در معادله ارتعاش هارمونیک، کمیت. اگر نوسان بر اساس قانون سینوسی توصیف شده باشد

این یک نوسان تناوبی است که در آن مختصات، سرعت، شتابی که حرکت را مشخص می کند، طبق قانون سینوس یا کسینوس تغییر می کند. معادله نوسانات هارمونیک وابستگی مختصات بدنه به زمان را تعیین می کند

نمودار کسینوس در لحظه اولیه دارای حداکثر مقدار و نمودار سینوسی در لحظه اولیه دارای مقدار صفر است. اگر از موقعیت تعادل شروع به بررسی نوسان کنیم، نوسان یک سینوسی را تکرار می کند. اگر شروع به در نظر گرفتن نوسان از موقعیت حداکثر انحراف کنیم، آنگاه نوسان توسط کسینوس توصیف می شود. یا چنین نوسانی را می توان با فرمول سینوسی با فاز اولیه توصیف کرد.

آونگ ریاضی

نوسانات یک آونگ ریاضی.
آونگ ریاضی - یک نقطه مادی معلق روی یک نخ غیر قابل امتداد بی وزن (مدل فیزیکی).
حرکت آونگ را در شرایطی در نظر می گیریم که زاویه انحراف کم باشد، سپس اگر زاویه را بر حسب رادیان اندازه گیری کنیم جمله زیر درست است: .
نیروی گرانش و کشش نخ روی بدن اثر می گذارد. برآیند این نیروها دارای دو جزء است: مماس که شتاب را از نظر قدر تغییر می دهد و نرمال که شتاب را در جهت تغییر می دهد (شتاب مرکز، بدن در یک قوس حرکت می کند).
زیرا زاویه کوچک است، سپس مولفه مماسی برابر است با تابش گرانش بر مماس بر مسیر: . زاویه بر حسب رادیان برابر است با نسبت طول قوس به شعاع (طول نخ) و طول قوس تقریباً برابر با جابجایی است. x ≈ s): .
اجازه دهید معادله حاصل را با معادله حرکت نوسانی مقایسه کنیم. می توان دید که فرکانس چرخه ای در حین نوسانات یک آونگ ریاضی است.
دوره نوسان یا (فرمول گالیله).	فرمول گالیله
مهمترین نتیجه: دوره نوسان یک آونگ ریاضی به جرم بدن بستگی ندارد!
محاسبات مشابهی را می توان با استفاده از قانون بقای انرژی انجام داد. بیایید در نظر بگیریم که انرژی پتانسیل یک جسم در یک میدان گرانشی برابر است و کل انرژی مکانیکی برابر با حداکثر انرژی پتانسیل یا جنبشی است:
بیایید قانون بقای انرژی را بنویسیم و مشتق سمت چپ و راست معادله را بگیریم: . زیرا مشتق یک مقدار ثابت برابر با صفر است، سپس . مشتق جمع برابر است با مجموع مشتقات: و.
بنابراین: و بنابراین.

معادله حالت گاز ایده آل (معادله مندلیف-کلاپیرون).
معادله حالت معادله ای است که پارامترهای یک سیستم فیزیکی را به هم مرتبط می کند و حالت آن را به طور منحصر به فرد تعیین می کند. در سال 1834، فیزیکدان فرانسوی ب. کلاپیرون، که برای مدت طولانی در سن پترزبورگ کار می کرد، معادله حالت یک گاز ایده آل را برای جرم ثابت گاز استخراج کرد. در سال 1874م D. I. مندلیفمعادله ای برای تعداد دلخواه مولکول به دست آورد.
در MCT و ترمودینامیک گاز ایده آل، پارامترهای ماکروسکوپی عبارتند از: p, V, T, m. ما آن را میدانیم . از این رو،. با توجه به اینکه ، ما گرفتیم:.
حاصل ضرب مقادیر ثابت یک کمیت ثابت است، بنابراین: - ثابت گاز جهانی (جهانی، زیرا برای همه گازها یکسان است).
بدین ترتیب داریم: معادله حالت (معادله مندلیف–کلاپیرون).
اشکال دیگر نوشتن معادله حالت یک گاز ایده آل.
1. معادله 1 مول ماده. اگر n=1 مول، پس با بیان حجم یک مول V m، به دست می آید: . برای شرایط عادی دریافت می کنیم:
2. نوشتن معادله از طریق چگالی: - چگالی بستگی به دما و فشار دارد!
3. معادله کلاپیرون اغلب لازم است شرایطی بررسی شود که حالت یک گاز تغییر کند در حالی که مقدار آن بدون تغییر (m=const) و در غیاب واکنش های شیمیایی (M=const) باقی بماند. یعنی مقدار ماده n=const. سپس:
این مدخل به این معنی است برای جرم معینی از گاز معینبرابری درست است:
برای جرم ثابت یک گاز ایده آل، نسبت حاصلضرب فشار و حجم به دمای مطلق در یک حالت معین یک مقدار ثابت است: .
قوانین گاز
1. قانون آووگادرو حجم مساوی از گازهای مختلف در شرایط خارجی یکسان حاوی تعداد یکسانی مولکول (اتم) است. شرایط: V 1 =V 2 =...=V n; p 1 = p 2 =… = p n ; T 1 = T 2 =… = T n
اثبات: در نتیجه، در شرایط یکسان (فشار، حجم، دما)، تعداد مولکول ها به ماهیت گاز بستگی ندارد و یکسان است.
2. قانون دالتون فشار مخلوطی از گازها برابر است با مجموع فشارهای جزئی (خصوصی) هر گاز. ثابت کنید: p=p 1 +p 2 +…+p n اثبات:
3. قانون پاسکال فشاری که بر مایع یا گاز وارد می شود بدون تغییر در همه جهات منتقل می شود.

معادله حالت یک گاز ایده آل. قوانین گاز

تعداد درجات آزادی: تعداد متغیرهای مستقل (مختصات) است که به طور کامل موقعیت سیستم را در فضا تعیین می کند. در برخی مسائل، یک مولکول گاز تک اتمی (شکل 1، a) به عنوان یک نقطه مادی در نظر گرفته می شود که به آن سه درجه آزادی حرکت انتقال داده می شود. در این حالت انرژی حرکت چرخشی در نظر گرفته نمی شود. در مکانیک، یک مولکول گاز دو اتمی، در اولین تقریب، مجموعه ای از دو نقطه مادی در نظر گرفته می شود که به طور صلب توسط یک پیوند غیرقابل تغییر شکل به هم متصل شده اند (شکل 1، b). این سیستم علاوه بر سه درجه آزادی حرکت انتقالی، دو درجه آزادی حرکت چرخشی دیگر نیز دارد. چرخش حول محور سومی که از هر دو اتم می گذرد بی معنی است. این بدان معناست که یک گاز دو اتمی دارای پنج درجه آزادی است ( من= 5). یک مولکول غیرخطی سه اتمی (شکل 1c) و چند اتمی شش درجه آزادی دارد: سه انتقالی و سه چرخشی. طبیعی است که فرض کنیم هیچ ارتباط صلب بین اتم ها وجود ندارد. بنابراین، برای مولکول‌های واقعی، درجات آزادی حرکت ارتعاشی نیز لازم است.

برای هر تعداد درجه آزادی یک مولکول معین، سه درجه آزادی همیشه انتقالی هستند. هیچ یک از درجات آزادی انتقالی مزیتی نسبت به سایرین ندارند، به این معنی که هر یک از آنها به طور متوسط ​​انرژی یکسانی برابر با 1/3 مقدار دارند.<ε 0 >(انرژی حرکت انتقالی مولکول ها): در فیزیک آماری مشتق شده است قانون بولتزمن در مورد توزیع یکنواخت انرژی بر روی درجات آزادی مولکولها: برای یک سیستم آماری که در حالت تعادل ترمودینامیکی است، هر درجه آزادی انتقالی و چرخشی دارای انرژی جنبشی متوسط ​​برابر kT/2 و هر درجه آزادی ارتعاشی دارای انرژی متوسط ​​برابر با kT است. درجه ارتعاش دو برابر انرژی دارد، زیرا هم انرژی جنبشی (مانند حرکات انتقالی و چرخشی) و هم پتانسیل را در نظر می گیرد و میانگین مقادیر انرژی پتانسیل و جنبشی یکسان است. این بدان معناست که انرژی متوسط ​​یک مولکول جایی که من- مجموع تعداد درجات آزادی انتقالی، تعداد چرخشی و دو برابر تعداد درجات آزادی ارتعاشی مولکول: من=منپست + منچرخش +2 منارتعاشات در تئوری کلاسیک، مولکول هایی با پیوندهای صلب بین اتم ها در نظر گرفته می شوند. برای آنها منبا تعداد درجات آزادی مولکول منطبق است. از آنجایی که در یک گاز ایده آل انرژی پتانسیل متقابل برهمکنش بین مولکول ها صفر است (مولکول ها با یکدیگر برهمکنش ندارند)، انرژی درونی یک مول گاز برابر با مجموع انرژی های جنبشی N A مولکول ها خواهد بود: ) انرژی داخلی برای جرم دلخواه m گاز. جایی که M جرم مولی است، ν - مقدار ماده

ساده ترین نوع نوسانات هستند ارتعاشات هارمونیک- نوساناتی که در آن جابجایی نقطه نوسان از موقعیت تعادل در طول زمان طبق قانون سینوس یا کسینوس تغییر می کند.

