نوشتن ریشه یک معادله درجه دوم. معادلات درجه دوم. حل معادلات درجه دوم

معادله نوع

اصطلاح D= ب 2 - 4acتماس گرفت ممیزمعادله درجه دوم. اگرD = 0، سپس معادله یک ریشه واقعی دارد. اگر D> 0، سپس معادله دو ریشه واقعی دارد.
در صورتی که D = 0 ، گاهی گفته می شود که یک معادله درجه دوم دو ریشه یکسان دارد.
با استفاده از نماد D= ب 2 - 4ac، فرمول (2) را می توان به صورت بازنویسی کرد

اگر ب= 2 هزار، سپس فرمول (2) به شکل زیر در می آید:

جایی که ک= ب / 2 .
آخرین فرمول به خصوص مناسب است زمانی که ب / 2 یک عدد صحیح است، یعنی ضریب ب- عدد زوج.
مثال 1:معادله را حل کنید 2 ایکس 2 - 5 x + 2 = 0 . اینجا a=2، b=-5، c=2. ما داریم D= ب 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . زیرا D > 0 ، پس معادله دو ریشه دارد. بیایید آنها را با فرمول (2) پیدا کنیم.

بنابراین ایکس 1 =(5 + 3) / 4 = 2، x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
به این معنا که ایکس 1 = 2 و ایکس 2 = 1 / 2 ریشه های معادله داده شده هستند.
مثال 2:معادله را حل کنید 2 ایکس 2 - 3 x + 5 = 0 . اینجا a=2، b=-3، c=5. پیدا کردن ممیز D= ب 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . زیرا D 0 ، پس معادله هیچ ریشه واقعی ندارد.

معادلات درجه دوم ناقص اگر در یک معادله درجه دوم تبر 2 +bx+c =0 عامل دوم بیا عضو رایگان جبرابر با صفر است، سپس معادله درجه دوم فراخوانی می شود ناقص. معادلات ناقص متمایز می شوند زیرا برای یافتن ریشه های آنها نمی توانید از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم استفاده کنید - حل معادله با فاکتورگیری سمت چپ آن آسان تر است.
مثال 1:معادله را حل کنید 2 ایکس 2 - 5 x = 0 .
ما داریم ایکس(2 x - 5) = 0 . پس یا ایکس = 0 ، یا 2 ایکس - 5 = 0 ، به این معنا که ایکس = 2.5 . بنابراین معادله دو ریشه دارد: 0 و 2.5
مثال 2:معادله را حل کنید 3 ایکس 2 - 27 = 0 .
ما داریم 3 ایکس 2 = 27 . بنابراین، ریشه های این معادله هستند 3 و -3 .

قضیه ویتا اگر معادله درجه دوم داده شده باشد ایکس 2 +px+ q =0 دارای ریشه های واقعی است، سپس مجموع آنها برابر است - پ، و محصول است q، به این معنا که

x 1 + x 2 \u003d -p،
x 1 x 2 = q

(مجموع ریشه های معادله درجه دوم برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است).

ما به مطالعه موضوع ادامه می دهیم حل معادلات". قبلا با معادلات خطی آشنا شدیم و اکنون قصد داریم با آن آشنا شویم معادلات درجه دوم.

ابتدا، در مورد چیستی معادله درجه دوم، نحوه نگارش آن به صورت کلی بحث خواهیم کرد و تعاریف مرتبط را ارائه خواهیم داد. پس از آن، با استفاده از مثال ها، نحوه حل معادلات درجه دوم ناقص را به تفصیل تحلیل خواهیم کرد. در مرحله بعد، بیایید به حل معادلات کامل برویم، فرمول ریشه ها را بدست آوریم، با ممیز یک معادله درجه دوم آشنا شویم و راه حل هایی را برای مثال های معمولی در نظر بگیریم. در نهایت، ما ارتباط بین ریشه ها و ضرایب را دنبال می کنیم.

پیمایش صفحه.

معادله درجه دوم چیست؟ انواع آنها

ابتدا باید به وضوح درک کنید که معادله درجه دوم چیست. بنابراین منطقی است که صحبت از معادلات درجه دوم را با تعریف معادله درجه دوم و همچنین تعاریف مرتبط با آن آغاز کنیم. پس از آن می توانید انواع اصلی معادلات درجه دوم را در نظر بگیرید: کاهش یافته و غیر کاهش یافته و همچنین معادلات کامل و ناقص.

تعریف و مثال هایی از معادلات درجه دوم

تعریف.

معادله درجه دوممعادله ای از فرم است a x 2 +b x+c=0، جایی که x یک متغیر است، a، b و c برخی از اعداد هستند و a با صفر متفاوت است.

بیایید بلافاصله بگوییم که معادلات درجه دوم اغلب معادلات درجه دوم نامیده می شوند. این به این دلیل است که معادله درجه دوم است معادله جبریدرجه دوم

تعریف صدا به ما اجازه می دهد تا مثال هایی از معادلات درجه دوم بیاوریم. بنابراین 2 x 2 +6 x+1=0، 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0، و غیره. معادلات درجه دوم هستند

تعریف.

شماره a، b و c نامیده می شوند ضرایب معادله درجه دوم a x 2 +b x + c=0 و ضریب a اولین یا ارشد یا ضریب در x 2 نامیده می شود، b ضریب دوم یا ضریب x و c عضو آزاد است.

به عنوان مثال، بیایید یک معادله درجه دوم به شکل 5 x 2 −2 x−3=0 در نظر بگیریم، در اینجا ضریب پیشرو 5، ضریب دوم −2، و جمله آزاد −3 است. توجه داشته باشید که وقتی ضرایب b و/یا c منفی هستند، همانطور که در مثالی که داده شد، از شکل کوتاه معادله درجه دوم به شکل 5 x 2 −2 x−3=0 استفاده می شود، نه 5 x 2 +(- 2 )x+(-3)=0.

شایان ذکر است که وقتی ضرایب a و / یا b برابر با 1 یا -1 هستند، معمولاً به صراحت در نماد معادله درجه دوم وجود ندارند، که به دلیل ویژگی های نمادگذاری چنین است. به عنوان مثال، در معادله درجه دوم y 2 −y+3=0، ضریب پیشرو یک و ضریب در y −1 است.

معادلات درجه دوم کاهش یافته و غیر کاهش یافته

بسته به مقدار ضریب پیشرو، معادلات درجه دوم کاهش یافته و غیر کاهش یافته متمایز می شوند. اجازه دهید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله درجه دومی که در آن ضریب پیشرو 1 است نامیده می شود معادله درجه دوم کاهش یافته. در غیر این صورت، معادله درجه دوم است کاهش نیافته.

طبق این تعریف، معادلات درجه دوم x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 و غیره. - کاهش می یابد، در هر یک از آنها ضریب اول برابر با یک است. و 5 x 2 −x−1=0 و غیره. - معادلات درجه دوم کاهش نیافته، ضرایب پیشرو آنها با 1 متفاوت است.

