مسائل مربوط به تعیین کلاسیک احتمال. نمونه هایی از راه حل. احتمال وقوع یک رویداد. تعیین احتمال وقوع یک رویداد

احتمال وقوع یک رویداد.در عمل زندگی، از اصطلاحات زیر برای رویدادها یا پدیده های تصادفی استفاده می شود: غیرممکن، بعید، به همان اندازه محتمل، قابل اعتماد، و موارد دیگر که نشان می دهد چقدر به وقوع این رویداد اطمینان داریم. وقتی می گوییم یک رویداد تصادفی بعید است، منظور ما این است که وقتی شرایط یکسان بارها تکرار می شود، این رویداد بسیار کمتر از رخ دادن اتفاق می افتد. برعکس، یک رویداد بسیار محتمل بیشتر اتفاق می افتد. اگر تحت شرایط معین، دو رویداد تصادفی مختلف به طور مساوی اتفاق بیفتند، آن‌ها به یک اندازه محتمل در نظر گرفته می‌شوند. اگر مطمئن باشیم که تحت شرایط معینی یک رویداد معین قطعاً رخ خواهد داد، پس می گوییم که قطعی است. اگر برعکس، مطمئن باشیم که در شرایط خاصی رویدادی رخ نمی دهد، می گوییم این رویداد غیرممکن است.

با این حال، با تعیین احتمال وقوع یک رویداد تصادفی از این طریق، نمی‌توانیم قوانین آماری دقیقی را معرفی کنیم، زیرا این اغلب با ارزیابی ذهنی ما از این رویداد همراه است، که به دلیل ناکافی بودن دانش ما محدود می‌شود.

برای معرفی قوانین دقیق آماری، یک تعریف دقیق ریاضی از احتمال نیز به عنوان درجه امکان عینی یک رویداد تصادفی مورد نیاز است.

برای ارائه یک تعریف ریاضی از احتمال، لازم است چند مثال ساده از وقوع رویدادهای انبوه را در نظر بگیریم. ساده‌ترین نمونه‌های این گونه رویدادها معمولاً گم شدن یک روی یا روی دیگر سکه در هنگام پرتاب آن یا تعدادی عدد هنگام پرتاب قالب در نظر گرفته می‌شود. در اینجا، یک رویداد جداگانه به عنوان از دست دادن یک یا آن چهره (تعداد) در نظر گرفته می شود.

از روی تمرین مشخص است که نمی توان از قبل مشخص کرد که در یک پرتاب یک تاس (یک رویداد) دقیقاً چه عددی (چند امتیاز) ظاهر می شود. بنابراین، به دست آوردن تعداد معینی از امتیاز یک رویداد تصادفی خواهد بود.

با این حال، اگر مجموعه کاملی از رویدادهای مشابه را در نظر بگیریم - پرتاب مکرر یک قالب، هر طرف تعداد زیادی بار ظاهر می شود و رویدادهای تصادفی در حال حاضر عظیم خواهند بود. قوانین خاصی در مورد آنها اعمال می شود.

از تمرین مشخص است که هنگام پرتاب تاس، به دست آوردن همان عدد، به عنوان مثال، دو بار پشت سر هم امکان پذیر خواهد بود، سه بار متوالی - در حال حاضر بعید است، چهار بار متوالی - حتی کمتر احتمال دارد، و به عنوان مثال، ده بار متوالی - تقریبا غیرممکن است.

علاوه بر این، اگر فقط شش تاس پرتاب کنید، ممکن است برخی از اعداد دو بار ظاهر شوند و برخی - هیچ کدام. در اینجا مشاهده هر الگوی در ظاهر یک عدد خاص دشوار است. با این حال، اگر تعداد پرتاب ها به 60 افزایش یابد، معلوم می شود که هر عدد تقریباً ده بار ظاهر می شود. اینجاست که یک الگوی مشخص ظاهر می شود. با این حال، به دلیل تصادفی بودن هنگام پرتاب قالب (موقعیت اولیه، سرعت، مسیر پرواز)، تعداد اعداد مختلف در سری های مختلف آزمایش متفاوت خواهد بود. این به دلیل تعداد ناکافی آزمایشات است.

اگر تعداد پرتاب ها را به شش هزار برسانیم، معلوم می شود که حدود یک ششم پرتاب ها منجر به ظاهر شدن هر عدد می شود. و هرچه تعداد پرتاب ها بیشتر باشد، تعداد قطرات یک عدد معین به آن نزدیکتر خواهد بود

نسبت تعداد تکرار یک عدد معین در پرتاب های مکرر یک قالب به تعداد کل پرتاب ها را در یک سری آزمایش های همگن، فراوانی تکرار این رویداد می گویند. با افزایش تعداد کل آزمون‌ها، فرکانس تکرار به یک حد ثابت مشخص که توسط یک سری آزمایش معین تعیین می‌شود، تمایل پیدا می‌کند.

به این حد، احتمال وقوع یک رویداد معین می گویند. با این حال، تمایل به محدود کردن میزان تکرار تنها با افزایش نامحدود در تعداد تست ها مشاهده می شود.

به طور کلی، اگر یک رویداد بار هرتز از تعداد کل آزمایش‌ها رخ دهد، از نظر ریاضی احتمال به عنوان حد نسبت تعداد رویدادهای مطلوب به تعداد کل رویدادها (برخی از گروه‌های همگن از آزمایش‌ها) تعریف می‌شود. مشروط بر اینکه تعداد آزمایشات در این گروه به بی نهایت متمایل باشد. به عبارت دیگر، احتمال وقوع یک رویداد در مورد ما به صورت زیر نوشته می شود:

در فیزیک، یک متغیر تصادفی اغلب در طول زمان تغییر می کند. سپس، برای مثال، احتمال یک حالت خاص از سیستم را می توان با فرمول تعیین کرد

زمانی که سیستم در این حالت باقی می ماند، کل زمان مشاهده است.

نتیجه این است که برای تعیین تجربی احتمال وقوع یک رویداد، لازم است که اگر نامتناهی نباشد، تعداد بسیار زیادی آزمایش انجام شود تا تعداد رویدادهای مطلوب پیدا شود و بر اساس نسبت آنها، یافت شود. احتمال این رویداد

در بسیاری از موارد عملی، این دقیقاً همان کاری است که برای تعیین احتمال انجام می شود. در این مورد، احتمال

هر چه تعداد آزمایش‌هایی که انجام می‌شود بیشتر باشد یا دوره زمانی که در طی آن رویدادها در نظر گرفته می‌شوند، دقیق‌تر تعیین می‌شود.

با این حال، در بسیاری از موارد، احتمال وقوع یک رویداد خاص (مخصوصاً یک رویداد فیزیکی) را می توان بدون انجام آزمایش اصلاً کشف کرد. این به اصطلاح احتمال قبلی است. البته می توان آن را به صورت تجربی تأیید کرد.

برای یافتن آن در مورد پرتاب قالب به صورت زیر استدلال می کنیم. از آنجایی که قالب یکنواخت است و به شکل متفاوتی پرتاب می شود، احتمال فرود هر یک از شش طرف به یک اندازه خواهد بود (هیچ طرف برتری نسبت به طرف دیگر نخواهد داشت). بنابراین، از آنجایی که تنها شش وجه وجود دارد، می توان گفت که احتمال به دست آوردن یکی از آنها برابر است با . در این صورت، برای تعیین احتمال، به هیچ وجه نمی توان آزمایش هایی انجام داد، بلکه بر اساس ملاحظات کلی، احتمال را یافت.

