معنی مثلث پن رز مثلث غیر ممکن ساخت یک شکل با دستان خود

مثلث غیرممکن یکی از پارادوکس های شگفت انگیز ریاضی است. در نگاه اول به او، نمی توان یک لحظه در وجود واقعی او شک کرد. با این حال، این فقط یک توهم است، یک فریب. و خود امکان چنین توهمی توسط ریاضیات برای ما توضیح داده خواهد شد!

کشف Penroses

در سال 1958، مجله روانشناسی بریتانیا مقاله ای از L. Penrose و R. Penrose منتشر کرد که در آن نوع جدیدی از توهم نوری را معرفی کردند که آن را "مثلث غیرممکن" نامیدند.

یک مثلث بصری غیر ممکن به عنوان ساختاری درک می شود که در واقع در فضای سه بعدی وجود دارد و از میله های مستطیلی تشکیل شده است. اما این فقط یک توهم نوری است. ساختن یک مدل واقعی از یک مثلث غیرممکن غیرممکن است.

مقاله پنروز حاوی چندین گزینه برای به تصویر کشیدن یک مثلث غیرممکن بود. - ارائه "کلاسیک" آن.

چه عناصری یک مثلث غیرممکن را تشکیل می دهند؟

به طور دقیق تر، به نظر ما از چه عناصری ساخته شده است؟ طراحی بر اساس یک گوشه مستطیل شکل است که با اتصال دو میله مستطیلی یکسان در یک زاویه قائم به دست می آید. سه گوشه از این قبیل مورد نیاز است، و میله ها، بنابراین، شش قطعه. این گوشه ها باید از نظر بصری به روش خاصی به یکدیگر "متصل" شوند تا یک زنجیره بسته را تشکیل دهند. اتفاقی که می افتد مثلث غیرممکن است.

گوشه اول را در یک صفحه افقی قرار دهید. گوشه دوم را به آن وصل می کنیم و یکی از لبه های آن را به سمت بالا هدایت می کنیم. در نهایت یک گوشه سوم به این گوشه دوم اضافه می کنیم تا لبه آن موازی با صفحه افقی اصلی باشد. در این صورت دو لبه گوشه اول و سوم موازی و در جهات مختلف هدایت می شوند.

اگر میله را به عنوان قطعه ای از طول واحد در نظر بگیریم، انتهای میله های گوشه اول دارای مختصات و گوشه دوم - , و, سوم - و و. ما یک ساختار "پیچیده" دریافت کردیم که در واقع در فضای سه بعدی وجود دارد.

و حالا بیایید سعی کنیم به صورت ذهنی از نقاط مختلف فضا به آن نگاه کنیم. تصور کنید از یک نقطه، از نقطه دیگر، از نقطه سوم چگونه به نظر می رسد. هنگام تغییر نقطه مشاهده، به نظر می رسد که دو لبه "انتهای" گوشه های ما نسبت به یکدیگر حرکت می کنند. پیدا کردن موقعیتی که در آن ارتباط برقرار کنند کار دشواری نیست.

اما اگر فاصله بین دنده ها بسیار کمتر از فاصله گوشه ها تا نقطه ای باشد که ساختار خود را از آن مشاهده می کنیم، هر دو دنده برای ما ضخامت یکسانی خواهند داشت و این ایده به وجود می آید که این دو دنده در واقع یک دنده هستند. ادامه یکدیگر این وضعیت در 4 نشان داده شده است.

به هر حال، اگر به طور همزمان به انعکاس سازه در آینه نگاه کنیم، در آنجا مدار بسته ای را نخواهیم دید.

و از نقطه مشاهده انتخاب شده، ما با چشمان خود معجزه ای را می بینیم که اتفاق افتاده است: یک زنجیره بسته از سه گوشه وجود دارد. فقط نقطه مشاهده را تغییر ندهید تا این توهم فرو نریزد. حالا می توانید شیئی را که می بینید بکشید یا لنز دوربین را در نقطه پیدا شده قرار دهید و از یک شی غیرممکن عکس بگیرید.