از هر معادله درجه دوم غیر کاهشی، با تقسیم هر دو قسمت آن بر ضریب پیشرو، می توانید به سمت کاهش یافته بروید. این عمل یک تبدیل معادل است، یعنی معادله درجه دوم کاهش یافته به دست آمده از این طریق دارای ریشه های معادل معادله درجه دوم غیر کاهش یافته اصلی است یا مانند آن ریشه ندارد.

بیایید مثالی از نحوه انتقال از یک معادله درجه دوم کاهش‌یافته به یک معادله کاهش‌یافته را مثال بزنیم.

مثال.

از معادله 3 x 2 +12 x−7=0، به معادله درجه دوم کاهش یافته مربوطه بروید.

راه حل.

کافی است تقسیم هر دو قسمت معادله اصلی را بر ضریب پیشرو 3 انجام دهیم، غیر صفر است، بنابراین می توانیم این عمل را انجام دهیم. داریم (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 که همان (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 و به همین ترتیب (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0، از آنجا . بنابراین معادله درجه دوم کاهش یافته را به دست آوردیم که معادل معادله اصلی است.

پاسخ:

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

در تعریف معادله درجه دوم شرط a≠0 وجود دارد. این شرط برای اینکه معادله a x 2 +b x+c=0 دقیقاً مربع باشد ضروری است، زیرا با a=0 در واقع به یک معادله خطی به شکل b x+c=0 تبدیل می شود.

در مورد ضرایب b و c هم به صورت جداگانه و هم با هم می توانند برابر با صفر باشند. در این موارد معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود.

تعریف.

معادله درجه دوم a x 2 +b x+c=0 نامیده می شود ناقص، اگر حداقل یکی از ضرایب b ، c برابر با صفر باشد.

در نوبتش

تعریف.

معادله درجه دوم کاملمعادله ای است که در آن همه ضرایب با صفر متفاوت هستند.

این نام ها تصادفی نیست. این از بحث بعدی روشن خواهد شد.

اگر ضریب b برابر با صفر باشد، معادله درجه دوم به شکل a x 2 + 0 x+c=0 است و معادل معادله a x 2 +c=0 است. اگر c=0، یعنی معادله درجه دوم به شکل a x 2 +b x+0=0 باشد، می توان آن را به صورت x 2 +b x=0 بازنویسی کرد. و با b=0 و c=0 معادله درجه دوم a·x 2 =0 را بدست می آوریم. معادلات به دست آمده با معادله درجه دوم کامل تفاوت دارند زیرا در سمت چپ آنها عبارتی با متغیر x یا عبارت آزاد یا هر دو وجود ندارد. از این رو نام آنها - معادلات درجه دوم ناقص است.

بنابراین معادلات x 2 +x+1=0 و −2 x 2 −5 x+0,2=0 نمونه‌هایی از معادلات درجه دوم هستند و x 2 = 0، −2 x 2 = 0، 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 معادلات درجه دوم ناقص هستند.

حل معادلات درجه دوم ناقص

از اطلاعات پاراگراف قبل چنین بر می آید که وجود دارد سه نوع معادله درجه دوم ناقص:

• a x 2 = 0، ضرایب b=0 و c=0 با آن مطابقت دارد.
• a x 2 +c=0 وقتی b=0 ;
• و x 2 +b x=0 وقتی c=0 .

اجازه دهید به ترتیب تجزیه و تحلیل کنیم که چگونه معادلات درجه دوم ناقص هر یک از این انواع حل می شوند.

a x 2 \u003d 0

بیایید با حل معادلات درجه دوم ناقص شروع کنیم که در آنها ضرایب b و c برابر با صفر هستند، یعنی با معادلاتی به شکل a x 2 = 0. معادله a·x 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است که با تقسیم هر دو قسمت آن بر یک عدد غیر صفر a از معادله اصلی به دست می آید. بدیهی است که ریشه معادله x 2 \u003d 0 صفر است زیرا 0 2 \u003d 0 است. این معادله هیچ ریشه دیگری ندارد، که توضیح داده شده است، در واقع، برای هر عدد غیر صفر p، نابرابری p 2 > 0 رخ می دهد، که نشان می دهد که برای p≠0، تساوی p 2 = 0 هرگز به دست نمی آید.

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص a x 2 \u003d 0 دارای یک ریشه واحد x \u003d 0 است.

به عنوان مثال، حل یک معادله درجه دوم ناقص −4·x 2 =0 را می‌دهیم. معادل معادله x 2 \u003d 0 است، تنها ریشه آن x \u003d 0 است، بنابراین، معادله اصلی دارای یک ریشه واحد صفر است.

یک راه حل کوتاه در این مورد می تواند به شرح زیر صادر شود:
−4 x 2 \u003d 0،
x 2 \u003d 0،
x=0.

a x 2 + c=0

حال در نظر بگیرید که چگونه معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند که ضریب b برابر با صفر و c≠0 یعنی معادلات شکل a x 2 +c=0 است. می دانیم که انتقال یک جمله از یک طرف معادله به طرف دیگر با علامت مخالف و همچنین تقسیم دو طرف معادله بر یک عدد غیر صفر، معادله ای معادل به دست می دهد. بنابراین، تبدیل‌های معادل زیر معادله درجه دوم ناقص a x 2 +c=0 را می‌توان انجام داد:

• c را به سمت راست حرکت دهید، که معادله a x 2 =−c را به دست می‌دهد،
• و هر دو قسمت آن را بر a تقسیم کنیم، بدست می آوریم.

معادله به دست آمده به ما امکان می دهد در مورد ریشه های آن نتیجه گیری کنیم. بسته به مقادیر a و c، مقدار عبارت می تواند منفی (به عنوان مثال، اگر a=1 و c=2، سپس ) یا مثبت باشد، (مثلا اگر a=−2 و c=6 باشد. , سپس ) برابر با صفر نیست زیرا با شرط c≠0 . موارد و موارد را جداگانه تحلیل خواهیم کرد.

اگر، پس معادله ریشه ندارد. این عبارت از این واقعیت ناشی می شود که مربع هر عدد یک عدد غیر منفی است. از این نتیجه می شود که وقتی , پس برای هر عدد p برابری نمی تواند صادق باشد.

اگر، پس وضعیت با ریشه های معادله متفاوت است. در این مورد، اگر به یاد بیاوریم، ریشه معادله بلافاصله آشکار می شود، این عدد است، زیرا. به راحتی می توان حدس زد که عدد نیز ریشه معادله است، در واقع، . این معادله ریشه دیگری ندارد که مثلاً با تناقض نشان داده شود. بیایید آن را انجام دهیم.