تابع توزیعدر مثال‌های ارائه شده، متغیر تصادفی می‌تواند تنها چند مقدار (تعداد بسیار خاص) متفاوت داشته باشد. زمانی که یک متغیر تصادفی یکی از این مقادیر را گرفت و احتمال خاصی را به این رویدادها اختصاص داد، رویدادها را فراخوانی کردیم.

اما در کنار چنین مقادیری (پرتاب تاس، سکه و غیره) مقادیر تصادفی وجود دارند که می توانند مقادیر بی نهایت متفاوت و بی شماری (طیف پیوسته) به خود بگیرند. در این مورد، ویژگی زیر مشخص است: احتمال یک رویداد واحد، که شامل این واقعیت است که یک متغیر تصادفی مقداری کاملاً تعریف شده را می گیرد، برابر با صفر است. بنابراین، منطقی است که فقط در مورد احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقادیری را که در محدوده خاصی از مقادیر قرار دارند از تا دریافت کند، صحبت کنیم.

احتمال یافتن یک مقدار در بازه به این صورت نشان داده می شود که هنگام حرکت به یک بازه بینهایت کوچک از مقادیر، این احتمال از قبل وجود خواهد داشت و نمادها نشان می دهند که متغیر تصادفی می تواند مقادیری را در بازه ها یا به عنوان مثال از به یا دریافت کند.

پاسخ ما

انتخاب شرط مناسب نه تنها به شهود، دانش ورزشی، شانس شرط بندی، بلکه به ضریب احتمال رویداد نیز بستگی دارد. توانایی محاسبه چنین شاخصی در شرط بندی، کلید موفقیت در پیش بینی رویداد آینده است که قرار است شرط بندی روی آن گذاشته شود.
در بوک میکرها سه نوع شانس وجود دارد (جزئیات بیشتر در مقاله) که نوع آنها نحوه محاسبه احتمال یک رویداد را برای یک بازیکن تعیین می کند.

شانس اعشاری

در این حالت، احتمال یک رویداد با استفاده از فرمول: 1/ضریب محاسبه می شود. = v.i، جایی که ضریب. ضریب رویداد است و v.i احتمال نتیجه است. به عنوان مثال، ما با یک شرط بندی یک دلار، ضریب رویداد 1.80 را در نظر می گیریم، با انجام یک عملیات ریاضی طبق فرمول، بازیکن دریافت می کند که احتمال نتیجه رویداد طبق شرط بندی 0.55 درصد است.

شانس کسری

هنگام استفاده از شانس کسری، فرمول محاسبه احتمال متفاوت خواهد بود. بنابراین، با ضریب 7/2، که در آن رقم اول به معنای مقدار احتمالی سود خالص و دومی اندازه شرط مورد نیاز برای به دست آوردن این سود است، معادله به این صورت خواهد بود: zn.od/ برای مجموع از zn.od و chs.od = v.i . در اینجا zn.coef مخرج ضریب، chs.coef عدد ضریب، v.i احتمال نتیجه است. بنابراین، برای یک شانس کسری 7/2، معادله به نظر می رسد 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0.22، بنابراین، احتمال نتیجه رویداد 0.22 درصد است.

شانس آمریکایی

شانس آمریکایی در بین بازیکنان بسیار محبوب نیست و به عنوان یک قاعده، به طور انحصاری در ایالات متحده آمریکا استفاده می شود و ساختار پیچیده و گیج کننده ای دارد. برای پاسخ به این سوال: "چگونه احتمال یک رویداد را به این روش محاسبه کنیم؟"، باید بدانید که چنین ضرایبی می توانند منفی و مثبت باشند.

یک ضریب با علامت "-"، برای مثال -150، نشان می دهد که بازیکن برای دریافت سود خالص 100 دلاری باید 150 دلار شرط بندی کند. احتمال یک رویداد بر اساس فرمولی محاسبه می‌شود که در آن باید ضریب منفی را بر مجموع ضریب منفی و 100 تقسیم کنید. / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0.6، که در آن 0.6 در 100 ضرب می شود و احتمال نتیجه رویداد 60 درصد است. همین فرمول برای شانس مثبت آمریکا نیز مناسب است.

"حادثات تصادفی نیستند"... به نظر می رسد چیزی است که یک فیلسوف گفته است، اما در واقع، مطالعه تصادفی، سرنوشت علم بزرگ ریاضیات است. در ریاضیات، شانس توسط نظریه احتمال بررسی می شود. فرمول ها و مثال هایی از وظایف و همچنین تعاریف اصلی این علم در مقاله ارائه خواهد شد.

نظریه احتمال چیست؟

نظریه احتمال یکی از رشته های ریاضی است که رویدادهای تصادفی را مطالعه می کند.

برای روشن‌تر شدن موضوع، اجازه دهید یک مثال کوچک بزنیم: اگر یک سکه را به سمت بالا پرتاب کنید، می‌تواند روی سر یا دم فرود بیاید. در حالی که سکه در هوا است، هر دوی این احتمالات ممکن است. یعنی احتمال عواقب احتمالی 1:1 است. اگر یکی از یک دسته 36 کارتی کشیده شود، احتمال آن 1:36 نشان داده می شود. به نظر می رسد که در اینجا چیزی برای کاوش و پیش بینی وجود ندارد، به خصوص با کمک فرمول های ریاضی. با این حال، اگر یک عمل خاص را بارها تکرار کنید، می توانید الگوی خاصی را شناسایی کنید و بر اساس آن، نتیجه رویدادها را در شرایط دیگر پیش بینی کنید.

برای خلاصه کردن همه موارد فوق، نظریه احتمال به معنای کلاسیک، امکان وقوع یکی از رویدادهای ممکن را در یک مقدار عددی مطالعه می کند.

از صفحات تاریخ

تئوری احتمالات، فرمول ها و نمونه هایی از اولین وظایف در قرون وسطی دور ظاهر شد، زمانی که برای اولین بار تلاش ها برای پیش بینی نتیجه بازی های ورق به وجود آمد.

در ابتدا، نظریه احتمال هیچ ارتباطی با ریاضیات نداشت. این با حقایق تجربی یا ویژگی های یک رویداد که می تواند در عمل بازتولید شود توجیه می شد. اولین آثار در این زمینه به عنوان یک رشته ریاضی در قرن هفدهم ظاهر شد. بنیانگذاران بلز پاسکال و پیر فرما بودند. آنها برای مدت طولانی قمار را مطالعه کردند و الگوهای خاصی را دیدند که تصمیم گرفتند در مورد آنها به مردم بگویند.

همین تکنیک توسط کریستیان هویگنس ابداع شد، اگرچه او با نتایج تحقیقات پاسکال و فرما آشنا نبود. مفهوم «نظریه احتمال»، فرمول‌ها و مثال‌هایی که برای اولین بار در تاریخ این رشته به شمار می‌روند، توسط او مطرح شد.

آثار یاکوب برنولی، قضایای لاپلاس و پواسون نیز اهمیت کمی ندارند. آنها نظریه احتمال را بیشتر شبیه یک رشته ریاضی کردند. تئوری احتمالات، فرمول ها و نمونه کارهای اساسی به لطف بدیهیات کولموگروف شکل فعلی خود را دریافت کردند. در نتیجه همه تغییرات، نظریه احتمالات به یکی از شاخه های ریاضی تبدیل شد.

مفاهیم اساسی نظریه احتمال. مناسبت ها

مفهوم اصلی این رشته «رویداد» است. سه نوع رویداد وجود دارد:

• قابل اعتماد.آنهایی که به هر حال اتفاق خواهند افتاد (سکه سقوط خواهد کرد).
• غیر ممکناتفاقاتی که تحت هیچ شرایطی رخ نخواهند داد (سکه در هوا معلق خواهد ماند).
• تصادفی.آنهایی که اتفاق می افتد یا نمی افتد. آنها می توانند تحت تأثیر عوامل مختلفی قرار گیرند که پیش بینی آنها بسیار دشوار است. اگر در مورد یک سکه صحبت کنیم، عوامل تصادفی وجود دارد که می تواند بر نتیجه تأثیر بگذارد: ویژگی های فیزیکی سکه، شکل آن، موقعیت اصلی آن، نیروی پرتاب و غیره.

