Lezione e presentazione sul tema: "Sequenze numeriche. Progressione geometrica"

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Ragazzi, oggi faremo conoscenza con un altro tipo di progressione.
L'argomento della lezione di oggi è la progressione geometrica.

Progressione geometrica

Definizione. Una sequenza numerica in cui ogni termine, a partire dal secondo, è uguale al prodotto del precedente e un numero fisso è detta progressione geometrica.
Definiamo la nostra sequenza in modo ricorsivo: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
dove b e q sono determinati numeri. Il numero q è chiamato denominatore della progressione.

Esempio. 1,2,4,8,16... Una progressione geometrica in cui il primo termine è uguale a uno e $q=2$.

Esempio. 8,8,8,8... Una progressione geometrica in cui il primo termine è uguale a otto,
e $q=1$.

Esempio. 3,-3,3,-3,3... Progressione geometrica in cui il primo termine è uguale a tre,
e $q=-1$.

La progressione geometrica ha le proprietà della monotonia.
Se $b_(1)>0$, $q>1$,
quindi la sequenza è crescente.
Se $b_(1)>0$, $0 La sequenza è solitamente indicata nella forma: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Esattamente come in una progressione aritmetica, se in una progressione geometrica il numero degli elementi è finito, allora la progressione si chiama progressione geometrica finita.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Si noti che se una sequenza è una progressione geometrica, anche la sequenza dei quadrati di termini è una progressione geometrica. Nella seconda sequenza, il primo termine è uguale a $b_(1)^2$ e il denominatore è uguale a $q^2$.

Formula per l'ennesimo termine di una progressione geometrica

La progressione geometrica può essere specificata anche in forma analitica. Vediamo come fare:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Notiamo facilmente lo schema: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
La nostra formula è chiamata "formula dell'ennesimo termine di una progressione geometrica".

Torniamo ai nostri esempi.

Esempio. 1,2,4,8,16... Progressione geometrica in cui il primo termine è uguale a uno,
e $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Esempio. 16,8,4,2,1,1/2… Una progressione geometrica in cui il primo termine è uguale a sedici e $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Esempio. 8,8,8,8... Una progressione geometrica in cui il primo termine è uguale a otto e $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Esempio. 3,-3,3,-3,3... Una progressione geometrica in cui il primo termine è uguale a tre e $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Esempio. Data una progressione geometrica $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) È noto che $b_(1)=6, q=3$. Trova $b_(5)$.
b) È noto che $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Trova n.
c) È noto che $q=-2, b_(6)=96$. Trova $b_(1)$.
d) È noto che $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Trova q.

Soluzione.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, poiché $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Esempio. La differenza tra il settimo e il quinto termine della progressione geometrica è 192, la somma del quinto e sesto termine della progressione è 192. Trova il decimo termine di questa progressione.

Soluzione.
Sappiamo che: $b_(7)-b_(5)=192$ e $b_(5)+b_(6)=192$.
Sappiamo anche: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Poi:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Abbiamo ricevuto un sistema di equazioni:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Uguagliando le nostre equazioni otteniamo:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Abbiamo due soluzioni q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Sostituisci in sequenza nella seconda equazione:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nessuna soluzione.
Abbiamo ottenuto che: $b_(1)=4, q=2$.
Troviamo il decimo termine: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Somma di una progressione geometrica finita

Consideriamo una progressione geometrica finita. Calcoliamo, proprio come per una progressione aritmetica, la somma dei suoi termini.

Sia data una progressione geometrica finita: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Introduciamo la designazione per la somma dei suoi termini: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Nel caso in cui $q=1$. Tutti i termini della progressione geometrica sono uguali al primo termine, allora è ovvio che $S_(n)=n*b_(1)$.
Consideriamo ora il caso $q≠1$.
Moltiplichiamo l'importo sopra indicato per q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Nota:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Abbiamo ottenuto la formula per la somma di una progressione geometrica finita.

Esempio.
Trova la somma dei primi sette termini di una progressione geometrica il cui primo termine è 4 e il denominatore è 3.

Soluzione.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Esempio.
Trovare il quinto termine della progressione geometrica nota: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Soluzione.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$ 341q = $ 1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Proprietà caratteristica della progressione geometrica

Ragazzi, viene data una progressione geometrica. Diamo un'occhiata ai suoi tre membri consecutivi: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Lo sappiamo:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Poi:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Se la progressione è finita, allora questa uguaglianza vale per tutti i termini tranne il primo e l'ultimo.
Se non si sa in anticipo quale forma ha la sequenza, ma si sa che: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Allora possiamo tranquillamente dire che si tratta di una progressione geometrica.

Una sequenza numerica è una progressione geometrica solo quando il quadrato di ciascun membro è uguale al prodotto dei due membri adiacenti della progressione. Non dimenticare che per una progressione finita questa condizione non è soddisfatta per il primo e l'ultimo termine.

Diamo un'occhiata a questa identità: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ è detta media geometrica dei numeri a e b.

Il modulo di qualsiasi termine di una progressione geometrica è uguale alla media geometrica dei suoi due termini vicini.

Esempio.
Trova x tale che $x+2; 2x+2; 3x+3$ erano tre termini consecutivi di una progressione geometrica.