پنروزها اولین کسانی بودند که به این پدیده علاقه مند شدند. آنها از امکاناتی که هنگام ترسیم فضای سه بعدی و اشیاء سه بعدی روی یک صفحه دو بعدی به وجود می آید استفاده کردند و توجه را به برخی عدم قطعیت های طراحی جلب کردند - ساختار باز از سه گوشه را می توان به عنوان یک زنجیره بسته درک کرد.

اثبات غیرممکن بودن مثلث پنروز

با تجزیه و تحلیل ویژگی های یک تصویر دو بعدی از اجسام سه بعدی در یک هواپیما، متوجه شدیم که چگونه ویژگی های این نمایشگر به یک مثلث غیرممکن منجر می شود. شاید کسی به یک اثبات کاملاً ریاضی علاقه مند شود.

اثبات اینکه مثلث غیرممکن وجود ندارد بسیار آسان است، زیرا هر یک از زوایای آن قائم است و مجموع آنها به جای 180 درجه "قرار داده شده" 270 درجه است.

علاوه بر این، حتی اگر یک مثلث غیرممکن را از گوشه های کمتر از 90 درجه به هم چسبانده در نظر بگیریم، در این صورت می توانیم ثابت کنیم که مثلث غیرممکن وجود ندارد.

سه چهره صاف می بینیم. آنها به صورت جفت در امتداد خطوط مستقیم متقاطع می شوند. صفحات حاوی این وجوه به صورت جفتی متعامد هستند، بنابراین در یک نقطه متقاطع می شوند.

علاوه بر این، خطوط تقاطع متقابل هواپیماها باید از این نقطه عبور کنند. بنابراین، خطوط مستقیم 1، 2، 3 باید در یک نقطه قطع شوند.

اما اینطور نیست. بنابراین، ساخت و ساز ارائه شده غیر ممکن است.

هنر "غیرممکن"

سرنوشت این یا آن ایده - علمی، فنی، سیاسی - به شرایط زیادی بستگی دارد. و نه کم‌کم به شکلی که این ایده در آن ارائه خواهد شد، در چه تصویری برای عموم مردم ظاهر می‌شود. آیا تجسم خشک و درک آن دشوار خواهد بود، یا برعکس، تجلی ایده درخشان خواهد بود و حتی برخلاف میل ما توجه ما را به خود جلب می کند.

مثلث غیر ممکن سرنوشت خوشی دارد. در سال 1961، موریتز اشر، هنرمند هلندی، سنگ نگاره‌ای را که «آبشار» نامیده بود، تکمیل کرد. این هنرمند از ایده یک مثلث غیرممکن تا تجسم هنری شگفت انگیز آن راه طولانی اما سریع را طی کرده است. به یاد بیاورید که مقاله Penrose در سال 1958 ظاهر شد.

در قلب "آبشار" دو مثلث غیرممکن نشان داده شده است. یک مثلث بزرگ است، مثلث دیگری در داخل آن قرار دارد. ممکن است به نظر برسد که سه مثلث غیرممکن یکسان به تصویر کشیده شده است. اما این نکته نیست، طراحی ارائه شده کاملاً پیچیده است.

با یک نگاه گذرا، پوچ بودن آن بلافاصله برای همه قابل مشاهده نخواهد بود، زیرا هر ارتباط ارائه شده امکان پذیر است. همانطور که می گویند، به صورت محلی، یعنی در یک منطقه کوچک از نقاشی، چنین طراحی امکان پذیر است ... اما به طور کلی، غیرممکن است! تکه های تک تک آن با هم تناسب ندارند، با یکدیگر همخوانی ندارند.

و برای درک این موضوع باید تلاش های فکری و بصری خاصی به خرج دهیم.

بیایید در امتداد لبه های سازه سفر کنیم. این مسیر از این جهت قابل توجه است که در طول آن، همانطور که به نظر ما می رسد، سطح نسبت به صفحه افقی بدون تغییر باقی می ماند. با حرکت در این مسیر، نه بالا می رویم و نه پایین.