همه وقایع در مثال ها با حروف بزرگ لاتین نشان داده شده اند، به استثنای P که نقش متفاوتی دارد. مثلا:

• A = "دانشجویان برای سخنرانی آمدند."
• Ā = "دانشجویان به سخنرانی نیامدند."

در کارهای عملی، رویدادها معمولاً با کلمات نوشته می شوند.

یکی از مهم ترین ویژگی های رویدادها امکان برابری آنهاست. یعنی اگر یک سکه پرتاب کنید، تمام انواع سقوط اولیه تا زمان افتادن آن امکان پذیر است. اما رویدادها نیز به همان اندازه امکان پذیر نیستند. این زمانی اتفاق می افتد که شخصی عمداً بر یک نتیجه تأثیر بگذارد. به عنوان مثال، کارت های بازی یا تاس های "علامت گذاری شده"، که در آن مرکز ثقل جابجا شده است.

رویدادها همچنین می توانند سازگار و ناسازگار باشند. رویدادهای سازگار، وقوع یکدیگر را رد نمی کنند. مثلا:

• A = "دانشجو به سخنرانی آمد."
• ب = "دانشجو به سخنرانی آمد."

این حوادث مستقل از یکدیگر هستند و وقوع یکی از آنها تأثیری در وقوع دیگری ندارد. رویدادهای ناسازگار با این واقعیت تعریف می شوند که وقوع یکی، وقوع دیگری را منتفی می کند. اگر در مورد یک سکه صحبت کنیم، پس از دست دادن "دم" باعث می شود که ظاهر "سر" در همان آزمایش غیرممکن شود.

اقدامات مربوط به رویدادها

رویدادها را می توان ضرب و اضافه کرد؛ بر این اساس، پیوندهای منطقی "AND" و "OR" در رشته معرفی می شوند.

مقدار با این واقعیت تعیین می شود که رویداد A یا B یا دو می تواند همزمان رخ دهد. اگر آنها ناسازگار باشند، آخرین گزینه غیرممکن است؛ یا A یا B رول می شود.

ضرب رویدادها عبارت است از ظاهر شدن A و B همزمان.

اکنون می توانیم چندین مثال برای به خاطر سپردن بهتر مبانی، نظریه احتمالات و فرمول ها ارائه کنیم. نمونه هایی از حل مسئله در زیر.

تمرین 1: شرکت در مسابقه ای برای دریافت قرارداد برای سه نوع کار شرکت می کند. حوادث احتمالی که ممکن است رخ دهد:

• A = "شرکت اولین قرارداد را دریافت خواهد کرد."
• A 1 = "شرکت اولین قرارداد را دریافت نخواهد کرد."
• B = "شرکت قرارداد دوم را دریافت خواهد کرد."
• B 1 = "شرکت قرارداد دوم دریافت نخواهد کرد"
• ج = "شرکت قرارداد سوم را دریافت خواهد کرد."
• ج 1 = "شرکت قرارداد سومی دریافت نخواهد کرد."

با استفاده از اقدامات روی رویدادها، سعی می کنیم شرایط زیر را بیان کنیم:

• K = "شرکت تمام قراردادها را دریافت خواهد کرد."

در شکل ریاضی، معادله به شکل زیر خواهد بود: K = ABC.

• M = "شرکت یک قرارداد واحد دریافت نخواهد کرد."

M = A 1 B 1 C 1.

بیایید کار را پیچیده کنیم: H = "شرکت یک قرارداد دریافت خواهد کرد." از آنجایی که مشخص نیست شرکت چه قراردادی را دریافت می کند (اول، دوم یا سوم)، لازم است مجموعه ای از رویدادهای احتمالی ثبت شود:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

و 1 BC 1 مجموعه ای از رویدادها است که در آن شرکت قرارداد اول و سوم را دریافت نمی کند، اما دومی را دریافت می کند. سایر رویدادهای احتمالی با استفاده از روش مناسب ثبت شد. نماد υ در این رشته نشان دهنده پیوند "OR" است. اگر مثال بالا را به زبان انسانی ترجمه کنیم، شرکت یا قرارداد سوم را دریافت می کند، یا دومی یا اولی. به همین ترتیب می توانید سایر شرایط را در رشته "نظریه احتمال" یادداشت کنید. فرمول ها و مثال های حل مسئله ارائه شده در بالا به شما کمک می کند تا خودتان این کار را انجام دهید.

در واقع، احتمال

شاید، در این رشته ریاضی، احتمال یک رویداد مفهوم اصلی باشد. 3 تعریف از احتمال وجود دارد:

• کلاسیک؛
• آماری؛
• هندسی

هر کدام جایگاه خود را در مطالعه احتمالات دارند. نظریه احتمال، فرمول ها و مثال ها (پایه نهم) عمدتاً از تعریف کلاسیک استفاده می کنند که به نظر می رسد:

• احتمال وضعیت A برابر است با نسبت تعداد پیامدهایی که به نفع وقوع آن هستند به تعداد همه پیامدهای ممکن.

فرمول به این صورت است: P(A)=m/n.

A در واقع یک رویداد است. اگر موردی مقابل A ظاهر شود، می توان آن را به صورت Ā یا A 1 نوشت.

m تعداد موارد مطلوب ممکن است.

n - همه رویدادهایی که ممکن است اتفاق بیفتد.

به عنوان مثال، A = "یک کارت از کت و شلوار قلب بکشید." 36 کارت در یک عرشه استاندارد وجود دارد که 9 تای آنها از قلب هستند. بر این اساس، فرمول حل مسئله به صورت زیر خواهد بود:

P(A)=9/36=0.25.

در نتیجه، احتمال اینکه کارتی از کت و شلوار قلب از روی عرشه کشیده شود 0.25 خواهد بود.

به سمت ریاضیات عالی

اکنون کمی معلوم شده است که نظریه احتمال چیست، فرمول ها و مثال هایی از حل مسائلی که در برنامه درسی مدرسه به چشم می خورد. با این حال، نظریه احتمال در ریاضیات عالی که در دانشگاه ها تدریس می شود نیز یافت می شود. اغلب آنها با تعاریف هندسی و آماری تئوری و فرمول های پیچیده عمل می کنند.

نظریه احتمال بسیار جالب است. بهتر است شروع به مطالعه فرمول ها و مثال ها (ریاضیات بالاتر) کوچک - با تعریف آماری (یا فراوانی) احتمال کنید.

رویکرد آماری با رویکرد کلاسیک در تضاد نیست، اما کمی آن را گسترش می دهد. اگر در مورد اول لازم بود مشخص شود که یک رویداد با چه احتمالی اتفاق می افتد، در این روش باید مشخص شود که هر چند وقت یکبار اتفاق می افتد. در اینجا مفهوم جدیدی از "فرکانس نسبی" معرفی می شود که می توان آن را با W n (A) نشان داد. فرمول هیچ تفاوتی با فرمول کلاسیک ندارد:

اگر فرمول کلاسیک برای پیش بینی محاسبه شود، فرمول آماری با توجه به نتایج آزمایش محاسبه می شود. بیایید یک کار کوچک را برای مثال در نظر بگیریم.

