>

مثال های معادلات نمایی حل معادلات نمایی. مثال ها

سخنرانی: "روش های حل معادلات نمایی".

1 . معادلات نمایی

معادلات حاوی مجهولات در توان را معادلات نمایی می نامند. ساده ترین آنها معادله ax = b است که a > 0 و a ≠ 1 است.

1) برای ب< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) برای b > 0، با استفاده از یکنواختی تابع و قضیه ریشه، معادله یک ریشه دارد. برای یافتن آن، b باید به صورت b = aс، ax = bс ó x = c یا x = logab نمایش داده شود.

معادلات نمایی از طریق تبدیل های جبری به معادلات استاندارد منتهی می شوند که با استفاده از روش های زیر حل می شوند:

1) روش کاهش به یک پایه؛

2) روش ارزیابی؛

3) روش گرافیکی؛

4) روش معرفی متغیرهای جدید.

5) روش فاکتورسازی؛

6) معادلات نمایی - توان.

7) نمایی با یک پارامتر.

2 . روش کاهش به یک پایه.

این روش بر اساس ویژگی درجات زیر است: اگر دو درجه مساوی و پایه آنها مساوی باشد، توان آنها برابر است، یعنی باید سعی شود معادله به شکل کاهش یابد.

مثال ها. معادله را حل کنید:

1 . 3x=81;

بیایید سمت راست معادله را به شکل 81 = 34 نشان دهیم و معادله را معادل 3 x = 34 اصلی بنویسیم. x = 4. پاسخ: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> و به معادله نماهای 3x+1 = 3 – 5x؛ 8x = 4 بروید. x = 0.5 پاسخ: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

توجه داشته باشید که اعداد 0.2، 0.04، √5 و 25 توان های 5 هستند. بیایید از این مزیت استفاده کنیم و معادله اصلی را به صورت زیر تبدیل کنیم:

, از آنجا 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2، که از آن راه حل x = -1 را پیدا می کنیم. پاسخ 1.

5. 3x = 5. طبق تعریف لگاریتم، x = log35. پاسخ: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

بیایید معادله را به صورت 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 بازنویسی کنیم، یعنی..png" width="181" height="49 src="> بنابراین x - 4 =0، x = 4. پاسخ: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. با استفاده از خواص توان ها معادله را به شکل e می نویسیم x+1 = 2 x =1. پاسخ 1.

بانک وظایف شماره 1.

معادله را حل کنید:

تست شماره 1.

1) 0 2) 4 3) -2 4) -4

A2 32x-8 = √3.

1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4

A3

1) 3؛ 1 2) -3؛-1 3) 0؛ 2 4) بدون ریشه

1) 7؛ 1 2) بدون ریشه 3) -7؛ 1 4) -1؛-7

A5

1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0

A6

1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

تست شماره 2

A1

1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1

A2

1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11

A3

1) 2;-1 2) بدون ریشه 3) 0 4) -2;1

A4

1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2

A5

1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 روش ارزیابی.

قضیه ریشه: اگر تابع f (x) در بازه I افزایش (کاهش) پیدا کند، عدد a هر مقداری است که با f در این بازه گرفته شود، آنگاه معادله f (x) = a دارای یک ریشه در بازه I است.

هنگام حل معادلات با روش تخمین، از این قضیه و ویژگی های یکنواختی تابع استفاده می شود.

مثال ها. حل معادلات: 1. 4x = 5 - x.

راه حل. بیایید معادله را به صورت 4x + x = 5 بازنویسی کنیم.

1. اگر x \u003d 1، پس 41 + 1 \u003d 5، 5 \u003d 5 درست است، پس 1 ریشه معادله است.

تابع f(x) = 4x در R در حال افزایش است و g(x) = x در R => h(x)= f(x)+g(x) در R به عنوان مجموع توابع افزایشی افزایش می‌یابد. بنابراین x = 1 تنها ریشه معادله 4x = 5 – x است. پاسخ 1.

2.

راه حل. معادله را در فرم بازنویسی می کنیم .

1. اگر x = -1، پس ، 3 = 3-true، بنابراین x = -1 ریشه معادله است.

2. ثابت کنید که منحصر به فرد است.

3. تابع f(x) = - در R کاهش می یابد، و g(x) = - x - در R => h(x) = f(x) + g(x) - در R کاهش می یابد، به عنوان مجموع از توابع کاهشی . بنابراین با قضیه ریشه، x = -1 تنها ریشه معادله است. پاسخ 1.

بانک وظایف شماره 2. معادله را حل کنید

الف) 4x + 1 = 6 - x;

ب)

ج) 2x – 2 =1 – x;

4. روش معرفی متغیرهای جدید.

روش در بخش 2.1 توضیح داده شده است. معرفی یک متغیر جدید (جایگزینی) معمولاً پس از تبدیل (ساده سازی) شرایط معادله انجام می شود. نمونه هایی را در نظر بگیرید.