و همه چیز خوب بود، آشنا، اگر در انتهای مسیر - یعنی در نقطه - متوجه نمی شدیم که، نسبت به نقطه شروع، به نحوی مرموز و غیرقابل تصور از عمودی بالا می رفتیم!

برای رسیدن به این نتیجه متناقض، باید این مسیر را انتخاب کنیم و حتی سطح را نسبت به سطح افقی نظارت کنیم... کار آسانی نیست. در تصمیم خود، Escher به کمک ... آب آمد. بیایید آهنگ مربوط به حرکت از چرخه آواز فوق العاده فرانتس شوبرت "زن زیبای میلر" را به یاد بیاوریم:

و ابتدا در تخیل و سپس به دست استادی شگفت‌انگیز، سازه‌های لخت و خشک به قنات‌هایی تبدیل می‌شوند که نهرهای آب تمیز و سریع از میان آنها می‌گذرد. حرکت آنها نگاه ما را تسخیر می کند و اکنون بر خلاف میل خود به پایین دست می شتابیم و تمام پیچ ها و پیچ های مسیر را دنبال می کنیم و همراه با نهری که می شکند روی تیغه های آسیاب آبی می افتیم و دوباره به سمت پایین دست می شتابیم. .

ما یک بار، دو بار، بار سوم این مسیر را دور می زنیم و فقط در آن زمان متوجه می شویم: با حرکت به سمت پایین و پایین، به نحوی خارق العاده بلند می شویم! غافلگیری اولیه به نوعی ناراحتی فکری تبدیل می شود. گویا قربانی نوعی شوخی شده ایم، موضوع شوخی هایی که هنوز درک نشده است.

و دوباره این مسیر را در امتداد یک مجرای عجیب تکرار می کنیم، اکنون به آرامی، با احتیاط، گویی می ترسیم از یک تصویر متناقض گیر بیفتیم، و هر آنچه را که در این مسیر مرموز اتفاق می افتد به طور انتقادی درک می کنیم.

ما می کوشیم رازی را که ما را شگفت زده کرده است بگشاییم و تا زمانی که چشمه پنهانی را که در پایه آن قرار دارد و گردباد غیرقابل تصور را به حرکت بی وقفه وارد می کند، پیدا نکنیم، نمی توانیم از اسارت آن فرار کنیم.

هنرمند به طور خاص تأکید می کند، درک نقاشی های خود را به عنوان تصاویری از اشیاء سه بعدی واقعی به ما تحمیل می کند. سه بعدی بودن با تصویر چند وجهی کاملا واقعی بر روی برج ها، آجرکاری با دقیق ترین نمایش هر آجر در دیوارهای قنات، تراس های مرتفع با باغ ها در پس زمینه تاکید شده است. همه چیز طوری طراحی شده است که بیننده را متقاعد کند که واقعیت آن چه در حال رخ دادن است. و به لطف هنر و تکنولوژی عالی این هدف محقق شده است.

هنگامی که از اسارتی که در آن آگاهی ما قرار دارد خارج می شویم، شروع به مقایسه، تقابل، تجزیه و تحلیل می کنیم، متوجه می شویم که اساس، منبع این تصویر در ویژگی های طراحی پنهان است.

و ما یک مدرک دیگر - اثبات "فیزیکی" برای غیرممکن بودن "مثلث غیرممکن" به دست آوردیم: اگر چنین مثلثی وجود داشت، "آبشار" Escher نیز وجود داشت، که اساساً یک ماشین حرکت دائمی است. اما یک ماشین حرکت دائمی غیرممکن است، بنابراین، "مثلث غیرممکن" نیز غیرممکن است. و شاید این "شواهد" قانع کننده ترین باشد.