بنابراین، با چرخش یکنواخت توپ در یک دایره، طرح ریزی آن (سایه در پرتوهای موازی نور) یک حرکت نوسانی هارمونیک را روی صفحه عمودی انجام می دهد (شکل 1).

جابجایی از موقعیت تعادل در طول ارتعاشات هارمونیک با معادله ای (که قانون حرکتی حرکت هارمونیک نامیده می شود) به شکل زیر توصیف می شود:

که در آن x جابجایی است - کمیتی که موقعیت نقطه نوسان را در زمان t نسبت به موقعیت تعادل مشخص می کند و با فاصله از موقعیت تعادل تا موقعیت نقطه در یک زمان معین اندازه گیری می شود. الف - دامنه نوسانات - حداکثر جابجایی بدن از موقعیت تعادل. T - دوره نوسان - زمان یک نوسان کامل. آن ها کوتاه ترین دوره زمانی که پس از آن مقادیر مقادیر فیزیکی مشخص کننده نوسان تکرار می شود. - فاز اولیه؛

فاز نوسان در زمان t. فاز نوسان آرگومان یک تابع تناوبی است که برای دامنه نوسان معین، وضعیت سیستم نوسانی (جابجایی، سرعت، شتاب) بدن را در هر زمان تعیین می کند.

اگر در لحظه اولیه زمان، نقطه نوسان حداکثر از موقعیت تعادل جابجا شود، در این صورت، جابجایی نقطه از موقعیت تعادل طبق قانون تغییر می کند.

اگر نقطه نوسان در حالت تعادل پایدار باشد، تغییر مکان نقطه از موقعیت تعادل طبق قانون تغییر می کند.

مقدار V، معکوس دوره و برابر با تعداد نوسانات کامل تکمیل شده در 1 ثانیه، فرکانس نوسان نامیده می شود:

اگر در طول زمان t بدن N نوسان کامل کند، آنگاه

اندازه نشان دادن چند نوسان یک جسم در s نامیده می شود فرکانس چرخه ای (دایره ای)..

قانون حرکتی حرکت هارمونیک را می توان به صورت زیر نوشت:

از نظر گرافیکی، وابستگی جابجایی یک نقطه نوسان به زمان توسط یک موج کسینوس (یا موج سینوسی) نشان داده می شود.

شکل 2، a نموداری از وابستگی زمانی جابجایی نقطه نوسان از موقعیت تعادل برای مورد را نشان می دهد.

بیایید دریابیم که چگونه سرعت یک نقطه نوسان با زمان تغییر می کند. برای انجام این کار، مشتق زمانی این عبارت را پیدا می کنیم:

دامنه طرح سرعت بر روی محور x کجاست.

این فرمول نشان می دهد که در حین نوسانات هارمونیک، طرح ریزی سرعت جسم بر روی محور x نیز طبق قانون هارمونیک با همان فرکانس، با دامنه متفاوت تغییر می کند و جلوتر از جابجایی در فاز است (شکل 2، b. ).

برای روشن شدن وابستگی شتاب، مشتق زمانی پیش بینی سرعت را می یابیم:

دامنه شتاب بر روی محور x کجاست.

با نوسانات هارمونیک، طرح شتاب جلوتر از جابجایی فاز k است (شکل 2، ج).

به طور مشابه، می توانید نمودارهای وابستگی بسازید

با توجه به آن می توان فرمول شتاب را نوشت

آن ها با نوسانات هارمونیک، طرح شتاب مستقیماً با جابجایی متناسب است و در علامت مخالف است، یعنی. شتاب در جهت مخالف جابجایی هدایت می شود.

بنابراین، پیش بینی شتاب دومین مشتق جابجایی است، سپس رابطه حاصل را می توان به صورت زیر نوشت:

آخرین برابری نامیده می شود معادله هارمونیک.

یک سیستم فیزیکی که در آن نوسانات هارمونیک وجود داشته باشد نامیده می شود نوسان ساز هارمونیک، و معادله ارتعاشات هارمونیک است معادله نوسان ساز هارمونیک.

§ 6. ارتعاشات مکانیکیفرمول های پایه

معادله هارمونیک

جایی که ایکس -جابجایی نقطه نوسان از موقعیت تعادل. تی- زمان؛ آ،ω، φ - دامنه، فرکانس زاویه ای، فاز اولیه نوسانات، به ترتیب. - فاز نوسانات در حال حاضر تی.

فرکانس زاویه ای

که ν و T فرکانس و دوره نوسانات هستند.

سرعت نقطه ای که نوسانات هارمونیک انجام می دهد برابر است

شتاب در حین نوسانات هارمونیک

دامنه آنوسان حاصل که با افزودن دو نوسان با فرکانس های یکسان در امتداد یک خط مستقیم به دست می آید، با فرمول تعیین می شود.

جایی که آ 1 و آ 2 - دامنه اجزای ارتعاش؛ φ 1 و φ 2 فازهای اولیه آنها هستند.

فاز اولیه φ نوسان حاصل را می توان از فرمول پیدا کرد

فرکانس ضربانی که هنگام افزودن دو نوسان در امتداد یک خط مستقیم با فرکانس های متفاوت اما مشابه ν 1 و ν 2 ایجاد می شود.

معادله مسیر یک نقطه شرکت کننده در دو نوسان عمود بر هم با دامنه های A 1 و A 2 و فازهای اولیه φ 1 و φ 2،

اگر فازهای اولیه φ 1 و φ 2 اجزای نوسان یکسان باشند، معادله مسیر شکل می گیرد.

یعنی نقطه در یک خط مستقیم حرکت می کند.

در صورتی که اختلاف فاز باشد، معادله شکل می گیرد

یعنی نقطه در امتداد یک بیضی حرکت می کند.

معادله دیفرانسیل نوسانات هارمونیک یک نقطه مادی

، یا ، جایی که m جرم نقطه است. ک- ضریب نیروی شبه الاستیک ( ک=تیω 2).

انرژی کل یک نقطه مادی که نوسانات هارمونیک انجام می دهد برابر است

دوره نوسان جسم معلق روی فنر (آونگ فنری)

جایی که متر- جرم بدن؛ ک- سختی فنر این فرمول برای ارتعاشات الاستیک در محدوده هایی که قانون هوک در آن رعایت می شود (با جرم کوچک فنر در مقایسه با جرم بدن) معتبر است.

دوره نوسان یک آونگ ریاضی

جایی که ل- طول آونگ؛ g- شتاب گرانش دوره نوسان یک آونگ فیزیکی

جایی که جی- ممان اینرسی جسم نوسانی نسبت به محور

تردید؛ آ- فاصله مرکز جرم آونگ از محور نوسان.

کاهش طول آونگ فیزیکی

فرمول های داده شده برای مورد دامنه های بینهایت کوچک دقیق هستند. برای دامنه های محدود، این فرمول ها فقط نتایج تقریبی را ارائه می دهند. با دامنه های نه بیشتر از، خطا در مقدار دوره از 1٪ تجاوز نمی کند.

دوره ارتعاشات پیچشی جسم معلق بر روی یک نخ کشسان است

جایی که جی- لحظه اینرسی بدن نسبت به محور منطبق با نخ الاستیک؛ ک- سفتی یک نخ الاستیک، برابر با نسبت گشتاور کشسانی است که هنگام پیچاندن نخ به زاویه ای که نخ در آن پیچ خورده است، ایجاد می شود.