Soluzione.
Usiamo la proprietà caratteristica:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ e $x_(2)=-1$.
Sostituiamo in sequenza le nostre soluzioni nell'espressione originale:
Con $x=2$ otteniamo la sequenza: 4;6;9 – una progressione geometrica con $q=1,5$.
Per $x=-1$, otteniamo la sequenza: 1;0;0.
Risposta: $x=2.$

Problemi da risolvere in autonomia

1. Trova l'ottavo primo termine della progressione geometrica 16;-8;4;-2….
2. Trova il decimo termine della progressione geometrica 11,22,44….
3. È noto che $b_(1)=5, q=3$. Trova $b_(7)$.
4. È noto che $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Trova n.
5. Trova la somma dei primi 11 termini della progressione geometrica 3;12;48….
6. Trova x tale che $3x+4; 2x+4; x+5$ sono tre termini consecutivi di una progressione geometrica.

Progressione geometrica non meno importante in matematica rispetto all'aritmetica. Una progressione geometrica è una sequenza di numeri b1, b2,..., b[n], ciascun termine successivo dei quali si ottiene moltiplicando il precedente per un numero costante. Questo numero, che caratterizza anche il tasso di crescita o di diminuzione della progressione, viene chiamato denominatore della progressione geometrica e denotare

Per specificare completamente una progressione geometrica, oltre al denominatore, è necessario conoscere o determinare il suo primo termine. Per un valore positivo del denominatore la progressione è una sequenza monotona, sia se questa sequenza di numeri è monotonicamente decrescente sia se è monotonicamente crescente. Il caso in cui il denominatore è uguale a uno non viene considerato in pratica, poiché abbiamo una sequenza di numeri identici e la loro somma non ha alcun interesse pratico

Termine generale di progressione geometrica calcolato dalla formula

Somma dei primi n termini di una progressione geometrica determinato dalla formula

Diamo un'occhiata alle soluzioni ai classici problemi di progressione geometrica. Cominciamo da quelli più semplici da comprendere.

Esempio 1. Il primo termine di una progressione geometrica è 27 e il suo denominatore è 1/3. Trova i primi sei termini della progressione geometrica.

Soluzione: scriviamo la condizione del problema nel modulo

Per i calcoli utilizziamo la formula per l'ennesimo termine di una progressione geometrica

Sulla base di esso troviamo i termini sconosciuti della progressione

Come puoi vedere, calcolare i termini di una progressione geometrica non è difficile. La progressione stessa sarà simile a questa

Esempio 2. Sono dati i primi tre termini della progressione geometrica: 6; -12; 24. Trova il denominatore e il suo settimo termine.

Soluzione: Calcoliamo il denominatore della progressione geometrica in base alla sua definizione

Abbiamo ottenuto una progressione geometrica alternata il cui denominatore è pari a -2. Il settimo termine viene calcolato utilizzando la formula

Questo risolve il problema.

Esempio 3. Una progressione geometrica è data da due dei suoi termini . Trova il decimo termine della progressione.

Soluzione:

Scriviamo i valori dati usando le formule

Secondo le regole bisognerebbe trovare il denominatore e poi cercare il valore desiderato, ma per il decimo termine abbiamo

La stessa formula può essere ottenuta basandosi su semplici manipolazioni con i dati di input. Dividi il sesto termine della serie per un altro e come risultato otteniamo

Se il valore risultante viene moltiplicato per il sesto termine, otteniamo il decimo

Pertanto, per tali problemi, utilizzando semplici trasformazioni in modo rapido, è possibile trovare la soluzione corretta.

Esempio 4. La progressione geometrica è data da formule ricorrenti

Trova il denominatore della progressione geometrica e la somma dei primi sei termini.

Soluzione:

Scriviamo i dati forniti sotto forma di un sistema di equazioni

Esprimi il denominatore dividendo la seconda equazione per la prima

Troviamo il primo termine della progressione dalla prima equazione

Calcoliamo i seguenti cinque termini per trovare la somma della progressione geometrica

Primo livello

Progressione geometrica. Guida completa con esempi (2019)

Sequenza numerica

Quindi sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:

Puoi scrivere qualsiasi numero e possono essercene quanti vuoi (nel nostro caso ce ne sono). Non importa quanti numeri scriviamo, possiamo sempre dire quale è il primo, quale è il secondo e così via fino all'ultimo, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica:

Sequenza numericaè un insieme di numeri, a ciascuno dei quali può essere assegnato un numero univoco.

Ad esempio, per la nostra sequenza:

Il numero assegnato è specifico per un solo numero nella sequenza. In altre parole, non ci sono numeri di tre secondi nella sequenza. Il secondo numero (come il numero 10) è sempre lo stesso.

Il numero con il numero è chiamato l'ennesimo membro della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza con una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza è la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

Nel nostro caso:

I tipi più comuni di progressione sono aritmetica e geometrica. In questo argomento parleremo del secondo tipo: progressione geometrica.

Perché è necessaria la progressione geometrica e la sua storia?

Già nell'antichità il monaco matematico italiano Leonardo da Pisa (meglio conosciuto come Fibonacci) si occupava delle esigenze pratiche del commercio. Il monaco si trovava di fronte al compito di determinare qual è il numero minimo di pesi che possono essere utilizzati per pesare un prodotto? Nelle sue opere Fibonacci dimostra che un tale sistema di pesi è ottimale: questa è una delle prime situazioni in cui le persone hanno dovuto affrontare una progressione geometrica, di cui probabilmente hai già sentito parlare e di cui hai almeno una comprensione generale. Una volta compreso appieno l'argomento, pensa al motivo per cui un tale sistema è ottimale?

Attualmente, nella pratica della vita, la progressione geometrica si manifesta quando si investe denaro in una banca, quando l'importo degli interessi matura sull'importo accumulato sul conto per il periodo precedente. In altre parole, se metti soldi su un deposito a termine in una cassa di risparmio, dopo un anno il deposito aumenterà dell'importo originale, ad es. il nuovo importo sarà pari al contributo moltiplicato per. In un altro anno, questo importo aumenterà, ad es. l'importo ottenuto in quel momento verrà nuovamente moltiplicato per e così via. Una situazione simile è descritta nei problemi di calcolo del cosiddetto interesse composto- la percentuale viene prelevata ogni volta dall'importo presente sul conto, tenendo conto degli interessi precedenti. Parleremo di questi compiti un po 'più tardi.