بیایید ریشه های معادله را به صورت x 1 و −x1 نشان دهیم. فرض کنید که معادله یک ریشه دیگر x 2 متفاوت از ریشه های نشان داده شده x 1 و −x 1 دارد. مشخص است که جایگزینی معادله به جای x از ریشه های آن، معادله را به یک برابری عددی واقعی تبدیل می کند. برای x 1 و −x 1 داریم و برای x 2 داریم. ویژگی‌های تساوی‌های عددی به ما امکان می‌دهند که یک تفریق ترم به ترم برابری‌های عددی صحیح را انجام دهیم، بنابراین تفریق بخش‌های مربوطه برابری‌ها x 1 2 − x 2 2 = 0 را به دست می‌دهد. ویژگی‌های عملیات با اعداد به ما اجازه می‌دهد تساوی حاصل را به صورت (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 بازنویسی کنیم. می دانیم که حاصل ضرب دو عدد برابر با صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از آنها برابر با صفر باشد. بنابراین، از تساوی به‌دست‌آمده چنین برمی‌آید که x 1 −x 2 = 0 و/یا x 1 +x 2 =0، که یکسان است، x 2 =x 1 و/یا x 2 = −x 1. بنابراین ما به یک تناقض رسیدیم، زیرا در ابتدا گفتیم که ریشه معادله x 2 با x 1 و −x 1 متفاوت است. این ثابت می کند که معادله هیچ ریشه دیگری جز و ندارد.

بیایید اطلاعات این پاراگراف را خلاصه کنیم. معادله درجه دوم ناقص a x 2 +c=0 معادل معادله ای است که

• ریشه ندارد اگر،
• دو ریشه دارد و اگر .

مثال هایی از حل معادلات درجه دوم ناقص به شکل a·x 2 +c=0 را در نظر بگیرید.

بیایید با معادله درجه دوم 9 x 2 +7=0 شروع کنیم. پس از انتقال عبارت آزاد به سمت راست معادله، به شکل 9·x 2 =−7 خواهد بود. با تقسیم دو طرف معادله به دست آمده بر 9 ، به . از آنجایی که یک عدد منفی در سمت راست به دست می آید، این معادله ریشه ندارد، بنابراین معادله درجه دوم ناقص اولیه 9 x 2 +7=0 ریشه ندارد.

بیایید یک معادله درجه دوم ناقص دیگر را حل کنیم -x 2 +9=0. ما نه را به سمت راست منتقل می کنیم: -x 2 \u003d -9. حالا هر دو قسمت را بر 1- تقسیم می کنیم، x 2 =9 به دست می آید. سمت راست شامل یک عدد مثبت است که از آن نتیجه می گیریم که یا . بعد از اینکه جواب نهایی را یادداشت کردیم: معادله درجه دوم ناقص −x 2 +9=0 دو ریشه x=3 یا x=−3 دارد.

a x 2 +b x=0

باقی مانده است که به حل آخرین نوع معادلات درجه دوم ناقص برای c=0 بپردازیم. معادلات درجه دوم ناقص شکل a x 2 +b x=0 به شما امکان می دهد حل کنید روش فاکتورسازی. بدیهی است که می‌توانیم در سمت چپ معادله قرار داشته باشیم که برای آن کافی است ضریب مشترک x را از پرانتز خارج کنیم. این به ما امکان می دهد از معادله درجه دوم ناقص اصلی به یک معادله معادل به شکل x·(a·x+b)=0 حرکت کنیم. و این معادله معادل مجموعه دو معادله x=0 و یک x+b=0 است که آخرین آنها خطی و دارای ریشه x=−b/a است.

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص a x 2 +b x=0 دارای دو ریشه x=0 و x=−b/a است.

برای ادغام مطالب، راه حل یک مثال خاص را تجزیه و تحلیل می کنیم.

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

x را از پرانتز خارج می کنیم، این معادله را نشان می دهد. معادل دو معادله x=0 و . معادله خطی حاصل را حل می کنیم: و پس از تقسیم عدد مختلط بر کسری معمولی، پیدا می کنیم. بنابراین، ریشه های معادله اصلی x=0 و .

پس از تمرين لازم مي توان جواب اين گونه معادلات را به طور خلاصه نوشت:

پاسخ:

x=0، .

متمایز، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

برای حل معادلات درجه دوم یک فرمول ریشه وجود دارد. بیایید بنویسیم فرمول ریشه های معادله درجه دوم: ، جایی که D=b 2-4 a c- باصطلاح تمایز یک معادله درجه دوم. نماد در اصل به این معنی است که .

دانستن اینکه فرمول ریشه چگونه به دست آمده و چگونه در یافتن ریشه معادلات درجه دوم کاربرد دارد مفید است. بیایید به این موضوع بپردازیم.

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

اجازه دهید معادله درجه دوم a·x 2 +b·x+c=0 را حل کنیم. بیایید چند تبدیل معادل را انجام دهیم:

• می‌توانیم هر دو بخش این معادله را بر یک عدد غیر صفر a تقسیم کنیم، در نتیجه معادله درجه دوم کاهش یافته را به دست می‌آوریم.
• اکنون مربع کامل را انتخاب کنیددر سمت چپ آن: . پس از آن، معادله شکل می گیرد.
• در این مرحله می‌توان انتقال دو ترم آخر را به سمت راست با علامت مخالف انجام داد.
• و همچنین عبارت سمت راست را تبدیل کنیم: .

در نتیجه به معادله می رسیم که معادل معادله درجه دوم اصلی a·x 2 +b·x+c=0 است.

ما قبلاً معادلات مشابه در شکل را در پاراگراف های قبلی هنگام تجزیه و تحلیل حل کرده ایم. این به ما امکان می دهد تا در مورد ریشه های معادله نتایج زیر را بدست آوریم:

• اگر ، پس معادله هیچ راه حل واقعی ندارد.
• اگر، پس معادله شکلی دارد، بنابراین، که تنها ریشه آن قابل مشاهده است.
• اگر، آنگاه یا، که همان یا است، یعنی معادله دو ریشه دارد.

بنابراین، وجود یا عدم وجود ریشه های معادله، و از این رو معادله درجه دوم اصلی، به علامت عبارت در سمت راست بستگی دارد. به نوبه خود، علامت این عبارت با علامت صورت تعیین می شود، زیرا مخرج 4 a 2 همیشه مثبت است، یعنی علامت عبارت b 2 −4 a c . این عبارت b 2 −4 a c نامیده می شود تمایز یک معادله درجه دومو با حرف مشخص شده است D. از اینجا ماهیت ممیز مشخص می شود - با مقدار و علامت آن به این نتیجه می رسد که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی دارد و اگر چنین است تعداد آنها چند است - یک یا دو.

ما به معادله برمی گردیم، آن را با استفاده از نماد ممیز بازنویسی می کنیم: . و نتیجه می گیریم:

• اگر D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• اگر D=0 باشد، این معادله یک ریشه دارد.
• در نهایت اگر D>0 باشد، معادله دارای دو ریشه یا می باشد که می توان آن ها را به شکل یا بازنویسی کرد و پس از بسط و کاهش کسرها به مخرج مشترک، به دست می آید.

بنابراین ما فرمول‌های ریشه‌های معادله درجه دوم را استخراج کردیم، به نظر می‌رسند، جایی که ممیز D با فرمول D=b 2-4 a c محاسبه می‌شود.

