto, inizialmente è necessario scoprire il numero totale di combinazioni di trenta libri su quindici.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! :15! = 155 117 520

È tutto. Utilizzando questa formula siamo riusciti a risolvere questo problema nel più breve tempo possibile; la risposta, di conseguenza, è 155.117.520.

Soluzione di esempio. Definizione classica di probabilità

Utilizzando la formula sopra, puoi trovare la risposta a un semplice problema. Ma questo aiuterà a vedere e monitorare chiaramente lo stato di avanzamento delle azioni.

Il problema afferma che nell'urna ci sono dieci palline assolutamente identiche. Di questi, quattro sono gialli e sei sono blu. Si prende una pallina dall'urna. Devi scoprire la probabilità di diventare blu.

Per risolvere il problema, è necessario designare l'ottenimento della pallina blu come evento A. Questo esperimento può avere dieci risultati, che, a loro volta, sono elementari e ugualmente possibili. Allo stesso tempo, su dieci, sei sono favorevoli all'evento A. Risolviamo utilizzando la formula:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Applicando questa formula, abbiamo appreso che la probabilità di ottenere la pallina blu è 0,6.

Soluzione di esempio. Probabilità della somma degli eventi

Verrà ora presentata un'opzione che viene risolta utilizzando la formula della probabilità della somma degli eventi. Quindi, la condizione è che ci siano due scatole, la prima contenga una pallina grigia e cinque bianche, e la seconda contenga otto palline grigie e quattro bianche. Di conseguenza, ne presero uno dalla prima e dalla seconda scatola. Devi scoprire qual è la probabilità che le palline che otterrai siano grigie e bianche.

Per risolvere questo problema, è necessario identificare gli eventi.

• Quindi, A - ha preso una pallina grigia dalla prima casella: P(A) = 1/6.
• A’ - ha preso una pallina bianca anche dalla prima casella: P(A") = 5/6.
• B - dalla seconda casella è stata rimossa una pallina grigia: P(B) = 2/3.
• B’ - ha preso una pallina grigia dalla seconda casella: P(B") = 1/3.

A seconda delle condizioni del problema è necessario che si verifichi uno dei fenomeni: AB’ o A’B. Usando la formula, otteniamo: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Ora è stata utilizzata la formula per moltiplicare la probabilità. Successivamente, per trovare la risposta, è necessario applicare l'equazione della loro addizione:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Ecco come puoi risolvere problemi simili usando la formula.

Linea di fondo

L'articolo presentava informazioni sul tema "Teoria della probabilità", in cui la probabilità di un evento gioca un ruolo fondamentale. Naturalmente, non tutto è stato preso in considerazione, ma, sulla base del testo presentato, puoi teoricamente familiarizzare con questa sezione della matematica. La scienza in questione può essere utile non solo in ambito professionale, ma anche nella vita di tutti i giorni. Con il suo aiuto, puoi calcolare qualsiasi possibilità di qualsiasi evento.

Il testo toccava anche date significative nella storia della formazione della teoria della probabilità come scienza e i nomi delle persone il cui lavoro vi era investito. È così che la curiosità umana ha portato al fatto che le persone hanno imparato a calcolare anche eventi casuali. Una volta interessavano semplicemente a questo, ma oggi lo sanno già tutti. E nessuno dirà cosa ci aspetta in futuro, quali altre brillanti scoperte verranno fatte legate alla teoria in esame. Ma una cosa è certa: la ricerca non si ferma!

Quando viene lanciata una moneta, possiamo dire che atterrerà a testa in su, oppure probabilità questo è 1/2. Naturalmente, questo non significa che se una moneta viene lanciata 10 volte, uscirà necessariamente testa 5 volte. Se la moneta è "giusta" e viene lanciata molte volte, la testa cadrà molto vicina nella metà delle volte. Esistono quindi due tipi di probabilità: sperimentale E teorico .

Probabilità sperimentale e teorica

Se lanciamo una moneta un gran numero di volte – diciamo 1000 – e contiamo quante volte esce testa, possiamo determinare la probabilità che esca testa. Se la testa viene lanciata 503 volte, possiamo calcolare la probabilità che cada:
503/1000, o 0,503.