Esistono molti casi più semplici in cui viene applicata la progressione geometrica. Ad esempio, la diffusione dell'influenza: una persona ha infettato un'altra persona, questa, a sua volta, ha infettato un'altra persona, e quindi la seconda ondata di infezione è una persona, e questa, a sua volta, ne ha infettata un'altra... e così via... .

A proposito, la piramide finanziaria, la stessa MMM, è un calcolo semplice e arido basato sulle proprietà di una progressione geometrica. Interessante? Scopriamolo.

Progressione geometrica.

Diciamo che abbiamo una sequenza numerica:

Risponderai immediatamente che è facile e il nome di tale sequenza è una progressione aritmetica con la differenza dei suoi termini. Cosa ne pensi di questo:

Se sottrai il numero precedente dal numero successivo, vedrai che ogni volta ottieni una nuova differenza (e così via), ma la sequenza esiste sicuramente ed è facile da notare: ogni numero successivo è volte più grande del precedente!

Questo tipo di sequenza numerica viene chiamata progressione geometrica ed è designato.

La progressione geometrica () è una sequenza numerica, il cui primo termine è diverso da zero, e ciascun termine, a partire dal secondo, è uguale al precedente, moltiplicato per lo stesso numero. Questo numero è chiamato denominatore di una progressione geometrica.

Le restrizioni secondo cui il primo termine ( ) non è uguale e non sono casuali. Supponiamo che non ce ne siano, e che il primo termine sia ancora uguale, e q sia uguale a, hmm... lascia stare, quindi risulta:

D'accordo sul fatto che questa non è più una progressione.

Come hai capito, otterremo gli stessi risultati se c'è un numero diverso da zero, a. In questi casi, semplicemente non ci sarà alcuna progressione, poiché l'intera serie di numeri sarà composta da tutti zeri o da un numero, e tutto il resto sarà costituito da zeri.

Ora parliamo più in dettaglio del denominatore della progressione geometrica, cioè o.

Ripetiamo: - questo è il numero quante volte cambia ciascun termine successivo? progressione geometrica.

Cosa pensi potrebbe essere? Esatto, positivo e negativo, ma non zero (ne abbiamo parlato un po' più in alto).

Supponiamo che il nostro sia positivo. Nel nostro caso, a. Qual è il valore del secondo termine e? Puoi facilmente rispondere:

Giusto. Di conseguenza, se, allora tutti i termini successivi della progressione hanno lo stesso segno: loro sono positivi.

E se fosse negativo? Ad esempio, a. Qual è il valore del secondo termine e?

Questa è una storia completamente diversa

Prova a contare i termini di questa progressione. Quanto hai ottenuto? Io ho. Quindi, se, allora si alternano i segni dei termini della progressione geometrica. Cioè, se vedi una progressione con segni alternati per i suoi membri, allora il suo denominatore è negativo. Questa conoscenza può aiutarti a metterti alla prova quando risolvi problemi su questo argomento.

Adesso facciamo un po' di pratica: prova a determinare quali sequenze numeriche sono una progressione geometrica e quali sono una progressione aritmetica:

Fatto? Confrontiamo le nostre risposte:

• Progressione geometrica - 3, 6.
• Progressione aritmetica - 2, 4.
• Non è né una progressione aritmetica né geometrica: 1, 5, 7.

Ritorniamo alla nostra ultima progressione e proviamo a trovarne il membro, proprio come in quella aritmetica. Come avrai intuito, ci sono due modi per trovarlo.

Moltiplichiamo successivamente ciascun termine per.

Quindi, l'esimo termine della progressione geometrica descritta è uguale a.

Come hai già intuito, ora deriverai tu stesso una formula che ti aiuterà a trovare qualsiasi membro della progressione geometrica. Oppure l'hai già sviluppato tu stesso, descrivendo passo dopo passo come trovare l'esimo membro? Se è così, controlla la correttezza del tuo ragionamento.

Illustriamolo con l'esempio di trovare l'esimo termine di questa progressione:

In altre parole:

Trova tu stesso il valore del termine della progressione geometrica data.

Accaduto? Confrontiamo le nostre risposte:

Tieni presente che hai ottenuto esattamente lo stesso numero del metodo precedente, quando abbiamo moltiplicato in sequenza per ciascun termine precedente della progressione geometrica.
Proviamo a “spersonalizzare” questa formula: mettiamola in forma generale e otteniamo:

La formula derivata è vera per tutti i valori, sia positivi che negativi. Verificalo tu stesso calcolando i termini della progressione geometrica con le seguenti condizioni: , a.

Hai contato? Confrontiamo i risultati:

Concordo sul fatto che sarebbe possibile trovare il termine di una progressione allo stesso modo del termine, tuttavia esiste la possibilità di eseguire calcoli errati. E se abbiamo già trovato l'esimo termine della progressione geometrica, allora cosa potrebbe esserci di più semplice che utilizzare la parte “troncata” della formula.

Progressione geometrica infinitamente decrescente.

Più recentemente abbiamo parlato del fatto che può essere maggiore o minore di zero, tuttavia esistono valori particolari per i quali viene chiamata la progressione geometrica infinitamente decrescente.