با کمک آنها، با یک ممیز مثبت، می توانید هر دو ریشه واقعی یک معادله درجه دوم را محاسبه کنید. هنگامی که ممیز برابر با صفر است، هر دو فرمول مقدار ریشه یکسان مربوط به تنها راه حل معادله درجه دوم را می دهند. و با تمایز منفی، هنگام تلاش برای استفاده از فرمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم، با استخراج جذر از یک عدد منفی مواجه می شویم که ما را از محدوده برنامه درسی مدرسه خارج می کند. با یک ممیز منفی، معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد، اما دارای یک جفت است مزدوج پیچیدهریشه‌ها را می‌توان با استفاده از همان فرمول‌های ریشه‌ای که ما به دست آوردیم پیدا کرد.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه

در عمل، هنگام حل یک معادله درجه دوم، می توانید بلافاصله از فرمول ریشه استفاده کنید که با آن مقادیر آنها را محاسبه کنید. اما این بیشتر در مورد یافتن ریشه های پیچیده است.

با این حال، در یک دوره جبر مدرسه، ما معمولا در مورد پیچیده نیست، بلکه در مورد ریشه های واقعی یک معادله درجه دوم صحبت می کنیم. در این مورد، توصیه می شود ابتدا قبل از استفاده از فرمول های ریشه های معادله درجه دوم، ممیز را پیدا کنید، از منفی نبودن آن اطمینان حاصل کنید (در غیر این صورت می توانیم نتیجه بگیریم که معادله ریشه واقعی ندارد) و بعد از آن مقادیر ریشه ها را محاسبه کنید.

استدلال بالا به ما اجازه نوشتن را می دهد الگوریتم حل معادله درجه دوم. برای حل معادله درجه دوم a x 2 + b x + c \u003d 0، شما نیاز دارید:

• با استفاده از فرمول متمایز D=b 2-4 a c مقدار آن را محاسبه کنید.
• نتیجه بگیرید که معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد اگر ممیز منفی باشد.
• تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول محاسبه کنید اگر D=0 ;
• اگر ممیز مثبت باشد، دو ریشه واقعی یک معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول ریشه پیدا کنید.

در اینجا فقط توجه می کنیم که اگر ممیز برابر با صفر باشد، از فرمول نیز می توان استفاده کرد، همان مقدار را به دست می دهد.

می توانید به سراغ مثال هایی از استفاده از الگوریتم حل معادلات درجه دوم بروید.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

راه حل های سه معادله درجه دوم با تفکیک مثبت، منفی و صفر را در نظر بگیرید. پس از پرداختن به حل آنها، بر اساس قیاس، حل هر معادله درجه دوم دیگری امکان پذیر خواهد بود. بیا شروع کنیم.

مثال.

ریشه های معادله x 2 +2 x−6=0 را بیابید.

راه حل.

در این حالت، ضرایب زیر را از معادله درجه دوم داریم: a=1، b=2 و c=−6. طبق الگوریتم، ابتدا باید تفکیک کننده را محاسبه کنید، برای این کار، a، b و c نشان داده شده را به فرمول تفکیک جایگزین می کنیم. D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (-6)=4+24=28. از آنجایی که 28> 0، یعنی ممیز بزرگتر از صفر است، معادله درجه دوم دو ریشه واقعی دارد. بیایید آنها را با فرمول ریشه ها پیدا کنیم، می گیریم، در اینجا می توانیم عبارات به دست آمده را با انجام دادن ساده کنیم فاکتور گرفتن علامت ریشهبه دنبال آن کاهش کسری:

پاسخ:

بیایید به مثال معمولی بعدی برویم.

مثال.

معادله درجه دوم −4 x 2 +28 x−49=0 را حل کنید.

راه حل.

ما با یافتن متمایز شروع می کنیم: D=28 2-4 (-4) (-49)=784-784=0. بنابراین، این معادله درجه دوم یک ریشه دارد که ما آن را به صورت، یعنی

پاسخ:

x=3.5

باقی مانده است که حل معادلات درجه دوم را با ممیز منفی در نظر بگیریم.

مثال.

معادله 5 y 2 +6 y+2=0 را حل کنید.

راه حل.

در اینجا ضرایب معادله درجه دوم آمده است: a=5 , b=6 و c=2 . جایگزینی این مقادیر در فرمول تفکیک کننده، داریم D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. ممیز منفی است، بنابراین، این معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد.

اگر نیاز به تعیین ریشه های پیچیده دارید، از فرمول شناخته شده برای ریشه های معادله درجه دوم استفاده می کنیم و عملیات با اعداد مختلط:

پاسخ:

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، ریشه های پیچیده عبارتند از: .

یک بار دیگر متذکر می شویم که اگر ممیز معادله درجه دوم منفی باشد، مدرسه معمولاً بلافاصله پاسخ را یادداشت می کند، که در آن نشان می دهد که ریشه واقعی وجود ندارد و ریشه های پیچیده پیدا نمی کنند.

فرمول ریشه برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، که در آن D=b 2-4 a c به شما اجازه می دهد تا فرمول فشرده تری به دست آورید که به شما امکان می دهد معادلات درجه دوم را با ضریب زوج در x (یا به سادگی با ضریب 2 n حل کنید. برای مثال، یا 14 ln5=2 7 ln5). بیا بیرونش کنیم

فرض کنید باید یک معادله درجه دوم از شکل a x 2 + 2 n x + c=0 را حل کنیم. بیایید ریشه های آن را با استفاده از فرمولی که برای ما شناخته شده است پیدا کنیم. برای این کار تفکیک کننده را محاسبه می کنیم D=(2 n) 2-4 a c=4 n 2-4 a c=4 (n 2-a c)، و سپس از فرمول ریشه استفاده می کنیم:

عبارت n 2 −a c را با D 1 نشان دهید (گاهی اوقات با D نشان داده می شود) سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم در نظر گرفته شده با ضریب دوم 2 n شکل می گیرد. ، که در آن D 1 = n 2 -a c .

به راحتی می توان دید که D=4·D 1 یا D 1 =D/4 . به عبارت دیگر D 1 قسمت چهارم ممیز است. واضح است که علامت D 1 همان علامت D است. یعنی علامت D 1 نیز نشانگر وجود یا عدم وجود ریشه های معادله درجه دوم است.

بنابراین، برای حل یک معادله درجه دوم با ضریب دوم 2 n، شما نیاز دارید

• محاسبه D 1 = n 2 −a·c ;
• اگر D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• اگر D 1 = 0، سپس تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول محاسبه کنید.
• اگر D 1 > 0 باشد، با استفاده از فرمول دو ریشه واقعی پیدا کنید.

حل مثال را با استفاده از فرمول ریشه به دست آمده در این پاراگراف در نظر بگیرید.

مثال.

معادله درجه دوم 5 x 2 −6 x−32=0 را حل کنید.

راه حل.