معادله دیفرانسیل نوسانات میرا شده ، یا ،

جایی که r- ضریب مقاومت؛ δ - ضریب میرایی: ω 0 - فرکانس زاویه ای طبیعی نوسانات *

معادله نوسان میرایی

جایی که A(t)- دامنه نوسانات میرایی در حال حاضر t;ω فرکانس زاویه ای آنهاست.

فرکانس زاویه ای نوسانات میرا شده

О وابستگی دامنه نوسانات میرا شده به زمان

من

جایی که آ 0 - دامنه نوسانات در لحظه تی=0.

کاهش نوسان لگاریتمی

جایی که A(t)و A(t+T)- دامنه های دو نوسان متوالی که در زمان با یک دوره از هم جدا شده اند.

معادله دیفرانسیل نوسانات اجباری

جایی که یک نیروی تناوبی خارجی روی یک نقطه مادی در حال نوسان اثر می گذارد و باعث ایجاد نوسانات اجباری می شود. اف 0 - مقدار دامنه آن؛

دامنه نوسانات اجباری

فرکانس تشدید و دامنه تشدید و

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1.نقطه طبق قانون در نوسان است x(t)=, جایی که A=2به تعیین فاز اولیه φ اگر مراجعه کنید

ایکس(0)=cm و ایکس , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента تی=0.

راه حل. بیایید از معادله حرکت استفاده کنیم و جابجایی را در لحظه بیان کنیم تی=0 در مرحله اولیه:

از اینجا ما فاز اولیه را پیدا می کنیم:

* در فرمول های داده شده قبلی برای ارتعاشات هارمونیک، همان کمیت به سادگی ω (بدون شاخص 0) تعیین شد.

بیایید مقادیر داده شده را در این عبارت جایگزین کنیم ایکس(0) و آ:φ= = . مقدار آرگومان با دو مقدار زاویه ارضا می شود:

برای اینکه تصمیم بگیریم کدام یک از این مقادیر زاویه φ نیز شرایط را برآورده می کند، ابتدا می یابیم:

جایگزین کردن مقدار در این عبارت تی= 0 و متناوب مقادیر فازهای اولیه و پیدا می کنیم

تی مثل همیشه آ>0 و ω>0، سپس فقط اولین مقدار فاز اولیه شرط را برآورده می کند. بنابراین، فاز اولیه مورد نظر

با استفاده از مقدار یافت شده φ، یک نمودار برداری می سازیم (شکل 6.1). مثال 2.نقطه ماده با جرم تی=5 گرم نوسانات هارمونیک را با فرکانس انجام می دهد ν = 0.5 هرتز دامنه نوسان آ=3 سانتی متر تعیین کنید: 1) سرعت υ نقاط در زمانی که جابجایی x== 1.5 سانتی متر؛ 2) حداکثر نیروی F max وارد بر نقطه. 3) شکل 6.1 کل انرژی Eنقطه نوسان

و فرمول سرعت را با گرفتن اولین مشتق زمان جابجایی بدست می آوریم:

برای بیان سرعت از طریق جابجایی، باید زمان را از فرمول های (1) و (2) حذف کرد. برای انجام این کار، هر دو معادله را مربع می کنیم و اولی را بر تقسیم می کنیم آ 2 , دومی روی A 2 ω 2 و اضافه کنید:

، یا

با حل آخرین معادله υ , ما پیدا خواهیم کرد

با انجام محاسبات با استفاده از این فرمول، دریافت می کنیم

علامت مثبت مربوط به حالتی است که جهت سرعت با جهت مثبت محور منطبق باشد. ایکس،علامت منهای - زمانی که جهت سرعت با جهت منفی محور منطبق است ایکس.

جابجایی در حین نوسانات هارمونیک، علاوه بر رابطه (1)، با معادله نیز قابل تعیین است.

با تکرار همان جواب با این معادله، جواب یکسانی می گیریم.

2. نیروی وارد بر یک نقطه را با استفاده از قانون دوم نیوتن پیدا می کنیم:

جایی که آ -شتاب نقطه ای که با گرفتن مشتق زمانی سرعت به دست می آوریم:

با جایگزینی عبارت شتاب به فرمول (3)، به دست می آوریم

از این رو حداکثر مقدار نیرو

جایگزینی مقادیر π، ν در این معادله، تیو آ،ما پیدا خواهیم کرد

3. انرژی کل یک نقطه نوسان، مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل محاسبه شده برای هر لحظه از زمان است.

ساده ترین راه برای محاسبه انرژی کل در لحظه ای است که انرژی جنبشی به حداکثر مقدار خود می رسد. در این لحظه انرژی پتانسیل صفر است. بنابراین انرژی کل Eنقطه نوسان برابر با حداکثر انرژی جنبشی است

حداکثر سرعت را از فرمول (2) تعیین می کنیم، با قرار دادن: . با جایگزینی عبارت سرعت به فرمول (4)، متوجه می شویم

با جایگزینی مقادیر کمیت ها در این فرمول و انجام محاسبات، دریافت می کنیم

یا µJ.

مثال 3.در انتهای یک میله نازک طول ل= 1 متر و جرم متر 3 = 400 گرم توپ های کوچک تقویت شده با جرم متر 1 = 200 گرم و متر 2 = 300 گرم میله حول یک محور افقی، عمود بر هم در نوسان است

داکول به میله و از وسط آن عبور می کند (نقطه O در شکل 6.2). دوره را تعریف کنید تینوسانات ایجاد شده توسط میله

راه حل. دوره نوسان یک آونگ فیزیکی، مانند یک میله با توپ، توسط رابطه تعیین می شود.

جایی که جی- تی -جرم آن؛ ل با - فاصله از مرکز جرم آونگ تا محور.

ممان اینرسی این پاندول برابر است با مجموع لحظه های اینرسی توپ ها جی 1 و جی 2 و میله جی 3:

با در نظر گرفتن توپ ها به عنوان نقاط مادی، لحظه های اینرسی آنها را بیان می کنیم:

از آنجایی که محور از وسط میله عبور می کند، ممان اینرسی آن نسبت به این محور است جی 3 = =. جایگزینی عبارات به دست آمده جی 1 , جی 2 و جی 3 در فرمول (2)، گشتاور اینرسی کل آونگ فیزیکی را پیدا می کنیم:

با انجام محاسبات با استفاده از این فرمول، متوجه می شویم

برنج. 6.2 جرم آونگ از جرم توپ ها و جرم میله تشکیل شده است:

فاصله ل با بر اساس ملاحظات زیر مرکز جرم آونگ را از محور نوسان پیدا خواهیم کرد. اگر محور ایکسدر امتداد میله هدایت کنید و مبدا مختصات را با نقطه تراز کنید در باره،سپس فاصله مورد نیاز لبرابر با مختصات مرکز جرم آونگ، یعنی.

جایگزینی مقادیر کمیت ها متر 1 , متر 2 , متر, لو پس از انجام محاسبات می یابیم

پس از انجام محاسبات با استفاده از فرمول (1)، دوره نوسان یک آونگ فیزیکی را بدست می آوریم:

مثال 4.آونگ فیزیکی میله ای به طول است ل= 1 متر و جرم 3 تی 1 بابا حلقه ای به قطر و جرم به یکی از انتهای آن متصل می شود تی 1 . محور افقی اوز

آونگ از وسط میله عمود بر آن عبور می کند (شکل 6.3). دوره را تعریف کنید تینوسانات چنین آونگی

راه حل. دوره نوسان یک آونگ فیزیکی با فرمول تعیین می شود

(1)

جایی که جی- ممان اینرسی آونگ نسبت به محور نوسان. تی -جرم آن؛ لسی - فاصله از مرکز جرم آونگ تا محور نوسان.

ممان اینرسی آونگ برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی میله جی 1 و حلقه جی 2:

(2).

ممان اینرسی میله نسبت به محور عمود بر میله و عبور از مرکز جرم آن با فرمول تعیین می شود. . در این مورد t= 3تی 1 و

گشتاور اینرسی حلقه را با استفاده از قضیه اشتاینر پیدا می کنیم ،جایی که جی- ممان اینرسی در مورد یک محور دلخواه؛ جی 0 - ممان اینرسی در مورد محوری که از مرکز جرم موازی با یک محور معین عبور می کند. آ -فاصله بین محورهای مشخص شده با اعمال این فرمول روی حلقه، دریافت می کنیم

جایگزینی عبارات جی 1 و جی 2 در فرمول (2)، گشتاور اینرسی آونگ را نسبت به محور چرخش پیدا می کنیم:

فاصله ل با از محور آونگ تا مرکز جرم آن برابر است با

جایگزین کردن عبارات به فرمول (1) جی, ل s و جرم آونگ، دوره نوسانات آن را پیدا می کنیم:

پس از محاسبه با استفاده از این فرمول به دست می آوریم تی= 2.17 ثانیه

مثال 5.دو نوسان در یک جهت اضافه می شود که با معادلات بیان می شود. ایکس 2 = =، کجا آ 1 = 1 سانتی متر، آ 2 = 2 سانتی متر، s، s، ω = =. 1. فازهای اولیه φ 1 و φ 2 اجزای اسیلاتور را تعیین کنید.