مثال ها. آرمعادله خوردن: 1. .

بیایید معادله را متفاوت بنویسیم: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

راه حل. بیایید معادله را متفاوت بنویسیم:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> را علامت بزنید - مناسب نیست.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> یک معادله غیرمنطقی است. توجه داشته باشید که

جواب معادله x = 2.5 ≤ 4 است، بنابراین 2.5 ریشه معادله است. پاسخ: 2.5.

راه حل. بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم و هر دو طرف را بر 56x+6 ≠ 0 تقسیم کنیم. معادله را بدست می آوریم

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1، بنابراین..png" width="118" height="56">

ریشه های معادله درجه دوم - t1 = 1 و t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

راه حل . معادله را در فرم بازنویسی می کنیم

و توجه داشته باشید که یک معادله همگن درجه دوم است.

معادله را بر 42 برابر تقسیم می کنیم، به دست می آید

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> را جایگزین کنید.

پاسخ: 0; 0.5.

بانک وظیفه شماره 3. معادله را حل کنید

ب)

ز)

تست شماره 3 با انتخابی از پاسخ ها حداقل سطح.

A1

1) -0.2؛ 2 2) log52 3) –log52 4) 2

A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.

1) 2؛ 1 2) -1؛ 0 3) بدون ریشه 4) 0

1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5

A4 52x-5x - 600 = 0.

1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2

1) بدون ریشه 2) 2؛ 4 3) 3 4) -1؛ 2

تست شماره 4 با انتخابی از پاسخ ها سطح عمومی.

A1

1) 2؛ 1 2) ½؛ 0 3) 2؛ 0 4) 0

А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0

1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1

1) 64 2) -14 3) 3 4) 8

1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0

A5

1) 0 2) 1 3) 0؛ 1 4) بدون ریشه

5. روش فاکتورسازی.

1. معادله را حل کنید: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69">، از کجا

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

راه حل. اجازه دهید 6 برابر در سمت چپ معادله و 2 برابر در سمت راست معادله را برداریم. معادله 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x را بدست می آوریم.

از آنجایی که 2x>0 برای همه x، می‌توانیم هر دو طرف این معادله را بر 2x تقسیم کنیم، بدون ترس از از دست دادن راه‌حل. ما 3x = 1- x = 0 دریافت می کنیم.

3.

راه حل. معادله را با فاکتورگیری حل می کنیم.

مربع دو جمله ای را انتخاب می کنیم

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ریشه معادله است.

معادله x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

تست شماره 6 سطح عمومی.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.

1) ½ 2) 2 3) -1؛ 3 4) 0.2

A2

1) 2.5 2) 3؛ 4 3) log43/2 4) 0

A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.

1) 2 2) -1 3) 3 4) -3

A4

1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4

A5

1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. معادلات نمایی - توان.

معادلات نمایی با معادلات به اصطلاح توان نمایی، یعنی معادلات به شکل (f(x))g(x) = (f(x))h(x) به یکدیگر متصل می شوند.

اگر معلوم شود که f(x)> 0 و f(x) ≠ 1، آنگاه معادله، مانند نمایی، با معادل سازی توان های g(x) = f(x) حل می شود.

اگر شرط امکان f(x)=0 و f(x)=1 را رد نکند، باید این موارد را هنگام حل معادله توان نمایی در نظر بگیریم.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

راه حل. x2 +2x-8 - برای هر x منطقی است، زیرا یک چند جمله ای است، بنابراین معادله معادل مجموعه است

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

ب)

7. معادلات نمایی با پارامترها.

1. معادله 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) برای چه مقادیری از پارامتر p یک راه حل منحصر به فرد دارد؟

راه حل. اجازه دهید تغییر 2x = t، t > 0 را معرفی کنیم، سپس رابطه (1) به شکل t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 خواهد بود. (2)

ممیز معادله (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2 است.

اگر معادله (2) یک ریشه مثبت داشته باشد، معادله (1) یک راه حل منحصر به فرد دارد. این امر در موارد زیر امکان پذیر است.

1. اگر D = 0، یعنی p = 1، معادله (2) به شکل t2 – 2t + 1 = 0 خواهد بود، بنابراین t = 1، بنابراین، معادله (1) یک جواب منحصر به فرد x = 0 دارد.

2. اگر p1، آنگاه 9(p – 1)2 > 0، آنگاه معادله (2) دارای دو ریشه مختلف t1 = p، t2 = 4p – 3 است. مجموعه سیستم ها شرط مسئله را برآورده می کند.

جایگزینی t1 و t2 در سیستم ها، داریم

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

راه حل. اجازه دهید سپس معادله (3) به شکل t2 – 6t – a = 0 خواهد بود. (4)

اجازه دهید مقادیر پارامتر a را پیدا کنیم که حداقل یک ریشه از معادله (4) شرط t> 0 را برآورده کند.