ضریب دوم این معادله را می توان به صورت 2·(-3) نشان داد. یعنی می توانید معادله درجه دوم اصلی را به شکل 5 x 2 +2 (-3) x−32=0 بازنویسی کنید، در اینجا a=5، n=−3 و c=−32، و قسمت چهارم را محاسبه کنید. متمایز کننده: D 1 =n 2 -a c=(-3) 2-5 (-32)=9+160=169. از آنجایی که مقدار آن مثبت است، معادله دو ریشه واقعی دارد. ما آنها را با استفاده از فرمول ریشه مربوطه پیدا می کنیم:

توجه داشته باشید که استفاده از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم امکان پذیر بود، اما در این صورت باید کارهای محاسباتی بیشتری انجام شود.

پاسخ:

ساده سازی شکل معادلات درجه دوم

گاهی اوقات، قبل از شروع محاسبه ریشه های یک معادله درجه دوم با استفاده از فرمول ها، پرسیدن این سوال ضرری ندارد: "آیا می توان شکل این معادله را ساده کرد؟" موافق باشید که از نظر محاسبات، حل معادله درجه دوم 11 x 2 −4 x −6=0 آسان تر از 1100 x 2 −400 x−600=0 خواهد بود.

معمولاً ساده‌سازی شکل یک معادله درجه دوم با ضرب یا تقسیم دو طرف آن در مقداری حاصل می‌شود. به عنوان مثال، در پاراگراف قبل، ما موفق شدیم با تقسیم هر دو طرف بر 100 به ساده‌سازی معادله 1100 x 2 −400 x −600=0 برسیم.

یک تبدیل مشابه با معادلات درجه دوم انجام می شود که ضرایب آن نیست. در این حالت معمولاً هر دو بخش معادله بر مقادیر مطلق ضرایب آن تقسیم می شوند. برای مثال، اجازه دهید معادله درجه دوم 12 x 2 −42 x+48=0 را در نظر بگیریم. مقادیر مطلق ضرایب آن: gcd(12، 42، 48) = gcd(gcd(12، 42)، 48) = gcd(6، 48) = 6. با تقسیم هر دو قسمت معادله درجه دوم بر 6، به معادله درجه دوم معادل 2 x 2 −7 x+8=0 می رسیم.

و معمولاً ضرب هر دو قسمت معادله درجه دوم برای خلاص شدن از شر ضرایب کسری انجام می شود. در این حالت، ضرب بر روی مخرج ضرایب آن انجام می شود. به عنوان مثال، اگر هر دو بخش یک معادله درجه دوم در LCM(6, 3, 1)=6 ضرب شوند، شکل ساده تری به خود می گیرد x 2 +4 x−18=0 .

در پایان این پاراگراف، یادآور می‌شویم که تقریباً همیشه با تغییر علائم همه عبارت‌ها، که مربوط به ضرب (یا تقسیم) هر دو قسمت در -1 است، از منهای ضریب اصلی معادله درجه دوم خلاص شوید. به عنوان مثال، معمولاً از معادله درجه دوم −2·x 2 −3·x+7=0 به جواب 2·x 2 +3·x−7=0 بروید.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، ریشه های یک معادله را بر حسب ضرایب آن بیان می کند. بر اساس فرمول ریشه ها، می توانید روابط دیگری بین ریشه ها و ضرایب بدست آورید.

شناخته شده ترین و کاربردی ترین فرمول ها از قضیه Vieta شکل و . به طور خاص، برای معادله درجه دوم داده شده، مجموع ریشه ها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است و حاصل ضرب ریشه ها عبارت آزاد است. به عنوان مثال، با شکل معادله درجه دوم 3 x 2 −7 x+22=0 بلافاصله می توان گفت که مجموع ریشه های آن 7/3 و حاصل ضرب ریشه ها 22/3 است.

با استفاده از فرمول های قبلاً نوشته شده، می توانید تعدادی رابطه دیگر بین ریشه ها و ضرایب معادله درجه دوم بدست آورید. برای مثال می توانید مجموع مجذورات یک معادله درجه دوم را بر حسب ضرایب آن بیان کنید: .

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای 8 سلول آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م : آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
• موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.

” یعنی معادلات درجه اول. در این درس به بررسی خواهیم پرداخت معادله درجه دوم چیستو نحوه حل آن

معادله درجه دوم چیست؟

مهم!

درجه یک معادله با بالاترین درجه ای که مجهول در آن قرار دارد تعیین می شود.

اگر حداکثر درجه ای که مجهول می ایستد "2" باشد، یک معادله درجه دوم دارید.

نمونه هایی از معادلات درجه دوم

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

مهم! شکل کلی معادله درجه دوم به صورت زیر است:

A x 2 + b x + c = 0

"a"، "b" و "c" - اعداد داده شده.

• "الف" - ضریب اول یا ارشد؛
• "ب" - ضریب دوم؛
• "c" یک عضو رایگان است.

برای پیدا کردن "a"، "b" و "c" باید معادله خود را با شکل کلی معادله درجه دوم "ax 2 + bx + c \u003d 0" مقایسه کنید.

بیایید تعیین ضرایب "الف"، "ب" و "ج" را در معادلات درجه دوم تمرین کنیم.

5x2 - 14x + 17 = 0 7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

معادله	شانس
a=5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم

بر خلاف معادلات خطی، برای حل معادلات درجه دوم از یک معادله خاص استفاده می شود. فرمول یافتن ریشه.

یاد آوردن!

برای حل یک معادله درجه دوم شما نیاز دارید:

• معادله درجه دوم را به شکل کلی "ax 2 + bx + c \u003d 0" بیاورید. یعنی فقط "0" باید در سمت راست باقی بماند.
• از فرمول ریشه استفاده کنید:

بیایید از یک مثال استفاده کنیم تا نحوه اعمال فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم را بفهمیم. بیایید معادله درجه دوم را حل کنیم.

X 2 - 3x - 4 = 0

معادله "x 2 - 3x - 4 = 0" قبلاً به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" کاهش یافته است و نیازی به ساده سازی اضافی ندارد. برای حل آن، فقط باید اعمال کنیم فرمول یافتن ریشه یک معادله درجه دوم.

بیایید ضرایب "الف"، "ب" و "ج" را برای این معادله تعریف کنیم.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

با کمک آن، هر معادله درجه دوم حل می شود.

در فرمول "x 1; 2 \u003d" عبارت ریشه اغلب جایگزین می شود
"b 2 − 4ac" به حرف "D" و متمایز نامیده می شود. مفهوم ممیز در درس «ممیز چیست» با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار گرفته است.

مثال دیگری از یک معادله درجه دوم را در نظر بگیرید.

x 2 + 9 + x = 7x

در این شکل، تعیین ضرایب "الف"، "ب" و "ج" نسبتاً دشوار است. بیایید ابتدا معادله را به شکل کلی "ax 2 + bx + c \u003d 0" بیاوریم.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6 x + 9 = 0

حالا می توانید از فرمول برای ریشه ها استفاده کنید.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x=

6

2

x=3
پاسخ: x = 3

مواقعی وجود دارد که هیچ ریشه ای در معادلات درجه دوم وجود ندارد. این وضعیت زمانی رخ می دهد که یک عدد منفی در فرمول زیر ریشه ظاهر شود.