Questo sperimentale definizione di probabilità. Questa definizione di probabilità deriva dall'osservazione e dallo studio dei dati ed è abbastanza comune e molto utile. Ecco, ad esempio, alcune probabilità determinate sperimentalmente:

1. La probabilità che una donna sviluppi un cancro al seno è 1/11.

2. Se baci qualcuno che ha il raffreddore, la probabilità che anche tu prenderai il raffreddore è 0,07.

3. Una persona appena uscita di prigione ha l'80% di possibilità di tornare in prigione.

Se consideriamo il lancio di una moneta e tenendo conto che è altrettanto probabile che esca testa o croce, possiamo calcolare la probabilità che esca testa: 1/2: questa è una definizione teorica di probabilità. Ecco alcune altre probabilità che sono state determinate teoricamente utilizzando la matematica:

1. Se in una stanza ci sono 30 persone, la probabilità che due di loro compiano lo stesso compleanno (anno escluso) è 0,706.

2. Durante un viaggio incontri qualcuno e durante la conversazione scopri di avere un amico in comune. Reazione tipica: “Non può essere!” In realtà, questa frase non è adatta, perché la probabilità di un tale evento è piuttosto alta, poco più del 22%.

Pertanto, le probabilità sperimentali vengono determinate attraverso l'osservazione e la raccolta di dati. Le probabilità teoriche sono determinate attraverso il ragionamento matematico. Esempi di probabilità sperimentali e teoriche, come quelli discussi sopra, e soprattutto quelli che non ci aspettiamo, ci portano all'importanza dello studio della probabilità. Potresti chiedere: "Cos'è la vera probabilità?" In realtà, non esiste una cosa del genere. Le probabilità entro certi limiti possono essere determinate sperimentalmente. Possono coincidere o meno con le probabilità che otteniamo teoricamente. Ci sono situazioni in cui è molto più semplice determinare un tipo di probabilità piuttosto che un altro. Ad esempio, sarebbe sufficiente trovare la probabilità di prendere un raffreddore utilizzando la probabilità teorica.

Calcolo delle probabilità sperimentali

Consideriamo innanzitutto la definizione sperimentale di probabilità. Il principio di base che utilizziamo per calcolare tali probabilità è il seguente.

Principio P (sperimentale)

Se in un esperimento in cui vengono effettuate n osservazioni, una situazione o un evento E si verifica m volte in n osservazioni, allora la probabilità sperimentale dell'evento si dice che sia P (E) = m/n.

Esempio 1 Indagine sociologica. È stato condotto uno studio sperimentale per determinare il numero di mancini, destrimani e persone le cui entrambe le mani hanno lo stesso sviluppo. I risultati sono mostrati nel grafico.

a) Determinare la probabilità che la persona sia destrimane.

b) Determinare la probabilità che la persona sia mancina.

c) Determinare la probabilità che una persona parli ugualmente fluentemente entrambe le mani.

d) La maggior parte dei tornei della Professional Bowling Association sono limitati a 120 giocatori. Sulla base dei dati di questo esperimento, quanti giocatori potrebbero essere mancini?

Soluzione

a) Il numero di persone destre è 82, il numero di mancini è 17 e il numero di coloro che parlano altrettanto bene entrambe le mani è 1. Il numero totale di osservazioni è 100. Pertanto, la probabilità che una persona sia destrorsa è P
P = 82/100, o 0,82, o 82%.

b) La probabilità che una persona sia mancina è P, dove
P = 17/100, o 0,17, o 17%.

c) La probabilità che una persona parli ugualmente fluentemente entrambe le mani è P, dove
P = 1/100, o 0,01, o 1%.

d) 120 giocatori di bowling, e da (b) possiamo aspettarci che il 17% siano mancini. Da qui
17% di 120 = 0.17.120 = 20,4,
cioè, possiamo aspettarci che circa 20 giocatori siano mancini.

Esempio 2 Controllo di qualità . È molto importante per un produttore mantenere la qualità dei suoi prodotti ad un livello elevato. In effetti, le aziende assumono ispettori del controllo qualità per garantire questo processo. L’obiettivo è produrre il minor numero possibile di prodotti difettosi. Ma poiché l’azienda produce migliaia di prodotti ogni giorno, non può permettersi di testare ogni prodotto per determinare se è difettoso o meno. Per scoprire quale percentuale di prodotti è difettosa, l’azienda testa molti meno prodotti.
L'USDA richiede che l'80% dei semi venduti dai coltivatori debbano germinare. Per determinare la qualità dei semi che produce un'azienda agricola, vengono piantati 500 semi tra quelli prodotti. Successivamente si calcolò che germogliarono 417 semi.

a) Qual è la probabilità che il seme germini?

b) I semi soddisfano gli standard governativi?