چه چیزی موریتز اشر را به یک پدیده تبدیل کرد، فردی منحصر به فرد که هیچ پیشینیان آشکاری در هنر نداشت و نمی توان از او تقلید کرد؟ این ترکیبی از هواپیما و حجم است، توجه دقیق به اشکال عجیب و غریب جهان کوچک - زنده و غیر زنده، به دیدگاه های غیر معمول در مورد چیزهای معمولی. تأثیر اصلی ترکیبات او تأثیر ظهور روابط غیرممکن بین اشیاء آشنا است. این موقعیت ها در نگاه اول می تواند هم ترسناک باشد و هم باعث لبخند شود. می توانید با خوشحالی به لذتی که هنرمند ارائه می دهد نگاه کنید یا می توانید به طور جدی در اعماق دیالکتیک غوطه ور شوید.

موریتز اسچر نشان داد که جهان ممکن است اصلاً آنطوری نباشد که ما آن را می بینیم و به درک آن عادت کرده ایم - فقط باید از زاویه دید متفاوت و جدیدی به آن نگاه کنید!

موریتز اشر

موریتز اشر بیشتر به عنوان یک دانشمند خوش شانس بود تا یک هنرمند. حکاکی‌ها و سنگ نگاره‌های او به‌عنوان کلیدهایی برای اثبات قضایا یا نمونه‌های متضاد اصلی که عقل سلیم را به چالش می‌کشند، تلقی می‌شدند. در بدترین حالت، آنها به عنوان تصاویر عالی برای رساله های علمی در مورد کریستالوگرافی، نظریه گروه، روانشناسی شناختی یا گرافیک کامپیوتری تلقی می شدند. موریتز اشر در زمینه روابط فضا-زمان و هویت آنها کار کرد، او از الگوهای اساسی موزاییک ها استفاده کرد و دگرگونی هایی را در آنها اعمال کرد. این استاد بزرگ توهمات نوری است. حکاکی های اشر نه دنیای فرمول ها، بلکه زیبایی جهان را به تصویر می کشد. انبار فکری آنها اساساً با خلاقیت های غیر منطقی سوررئالیست ها مخالف است.

هنرمند هلندی موریتز کورنلیوس اشر در 17 ژوئن 1898 در استان هلند متولد شد. خانه ای که اسکر در آن به دنیا آمد اکنون به موزه تبدیل شده است.

موریتز از سال 1907 به تحصیل در رشته نجاری و نواختن پیانو پرداخته و در یک دبیرستان تحصیل کرده است. نمرات موریتز در همه دروس به جز نقاشی ضعیف بود. معلم هنر متوجه استعداد پسر شد و به او یاد داد که چگونه چوب بری کند.

در سال 1916، Escher اولین کار گرافیکی خود را انجام داد، حکاکی بر روی مشمع کف اتاق بنفش - پرتره ای از پدرش G. A. Escher. او از کارگاه هنرمند گرت استیگمان که یک دستگاه چاپ داشت بازدید می کند. اولین حکاکی های اشر روی این دستگاه چاپ شد.

در سالهای 1918-1919، اسچر در دانشکده فنی در شهر هلندی دلفت حضور یافت. او برای ادامه تحصیل از خدمت سربازی به تعویق می افتد، اما به دلیل وضعیت نامناسب سلامتی، موریتز با برنامه درسی کنار نیامد و اخراج شد. در نتیجه هرگز تحصیلات عالی دریافت نکرد. او در دانشکده معماری و تزیینات در هارلم تحصیل می کند، جایی که از ساموئل جسرین د مسکیت، که تأثیری سازنده بر زندگی و کار اشر داشت، درس طراحی می گیرد.

در سال 1921 خانواده اشر از ریویرا و ایتالیا دیدن کردند. موریتز که مجذوب پوشش گیاهی و گل های آب و هوای مدیترانه ای شده بود، نقاشی های دقیقی از کاکتوس ها و درختان زیتون کشید. او طرح های بسیاری از مناظر کوهستانی را ترسیم کرد که بعدها اساس کار او را تشکیل داد. بعداً او دائماً به ایتالیا برمی‌گشت که منبع الهام او بود.

Escher شروع به آزمایش در جهت جدیدی برای خود می کند ، حتی در این صورت در آثار او تصاویر آینه ای ، چهره های کریستالی و کره وجود دارد.

