Conversione del grafico.
Descrizione verbale della funzione.
Modo grafico.
Il modo grafico di specificare una funzione è il più illustrativo ed è spesso utilizzato in ingegneria. Nell'analisi matematica, il modo grafico di specificare le funzioni viene utilizzato come illustrazione.
Grafico delle funzioni f è l'insieme di tutti i punti (x; y) del piano coordinato, dove y=f(x), e x “percorre” l'intero dominio della funzione data.
Un sottoinsieme del piano delle coordinate è un grafico di una funzione se ha al massimo un punto in comune con qualsiasi retta parallela all'asse Oy.
Esempio. Le figure sotto i grafici sono delle funzioni?
Il vantaggio di un compito grafico è la sua chiarezza. Puoi vedere immediatamente come si comporta la funzione, dove aumenta, dove diminuisce. Dal grafico, puoi immediatamente scoprire alcune importanti caratteristiche della funzione.
In generale, i modi analitici e grafici per definire una funzione vanno di pari passo. Lavorare con la formula aiuta a costruire un grafico. E il grafico spesso suggerisce soluzioni che non noterai nella formula.
Quasi tutti gli studenti conoscono i tre modi per definire una funzione che abbiamo appena trattato.
Proviamo a rispondere alla domanda: "Esistono altri modi per definire una funzione?"
C'è un modo.
Una funzione può essere definita in modo del tutto inequivocabile a parole.
Ad esempio, la funzione y=2x può essere definita dalla seguente descrizione verbale: ad ogni valore reale dell'argomento x viene assegnato il suo valore raddoppiato. La regola è impostata, la funzione è impostata.
Inoltre, è possibile specificare verbalmente una funzione, che è estremamente difficile, se non impossibile, specificare con una formula.
Ad esempio: ogni valore dell'argomento naturale x è associato alla somma delle cifre che compongono il valore di x. Ad esempio, se x=3, allora y=3. Se x=257, allora y=2+5+7=14. E così via. È difficile scriverlo in una formula. Ma il tavolo è facile da fare.
Il metodo della descrizione verbale è un metodo usato piuttosto raramente. Ma a volte succede.
Se esiste una legge di corrispondenza biunivoca tra x e y, allora esiste una funzione. Quale legge, in quale forma è espressa - da una formula, tavoletta, grafico, parole - non cambia l'essenza della questione.
Considera le funzioni i cui domini di definizione sono simmetrici rispetto all'origine delle coordinate, cioè per chiunque X numero fuori ambito (- X) appartiene anche al dominio della definizione. Tra queste funzioni ci sono pari e dispari.
Definizione. Viene chiamata la funzione f Anche, se per qualsiasi X fuori dal suo dominio
Esempio. Considera la funzione 
Lei è pari. Controlliamolo.
Per chiunque X le uguaglianze
Pertanto, entrambe le condizioni sono soddisfatte per noi, il che significa che la funzione è pari. Di seguito è riportato un grafico di questa funzione.
Definizione. Viene chiamata la funzione f strano, se per qualsiasi X fuori dal suo dominio 
Esempio. Considera la funzione 
Lei è strana. Controlliamolo.
Il dominio di definizione è l'intero asse numerico, il che significa che è simmetrico rispetto al punto (0; 0).
Per chiunque X le uguaglianze
Pertanto, entrambe le condizioni sono soddisfatte per noi, il che significa che la funzione è dispari. Di seguito è riportato un grafico di questa funzione.
I grafici mostrati nella prima e nella terza figura sono simmetrici rispetto all'asse y, mentre i grafici mostrati nella seconda e nella quarta figura sono simmetrici rispetto all'origine.
Quali delle funzioni i cui grafici sono mostrati nelle figure sono pari e quali sono dispari?
I grafici delle funzioni pari e dispari hanno le seguenti caratteristiche:
Se una funzione è pari, allora il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y. Se una funzione è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.
Esempio. Tracciare la funzione \(y=\left|x \right|\).Soluzione. Considera la funzione: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) e sostituisci \(x \) con l'opposto \(-x \). Come risultato di semplici trasformazioni, otteniamo: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In altre parole, se l'argomento viene sostituito dal segno opposto, la funzione non cambierà.
Ciò significa che questa funzione è pari e il suo grafico sarà simmetrico rispetto all'asse y (asse verticale). Il grafico di questa funzione è mostrato nella figura a sinistra. Ciò significa che quando si traccia un grafico, è possibile costruire solo la metà e la seconda parte (a sinistra dell'asse verticale, disegnare già simmetricamente sul lato destro). Determinando la simmetria di una funzione prima di iniziare a tracciarne il grafico, puoi semplificare notevolmente il processo di costruzione o studio di una funzione. Se è difficile eseguire un controllo in una forma generale, puoi farlo più facilmente: sostituisci gli stessi valori di segni diversi nell'equazione. Ad esempio -5 e 5. Se i valori della funzione sono gli stessi, allora possiamo sperare che la funzione sia pari. Da un punto di vista matematico, questo approccio non è del tutto corretto, ma da un punto di vista pratico è conveniente. Per aumentare l'affidabilità del risultato, puoi sostituire diverse coppie di tali valori opposti.
Esempio. Traccia la funzione \(y=x\left|x \right|\).
Soluzione. Controlliamo come nell'esempio precedente: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right)$$ Ciò significa che la funzione originale è dispari (il segno della funzione è cambiato nell'opposto).
Conclusione: la funzione è simmetrica rispetto all'origine. Puoi costruire solo una metà e disegnare l'altra metà simmetricamente. Questa simmetria è più difficile da disegnare. Ciò significa che stai guardando il grafico dall'altra parte del foglio e persino capovolto. E puoi anche fare questo: prendi la parte disegnata e ruotala attorno all'origine di 180 gradi in senso antiorario.