بانیا. 2. دامنه را پیدا کنید آو فاز اولیه φ نوسان حاصل. معادله ارتعاش حاصل را بنویسید.

راه حل. 1. معادله ارتعاش هارمونیک شکل دارد

اجازه دهید معادلات مشخص شده در بیان مسئله را به همان شکل تبدیل کنیم:

از مقایسه عبارات (2) با برابری (1)، فازهای اولیه نوسانات اول و دوم را می یابیم:

خوشحالم و خوشحالم

2. برای تعیین دامنه آاز نوسان حاصل، استفاده از نمودار برداری ارائه شده در آن راحت است برنج. 6.4. با توجه به قضیه کسینوس، دریافت می کنیم

اختلاف فاز اجزای نوسان کجاست ، سپس با جایگزینی مقادیر یافت شده φ 2 و φ 1 راد بدست می آوریم.

بیایید مقادیر را جایگزین کنیم آ 1 ، آ 2 فرمول (3) را وارد کرده و محاسبات را انجام دهید:

آ= 2.65 سانتی متر.

اجازه دهید مماس فاز اولیه φ نوسان حاصل را مستقیماً از شکل 1 تعیین کنیم. 6.4: ، فاز اولیه از کجا می آید؟

حداکثر سرعت و مقادیر شتاب

با تجزیه و تحلیل معادلات وابستگی v(t) و a(t)، می‌توان حدس زد که سرعت و شتاب حداکثر مقادیر را در حالتی که ضریب مثلثاتی برابر با 1 یا -1 باشد، می‌گیرند. با فرمول تعیین می شود

نحوه دریافت وابستگی های v(t) و a(t)

7. ارتعاشات رایگان. سرعت، شتاب و انرژی حرکت نوسانی. اضافه شدن ارتعاشات

ارتعاشات رایگان(یا ارتعاشات طبیعی) نوسانات یک سیستم نوسانی هستند که تنها به دلیل انرژی ارسالی اولیه (پتانسیل یا جنبشی) در غیاب تأثیرات خارجی رخ می دهند.

انرژی پتانسیل یا جنبشی می تواند به عنوان مثال در سیستم های مکانیکی از طریق جابجایی اولیه یا سرعت اولیه منتقل شود.

اجسام در حال نوسان آزاد همیشه با اجسام دیگر تعامل دارند و همراه با آنها سیستمی از اجسام را تشکیل می دهند که نامیده می شود سیستم نوسانی.

به عنوان مثال، یک فنر، یک توپ و یک ستون عمودی که انتهای بالایی فنر به آن متصل است (شکل زیر را ببینید) در سیستم نوسانی گنجانده شده است. در اینجا توپ آزادانه در طول رشته می لغزد (نیروهای اصطکاک ناچیز است). اگر توپ را به سمت راست حرکت دهید و آن را به حال خود رها کنید، آزادانه در اطراف موقعیت تعادل (نقطه) نوسان می کند. در باره) در اثر عمل نیروی ارتجاعی فنر به سمت وضعیت تعادل.

یکی دیگر از نمونه‌های کلاسیک سیستم نوسانی مکانیکی، آونگ ریاضی است (شکل زیر را ببینید). در این حالت، توپ تحت تأثیر دو نیرو نوسانات آزاد را انجام می دهد: گرانش و نیروی کشسانی نخ (زمین نیز در سیستم نوسانی گنجانده شده است). نتیجه آنها به سمت موقعیت تعادل هدایت می شود.

نیروهایی که بین اجسام سیستم نوسانی وارد می شوند نامیده می شوند نیروهای داخلی. توسط نیروهای خارجینیروهایی هستند که بر روی یک سیستم از اجسام خارج از آن وارد می شوند. از این دیدگاه، نوسانات آزاد را می توان به عنوان نوسانات یک سیستم تحت تأثیر نیروهای داخلی پس از خارج شدن سیستم از وضعیت تعادل تعریف کرد.

شرایط وقوع نوسانات آزاد عبارتند از:

1) ظهور نیرویی در آنها که سیستم را پس از خارج شدن از این حالت به وضعیت تعادل پایدار باز می گرداند.

2) عدم وجود اصطکاک در سیستم.

دینامیک ارتعاشات آزاد

ارتعاشات بدن تحت تأثیر نیروهای الاستیک. معادله حرکت نوسانی جسم تحت اثر نیروی کشسان اف(شکل را ببینید) را می توان با در نظر گرفتن قانون دوم نیوتن به دست آورد ( F = ما) و قانون هوک ( کنترل F= -kx)، جایی که مترجرم توپ است و شتابی است که توپ تحت تأثیر نیروی کشسان به دست می آورد. ک- ضریب سختی فنر، ایکس- جابجایی بدن از وضعیت تعادل (هر دو معادله به صورت برآمده بر روی محور افقی نوشته می شوند. اوه). معادل سازی سمت راست این معادلات و در نظر گرفتن اینکه شتاب آدومین مشتق مختصات است ایکس(جابجایی)، دریافت می کنیم:

.

این معادله دیفرانسیل حرکت جسمی است که تحت تأثیر نیروی الاستیک در نوسان است: دومین مشتق مختصات نسبت به زمان (شتاب بدن) با مختصات آن متناسب است که با علامت مخالف گرفته می شود.

نوسانات یک آونگ ریاضی.برای بدست آوردن معادله نوسان یک آونگ ریاضی (شکل) باید نیروی گرانش را گسترش داد. اف تی= میلی گرمبه حالت عادی Fn( جهت دار در امتداد نخ ) و مماس F τ(مماس بر مسیر توپ - دایره) اجزا. جزء طبیعی گرانش Fnو نیروی کشسانی نخ Fynpدر مجموع به آونگ شتاب مركز مركز مي دهد، كه بر بزرگي سرعت تاثيري ندارد، بلكه فقط جهت آن و مولفه مماسي را تغيير مي دهد. F τنیرویی است که توپ را به حالت تعادل خود باز می گرداند و باعث می شود تا حرکات نوسانی انجام دهد. مانند مورد قبلی از قانون نیوتن برای شتاب مماسی استفاده کنید ma τ = F τو با توجه به اینکه F τ= -mg sinα، ما گرفتیم:

a τ= -g sinα,

علامت منفی ظاهر شد زیرا نیرو و زاویه انحراف از موقعیت تعادل α علائم مخالف دارند برای زوایای انحراف کوچک گناه α ≈ α. در نوبتش، α = s/l، جایی که س- قوس O.A., من- طول نخ با توجه به اینکه و τ= s"، در نهایت می گیریم:

شکل معادله مشابه معادله است . فقط در اینجا پارامترهای سیستم طول نخ و شتاب سقوط آزاد است و نه سفتی فنر و جرم توپ. نقش مختصات با طول کمان (یعنی مسافت طی شده، مانند مورد اول) ایفا می شود.

بنابراین، ارتعاشات آزاد بدون توجه به ماهیت فیزیکی نیروهایی که این ارتعاشات را ایجاد می کنند، با معادلاتی از همان نوع (با رعایت قوانین یکسان) توصیف می شوند.

حل معادلات و تابعی از فرم است:

x = xmcos ω 0تی(یا x = xmsin ω 0ت).

یعنی مختصات جسمی که نوسانات آزاد را انجام می‌دهد در طول زمان طبق قانون کسینوس یا سینوس تغییر می‌کند و بنابراین، این نوسانات هارمونیک هستند:

در معادله x = xmcos ω 0تی(یا x = xmsin ω 0تی), x m- دامنه ارتعاش، ω 0 - فرکانس چرخه ای (دایره ای) نوسانات خود.

فرکانس چرخه ای و دوره نوسانات هارمونیک آزاد توسط خواص سیستم تعیین می شود. بنابراین، برای ارتعاشات جسم متصل به فنر، روابط زیر معتبر است:

.