Perché pensi che sia stato dato questo nome?
Innanzitutto, scriviamo una progressione geometrica composta da termini.
Diciamo allora:

Vediamo che ogni termine successivo è inferiore al precedente di un fattore, ma ci sarà qualche numero? Risponderai immediatamente: "no". Ecco perché diminuisce all'infinito: diminuisce e diminuisce, ma non diventa mai zero.

Per capire chiaramente come appare visivamente, proviamo a disegnare un grafico della nostra progressione. Quindi, nel nostro caso, la formula assume la seguente forma:

Sui grafici siamo abituati a tracciare la dipendenza da, quindi:

L'essenza dell'espressione non è cambiata: nella prima voce abbiamo mostrato la dipendenza del valore di un membro di una progressione geometrica dal suo numero ordinale, e nella seconda voce abbiamo semplicemente preso il valore di un membro di una progressione geometrica come , e designato il numero ordinale non come, ma come. Tutto ciò che resta da fare è costruire un grafico.
Vediamo cosa hai ottenuto. Ecco il grafico che ho ottenuto:

Vedi? La funzione decresce, tende a zero, ma non lo attraversa mai, quindi è infinitamente decrescente. Segniamo i nostri punti sul grafico e allo stesso tempo cosa significano le coordinate e:

Prova a rappresentare schematicamente il grafico di una progressione geometrica se anche il suo primo termine è uguale. Analizza qual è la differenza con il nostro grafico precedente?

Sei riuscito? Ecco il grafico che ho ottenuto:

Ora che hai compreso appieno le basi del tema della progressione geometrica: sai cos'è, sai come trovarne il termine e sai anche cos'è una progressione geometrica infinitamente decrescente, passiamo alla sua proprietà principale.

Proprietà della progressione geometrica.

Ricordi la proprietà dei termini di una progressione aritmetica? Sì, sì, come trovare il valore di un certo numero di una progressione quando ci sono valori precedenti e successivi dei termini di questa progressione. Ti ricordi? Questo:

Ora ci troviamo di fronte esattamente alla stessa domanda per i termini di una progressione geometrica. Per ricavare una formula del genere, iniziamo a disegnare e ragionare. Vedrai, è molto semplice e, se te ne dimentichi, puoi tirarlo fuori da solo.

Prendiamo un'altra semplice progressione geometrica, in cui sappiamo e. Come trovare? Con la progressione aritmetica è facile e semplice, ma che dire qui? In effetti, non c'è nulla di complicato nemmeno in geometria: devi solo scrivere ogni valore che ci viene dato secondo la formula.

Potresti chiederti: cosa dovremmo fare adesso? Sì, molto semplice. Per prima cosa, rappresentiamo queste formule in un'immagine e proviamo a fare varie manipolazioni con esse per arrivare al valore.

Astraiamo dai numeri che ci vengono dati, concentriamoci solo sulla loro espressione attraverso la formula. Dobbiamo trovare il valore evidenziato in arancione, conoscendo i termini ad esso adiacenti. Proviamo a eseguire varie azioni con loro, come risultato delle quali possiamo ottenere.

Aggiunta.
Proviamo ad aggiungere due espressioni e otteniamo:

Da questa espressione, come puoi vedere, non possiamo esprimerla in alcun modo, quindi proveremo un'altra opzione: la sottrazione.

Sottrazione.

Come puoi vedere, anche questo non possiamo esprimerlo, quindi proviamo a moltiplicare queste espressioni tra loro.

Moltiplicazione.

Ora guardiamo bene quello che abbiamo moltiplicando i termini della progressione geometrica che ci viene data rispetto a quello che dobbiamo trovare:

Indovina di cosa sto parlando? Correttamente, per trovare dobbiamo prendere la radice quadrata dei numeri di progressione geometrica adiacenti a quello desiderato moltiplicati tra loro:

Ecco qui. Tu stesso hai derivato la proprietà della progressione geometrica. Prova a scrivere questa formula in forma generale. Accaduto?

Hai dimenticato la condizione per? Pensa al motivo per cui è importante, ad esempio, prova a calcolarlo tu stesso. Cosa accadrà in questo caso? Esatto, totale assurdità perché la formula è simile a questa:

Di conseguenza, non dimenticare questa limitazione.

Ora calcoliamo a cosa equivale

Risposta corretta - ! Se non hai dimenticato il secondo valore possibile durante il calcolo, allora sei bravo e puoi passare subito all'allenamento, e se lo hai dimenticato, leggi ciò che viene discusso di seguito e presta attenzione al motivo per cui è necessario scrivere entrambe le radici nella risposta.

Disegniamo entrambe le nostre progressioni geometriche, una con un valore e l'altra con un valore e controlliamo se entrambe hanno il diritto di esistere:

Per verificare se tale progressione geometrica esiste o meno, è necessario vedere se tutti i suoi termini dati sono gli stessi? Calcolare q per il primo e il secondo caso.

Vedi perché dobbiamo scrivere due risposte? Perché il segno del termine che cerchi dipende dal fatto che sia positivo o negativo! E poiché non sappiamo di cosa si tratta, dobbiamo scrivere entrambe le risposte con un più e un meno.

Ora che hai padroneggiato i punti principali e hai derivato la formula per la proprietà della progressione geometrica, trova, conoscendo e

Confronta le tue risposte con quelle corrette:

Cosa ne pensi, e se non ci venissero dati i valori dei termini della progressione geometrica adiacenti al numero desiderato, ma equidistanti da esso. Ad esempio, dobbiamo trovare, e dato e. Possiamo usare la formula che abbiamo derivato in questo caso? Prova a confermare o confutare questa possibilità nello stesso modo, descrivendo in cosa consiste ciascun valore, come hai fatto quando hai originariamente derivato la formula.
Cosa hai preso?