Soluzione a) Sappiamo che su 500 semi piantati ne sono germogliati 417. Probabilità di germinazione dei semi P, e
P = 417/500 = 0,834, o 83,4%.

b) Poiché la percentuale di semi germinati ha superato l'80% come richiesto, i semi soddisfano gli standard governativi.

Esempio 3 Ascolti televisivi. Secondo le statistiche, negli Stati Uniti ci sono 105.500.000 famiglie dotate di televisione. Ogni settimana vengono raccolte ed elaborate informazioni sulla visione dei programmi. In una settimana, 7.815.000 famiglie si sono sintonizzate sulla serie comica di successo "Everybody Loves Raymond" sulla CBS e 8.302.000 famiglie si sono sintonizzate sulla serie di successo "Law & Order" sulla NBC (Fonte: Nielsen Media Research). Qual è la probabilità che la TV di una famiglia sia sintonizzata su "Tutti amano Raymond" durante una determinata settimana? su "Law & Order"?

Soluzione La probabilità che la TV di una famiglia sia sintonizzata su "Tutti amano Raymond" è P, e
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
La possibilità che la TV di casa fosse sintonizzata su Law & Order è P, e
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Queste percentuali sono chiamate rating.

Probabilità teorica

Supponiamo di condurre un esperimento, come lanciare una moneta o delle freccette, pescare una carta da un mazzo o testare la qualità dei prodotti su una catena di montaggio. Viene chiamato ogni possibile risultato di un tale esperimento Esodo . Viene chiamato l'insieme di tutti i possibili risultati spazio dei risultati . Evento è un insieme di risultati, cioè un sottoinsieme dello spazio dei risultati.

Esempio 4 Lanciare freccette. Supponiamo che in un esperimento di lancio di una freccetta, una freccetta colpisca un bersaglio. Trova ciascuno dei seguenti:

b) Spazio dei risultati

Soluzione
a) I risultati sono: colpire il nero (B), colpire il rosso (R) e colpire il bianco (B).

b) Lo spazio dei risultati è (colpire il nero, colpire il rosso, colpire il bianco), che può essere scritto semplicemente come (H, K, B).

Esempio 5 Lancio di dadi. Un dado è un cubo con sei lati, ciascuno con da uno a sei punti su di esso.


Supponiamo di lanciare un dado. Trovare
a) Risultati
b) Spazio dei risultati

Soluzione
a) Risultati: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Spazio dei risultati (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Indichiamo la probabilità che un evento E si verifichi come P(E). Ad esempio, “la moneta esce testa” può essere indicato con H. Quindi P(H) rappresenta la probabilità che la moneta esca testa. Quando tutti i risultati di un esperimento hanno la stessa probabilità di verificarsi, si dicono che hanno la stessa probabilità. Per vedere le differenze tra eventi ugualmente probabili ed eventi che non lo sono, considera l'obiettivo mostrato di seguito.

Per il bersaglio A, gli eventi in cui viene colpito il nero, il rosso e il bianco sono ugualmente probabili, poiché i settori nero, rosso e bianco sono gli stessi. Tuttavia, per il bersaglio B, le zone con questi colori non sono le stesse, cioè colpirle non è ugualmente probabile.

Principio P (teorico)

Se un evento E può accadere in m modi tra n possibili risultati ugualmente probabili dallo spazio dei risultati S, allora probabilità teorica eventi, P(E) è
P(E) = m/n.

Esempio 6 Qual è la probabilità che lanciando un dado esca 3?

Soluzione Ci sono 6 risultati ugualmente probabili su un dado e c'è solo una possibilità di far uscire il numero 3. Allora la probabilità P sarà P(3) = 1/6.

Esempio 7 Qual è la probabilità che su un dado esca un numero pari?

Soluzione L'evento è il lancio di un numero pari. Questo può accadere in 3 modi (se ottieni 2, 4 o 6). Il numero di risultati ugualmente probabili è 6. Quindi la probabilità P(pari) = 3/6 o 1/2.

Utilizzeremo una serie di esempi che coinvolgono un mazzo standard da 52 carte. Questo mazzo è composto dalle carte mostrate nella figura seguente.

Esempio 8 Qual è la probabilità di estrarre un asso da un mazzo di carte ben mescolato?

Soluzione Ci sono 52 risultati (il numero di carte nel mazzo), sono ugualmente probabili (se il mazzo è ben mescolato) e ci sono 4 modi per pescare un asso, quindi secondo il principio P, la probabilità
P(pesca un asso) = 4/52 o 1/13.