هرچه سفتی فنر بیشتر یا جرم بار کمتر باشد فرکانس طبیعی بیشتر است که تجربه کاملاً تأیید می کند.

برای یک آونگ ریاضی برابری های زیر برآورده می شود:

.

این فرمول اولین بار توسط دانشمند هلندی هویگنس (معاصر نیوتن) به دست آمد و آزمایش شد.

دوره نوسان با افزایش طول آونگ افزایش می یابد و به جرم آن بستگی ندارد.

باید توجه ویژه ای به این واقعیت داشت که نوسانات هارمونیک کاملاً تناوبی هستند (چون از قانون سینوس یا کسینوس پیروی می کنند) و حتی برای یک آونگ ریاضی که ایده آل سازی یک آونگ واقعی (فیزیکی) است فقط در نوسان کوچک امکان پذیر است. زاویه. اگر زوایای انحراف زیاد باشد، جابجایی بار متناسب با زاویه انحراف (سینوس زاویه) و شتاب متناسب با جابجایی نخواهد بود.

سرعت و شتاب جسمی که آزادانه در حال نوسان است نیز دچار نوسانات هارمونیک خواهد شد. گرفتن مشتق زمانی تابع ( x = xmcos ω 0تی(یا x = xmsin ω 0تی))، یک عبارت برای سرعت به دست می آوریم:

v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)

جایی که v m= ω 0 x m- دامنه سرعت

عبارت مشابه برای شتاب آما با تفکیک ( v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0تی،

جایی که صبح= ω 2 0x m- دامنه شتاب بنابراین، دامنه سرعت نوسانات هارمونیک متناسب با فرکانس و دامنه شتاب متناسب با مجذور فرکانس نوسان است.

ارتعاشات هارمونیک
نوساناتی که در آن تغییرات در مقادیر فیزیکی بر اساس قانون کسینوس یا سینوس (قانون هارمونیک) رخ می دهد، نامیده می شوند. ارتعاشات هارمونیکبه عنوان مثال، در مورد ارتعاشات هارمونیک مکانیکی:. در این فرمول ها ω بسامد نوسان، x m دامنه نوسان، φ 0 و φ 0 فازهای اولیه نوسان هستند. فرمول های فوق در تعریف فاز اولیه متفاوت هستند و در φ 0 ' = φ 0 + π / 2 کاملاً منطبق هستند.
این ساده ترین نوع نوسان تناوبی است. شکل خاص تابع (سینوس یا کسینوس) به روش حذف سیستم از موقعیت تعادل خود بستگی دارد. اگر حذف با یک فشار اتفاق بیفتد (انرژی جنبشی داده می شود)، در t=0 جابجایی x=0، بنابراین، استفاده از تابع sin راحت تر است و φ 0 '=0 را تنظیم می کند. هنگام انحراف از موقعیت تعادل (انرژی بالقوه گزارش شده است) در t = 0، جابجایی x = x m، بنابراین، استفاده از تابع cos و φ 0 = 0 راحت تر است.
به عبارت زیر علامت cos یا sin گفته می شود. فاز نوسان:. فاز نوسان بر حسب رادیان اندازه گیری می شود و مقدار جابجایی (کمیت نوسانی) را در یک زمان معین تعیین می کند.
دامنه نوسان فقط به انحراف اولیه (انرژی اولیه داده شده به سیستم نوسانی) بستگی دارد.
سرعت و شتاب در طول نوسانات هارمونیک.
طبق تعریف سرعت، سرعت مشتق یک موقعیت نسبت به زمان است
بنابراین می بینیم که سرعت در حین حرکت نوسانی هارمونیک نیز طبق قانون هارمونیک تغییر می کند، اما نوسانات سرعت از نوسانات جابجایی فاز به اندازه π/2 جلوتر است.
مقدار - حداکثر سرعت حرکت نوسانی (دامنه نوسانات سرعت).
بنابراین، برای سرعت در حین نوسانات هارمونیک داریم: و برای حالت فاز اولیه صفر (نمودار را ببینید).
طبق تعریف شتاب، شتاب مشتق سرعت نسبت به زمان است: دومین مشتق مختصات نسبت به زمان است. سپس: . شتاب در حین حرکت نوسانی هارمونیک نیز طبق قانون هارمونیک تغییر می کند، اما نوسانات شتاب جلوتر از نوسانات سرعت توسط π/2 و نوسانات جابجایی توسط π (گفته می شود نوسانات رخ می دهد) است. در پادفاز).
مقدار - حداکثر شتاب (دامنه نوسانات شتاب). بنابراین برای شتاب داریم: و برای حالت فاز اولیه صفر: (نمودار را ببینید).
از تجزیه و تحلیل روند حرکت نوسانی، نمودارها و عبارات ریاضی مربوطه، مشخص می شود که وقتی جسم نوسانی از وضعیت تعادل عبور می کند (جابه جایی صفر است)، شتاب صفر و سرعت جسم حداکثر است. جسم با اینرسی از موقعیت تعادل عبور می کند، و وقتی به مقدار دامنه جابجایی رسید، سرعت برابر با صفر است و شتاب حداکثر در مقدار مطلق است (جسم جهت حرکت خود را تغییر می دهد).
بیایید عبارات جابجایی و شتاب را در هنگام ارتعاشات هارمونیک با هم مقایسه کنیم: و .
می توانید بنویسید: - یعنی مشتق دوم جابجایی نسبت مستقیم (با علامت مخالف) با جابجایی است. این معادله نامیده می شود معادله ارتعاش هارمونیک این وابستگی برای هر نوسان هارمونیک، صرف نظر از ماهیت آن، صادق است. از آنجایی که ما هرگز از پارامترهای یک سیستم نوسانی خاص استفاده نکرده ایم، تنها فرکانس چرخه ای می تواند به آنها بستگی داشته باشد.
نوشتن معادلات ارتعاشات به شکل زیر اغلب راحت است: ، جایی که T دوره نوسان است. سپس، اگر زمان بر حسب کسری از دوره بیان شود، محاسبات ساده می شود. به عنوان مثال، اگر ما نیاز به یافتن جابجایی بعد از 1/8 دوره داشته باشیم، به دست می آید: . سرعت و شتاب هم همینطور.

اغلب مواردی وجود دارد که یک سیستم به طور همزمان در دو یا چند نوسان مستقل از یکدیگر شرکت می کند. در این موارد یک حرکت نوسانی پیچیده تشکیل می شود که با قرار دادن (افزودن) نوسانات بر روی یکدیگر ایجاد می شود. بدیهی است که موارد اضافه شدن نوسانات می تواند بسیار متنوع باشد. آنها نه تنها به تعداد نوسانات اضافه شده، بلکه به پارامترهای نوسانات، فرکانس ها، فازها، دامنه ها و جهت آنها بستگی دارند. بررسی همه انواع احتمالی موارد اضافه کردن نوسانات ممکن نیست، بنابراین ما خود را به در نظر گرفتن نمونه های جداگانه محدود می کنیم.
1. جمع نوسانات یک جهت. بیایید دو نوسان با فرکانس یکسان، اما فازها و دامنه های متفاوت را اضافه کنیم.

(4.40)
هنگامی که نوسانات بر روی یکدیگر قرار می گیرند


اجازه دهید پارامترهای جدید A و j را با توجه به معادلات معرفی کنیم:

(4.42)
حل سیستم معادلات (4.42) آسان است.

(4.43)

(4.44)
بنابراین، برای x در نهایت معادله را به دست می آوریم

(4.45)
بنابراین در نتیجه اضافه شدن نوسانات یک طرفه با فرکانس یکسان، نوسان هارمونیک (سینوسی) بدست می آید که دامنه و فاز آن با فرمول های (4.43) و (4.44) تعیین می شود.
اجازه دهید موارد خاصی را در نظر بگیریم که در آنها روابط بین فازهای دو نوسان اضافه شده متفاوت است:


(4.46)
اجازه دهید اکنون نوسانات یک جهته با دامنه یکسان، فازهای یکسان، اما فرکانس های متفاوت را جمع آوری کنیم.


(4.47)
بیایید موردی را در نظر بگیریم که فرکانس ها به هم نزدیک باشند، یعنی w1~w2=w
سپس تقریباً فرض می کنیم که (w1+w2)/2= w و (w2-w1)/2 یک مقدار کوچک است. معادله نوسان حاصل به صورت زیر خواهد بود:

(4.48)
نمودار آن در شکل نشان داده شده است. 4.5 این نوسان ضربان نامیده می شود. با فرکانس w رخ می دهد، اما دامنه آن با یک دوره بزرگ نوسان می کند.