بخش کنترل تکنولوژیکی محصولات را از نظر کیفیت بررسی می کند. از بین 100 محصول، 3 محصول بی کیفیت بودند. چگونه می توان احتمال فرکانس یک محصول با کیفیت را پیدا کرد؟

A = "ظاهر یک محصول با کیفیت."

W n (A)=97/100=0.97

بنابراین، فرکانس یک محصول با کیفیت 0.97 است. 97 رو از کجا آوردی؟ از 100 محصولی که بررسی شدند، 3 محصول بی کیفیت بودند. 3 را از 100 کم می کنیم و 97 می گیریم، این مقدار کالای با کیفیت است.

کمی در مورد ترکیبات

روش دیگر تئوری احتمال ترکیبیاتیک نام دارد. اصل اساسی آن این است که اگر یک انتخاب خاص A را بتوان به m روش های مختلف، و انتخاب B را می توان به n روش مختلف انجام داد، آنگاه انتخاب A و B را می توان با ضرب انجام داد.

به عنوان مثال، 5 جاده از شهر A به شهر B منتهی می شود. از شهر B تا شهر C 4 مسیر وجود دارد. از چند راه می توانید از شهر A به شهر C بروید؟

ساده است: 5x4=20، یعنی به بیست روش مختلف می توانید از نقطه A به نقطه C برسید.

بیایید کار را پیچیده کنیم. چند راه برای چیدن کارت ها در بازی یک نفره وجود دارد؟ 36 کارت در عرشه وجود دارد - این نقطه شروع است. برای پیدا کردن تعداد راه‌ها، باید هر بار یک کارت را از نقطه شروع کم کنید و ضرب کنید.

یعنی 36x35x34x33x32...x2x1= نتیجه روی صفحه ماشین حساب نمی آید، بنابراین می توان آن را به سادگی 36 تعیین کرد. امضا کردن "!" در کنار عدد نشان می دهد که کل سری اعداد با هم ضرب شده اند.

در ترکیب شناسی مفاهیمی مانند جایگشت، جایگذاری و ترکیب وجود دارد. هر کدام از آنها فرمول خاص خود را دارند.

به مجموعه منظمی از عناصر یک مجموعه، چیدمان می گویند. جایگذاری ها را می توان تکرار کرد، یعنی می توان از یک عنصر چندین بار استفاده کرد. و بدون تکرار، زمانی که عناصر تکرار نمی شوند. n همه عناصر هستند، m عناصری هستند که در قرار دادن شرکت می کنند. فرمول قرار دادن بدون تکرار به صورت زیر خواهد بود:

A n m =n!/(n-m)!

اتصالات n عنصری که فقط در ترتیب قرارگیری با هم تفاوت دارند جایگشت نامیده می شوند. در ریاضیات به نظر می رسد: P n = n!

ترکیبات n عنصر از m ترکیباتی هستند که در آنها مهم است که چه عناصری بودند و تعداد کل آنها چقدر است. فرمول به صورت زیر خواهد بود:

A n m =n!/m!(n-m)!

فرمول برنولی

در نظریه احتمال، مانند هر رشته ای، آثاری از محققان برجسته در حوزه خود وجود دارد که آن را به سطح جدیدی رسانده اند. یکی از این کارها فرمول برنولی است که به شما امکان می دهد احتمال وقوع یک رویداد خاص را در شرایط مستقل تعیین کنید. این نشان می دهد که وقوع A در یک آزمایش به وقوع یا عدم وقوع همان رویداد در آزمایشات قبلی یا بعدی بستگی ندارد.

معادله برنولی:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

احتمال (p) وقوع رویداد (A) برای هر آزمایش ثابت است. احتمال اینکه وضعیت دقیقاً m بار در تعداد n آزمایش رخ دهد با فرمول ارائه شده در بالا محاسبه می شود. بر این اساس، این سوال مطرح می شود که چگونه می توان عدد q را پیدا کرد.

اگر رویداد A تعداد دفعات p اتفاق بیفتد، ممکن است رخ ندهد. واحد عددی است که برای تعیین تمام نتایج یک موقعیت در یک رشته استفاده می شود. بنابراین، q عددی است که احتمال وقوع یک رویداد را نشان می دهد.

اکنون فرمول برنولی (نظریه احتمال) را می دانید. در زیر نمونه هایی از حل مسئله (سطح اول) را در نظر خواهیم گرفت.

وظیفه 2:یک بازدید کننده فروشگاه با احتمال 0.2 خریدی انجام می دهد. 6 بازدید کننده به طور مستقل وارد فروشگاه شدند. احتمال خرید یک بازدیدکننده چقدر است؟

راه حل: از آنجایی که مشخص نیست چند بازدیدکننده باید خرید کنند، یک یا هر شش، لازم است تمام احتمالات ممکن را با استفاده از فرمول برنولی محاسبه کرد.

A = "بازدید کننده خرید خواهد کرد."

در این مورد: p = 0.2 (همانطور که در کار نشان داده شده است). بر این اساس q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (از آنجایی که 6 مشتری در فروشگاه وجود دارد). عدد m از 0 (هیچ مشتری خریدی انجام نمی دهد) تا 6 (همه بازدیدکنندگان فروشگاه چیزی را خریداری می کنند) متفاوت است. در نتیجه راه حل را دریافت می کنیم:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 ×q 6 = q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

هیچ یک از خریداران با احتمال 0.2621 خریدی انجام نمی دهند.

چگونه از فرمول برنولی (نظریه احتمالات) استفاده می شود؟ نمونه هایی از حل مسئله (سطح دوم) در زیر.

پس از مثال بالا، سؤالاتی در مورد اینکه C و r کجا رفتند مطرح می شود. نسبت به p، عددی به توان 0 برابر با یک خواهد بود. در مورد C، می توان آن را با فرمول پیدا کرد:

C n m = n! /m!(n-m)!

از آنجایی که در مثال اول m = 0، به ترتیب، C = 1، که در اصل بر نتیجه تاثیر نمی گذارد. با استفاده از فرمول جدید، بیایید سعی کنیم دریابیم که احتمال خرید کالا توسط دو بازدیدکننده چقدر است.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2× ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

نظریه احتمال آنقدرها هم پیچیده نیست. فرمول برنولی که نمونه هایی از آن در بالا ارائه شده است، گواه مستقیم این موضوع است.

فرمول پواسون

از معادله پواسون برای محاسبه موقعیت های تصادفی با احتمال کم استفاده می شود.

فرمول پایه:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

در این مورد λ = n x p. در اینجا یک فرمول ساده پواسون (نظریه احتمال) آورده شده است. در زیر نمونه هایی از حل مسئله را در نظر خواهیم گرفت.

وظیفه 3: کارخانه 100000 قطعه تولید کرد. وقوع قطعه معیوب = 0.0001. احتمال وجود 5 قطعه معیوب در یک دسته چقدر است؟

همانطور که می بینید، ازدواج یک رویداد بعید است و بنابراین از فرمول پواسون (نظریه احتمال) برای محاسبه استفاده می شود. نمونه هایی از حل مسائل از این دست با سایر وظایف در این رشته تفاوتی ندارند؛ ما داده های لازم را در فرمول داده شده جایگزین می کنیم:

A = "یک قسمت به طور تصادفی انتخاب شده معیوب خواهد بود."

p = 0.0001 (با توجه به شرایط کار).

n = 100000 (تعداد قطعات).

m = 5 (قطعات معیوب). داده ها را در فرمول جایگزین می کنیم و به دست می آوریم:

100000 R (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

درست مانند فرمول برنولی (تئوری احتمال)، مثال‌هایی از راه‌حل‌هایی که در بالا نوشته شده‌اند، معادله پواسون یک e مجهول دارد. در واقع، می‌توان آن را با فرمول پیدا کرد:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

با این حال، جداول خاصی وجود دارد که تقریباً تمام مقادیر e را در خود دارد.