Esempio 9 Supponiamo di scegliere, senza guardare, una pallina da un sacchetto con 3 palline rosse e 4 palline verdi. Qual è la probabilità di scegliere una pallina rossa?

Soluzione Ci sono 7 risultati ugualmente probabili nell'estrarre una pallina qualsiasi, e poiché il numero di modi per estrarre una pallina rossa è 3, otteniamo
P (selezione della pallina rossa) = 3/7.

Le seguenti affermazioni sono il risultato del Principio P.

Proprietà della probabilità

a) Se l'evento E non può verificarsi, allora P(E) = 0.
b) Se l'evento E è certo che accadrà allora P(E) = 1.
c) La probabilità che si verifichi l'evento E è un numero da 0 a 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Ad esempio, nel lancio di una moneta, l'evento che la moneta cada sul bordo ha probabilità zero. La probabilità che una moneta sia testa o croce ha una probabilità pari a 1.

Esempio 10 Supponiamo che vengano estratte 2 carte da un mazzo di 52 carte. Qual è la probabilità che entrambi siano picchi?

Soluzione Il numero n di modi per pescare 2 carte da un mazzo di 52 carte ben mescolato è 52 C 2 . Poiché 13 delle 52 carte sono di picche, il numero di modi m per pescare 2 carte di picche è 13 C 2 . Poi,
P(tirando 2 picchi) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Esempio 11 Supponiamo che 3 persone vengano selezionate casualmente da un gruppo di 6 uomini e 4 donne. Qual è la probabilità che vengano selezionati 1 uomo e 2 donne?

Soluzione Il numero di modi per selezionare tre persone da un gruppo di 10 persone è 10 C 3. Un uomo può essere scelto in 6 modi C 1 e 2 donne possono essere scelte in 4 modi C 2. Secondo il principio fondamentale del conteggio, il numero di modi per scegliere 1 uomo e 2 donne è 6 C 1. 4C2. Quindi, la probabilità che vengano selezionati 1 uomo e 2 donne è
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Esempio 12 Lancio di dadi. Qual è la probabilità di ottenere un totale di 8 su due dadi?

Soluzione Ogni dado ha 6 possibili risultati. I risultati sono raddoppiati, il che significa che ci sono 6,6 o 36 modi possibili in cui possono apparire i numeri sui due dadi. (È meglio se i cubi sono diversi, diciamo che uno è rosso e l'altro è blu: questo aiuterà a visualizzare il risultato.)

Le coppie di numeri la cui somma dà come risultato 8 sono mostrate nella figura seguente. Esistono 5 modi possibili per ottenere una somma pari a 8, quindi la probabilità è 5/36.

In economia, come in altri ambiti dell’attività umana o della natura, dobbiamo costantemente confrontarci con eventi che non possono essere previsti con precisione. Pertanto, il volume delle vendite di un prodotto dipende dalla domanda, che può variare in modo significativo, e da una serie di altri fattori che è quasi impossibile prendere in considerazione. Pertanto, quando si organizza la produzione e si effettuano le vendite, è necessario prevedere il risultato di tali attività sulla base della propria esperienza precedente, o di esperienze simili di altre persone, o dell'intuizione, che in larga misura si basa anche su dati sperimentali.

Per valutare in qualche modo l'evento in questione, è necessario tenere conto o organizzare appositamente le condizioni in cui viene registrato questo evento.

Viene chiamata l'implementazione di determinate condizioni o azioni per identificare l'evento in questione esperienza O sperimentare.

L'evento è chiamato casuale, se in seguito all'esperienza ciò può o meno verificarsi.

L'evento è chiamato affidabile, se appare necessariamente come risultato di una determinata esperienza, e impossibile, se non può apparire in questa esperienza.

Ad esempio, la nevicata a Mosca il 30 novembre è un evento casuale. L'alba quotidiana può essere considerata un evento affidabile. Le nevicate all'equatore possono essere considerate un evento impossibile.

Uno dei compiti principali della teoria della probabilità è il compito di determinare una misura quantitativa della possibilità che si verifichi un evento.

Algebra degli eventi

Gli eventi si dicono incompatibili se non possono essere osservati insieme nella stessa esperienza. Pertanto, la presenza di due e tre automobili nello stesso negozio in vendita contemporaneamente sono due eventi incompatibili.

Quantità eventi è un evento consistente nel verificarsi di almeno uno di questi eventi

Un esempio di somma di eventi è la presenza di almeno uno dei due prodotti nel negozio.