2. جمع دو نوسان عمود بر هم. فرض کنید یک نوسان در امتداد محور x و دیگری در امتداد محور y رخ می دهد. حرکت حاصل به وضوح در صفحه xy قرار دارد.
1. فرض می کنیم که فرکانس ها و فازهای نوسان یکسان هستند، اما دامنه ها متفاوت است.

(4.49)
برای یافتن مسیر حرکت حاصل، باید زمان را از معادلات (4.49) حذف کنید. برای انجام این کار کافی است یک معادله را به عبارت دیگر تقسیم کنیم که در نتیجه به دست می آید

(4.50)
معادله (4.50) نشان می دهد که در این حالت، اضافه کردن نوسانات منجر به نوسان در یک خط مستقیم می شود که شیب آن با نسبت دامنه ها تعیین می شود.
2. اجازه دهید فازهای نوسانات اضافه شده با یکدیگر 2 / متفاوت باشند و معادلات به شکل زیر باشد:

(4.51)
برای یافتن مسیر حرکت حاصل، بدون احتساب زمان، باید معادلات (4.51) را مربع کنید، ابتدا آنها را به ترتیب به A1 و A2 تقسیم کرده و سپس آنها را اضافه کنید. معادله مسیر به شکل زیر خواهد بود:

(4.52)
این معادله یک بیضی است. می توان ثابت کرد که برای هر فاز اولیه و هر دامنه ای از دو نوسان عمود بر هم با فرکانس یکسان اضافه شده، نوسان حاصل در امتداد یک بیضی رخ خواهد داد. جهت گیری آن به فازها و دامنه نوسانات اضافه شده بستگی دارد.
اگر نوسانات اضافه شده فرکانس های متفاوتی داشته باشند، مسیر حرکت های حاصل بسیار متنوع است. تنها در صورتی که فرکانس های نوسان در x و y مضرب یکدیگر باشند، مسیرهای بسته به دست می آید. چنین حرکاتی را می توان به عنوان دوره ای طبقه بندی کرد. در این مورد، مسیر حرکت ها فیگورهای لیساجو نامیده می شوند. بیایید یکی از ارقام Lissajous را در نظر بگیریم که با اضافه کردن نوسانات با نسبت فرکانسی 1:2، با دامنه ها و فازهای یکسان در ابتدای حرکت به دست می آید.

(4.53)
نوسانات در امتداد محور y دو برابر بیشتر از امتداد محور x رخ می دهد. افزودن چنین نوساناتی به یک مسیر حرکت به شکل شکل هشت منجر می شود (شکل 4.7).

8. نوسانات میرایی و پارامترهای آنها: کاهش و ضریب نوسان، زمان استراحت

)دوره نوسانات میرا شده:

تی = (58)

در δ << ω o ارتعاشات با هارمونیک تفاوتی ندارند: T = 2π/ ω o.

2) دامنه نوسانات میرا شدهبا فرمول (119) بیان می شود.

3) کاهش تضعیف،برابر با نسبت دو دامنه ارتعاش متوالی است آ(تی) و آ(t+T، میزان کاهش دامنه را در یک دوره مشخص می کند:

= e d T (59)

4) کاهش میرایی لگاریتمی- لگاریتم طبیعی نسبت دامنه‌های دو نوسان متوالی مربوط به لحظه‌های زمانی متفاوت با یک دوره

q = ln = ln e d Т =dT(60)

کاهش میرایی لگاریتمی یک مقدار ثابت برای یک سیستم نوسانی معین است.

5) زمان استراحتمرسوم است که دوره زمانی ( تی) که در طی آن دامنه نوسانات میرایی e بار کاهش می یابد:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

از مقایسه عبارات (60) و (61) به دست می آید:

q= = , (62)

جایی که N e -تعداد نوسانات انجام شده در حین آرامش

اگر در طول زمان تیسیستم متعهد می شود Ν پس تردید تی = Ν . Τ و معادله نوسانات میرا شده را می توان به صورت زیر نشان داد:

S = A 0 e -d N T cos(w t+j)= A 0 e -q N cos(w t+j).

6)فاکتور کیفیت سیستم نوسانی(س) معمولاً به کمیت مشخص کننده اتلاف انرژی در سیستم در طول دوره نوسان گفته می شود:

Q = 2پ , (63)

جایی که دبلیو- انرژی کل سیستم، ΔW- انرژی در یک دوره تلف می شود. هرچه انرژی کمتری تلف شود، ضریب کیفیت سیستم بیشتر می شود. محاسبات نشان می دهد

Q = = pN e = = . (64)

با این حال، ضریب کیفیت با کاهش تضعیف لگاریتمی نسبت معکوس دارد. از فرمول (64) بر می آید که ضریب کیفیت با تعداد نوسانات متناسب است N eدر هنگام استراحت توسط سیستم انجام می شود.

7) انرژی پتانسیلسیستم در زمان t را می توان بر حسب انرژی پتانسیل بیان کرد دبلیو 0 در بیشترین انحراف:

دبلیو = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

معمولاً به طور متعارف در نظر گرفته می شود که اگر انرژی آنها 100 برابر کاهش یافته باشد (دامنه 10 برابر کاهش یافته است) عملاً متوقف شده است. از اینجا می توانیم یک عبارت برای محاسبه تعداد نوسانات انجام شده توسط سیستم بدست آوریم:

= e 2qN= 100، ln100 = 2 qN;

ن = = . (66)

9. ارتعاشات اجباری. رزونانس. نوسانات دوره ای خود نوسانات.

برای اینکه سیستم بتواند نوسانات بدون میرایی را انجام دهد، باید اتلاف انرژی نوسان در اثر اصطکاک از بیرون را جبران کرد. برای اطمینان از کاهش نشدن انرژی نوسانی سیستم، معمولاً نیرویی وارد می‌شود که به صورت دوره‌ای بر سیستم اثر می‌گذارد (به چنین نیرویی می‌گوییم. اجبار کردن، و نوسانات مجبور می شوند).

تعریف: مجبور شداینها نوساناتی هستند که در یک سیستم نوسانی تحت تأثیر یک نیروی خارجی به طور متناوب در حال تغییر رخ می دهند.

این نیرو معمولاً نقش دوگانه ای دارد:

اولاً سیستم را تکان می دهد و مقدار معینی انرژی به آن می دهد.

ثانیاً، به طور دوره ای تلفات انرژی (مصرف انرژی) را برای غلبه بر نیروهای مقاومت و اصطکاک دوباره پر می کند.

اجازه دهید نیروی محرک در طول زمان طبق قانون تغییر کند:

.

اجازه دهید معادله حرکت سیستمی را که تحت تأثیر چنین نیرویی در نوسان است، بسازیم. ما فرض می کنیم که سیستم همچنین تحت تأثیر یک نیروی شبه الاستیک و نیروی مقاومتی محیط قرار می گیرد (که با فرض نوسانات کوچک درست است). سپس معادله حرکت سیستم به صورت زیر خواهد بود:

یا .

با انجام جانشینی های , - فرکانس طبیعی نوسانات سیستم، معادله دیفرانسیل خطی ناهمگن 2 را به دست می آوریم. هفتمسفارش:

از تئوری معادلات دیفرانسیل مشخص می شود که حل کلی یک معادله ناهمگن برابر است با مجموع جواب کلی یک معادله همگن و یک راه حل خاص یک معادله ناهمگن.

جواب کلی معادله همگن مشخص است:

,

جایی که ; آ 0 و آ- نتیجه دلخواه

.

با استفاده از یک نمودار برداری، می توانید صحت این فرض را تأیید کنید و همچنین مقادیر " را تعیین کنید. آ"و" j”.

دامنه نوسانات با عبارت زیر تعیین می شود:

.

معنی " j"، که مقدار تاخیر فاز نوسان اجباری است از نیروی محرکه ای که آن را تعیین کرده است، از نمودار برداری نیز مشخص می شود و به مقدار:

.

در نهایت، یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن به شکل زیر خواهد بود:

(8.18)

این تابع، همراه با

(8.19)

یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل ناهمگن می دهد که رفتار یک سیستم را تحت نوسانات اجباری توصیف می کند. اصطلاح (8.19) نقش مهمی در مرحله اولیه فرآیند، در طول به اصطلاح ایجاد نوسانات ایفا می کند (شکل 8.10). با گذشت زمان، به دلیل ضریب نمایی، نقش جمله دوم (8.19) بیشتر و بیشتر کاهش می یابد و پس از گذشت زمان کافی می توان از آن صرف نظر کرد و تنها عبارت (8.18) را در راه حل حفظ کرد.