قضیه دی مویور-لاپلاس

اگر در طرح برنولی تعداد آزمایش‌ها به اندازه کافی زیاد باشد و احتمال وقوع رویداد A در همه طرح‌ها یکسان باشد، احتمال وقوع رویداد A در تعداد معینی بار در یک سری آزمایش‌ها را می‌توان با فرمول لاپلاس:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

برای به خاطر سپردن بهتر فرمول لاپلاس (نظریه احتمال)، نمونه هایی از مسائل در زیر برای کمک به شما آورده شده است.

ابتدا X m را پیدا می کنیم، داده ها (همه آنها در بالا ذکر شده اند) را با فرمول جایگزین می کنیم و 0.025 می گیریم. با استفاده از جداول عدد ϕ(0.025) را پیدا می کنیم که مقدار آن 0.3988 است. اکنون می توانید تمام داده ها را در فرمول جایگزین کنید:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

بنابراین، احتمال اینکه فلایر دقیقاً 267 بار کار کند 0.03 است.

فرمول بیز

فرمول بیز (نظریه احتمال)، نمونه هایی از حل مسائل با کمک آن در زیر آورده خواهد شد، معادله ای است که احتمال یک رویداد را بر اساس شرایطی که می تواند با آن مرتبط باشد، توصیف می کند. فرمول اصلی به شرح زیر است:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

الف و ب رویدادهای قطعی هستند.

P(A|B) یک احتمال شرطی است، یعنی رویداد A می تواند رخ دهد به شرطی که رویداد B صادق باشد.

P (B|A) - احتمال شرطی رویداد B.

بنابراین، بخش پایانی دوره کوتاه "تئوری احتمال" فرمول بیز است که نمونه هایی از راه حل های مسائل را در زیر آورده شده است.

وظیفه 5: گوشی های سه شرکت به انبار آورده شد. در همان زمان، سهم تلفن هایی که در کارخانه اول تولید می شوند 25٪ است، در دوم - 60٪، در سوم - 15٪. همچنین مشخص است که میانگین درصد محصولات معیوب در کارخانه اول 2٪، در دوم - 4٪ و در سوم - 1٪ است. شما باید این احتمال را پیدا کنید که یک تلفن به طور تصادفی انتخاب شده معیوب باشد.

A = "تلفن انتخاب شده تصادفی."

B 1 - تلفنی که اولین کارخانه تولید کرد. بر این اساس، B 2 و B 3 مقدماتی (برای کارخانه های دوم و سوم) ظاهر می شود.

در نتیجه دریافت می کنیم:

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - بنابراین احتمال هر گزینه را پیدا کردیم.

اکنون باید احتمالات مشروط رویداد مورد نظر را پیدا کنید، یعنی احتمال محصولات معیوب در شرکت ها:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01.

حالا بیایید داده ها را با فرمول بیز جایگزین کنیم و دریافت کنیم:

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.

این مقاله تئوری احتمالات، فرمول ها و نمونه هایی از حل مسئله را ارائه می دهد، اما این تنها نوک کوه یخ یک رشته گسترده است. و پس از هر آنچه نوشته شده است، منطقی است که این سوال را مطرح کنیم که آیا نظریه احتمال در زندگی مورد نیاز است؟ پاسخ دادن برای یک فرد عادی دشوار است؛ بهتر است از کسی که از آن استفاده کرده است بخواهید بیش از یک بار برنده جکپات شود.

احتمالرویداد نسبت تعداد پیامدهای ابتدایی مطلوب برای یک رویداد معین به تعداد تمام نتایج ممکن تجربه ای است که ممکن است این رویداد در آن ظاهر شود. احتمال رویداد A با P(A) نشان داده می شود (در اینجا P حرف اول کلمه فرانسوی probabilite - probability است). طبق تعریف
(1.2.1)
تعداد پیامدهای اولیه مطلوب برای رویداد A کجاست. - تعداد تمام نتایج ابتدایی به همان اندازه ممکن آزمایش که یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهد.
این تعریف از احتمال را کلاسیک می نامند. در مرحله اولیه توسعه نظریه احتمال بوجود آمد.

احتمال یک رویداد دارای ویژگی های زیر است:
1. احتمال یک رویداد قابل اعتماد برابر با یک است. اجازه دهید یک رویداد قابل اعتماد را با حرف نشان دهیم. بنابراین برای یک رویداد خاص
(1.2.2)
2. احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن صفر است. اجازه دهید یک رویداد غیرممکن را با حرف نشان دهیم. بنابراین برای یک رویداد غیرممکن
(1.2.3)
3. احتمال یک رویداد تصادفی به صورت عدد مثبت کمتر از یک بیان می شود. از آنجایی که برای یک رویداد تصادفی نابرابری ها، یا، ارضا می شوند، پس
(1.2.4)
4. احتمال هر رویدادی نابرابری ها را ارضا می کند
(1.2.5)
این از روابط (1.2.2) - (1.2.4) نتیجه می شود.

مثال 1.یک کوزه شامل 10 توپ با اندازه و وزن مساوی است که 4 توپ قرمز و 6 توپ آبی است. یک توپ از کوزه کشیده می شود. احتمال آبی بودن توپ کشیده چقدر است؟

راه حل. رویداد "توپ کشیده شده آبی شد" را با حرف A نشان می دهیم. این آزمون دارای 10 نتیجه ابتدایی به همان اندازه ممکن است که 6 مورد به نفع رویداد A است. مطابق با فرمول (1.2.1)، ما به دست می آوریم.

مثال 2.تمام اعداد طبیعی از 1 تا 30 روی کارت های یکسان نوشته شده و در یک کوزه قرار می گیرند. پس از به هم زدن کامل کارت ها، یک کارت از urn خارج می شود. احتمال اینکه عدد روی کارت گرفته شده مضرب 5 باشد چقدر است؟

راه حل.اجازه دهید رویداد را با A نشان دهیم "عدد روی کارت گرفته شده مضرب 5 است." در این آزمون 30 نتیجه ابتدایی به همان اندازه ممکن وجود دارد که از میان آنها رویداد A با 6 نتیجه (اعداد 5، 10، 15، 20، 25، 30) مورد علاقه است. از این رو،

مثال 3.دو تاس پرتاب می شود و مجموع امتیازات روی وجه های بالایی محاسبه می شود. احتمال رویداد B را به گونه ای بیابید که وجه های بالای تاس در مجموع 9 امتیاز داشته باشند.

راه حل.در این آزمون تنها 6 2 = 36 پیامد ابتدایی به همان اندازه ممکن وجود دارد. رویداد B با 4 نتیجه مورد علاقه است: (3;6)، (4;5)، (5;4)، (6;3)، بنابراین

مثال 4. یک عدد طبیعی بزرگتر از 10 به طور تصادفی انتخاب می شود، احتمال اینکه این عدد اول باشد چقدر است؟

راه حل.اجازه دهید با حرف C رویداد "عدد انتخاب شده اول است" را نشان دهیم. در این مورد، n = 10، m = 4 (اعداد اول 2، 3، 5، 7). بنابراین، احتمال لازم است

مثال 5.دو سکه متقارن پرتاب می شود. احتمال وجود اعداد در بالای هر دو سکه چقدر است؟

راه حل.اجازه دهید با حرف D اتفاقی را که "در بالای هر سکه یک عدد وجود دارد" نشان دهیم. در این آزمون 4 نتیجه ابتدایی به همان اندازه ممکن وجود دارد: (G، G)، (G، C)، (C، G)، (C، C). (علامت (G, C) به این معنی است که سکه اول دارای نشان است و سکه دوم دارای شماره). رویداد D توسط یک نتیجه ابتدایی (C, C) مورد علاقه است. از آنجایی که m = 1، n = 4، پس

مثال 6.احتمال اینکه یک عدد دو رقمی به طور تصادفی انتخاب شده دارای ارقام یکسان باشد چقدر است؟

راه حل.اعداد دو رقمی اعدادی از 10 تا 99 هستند. در مجموع 90 عدد از این دست وجود دارد که 9 عدد دارای ارقام یکسان هستند (اینها اعداد 11، 22، 33، 44، 55، 66، 77، 88، 99 هستند). از آنجایی که در این مورد m = 9، n = 90، پس
,
که در آن A رویداد "عددی با ارقام یکسان" است.