پایان دهه بیست دوران بسیار پرباری برای موریتز بود. آثار او در نمایشگاه های زیادی در هلند به نمایش درآمد و تا سال 1929 محبوبیت او به حدی رسید که در یک سال پنج نمایشگاه انفرادی در هلند و سوئیس برگزار شد. در این دوره بود که نقاشی های اشر برای اولین بار مکانیکی و منطقی نامیده شد.

آشر زیاد سفر می کند. در ایتالیا و سوئیس، بلژیک زندگی می کند. او موزاییک های موری را مطالعه می کند، سنگ نگاره، حکاکی می سازد. او بر اساس طرح های سفر، اولین نقاشی خود را از واقعیت غیرممکن زندگی بی جان با خیابان خلق می کند.

در اواخر دهه 30، Escher به آزمایش موزاییک ها و دگرگونی ها ادامه داد. او موزاییکی به شکل دو پرنده در حال پرواز به سمت یکدیگر خلق می کند که اساس نقاشی "روز و شب" را تشکیل می دهد.

در ماه مه 1940، نازی ها هلند و بلژیک را اشغال کردند و در 17 مه، بروکسل نیز به منطقه اشغالی سقوط کرد، جایی که اسکر و خانواده اش در آن زمان زندگی می کردند. آنها خانه ای در وارنا پیدا می کنند و در فوریه 1941 به آنجا نقل مکان می کنند. اشر تا پایان عمر خود در این شهر زندگی خواهد کرد.

در سال 1946، Escher به فناوری چاپ گراور علاقه مند شد. و اگرچه این فناوری بسیار پیچیده‌تر از آن چیزی بود که قبلاً توسط Escher استفاده می‌شد و به زمان بیشتری برای ایجاد یک تصویر نیاز داشت، نتایج چشمگیر بودند - خطوط نازک و بازتولید سایه دقیق. یکی از مشهورترین آثار چاپ گراور «قطره شبنم» در سال 1948 به پایان رسید.

در سال 1950، موریتز اشر به عنوان یک سخنران محبوبیت پیدا کرد. سپس در سال 1950 اولین نمایشگاه انفرادی او در آمریکا برگزار شد و خرید آثار او آغاز شد. 27 آوریل 1955 موریتز اشر شوالیه شد و نجیب زاده شد.

در اواسط دهه 1950، Escher موزاییک ها را با فیگورهایی که به بی نهایت می رسند ترکیب می کند.

در اوایل دهه 60 اولین کتاب با آثار اشر به نام Grafiek en Tekeningen منتشر شد که خود نویسنده در آن 76 اثر را توضیح داد. این کتاب به درک ریاضیدانان و بلورشناسان، از جمله برخی در روسیه و کانادا کمک کرده است.

در آگوست 1960، Escher در کمبریج در مورد کریستالوگرافی سخنرانی کرد. جنبه های ریاضی و کریستالوگرافی کار Escher بسیار محبوب می شود.

در سال 1970، پس از یک سری جراحی های جدید، اسچر به خانه جدیدی در لارن که یک استودیو داشت نقل مکان کرد، اما بیماری بد او را از کار زیادی باز داشت.

موریتز اشر در سال 1971 در سن 73 سالگی درگذشت. اشر آنقدر عمر کرد که کتاب The World of M.C. Escher را به انگلیسی ترجمه کرد و از آن بسیار راضی بود.

تصاویر غیرممکن مختلفی در وب سایت های ریاضیدانان و برنامه نویسان یافت می شود. کامل ترین نسخه ای که دیده ایم، به نظر ما، سایت ولاد آلکسیف است

این سایت نه تنها شامل نقاشی های شناخته شده از جمله M. Escher، بلکه تصاویر متحرک، نقاشی های خنده دار از حیوانات غیرممکن، سکه ها، تمبرها و غیره است. این سایت زندگی می کند، به طور دوره ای به روز می شود و با نقاشی های شگفت انگیز پر می شود.