Ora guarda di nuovo attentamente.
e corrispondentemente:

Da ciò possiamo concludere che la formula funziona non solo con i vicini con i termini desiderati della progressione geometrica, ma anche con equidistante da ciò che i membri stanno cercando.

Pertanto la nostra formula iniziale assume la forma:

Cioè, se nel primo caso dicevamo questo, ora diciamo che può essere uguale a qualsiasi numero naturale più piccolo. La cosa principale è che sia lo stesso per entrambi i numeri indicati.

Esercitati con esempi specifici, fai solo molta attenzione!

1. , . Trovare.
2. , . Trovare.
3. , . Trovare.

Deciso? Spero che tu sia stato estremamente attento e abbia notato un piccolo problema.

Confrontiamo i risultati.

Nei primi due casi applichiamo con calma la formula sopra e otteniamo i seguenti valori:

Nel terzo caso, dopo un attento esame delle matricole dei numeri che ci vengono forniti, capiamo che non sono equidistanti dal numero che cerchiamo: è il numero precedente, ma è tolto in una posizione, quindi è non è possibile applicare la formula.

Come risolverlo? In realtà non è così difficile come sembra! Scriviamo in cosa consiste ogni numero che ci viene dato e il numero che stiamo cercando.

Quindi abbiamo e. Vediamo cosa possiamo fare con loro? Suggerisco di dividere per. Noi abbiamo:

Sostituiamo i nostri dati nella formula:

Il prossimo passo che possiamo trovare è: per questo dobbiamo prendere la radice cubica del numero risultante.

Ora diamo un'occhiata di nuovo a ciò che abbiamo. Ce l'abbiamo, ma dobbiamo trovarlo e, a sua volta, è uguale a:

Abbiamo trovato tutti i dati necessari per il calcolo. Sostituisci nella formula:

La nostra risposta: .

Prova a risolvere tu stesso un altro problema simile:
Dato: ,
Trovare:

Quanto hai ottenuto? Io ho - .

Come puoi vedere, essenzialmente hai bisogno ricorda solo una formula- . Puoi ritirare tu stesso tutto il resto senza alcuna difficoltà in qualsiasi momento. Per fare questo, scrivi semplicemente la progressione geometrica più semplice su un pezzo di carta e scrivi a cosa è uguale ciascuno dei suoi numeri, secondo la formula sopra descritta.

La somma dei termini di una progressione geometrica.

Consideriamo ora le formule che ci consentono di calcolare rapidamente la somma dei termini di una progressione geometrica in un dato intervallo:

Per ricavare la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica finita, moltiplicare tutte le parti dell'equazione precedente per. Noi abbiamo:

Guarda bene: cosa hanno in comune le ultime due formule? Esatto, i membri comuni, ad esempio, e così via, tranne il primo e l'ultimo membro. Proviamo a sottrarre la prima dalla seconda equazione. Cosa hai preso?

Ora esprimiamo il termine della progressione geometrica tramite la formula e sostituiamo l'espressione risultante nella nostra ultima formula:

Raggruppare l'espressione. Dovresti ricevere:

Non resta che esprimere:

Di conseguenza, in questo caso.

Cosa succede se? Quale formula funziona allora? Immagina una progressione geometrica a. Com'è lei? Una serie di numeri identici è corretta, quindi la formula sarà simile a questa:

Esistono molte leggende sia sulla progressione aritmetica che su quella geometrica. Una di queste è la leggenda di Set, il creatore degli scacchi.

Molte persone sanno che il gioco degli scacchi è stato inventato in India. Quando il re indù la incontrò, rimase deliziato dal suo ingegno e dalla varietà di posizioni possibili in lei. Avendo saputo che era stato inventato da uno dei suoi sudditi, il re decise di premiarlo personalmente. Convocò a sé l'inventore e gli ordinò di chiedergli tutto ciò che desiderava, promettendo di esaudire anche il desiderio più abile.

Seta chiese tempo per pensare, e quando il giorno dopo Seta apparve davanti al re, lo sorprese con la modestia senza precedenti della sua richiesta. Chiese di dare un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, un chicco di grano per la seconda, un chicco di grano per la terza, una quarta, ecc.

Il re si arrabbiò e scacciò Seth, dicendo che la richiesta del servo non era degna della generosità del re, ma promise che il servo avrebbe ricevuto i suoi cereali per tutti i quadrati della tavola.

E ora la domanda: utilizzando la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica, calcolare quanti grani dovrebbe ricevere Seth?

Cominciamo a ragionare. Poiché, secondo la condizione, Seth ha chiesto un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, per la seconda, per la terza, per la quarta, ecc., allora vediamo che il problema riguarda una progressione geometrica. A cosa equivale in questo caso?
Giusto.

Quadrati totali della scacchiera. Rispettivamente, . Abbiamo tutti i dati, non resta che inserirli nella formula e calcolare.

Per immaginare almeno approssimativamente la “scala” di un dato numero, trasformiamo sfruttando le proprietà del grado:

Naturalmente, se vuoi, puoi prendere una calcolatrice e calcolare quale numero ti ritroverai, altrimenti dovrai credermi sulla parola: il valore finale dell'espressione sarà.
Questo è:

quintilioni di quadrilioni di trilioni di miliardi di milioni di migliaia.

Uff) Se vuoi immaginare l'enormità di questo numero, allora stima quanto grande sarebbe necessario un fienile per ospitare l'intera quantità di grano.
Se il fienile fosse alto m e largo m, la sua lunghezza dovrebbe essere di km, cioè due volte più lontano dalla Terra al Sole.

