قضیه ناتمام بودن گودل به زبان ساده. حقایق جالب و نکات مفید

اکولوژی زندگی. علم و کشف: قضیه ناتمامیت گودل، یکی از مشهورترین قضایای منطق ریاضی، هم خوش شانس است و هم بدشانس. از این نظر شبیه به نظریه نسبیت خاص اینشتین است. از یک طرف، تقریباً همه چیزهایی در مورد آنها شنیده اند. از تفسیر دیگری، نظریه اینشتین "می گوید که همه چیز در جهان نسبی است."

قضیه گودل در مورد ناقص بودنیکی از معروف ترین قضایای منطق ریاضی، خوش شانس و بدشانس است. از این نظر شبیه به نظریه نسبیت خاص اینشتین است.

از یک طرف، تقریباً همه چیزهایی در مورد آنها شنیده اند. از سوی دیگر به تعبیر مشهور نظریه انیشتینهمانطور که مشخص است، " می گوید همه چیز در دنیا نسبی است" آ قضیه ناتمامی گودل(از این پس به سادگی TGN)، تقریباً در همان فرمول عامیانه آزاد، " ثابت می کند که چیزهایی وجود دارد که برای ذهن انسان قابل درک نیست».

و از این رو برخی سعی در تطبیق آن به عنوان استدلالی در برابر دشنام دارندرژیم صهیونیستی ، در حالی که دیگران، برعکس، با کمک آن ثابت می کنند،که خدایی وجود ندارد . نکته خنده دار نه تنها این است که هر دو طرف نمی توانند همزمان درست باشند، بلکه این است که نه یکی و نه دیگری به خود زحمت نمی دهند بفهمند این قضیه واقعاً چه چیزی را بیان می کند.

پس چی؟ در زیر سعی خواهم کرد در مورد آن "روی انگشتان" به شما بگویم. ارائه من، البته، غیر دقیق و شهودی خواهد بود، اما از ریاضیدانان می خواهم که من را به شدت قضاوت نکنند. این امکان وجود دارد که برای غیر ریاضیدانان (که در واقع من یکی از آنها هستم) چیزی جدید و مفید در آنچه در زیر توضیح داده می شود وجود داشته باشد.

منطق ریاضی در واقع یک علم نسبتاً پیچیده است و مهمتر از همه، چندان آشنا نیست.این نیاز به مانورهای دقیق و سختگیرانه دارد، که در آن مهم است که آنچه را که واقعاً ثابت شده است با آنچه "از قبل واضح است" اشتباه نگیریم. با این حال، من امیدوارم که برای درک "طرح کلی یک اثبات TGN" زیر، خواننده فقط به دانش ریاضیات / علوم کامپیوتر دبیرستان، مهارت های تفکر منطقی و 15-20 دقیقه زمان نیاز داشته باشد.

برای ساده کردن تا حدودی، TGN استدلال می کند که در زبان های به اندازه کافی پیچیده عبارات غیر قابل اثبات وجود دارد.اما در این عبارت تقریباً هر کلمه ای نیاز به توضیح دارد.

بیایید با تلاش برای کشف اینکه اثبات چیست شروع کنیم.بیایید مقداری مسئله حسابی مدرسه را در نظر بگیریم. برای مثال، فرض کنید باید صحت فرمول ساده زیر را اثبات کنید: "∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)" (اجازه دهید یادآوری کنم که نماد ∀ خوانده می شود. "برای هر" و "کمیت کننده جهانی" نامیده می شود). شما می توانید آن را با تبدیل یکسان آن ثابت کنید، مثلاً مانند این:

∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)

∀xx2−3x+2−2=x2−3x

∀xx2−3x–x2+3x=0

∀x0=0

درست است، واقعی

انتقال از یک فرمول به فرمول دیگر طبق قوانین شناخته شده خاصی اتفاق می افتد. انتقال از فرمول 4 به 5 اتفاق افتاد، مثلاً، زیرا هر عدد با خودش برابر است - این یک اصل حساب است. بنابراین، کل روش اثبات، فرمول را به مقدار بولی TRUE ترجمه می کند. نتیجه همچنین می تواند یک دروغ باشد - اگر برخی از فرمول ها را رد کنیم. در این صورت انکار آن را ثابت می کنیم. می توان برنامه ای را تصور کرد (و چنین برنامه هایی در واقع نوشته شده اند) که جملات مشابه (و پیچیده تر) را بدون دخالت انسان اثبات کند.

همین موضوع را کمی رسمی تر بیان کنیم.اجازه دهید مجموعه‌ای متشکل از رشته‌هایی از حروف الفبای خاص داشته باشیم، و قوانینی وجود دارد که با استفاده از آن‌ها می‌توانیم یک زیرمجموعه S را از بین این رشته‌ها انتخاب کنیم. اصطلاحات به اصطلاح - یعنی عباراتی که از نظر دستوری معنی دارند که هر کدام درست یا نادرست است. می توانیم بگوییم که یک تابع P وجود دارد که گزاره هایی را از S یکی از دو مقدار TRUE یا FALSE اختصاص می دهد (یعنی آنها را به یک مجموعه بولی از دو عنصر نگاشت می کند).

بیایید این جفت را صدا کنیم- مجموعه ای از عبارات S و تابع P از >S تا B - "زبان بیانیه ها". توجه داشته باشید که در معنای روزمره، مفهوم زبان تا حدودی گسترده تر است. به عنوان مثال، عبارت روسی " بیا اینجا!«نه درست است و نه نادرست، یعنی از نظر منطق ریاضی یک گزاره نیست.

برای آنچه در ادامه می آید، به مفهوم الگوریتم نیاز داریم.من در اینجا یک تعریف رسمی از آن ارائه نمی کنم - این ما را بسیار به بیراهه می برد. من خودم را به غیررسمی محدود می کنم: "الگوریتم" دنباله ای از دستورالعمل های بدون ابهام ("برنامه") است که در تعداد محدودی از مراحل، داده های اولیه را به نتیجه تبدیل می کند.

آنچه به صورت مورب است اساساً مهم است - اگر برنامه روی برخی از داده های اولیه حلقه بزند، الگوریتم را توصیف نمی کند. برای سادگی و کاربرد در مورد ما، خواننده می تواند در نظر بگیرد که یک الگوریتم برنامه ای است که به هر زبان برنامه نویسی شناخته شده ای نوشته شده است، که برای هر داده ورودی از یک کلاس مشخص، تضمین می شود که کار خود را با تولید یک نتیجه بولی تکمیل می کند.

اجازه دهید از خود بپرسیم: برای هر تابع P یک "الگوریتم اثبات" وجود دارد (یا به طور خلاصه، " استقرایی")، معادل این تابع، یعنی تبدیل هر عبارت دقیقاً به همان مقدار بولی آن؟ همین سوال را می توان به طور خلاصه تر بیان کرد: آیا هر تابع روی مجموعه ای از عبارات قابل محاسبه است؟

همانطور که قبلاً حدس زدید ، از اعتبار TGN نتیجه می شود که نه ، نه هر تابع - توابع غیر قابل محاسبه از این نوع وجود دارد. به عبارت دیگر، هر گزاره درستی را نمی توان ثابت کرد.

ممکن است این گفته باعث اعتراض درونی شما شود. این به چند مورد مربوط می شود. اولاً، زمانی که ریاضیات مدرسه به ما آموزش داده می‌شود، گاهی اوقات این تصور نادرست به ما دست می‌دهد که عبارات «قضیه X درست است» و «قضیه X می‌تواند اثبات یا تأیید شود» تقریباً کاملاً یکسان هستند.

اما، اگر در مورد آن فکر کنید، این اصلا واضح نیست. برخی از قضایا کاملاً ساده ثابت می شوند (مثلاً با آزمایش تعداد کمی از گزینه ها)، در حالی که برخی دیگر بسیار دشوار هستند. به عنوان مثال، بزرگ معروف را به یاد بیاوریم قضیه فرما:

هیچ x,y,z و n>2 طبیعی وجود ندارد که xn+yn=zn،

که اثبات آن تنها سه قرن و نیم پس از اولین صورت بندی یافت شد (و از ابتدایی دور است). با باید بین صدق یک گزاره و اثبات پذیری آن تمایز قائل شد.از هیچ جا برنمی‌آید که هیچ گزاره‌ای درست اما غیرقابل اثبات (و نه کاملاً قابل تأیید) وجود ندارد.

دومین استدلال شهودی علیه TGN ظریف تر است.بیایید بگوییم که ما یک جمله غیرقابل اثبات (در چارچوب این قیاسی) داریم. چه چیزی ما را از پذیرش آن به عنوان یک بدیهیات جدید باز می دارد؟ بنابراین، سیستم شواهد خود را کمی پیچیده خواهیم کرد، اما این ترسناک نیست.

اگر تعداد محدودی از گزاره های غیر قابل اثبات وجود داشته باشد، این استدلال کاملاً صحیح خواهد بود. در عمل، موارد زیر ممکن است رخ دهد: پس از طرح یک اصل موضوعی جدید، به طور تصادفی با یک عبارت غیرقابل اثبات جدید برخورد می کنید. اگر آن را به عنوان بدیهی دیگر بپذیرید، به مورد سوم برخورد خواهید کرد. و غیره تا بی نهایت.

آنها گفتند که کسر ناقص خواهد ماند. همچنین می‌توانیم الگوریتم اثبات را مجبور کنیم که در تعداد محدودی از مراحل با نتیجه‌ای برای هر بیانی از زبان به پایان برسد. اما در عین حال، او شروع به دروغ گفتن می کند - که منجر به حقیقت برای اظهارات نادرست یا به دروغ - برای مؤمنان می شود.

در چنین مواردی می گویند کسر متناقض است. بنابراین، فرمول دیگری از TGN به نظر می رسد: زبان‌های گزاره‌ای وجود دارند که فرآیند قیاسی کامل برای آنها غیرممکن است." - از این رو نام قضیه است.

گاهی اوقات «قضیه گودل» نامیده می شود، این بیانیه این است که هر نظریه حاوی مسائلی است که در چارچوب خود نظریه قابل حل نیستند و نیاز به تعمیم آن دارند. به یک معنا این درست است، اگرچه این صورت بندی به جای روشن کردن موضوع، تمایل دارد موضوع را مبهم کند.

همچنین متذکر می شوم که اگر ما در مورد توابع آشنا صحبت می کنیم که مجموعه ای از اعداد واقعی را در آن ترسیم می کنند، "غیر قابل محاسبه بودن" تابع هیچ کس را شگفت زده نمی کند (فقط "توابع قابل محاسبه" و "اعداد قابل محاسبه" را اشتباه نگیرید. ” - اینها چیزهای مختلفی هستند).

کورت گودل

هر دانش آموزی می داند که مثلاً در مورد تابع sin⁡x، باید با استدلال بسیار خوش شانس باشید تا فرآیند محاسبه نمایش دقیق اعشاری مقدار این تابع در یک عدد محدود تکمیل شود. از مراحل

اما به احتمال زیاد شما آن را با استفاده از یک سری نامتناهی محاسبه خواهید کرد، و این محاسبه هرگز به یک نتیجه دقیق منجر نمی شود، اگرچه می تواند به هر اندازه که دوست دارید نزدیک شود - صرفاً به این دلیل که ارزش سینوسی اکثر استدلال ها غیرمنطقی است. TGN به سادگی به ما می گوید که حتی در میان توابعی که آرگومان های آنها رشته ها و مقادیر آنها صفر یا یک است، توابع غیر قابل محاسبه نیز وجود دارند، اگرچه ساختار کاملاً متفاوتی دارند.

برای اهداف بیشتر، "زبان حساب رسمی" را شرح خواهیم داد.دسته‌ای از رشته‌های متنی با طول محدود متشکل از اعداد عربی، متغیرها (حروف الفبای لاتین) با مقادیر طبیعی، فاصله‌ها، نشانه‌های حسابی، برابری و نابرابری، کمی‌کننده‌های ∃ ("موجود") و ∀ ("برای هر") را در نظر بگیرید. و شاید برخی از نمادهای دیگر (تعداد و ترکیب دقیق آنها برای ما بی اهمیت است).

واضح است که همه این خطوط معنادار نیستند (مثلاً "12=+∀x>" مزخرف است). زیرمجموعه عبارات معنی دار از این کلاس (یعنی رشته هایی که از نظر حساب معمولی درست یا نادرست هستند) مجموعه عبارات ما خواهند بود.

نمونه هایی از گزاره های حسابی رسمی:

1=1

2×2=5

∃xx>3

∀y∀zy×z>y+ z

و غیره. اکنون بیایید یک "فرمول با یک پارامتر آزاد" (FSP) را یک رشته صدا کنیم که اگر یک عدد طبیعی به عنوان این پارامتر در آن جایگزین شود، به یک دستور تبدیل می شود. نمونه هایی از FSP (با پارامتر x):

x=0

2×2=x

∃yx+y>x

و غیره. به عبارت دیگر، FSP ها معادل توابع آرگومان طبیعی با مقادیر بولی هستند.

بیایید مجموعه تمام FSP ها را با حرف F نشان دهیم. واضح است که می توان آنها را مرتب کرد (مثلاً ابتدا فرمول های یک حرفی را که به ترتیب حروف الفبا مرتب شده اند می نویسیم و سپس فرمول های دو حرفی و غیره را می نویسیم؛ مهم نیست. به ما کدام الفبای ترتیب انجام خواهد شد). بنابراین، هر FSP با عدد k آن در لیست مرتب شده مطابقت دارد و ما آن را Fk نشان می دهیم.

اجازه دهید اکنون به طرحی از اثبات TGN در فرمول زیر برویم:

برای زبان گزاره‌ای حساب رسمی هیچ سیستم قیاسی سازگار کاملی وجود ندارد.

ما آن را با تناقض ثابت خواهیم کرد.

بنابراین، بیایید فرض کنیم که چنین سیستم قیاسی وجود دارد. اجازه دهید الگوریتم کمکی A زیر را شرح دهیم، که یک مقدار بولی به یک عدد طبیعی k به صورت زیر اختصاص می دهد:

1. فرمول k ام را در لیست F پیدا کنید.

2. عدد k را به عنوان آرگومان در آن قرار دهید.

3. ما الگوریتم اثبات خود را برای عبارت به دست آمده اعمال می کنیم (طبق فرض ما وجود دارد) که آن را به TRUE یا FALSE ترجمه می کند.

4. نفی منطقی را در نتیجه به دست آمده اعمال کنید.

به بیان ساده، الگوریتم به مقدار TRUE نتیجه می دهد اگر و تنها در صورتی که نتیجه جایگزینی عدد خودش در FSP در لیست ما یک عبارت نادرست باشد.

در اینجا به تنها جایی می رسیم که از خواننده می خواهم حرف من را قبول کند.

بدیهی است که، تحت فرض بالا، هر FSP از F را می توان با یک الگوریتم حاوی یک عدد طبیعی در ورودی و یک مقدار بولی در خروجی مرتبط کرد.

برعکس کمتر آشکار است:

لم: هر الگوریتمی که یک عدد طبیعی را به مقدار بولی تبدیل می کند، با مقداری FSP از مجموعه F مطابقت دارد.

اثبات این لم حداقل مستلزم یک تعریف رسمی و نه شهودی از مفهوم الگوریتم است. با این حال، اگر کمی در مورد آن فکر کنید، کاملا قابل قبول است.

در واقع، الگوریتم‌ها به زبان‌های الگوریتمی نوشته می‌شوند، که در میان آن‌ها، موارد عجیب و غریبی مانند Brainfuck وجود دارد که از هشت کلمه تک کاراکتری تشکیل شده است، که با این وجود، هر الگوریتمی را می‌توان پیاده‌سازی کرد. عجیب است اگر زبان غنی تر فرمول های حساب رسمی که شرح دادیم ضعیف تر باشد - اگرچه بدون شک برای برنامه نویسی معمولی چندان مناسب نیست.

با گذشتن از این مکان لغزنده به سرعت به پایان می رسیم.

بنابراین، در بالا الگوریتم A را شرح دادیم. با توجه به لمایی که از شما خواستم باور کنید، یک FSP معادل وجود دارد. مقداری در لیست F دارد - مثلاً n. بیایید از خود بپرسیم Fn(n) چیست؟ بگذارید این حقیقت باشد. سپس، با توجه به ساخت الگوریتم A (و بنابراین تابع معادل Fn)، این بدان معنی است که نتیجه جایگزینی عدد n به تابع Fn FALSE است.

معکوس به همین ترتیب بررسی می شود: از Fn(n)=FALSE نتیجه می شود که Fn(n)=TRUE. ما به تناقض رسیدیم، یعنی فرض اصلی نادرست است. بنابراین، هیچ سیستم قیاسی سازگار کاملی برای محاسبات رسمی وجود ندارد. Q.E.D.

در اینجا مناسب است اپیمنیدس را یادآوری کنیم که همانطور که مشخص است اعلام کرد که همه کرتی ها دروغگو هستند و خود کرتی است. در فرمول مختصرتر بیانیه خود (معروف به "پارادوکس دروغگو")را می توان به صورت زیر فرموله کرد: من دروغ میگویم" دقیقاً از این نوع گزاره که خود نادرستی آن را اعلام می کند، برای اثبات استفاده کردیم.

در پایان، می خواهم توجه داشته باشم که TGN هیچ چیز عجیب و غریبی را ادعا نمی کند. از این گذشته ، مدتهاست که همه به این واقعیت عادت کرده اند که همه اعداد را نمی توان به عنوان نسبت دو عدد صحیح نشان داد (به یاد داشته باشید ، این بیانیه اثبات بسیار زیبایی دارد که بیش از دو هزار سال قدمت دارد؟).و ریشه های چند جمله ای با ضرایب گویاهمه اعداد هم نیستند . و اکنون معلوم می شود که همه توابع یک آرگومان طبیعی قابل محاسبه نیستند.

طرح اثبات ارائه شده برای محاسبات رسمی بود، اما به راحتی می توان دریافت که TGN برای بسیاری از زبان های گزاره ای دیگر قابل استفاده است. البته همه زبان ها اینطور نیستند. به عنوان مثال، اجازه دهید یک زبان را به صورت زیر تعریف کنیم:

"هر عبارتی در زبان چینی اگر در کتاب نقل قول رفیق مائو تسه تونگ آمده باشد یک جمله درست است و اگر در آن نباشد نادرست است."

سپس الگوریتم اثبات کامل و سازگار مربوطه (که ممکن است آن را «قیاسی جزمی» بنامیم) چیزی شبیه به این است:

«کتاب نقل قول رفیق مائو تسه تونگ را ورق بزنید تا جمله ای را که به دنبالش هستید بیابید. اگر پیدا شد، درست است، اما اگر کتاب نقل تمام شد و قول پیدا نشد، نادرست است».

چیزی که ما را در اینجا نجات می دهد این است که هر کتاب نقل قول بدیهی است متناهی است، بنابراین روند "اثبات" به ناچار پایان خواهد یافت. بنابراین، TGN برای زبان عبارات جزمی قابل استفاده نیست. اما ما در مورد زبان های پیچیده صحبت می کردیم، درست است؟منتشر شده

1. نظریه های بدیهی رسمی و اعداد طبیعی

2. حساب صوری و خواص آن

3. قضیه ناتمامی گودل

4. گودل و نقش او در منطق ریاضی قرن بیستم

این قضیه، که قبلاً چندین بار با آن مواجه شده‌ایم، بیان می‌کند که هر نظریه بدیهی رسمی منسجمی که حساب اعداد طبیعی را رسمیت می‌کند (مطلقا) کامل نیست. این بخش بر اساس ایده ها و روش های نظریه های الگوریتم، اثبات این قضیه را ارائه می دهد. این یک بار دیگر در بالاترین سطح نزدیک ترین ارتباط بین منطق ریاضی و نظریه الگوریتم ها را نشان می دهد - دو رشته ریاضی که پایه و اساس تمام ریاضیات مدرن را تشکیل می دهند. ارائه ما بر اساس اثبات توسعه یافته توسط M. Arbib خواهد بود.

پس از اثبات قضیه 35.7 که مجموعه ای از اعداد طبیعی قابل شمارش اما غیرقابل تصمیم گیری وجود دارد، ادعا شد که در واقع به طور ضمنی قضیه گودل در مورد ناقص بودن حساب صوری را شامل می شود. هدف این بند اثبات این ادعاست. بدین ترتیب، در چارچوب نظریه کلی الگوریتم ها، علاوه بر قضایایی که در دو پاراگراف قبل به اثبات رسید، پیشرفت نظریه الگوریتم ها در جهت حل مسائل کاملا منطقی نشان داده خواهد شد. برای انجام این کار، ابتدا باید اصطلاحات مسئله منطقی در مورد ناقص بودن حساب رسمی را با اصطلاحات روش شناختی نظریه عمومی الگوریتم ها پیوند دهیم که روش های آن این مشکل را حل می کند. در این صورت، بیان قضیه 35.7 در مورد وجود مجموعه ای از اعداد طبیعی قابل شمارش اما غیرقابل تصمیم، پیش نیاز اساسی برای اثبات قضیه گودل خواهد بود که در فرمول زیر ثابت خواهیم کرد: «هر محاسبات صوری همسازگار کافی. ناقص است.» در ادامه، منظورمان از حساب صوری را توضیح می‌دهیم، و همچنین مفاهیمی را که در فرمول‌بندی بالا قضیه گودل دخیل هستند، تعریف و توضیح می‌دهیم. بیایید با نظریه های بدیهی رسمی شروع کنیم.

نظریه های بدیهی رسمی و اعداد طبیعی

مفهوم نظریه بدیهی رسمی قبلاً تعریف شده بود. برای تعریف چنین نظریه T، باید یک الفبای (مجموعه ای از نمادهای قابل شمارش) را مشخص کنید. در مجموعه همه کلماتی که از حروف الفبای معین تشکیل شده اند، زیر مجموعه ای را انتخاب کنید که عناصر آن فرمول (یا عبارات درست ساخته شده) یک نظریه داده شده نامیده می شوند. در مجموعه فرمول ها، مواردی را انتخاب کنید که بدیهیات نظریه نامیده می شوند. در نهایت، تعداد محدودی از روابط بین فرمول ها، به نام قوانین استنتاج، باید مشخص شود. در این مورد، باید رویه‌ها (الگوریتم‌های) مؤثری برای تعیین اینکه آیا کلمات داده شده (عبارت‌ها) فرمول هستند (یعنی عبارات درست ساخته شده‌اند)، آیا این فرمول‌ها بدیهی هستند یا نه، و در نهایت، آیا یک فرمول داده شده از تعدادی از موارد به دست می‌آید، وجود داشته باشد. سایر فرمول های داده شده با استفاده از این قانون استنتاج. این بدان معنی است که مجموعه همه فرمول ها قابل تصمیم گیری هستند و مجموعه همه بدیهیات قابل تصمیم گیری هستند. بنابراین هر یک از این مجموعه ها قابل شمارش هستند.

مفاهیم اشتقاق و قضیه در نظریه بدیهی رسمی در تعریف 28.2 آورده شده است.

تمام قضایای ارائه شده در این سخنرانی، مطابق با اصطلاحات ما، در واقع فرا قضیه هستند، یعنی. قضایا در مورد ویژگی های نظریه های بدیهی* (رسمی). اما از آنجایی که ما در اینجا هیچ نظریه بدیهی خاصی را در نظر نمی گیریم، هیچ قضیه ای از چنین نظریه ای را اثبات نمی کنیم. در اینجا هیچ قضیه ای به جز فراقضیه ها وجود نخواهد داشت، آنگاه ما به سادگی فراقضیه ها را قضایای می نامیم.

قضیه 37.1. مجموعه تمام قضایای یک نظریه بدیهی رسمی T قابل شمارش است.

اثباتقبلاً متذکر شدیم که مجموعه بدیهیات یک نظریه صوری قابل شمارش است، یعنی می توانیم به طور مؤثر آنها را مجدداً شماره گذاری کنیم. A_1،A_2،A_3،\ldots. از آنجایی که همه فرمول‌ها از تعداد متناهی حروف (نماد) تشکیل شده‌اند، همه مشتق‌ها شامل تعداد محدودی از فرمول‌ها هستند و هر مشتق فقط از تعداد متناهی بدیهیات استفاده می‌کند، واضح است که برای هر عدد طبیعی n فقط تعداد محدودی وجود دارد. استنتاج‌هایی که بیش از n فرمول (مرحله) ندارند و فقط از بدیهیات استفاده می‌کنند \(A_1،A_2،\ldots،A_n\). بنابراین، با حرکت از n=1 به n=2، ~ n=3، و غیره، می توان به طور موثر تمام قضایای یک نظریه داده شده را مجددا شماره گذاری کرد. یعنی مجموعه قضایا قابل شمارش است.

اکنون ما از نظریه‌های رسمی دلخواه به نظریه‌هایی می‌رویم که به نوعی با اعداد طبیعی سروکار دارند. اگر در تئوری خود بخواهیم در مورد زیرمجموعه‌ای Q از مجموعه اعداد طبیعی صحبت کنیم، باید روش مؤثری برای نوشتن هر عدد طبیعی n با فرمول W_n داشته باشیم، به این معنی که n\ در Q. علاوه بر این، اگر بتوانیم ثابت کنیم که فرمول W_n یک قضیه از یک نظریه T است اگر و فقط اگر n\in Q باشد، آنگاه خواهیم گفت که نظریه T برای Q نیمه کامل است (یا T توصیف نیمه کاملی از Q دارد). به طور دقیق تر، این تعریف را به صورت زیر بیان می کنیم.

تعریف 37.2.نظریه T برای مجموعه اعداد طبیعی نیمه کامل است Q\subsetq\mathbb(N)، اگر مجموعه ای از فرمول ها وجود داشته باشد W_0، W_1،\ldots،W_n،\ldots، به طوری که .

تعریف 37.3.نظریه T اگر برای Q نیمه کامل باشد برای Q کامل است و همچنین فرمول \lnot W_n را داریم که به صورت n\notin Q تفسیر می شود و می توانیم ثابت کنیم \lnot W_n قضیه ای از نظریه T است اگر و فقط در صورتی که در Q نباشد. به عبارت دیگر، یک نظریه T برای Q کامل است اگر به ازای هر n در T بتوانیم تعیین کنیم که آیا به Q تعلق دارد یا خیر. به‌طور دقیق‌تر، این بدان معناست که نظریه T برای مجموعه‌ای از اعداد طبیعی T کامل است اگر برای Q نیمه‌کامل و برای مکمل آن \overline(Q) نیمه‌کامل باشد.

قضیه 37.4. اگر یک نظریه T برای مجموعه Q نیمه کامل باشد، Q قابل شمارش است.

اثباتبا تعریف نیمه کامل بودن T برای Q، مجموعه Q مجموعه اعداد آن فرمول ها از مجموعه ای قابل شمارش است. \(W_0، W_1،\ldots، W_n،\ldots\)فرمول هایی که قضایای نظریه T هستند، یعنی. متعلق به خیلی هاست \operatorname(th)(T). بنابراین، Q مجموعه اعداد تمام فرمول های مجموعه است \نام اپراتور(Th)(T)\cap \(W_0،W_1،\ldots،W_n،\ldots\). هر یک از این مجموعه های متقاطع قابل شمارش است: اولی - طبق قضیه 37.1 قبلی، دومی - مطابق آنچه در ابتدای اثبات گفته شد. در نتیجه، تقاطع آنها، توسط قضیه 35.5، قابل شمارش است. اما سپس مجموعه اعداد آن فرمول هایی که در این تقاطع گنجانده شده اند نیز مجدداً تقسیم می شوند.

نتیجه 37.5.اگر Q مجموعه ای از اعداد طبیعی قابل شمارش اما غیرقابل تصمیم گیری باشد، هیچ نظریه رسمی نمی تواند برای Q کامل باشد.

اثباتاگر یک مجموعه Q قابل شمارش اما غیرقابل تصمیم گیری باشد، آنگاه با قضیه 35.6 مکمل \overline(Q) آن غیرقابل شمارش است. سپس، با قضیه 37.4، هیچ نظریه T برای \overline(Q) نیمه کامل نیست. بنابراین، هیچ نظریه T برای Q کامل نیست.

از این نتیجه، از قضیه گودل دور نیست. برای انجام این کار، لازم است با استفاده از برخی از نظریه های رسمی T، یک نظریه اعداد طبیعی ایجاد شود، و به گونه ای که تعلق اعداد به مجموعه داده شده Q به اندازه کافی تفسیر شود (یعنی عدد n متعلق است. به Q اگر و تنها در صورتی که برخی از فرمول های مرتبط موثر نظریه T یک قضیه این نظریه باشد). این تنها در صورتی امکان پذیر است که Q حداقل قابل شمارش باشد.

حساب رسمی و خواص آن

حساب صوری به عنوان یک نظریه بدیهی رسمی بر اساس محاسبات محمول رسمی که قبلاً بحث شد ساخته شده است. در اینجا متغیرهای موضوعی را عددی می نامیم، زیرا به جای آنها اعداد طبیعی را جایگزین می کنیم.

متغیر شیء در فرمول آزاد نامیده می شود اگر تحت علامت یک کمیت (کلیت یا وجود) نباشد و در غیر این صورت محدود شود. یک فرمول بسته نامیده می شود اگر همه متغیرهای موضوع آن به هم متصل باشند و اگر حاوی متغیرهای آزاد باشد باز نامیده می شود. بسته شدن یک فرمول F یک فرمول C(F) است که از F با اضافه کردن کمیت‌کننده‌های کلیت در مقابل همه متغیرهایی که در F آزاد هستند به دست می‌آید. واضح است که برای هر F فرمول C(F) بسته است. اگر F بسته باشد، C(F)=F.

تابع C(F) قابل محاسبه است. بنابراین، کلاس فرمول های بسته قابل تصمیم گیری است، زیرا Rem متعلق است اگر و فقط اگر C(F)=F باشد، و یک روش محاسباتی برای تشخیص این برابری وجود دارد.

ما قبلاً با مفهوم جایگزینی در یک فرمول آشنا شده ایم. اگر در فرمول F به جای نماد (کلمه) X، در هر کجا که در F ظاهر می شود، کلمه (فرمول) H را وارد کنید، یک کلمه (فرمول) جدید به دست می آید که نشان S_X^HF را نشان می دهد و نتیجه جایگزینی کلمه را می نامیم. H به جای کلمه X به F تبدیل شود. بعد معلوم می شود که

\شروع (جمع‌شده)S_X^H(\lنه F)\ معادل \lنه S_X^HF؛\qquad S_X^H(F\to G)\ معادل S_X^HF\به S_X^HG;\\ \text(esli) ~ i\ne j,~ \text(to)~ S_(x_i)^N(\forall x_j)(F)\equiv (\forall x_j)S_(x_i)^NF,~ S_(x_i)^N(\ x_j)(F)\equiv (\x_j)S_(x_i)^NF وجود دارد. \پایان (جمع آوری شده)

وقتی با اعداد طبیعی سر و کار داریم، مایلیم بتوانیم آنها را با فرمول های نظریه صوری (حساب) جایگزین کنیم. بتوانیم در مورد اعداد به زبان نظریه رسمی خود صحبت کنیم. برای این منظور، در یک نظریه رسمی، لازم است کلماتی وجود داشته باشند که به عنوان نام اعداد طبیعی عمل کنند. چنین کلماتی را اعداد می نامند. عدد n با n^(\ast) نشان داده می شود. الزام برای این نام ها (نام ها) کاملاً طبیعی است: اعداد مختلف باید با نام های مختلف خوانده شوند، یعنی. اگر m\ne n باشد، پس m^(\ast)\ne n^(\ast). (ایده معرفی اعداد جداسازی اشیا و نام آنهاست.)

بنابراین در فرمول های حسابی به جای متغیرهای عددی جایگزین خواهیم کرد x_1، x_2، x_3،\ldotsنه خود اعداد طبیعی m,n,k,\ldot، بلکه اعداد آنها (نام) m^(\ast)،n^(\ast)،k^(\ast)،\ldotsبه ترتیب.

در نهایت، می‌توانیم آخرین شرط (اکسیوم) را که بر حساب رسمی تحمیل می‌کنیم، فرموله کنیم. بیایید آن را بدیهیات حسابی بنامیم: اگر متغیر شیء jc در F متصل نباشد، پس

\text((AA))\colon~ S_(x_i)^(n^(\ast))F\to (\exists x_i)(F).

اگر وارد شوید برای S_(x_i)^(n^(\ast))Fنامگذاری F(n^(\ast))، سپس این اصل به شکل زیر است:

\text((AA))\colon~ F(n^(\ast))\to (\ex_i)(F).

این یک نیاز کاملاً طبیعی است: اگر فرمول F در هنگام جایگزینی متغیر x_i با مقداری طبیعی n^(\ast) به یک عبارت درست تبدیل شود، آنگاه عبارت (\exists x_i)(F) نیز صادق است.

هیچ محدودیت دیگری برای رسمی کردن حساب اعمال نمی شود. مهم نیست که جمع و ضرب اعداد طبیعی چگونه تعریف می شوند، رابطه ترتیب چگونه معرفی می شود، که ما با دقت در هنگام ساخت نظریه اعداد طبیعی بر اساس سیستم بدیهیات Peano انجام دادیم. حتی با این کلی‌ترین فرضیات در مورد رسمی‌سازی حساب، این رسمی‌سازی از قضیه گودل تبعیت می‌کند: اگر سازگار باشد، ناقص خواهد بود.

بنابراین، پس از تعریف مفهوم حساب صوری، بقیه این پاراگراف را به مفاهیم سازگاری، کفایت و کامل بودن این نظریه صوری اختصاص می دهیم که در صورت بندی دقیق قضیه گودل مشارکت دارند.

بیایید با مفهوم سازگاری شروع کنیم. مانند هر نظریه بدیهی دیگری، در صورتی که اثبات هر گزاره و نفی آن غیرممکن باشد، حساب صوری سازگار نامیده می شود. اگر هیچ فرمولی F وجود نداشته باشد که هم \vdash F و هم \vdash\lF نباشند.

اکنون فرض می کنیم که برای فرمول G(x) که آزادانه حاوی یک متغیر هدف واحد x است، ثابت شده است که برای همه اعداد طبیعی n=0,1,2,3,\ldots. حتی اگر اثبات آن در حساب رسمی غیرممکن باشد \vdash (\برای همه x)(G(x))، البته می توانیم این گزاره را نتیجه فهرست قضایای داده شده در نظر بگیریم. در نتیجه، اگر در تئوری امکان اثبات قضیه وجود داشته باشد، باید چنین محاسبات صوری را متناقض دانست.

تعریف 37.6.اگر محاسبات صوری حاوی فرمول G(x) با یک متغیر هدف آزاد x نباشد، ω-سازگار نامیده می‌شود، به طوری که قضایا برای همه اعداد طبیعی n معتبر باشند. \vdash G(n^(\ast))و \vdash\lnot (\برای همه x)(G(x)).

قضیه 37.7. اگر حساب رسمی ^-سازگار باشد، پس سازگار است.

اثباتدر واقع، اگر ناسازگار بود، همانطور که در §27 ثابت شد، پس از تعریف 27.1، همه فرمول‌های آن قضایایی خواهند بود، از جمله آنهایی که ناسازگاری ω را در حساب صوری ایجاد می‌کنند، و دومی ناسازگار خواهد بود.

تعریف 37.8. اگر فرمول F(x_1,\ldots,x_n) وجود داشته باشد که متغیرهای موضوع آزاد آن n متغیر هستند، اجازه دهید یک محمول n-ary P(x_1,\ldots,x_n) را روی مجموعه‌ای از اعداد طبیعی N کاملاً قابل نمایش در حساب رسمی فراخوانی کنیم. x_1،\ldots،x_n (و فقط آنها)، که:

الف) برای هر مجموعه از n عدد طبیعی (a_1،\ldots،a_n) که برای آن محمول P به یک گزاره درست P(a_1،\ldots،a_n) تبدیل می‌شود، قضیه زیر صادق است: \vdash F(a_1^(\ast)،\ldots,a_n^(\ast));

ب) برای هر مجموعه از n عدد طبیعی (a_1،\ldots،a_n) که برای آن محمول P به یک گزاره نادرست P(a_1،\ldots،a_n) تبدیل می شود، قضیه صادق است: \vdash\lنه F(a_1^(\ast)،\ldots,a_n^(\ast)).

بنابراین، نمایش پذیری کامل یک گزاره در حساب صوری به این معنی است که با استفاده از این نظریه صوری، همیشه می توانیم تصمیم بگیریم که وقتی اعداد طبیعی خاصی را به جای همه متغیرهای عینی آن جایگزین می کنیم، به یک گزاره درست یا نادرست تبدیل می شود.

حال اجازه دهید مفهوم کفایت حساب صوری را که در فرمول بندی قضیه گودل دخیل است توضیح دهیم. مایلیم بتوانیم به سوالاتی در مورد مجموعه های شمارش شده در چنین محاسباتی پاسخ دهیم. در قضیه 37.4 نشان دادیم که فقط مجموعه های اعداد قابل شمارش می توانند توصیف نیمه کاملی در نظریه رسمی داشته باشند، یعنی. مجموعه ای از فرمول های بی شماری وجود دارد W_0، W_1، W_2،\ldots، به طوری که Q=\(n\colon \vdash W_n\). کفایت نظریه رسمی ما (حساب) می تواند به این معنی باشد که برای هر مجموعه اعداد طبیعی قابل شمارش نیمه کامل است، یعنی. که در آن یک توصیف نیمه کامل از هر مجموعه وجود دارد که به طور کلی حداقل در برخی نظریه ها می تواند چنین توصیفی داشته باشد.

در قضیه 37.1 ما مجموعه تمام قضایا را مشخص کردیم. نظریه کوچک قابل شمارش است، یعنی. همه قضایا و بنابراین، نتایج (براهین) منتهی به آنها را می توان به طور مؤثر شماره گذاری کرد. اجازه دهید مجموعه Q و مجموعه قضایای مربوطه را در نظر بگیریم \(W_0، W_1، W_2،\ldots\). محمول زیر را در نظر بگیرید P(x,y)\دونقطه " y عدد برهان قضیه W_x است". اگر عبارت P(m,n) درست باشد، این بدان معناست که n عدد نتیجه گیری قضیه W_m است، که به نوبه خود به این معنی است که m\in Q، یعنی. n عدد خروجی است که m\in Q . برعکس، با گرفتن اعداد خاص m و n، می‌توانیم به طور مؤثر قضیه (فرمول) W_m را بسازیم و به طور مؤثر نتیجه n را بسازیم، پس از آن می‌توانیم به طور مؤثر تعیین کنیم که آیا نتیجه ساخته شده نتیجه قضیه W_m است یا خیر. به طور موثر دریابید که آیا عبارت P(m,n) درست است یا خیر. بنابراین، P(x,y) یک محمول قابل محاسبه است به طوری که .

حال اجازه دهید تعریفی را بیان کنیم.

تعریف 37.9. اگر برای هر مجموعه قابل شمارش Q از اعداد طبیعی یک محمول P(x,y) وجود داشته باشد که کاملاً در این حساب قابل نمایش باشد، حساب صوری کافی است. Q=\bigl\(x\colon (\وجود y)(\lambda =1)\bigr\).

منظور ما از کامل بودن حساب صوری، کامل بودن مطلق است، یعنی. اگر برای هر فرمول بسته F این نظریه یا خودش یا نفی آن قضیه این نظریه باشد: \vdash F یا \vdash\lنه F .

اکنون می‌توانیم مستقیماً به صورت‌بندی و اثبات قضیه گودل برویم.

قضیه ناتمامی گودل

قضیه موارد زیر را بیان می کند. هر گونه محاسبات رسمی سازگار و کافی با ω کامل نیست.

▼ اثبات

با توجه به قضیه 35.7، مجموعه ای از اعداد طبیعی Q را انتخاب می کنیم که قابل شمارش اما غیرقابل تعیین هستند. از آنجایی که حساب رسمی ما کافی است، یک پریدیک کاملا قابل نمایش P(x,y) در آن وجود دارد به طوری که

Q= \bigl\(x\colon\, (\وجود y)\bigl(\lambda =1\bigr)\bigr\).

نمایش پذیری کامل گزاره P(x,y) در محاسبات رسمی به این معنی است که فرمول F(x,y) این نظریه فقط شامل دو متغیر هدف آزاد است به طوری که برای هر جفت اعداد طبیعی (a,b) برای که دارای قضیه مکان است: \vdash F(a^(\ast)،b^(\ast))و برای هر جفت اعداد طبیعی (a,b) که برای آن \لامبدا =1، قضیه صادق است: \vdash\lنه F(a^(ast)،b^(\ast)).

اجازه دهید کمیت کلی را با توجه به متغیر y به فرمول F(x,y) اعمال کنیم. فرمولی با یک متغیر موضوع آزاد به دست می آوریم x\colon\، G(x)\equiv (\وجود y)(F(x,y)). بیایید آن را نشان دهیم

Q= \bigl\(x\colon\, \vdash G(x^(\ast))\bigr\).

فرض کنید که m\in Q . سپس (با توجه به (*)) یک عدد طبیعی n وجود دارد که عبارت P(m,n) درست باشد. بنابراین، این قضیه صادق است: \vdash F(m^(\ast)،n^(\ast))با توجه به اصل حساب \text(AA)، قضیه را داریم:

\vdash F(m^(\ast),n^(\ast))\to (\وجود y)\bigl(F(m^(\ast),y)\bigr).

از دو قضیه آخر، طبق قانون MR، نتیجه می گیریم:

\vdash (\وجود y)\bigl(F(m^(\ast),y)\bigr)، به این معنا که .

این به آن معنا است m\in \bigl\(x\colon \vdash G(x^(\ast))\bigr\). بدین ترتیب، Q \subseteq \bigl\(x\colon\vdash G(x^(\ast))\bigr\).

برعکس، فرض کنید که m\in \bigl\(x\colon\vdash G(x^(\ast))\bigr\)، به این معنا که \vdash G(m^(\ast))، به این معنا که \vdash (\وجود y)(F(m^(\ast),y)). از این رو، با توجه به عبارت معروف (طبق قانون دی مورگان) از کمیت وجود از طریق کمیت کننده کلی، نتیجه می گیریم که

\vdash\lnot (\forall y)\bigl(\lnot F(m^(\ast),y)\bigr).

از آنجایی که حساب صوری ما، علاوه بر این، با هم سازگار است، بنابراین، به دلیل وجود آخرین قضیه در آن، باید یک عدد طبیعی n_0 وجود داشته باشد به طوری که فرمول \lنه F(m^(\ast)،n^(\ast)_0)یک قضیه این حساب نیست. و اگر چنین است، گزاره P(m,n_0) درست است (اگر نادرست بود، آنگاه قضیه را خواهیم داشت. \vdash\lنه F(m^(\ast),n^(\ast)_0)، مشکل چیه). با تعریف (*) مجموعه Q، این بدان معنی است که m\in Q. بدین ترتیب، \(x\colon\vdash G(x^(\ast))\)\subsetq Q. بنابراین، برابری (**) ثابت می شود.

حال بیایید دریابیم که در چه رابطه ای مجموعه های \overline(Q) (مکمل Q) و \(x\colon\vdash G(x^(\ast))\). اجازه دهید من m\in \(x\colon\vdash\lنه G(x^(\ast))\)، به این معنا که \vdash\lنه G(x^(\ast)). سپس m\in \overline(Q) ، زیرا اگر m\in Q ، به موجب (**) خواهیم داشت \vdash G(m^(\ast))و حساب رسمی ما متناقض خواهد بود، اما این به دلیل سازگاری © آن (بر اساس شرط) و قضیه 37.7 نیست. بدین ترتیب، \(x\colon\vdash G(x^(\ast))\)\subseteq \overline (Q).

اجازه دهید نشان دهیم که آخرین شمول سختگیرانه است. به یاد بیاورید که ما مجموعه Q را به عنوان قابل شمارش اما غیرقابل تصمیم گیری انتخاب کردیم. سپس، طبق نتیجه 37.5 از قضیه 37.4، هیچ نظریه رسمی نمی تواند برای Q کامل باشد. تساوی (**) می گوید که حساب رسمی ما برای Q نیمه کامل است. اگر برابری بود \overline(Q)= \(x\colon\vdash G(x^(\ast))\)، پس این بدان معنی است که حساب رسمی ما برای \overline(Q) نیمه کامل است و بنابراین، برای Q کامل خواهد بود. دومی به دلیل نتیجه 37.5 از قضیه 37.4 غیرممکن است. از این رو، \(x\colon\vdash G(x^(\ast))\)\ne \overline (Q).

بنابراین، \(x\colon\vdash\lnot G(x^(\ast))\)\subset \overline (Q). بنابراین، چنین عددی وجود دارد m_0\in \overline (Q)، چی m_0\notin \(x\colon\vdash\lنه G(x^(\ast))\)، یعنی این درست نیست \vdash\lنه G(m_0^(\ast)). در عین حال، این نیز درست نیست \vdash G(m_0^(\ast))، از آنجایی که این به موجب (**) به این معنی است که m_0\in Q است، اما اینطور نیست. در نتیجه، ما یک فرمول G(m_0^(\ast)) پیدا کرده‌ایم که نه خود آن و نه نفی آن، قضایای حساب رسمی ما نیستند. یعنی این حساب رسمی کامل نیست.

قضیه گودل کاملاً ثابت شده است.

بیایید دوباره به بیانیه نگاه کنیم \lنه G(m_0^(\ast)). با توجه به برابری (**) می توان آن را چنین تفسیر کرد m_0\on \overline(Q)و بنابراین لزوماً یک بیانیه "درست" است. اما با این وجود، این یک قضیه از حساب رسمی ما نیست. اگر فرمول G(m_0^(\ast)) را به فهرست بدیهیات اضافه کنیم و محاسبات صوری جدید را در نظر بگیریم، وضعیت تغییر نخواهد کرد: برای محاسبات صوری تازه به دست آمده، تمام مقدماتی که ما را به قضیه گودل هدایت می کند صادق است. . این بدان معنی است که ما دوباره یک عدد m_1 را پیدا خواهیم کرد به طوری که عبارت \lنه G(m_1^(\ast))درست است، اما یک قضیه حساب رسمی جدید و غیره نیست.

گودل و نقش او در منطق ریاضی قرن بیستم

کورت گودل در 28 آوریل 1906 در برون (برنو کنونی در جمهوری چک) به دنیا آمد. او از دانشگاه وین فارغ التحصیل شد و در آنجا از رساله دکتری خود دفاع کرد و در دوره 1933-1938 استادیار بود. پس از اشغال اتریش توسط آلمان نازی، او به ایالات متحده مهاجرت کرد. گودل از سال 1940 تا 1963 در مؤسسه مطالعات پیشرفته پرینستون کار می کرد (از سال 1953 استاد این مؤسسه بود). گودل دکترای افتخاری از دانشگاه های ییل و هاروارد، عضو آکادمی ملی علوم ایالات متحده و انجمن فلسفی آمریکا است. در سال 1951 به گودل بالاترین جایزه علمی در ایالات متحده - جایزه انیشتین - اهدا شد. در مقاله ای که به این رویداد اختصاص داده شده است، یکی دیگر از ریاضیدانان بزرگ زمان ما، جان فون نویمان، می نویسد: "سهم کورت گودل در منطق مدرن واقعاً عظیم است. این بیش از یک بنای تاریخی است، بلکه نقطه عطفی است که دو دوره را از هم جدا می کند... بدون اغراق می توان گفت که کار گودل موضوع منطق را به عنوان یک علم به طور اساسی تغییر داد. گودل پایه‌های کل بخش‌های منطق ریاضی را گذاشت: نظریه مدل (1930)، منطق سازنده (1932-1933)، حساب رسمی (1932-1933)، نظریه الگوریتم‌ها و توابع بازگشتی (1934)، نظریه مجموعه‌های بدیهی (1938). گودل در 14 ژانویه 1978 در پرینستون (ایالات متحده آمریکا) درگذشت.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای انجام محاسبات، باید کنترل های ActiveX را فعال کنید!

من مدتهاست که به این موضوع علاقه مند بوده ام که قضیه هیجان انگیز گودل چیست. و چقدر برای زندگی مفید است. و بالاخره تونستم بفهممش

محبوب ترین فرمول این قضیه به نظر می رسد:
"هر سیستمی از بدیهیات ریاضی، که از سطح معینی از پیچیدگی شروع می شود، یا از نظر درونی متناقض است یا ناقص."

من آن را به زبان غیر ریاضی بشری به صورت زیر ترجمه می کنم (یک بدیهیات، جایگاه اولیه یک نظریه است که در چارچوب این نظریه بدون نیاز به اثبات صحیح پذیرفته شده و به عنوان مبنایی برای اثبات سایر مفاد آن استفاده می شود) . در زندگی، بدیهیات اصولی است که شخص، جامعه، جهت علمی و حالات دنبال می کنند. نمایندگان دین بدیهیات را جزم می نامند. در نتیجه، هر یک از اصول ما، هر نظام دیدگاهی، از یک سطح معین شروع شود، در درون خود متناقض یا ناقص می شود. برای متقاعد شدن به صحت یک جمله خاص، باید از چارچوب این سیستم اعتقادی فراتر رفته و سیستم جدیدی بسازید. اما ناقص نیز خواهد بود. یعنی فرآیند شناخت نامتناهی است. تا زمانی که به منبع اصلی نرسیم، نمی توان جهان را به طور کامل درک کرد.

«...اگر توانایی استدلال منطقی را ویژگی اصلی ذهن انسان یا حداقل ابزار اصلی آن بدانیم، قضیه گودل مستقیماً توانایی های محدود مغز ما را نشان می دهد. موافق باشید که برای یک فرد بسیار دشوار است. به باور تز قدرت نامتناهی اندیشه در مورد حدود قدرت آن... بسیاری از کارشناسان بر این باورند که فرآیندهای صوری- محاسباتی، "ارسطویی" زیربنای تفکر منطقی تنها بخشی از آگاهی انسان را تشکیل می دهد. حوزه دیگری از آن، اساساً "غیر محاسباتی" مسئول تجلیاتی مانند شهود، بینش خلاق و درک است و اگر نیمه اول ذهن تحت محدودیت های گودلی قرار گیرد، آنگاه نیمه دوم از چنین چارچوب هایی آزاد است... راجر پنروز فیزیکدان از این هم فراتر رفت. او وجود برخی اثرات کوانتومی با ماهیت غیر محاسباتی را پیشنهاد کرد که اجرای اعمال خلاقانه آگاهی را تضمین می کند. یکی از پیامدهای متعدد فرضیه پنروز ممکن است، به ویژه، نتیجه گیری در مورد عدم امکان اساسی ایجاد مصنوعی باشد. هوش مبتنی بر دستگاه‌های محاسباتی مدرن، حتی اگر ظهور رایانه‌های کوانتومی منجر به پیشرفت عظیمی در زمینه فناوری رایانه شود. واقعیت این است که هر رایانه ای فقط می تواند با جزئیات بیشتر و بیشتر کار فعالیت رسمی-منطقی و "محاسباتی" آگاهی انسان را مدل کند، اما توانایی های "غیر محاسباتی" عقل برای آن غیرقابل دسترس است.

یکی از پیامدهای مهم قضیه گودل این است که نمی توان در حد افراط فکر کرد. در چارچوب یک نظریه موجود، همیشه گزاره ای وجود دارد که نه قابل اثبات است و نه رد. یا به عبارت دیگر، برای برخی اظهارات همیشه یک جفت وجود خواهد داشت که آن را رد می کند.

نتیجه گیری بعدی خیر و شر فقط 2 روی یک سکه هستند که بدون آنها نمی تواند وجود داشته باشد. و از این اصل سرچشمه می گیرد که در جهان تنها یک منبع از همه چیز وجود دارد: خیر و شر، عشق و نفرت، زندگی و مرگ.

هرگونه اعلام کامل بودن سیستم نادرست است. شما نمی توانید به جزمات تکیه کنید، زیرا دیر یا زود آنها رد خواهند شد.

از این نظر، ادیان مدرن در وضعیت بحرانی قرار دارند: دگم های کلیسا در برابر توسعه ایده های ما درباره جهان مقاومت می کنند. آنها سعی می کنند همه چیز را در چارچوب مفاهیم سفت و سخت فشرده کنند. اما این منجر به این واقعیت می شود که از یکتاپرستی، از منبع واحد همه فرآیندهای طبیعی، آنها به سوی بت پرستی حرکت می کنند، جایی که نیروهای خیر و نیروهای شر وجود دارد، خدای خیر در جایی دور از آسمان وجود دارد و وجود دارد. یک شیطان (خدای شر) که مدتهاست پنجه خود را بر روی هر چیزی که روی زمین است گذاشته است. این رویکرد منجر به تقسیم همه مردم به دوست و دشمن، به صالح و گناهکار، به مؤمن و بدعت گذار، به دوست و دشمن می شود.

در اینجا متن کوتاه دیگری وجود دارد که به طور عامیانه جوهره ای را که از قضیه گودل به دست می آید آشکار می کند:
"به نظر من این قضیه معنای فلسفی مهمی دارد. فقط دو گزینه وجود دارد:

الف) نظریه ناقص است، یعنی. از نظر تئوری می توان سؤالی را طرح کرد که از بدیهیات/اصول نظریه نه پاسخ مثبت و نه منفی به دست آید. علاوه بر این، پاسخ به همه این سؤالات را می توان در چارچوب نظریه جامع تری ارائه کرد که در آن نظریه قدیمی یک مورد خاص خواهد بود. اما این نظریه جدید "سوالات بی پاسخ" خود را خواهد داشت و غیره تا بی نهایت.

ب) کامل، اما متناقض. به هر سؤالی می توان پاسخ داد، اما به برخی سؤالات می توان همزمان پاسخ مثبت و منفی داد.

نظریه های علمی متعلق به نوع اول هستند. آنها سازگار هستند، اما این بدان معنی است که آنها همه چیز را پوشش نمی دهند. هیچ نظریه علمی «نهایی» نمی تواند وجود داشته باشد. هر نظریه ای ناقص است و چیزی را توصیف نمی کند، حتی اگر هنوز ندانیم دقیقا چیست. تنها می توان نظریه های بیشتر و جامع تری ایجاد کرد. برای من شخصاً این دلیلی برای خوش بینی است، زیرا به این معنی است که حرکت علم به جلو هرگز متوقف نخواهد شد.

«خداوند متعال» از قسم دوم است. خداوند متعال پاسخ هر سؤالی است. و این خود به خود به این معنی است که منجر به پوچی منطقی می شود. پارادوکس هایی مانند "سنگ عظیم" را می توان به صورت دسته ای اختراع کرد.

به طور کلی، دانش علمی صحیح (سازگار) است، اما همه چیز را در هر زمانی توصیف نمی کند. در عین حال، هیچ چیز ما را از پیش بردن مرزهای معلوم تا بی نهایت باز نمی دارد؛ هر چه بیشتر، و دیر یا زود، هر ناشناخته ای شناخته می شود. دین ادعا می کند که توصیف کاملی از جهان "در حال حاضر" است، اما در عین حال به طور خودکار نادرست (پوچ) است.

زمانی که تازه زندگی بزرگسالی ام را شروع کرده بودم، درگیر برنامه نویسی بودم. و چنین اصلی وجود داشت: اگر اصلاحات زیادی در برنامه انجام شود، باید دوباره بازنویسی شود. این اصل به نظر من با قضیه گودل مطابقت دارد. اگر برنامه ای پیچیده تر شود، ناسازگار می شود. و به درستی کار نخواهد کرد.

نمونه ای دیگر از زندگی ما در دوره ای زندگی می کنیم که مسئولان اعلام می کنند اصل وجودی باید قانون باشد. یعنی نظام حقوقی. اما به محض اینکه قوانین شروع به پیچیده‌تر شدن می‌کنند و قواعدگذاری شکوفا می‌شود، قوانین شروع به تضاد با یکدیگر می‌کنند. این چیزی است که ما اکنون می بینیم. هرگز نمی توان یک نظام حقوقی ایجاد کرد که تمام جنبه های زندگی را تنظیم کند. و از طرف دیگر برای همه عادلانه خواهد بود. زیرا محدودیت های درک ما از جهان همیشه آشکار خواهد شد. و قوانین بشری در نقطه ای شروع می شود تا با قوانین جهان در تضاد باشد. ما خیلی چیزها را به صورت شهودی درک می کنیم. ما همچنین باید به طور شهودی در مورد اعمال افراد دیگر قضاوت کنیم. کافی است یک ایالت قانون اساسی داشته باشد. و بر اساس مواد این قانون اساسی روابط را در جامعه تنظیم می کند. اما دیر یا زود، قانون اساسی باید تغییر کند.

آزمون یکپارچه دولتی نمونه دیگری از مغالطه ایده های ما در مورد توانایی های انسانی است. ما سعی می کنیم توانایی های محاسباتی مغز را در یک امتحان آزمایش کنیم. اما توانایی های شهودی دیگر در مدرسه رشد نمی کرد. اما یک انسان یک ربات زیستی نیست. ایجاد یک سیستم امتیازدهی که بتواند همه احتمالات ذاتی یک فرد، در خودآگاه، در ناخودآگاه و در روان او را شناسایی کند غیرممکن است.

تقریبا 100 سال پیش، گودل گام های باورنکردنی در درک قوانین جهان برداشت. اما ما هنوز نتوانسته ایم از این مزیت استفاده کنیم، زیرا این قضیه را به عنوان یک مسئله ریاضی بسیار تخصصی برای دایره محدودی از افرادی که با موضوعات انتزاعی در حلقه خود سروکار دارند، در نظر می گیریم. قضیه گودل همراه با تئوری کوانتومی و آموزه های مسیح این امکان را برای ما فراهم می کند که از اسارت جزمات دروغین خارج شویم و بر بحرانی که هنوز در جهان بینی ما وجود دارد غلبه کنیم. و زمان کمتری باقی می ماند.

09سپتامبر

هر سیستمی از بدیهیات ریاضی که از سطح معینی از پیچیدگی شروع شود، یا از نظر درونی متناقض است یا ناقص.

در سال 1900 کنفرانس جهانی ریاضیدانان در پاریس برگزار شد که در آن دیوید گیلبرت(دیوید هیلبرت، 1862-1943) در قالب پایان نامه ها، 23 مهم ترین وظیفه ای را که به نظر او نظریه پردازان قرن بیستم آینده باید حل می کردند، ارائه کرد. شماره دو لیست او یکی از آن مشکلات ساده ای بود که تا زمانی که کمی عمیق تر نشوید، پاسخ آن واضح به نظر می رسد. به تعبیر امروزی، این سوال بود: آیا ریاضیات خودکفا است؟ وظیفه دوم هیلبرت به نیاز به اثبات دقیق این نکته خلاصه می شود که سیستم بدیهیات - گزاره های اساسی که در ریاضیات به عنوان مبنایی بدون اثبات پذیرفته شده است - کامل و کامل است، یعنی به شخص اجازه می دهد هر چیزی را که وجود دارد به صورت ریاضی توصیف کند. لازم بود ثابت شود که می توان چنین سیستمی از بدیهیات را تعریف کرد که اولاً با یکدیگر سازگار باشند و ثانیاً از آنها در مورد صدق یا نادرستی هر گزاره ای نتیجه گیری شود.

بیایید از هندسه مدرسه مثالی بزنیم. در پلان سنجی استاندارد اقلیدسی (هندسه در یک صفحه)، بدون شک می توان ثابت کرد که گزاره "مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است" درست است و گزاره "مجموع زوایای یک مثلث 137 است". °» نادرست است. اساساً، در هندسه اقلیدسی هر جمله ای نادرست است یا درست، و گزینه سومی وجود ندارد. و در آغاز قرن بیستم، ریاضیدانان ساده لوحانه معتقد بودند که همین وضعیت باید در هر سیستم منطقی سازگار مشاهده شود.

و سپس در سال 1931 یک ریاضی دان وینی عینکی کورت گودل- مقاله کوتاهی را گرفت و منتشر کرد که به سادگی کل دنیای به اصطلاح "منطق ریاضی" را ناراحت کرد. او پس از مقدمه های طولانی و پیچیده ریاضی و نظری، به معنای واقعی کلمه موارد زیر را پایه گذاری کرد. بیایید هر جمله ای مانند: «فرض شماره 247 در این نظام بدیهیات منطقاً غیر قابل اثبات است» و آن را «گزاره A» بنامیم. بنابراین، گودل به سادگی خاصیت شگفت انگیز زیر را برای هر سیستم بدیهی ثابت کرد:

"اگر گزاره A قابل اثبات باشد، گزاره not-A قابل اثبات است."

به عبارت دیگر، اگر صحت گزاره «فرض 247 غیر قابل اثبات است» قابل اثبات باشد، صحت گزاره «فرض 247 قابل اثبات است» نیز قابل اثبات است. یعنی برگردیم به صورت‌بندی مسئله دوم هیلبرت، اگر سیستم بدیهیات کامل باشد (یعنی هر گزاره‌ای در آن قابل اثبات باشد)، متناقض است.

تنها راه برون رفت از این وضعیت، پذیرش نظام ناقص بدیهیات است. یعنی ما باید با این واقعیت کنار بیاییم که در چارچوب هر سیستم منطقی همچنان گزاره‌های «نوع A» خواهیم داشت که آشکارا درست یا نادرست هستند - و ما می‌توانیم صحت آنها را فقط خارج از چارچوب بدیهیاتی که داریم قضاوت کنیم. پذیرفته شده. اگر چنین اظهاراتی وجود نداشته باشد، بدیهیات ما متناقض است و در چارچوب آن ناگزیر صورت‌بندی‌هایی خواهد بود که هم قابل اثبات و هم قابل رد است.

بنابراین، صورت‌بندی قضیه اول یا ضعیف گودل در مورد ناقص بودن: "هر سیستم رسمی بدیهیات حاوی مفروضات حل نشده است". اما گودل به همین جا بسنده نکرد و قضیه دوم یا قوی ناتمام بودن گودل را فرموله و اثبات کرد: «کامل (یا ناقص بودن) منطقی هر نظام بدیهیات را نمی توان در چارچوب این نظام اثبات کرد. برای اثبات یا رد آن، بدیهیات اضافی مورد نیاز است (تقویت سیستم).

ایمن تر است که فکر کنیم قضایای گودل ماهیت انتزاعی دارند و به ما مربوط نمی شوند، بلکه فقط به حوزه هایی از منطق عالی ریاضی مربوط می شوند، اما در واقع معلوم شد که آنها مستقیماً با ساختار مغز انسان مرتبط هستند. راجر پنروز، ریاضیدان و فیزیکدان انگلیسی (متولد 1931) نشان داد که قضایای گودلمی توان برای اثبات اینکه تفاوت های اساسی بین مغز انسان و کامپیوتر وجود دارد استفاده کرد. معنای استدلال او ساده است. کامپیوتر کاملاً منطقی عمل می کند و قادر به تشخیص درست یا نادرست بودن گزاره A در صورت فراتر رفتن از بدیهیات نیست و چنین گزاره هایی، طبق قضیه گودل، ناگزیر وجود دارند. شخصی که با چنین گزاره منطقا غیرقابل اثبات و انکارناپذیر A مواجه می شود، همیشه قادر است صدق یا نادرستی آن را - بر اساس تجربه روزمره - تعیین کند. حداقل از این نظر مغز انسان برتر از کامپیوتری است که توسط مدارهای منطقی خالص محدود شده است. مغز انسان قادر به درک کامل عمق حقیقت موجود در قضایای گودل است، اما مغز کامپیوتری هرگز نمی تواند. بنابراین مغز انسان چیزی جز کامپیوتر است. او قادر به تصمیم گیری است و در آزمون تورینگ موفق خواهد شد.

قضایای ناقص بودن کورت گودل نقطه عطفی در ریاضیات قرن بیستم بود. و در دست نوشته های او که پس از مرگش منتشر شد، دلیل منطقی وجود خدا حفظ شد. در آخرین خوانش کریسمس، گزارش جالبی در مورد این میراث کمتر شناخته شده توسط دانشیار حوزه علمیه توبولسک، کاندیدای الهیات، کشیش دیمیتری کیریانوف ارائه شد. "NS" خواست تا ایده های اصلی دانشمند را توضیح دهد.

قضایای ناتمامی گودل: حفره ای در ریاضیات

- آیا راه رایجی برای توضیح قضایای ناتمامی گودل وجود دارد؟ آرایشگر فقط کسانی را می تراشد که خود را اصلاح نمی کنند. آیا آرایشگر خودش را اصلاح می کند؟ آیا این پارادوکس معروف ربطی به آنها دارد؟

تز اصلی اثبات منطقی وجود خدا که توسط کورت گودل ارائه شده است: "خدا در اندیشه وجود دارد. اما وجود در واقعیت بیش از وجود فقط در اندیشه است. بنابراین، خدا باید وجود داشته باشد." در عکس: نویسنده قضیه ناتمامیت، کورت گودل، به همراه دوستش، نویسنده نظریه نسبیت، آلبرت انیشتین. پریستون آمریکا. 1950

- بله، البته که دارد. قبل از گودل، مسئله بدیهی سازی ریاضیات و مشکل چنین جملات متناقضی وجود داشت که می توان به طور رسمی به هر زبانی نوشت. به عنوان مثال: "این جمله نادرست است." حقیقت این گفته چیست؟ اگر درست است، باطل است، اگر باطل است، پس درست است; این منجر به یک پارادوکس زبانی می شود. گودل حساب را مطالعه کرد و در قضایای خود نشان داد که سازگاری آن را نمی توان بر اساس اصول بدیهی آن اثبات کرد: بدیهیات جمع، تفریق، تقسیم، ضرب و غیره. ما برای توجیه آن به چند فرض اضافی نیاز داریم. این بر اساس ساده ترین نظریه است، اما در مورد پیچیده تر (معادلات فیزیک و غیره) چه می توانیم بگوییم! برای توجیه هر سیستم استنباط، همیشه مجبوریم به استنباط اضافی متوسل شویم که در چارچوب سیستم توجیه نمی شود.

این امر اولاً حاکی از محدودیت ادعاهای ذهن انسان در شناخت واقعیت است. یعنی نمی‌توانیم بگوییم که نوعی نظریه جامع جهان را خواهیم ساخت که همه چیز را توضیح دهد - چنین نظریه‌ای نمی‌تواند علمی باشد.

- اکنون ریاضیدانان در مورد قضایای گودل چه احساسی دارند؟ آیا کسی سعی در رد آنها یا به نوعی دور زدن آنها ندارد؟

"این مانند تلاش برای رد قضیه فیثاغورث است." قضایا اثبات منطقی دقیقی دارند. در عین حال، تلاش هایی برای یافتن محدودیت هایی در مورد کاربرد قضایای گودل انجام می شود. اما عمدتاً بحث حول مفاهیم فلسفی قضایای گودل می چرخد.

- اثبات وجود خدا توسط گودل تا چه اندازه توسعه یافته است؟ تموم شد؟

"این با جزئیات کار شد، اگرچه خود دانشمند تا زمان مرگش جرات انتشار آن را نداشت." گودل هستی شناختی (متافیزیکی. - "NS") استدلال اولین بار توسط آنسلم کانتربری ارائه شد. این برهان را می‌توان به صورت فشرده به صورت زیر ارائه کرد: «خداوند، بنا به تعریف، کسی است که چیزی بزرگتر از او تصور نمی‌شود. خدا در تفکر وجود دارد. اما وجود در واقعیت بیش از وجود فقط در اندیشه است. پس خدا باید وجود داشته باشد.» استدلال آنسلم بعداً توسط رنه دکارت و گوتفرید ویلهلم لایب نیتس توسعه یافت. بنابراین، از نظر دکارت، اندیشیدن به وجود کامل که فاقد وجود است، به معنای سقوط در یک تضاد منطقی است. گودل در چارچوب این ایده‌ها، نسخه‌ای از برهان را توسعه می‌دهد؛ که به معنای واقعی کلمه در دو صفحه قرار می‌گیرد. متأسفانه، ارائه استدلال او بدون معرفی مبانی منطق مدال بسیار پیچیده غیرممکن است.

البته بی عیب و نقص منطقی نتیجه گیری های گودل انسان را تحت فشار نیروی شواهد وادار نمی کند که مؤمن شود. ما نباید ساده لوح باشیم و باور کنیم که می توانیم با استفاده از یک استدلال هستی شناختی یا شواهد دیگر، هر فرد منطقی را متقاعد کنیم که به خدا ایمان داشته باشد. ایمان زمانی زاده می شود که انسان با حضور آشکار حقیقت متعالی خداوند روبرو شود. اما می توانیم حداقل یک نفر را نام ببریم که اثبات هستی شناختی او را به ایمان دینی منتهی کرد - نویسنده کلایو استیپلز لوئیس، او خودش این را اعتراف کرد.

آینده دور، گذشته دور است

- برخورد معاصران با گودل چگونه بود؟ آیا او با هیچ یک از دانشمندان بزرگ دوست بود؟

- دستیار انیشتین در پرینستون شهادت می دهد که تنها کسی که در سال های آخر زندگی با او دوست بود کورت گودل بود. آنها تقریباً در همه چیز متفاوت بودند - انیشتین اجتماعی و شاد بود، در حالی که گودل بسیار جدی، کاملاً تنها و بی اعتماد بود. اما آنها یک ویژگی مشترک داشتند: هر دو مستقیماً و صادقانه به سؤالات اصلی علم و فلسفه رفتند. گودل با وجود دوستی با انیشتین، دیدگاه خاص خود را نسبت به دین داشت. او ایده خدا را به عنوان موجودی غیرشخصی رد کرد، همانطور که خدا برای انیشتین بود. گودل در این مورد اظهار داشت: «دین انیشتین مانند فلسفه اسپینوزا و هندی بسیار انتزاعی است. خدای اسپینوزا کمتر از یک شخص است. خدای من بیش از یک شخص است. زیرا خداوند می تواند نقش شخصیت را ایفا کند.» ممکن است ارواح وجود داشته باشند که بدن ندارند، اما می توانند با ما ارتباط برقرار کنند و بر جهان تأثیر بگذارند.»

- گودل چگونه به آمریکا رفت؟ فرار از دست نازی ها؟

- بله، او در سال 1940 از آلمان به آمریکا آمد، با وجود اینکه نازی ها او را یک آریایی و دانشمند بزرگ می شناختند و او را از خدمت سربازی معاف می کردند. او و همسرش آدل از طریق راه آهن ترانس سیبری از روسیه عبور کردند. او هیچ خاطره ای از این سفر به یادگار نگذاشت. ادل فقط شب ها ترس دائمی را به یاد می آورد که او را متوقف کنند و او را برگردانند. پس از هشت سال زندگی در آمریکا، گودل شهروند ایالات متحده شد. مانند همه متقاضیان شهروندی، او باید به سؤالات مربوط به قانون اساسی آمریکا پاسخ می داد. او که فردی دقیق بود، با دقت زیادی برای این امتحان آماده شد. او در نهایت گفت که در قانون اساسی مغایرتی پیدا کرده است: "من یک امکان منطقی مشروع را کشف کرده ام که در آن ایالات متحده می تواند به دیکتاتوری تبدیل شود." دوستان او دریافتند که صرف نظر از محاسن منطقی استدلال گودل، این احتمال کاملاً ماهیت فرضی دارد و از صحبت طولانی در مورد این موضوع در امتحان هشدار دادند.

- آیا گودل و انیشتین از ایده های یکدیگر در کارهای علمی استفاده کردند؟

— در سال 1949، گودل ایده های کیهان شناختی خود را در یک مقاله ریاضی بیان کرد، که به گفته آلبرت انیشتین، سهم مهمی در نظریه نسبیت عام بود. گودل معتقد بود که زمان - «آن موجود اسرارآمیز و در عین حال خود متناقض که اساس جهان و وجود خود ما را تشکیل می‌دهد» - در نهایت به بزرگترین توهم تبدیل خواهد شد. «روزی» وجود نخواهد داشت و شکل دیگری از وجود خواهد آمد که می توان آن را ابدیت نامید. این ایده زمان، منطق دان بزرگ را به یک نتیجه غیرمنتظره سوق داد. او نوشت: «من به زندگی پس از مرگ، بدون توجه به الهیات، متقاعد شدم. اگر جهان هوشمندانه طراحی شده باشد، پس باید یک زندگی پس از مرگ وجود داشته باشد."

- "زمان یک موجود متناقض است." عجیب به نظر می رسد؛ آیا این مفهوم فیزیکی دارد؟

- گودل نشان داد که در چارچوب معادله انیشتین می توان یک مدل کیهانی با زمان بسته ساخت که در آن گذشته دور و آینده دور بر هم منطبق باشند. در این مدل، سفر در زمان از نظر تئوری امکان پذیر می شود. عجیب به نظر می رسد، اما از نظر ریاضی قابل بیان است - این نکته است. این مدل ممکن است مفاهیم تجربی داشته باشد یا نداشته باشد. این یک سازه نظری است که ممکن است در ساخت مدل‌های کیهان‌شناختی جدید مفید باشد - یا ممکن است غیرضروری باشد. فیزیک نظری مدرن، به ویژه کیهان شناسی کوانتومی، دارای چنان ساختار ریاضی پیچیده ای است که ارائه یک درک فلسفی بدون ابهام از این ساختارها بسیار دشوار است. علاوه بر این، برخی از طرح‌های نظری آن تاکنون از نظر تجربی غیرقابل آزمایش هستند، به این دلیل ساده که تأیید آنها مستلزم تشخیص ذرات بسیار پرانرژی است. به یاد بیاورید که مردم چگونه از پرتاب برخورد دهنده بزرگ هادرون نگران بودند: رسانه ها دائماً مردم را می ترساندند که پایان جهان نزدیک است. در واقع، یک آزمایش علمی جدی برای آزمایش مدل‌های کیهان‌شناسی کوانتومی و به اصطلاح «نظریه‌های یکپارچه بزرگ» انجام شد. اگر امکان تشخیص ذرات به اصطلاح هیگز وجود داشت، این گام دیگری در درک ما از اولین مراحل وجود جهان ما خواهد بود. اما در حالی که هیچ داده تجربی وجود ندارد، مدل های رقیب کیهان شناسی کوانتومی همچنان به عنوان مدل های ریاضی باقی می مانند.

ایمان و شهود

— «...خدای من بیش از یک شخص است. از آنجایی که خدا می تواند نقش یک شخص را بازی کند...» با این وجود، ایمان گودل با اعتراف ارتدکس فاصله زیادی دارد؟

- تعداد بسیار کمی از اظهارات گودل در مورد ایمانش باقی مانده است؛ آنها ذره ذره جمع آوری شده اند. علیرغم این واقعیت که گودل اولین پیش نویس نسخه خود از استدلال را در سال 1941 ساخت، تا سال 1970، از ترس تمسخر همکارانش، او در مورد آن صحبت نکرد. در فوریه 1970، با احساس مرگ نزدیک شد، او به دستیار خود اجازه داد تا نسخه ای از اثبات او را کپی کند. پس از مرگ گودل در سال 1978، نسخه کمی متفاوت از استدلال هستی شناختی در مقالات او کشف شد. همسر کورت گودل، آدل، دو روز پس از مرگ همسرش گفت که گودل، "اگرچه او در کلیسا شرکت نمی کرد، مذهبی بود و هر یکشنبه صبح در رختخواب کتاب مقدس را می خواند."

وقتی در مورد دانشمندانی مانند گودل، انیشتین یا مثلاً گالیله یا نیوتن صحبت می کنیم، مهم است که تأکید کنیم آنها بی خدا نبودند. آنها دیدند که در پشت جهان یک ذهن وجود دارد، نوعی نیروی برتر. برای بسیاری از دانشمندان، اعتقاد به وجود یک ذهن عالی یکی از پیامدهای تأمل علمی آنها بود و این تأمل همیشه منجر به پیدایش پیوند عمیق مذهبی بین شخص و خدا نمی شد. در رابطه با گودل می توان گفت که او نیاز به این ارتباط را احساس می کرد، زیرا تأکید می کرد خداباور است و خدا را به عنوان یک شخص می پنداشت. اما، البته، ایمان او را نمی توان ارتدکس نامید. او به اصطلاح یک «لوتری خانگی» بود.

— آیا می توانید مثال های تاریخی بیاورید: چگونه دانشمندان مختلف به خدا ایمان می آورند؟ در اینجا فرانسیس کالینز متخصص ژنتیک است که طبق اعترافاتش، مطالعه ساختار DNA او را به ایمان به خدا رساند...

- معرفت طبیعی خدا به خودی خود برای شناخت خدا کافی نیست. کشف خدا با مطالعه طبیعت کافی نیست، مهم این است که او را از طریق مکاشفه ای که خداوند به انسان داده است، بیاموزیم. ایمان آوردن انسان، چه دانشمند باشد و چه نباشد، همیشه متکی به چیزی است که فراتر از استدلال های منطقی یا علمی است. فرانسیس کالینز می نویسد که در 27 سالگی پس از یک مناظره فکری طولانی با خود و تحت تأثیر کلایو استیپلز لوئیس به ایمان آمد. دو نفر در یک موقعیت تاریخی، در شرایط اولیه یکسان هستند: یکی مؤمن می شود، دیگری ملحد. یکی، مطالعه DNA منجر به اعتقاد به وجود خدا می شود. دیگری مطالعه می کند و به این نتیجه نمی رسد. دو نفر به یک عکس نگاه می‌کنند: یکی فکر می‌کند زیباست، و دیگری می‌گوید: «پس، یک عکس معمولی!» یکی ذوق و شهود دارد و دیگری ندارد. پروفسور دانشگاه بشردوستانه سنت تیخون ارتدکس، ولادیمیر نیکولایویچ کاتاسونوف، دکترای فلسفه، ریاضی دان تحصیلات اولیه، می گوید: «هیچ اثباتی در ریاضیات بدون شهود ممکن نیست: یک ریاضیدان ابتدا تصویر را می بیند و سپس اثبات می کند».

مسئله ایمان آوردن یک شخص همیشه سؤالی است که فراتر از استدلال منطقی است. چگونه می توانید توضیح دهید که چه چیزی شما را به ایمان رساند؟ مرد پاسخ می دهد: به معبد رفتم، فکر کردم، این و آن را خواندم، هماهنگی جهان را دیدم. اما مهم‌ترین و استثنایی‌ترین لحظه‌ای که انسان ناگهان می‌فهمد با حضور خدا مواجه شده، قابل بیان نیست. همیشه یک راز است.

- آیا می توانید مشکلاتی را که علم مدرن قادر به حل آنها نیست شناسایی کنید؟

- به هر حال، علم به اندازه کافی با اعتماد به نفس، مستقل و در حال پیشرفت است که بتواند اینقدر تند صحبت کند. ابزار خوب و بسیار مفیدی در دست انسان است. از زمان فرانسیس بیکن، دانش واقعاً به نیرویی تبدیل شده است که جهان را تغییر داده است. علم مطابق با قوانین درونی خود رشد می کند: دانشمند برای درک قوانین جهان تلاش می کند و شکی نیست که این جستجو به موفقیت منجر می شود. اما در عین حال باید مرزهای علم را شناخت. نباید علم و آن دسته از سؤالات ایدئولوژیکی را که در ارتباط با علم می توان مطرح کرد با هم خلط کرد. مشکلات کلیدی امروز نه چندان به روش علمی که به جهت گیری های ارزشی مربوط می شود. علم در طول قرن بیستم توسط مردم به عنوان یک خیر مطلق تلقی می شد که به پیشرفت بشر کمک می کند. و می بینیم که قرن بیستم از نظر تلفات انسانی بی رحمانه ترین قرن شد. و در اینجا این سؤال در مورد ارزش های پیشرفت علمی، دانش به طور کلی مطرح می شود. ارزش های اخلاقی از خود علم ناشی نمی شود. یک دانشمند باهوش می تواند سلاحی اختراع کند تا تمام بشریت را نابود کند و این سؤالی را در مورد مسئولیت اخلاقی دانشمند مطرح می کند که علم نمی تواند به آن پاسخ دهد. علم نمی تواند به انسان معنا و هدف وجودی او را نشان دهد. علم هرگز نمی تواند به این سوال پاسخ دهد که چرا ما اینجا هستیم؟ چرا کیهان وجود دارد؟ این سؤالات در سطح دیگری از دانش مانند فلسفه و دین حل می شوند.

- علاوه بر قضایای گودل، آیا شواهد دیگری وجود دارد که روش علمی محدودیت‌هایی دارد؟ آیا خود دانشمندان این را قبول دارند؟

- قبلاً در آغاز قرن بیستم، فیلسوفان برگسون و هوسرل به اهمیت نسبی دانش علمی از طبیعت اشاره کردند. اکنون این باور تقریباً جهانی در میان فیلسوفان علم شده است که نظریه‌های علمی مدل‌های فرضی برای توضیح پدیده‌ها را نشان می‌دهند. یکی از خالقان مکانیک کوانتومی، اروین شرودینگر، گفت که ذرات بنیادی فقط تصاویر هستند، اما ما به راحتی می توانیم بدون آنها کار کنیم. به گفته کارل پوپر فیلسوف و منطق‌دان، نظریه‌های علمی مانند شبکه‌ای هستند که از طریق آن سعی می‌کنیم جهان را بگیریم، آنها مانند عکس نیستند. نظریه های علمی در حال توسعه و تغییر دائمی هستند. خالقان مکانیک کوانتومی مانند پائولی، بور و هایزنبرگ در مورد مرزهای روش علمی صحبت کردند. پائولی نوشت: «...فیزیک و روان را می‌توان جنبه‌های اضافی یک واقعیت در نظر گرفت» - و بر تقلیل‌ناپذیری سطوح بالاتر وجود به سطوح پایین‌تر تمرکز کرد. تبیین های مختلف در هر زمان تنها یک جنبه از ماده را پوشش می دهد، اما یک نظریه جامع هرگز به دست نخواهد آمد.

زیبایی و هماهنگی هستی مستلزم امکان شناخت آن با روش های علمی است. در عین حال، مسیحیان همیشه نامفهوم بودن راز پشت این جهان مادی را درک کرده اند. جهان به خودی خود هیچ مبنایی ندارد و به منبع کامل هستی یعنی خدا اشاره می کند.