Esempio. Traccia la funzione \(y=x^3+x^2\).
Soluzione. Eseguiamo lo stesso controllo del cambio di segno dei due esempi precedenti. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Come risultato, otteniamo che: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ E questo significa che la funzione non è né pari né dispari.
Conclusione: la funzione non è simmetrica né rispetto all'origine né rispetto al centro del sistema di coordinate. Questo è successo perché è la somma di due funzioni: pari e dispari. La stessa situazione sarà se sottrai due funzioni diverse. Ma la moltiplicazione o la divisione porteranno a un risultato diverso. Ad esempio, il prodotto di una funzione pari e una dispari ne dà una dispari. Oppure il quoziente di due dispari porta a una funzione pari.
Funzione pari.
Anche Viene chiamata una funzione il cui segno non cambia al variare del segno X.
X uguaglianza F(–X) = F(X). Cartello X non influisce sul segno si.
Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse delle coordinate (Fig. 1).
Anche esempi di funzioni:
si= cos X
si = X 2
si = –X 2
si = X 4
si = X 6
si = X 2 + X
Spiegazione:
Prendiamo una funzione si = X 2 o si = –X 2 .
Per qualsiasi valore X la funzione è positiva. Cartello X non influisce sul segno si. Il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle coordinate. Questa è una funzione pari.
funzione dispari.
stranoè una funzione il cui segno cambia al variare del segno X.
In altre parole, per qualsiasi valore X uguaglianza F(–X) = –F(X).
Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine (Fig. 2).
Esempi di una funzione dispari:
si= peccato X
si = X 3
si = –X 3
Spiegazione:
Prendi la funzione y = - X 3 .
Tutti i valori A avrà un segno meno. Questo è il segno X influisce sul segno si. Se la variabile indipendente è un numero positivo, allora la funzione è positiva; se la variabile indipendente è un numero negativo, allora la funzione è negativa: F(–X) = –F(X).
Il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine. Questa è una funzione strana.
Proprietà delle funzioni pari e dispari:
NOTA:
Non tutte le caratteristiche sono pari o dispari. Ci sono funzioni che non sono soggette a tale gradazione. Ad esempio, la funzione radice A = √X non si applica né alle funzioni pari né a quelle dispari (Fig. 3). Quando si elencano le proprietà di tali funzioni, dovrebbe essere data una descrizione appropriata: né pari né dispari.
Funzioni periodiche.
Come sai, la periodicità è la ripetizione di determinati processi a un certo intervallo. Vengono chiamate le funzioni che descrivono questi processi funzioni periodiche. Cioè si tratta di funzioni nei cui grafici sono presenti elementi che si ripetono a determinati intervalli numerici.
Che in un modo o nell'altro ti erano familiari. È stato anche notato che lo stock di proprietà funzionali verrà gradualmente reintegrato. In questa sezione verranno discusse due nuove proprietà.
Definizione 1.
La funzione y \u003d f (x), x є X, viene chiamata anche se per qualsiasi valore x dall'insieme X l'uguaglianza f (-x) \u003d f (x) è vera.
Definizione 2.
La funzione y \u003d f (x), x є X, viene chiamata dispari se per qualsiasi valore x dall'insieme X l'uguaglianza f (-x) \u003d -f (x) è vera.
Dimostra che y = x 4 è una funzione pari.
Soluzione. Abbiamo: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ma (-x) 4 = x 4 . Quindi, per ogni x, l'uguaglianza f (-x) = f (x), cioè la funzione è pari.
Allo stesso modo, si può dimostrare che le funzioni y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 sono pari.
Dimostra che y = x 3 è una funzione dispari.
Soluzione. Abbiamo: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ma (-x) 3 = -x 3 . Quindi, per ogni x, l'uguaglianza f (-x) \u003d -f (x), ad es. la funzione è dispari.
Allo stesso modo, si può dimostrare che le funzioni y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sono dispari.
Tu ed io ci siamo ripetutamente convinti che i nuovi termini in matematica hanno molto spesso un'origine "terrena", ad es. possono essere spiegati in qualche modo. Questo vale sia per le funzioni pari che per quelle dispari. Vedi: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sono funzioni dispari, mentre y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sono funzioni pari. E in generale, per qualsiasi funzione della forma y \u003d x "(di seguito studieremo specificamente queste funzioni), dove n è un numero naturale, possiamo concludere: se n è un numero dispari, allora la funzione y \u003d x" è dispari; se n è un numero pari, allora la funzione y = xn è pari.
Ci sono anche funzioni che non sono né pari né dispari. Tale, ad esempio, è la funzione y \u003d 2x + 3. In effetti, f (1) \u003d 5 e f (-1) \u003d 1. Come puoi vedere, qui Quindi, né l'identità f (-x) \u003d f (x), né l'identità f (-x) \u003d -f (x) possono essere soddisfatte.
Quindi una funzione può essere pari, dispari o nessuna delle due.
Lo studio della questione se una data funzione sia pari o dispari è solitamente chiamato lo studio della funzione per la parità.
Le definizioni 1 e 2 riguardano i valori della funzione nei punti x e -x. Ciò presuppone che la funzione sia definita sia nel punto x che nel punto -x. Ciò significa che il punto -x appartiene al dominio della funzione contemporaneamente al punto x. Se un insieme numerico X insieme a ciascuno dei suoi elementi x contiene l'elemento opposto -x, allora X è detto insieme simmetrico. Diciamo che (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sono insiemi simmetrici, mentre )