Se il re fosse stato bravo in matematica, avrebbe potuto invitare lui stesso lo scienziato a contare i grani, perché per contare un milione di grani avrebbe bisogno di almeno un giorno di instancabile conteggio, e dato che è necessario contare quintilioni, i grani bisognerebbe contarli per tutta la sua vita.

Ora risolviamo un semplice problema che coinvolge la somma dei termini di una progressione geometrica.
Uno studente della classe 5A Vasya si ammalò di influenza, ma continua ad andare a scuola. Ogni giorno Vasya infetta due persone che, a loro volta, infettano altre due persone e così via. Ci sono solo persone in classe. Tra quanti giorni tutta la classe avrà l'influenza?

Quindi, il primo termine della progressione geometrica è Vasya, cioè una persona. Il decimo termine della progressione geometrica sono le due persone che ha contagiato il primo giorno del suo arrivo. La somma totale dei termini di progressione è pari al numero degli studenti 5A. Si parla quindi di una progressione in cui:

Sostituiamo i nostri dati nella formula per la somma dei termini di una progressione geometrica:

L'intera classe si ammalerà in pochi giorni. Non credi alle formule e ai numeri? Prova a ritrarre tu stesso l '"infezione" degli studenti. Accaduto? Guarda come mi sembra:

Calcola tu stesso quanti giorni ci vorrebbero perché gli studenti si ammalassero di influenza se ognuno contagiasse una persona e ci fosse solo una persona in classe.

Che valore hai ottenuto? Si è scoperto che tutti hanno iniziato ad ammalarsi dopo un giorno.

Come puoi vedere, un compito del genere e il relativo disegno assomigliano a una piramide, in cui ogni successiva “porta” nuove persone. Tuttavia, prima o poi arriva il momento in cui quest'ultimo non riesce ad attrarre nessuno. Nel nostro caso, se immaginiamo che la classe sia isolata, la persona da chiude la catena (). Pertanto, se una persona fosse coinvolta in una piramide finanziaria in cui veniva dato denaro se portasse altri due partecipanti, allora la persona (o in generale) non porterebbe nessuno, di conseguenza, perderebbe tutto ciò che ha investito in questa truffa finanziaria.

Tutto ciò che è stato detto sopra si riferisce a una progressione geometrica decrescente o crescente, ma, come ricorderete, abbiamo un tipo speciale: una progressione geometrica infinitamente decrescente. Come calcolare la somma dei suoi membri? E perché questo tipo di progressione ha determinate caratteristiche? Scopriamolo insieme.

Quindi, per prima cosa, diamo un'occhiata di nuovo a questo disegno di una progressione geometrica infinitamente decrescente dal nostro esempio:

Consideriamo ora la formula per la somma di una progressione geometrica, derivata poco prima:
O

Per cosa stiamo lottando? Esatto, il grafico mostra che tende a zero. Cioè, a, sarà quasi uguale, rispettivamente, quando calcoliamo l'espressione otterremo quasi. A questo proposito, riteniamo che quando si calcola la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente, questa parentesi può essere trascurata, poiché sarà uguale.

- La formula è la somma dei termini di una progressione geometrica infinitamente decrescente.

IMPORTANTE! Usiamo la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica infinitamente decrescente solo se la condizione afferma esplicitamente che dobbiamo trovare la somma infinito numero di membri.

Se viene specificato un numero specifico n, utilizziamo la formula per la somma di n termini, anche se o.

Ora facciamo pratica.

1. Trova la somma dei primi termini della progressione geometrica con e.
2. Trova la somma dei termini di una progressione geometrica infinitamente decrescente con e.

Spero che tu sia stato estremamente attento. Confrontiamo le nostre risposte:

Ora sai tutto sulla progressione geometrica ed è ora di passare dalla teoria alla pratica. I problemi di progressione geometrica più comuni riscontrati durante l'esame sono problemi di calcolo dell'interesse composto. Questi sono quelli di cui parleremo.

Problemi sul calcolo dell'interesse composto.

Probabilmente hai sentito parlare della cosiddetta formula dell'interesse composto. Capisci cosa significa? In caso contrario, scopriamolo, perché una volta compreso il processo stesso, capirai immediatamente cosa c'entra la progressione geometrica.

Andiamo tutti in banca e sappiamo che esistono condizioni diverse per i depositi: questo include una durata, servizi aggiuntivi e interessi con due diversi modi di calcolarli: semplice e complesso.

CON interesse semplice tutto è più o meno chiaro: gli interessi maturano una volta alla scadenza del periodo di deposito. Cioè, se diciamo che depositiamo 100 rubli per un anno, verranno accreditati solo alla fine dell'anno. Di conseguenza, entro la fine del deposito riceveremo rubli.

Interesse composto- questa è un'opzione in cui si verifica capitalizzazione degli interessi, cioè. la loro aggiunta all'importo del deposito e il successivo calcolo del reddito non dall'importo del deposito iniziale, ma dall'importo del deposito accumulato. La capitalizzazione non avviene costantemente, ma con una certa frequenza. Di norma, tali periodi sono uguali e molto spesso le banche utilizzano un mese, un trimestre o un anno.

Supponiamo di depositare gli stessi rubli ogni anno, ma con capitalizzazione mensile del deposito. Che cosa stiamo facendo?

Capisci tutto qui? In caso contrario, scopriamolo passo dopo passo.

Abbiamo portato i rubli in banca. Entro la fine del mese dovremmo avere sul nostro conto un importo composto dai nostri rubli più gli interessi su di essi, ovvero:

Essere d'accordo?