معادله درجه دوم - آسان برای حل! *در ادامه متن "KU".دوستان، به نظر می رسد که در ریاضیات می تواند راحت تر از حل چنین معادله ای باشد. اما چیزی به من گفت که خیلی ها با او مشکل دارند. تصمیم گرفتم ببینم که Yandex به ازای هر درخواست در ماه چند برداشت می دهد. این چیزی است که اتفاق افتاده است، نگاه کنید:

چه مفهومی داره؟ این بدان معنی است که حدود 70000 نفر در ماه به دنبال این اطلاعات هستند، و این تابستان است، و آنچه در طول سال تحصیلی اتفاق می افتد - دو برابر بیشتر درخواست می شود. این تعجب آور نیست، زیرا آن دسته از پسران و دخترانی که مدت هاست از مدرسه فارغ التحصیل شده اند و برای امتحان آماده می شوند به دنبال این اطلاعات هستند و دانش آموزان مدرسه نیز سعی می کنند حافظه خود را تازه کنند.

علیرغم اینکه سایت های زیادی وجود دارند که نحوه حل این معادله را بیان می کنند، من تصمیم گرفتم که مطالب را نیز منتشر کنم. اولاً، من می‌خواهم بازدیدکنندگان با این درخواست به سایت من بیایند. ثانیاً در مقالات دیگر وقتی گفتار "KU" مطرح می شود ، پیوندی به این مقاله خواهم داد. ثالثاً من در مورد راه حل او کمی بیشتر از آنچه در سایت های دیگر گفته می شود به شما خواهم گفت. بیا شروع کنیم!محتوای مقاله:

معادله درجه دوم معادله ای به شکل زیر است:

جایی که ضرایب a،بو با اعداد دلخواه، با a≠0.

در دوره مدرسه، مطالب به شکل زیر ارائه می شود - تقسیم معادلات به سه کلاس به صورت مشروط انجام می شود:

1. دو ریشه داشته باشید.

2. * فقط یک ریشه داشته باشد.

3. ریشه نداشته باشید. در اینجا شایان ذکر است که آنها ریشه واقعی ندارند

ریشه ها چگونه محاسبه می شوند؟ فقط!

تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. زیر این کلمه "وحشتناک" یک فرمول بسیار ساده نهفته است:

فرمول های ریشه به شرح زیر است:

*این فرمول ها را باید از روی قلب دانست.

می توانید بلافاصله بنویسید و تصمیم بگیرید:

مثال:

1. اگر D > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد.

2. اگر D = 0 باشد، معادله یک ریشه دارد.

3. اگر D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

بیایید به معادله نگاه کنیم:

به این مناسبت وقتی ممیز صفر شد درس مدرسه می گوید یک ریشه به دست می آید اینجا برابر با نه است. درست است، اما...

این نمایش تا حدودی نادرست است. در واقع دو ریشه وجود دارد. بله، بله، تعجب نکنید، معلوم می شود دو ریشه مساوی است، و برای اینکه از نظر ریاضی دقیق باشد، در پاسخ باید دو ریشه نوشت:

x 1 = 3 x 2 = 3

اما این چنین است - یک انحراف کوچک. در مدرسه می توانید یادداشت کنید و بگویید که فقط یک ریشه وجود دارد.

حالا مثال زیر:

همانطور که می دانیم ریشه یک عدد منفی استخراج نمی شود، بنابراین هیچ راه حلی در این مورد وجود ندارد.

این کل فرآیند تصمیم گیری است.

تابع درجه دوم.

در اینجا نحوه حل هندسی به نظر می رسد. درک این بسیار مهم است (در آینده، در یکی از مقالات، حل یک نابرابری درجه دوم را با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).

این تابعی از فرم است:

که در آن x و y متغیر هستند

a، b، c اعدادی هستند که a ≠ 0 است

نمودار سهمی است:

یعنی معلوم می شود که با حل یک معادله درجه دوم با «y» برابر با صفر، نقاط تقاطع سهمی را با محور x می یابیم. دو مورد از این نقاط می تواند وجود داشته باشد (ممیز مثبت است)، یکی (ممیز صفر است) یا هیچ یک (ممیز منفی است). اطلاعات بیشتر در مورد تابع درجه دوم می توانید مشاهده کنیدمقاله اینا فلدمن

نمونه هایی را در نظر بگیرید:

مثال 1: تصمیم بگیرید 2 برابر 2 +8 ایکس–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

پاسخ: x 1 = 8 x 2 = -12

* بلافاصله می توانید سمت چپ و راست معادله را بر 2 تقسیم کنید، یعنی آن را ساده کنید. محاسبات راحت تر خواهد بود.

مثال 2: تصميم گرفتن x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

دریافتیم که x 1 \u003d 11 و x 2 \u003d 11

در جواب جایز است x=11 بنویسیم.

پاسخ: x = 11

مثال 3: تصميم گرفتن x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ممیز منفی است، هیچ راه حلی در اعداد واقعی وجود ندارد.

پاسخ: راه حلی نیست

ممیز منفی است. راه حلی وجود دارد!

در اینجا در مورد حل معادله در موردی که ممیز منفی به دست می آید صحبت خواهیم کرد. آیا در مورد اعداد مختلط چیزی می دانید؟ من در اینجا به جزئیات در مورد اینکه چرا و کجا به وجود آمده اند و نقش و ضرورت خاص آنها در ریاضیات چیست نمی پردازم، این موضوع برای یک مقاله بزرگ جداگانه است.

مفهوم عدد مختلط

کمی تئوری

عدد مختلط z عددی از فرم است

z = a + bi

جایی که a و b اعداد واقعی هستند، i به اصطلاح واحد خیالی است.

a+bi یک عدد واحد است، نه اضافه.

واحد خیالی برابر است با ریشه منهای یک:

حالا معادله را در نظر بگیرید:

دو ریشه مزدوج بگیرید.

معادله درجه دوم ناقص.

موارد خاص را در نظر بگیرید، این زمانی است که ضریب "b" یا "c" برابر با صفر (یا هر دو برابر با صفر) باشد. آنها به راحتی و بدون هیچ تبعیضی حل می شوند.

مورد 1. ضریب b = 0.

معادله به شکل زیر است:

بیایید تبدیل کنیم:

مثال:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

مورد 2. ضریب c = 0.

معادله به شکل زیر است:

تبدیل، فاکتورسازی:

*زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است.

مثال:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 یا x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

مورد 3. ضرایب b = 0 و c = 0.

در اینجا واضح است که جواب معادله همیشه x = 0 خواهد بود.

خواص مفید و الگوهای ضرایب.

خواصی وجود دارد که به حل معادلات با ضرایب بزرگ اجازه می دهد.

آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری

آ + ب+ c = 0،که

- اگر برای ضرایب معادله آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری

آ+ با =ب, که

این ویژگی ها به حل نوع خاصی از معادله کمک می کند.

مثال 1: 5001 ایکس 2 –4995 ایکس – 6=0

مجموع ضرایب 5001 + ( – 4995)+(– 6) = 0، بنابراین

مثال 2: 2501 ایکس 2 +2507 ایکس+6=0

برابری آ+ با =ب, به معنای

نظم ضرایب.