مثال 7.از حروف کلمه دیفرانسیلیک حرف به طور تصادفی انتخاب می شود. احتمال اینکه این حرف باشد چقدر است: الف) مصوت، ب) صامت، ج) حرف. ساعت?

راه حل. کلمه دیفرانسیل دارای 12 حرف است که 5 حرف آن مصوت و 7 حرف صامت است. نامه ها ساعتدر این کلمه وجود ندارد اجازه دهید رویدادها را نشان دهیم: A - "حرف مصوت"، B - "حرف همخوان"، C - "حرف" ساعتتعداد پیامدهای ابتدایی مطلوب: - برای رویداد A، - برای رویداد B، - برای رویداد C. از آنجایی که n = 12، پس
، و .

مثال 8.دو تاس پرتاب می شود و تعداد نقاط بالای هر تاس درج می شود. این احتمال را پیدا کنید که هر دو تاس تعداد امتیاز یکسانی را نشان دهند.

راه حل.بیایید این رویداد را با حرف A نشان دهیم. رویداد A با 6 نتیجه اولیه مورد علاقه است: (1;])، (2;2)، (3;3)، (4;4)، (5;5)، (6). ؛ 6). تعداد کل پیامدهای ابتدایی به همان اندازه ممکن که یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند، در این مورد n=6 2 =36. این بدان معنی است که احتمال لازم است

مثال 9.کتاب دارای 300 صفحه می باشد. احتمال اینکه صفحه ای که به طور تصادفی باز می شود دارای شماره سریال قابل تقسیم بر 5 باشد چقدر است؟

راه حل.از شرایط مسئله چنین استنباط می شود که تمام نتایج ابتدایی ممکن که یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند 300 = n خواهند بود. از این میان، m = 60 به نفع وقوع رویداد مشخص شده است. در واقع، عددی که مضرب 5 است به شکل 5k است، که در آن k یک عدد طبیعی است، و از آن جا . از این رو،
، جایی که A - رویداد "صفحه" دارای یک عدد دنباله ای است که مضرب 5 است.

مثال 10. دو تاس پرتاب می شود و مجموع امتیازات روی وجه های بالایی محاسبه می شود. چه چیزی محتمل تر است - گرفتن مجموع 7 یا 8؟

راه حل. اجازه دهید رویدادها را نشان دهیم: A - "7 امتیاز چرخانده می شود" ، B - "8 امتیاز نورد می شود". رویداد A با 6 نتیجه اولیه مورد علاقه قرار می گیرد: (1؛ 6)، (2؛ 5)، (3؛ 4)، (4؛ 3)، (5؛ 2)، (6؛ 1)، و رویداد B مورد علاقه است. با 5 نتیجه: (2؛ 6)، (3؛ 5)، (4؛ 4)، (5؛ 3)، (6؛ 2). همه پیامدهای ابتدایی به همان اندازه ممکن n = 6 2 = 36 هستند. و .

بنابراین، P(A)>P(B)، یعنی کسب مجموع 7 امتیاز، احتمال بیشتری نسبت به کسب مجموع 8 امتیاز دارد.

وظایف

1. یک عدد طبیعی بیش از 30 به طور تصادفی انتخاب می شود، احتمال اینکه این عدد مضرب 3 باشد چقدر است؟
2. در کوزه آقرمز و بتوپ های آبی، از نظر اندازه و وزن یکسان. احتمال اینکه توپی که به طور تصادفی از این کوزه کشیده می شود آبی باشد چقدر است؟
3. عددی که بیشتر از 30 نباشد به طور تصادفی انتخاب می شود، احتمال اینکه این عدد مقسوم علیه 30 باشد چقدر است؟
4. در کوزه آآبی و بتوپ های قرمز، از نظر اندازه و وزن یکسان. یک توپ از این کوزه برداشته و کنار گذاشته می شود. این توپ قرمز شد. پس از این، یک توپ دیگر از کوزه کشیده می شود. احتمال اینکه توپ دوم نیز قرمز باشد را پیدا کنید.
5. یک عدد ملی که بیشتر از 50 نباشد به طور تصادفی انتخاب می شود، احتمال اول بودن این عدد چقدر است؟
6. سه تاس پرتاب می شود و مجموع امتیازات روی وجه های بالایی محاسبه می شود. چه چیزی بیشتر محتمل است - در مجموع 9 یا 10 امتیاز کسب کنید؟
7. سه تاس انداخته می شود و مجموع امتیازهای ریخته شده محاسبه می شود. چه چیزی محتمل تر است - در مجموع 11 (رویداد A) یا 12 امتیاز (رویداد B)؟

پاسخ ها

1. 1/3. 2 . ب/(آ+ب). 3 . 0,2. 4 . (ب-1)/(آ+ب-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - احتمال کسب 9 امتیاز در کل. p 2 = 27/216 - احتمال کسب 10 امتیاز در کل. p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216، P(B) = 25/216، P(A) > P(B).

سوالات

1. احتمال وقوع یک رویداد چیست؟
2. احتمال یک رویداد قابل اعتماد چقدر است؟
3. احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن چقدر است؟
4. حدود احتمال یک رویداد تصادفی چیست؟
5. حدود احتمال هر رویداد چیست؟
6- چه تعریفی از احتمال را کلاسیک می نامند؟

بسیاری، هنگامی که با مفهوم "نظریه احتمال" روبرو می شوند، می ترسند و فکر می کنند که این چیزی بسیار پیچیده، بسیار پیچیده است. اما همه چیز در واقع چندان غم انگیز نیست. امروز به مفهوم اساسی نگاه خواهیم کرد و نحوه حل مسائل را با استفاده از مثال های خاص یاد خواهیم گرفت.

علم

شاخه ای از ریاضیات به عنوان "نظریه احتمال" چه چیزی را مطالعه می کند؟ او الگوها و مقادیر را یادداشت می کند. دانشمندان برای اولین بار در قرن هجدهم، زمانی که قمار را مطالعه کردند، به این موضوع علاقه مند شدند. مفهوم اساسی نظریه احتمال یک رویداد است. هر واقعیتی است که با تجربه یا مشاهده ثابت شود. اما تجربه چیست؟ یکی دیگر از مفاهیم اساسی نظریه احتمال. یعنی این مجموعه شرایط نه به صورت تصادفی، بلکه برای یک هدف خاص ایجاد شده است. در مورد مشاهده، در اینجا خود محقق در آزمایش شرکت نمی کند، بلکه صرفاً شاهد این رویدادها است؛ او به هیچ وجه بر آنچه اتفاق می افتد تأثیر نمی گذارد.

مناسبت ها

ما یاد گرفتیم که مفهوم اصلی نظریه احتمال یک رویداد است، اما طبقه بندی را در نظر نگرفتیم. همه آنها به دسته های زیر تقسیم می شوند:

• قابل اعتماد.
• غیر ممکن
• تصادفی.