بنابراین، تابع (8.18) نوسانات اجباری حالت پایدار را توصیف می کند. آنها نوسانات هارمونیک با فرکانس برابر با فرکانس نیروی محرکه را نشان می دهند. دامنه نوسانات اجباری متناسب با دامنه نیروی محرکه است. برای یک سیستم نوسانی معین (تعریف شده توسط w 0 و b)، دامنه به فرکانس نیروی محرکه بستگی دارد. نوسانات اجباری از نیروی محرکه در فاز عقب می مانند، و بزرگی تاخیر "j" نیز به فرکانس نیروی محرکه بستگی دارد.

وابستگی دامنه نوسانات اجباری به فرکانس نیروی محرکه منجر به این واقعیت می شود که در فرکانس معینی که برای یک سیستم معین تعیین می شود، دامنه نوسانات به حداکثر مقدار می رسد. به نظر می رسد که سیستم نوسانی به ویژه به عمل نیروی محرکه در این فرکانس پاسخ می دهد. این پدیده نامیده می شود رزونانس، و فرکانس مربوطه است فرکانس تشدید.

تعریف: پدیده ای که در آن افزایش شدید دامنه نوسانات اجباری مشاهده می شود، نامیده می شود. رزونانس.

فرکانس تشدید از حداکثر شرایط برای دامنه نوسانات اجباری تعیین می شود:

. (8.20)

سپس، با جایگزینی این مقدار با عبارت دامنه، دریافت می کنیم:

. (8.21)

در غیاب مقاومت متوسط، دامنه نوسانات در تشدید به بی نهایت تبدیل می شود. فرکانس تشدید در شرایط یکسان (b=0) با فرکانس طبیعی نوسانات منطبق است.

وابستگی دامنه نوسانات اجباری به فرکانس نیروی محرکه (یا همان چیزی است که به فرکانس نوسان است) را می توان به صورت گرافیکی نشان داد (شکل 8.11). منحنی های فردی با مقادیر مختلف "b" مطابقت دارند. هر چه b کوچکتر باشد، حداکثر این منحنی بالاتر و در سمت راست قرار دارد (به عبارت w res مراجعه کنید). با میرایی بسیار بالا، رزونانس مشاهده نمی شود - با افزایش فرکانس، دامنه نوسانات اجباری به طور یکنواخت کاهش می یابد (منحنی پایین تر در شکل 8.11).

مجموعه نمودارهای ارائه شده مربوط به مقادیر مختلف b نامیده می شود منحنی های رزونانس.

یادداشتدر مورد منحنی های تشدید:

همانطور که w®0 تمایل دارد، همه منحنی ها به یک مقدار غیر صفر برابر با . این مقدار نشان دهنده جابجایی از موقعیت تعادلی است که سیستم تحت تأثیر یک نیروی ثابت دریافت می کند. اف 0 .

به عنوان w®¥ همه منحنی ها به طور مجانبی به صفر تمایل دارند، زیرا در فرکانس‌های بالا، نیرو آنقدر سریع جهت خود را تغییر می‌دهد که سیستم زمان لازم برای جابه‌جایی محسوس از وضعیت تعادل خود را ندارد.

هر چه b کوچکتر باشد، هرچه دامنه تشدید نزدیک با فرکانس بیشتر تغییر کند، حداکثر "تیزتر" است.

پدیده رزونانس اغلب مفید است، به ویژه در مهندسی صدا و رادیو.

خود نوسانات- نوسانات بدون میرا در یک سیستم دینامیکی اتلافی با فیدبک غیرخطی، که توسط انرژی ثابت پشتیبانی می شود. غیر دوره اینفوذ خارجی

خود نوسانی با نوسانات اجباریزیرا دومی ایجاد می شود تناوبیتأثیر خارجی دارد و با فرکانس این تأثیر رخ می دهد، در حالی که وقوع خود نوسانات و فرکانس آنها توسط ویژگی های داخلی خود سیستم خود نوسانی تعیین می شود.

مدت، اصطلاح خود نوساناتدر سال 1928 توسط A. A. Andronov وارد اصطلاحات روسی شد.

مثال ها[

نمونه هایی از خود نوسانات عبارتند از:

· نوسانات بدون میرا آونگ ساعت به دلیل اثر ثابت گرانش وزن سیم پیچ.

ارتعاشات سیم ویولن تحت تأثیر یک آرشه متحرک یکنواخت

· وقوع جریان متناوب در مدارهای مولتی ویبراتور و سایر ژنراتورهای الکترونیکی با ولتاژ تغذیه ثابت.

· نوسان ستون هوا در لوله اندام، با عرضه یکنواخت هوا به داخل آن. (همچنین به موج ایستاده مراجعه کنید)

· ارتعاشات چرخشی یک چرخ دنده ساعت برنجی با محور فولادی معلق از آهنربا و پیچ خورده (آزمایش گامازکوف) (انرژی جنبشی چرخ، مانند یک ژنراتور تک قطبی، به انرژی پتانسیل یک میدان الکتریکی، انرژی پتانسیل تبدیل می شود. میدان الکتریکی، مانند موتورهای تک قطبی، به انرژی جنبشی چرخ و غیره تبدیل می شود.)

چکش ماکلاکوف

چکشی که با استفاده از انرژی جریان متناوب با فرکانس چند برابر کمتر از فرکانس جریان در مدار الکتریکی برخورد می کند.

سیم پیچ L مدار نوسانی بالای میز (یا جسم دیگری که نیاز به ضربه زدن دارد) قرار می گیرد. یک لوله آهنی از پایین وارد می شود که انتهای پایین آن قسمت ضربه گیر چکش است. این لوله دارای یک شیار عمودی برای کاهش جریان فوکو است. پارامترهای مدار نوسانی به گونه ای است که فرکانس طبیعی نوسانات آن با فرکانس جریان در مدار منطبق است (مثلاً جریان متناوب شهر، 50 هرتز).

پس از روشن شدن جریان و برقراری نوسانات، رزونانسی از جریان های مدار و مدار خارجی مشاهده می شود و لوله آهنی به داخل سیم پیچ کشیده می شود. اندوکتانس سیم پیچ افزایش می یابد، مدار نوسانی از رزونانس خارج می شود و دامنه نوسانات جریان در سیم پیچ کاهش می یابد. بنابراین، لوله تحت تأثیر گرانش به موقعیت اولیه خود - خارج از سیم پیچ - باز می گردد. سپس نوسانات جریان در داخل مدار شروع به افزایش می کند و رزونانس دوباره رخ می دهد: لوله دوباره به سیم پیچ کشیده می شود.

لوله می سازد خود نوساناتیعنی حرکات دوره ای بالا و پایین و در عین حال با صدای بلند مثل چکش روی میز می کوبد. دوره این خود نوسانات مکانیکی دهها برابر بیشتر از دوره جریان متناوب است که آنها را پشتیبانی می کند.

این چکش به افتخار M.I. Maklakov، دستیار سخنرانی در موسسه فیزیک و فناوری مسکو، که چنین آزمایشی را برای نشان دادن نوسانات خود پیشنهاد و انجام داد، نامگذاری شده است.

مکانیزم خود نوسانی

عکس. 1.مکانیزم خود نوسانی

نوسانات خود می توانند ماهیت متفاوتی داشته باشند: مکانیکی، حرارتی، الکترومغناطیسی، شیمیایی. مکانیسم وقوع و حفظ خود نوسانات در سیستم های مختلف می تواند بر اساس قوانین مختلف فیزیک یا شیمی باشد. برای توصیف کمی دقیق از خود نوسانات سیستم های مختلف، ممکن است به دستگاه های ریاضی متفاوتی نیاز باشد. با این وجود، می توان یک نمودار مشترک برای همه سیستم های خود نوسانی تصور کرد که به طور کیفی این مکانیسم را توصیف می کند (شکل 1).

روی نمودار: اس- منبع تأثیر ثابت (غیر دوره ای)؛ آر- یک کنترل کننده غیرخطی که یک اثر ثابت را به یک متغیر (مثلاً به یک متناوب در زمان) تبدیل می کند که "نوسان می کند" نوسان ساز V- عنصر(های) نوسانی سیستم و نوسانات نوسانگر از طریق بازخورد بکنترل عملکرد رگولاتور آر، درخواست فازو فرکانساقدامات او اتلاف (اتلاف انرژی) در یک سیستم خود نوسانی با جریان انرژی به داخل آن از منبع تأثیر ثابت جبران می شود که به همین دلیل خود نوسانات از بین نمی روند.