1. اگر در معادله ax 2 + bx + c \u003d 0 ضریب "b" (a 2 +1) باشد و ضریب "c" از نظر عددی برابر با ضریب "a" باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

مثال. معادله 6x2 +37x+6 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. اگر در معادله ax 2 - bx + c \u003d 0 ، ضریب "b" (a 2 +1) باشد و ضریب "c" از نظر عددی برابر با ضریب "a" باشد ، ریشه های آن برابر است.

تبر 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

مثال. معادله 15x2 –226x+15 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. اگر در معادله ax 2 + bx - c = 0 ضریب "b" برابر است (a 2 - 1) و ضریب "c" عددی برابر با ضریب "a", سپس ریشه های آن برابر است

تبر 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

مثال. معادله 17 x 2 + 288 x - 17 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. اگر در معادله ax 2 - bx - c \u003d 0 ، ضریب "b" برابر با (a 2 - 1) و ضریب c از نظر عددی برابر با ضریب "a" باشد ، ریشه های آن برابر است.

تبر 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

مثال. معادله 10x2 - 99x -10 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

قضیه ویتا

قضیه ویتا به افتخار ریاضیدان معروف فرانسوی فرانسوا ویتا نامگذاری شده است. با استفاده از قضیه ویتا می توان مجموع و حاصلضرب ریشه های یک KU دلخواه را بر حسب ضرایب آن بیان کرد.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

در مجموع، عدد 14 فقط 5 و 9 را می دهد. اینها ریشه ها هستند. با مهارت خاصی، با استفاده از قضیه ارائه شده، می توانید بسیاری از معادلات درجه دوم را بلافاصله به صورت شفاهی حل کنید.

علاوه بر این، قضیه ویتا. راحت است زیرا پس از حل معادله درجه دوم به روش معمول (از طریق تشخیص) می توان ریشه های حاصل را بررسی کرد. توصیه می کنم همیشه این کار را انجام دهید.

روش انتقال

با این روش ضریب "الف" در جمله آزاد ضرب می شود، گویی به آن "انتقال" می شود، به همین دلیل به آن می گویند. روش انتقالاز این روش زمانی استفاده می شود که ریشه های یک معادله را بتوان به راحتی با استفاده از قضیه ویتا پیدا کرد و مهمتر از همه، زمانی که ممیز یک مربع دقیق باشد.

اگر آ± b+c≠ 0، سپس از تکنیک انتقال استفاده می شود، به عنوان مثال:

2ایکس 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => ایکس 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

با توجه به قضیه ویتا در معادله (2)، به راحتی می توان تعیین کرد که x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

ریشه های حاصل از معادله باید بر 2 تقسیم شود (از آنجایی که این دو از x 2 "پرتاب" شده اند)، به دست می آوریم

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

منطق چیست؟ ببین چه خبره

ممیز معادلات (1) و (2) عبارتند از:

اگر به ریشه معادلات نگاه کنید، فقط مخرج های مختلف به دست می آید و نتیجه دقیقاً به ضریب x 2 بستگی دارد:

ریشه دوم (اصلاح شده) 2 برابر بزرگتر است.

بنابراین، نتیجه را بر 2 تقسیم می کنیم.

*اگر سه تا از یک نوع رول کنیم، نتیجه را بر 3 تقسیم می کنیم و به همین ترتیب.

پاسخ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

مربع ur-ie و امتحان

به طور خلاصه در مورد اهمیت آن می گویم - شما باید بتوانید سریع و بدون فکر تصمیم بگیرید، باید فرمول های ریشه و تمایز را از روی قلب بدانید. بسیاری از کارهایی که بخشی از وظایف USE هستند به حل یک معادله درجه دوم (از جمله موارد هندسی) خلاصه می شوند.

آنچه قابل توجه است!

1. شکل معادله می تواند «ضمنی» باشد. به عنوان مثال، ورودی زیر ممکن است:

15+ 9x 2 - 45x = 0 یا 15x+42+9x 2 - 45x=0 یا 15 -5x+10x 2 = 0.

شما باید آن را به یک فرم استاندارد بیاورید (تا هنگام حل گیج نشوید).

2. به یاد داشته باشید که x یک مقدار مجهول است و می توان آن را با هر حرف دیگری نشان داد - t، q، p، h و غیره.

این موضوع ممکن است در ابتدا به دلیل فرمول های نه چندان ساده بسیار پیچیده به نظر برسد. نه تنها خود معادلات درجه دوم ورودی های طولانی دارند، بلکه ریشه ها نیز از طریق ممیز یافت می شوند. در کل سه فرمول جدید وجود دارد. به خاطر سپردن خیلی آسان نیست. این تنها پس از حل مکرر چنین معادلاتی امکان پذیر است. سپس تمام فرمول ها توسط خودشان به خاطر سپرده می شوند.

نمای کلی معادله درجه دوم

در اینجا نماد صریح آنها پیشنهاد می شود، زمانی که بزرگترین درجه ابتدا نوشته می شود، و سپس - به ترتیب نزولی. اغلب شرایطی وجود دارد که شرایط از هم جدا می شوند. سپس بهتر است معادله را به ترتیب نزولی درجه متغیر بازنویسی کنید.

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم. آنها در جدول زیر ارائه شده اند.

اگر این نمادها را بپذیریم، تمام معادلات درجه دوم به نماد زیر کاهش می یابد.

علاوه بر این، ضریب a ≠ 0. اجازه دهید این فرمول با عدد یک نشان داده شود.

وقتی معادله داده می شود، مشخص نیست که چند ریشه در پاسخ خواهد بود. زیرا یکی از سه گزینه همیشه ممکن است:

• راه حل دو ریشه خواهد داشت.
• پاسخ یک عدد خواهد بود.
• معادله اصلا ریشه ندارد.

و در حالی که تصمیم به پایان نرسیده است، درک اینکه کدام یک از گزینه ها در یک مورد خاص از بین می رود دشوار است.

انواع رکوردهای معادلات درجه دوم

وظایف ممکن است ورودی های متفاوتی داشته باشند. آنها همیشه شبیه فرمول کلی یک معادله درجه دوم نیستند. گاهی اوقات فاقد برخی شرایط است. آنچه در بالا نوشته شد معادله کامل است. اگر عبارت دوم یا سوم را در آن حذف کنید، چیز متفاوتی دریافت خواهید کرد. به این رکوردها معادلات درجه دوم نیز گفته می شود، فقط ناقص.

علاوه بر این، فقط عباراتی که برای آنها ضرایب "b" و "c" می توانند ناپدید شوند. عدد "الف" در هیچ شرایطی نمی تواند برابر با صفر باشد. زیرا در این حالت فرمول به یک معادله خطی تبدیل می شود. فرمول شکل ناقص معادلات به صورت زیر خواهد بود:

بنابراین، فقط دو نوع وجود دارد، علاوه بر کامل، معادلات درجه دوم ناقص نیز وجود دارد. بگذارید فرمول اول شماره دو و فرمول دوم شماره سه باشد.