صرف نظر از اینکه آنها چه نوع رویدادهایی هستند، مشاهده شده یا در طول تجربه ایجاد شده اند، همه آنها مشمول این طبقه بندی هستند. از شما دعوت می کنیم تا با هر نوع به صورت جداگانه آشنا شوید.

رویداد قابل اعتماد

این شرایطی است که مجموعه اقدامات لازم برای آن انجام شده است. برای درک بهتر اصل مطلب، بهتر است چند مثال بزنیم. فیزیک، شیمی، اقتصاد و ریاضیات عالی مشمول این قانون هستند. نظریه احتمال شامل چنین مفهوم مهمی به عنوان یک رویداد قابل اعتماد است. در اینجا چند نمونه آورده شده است:

• ما کار می کنیم و غرامت به صورت دستمزد دریافت می کنیم.
• ما امتحانات را به خوبی پشت سر گذاشتیم، مسابقه را پشت سر گذاشتیم و برای این کار پاداشی در قالب پذیرش در یک موسسه آموزشی دریافت می کنیم.
• پول را در بانک سرمایه گذاری کردیم و در صورت لزوم آن را پس خواهیم گرفت.

چنین رویدادهایی قابل اعتماد هستند. اگر همه شرایط لازم را انجام داده باشیم، قطعا نتیجه مورد انتظار را خواهیم گرفت.

اتفاقات غیر ممکن

اکنون در حال بررسی عناصر نظریه احتمال هستیم. پیشنهاد می کنیم به توضیح نوع بعدی رویداد، یعنی غیرممکن برویم. اول، اجازه دهید مهمترین قانون را تعیین کنیم - احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است.

هنگام حل مسائل نمی توان از این فرمول عدول کرد. برای روشن شدن موضوع، در اینجا نمونه هایی از این گونه رویدادها آورده شده است:

• آب در دمای مثبت ده یخ زد (این غیرممکن است).
• کمبود برق به هیچ وجه بر تولید تأثیر نمی گذارد (همانطور که در مثال قبلی غیرممکن است).

ارزش آوردن مثال های بیشتری را ندارد، زیرا مواردی که در بالا توضیح داده شد به وضوح ماهیت این دسته را منعکس می کنند. یک رویداد غیرممکن هرگز در طول آزمایش و تحت هیچ شرایطی رخ نخواهد داد.

رویدادهای تصادفی

هنگام مطالعه عناصر نظریه احتمال، باید به این نوع خاص از رویداد توجه ویژه ای شود. این چیزی است که علم مطالعه می کند. در نتیجه این تجربه، ممکن است اتفاقی بیفتد یا نشود. علاوه بر این، آزمایش را می توان به تعداد نامحدود انجام داد. نمونه های واضح عبارتند از:

• پرتاب سکه یک تجربه یا امتحان است، فرود آمدن سرها یک اتفاق است.
• بیرون کشیدن کورکورانه توپ از کیسه یک آزمایش است؛ گرفتن توپ قرمز یک اتفاق است و غیره.

می تواند تعداد نامحدودی از این نمونه ها وجود داشته باشد، اما، به طور کلی، ماهیت باید روشن باشد. برای جمع بندی و نظام مند کردن دانش به دست آمده در مورد رویدادها، جدولی ارائه شده است. نظریه احتمال فقط آخرین نوع از همه ارائه شده را مطالعه می کند.

قوانین

نظریه احتمال علمی است که امکان وقوع یک رویداد را مطالعه می کند. مانند بقیه قوانینی دارد. قوانین زیر در نظریه احتمال وجود دارد:

• همگرایی دنباله ای از متغیرهای تصادفی.
• قانون اعداد بزرگ

هنگام محاسبه احتمال چیزی پیچیده، می توانید از مجموعه ای از رویدادهای ساده استفاده کنید تا به روشی ساده تر و سریع تر به نتیجه برسید. توجه داشته باشید که قوانین نظریه احتمال به راحتی با استفاده از قضایای خاص اثبات می شوند. پیشنهاد می کنیم ابتدا با قانون اول آشنا شوید.

همگرایی دنباله ای از متغیرهای تصادفی

توجه داشته باشید که چندین نوع همگرایی وجود دارد:

• توالی متغیرهای تصادفی در احتمال همگرا می شوند.
• تقریبا غیرممکن.
• میانگین همگرایی مربع
• همگرایی توزیع

بنابراین، از همان ابتدا، درک ماهیت آن بسیار دشوار است. در اینجا تعاریفی وجود دارد که به شما در درک این موضوع کمک می کند. بیایید با نمای اول شروع کنیم. دنباله نامیده می شود همگرا در احتمال، اگر شرط زیر برقرار باشد: n به بی نهایت میل می کند، عددی که دنباله به آن گرایش دارد بزرگتر از صفر و نزدیک به یک است.

بریم سراغ نمای بعدی، قریب به یقین. گفته می شود دنباله همگرا می شود قریب به یقینبه یک متغیر تصادفی با n تمایل به بی نهایت و P تمایل به مقدار نزدیک به وحدت.

نوع بعدی این است میانگین همگرایی مربع. هنگام استفاده از همگرایی SC، مطالعه فرآیندهای تصادفی برداری به مطالعه فرآیندهای تصادفی مختصات آنها کاهش می یابد.

نوع آخر باقی می ماند، اجازه دهید به طور خلاصه به آن نگاه کنیم تا بتوانیم مستقیماً به سمت حل مشکلات حرکت کنیم. همگرایی در توزیع نام دیگری دارد - "ضعیف" و دلیل آن را بعداً توضیح خواهیم داد. همگرایی ضعیفهمگرایی توابع توزیع در تمام نقاط تداوم تابع توزیع محدود است.

ما قطعا به قول خود عمل خواهیم کرد: همگرایی ضعیف با همه موارد فوق تفاوت دارد زیرا متغیر تصادفی در فضای احتمال تعریف نشده است. این امکان پذیر است زیرا شرط منحصراً با استفاده از توابع توزیع شکل می گیرد.

قانون اعداد بزرگ

قضایای نظریه احتمال، مانند:

• نابرابری چبیشف
• قضیه چبیشف.
• قضیه چبیشف تعمیم یافته است.
• قضیه مارکوف.

اگر همه این قضایا را در نظر بگیریم، این سؤال ممکن است چندین ده صفحه طول بکشد. وظیفه اصلی ما استفاده از نظریه احتمال در عمل است. پیشنهاد می کنیم همین الان این کار را انجام دهید. اما قبل از آن، اجازه دهید به بدیهیات نظریه احتمال نگاه کنیم؛ آنها دستیاران اصلی در حل مسائل خواهند بود.

بدیهیات

ما قبلاً اولین مورد را زمانی ملاقات کردیم که در مورد یک رویداد غیرممکن صحبت کردیم. بیاد داشته باشیم: احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است. ما یک مثال بسیار واضح و به یاد ماندنی آوردیم: برف در دمای هوای سی درجه سانتیگراد بارید.

مورد دوم به شرح زیر است: یک رویداد قابل اعتماد با احتمال برابر یک رخ می دهد. اکنون نحوه نوشتن این را با استفاده از زبان ریاضی نشان خواهیم داد: P(B)=1.

سوم: یک رویداد تصادفی ممکن است اتفاق بیفتد یا نباشد، اما این احتمال همیشه از صفر تا یک متغیر است. هر چه مقدار به یک نزدیکتر باشد، شانس بیشتری دارد. اگر مقدار به صفر نزدیک شود، احتمال بسیار کم است. بیایید این را به زبان ریاضی بنویسیم: 0<Р(С)<1.