Possiamo toglierlo dalle parentesi e quindi otteniamo:

D'accordo, questa formula è già più simile a ciò che abbiamo scritto all'inizio. Non resta che calcolare le percentuali

Nella dichiarazione del problema ci viene detto delle tariffe annuali. Come sai, non moltiplichiamo per: convertiamo le percentuali in frazioni decimali, ovvero:

Giusto? Ora potresti chiederti: da dove viene il numero? Molto semplice!
Ripeto: la dichiarazione del problema dice di ANNUALE interessi che maturano MENSILE. Come sapete, tra un anno di mesi, la banca ci addebiterà rispettivamente una parte degli interessi annuali al mese:

Lo hai capito? Ora prova a scrivere come apparirebbe questa parte della formula se dicessi che gli interessi vengono calcolati quotidianamente.
Sei riuscito? Confrontiamo i risultati:

Ben fatto! Torniamo al nostro compito: scriviamo quanto verrà accreditato sul nostro conto nel secondo mese, tenendo conto che sull'importo del deposito accumulato maturano interessi.
Ecco cosa ho ottenuto:

O, in altre parole:

Penso che tu abbia già notato uno schema e visto una progressione geometrica in tutto questo. Scrivi quanto varrà il suo membro o, in altre parole, quale somma di denaro riceveremo alla fine del mese.
Fatto? Controlliamo!

Come puoi vedere, se metti soldi in banca per un anno a un tasso di interesse semplice, riceverai rubli e, se a un tasso di interesse composto, riceverai rubli. Il beneficio è piccolo, ma questo avviene solo durante il ventesimo anno, ma per un periodo più lungo la capitalizzazione è molto più redditizia:

Diamo un'occhiata a un altro tipo di problema che coinvolge l'interesse composto. Dopo quello che hai capito, sarà elementare per te. Quindi, il compito:

La società Zvezda ha iniziato ad investire nel settore nel 2000, con capitale in dollari. Ogni anno dal 2001 riceve un profitto pari al capitale dell'anno precedente. Quale profitto otterrà la società Zvezda alla fine del 2003 se gli utili non venissero ritirati dalla circolazione?

Capitale della società Zvezda nel 2000.
- capitale della società Zvezda nel 2001.
- capitale della società Zvezda nel 2002.
- capitale della società Zvezda nel 2003.

Oppure possiamo scrivere brevemente:

Per il nostro caso:

2000, 2001, 2002 e 2003.

Rispettivamente:
rubli
Tieni presente che in questo problema non abbiamo una divisione né per né per, poiché la percentuale viene data ANNUALMENTE ed è calcolata ANNUALMENTE. Cioè, quando leggi un problema sull'interesse composto, presta attenzione a quale percentuale viene data e in quale periodo viene calcolata, e solo dopo procedi ai calcoli.
Ora sai tutto sulla progressione geometrica.

Formazione.

1. Trova il termine della progressione geometrica se è noto che, e
2. Trova la somma dei primi termini della progressione geometrica se è noto che, e
3. La società MDM Capital ha iniziato ad investire nel settore nel 2003, con capitale in dollari. Ogni anno dal 2004 riceve un profitto pari al capitale dell'anno precedente. La società MSK Cash Flows ha iniziato a investire nel settore nel 2005 per un importo di $ 10.000, iniziando a realizzare un profitto nel 2006 per un importo di. Di quanti dollari sarebbe maggiore il capitale di una società rispetto a quello di un'altra alla fine del 2007, se gli utili non venissero ritirati dalla circolazione?

Risposte:

1. Poiché la formulazione del problema non dice che la progressione è infinita ed è necessario trovare la somma di un numero specifico dei suoi termini, il calcolo viene eseguito secondo la formula:
2. 
   Società di capitali MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - aumenta del 100%, cioè 2 volte.
   Rispettivamente:
   rubli
   Società MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - aumenta di, cioè di volte.
   Rispettivamente:
   rubli
   rubli

Riassumiamo.

1) La progressione geometrica ( ) è una sequenza numerica, il cui primo termine è diverso da zero, e ciascun termine, a partire dal secondo, è uguale al precedente, moltiplicato per lo stesso numero. Questo numero è chiamato denominatore di una progressione geometrica.

2) L'equazione dei termini della progressione geometrica è .

3) può assumere qualsiasi valore tranne e.

• se, allora tutti i termini successivi della progressione hanno lo stesso segno: loro sono positivi;
• se, allora tutti i termini successivi della progressione segni alternativi;
• quando - la progressione si dice infinitamente decrescente.

4) , con - proprietà della progressione geometrica (termini adiacenti)

O
, a (termini equidistanti)

Quando lo trovi, non dimenticarlo dovrebbero esserci due risposte.

Per esempio,

5) La somma dei termini della progressione geometrica si calcola con la formula:
O

Se la progressione è infinitamente decrescente, allora:
O

IMPORTANTE! Usiamo la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica infinitamente decrescente solo se la condizione afferma esplicitamente che dobbiamo trovare la somma di un numero infinito di termini.

6) I problemi sull'interesse composto si calcolano anche utilizzando la formula dell'esimo termine di una progressione geometrica, a condizione che i fondi non siano stati ritirati dalla circolazione:

PROGRESSIONE GEOMETRICA. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Progressione geometrica( ) è una sequenza numerica, il cui primo termine è diverso da zero, e ogni termine, a partire dal secondo, è uguale al precedente, moltiplicato per lo stesso numero. Questo numero viene chiamato denominatore di una progressione geometrica.

Denominatore della progressione geometrica può assumere qualsiasi valore tranne e.