Il lavoro events è un evento costituito dal verificarsi simultaneo di tutti questi eventi

Un evento consistente nella comparsa contemporanea di due beni in un negozio è il prodotto di eventi: - la comparsa di un prodotto, - la comparsa di un altro prodotto.

Gli eventi formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi è sicuro che si verifichi nell'esperienza.

Esempio. Il porto dispone di due ormeggi per la ricezione delle navi. Si possono considerare tre eventi: - l'assenza di navi agli ormeggi, - la presenza di una nave ad uno degli ormeggi, - la presenza di due navi a due ormeggi. Questi tre eventi formano un gruppo completo di eventi.

Opposto vengono chiamati due unici eventi possibili che formano un gruppo completo.

Se uno degli eventi opposti è indicato con , allora l'evento opposto è solitamente indicato con .

Definizioni classiche e statistiche di probabilità degli eventi

Ciascuno dei risultati ugualmente possibili dei test (esperimenti) è chiamato risultato elementare. Di solito sono designati da lettere. Ad esempio, viene lanciato un dado. Possono esserci un totale di sei risultati elementari in base al numero di punti sui lati.

Da risultati elementari è possibile creare un evento più complesso. Pertanto, l'evento di un numero pari di punti è determinato da tre risultati: 2, 4, 6.

Una misura quantitativa della possibilità che si verifichi l'evento in questione è la probabilità.

Le definizioni più utilizzate della probabilità di un evento sono: classico E statistico.

La definizione classica di probabilità è associata al concetto di esito favorevole.

Il risultato è chiamato favorevole ad un dato evento se il suo verificarsi comporta il verificarsi di questo evento.

Nell'esempio sopra, l'evento in questione – un numero pari di punti sul lato lanciato – ha tre risultati favorevoli. In questo caso, il generale
numero di possibili risultati. Ciò significa che qui può essere utilizzata la definizione classica di probabilità di un evento.

Definizione classicaè uguale al rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero totale di esiti possibili

dove è la probabilità dell'evento, è il numero di esiti favorevoli all'evento, è il numero totale di esiti possibili.

Nell'esempio considerato

La definizione statistica di probabilità è associata al concetto di frequenza relativa di occorrenza di un evento negli esperimenti.

La frequenza relativa del verificarsi di un evento viene calcolata utilizzando la formula

dove è il numero di occorrenze di un evento in una serie di esperimenti (test).

Definizione statistica. La probabilità di un evento è il numero attorno al quale si stabilizza (si fissa) la relativa frequenza con un aumento illimitato del numero di esperimenti.

Nei problemi pratici, la probabilità di un evento viene considerata la frequenza relativa di un numero sufficientemente ampio di prove.

Da queste definizioni della probabilità di un evento è chiaro che la disuguaglianza è sempre soddisfatta

Per determinare la probabilità di un evento in base alla formula (1.1), vengono spesso utilizzate formule combinatorie, che vengono utilizzate per trovare il numero di risultati favorevoli e il numero totale di risultati possibili.

Definizione classica e statistica di probabilità

Per le attività pratiche è necessario essere in grado di confrontare gli eventi in base al grado di possibilità che si verifichino. Consideriamo un caso classico. Nell'urna ci sono 10 palline, 8 bianche e 2 nere. Ovviamente, l'evento “dall'urna verrà estratta una pallina bianca” e l'evento “dall'urna verrà estratta una pallina nera” hanno diversi gradi di possibilità che si verifichino. Pertanto, per confrontare gli eventi, è necessaria una certa misura quantitativa.

Una misura quantitativa della possibilità che un evento si verifichi è probabilità . Le definizioni più utilizzate della probabilità di un evento sono quella classica e quella statistica.

Definizione classica la probabilità è associata al concetto di esito favorevole. Diamo un'occhiata a questo in modo più dettagliato.

Supponiamo che i risultati di alcuni test formino un gruppo completo di eventi e siano ugualmente possibili, ad es. unicamente possibile, incompatibile e ugualmente possibile. Tali risultati sono chiamati risultati elementari, O casi. Si dice che il test si riduce a diagramma del caso O " schema dell'urna", Perché Qualsiasi problema di probabilità per un test di questo tipo può essere sostituito da un problema equivalente con urne e palline di diversi colori.

Il risultato è chiamato favorevole evento UN, se il verificarsi di tale ipotesi comporta il verificarsi dell'evento UN.