بیایید اصل چهارم، آخر را در نظر بگیریم که به نظر می رسد: احتمال مجموع دو رویداد برابر است با مجموع احتمالات آنها. آن را به زبان ریاضی می نویسیم: P(A+B)=P(A)+P(B).

بدیهیات تئوری احتمالات ساده ترین قوانینی هستند که به خاطر سپردن آنها دشوار نیست. بیایید سعی کنیم برخی از مشکلات را بر اساس دانشی که قبلاً کسب کرده ایم حل کنیم.

بلیط بخت آزمایی

ابتدا به ساده ترین مثال - قرعه کشی نگاه می کنیم. تصور کنید که یک بلیط بخت آزمایی برای خوش شانسی خریده اید. احتمال اینکه شما حداقل بیست روبل برنده شوید چقدر است؟ در مجموع هزار بلیت در تیراژ شرکت دارند که یکی از آنها پانصد روبل جایزه دارد، ده تای آنها هر کدام صد روبل، پنجاه بلیت بیست روبلی و صد تای آنها پنج جایزه دارند. مشکلات احتمال بر اساس یافتن احتمال شانس است. اکنون با هم راه حل کار فوق را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

اگر از حرف A برای نشان دادن برد پانصد روبل استفاده کنیم، احتمال به دست آوردن A برابر با 0.001 خواهد بود. چگونه این را به دست آوردیم؟ فقط باید تعداد بلیط های "خوش شانس" را بر تعداد کل آنها (در این مورد: 1/1000) تقسیم کنید.

B یک برد صد روبل است، احتمال آن 0.01 خواهد بود. اکنون بر اساس همان اصل عمل قبلی (10/1000) عمل کردیم.

ج - برد بیست روبل است. احتمال را پیدا می کنیم، برابر با 0.05 است.

ما علاقه‌ای به بلیط‌های باقی‌مانده نداریم، زیرا صندوق جایزه آنها کمتر از آن چیزی است که در شرایط مشخص شده است. بیایید اصل چهارم را اعمال کنیم: احتمال برنده شدن حداقل بیست روبل P(A)+P(B)+P(C) است. حرف P نشان دهنده احتمال وقوع یک رویداد معین است؛ ما قبلاً آنها را در اقدامات قبلی پیدا کرده ایم. تنها چیزی که باقی می ماند این است که داده های لازم را جمع کنیم و پاسخی که دریافت می کنیم 0.061 است. این عدد پاسخ سوال وظیفه خواهد بود.

عرشه کارت

مسائل در تئوری احتمال می توانند پیچیده تر باشند؛ برای مثال، بیایید کار زیر را انجام دهیم. در مقابل شما یک عرشه از سی و شش کارت است. وظیفه شما کشیدن دو کارت پشت سر هم بدون به هم زدن پشته است، کارت اول و دوم باید آس باشد، لباس مهم نیست.

ابتدا، بیایید احتمال این را پیدا کنیم که کارت اول یک آس باشد، برای این کار ما چهار را بر سی و شش تقسیم می کنیم. گذاشتند کنار. کارت دوم را بیرون می آوریم، یک آس با احتمال سه سی و پنجم خواهد بود. احتمال رویداد دوم بستگی به این دارد که ابتدا کدام کارت را کشیدیم، ما نمی دانیم که آیا این یک آس بود یا نه. از این نتیجه می شود که رویداد B به رویداد A بستگی دارد.

گام بعدی یافتن احتمال وقوع همزمان است، یعنی A و B را ضرب می کنیم. حاصلضرب آنها به صورت زیر به دست می آید: احتمال یک رویداد را در احتمال شرطی دیگری ضرب می کنیم که با این فرض که اولی را محاسبه می کنیم. رویداد رخ داد، یعنی با کارت اول یک آس کشیدیم.

برای روشن شدن همه چیز، اجازه دهید به چنین عنصری به عنوان رویدادها اشاره کنیم. با فرض اینکه رویداد A رخ داده است محاسبه می شود. به صورت زیر محاسبه می شود: P(B/A).

بیایید به حل مسئله خود ادامه دهیم: P(A * B) = P(A) * P(B/A) یا P(A * B) = P(B) * P(A/B). احتمال برابر است با (4/36) * ((3/35)/(4/36) با گرد کردن به نزدیکترین صدم محاسبه می کنیم. داریم: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0، 82 = 0.09 احتمال اینکه ما دو آس را پشت سر هم بکشیم نه صدم است.مقدار بسیار کوچک است، بنابراین احتمال وقوع رویداد بسیار کم است.

شماره فراموش شده

ما پیشنهاد می کنیم چندین نوع دیگر از وظایف را که توسط نظریه احتمال مورد مطالعه قرار می گیرند، تجزیه و تحلیل کنیم. نمونه هایی از حل برخی از آنها را قبلا در این مقاله مشاهده کرده اید، بیایید سعی کنیم مشکل زیر را حل کنیم: پسر آخرین رقم شماره تلفن دوستش را فراموش کرده بود، اما از آنجایی که تماس بسیار مهم بود، شروع به شماره گیری یک به یک کرد. . ما باید این احتمال را محاسبه کنیم که او بیش از سه بار تماس نخواهد گرفت. اگر قواعد، قوانین و بدیهیات نظریه احتمال شناخته شده باشند، راه حل مسئله ساده ترین است.

قبل از دیدن راه حل، سعی کنید خودتان آن را حل کنید. می دانیم که رقم آخر می تواند از صفر تا نه باشد، یعنی در مجموع ده مقدار. احتمال به دست آوردن مورد مناسب 1/10 است.

در مرحله بعد، ما باید گزینه هایی را برای منشاء رویداد در نظر بگیریم، فرض کنید که پسر درست حدس زده و بلافاصله درست را تایپ کرده است، احتمال چنین رویدادی 1/10 است. گزینه دوم: تماس اول از دست می رود و دومی در هدف است. بیایید احتمال چنین رویدادی را محاسبه کنیم: 9/10 را در 1/9 ضرب می کنیم و در نتیجه 1/10 نیز به دست می آید. گزینه سوم: تماس اول و دوم در آدرس اشتباهی بود، فقط با سومی پسر به جایی که می خواست رسید. ما احتمال چنین رویدادی را محاسبه می کنیم: 9/10 ضرب در 8/9 و 1/8، که به 1/10 می رسد. ما با توجه به شرایط مشکل علاقه ای به گزینه های دیگر نداریم، بنابراین فقط باید نتایج به دست آمده را جمع کنیم، در نهایت 3/10 داریم. پاسخ: احتمال اینکه پسر بیش از سه بار تماس نگیرد 0.3 است.

کارت هایی با اعداد

نه کارت پیش روی شماست که روی هر کدام از آنها عدد یک تا نه نوشته شده است، اعداد تکرار نمی شوند. آنها را در یک جعبه قرار داده و کاملاً مخلوط کردند. شما باید احتمال آن را محاسبه کنید

• یک عدد زوج ظاهر می شود.
• دو رقمی

قبل از رفتن به حل، اجازه دهید شرط کنیم که m تعداد موارد موفق و n تعداد کل گزینه‌ها باشد. بیایید احتمال زوج بودن عدد را پیدا کنیم. محاسبه اینکه چهار عدد زوج وجود دارد دشوار نخواهد بود، این m ما خواهد بود، در کل نه گزینه ممکن وجود دارد، یعنی m=9. سپس احتمال 0.44 یا 4/9 است.

بیایید مورد دوم را در نظر بگیریم: تعداد گزینه ها 9 است و اصلاً نمی توان نتیجه موفقیت آمیزی داشت، یعنی m برابر با صفر است. احتمال اینکه کارت کشیده شده دارای یک عدد دو رقمی باشد نیز صفر است.