• Se tutti i termini successivi della progressione hanno lo stesso segno, sono positivi;
• se, allora tutti i successivi membri della progressione alternano segni;
• quando - la progressione si dice infinitamente decrescente.

Equazione dei termini della progressione geometrica - .

Somma dei termini di una progressione geometrica calcolato con la formula:
O

Istruzioni

10, 30, 90, 270...

Devi trovare il denominatore di una progressione geometrica.
Soluzione:

Opzione 1. Prendiamo un termine arbitrario della progressione (ad esempio 90) e dividiamolo per il precedente (30): 90/30=3.

Se è nota la somma di più termini di una progressione geometrica o la somma di tutti i termini di una progressione geometrica decrescente, per trovare il denominatore della progressione utilizzare le formule appropriate:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), dove Sn è la somma dei primi n termini della progressione geometrica e
S = b1/(1-q), dove S è la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente (la somma di tutti i termini della progressione con denominatore inferiore a uno).
Esempio.

Il primo termine di una progressione geometrica decrescente è uguale a uno, e la somma di tutti i suoi termini è uguale a due.

È necessario determinare il denominatore di questa progressione.
Soluzione:

Sostituisci i dati del problema nella formula. Risulterà:
2=1/(1-q), da cui – q=1/2.

Una progressione è una sequenza di numeri. In una progressione geometrica ogni termine successivo si ottiene moltiplicando il precedente per un certo numero q, detto denominatore della progressione.

Istruzioni

Se si conoscono due termini geometrici adiacenti b(n+1) e b(n), per ottenere il denominatore è necessario dividere il numero con quello maggiore per quello che lo precede: q=b(n+1)/b (N). Ciò deriva dalla definizione di progressione e dal suo denominatore. Una condizione importante è che il primo termine e il denominatore della progressione non siano uguali a zero, altrimenti si considera indefinita.

Si stabiliscono quindi le seguenti relazioni tra i termini della progressione: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Utilizzando la formula b(n)=b1 q^(n-1) si può calcolare qualsiasi termine della progressione geometrica di cui sia noto il denominatore q ed il termine b1. Inoltre, ciascuna delle progressioni è uguale in modulo alla media dei suoi membri vicini: |b(n)|=√, che è dove la progressione ha ottenuto il suo .

Un analogo della progressione geometrica è la funzione esponenziale più semplice y=a^x, dove x è un esponente, a è un certo numero. In questo caso il denominatore della progressione coincide con il primo termine ed è uguale al numero a. Il valore della funzione y può essere inteso come l'ennesimo termine della progressione se si assume come argomento x un numero naturale n (contatore).

Esiste per la somma dei primi n termini di una progressione geometrica: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Questa formula è valida per q≠1. Se q=1, la somma dei primi n termini viene calcolata con la formula S(n)=n b1. A proposito, la progressione si chiamerà crescente quando q è maggiore di uno e b1 è positivo. Se il denominatore della progressione non supera l'uno in valore assoluto, la progressione si dirà decrescente.

Un caso speciale di progressione geometrica è una progressione geometrica infinitamente decrescente (progressione geometrica infinitamente decrescente). Il fatto è che i termini di una progressione geometrica decrescente diminuiranno ancora e ancora, ma non raggiungeranno mai lo zero. Nonostante ciò è possibile trovare la somma di tutti i termini di tale progressione. È determinato dalla formula S=b1/(1-q). Il numero totale di termini n è infinito.

Per visualizzare come puoi sommare un numero infinito di numeri senza ottenere l'infinito, prepara una torta. Tagliatene la metà. Quindi tagliare 1/2 della metà e così via. I pezzi che otterrai non sono altro che membri di una progressione geometrica infinitamente decrescente con denominatore 1/2. Se sommi tutti questi pezzi, ottieni la torta originale.

I problemi di geometria sono un tipo speciale di esercizio che richiede il pensiero spaziale. Se non riesci a risolvere un problema geometrico compito, prova a seguire le regole seguenti.

Istruzioni

Leggi molto attentamente le condizioni del compito; se non ricordi o non capisci qualcosa, rileggilo di nuovo.

Cerca di determinare di che tipo di problemi geometrici si tratta, ad esempio: problemi di calcolo, quando hai bisogno di scoprire una quantità, problemi che coinvolgono , che richiedono una catena logica di ragionamento, problemi che coinvolgono la costruzione utilizzando compasso e righello. Più compiti di tipo misto. Una volta capito il tipo di problema, prova a pensare in modo logico.

Applica il teorema necessario per un determinato compito, ma se hai dubbi o non ci sono opzioni, prova a ricordare la teoria che hai studiato sull'argomento pertinente.

Annotare anche la soluzione al problema in una bozza. Prova a utilizzare metodi noti per verificare la correttezza della tua soluzione.

Compila attentamente la soluzione del problema sul tuo quaderno, senza cancellare o cancellare e, cosa più importante: risolvere i primi problemi geometrici potrebbe richiedere tempo e fatica. Tuttavia, non appena padroneggi questo processo, inizierai a fare clic su attività come matti, divertendoti!

Una progressione geometrica è una sequenza di numeri b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) tale che b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. In altre parole, ciascun termine della progressione si ottiene dal precedente moltiplicandolo per un denominatore diverso da zero della progressione q.

Istruzioni

I problemi di progressione vengono risolti il ​​più delle volte elaborando e poi seguendo un sistema rispetto al primo termine della progressione b1 e al denominatore della progressione q. Per creare equazioni è utile ricordare alcune formule.

Come esprimere l'ennesimo termine della progressione attraverso il primo termine della progressione e il denominatore della progressione: b(n)=b1*q^(n-1).

Consideriamo separatamente il caso |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии