حاصل ضرب نقطه ای بردارها

ما همچنان با بردارها سروکار داریم. در درس اول وکتور برای آدمکما به مفهوم بردار، اقدامات با بردارها، مختصات بردار و ساده ترین مسائل با بردارها نگاه کردیم. اگر برای اولین بار از یک موتور جستجو به این صفحه آمدید، خواندن مقاله مقدماتی بالا را اکیداً توصیه می کنم، زیرا برای تسلط بر مطالب باید با اصطلاحات و نمادهایی که من استفاده می کنم آشنا باشید، دانش اولیه در مورد بردارها و وکتورها داشته باشید. بتواند مشکلات اساسی را حل کند. این درس ادامه منطقی مبحث است و در آن وظایف معمولی را که از حاصل ضرب اسکالر بردارها استفاده می کنند با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهم کرد. این یک فعالیت بسیار مهم است.. سعی کنید مثال ها را نادیده نگیرید؛ آنها با یک امتیاز مفید همراه هستند - تمرین به شما کمک می کند مطالبی را که پوشش داده اید یکپارچه کنید و در حل مسائل رایج در هندسه تحلیلی بهتر شوید.

جمع بردارها، ضرب بردار در عدد .... ساده لوحانه است اگر فکر کنیم که ریاضیدانان چیز دیگری به ذهنشان خطور نکرده است. علاوه بر اقداماتی که قبلاً مورد بحث قرار گرفت، تعدادی عملیات دیگر با بردارها وجود دارد که عبارتند از: حاصل ضرب نقطه ای بردارها, حاصلضرب برداری بردارهاو حاصلضرب مخلوط بردارها. حاصل ضرب اسکالر بردارها از دوران مدرسه برای ما آشناست؛ دو محصول دیگر به طور سنتی به درس ریاضیات عالی تعلق دارند. موضوعات ساده هستند، الگوریتم برای حل بسیاری از مسائل ساده و قابل درک است. تنها چیزی. مقدار مناسبی از اطلاعات وجود دارد، بنابراین نامطلوب است که سعی کنید همه چیز را به طور همزمان حل کنید. این به ویژه در مورد آدمک‌ها صادق است؛ باور کنید نویسنده مطلقاً نمی‌خواهد شبیه چیکاتیلو از ریاضیات باشد. خوب، البته نه از ریاضیات =) دانش آموزان آماده تر می توانند به طور انتخابی از مواد استفاده کنند، به معنای خاصی، دانش گم شده را "به دست آورند"؛ برای شما من یک کنت دراکولای بی ضرر خواهم بود =)

بیایید در نهایت در را باز کنیم و با اشتیاق تماشا کنیم که وقتی دو بردار یکدیگر را ملاقات می کنند چه اتفاقی می افتد ...

تعریف حاصل ضرب اسکالر بردارها.
ویژگی های محصول اسکالر وظایف معمولی

مفهوم محصول نقطه ای

اول در مورد زاویه بین بردارها. من فکر می کنم همه به طور مستقیم می فهمند که زاویه بین بردارها چیست، اما در هر صورت، کمی جزئیات بیشتر. بیایید بردارهای غیر صفر آزاد و . اگر این بردارها را از یک نقطه دلخواه رسم کنید، تصویری دریافت خواهید کرد که بسیاری از قبل تصور کرده اند:

اعتراف می کنم، در اینجا من وضعیت را فقط در سطح درک توصیف کردم. اگر به تعریف دقیق زاویه بین بردارها نیاز دارید، لطفاً به کتاب درسی مراجعه کنید؛ برای مسائل کاربردی، اصولاً برای ما فایده ای ندارد. همچنین HERE AND HEREIN بردارهای صفر را در مکان ها به دلیل اهمیت عملی کم آنها نادیده خواهم گرفت. من به طور خاص برای بازدیدکنندگان سایت پیشرفته رزرو کردم که ممکن است من را به دلیل ناقص بودن نظری برخی اظهارات بعدی سرزنش کنند.

می تواند مقادیری از 0 تا 180 درجه (0 تا رادیان) را شامل شود. از نظر تحلیلی، این واقعیت به شکل یک نابرابری مضاعف نوشته شده است: یا (به رادیان).

در ادبیات، نماد زاویه اغلب نادیده گرفته می شود و به سادگی نوشته می شود.

تعریف:حاصل ضرب اسکالر دو بردار عددی است برابر حاصلضرب طول این بردارها و کسینوس زاویه بین آنها:

اکنون این یک تعریف کاملاً دقیق است.

ما روی اطلاعات ضروری تمرکز می کنیم:

تعیین:محصول اسکالر با یا به سادگی نشان داده می شود.

نتیجه عملیات یک NUMBER است: بردار در بردار ضرب می شود و حاصل یک عدد است. در واقع، اگر طول بردارها اعداد باشد، کسینوس یک زاویه یک عدد است، پس حاصلضرب آنها نیز یک عدد خواهد بود.

فقط چند مثال گرم کردن:

مثال 1

راه حل:ما از فرمول استفاده می کنیم . در این مورد:

پاسخ:

مقادیر کسینوس را می توان در پیدا کرد جدول مثلثاتی. من توصیه می کنم آن را چاپ کنید - تقریباً در تمام بخش های برج مورد نیاز است و بارها مورد نیاز خواهد بود.

از نقطه نظر ریاضی محض، حاصل ضرب اسکالر بدون بعد است، یعنی نتیجه در این مورد فقط یک عدد است و بس. از نقطه نظر مسائل فیزیک، یک محصول اسکالر همیشه معنای فیزیکی خاصی دارد، یعنی پس از نتیجه باید یک یا واحد فیزیکی دیگر نشان داده شود. یک مثال متعارف از محاسبه کار یک نیرو را می توان در هر کتاب درسی یافت (فرمول دقیقاً یک حاصل ضرب مقیاسی است). کار یک نیرو با ژول اندازه گیری می شود، بنابراین، پاسخ کاملاً خاص نوشته می شود، به عنوان مثال، .

مثال 2

پیدا کنید اگر ، و زاویه بین بردارها برابر است.

این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید، پاسخ آن در انتهای درس است.

زاویه بین بردارها و مقدار محصول نقطه ای

در مثال 1 حاصل ضرب اسکالر مثبت و در مثال 2 منفی است. بیایید دریابیم که علامت حاصلضرب اسکالر به چه چیزی بستگی دارد. بیایید به فرمول خود نگاه کنیم: . طول بردارهای غیر صفر همیشه مثبت هستند: بنابراین علامت فقط به مقدار کسینوس بستگی دارد.

توجه داشته باشید: برای درک بهتر اطلاعات زیر، بهتر است نمودار کسینوس موجود در دفترچه راهنما را مطالعه کنید نمودار توابع و خواص. ببینید کسینوس چگونه روی قطعه رفتار می کند.

همانطور که قبلا ذکر شد، زاویه بین بردارها می تواند در داخل متفاوت باشد و موارد زیر ممکن است:

1) اگر گوشهبین بردارها تند: (از 0 تا 90 درجه)، سپس ، و محصول نقطه مثبت خواهد بود کارگردانی مشترک، سپس زاویه بین آنها صفر در نظر گرفته می شود و حاصل ضرب اسکالر نیز مثبت خواهد بود. از آنجایی که فرمول ساده می کند: .

2) اگر گوشهبین بردارها صریح: (از 90 تا 180 درجه)، سپس و به همین ترتیب، محصول نقطه ای منفی است: . مورد خاص: اگر بردارها جهت های مخالف، سپس زاویه بین آنها در نظر گرفته می شود منبسط: (180 درجه). محصول اسکالر نیز منفی است، زیرا

عبارات مخالف نیز صادق است:

1) اگر، زاویه بین این بردارها تند است. روش دیگر، بردارها هم جهت هستند.

2) اگر، زاویه بین این بردارها منفرد است. از طرف دیگر، بردارها در جهت مخالف هستند.

اما مورد سوم جالب توجه است:

3) اگر گوشهبین بردارها سر راست: (90 درجه)، سپس حاصل ضرب اسکالر صفر است: . عکس آن نیز صادق است: اگر، پس. بیانیه را می توان به صورت فشرده به صورت زیر فرموله کرد: حاصل ضرب اسکالر دو بردار صفر است اگر و فقط اگر بردارها متعامد باشند. نماد ریاضی کوتاه:

! توجه داشته باشید : بیایید تکرار کنیم مبانی منطق ریاضی: نماد پیامد منطقی دو طرفه معمولاً «اگر و فقط اگر»، «اگر و فقط اگر» خوانده می‌شود. همانطور که می بینید، فلش ها در هر دو جهت هدایت می شوند - "از این به دنبال این است، و بالعکس - از آن به دنبال این است." به هر حال، تفاوت آن با نماد فالو یک طرفه چیست؟ نماد بیان می کند فقط همین، که «از این به دنبال این است» و این واقعیت ندارد که برعکس باشد. به عنوان مثال: ، اما هر حیوانی پلنگ نیست، بنابراین در این مورد نمی توانید از نماد استفاده کنید. در همان زمان، به جای نماد می تواناز نماد یک طرفه استفاده کنید برای مثال، هنگام حل مسئله، متوجه شدیم که بردارها متعامد هستند: - چنین ورودی صحیح و حتی مناسب تر از آن خواهد بود .

مورد سوم اهمیت عملی زیادی دارد، زیرا به شما امکان می دهد بررسی کنید که آیا بردارها متعامد هستند یا خیر. این مشکل را در بخش دوم درس حل خواهیم کرد.

خواص محصول نقطه ای

بیایید به وضعیت زمانی که دو بردار کارگردانی مشترک. در این حالت، زاویه بین آنها صفر است، و فرمول حاصل ضرب اسکالر به شکل: .

اگر بردار در خودش ضرب شود چه اتفاقی می افتد؟ واضح است که بردار با خودش تراز است، بنابراین از فرمول ساده شده فوق استفاده می کنیم:

شماره تماس گرفته می شود مربع اسکالربردار، و به صورت .

بدین ترتیب، مربع اسکالر یک بردار برابر است با مربع طول بردار داده شده:

از این برابری می توانیم فرمولی برای محاسبه طول بردار بدست آوریم:

تا اینجا نامشخص به نظر می رسد، اما اهداف درس همه چیز را در جای خود قرار می دهد. برای حل مشکلات ما نیز نیاز داریم خواص محصول نقطه ای.

برای بردارهای دلخواه و هر عددی، ویژگی های زیر درست است:

1) – جابجایی یا تعویضیقانون محصول اسکالر

2) – توزیع یا توزیعیقانون محصول اسکالر به سادگی، می توانید براکت ها را باز کنید.

3) - انجمنی یا انجمنیقانون محصول اسکالر ثابت را می توان از حاصل ضرب اسکالر به دست آورد.

اغلب، همه انواع خواص (که نیاز به اثبات دارند!) توسط دانش آموزان به عنوان زباله های غیر ضروری تلقی می شوند که فقط باید بلافاصله پس از امتحان به خاطر بسپارند و با خیال راحت فراموش شوند. به نظر می رسد آنچه در اینجا مهم است ، همه از کلاس اول می دانند که تنظیم مجدد فاکتورها محصول را تغییر نمی دهد: . باید به شما هشدار بدهم که در ریاضیات عالی به راحتی می توان با چنین رویکردی مسائل را به هم ریخت. بنابراین، برای مثال، ویژگی جابجایی برای آن صادق نیست ماتریس های جبری. همچنین برای حاصلضرب برداری بردارها. بنابراین، حداقل، بهتر است در هر ویژگی که در یک دوره عالی ریاضی با آن برخورد می کنید، به دقت بپردازید تا بفهمید چه کاری می توانید انجام دهید و چه کاری را نمی توانید انجام دهید.

مثال 3

.

راه حل:ابتدا بیایید وضعیت را با بردار روشن کنیم. اصلا این چیه؟ مجموع بردارها یک بردار کاملاً مشخص است که با نشان داده می شود. تفسیر هندسی اعمال با بردارها را می توان در مقاله یافت وکتور برای آدمک. همان جعفری با بردار مجموع بردارها و .

بنابراین، با توجه به شرایط، باید محصول اسکالر را پیدا کرد. در تئوری، شما باید فرمول کار را اعمال کنید ، اما مشکل اینجاست که طول بردارها و زاویه بین آنها را نمی دانیم. اما این شرط پارامترهای مشابهی را برای بردارها می دهد، بنابراین ما مسیر متفاوتی را در پیش خواهیم گرفت:

(1) عبارات بردارها را جایگزین کنید.

(2) براکت ها را طبق قانون ضرب چند جمله ای ها باز می کنیم؛ یک پیچ کننده زبان مبتذل را می توانید در مقاله پیدا کنید. اعداد مختلطیا ادغام یک تابع کسری - گویا. من خودم را تکرار نمی کنم =) به هر حال، ویژگی توزیعی محصول اسکالر به ما اجازه می دهد تا براکت ها را باز کنیم. ما حق داریم.

(3) در اولین و آخرین ترم ها مربع های اسکالر بردارها را به صورت فشرده می نویسیم: . در ترم دوم از قابلیت جابجایی حاصل ضرب اسکالر استفاده می کنیم: .

(4) ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم: .

(5) در اولین ترم از فرمول مربع اسکالر استفاده می کنیم که چندی پیش ذکر شد. در ترم گذشته، بر این اساس، همان کار می کند: . ترم دوم را طبق فرمول استاندارد گسترش می دهیم .

(6) این شرایط را جایگزین کنید و محاسبات نهایی را با دقت انجام دهید.

پاسخ:

مقدار منفی حاصلضرب اسکالر این واقعیت را بیان می کند که زاویه بین بردارها منفرد است.

مشکل معمولی است، در اینجا مثالی برای حل آن وجود دارد:

مثال 4

حاصل ضرب اسکالر بردارها را بیابید و اگر معلوم است که .

اکنون یک کار رایج دیگر، فقط برای فرمول جدید برای طول یک بردار. نماد در اینجا کمی همپوشانی خواهد داشت، بنابراین برای وضوح، آن را با حرف دیگری بازنویسی می کنم:

مثال 5

طول بردار if را پیدا کنید .

راه حلبه شرح زیر خواهد بود:

(1) عبارت بردار را ارائه می کنیم.

(2) ما از فرمول طول استفاده می کنیم: و کل عبارت ve به عنوان بردار "ve" عمل می کند.

(3) از فرمول مدرسه برای مجذور مجموع استفاده می کنیم. به نحوه عملکرد آن در اینجا به روشی کنجکاو توجه کنید: - در واقع، این مربع تفاوت است، و در واقع، همینطور است. کسانی که مایل هستند می توانند بردارها را مجدداً مرتب کنند: - همین اتفاق می افتد، تا بازآرایی عبارات.

(4) آنچه در ادامه می آید از قبل از دو مسئله قبلی آشناست.

پاسخ:

از آنجایی که ما در مورد طول صحبت می کنیم، فراموش نکنید که بعد - "واحدها" را مشخص کنید.

مثال 6

طول بردار if را پیدا کنید .

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

ما همچنان به برداشتن چیزهای مفید از محصول نقطه ای ادامه می دهیم. بیایید دوباره به فرمول خود نگاه کنیم . با استفاده از قانون تناسب، طول بردارها را به مخرج سمت چپ تنظیم می کنیم:

بیایید قطعات را با هم عوض کنیم:

منظور از این فرمول چیست؟ اگر طول دو بردار و حاصل ضرب اسکالر آنها مشخص باشد، می‌توان کسینوس زاویه بین این بردارها و در نتیجه خود زاویه را محاسبه کرد.

آیا محصول نقطه ای یک عدد است؟ عدد. آیا طول های برداری اعداد هستند؟ شماره. این بدان معناست که کسر نیز یک عدد است. و اگر کسینوس زاویه معلوم باشد: ، سپس با استفاده از تابع معکوس می توان به راحتی خود زاویه را پیدا کرد: .

مثال 7

زاویه بین بردارها را پیدا کنید و اگر معلوم است که .

راه حل:ما از فرمول استفاده می کنیم:

در مرحله نهایی محاسبات، از یک تکنیک فنی استفاده شد - حذف غیر منطقی در مخرج. برای از بین بردن غیر منطقی، صورت و مخرج را ضرب کردم.

بنابراین اگر ، این که:

مقادیر توابع مثلثاتی معکوس را می توان با استفاده از جدول مثلثاتی. اگرچه این به ندرت اتفاق می افتد. در مسائل هندسه تحلیلی، اغلب برخی از خرس های دست و پا چلفتی مانند، و مقدار زاویه را باید تقریباً با استفاده از یک ماشین حساب پیدا کرد. در واقع، ما بیش از یک بار شاهد چنین تصویری خواهیم بود.

پاسخ:

باز هم فراموش نکنید که ابعاد - رادیان و درجه را نشان دهید. شخصاً برای اینکه آشکارا "حل همه سؤالات" باشد، ترجیح می دهم هر دو را نشان دهم (مگر اینکه شرط، البته مستلزم ارائه پاسخ فقط به رادیان یا فقط در درجه باشد).

اکنون می توانید به طور مستقل با یک کار پیچیده تر کنار بیایید:

مثال 7*

طول بردارها و زاویه بین آنها در نظر گرفته شده است. زاویه بین بردارها را پیدا کنید .

کار چندان دشوار نیست بلکه چند مرحله ای است.
بیایید به الگوریتم حل نگاه کنیم:

1) با توجه به شرایط، باید زاویه بین بردارها و را پیدا کنید، بنابراین باید از فرمول استفاده کنید. .

2) حاصل ضرب اسکالر را بیابید (به مثال های شماره 3 و 4 مراجعه کنید).

3) طول بردار و طول بردار را بیابید (به مثال های شماره 5 و 6 مراجعه کنید).

4) پایان راه حل با مثال شماره 7 منطبق است - ما عدد را می دانیم، به این معنی که پیدا کردن خود زاویه آسان است:

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس.

بخش دوم درس به همان محصول اسکالر اختصاص دارد. مختصات. حتی ساده تر از قسمت اول خواهد بود.

حاصل ضرب نقطه ای بردارها،
توسط مختصات به صورت متعارف ارائه شده است

پاسخ:

ناگفته نماند که برخورد با مختصات بسیار خوشایندتر است.

مثال 14

حاصل ضرب اسکالر بردارها را بیابید و اگر

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. در اینجا می‌توانید از تداعی عملیات استفاده کنید، یعنی حساب نکنید، اما فوراً سه گانه را خارج از حاصل ضرب اسکالر بگیرید و آن را در آخر ضرب کنید. راه حل و پاسخ در پایان درس است.

در پایان بخش، یک مثال تحریک آمیز در مورد محاسبه طول یک بردار:

مثال 15

طول بردارها را بیابید ، اگر

راه حل:روش بخش قبل دوباره خود را نشان می دهد: اما راه دیگری وجود دارد:

بیایید بردار را پیدا کنیم:

و طول آن طبق فرمول بی اهمیت :

محصول نقطه ای اصلاً به اینجا مربوط نیست!

همچنین هنگام محاسبه طول یک بردار مفید نیست:
متوقف کردن. آیا نباید از ویژگی آشکار طول برداری استفاده کنیم؟ در مورد طول بردار چه می توانید بگویید؟ این بردار 5 برابر بیشتر از بردار است. جهت مخالف است، اما این مهم نیست، زیرا ما در مورد طول صحبت می کنیم. بدیهی است که طول بردار برابر با حاصلضرب است مدولاعداد در طول بردار:
- علامت مدول "می خورد" منهای ممکن عدد.

بدین ترتیب:

پاسخ:

فرمول کسینوس زاویه بین بردارهایی که با مختصات مشخص می شوند

اکنون اطلاعات کاملی برای استفاده از فرمول مشتق شده قبلی برای کسینوس زاویه بین بردارها داریم بیان از طریق مختصات برداری:

کسینوس زاویه بین بردارهای صفحهو، به صورت متعارف مشخص شده است، با فرمول بیان می شود:
.

کسینوس زاویه بین بردارهای فضایی، مشخص شده بر اساس متعارف، با فرمول بیان می شود:

مثال 16

سه رأس مثلث را در نظر می گیریم. (زاویه رأس) را پیدا کنید.

راه حل:با توجه به شرایط، نقاشی مورد نیاز نیست، اما هنوز:

زاویه مورد نیاز با یک قوس سبز مشخص شده است. بیایید فوراً تعیین یک زاویه را به خاطر بسپاریم: - توجه ویژه به میانگینحرف - این راس زاویه ای است که ما نیاز داریم. برای اختصار، می توانید به سادگی بنویسید.

از رسم کاملاً واضح است که زاویه مثلث با زاویه بین بردارها منطبق است و به عبارت دیگر: .

توصیه می شود یاد بگیرید که چگونه تجزیه و تحلیل را به صورت ذهنی انجام دهید.

بیایید بردارها را پیدا کنیم:

بیایید حاصل ضرب اسکالر را محاسبه کنیم:

و طول بردارها:

کسینوس زاویه:

این دقیقاً ترتیب تکمیل کار است که من برای آدمک ها توصیه می کنم. خوانندگان پیشرفته تر می توانند محاسبات را "در یک خط" بنویسند:

در اینجا مثالی از مقدار کسینوس "بد" آورده شده است. مقدار حاصل نهایی نیست، بنابراین خلاص شدن از شر غیرعقلانی بودن در مخرج، فایده ای ندارد.

بیایید خود زاویه را پیدا کنیم:

اگر به نقاشی نگاه کنید، نتیجه کاملاً قابل قبول است. برای بررسی، زاویه را می توان با نقاله نیز اندازه گرفت. به پوشش مانیتور آسیب نزنید =)

پاسخ:

در پاسخ ما این را فراموش نمی کنیم از زاویه مثلث پرسید(و نه در مورد زاویه بین بردارها)، فراموش نکنید که پاسخ دقیق: و مقدار تقریبی زاویه را نشان دهید: ، با استفاده از ماشین حساب پیدا شد.

کسانی که از این فرآیند لذت برده اند می توانند زوایا را محاسبه کرده و صحت برابری متعارف را تأیید کنند

مثال 17

یک مثلث در فضا با مختصات رئوس آن تعریف می شود. زاویه بین اضلاع و

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس

بخش پایانی کوتاهی به پیش بینی ها اختصاص داده می شود که شامل یک محصول اسکالر نیز می شود:

طرح ریزی یک بردار بر روی یک بردار. طرح ریزی یک بردار بر روی محورهای مختصات.
کسینوس جهت یک بردار

بردارها را در نظر بگیرید و:

بیایید بردار را بر روی بردار طرح ریزی کنیم؛ برای انجام این کار، از ابتدا و انتهای بردار حذف می کنیم. عمودهابه برداری (خطوط نقطه چین سبز). تصور کنید که پرتوهای نور به صورت عمود بر بردار می افتند. سپس قطعه (خط قرمز) "سایه" بردار خواهد بود. در این حالت، طرح بردار بر روی بردار طول قطعه است. یعنی فرافکنی یک عدد است.

این NUMBER به صورت زیر نشان داده می شود: "بردار بزرگ" بردار را نشان می دهد کدامپروژه، "بردار زیرمجموعه کوچک" بردار را نشان می دهد برکه پیش بینی می شود.

خود مدخل به این صورت می‌خواند: «برداشت بردار «a» بر بردار «be».

اگر بردار "be" "خیلی کوتاه" باشد چه اتفاقی می افتد؟ یک خط مستقیم حاوی بردار "be" رسم می کنیم. و بردار "a" قبلاً پیش بینی می شود به جهت بردار "be"، به سادگی - به خط مستقیم حاوی بردار "be". همین اتفاق می افتد اگر بردار "a" در پادشاهی سی به تعویق بیفتد - همچنان به راحتی بر روی خط مستقیم حاوی بردار "be" پیش بینی می شود.

اگر زاویهبین بردارها تند(مانند تصویر)، سپس

اگر بردارها قائم، سپس (برآمدگی نقطه ای است که ابعاد آن صفر در نظر گرفته می شود).

اگر زاویهبین بردارها صریح(در شکل، پیکان برداری را به صورت ذهنی مرتب کنید)، سپس (به همان طول، اما با علامت منفی گرفته شده است).

اجازه دهید این بردارها را از یک نقطه رسم کنیم:

بدیهی است که وقتی یک بردار حرکت می کند، طرح ریزی آن تغییر نمی کند

همچنین مشکلاتی برای شما پیش خواهد آمد که خودتان آنها را حل کنید که می توانید پاسخ آنها را ببینید.

اگر در مسئله، هم طول بردارها و هم زاویه بین آنها "روی یک بشقاب نقره ای" ارائه شود، شرایط مسئله و راه حل آن به این صورت است:

مثال 1.بردارها داده شده است. حاصل ضرب اسکالر بردارها را در صورتی پیدا کنید که طول و زاویه بین آنها با مقادیر زیر نمایش داده شود:

تعریف دیگری نیز معتبر است که کاملاً معادل تعریف 1 است.

تعریف 2. حاصل ضرب اسکالر بردارها عددی (اسکالر) برابر حاصلضرب طول یکی از این بردارها و طرح بردار دیگر بر روی محوری است که توسط اولین بردار تعیین می شود. فرمول طبق تعریف 2:

با استفاده از این فرمول بعد از نکته نظری مهم بعدی مشکل را حل خواهیم کرد.

تعریف حاصل ضرب اسکالر بردارها بر حسب مختصات

اگر بردارهایی که ضرب می شوند مختصات آنها داده شود می توان همان عدد را به دست آورد.

تعریف 3.حاصل ضرب نقطه ای بردارها عددی برابر با مجموع حاصلضرب های زوجی مختصات متناظر آنهاست.

روی سطح

اگر دو بردار و روی صفحه با دو بردارشان تعریف شوند مختصات مستطیلی دکارتی

پس حاصل ضرب اسکالر این بردارها برابر است با مجموع حاصلضربهای زوجی مختصات متناظر آنها:

.

مثال 2.مقدار عددی طرح بردار را بر روی محور موازی بردار بیابید.

راه حل. حاصل ضرب اسکالر بردارها را با جمع کردن حاصل ضربات زوجی مختصات آنها می یابیم:

حال باید حاصل ضرب اسکالر حاصل را با حاصل ضرب طول بردار و برآمدگی بردار بر روی محوری موازی با بردار (مطابق با فرمول) برابر کنیم.

طول بردار را به صورت جذر مجذور مجذور مختصات آن می یابیم:

.

یک معادله ایجاد می کنیم و آن را حل می کنیم:

پاسخ. مقدار عددی مورد نیاز منهای 8 است.

در فضای

اگر دو بردار و در فضا با سه مختصات مستطیلی دکارتی آنها تعریف شوند

,

پس حاصل ضرب اسکالر این بردارها نیز برابر است با مجموع حاصلضربهای زوجی مختصات متناظر آنها، فقط در حال حاضر سه مختصات وجود دارد:

.

وظیفه یافتن حاصلضرب اسکالر با استفاده از روش در نظر گرفته شده پس از تجزیه و تحلیل خواص حاصلضرب اسکالر است. زیرا در مسئله باید تعیین کنید که بردارهای ضرب شده چه زاویه ای تشکیل می دهند.

ویژگی های حاصلضرب اسکالر بردارها

ویژگی های جبری

1. (دارایی جابجایی: معکوس کردن مکان بردارهای ضرب شده، مقدار حاصلضرب اسکالر آنها را تغییر نمی دهد).

2. (ویژگی انجمنی با توجه به یک عامل عددی: حاصل ضرب اسکالر یک بردار در یک ضریب معین و یک بردار دیگر برابر است با حاصل ضرب اسکالر این بردارها در همان ضریب).

3. (ویژگی توزیعی نسبت به مجموع بردارها: حاصل ضرب اسکالر مجموع دو بردار توسط بردار سوم برابر است با مجموع حاصلضربهای بردار اول توسط بردار سوم و بردار دوم توسط بردار سوم).

4. (مربع اسکالر بردار بزرگتر از صفراگر یک بردار غیر صفر است، و اگر یک بردار صفر است.

خواص هندسی

در تعاریف عملیات مورد مطالعه قبلاً به مفهوم زاویه بین دو بردار پرداخته ایم. وقت آن است که این مفهوم را روشن کنیم.

در شکل بالا دو بردار را می بینید که به یک مبدا مشترک آورده شده اند. و اولین چیزی که باید به آن توجه کنید این است که دو زاویه بین این بردارها وجود دارد - φ 1 و φ 2 . کدام یک از این زوایا در تعاریف و ویژگی های حاصلضرب اسکالر بردارها دیده می شود؟ مجموع زوایای در نظر گرفته شده 2 است π و بنابراین کسینوس های این زوایا برابر هستند. تعریف حاصلضرب نقطه‌ای فقط کسینوس زاویه را شامل می‌شود و مقدار بیان آن را شامل نمی‌شود. اما خواص فقط یک زاویه را در نظر می گیرند. و این یکی از دو زاویه است که تجاوز نمی کند π یعنی 180 درجه. در شکل این زاویه به صورت نشان داده شده است φ 1 .

1. دو بردار نامیده می شود قائم و زاویه بین این بردارها مستقیم است (90 درجه یا π /2)، اگر حاصل ضرب اسکالر این بردارها صفر است :

.

متعامد بودن در جبر برداری، عمود بردار بودن دو بردار است.

2. دو بردار غیر صفر تشکیل می دهند گوشه ی تیز (از 0 تا 90 درجه، یا، که یکسان است - کمتر π محصول نقطه مثبت است .

3. دو بردار غیر صفر تشکیل می دهند زاویه مبهم (از 90 تا 180 درجه، یا همان چیزی است - بیشتر π /2) اگر و فقط اگر آنها محصول نقطه ای منفی است .

مثال 3.مختصات توسط بردارها داده می شود:

.

حاصل ضربات اسکالر همه جفت بردارهای داده شده را محاسبه کنید. این جفت بردارها چه زاویه ای (حاد، راست، مبهم) تشکیل می دهند؟

راه حل. ما با جمع کردن محصولات مختصات مربوطه محاسبه خواهیم کرد.

ما یک عدد منفی گرفتیم، بنابراین بردارها یک زاویه منفرد تشکیل می دهند.

ما یک عدد مثبت دریافت کردیم، بنابراین بردارها یک زاویه تند تشکیل می دهند.

ما صفر گرفتیم، بنابراین بردارها یک زاویه قائمه تشکیل می دهند.

ما یک عدد مثبت دریافت کردیم، بنابراین بردارها یک زاویه تند تشکیل می دهند.

.

ما یک عدد مثبت دریافت کردیم، بنابراین بردارها یک زاویه تند تشکیل می دهند.

برای خودآزمایی می توانید استفاده کنید ماشین حساب آنلاین حاصل ضرب نقطه بردارها و کسینوس زاویه بین آنها .

مثال 4.با توجه به طول دو بردار و زاویه بین آنها:

.

تعیین کنید که بردارها و بردارها در چه مقداری متعامد (عمود) هستند.

راه حل. بیایید بردارها را با استفاده از قانون ضرب چند جمله ای ها ضرب کنیم:

حالا بیایید هر جمله را محاسبه کنیم:

.

بیایید یک معادله ایجاد کنیم (مضرب برابر با صفر است)، عبارت های مشابه را اضافه کرده و معادله را حل کنیم:

پاسخ: ما مقدار را دریافت کردیم λ = 1.8، که در آن بردارها متعامد هستند.

مثال 5.ثابت کنید که بردار متعامد (عمود بردار).

راه حل. برای بررسی متعامد بودن، بردارها و به صورت چندجمله‌ای را ضرب می‌کنیم و به جای عبارت داده شده در عبارت مشکل، جایگزین می‌کنیم:

.

برای انجام این کار، باید هر جمله (جمله) چند جمله‌ای اول را در هر جمله دوم ضرب کنید و محصولات حاصل را اضافه کنید:

.

در نتیجه، کسر کاهش می یابد. نتیجه زیر بدست می آید:

نتیجه‌گیری: در نتیجه ضرب به صفر رسیدیم، بنابراین تعمد (عمود) بردارها ثابت می‌شود.

خودتان مشکل را حل کنید و سپس راه حل را ببینید

مثال 6.طول بردارها و داده شده است و زاویه بین این بردارها می باشد π /4. تعیین کنید با چه ارزشی μ بردارها و بر هم عمود هستند.

برای خودآزمایی می توانید استفاده کنید ماشین حساب آنلاین حاصل ضرب نقطه بردارها و کسینوس زاویه بین آنها .

نمایش ماتریسی حاصلضرب نقطه ای بردارها و حاصلضرب بردارهای n بعدی

گاهی اوقات برای وضوح نمایش دو بردار ضرب شده در قالب ماتریس سودمند است. سپس بردار اول به عنوان یک ماتریس ردیف و دومی - به عنوان یک ماتریس ستونی نشان داده می شود:

سپس حاصل ضرب اسکالر بردارها خواهد بود حاصل ضرب این ماتریس ها :

نتیجه همان است که با روشی که قبلاً در نظر گرفتیم به دست آمده است. ما یک عدد واحد بدست آوردیم و حاصلضرب یک ماتریس ردیف با ماتریس ستون نیز یک عدد واحد است.

نمایش حاصلضرب بردارهای n بعدی انتزاعی به شکل ماتریس راحت است. بنابراین، حاصل ضرب دو بردار چهار بعدی حاصلضرب یک ماتریس ردیف با چهار عنصر توسط یک ماتریس ستونی با چهار عنصر، حاصل ضرب دو بردار پنج بعدی حاصلضرب یک ماتریس ردیف با پنج عنصر خواهد بود. یک ماتریس ستونی نیز با پنج عنصر و غیره.

مثال 7.حاصل ضربات اسکالر جفت بردارها را بیابید

,

با استفاده از نمایش ماتریسی

راه حل. اولین جفت بردارها. ما بردار اول را به عنوان یک ماتریس ردیف و دومی را به عنوان یک ماتریس ستونی نشان می دهیم. حاصل ضرب اسکالر این بردارها را حاصل ضرب یک ماتریس سطر و یک ماتریس ستونی می‌یابیم:

ما به طور مشابه جفت دوم را نشان می دهیم و پیدا می کنیم:

همانطور که می بینید، نتایج مشابه همان جفت های مثال 2 بود.

زاویه بین دو بردار

استخراج فرمول کسینوس زاویه بین دو بردار بسیار زیبا و مختصر است.

برای بیان حاصل ضرب نقطه ای بردارها

(1)

در شکل مختصات، ابتدا حاصل ضرب اسکالر بردارهای واحد را پیدا می کنیم. حاصل ضرب اسکالر یک بردار با خودش طبق تعریف:

آنچه در فرمول بالا نوشته شده به این معنی است: حاصل ضرب اسکالر یک بردار با خودش برابر است با مجذور طول آن. کسینوس صفر برابر با یک است، بنابراین مجذور هر واحد برابر با یک خواهد بود:

از آنجایی که بردارها

دو به دو عمود بر هم هستند، پس حاصل ضربات زوجی بردارهای واحد برابر با صفر خواهد بود:

حالا بیایید ضرب چند جمله ای های برداری را انجام دهیم:

مقادیر حاصلضرب اسکالر مربوطه بردارهای واحد را در سمت راست برابری جایگزین می کنیم:

فرمول کسینوس زاویه بین دو بردار را بدست می آوریم:

مثال 8.سه امتیاز داده می شود آ(1;1;1), ب(2;2;1), سی(2;1;2).

زاویه را پیدا کنید.

راه حل. پیدا کردن مختصات بردارها:

,

.

با استفاده از فرمول زاویه کسینوس بدست می آوریم:

از این رو، .

برای خودآزمایی می توانید استفاده کنید ماشین حساب آنلاین حاصل ضرب نقطه بردارها و کسینوس زاویه بین آنها .

مثال 9.دو بردار داده شده است

مجموع، اختلاف، طول، حاصل ضرب نقطه و زاویه بین آنها را بیابید.

I. حاصل ضرب اسکالر ناپدید می شود اگر و فقط اگر حداقل یکی از بردارها صفر باشد یا اگر بردارها عمود باشند. در واقع، اگر یا، یا پس از آن.

برعکس، اگر بردارهای در حال ضرب صفر نباشند، پس از این شرط

هنگامی که به شرح زیر است:

از آنجایی که جهت بردار صفر نامشخص است، بردار صفر را می توان عمود بر هر بردار در نظر گرفت. بنابراین، ویژگی نشان‌داده‌شده حاصلضرب اسکالر را می‌توان به طور خلاصه‌تر فرمول‌بندی کرد: حاصلضرب اسکالر از بین می‌رود اگر و فقط اگر بردارها عمود باشند.

II. محصول اسکالر دارای ویژگی جابجایی است:

این ویژگی مستقیماً از تعریف به دست می آید:

زیرا تعیین های مختلف برای یک زاویه.

III. قانون توزیع بسیار مهم است. کاربرد آن به اندازه حساب معمولی یا جبر است، جایی که به صورت زیر فرموله می شود: برای ضرب یک مجموع، باید هر جمله را ضرب کنید و محصولات حاصل را به آن اضافه کنید.

بدیهی است که ضرب اعداد چند ارزشی در حساب یا چندجمله ای ها در جبر بر اساس همین خاصیت ضرب است.

این قانون در جبر برداری از همان اهمیت اساسی برخوردار است، زیرا بر اساس آن می توانیم قاعده معمول برای ضرب چند جمله ای ها را در بردارها اعمال کنیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر سه بردار A، B، C برابری زیر صادق است:

با توجه به تعریف دوم حاصلضرب اسکالر که با فرمول بیان می شود، به دست می آوریم:

اکنون با اعمال ویژگی 2 پیش بینی از § 5، متوجه می شویم:

Q.E.D.

IV. محصول اسکالر دارای ویژگی ترکیب پذیری با توجه به یک عامل عددی است. این ویژگی با فرمول زیر بیان می شود:

یعنی برای ضرب حاصلضرب اسکالر بردارها در عدد کافی است یکی از عوامل را در این عدد ضرب کنیم.