Secondo la definizione classica probabilità di un evento A è uguale al rapporto tra il numero di esiti favorevoli a questo evento e il numero totale di esiti, cioè.

,

(1.1)

Dove PAPÀ)– probabilità dell'evento UN; M– numero di casi favorevoli all’evento UN; N– numero totale di casi.

Esempio 1.1. Quando si lancia un dado ci sono sei possibili risultati: 1, 2, 3, 4, 5, 6 punti. Qual è la probabilità di ottenere un numero pari di punti?

Soluzione. Tutto N= 6 risultati formano un gruppo completo di eventi e sono ugualmente possibili, cioè unicamente possibile, incompatibile e ugualmente possibile. L'evento A - “la comparsa di un numero pari di punti” - è favorito da 3 esiti (casi) - la perdita di 2, 4 o 6 punti. Usando la formula classica per la probabilità di un evento, otteniamo

PAPÀ) = = . ◄

Basandosi sulla definizione classica della probabilità di un evento, notiamo le sue proprietà:

1. La probabilità di qualsiasi evento è compresa tra zero e uno, cioè

0 ≤ R(UN) ≤ 1.

2. La probabilità di un evento affidabile è pari a uno.

3. La probabilità di un evento impossibile è zero.

Come affermato in precedenza, la definizione classica di probabilità è applicabile solo per quegli eventi che possono verificarsi come risultato di test che hanno simmetria dei possibili risultati, vale a dire riducibile a uno schema di casi. Tuttavia, esiste un’ampia classe di eventi le cui probabilità non possono essere calcolate utilizzando la definizione classica.

Ad esempio, se assumiamo che la moneta sia appiattita, allora è ovvio che gli eventi “apparizione di uno stemma” e “apparizione di teste” non possono essere considerati ugualmente possibili. Pertanto, in questo caso la formula per determinare la probabilità secondo lo schema classico non è applicabile.

Tuttavia, esiste un altro approccio per stimare la probabilità degli eventi, basato sulla frequenza con cui un dato evento si verificherà nelle prove eseguite. In questo caso viene utilizzata la definizione statistica di probabilità.

Probabilità statistical'evento A è la frequenza relativa (frequenza) del verificarsi di questo evento in n prove eseguite, vale a dire

,

(1.2)

Dove PAPÀ)– probabilità statistica di un evento UN; w(A)– frequenza relativa dell'evento UN; M– numero di prove in cui si è verificato l'evento UN; N– numero totale di test.

A differenza della probabilità matematica PAPÀ), considerata nella definizione classica, probabilità statistica PAPÀ)è una caratteristica esperto, sperimentale. In altre parole, la probabilità statistica di un evento UNè il numero attorno al quale si stabilizza (imposta) la frequenza relativa w(A) con un aumento illimitato del numero di prove effettuate nelle stesse condizioni.

Ad esempio, quando si dice di un tiratore che colpisce il bersaglio con una probabilità di 0,95, ciò significa che su centinaia di colpi sparati da lui in determinate condizioni (lo stesso bersaglio alla stessa distanza, lo stesso fucile, ecc. . ), in media ce ne sono circa 95 di successo. Naturalmente, non ogni cento avranno 95 tiri riusciti, a volte ce ne saranno meno, a volte di più, ma in media, con più ripetizioni di tiro nelle stesse condizioni, questa percentuale di colpi rimarrà invariata. La cifra di 0,95, che serve come indicatore dell'abilità del tiratore, di solito è molto stabile, cioè. la percentuale di colpi a segno nella maggior parte dei tiri sarà quasi la stessa per un dato tiratore, solo in rari casi deviando significativamente dal suo valore medio.

Un altro svantaggio della definizione classica di probabilità ( 1.1 ) che ne limita l'uso è che presuppone un numero finito di possibili risultati del test. In alcuni casi, questo svantaggio può essere superato utilizzando una definizione geometrica di probabilità, ad es. trovare la probabilità che un punto cada in una determinata area (segmento, parte di un piano, ecc.).

Lasciamo la figura piatta G fa parte di una figura piatta G(Fig. 1.1). Adatto G viene lanciato un punto a caso. Ciò significa che tutti i punti della regione G“pari diritti” rispetto al fatto che un punto casuale lanciato lo colpisca. Supponendo che la probabilità di un evento UN– il punto lanciato colpisce la figura G– è proporzionale all’area di questa figura e non dipende dalla sua posizione rispetto a G, né dal modulo G, troveremo