تمایز و وابستگی تعداد ریشه ها به مقدار آن

برای محاسبه ریشه های معادله باید این عدد را دانست. همیشه می توان آن را محاسبه کرد، مهم نیست که فرمول معادله درجه دوم چیست. برای محاسبه ممیز باید از تساوی نوشته شده در زیر استفاده کنید که عدد چهار را خواهد داشت.

پس از جایگزینی مقادیر ضرایب در این فرمول، می توانید اعدادی با علائم مختلف بدست آورید. اگر پاسخ مثبت است، پاسخ معادله دو ریشه متفاوت خواهد بود. با عدد منفی، ریشه های معادله درجه دوم وجود ندارد. اگر برابر با صفر باشد جواب یک خواهد بود.

چگونه یک معادله درجه دوم کامل حل می شود؟

در واقع بررسی این موضوع از قبل آغاز شده است. زیرا ابتدا باید متمایز کننده را پیدا کنید. پس از اینکه مشخص شد که معادله درجه دوم ریشه هایی وجود دارد و تعداد آنها مشخص شد، باید از فرمول های متغیرها استفاده کنید. اگر دو ریشه وجود دارد، پس باید چنین فرمولی را اعمال کنید.

از آنجایی که حاوی علامت "±" است، دو مقدار وجود خواهد داشت. عبارت زیر علامت جذر ممیز است. بنابراین، فرمول را می توان به روش دیگری بازنویسی کرد.

فرمول پنج. از همان رکورد می توان دریافت که اگر ممیز صفر باشد، هر دو ریشه مقادیر یکسانی خواهند داشت.

اگر حل معادلات درجه دوم هنوز کار نشده است، بهتر است قبل از اعمال فرمول های متمایز و متغیر، مقادیر همه ضرایب را یادداشت کنید. بعداً این لحظه مشکلی ایجاد نخواهد کرد. اما در همان ابتدا سردرگمی وجود دارد.

چگونه یک معادله درجه دوم ناقص حل می شود؟

همه چیز در اینجا بسیار ساده تر است. حتی نیازی به فرمول های اضافی نیست. و شما به مواردی که قبلاً برای ممیز و ناشناخته نوشته شده است نیاز نخواهید داشت.

ابتدا معادله ناقص شماره دو را در نظر بگیرید. در این برابری قرار است مقدار مجهول را از براکت خارج کرده و معادله خطی را حل کند که در براکت ها باقی می ماند. پاسخ دو ریشه خواهد داشت. اولین مورد لزوماً برابر با صفر است، زیرا عاملی متشکل از خود متغیر وجود دارد. دومی با حل یک معادله خطی به دست می آید.

معادله ناقص شماره سه با انتقال عدد از سمت چپ معادله به راست حل می شود. سپس باید بر ضریب مجهول تقسیم کنید. فقط برای استخراج ریشه مربع باقی می ماند و فراموش نکنید که آن را دو بار با علائم مخالف بنویسید.

در زیر اقداماتی وجود دارد که به شما کمک می‌کند یاد بگیرید چگونه انواع برابری‌هایی را که به معادلات درجه دوم تبدیل می‌شوند، حل کنید. آنها به دانش آموز کمک می کنند تا از اشتباهات ناشی از بی توجهی جلوگیری کند. این کاستی ها عامل نمرات ضعیف در مطالعه مبحث گسترده «معادلات چهارگانه (پایه هشتم)» است. پس از آن، این اقدامات نیازی به انجام مداوم نخواهند داشت. زیرا یک عادت پایدار وجود خواهد داشت.

• ابتدا باید معادله را به شکل استاندارد بنویسید. یعنی ابتدا عبارت با بیشترین درجه متغیر و سپس - بدون درجه و آخرین - فقط یک عدد.

• اگر یک منهای قبل از ضریب "a" ظاهر شود، می تواند کار را برای یک مبتدی برای مطالعه معادلات درجه دوم پیچیده کند. بهتر است از شر آن خلاص شوید. برای این منظور، تمام تساوی باید در "-1" ضرب شود. این بدان معنی است که همه اصطلاحات علامت آن را به مخالف تغییر می دهند.

• به همین ترتیب، توصیه می شود از شر کسری خلاص شوید. به سادگی معادله را در ضریب مناسب ضرب کنید تا مخرج ها باطل شوند.

مثال ها

حل معادلات درجه دوم زیر لازم است:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

معادله اول: x 2 - 7x \u003d 0. ناقص است، بنابراین همانطور که برای فرمول شماره دو توضیح داده شد حل می شود.

پس از براکت کردن، معلوم می شود: x (x - 7) \u003d 0.

ریشه اول مقدار x 1 \u003d 0 را می گیرد. دومی از معادله خطی پیدا می شود: x - 7 \u003d 0. به راحتی می توان فهمید که x 2 \u003d 7.

معادله دوم: 5x2 + 30 = 0. باز هم ناقص. فقط همانطور که برای فرمول سوم توضیح داده شد حل می شود.

پس از انتقال 30 به سمت راست معادله: 5x 2 = 30. اکنون باید بر 5 تقسیم کنید. معلوم می شود: x 2 = 6. پاسخ ها اعداد خواهند بود: x 1 = √6، x 2 = - √ 6.

معادله سوم: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. در اینجا و در زیر، حل معادلات درجه دوم با بازنویسی مجدد آنها به شکل استاندارد آغاز می شود: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. اکنون زمان استفاده از دومی است. نکته مفید و همه چیز را در منهای یک ضرب کنید. به نظر می رسد x 2 + 2x - 15 \u003d 0. طبق فرمول چهارم، باید تمایز را محاسبه کنید: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. این یک عدد مثبت از آنچه در بالا گفته شد، معلوم می شود که معادله دو ریشه دارد. آنها باید طبق فرمول پنجم محاسبه شوند. با توجه به آن، معلوم می شود که x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. سپس x 1 \u003d 3، x 2 \u003d - 5.

معادله چهارم x 2 + 8 + 3x \u003d 0 به این تبدیل می شود: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. ممیز آن برابر با این مقدار است: -23. از آنجایی که این عدد منفی است، پاسخ به این کار ورودی زیر خواهد بود: "ریشه ای وجود ندارد."

معادله پنجم 12x + x 2 + 36 = 0 باید به صورت زیر بازنویسی شود: x 2 + 12x + 36 = 0. پس از اعمال فرمول برای ممیز، عدد صفر به دست می آید. این بدان معنی است که یک ریشه دارد، یعنی: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

معادله ششم (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) نیاز به تبدیل دارد که شامل این واقعیت است که قبل از باز کردن پرانتزها باید عبارات مشابه را بیاورید. به جای عبارت اول چنین عبارتی وجود خواهد داشت: x 2 + 2x + 1. پس از برابری، این ورودی ظاهر می شود: x 2 + 3x + 2. پس از شمارش عبارت های مشابه، معادله به شکل x 2 خواهد بود. - x \u003d 0. ناقص شده است. مشابه آن قبلاً کمی بالاتر در نظر گرفته شده است. ریشه این اعداد 0 و 1 خواهد بود.