برنج. 2نمودار مکانیسم ضامن دار یک ساعت آونگی

اگر عنصر نوسانی سیستم قادر به خود باشد نوسانات میرا شده(باصطلاح نوسان ساز اتلاف دهنده هارمونیکخود نوسانات (با اتلاف و انرژی ورودی برابر به سیستم در طول دوره) در فرکانس نزدیک به طنین اندازبرای این نوسان ساز، شکل آنها به هارمونیک نزدیک می شود و دامنه، در محدوده خاصی از مقادیر، بزرگی تأثیر خارجی ثابت بیشتر است.

نمونه ای از این نوع سیستم ها مکانیسم جغجغه ای یک ساعت آونگی است که نمودار آن در شکل 1 نشان داده شده است. 2. روی محور چرخ ضامن دار آ(که در این سیستم عملکرد تنظیم کننده غیرخطی را انجام می دهد) یک گشتاور نیرو ثابت وجود دارد م، از طریق یک قطار دنده از فنر اصلی یا از یک وزنه منتقل می شود. وقتی چرخ می چرخد آدندان های آن تکانه های کوتاه مدت نیرو را به آونگ وارد می کنند پ(نوسانگر) که به لطف آن نوسانات آن محو نمی شود. سینماتیک مکانیسم نقش بازخورد را در سیستم ایفا می کند و چرخش چرخ را با نوسانات آونگ هماهنگ می کند به گونه ای که در طول دوره کامل نوسان چرخ از طریق زاویه ای مطابق با یک دندان می چرخد.

سیستم های خود نوسانی که دارای نوسان ساز هارمونیک نیستند نامیده می شوند آرامش. ارتعاشات موجود در آنها می تواند بسیار متفاوت از هارمونیک باشد و به شکل مستطیل، مثلثی یا ذوزنقه ای باشد. دامنه و دوره خود نوسانات آرامش با نسبت بزرگی ضربه ثابت و ویژگی های اینرسی و اتلاف سیستم تعیین می شود.

برنج. 3زنگ برقی

ساده ترین مثال از خود نوسانات آرامش، عملکرد یک زنگ الکتریکی است که در شکل 1 نشان داده شده است. 3. منبع قرار گرفتن در معرض ثابت (غیر دوره ای) در اینجا یک باتری الکتریکی است U; نقش یک تنظیم کننده غیرخطی توسط یک چاپر انجام می شود تی، بسته شدن و باز کردن یک مدار الکتریکی که در نتیجه جریان متناوب در آن ظاهر می شود. عناصر نوسانی یک میدان مغناطیسی هستند که به طور دوره ای در هسته یک آهنربای الکتریکی القا می شوند E، و لنگر آ، تحت تأثیر یک میدان مغناطیسی متناوب حرکت می کند. نوسانات آرمیچر شکن را فعال می کند که بازخورد را تشکیل می دهد.

اینرسی این سیستم توسط دو کمیت فیزیکی متفاوت تعیین می شود: ممان اینرسی آرمیچر آو اندوکتانس سیم پیچ آهنربای الکتریکی E. افزایش هر یک از این پارامترها منجر به افزایش دوره خود نوسانات می شود.

اگر چندین عنصر در سیستم وجود داشته باشد که مستقل از یکدیگر نوسان می کنند و به طور همزمان بر یک تنظیم کننده یا تنظیم کننده غیرخطی (که ممکن است تعدادی نیز وجود داشته باشند) تأثیر می گذارند، خود نوسانات می توانند ماهیت پیچیده تری به خود بگیرند، به عنوان مثال، دوره ای، یا هرج و مرج پویا.

در طبیعت و تکنولوژی

خود نوسانی زمینه ساز بسیاری از پدیده های طبیعی است:

· ارتعاشات برگهای گیاه تحت تأثیر جریان هوای یکنواخت.

· تشکیل جریان های متلاطم بر روی شکاف ها و تند رودخانه ها.

· عمل آبفشان های منظم و غیره.

اصل کار تعداد زیادی از دستگاه ها و دستگاه های فنی مختلف بر اساس خود نوسانات است، از جمله:

· بهره برداری از انواع ساعت ها اعم از مکانیکی و الکتریکی.

· صدای تمام آلات موسیقی بادی و زهی.

©2015-2019 سایت
تمامی حقوق متعلق به نویسندگان آنها می باشد. این سایت ادعای نویسندگی ندارد، اما استفاده رایگان را فراهم می کند.
تاریخ ایجاد صفحه: 2017-04-04

نوساناتحرکات یا فرآیندهایی که با تکرارپذیری خاصی در طول زمان مشخص می شوند نامیده می شوند. فرآیندهای نوسانی در طبیعت و فناوری گسترده هستند، به عنوان مثال، تاب خوردن آونگ ساعت، جریان الکتریکی متناوب، و غیره. هنگامی که آونگ نوسان می کند، مختصات مرکز جرم آن تغییر می کند؛ در مورد جریان متناوب، ولتاژ و جریان. در مدار نوسان دارد. ماهیت فیزیکی ارتعاشات می تواند متفاوت باشد، بنابراین، ارتعاشات مکانیکی، الکترومغناطیسی و غیره وجود دارد، اما فرآیندهای نوسانی مختلف با ویژگی های یکسان و معادلات مشابه توصیف می شوند. از این رو مصلحت است سلامبرای مطالعه ارتعاشات با ماهیت فیزیکی متفاوت

نوسانات نامیده می شود رایگان, اگر آنها فقط تحت تأثیر نیروهای داخلی که بین عناصر سیستم عمل می کنند رخ دهند، پس از اینکه سیستم توسط نیروهای خارجی از تعادل خارج شده و به حال خود رها شود. ارتعاشات رایگان همیشه نوسانات میرا شده زیرا در سیستم های واقعی تلفات انرژی اجتناب ناپذیر است. در حالت ایده آل یک سیستم بدون اتلاف انرژی، نوسانات آزاد (تا زمانی که مورد نظر ادامه دارند) نامیده می شوند. خود.

ساده ترین نوع نوسانات بدون میرایی آزاد هستند ارتعاشات هارمونیک -نوساناتی که در آن کمیت نوسانی در طول زمان طبق قانون سینوس (کسینوس) تغییر می کند. ارتعاشات موجود در طبیعت و فناوری اغلب دارای شخصیتی نزدیک به هارمونیک هستند.

نوسانات هارمونیک با معادله ای به نام معادله نوسانات هارمونیک توصیف می شود:

جایی که آ- دامنه نوسانات، حداکثر مقدار کمیت نوسانی ایکس; - فرکانس دایره ای (چرخه ای) نوسانات طبیعی؛ - فاز اولیه نوسان در لحظه زمان تی= 0; - فاز نوسان در لحظه زمان تیفاز نوسان مقدار کمیت نوسانی را در یک زمان معین تعیین می کند. از آنجایی که کسینوس از 1+ تا 1- متغیر است، پس ایکسمی تواند مقادیر را از + بگیرد آقبل از - آ.

زمان تیکه طی آن سیستم یک نوسان کامل را کامل می کند نامیده می شود دوره نوسان. در حین تیفاز نوسان 2 افزایش می یابد π ، یعنی

جایی که . (14.2)

متقابل دوره نوسان

یعنی تعداد نوسانات کامل انجام شده در واحد زمان فرکانس نوسان نامیده می شود. با مقایسه (14.2) و (14.3) به دست می آوریم

واحد فرکانس هرتز (هرتز) است: 1 هرتز فرکانسی است که در آن یک نوسان کامل در 1 ثانیه رخ می دهد.

سیستم هایی که در آنها ارتعاشات آزاد رخ می دهد نامیده می شوند اسیلاتورها . یک سیستم باید چه ویژگی هایی داشته باشد تا ارتعاشات آزاد در آن رخ دهد؟ سیستم مکانیکی باید داشته باشد موقعیت تعادل پایدار، در هنگام خروج که ظاهر می شود بازگرداندن نیروی هدایت شده به سمت موقعیت تعادل. همانطور که مشخص است این موقعیت با حداقل انرژی پتانسیل سیستم مطابقت دارد. اجازه دهید چندین سیستم نوسانی را در نظر بگیریم که ویژگی های ذکر شده را برآورده می کنند.