اجازه دهید تابع f(t) = t2 – 6t – a را معرفی کنیم. موارد زیر ممکن است.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

مورد 2. معادله (4) یک راه حل مثبت منحصر به فرد دارد اگر

D = 0، اگر a = – 9 باشد، معادله (4) به شکل (t – 3) 2 = 0، t = 3، x = – 1 خواهد بود.

مورد 3. معادله (4) دارای دو ریشه است، اما یکی از آنها نابرابری t > 0 را برآورده نمی کند. این در صورتی امکان پذیر است که

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

بنابراین، در a 0 معادله (4) یک ریشه مثبت دارد . سپس معادله (3) یک راه حل منحصر به فرد دارد

برای یک< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

اگر یک< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
اگر a = – 9، آنگاه x = – 1.

اگر a  0 باشد، آنگاه

اجازه دهید روش های حل معادلات (1) و (3) را با هم مقایسه کنیم. توجه داشته باشید که هنگام حل معادله (1) به یک معادله درجه دوم که ممیز آن یک مربع کامل است کاهش یافت. به این ترتیب ریشه های معادله (2) بلافاصله با فرمول ریشه های معادله درجه دوم محاسبه شد و سپس در مورد این ریشه ها نتیجه گیری شد. معادله (3) به یک معادله درجه دوم (4) تقلیل یافت که ممیز آن یک مربع کامل نیست، بنابراین هنگام حل معادله (3) توصیه می شود از قضایایی در مورد محل ریشه های یک مثلث مربع استفاده شود و یک مدل گرافیکی توجه داشته باشید که معادله (4) را می توان با استفاده از قضیه Vieta حل کرد.

بیایید معادلات پیچیده تری را حل کنیم.

وظیفه 3. معادله را حل کنید

راه حل. ODZ: x1، x2.

بیایید جایگزینی را معرفی کنیم. فرض کنید 2x = t، t > 0، سپس در نتیجه تبدیل ها، معادله به شکل t2 + 2t - 13 - a = 0 خواهد بود. (*) اجازه دهید مقادیر a را پیدا کنیم که حداقل یک ریشه معادله (*) شرط t > 0 را برآورده می کند.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

پاسخ: اگر a > - 13، a  11، a  5، سپس اگر a - 13،

a = 11، a = 5، پس هیچ ریشه ای وجود ندارد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. Guzeev مبانی فناوری آموزشی.

2. تکنولوژی Guzeev: از پذیرش تا فلسفه.

م. "مدیر مدرسه" شماره 4، 1375

3. Guzeev و اشکال سازمانی آموزش.

4. گوزیف و تمرین فناوری آموزشی یکپارچه.

م. «آموزش مردم»، 1380

5. Guzeev از فرم های درس - سمینار.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 1366، ص 9 - 11.

6. فن آوری های آموزشی Selevko.

م. «آموزش مردم»، 1377

7. دانش آموزان مدرسه Episheva ریاضیات را یاد می گیرند.

م. "روشنگری"، 1990

8. ایوانف برای آماده سازی دروس - کارگاه های آموزشی.

ریاضیات در مدرسه شماره 6، 1369، ص. 37-40.

9. مدل اسمیرنوف تدریس ریاضی.

ریاضیات در مدرسه شماره 1، 1376، ص. 32-36.

10. Tarasenko راه های سازماندهی کار عملی.

ریاضیات در مدرسه شماره 1، 1372، ص. 27 - 28.

11. در مورد یکی از انواع کار فردی.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 94، ص 63 - 64.

12. توانایی های خازنکین خلاق دانش آموزان.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 1368، ص. 10.

13. اسکانوی. ناشر، 1997

14. و همکاران جبر و آغاز تحلیل. مواد آموزشی برای

15. وظایف Krivonogov در ریاضیات.

م. "اول سپتامبر"، 2002

16. چرکاسوف. کتاب راهنمای دانش آموزان دبیرستانی و

ورود به دانشگاه ها "A S T - مدرسه مطبوعات"، 2002

17. Zhevnyak برای متقاضیان دانشگاه.

مینسک و RF "بررسی"، 1996

18. کتبی د. آماده شدن برای امتحان در ریاضیات. M. Rolf، 1999

19. و دیگران یادگیری حل معادلات و نابرابری ها.

م. «عقل – مرکز»، 1382

20. و موارد دیگر. مواد آموزشی و آموزشی برای آمادگی برای E G E.

م. «عقل – مرکز»، 1382 و 1383

21 و دیگران. انواع CMM. مرکز تست وزارت دفاع فدراسیون روسیه، 2002، 2003

22. معادلات گلدبرگ. "کوانتوم" شماره 3، 1971

23. Volovich M. چگونه ریاضیات را با موفقیت تدریس کنیم.

ریاضی، 1376 شماره 3.

24 Okunev برای درس، بچه ها! م. روشنگری، 1988

25. Yakimanskaya - آموزش گرا در مدرسه.

26. Liimets در درس کار می کنند. م. دانش، 1975

در این درس، حل معادلات نمایی پیچیده تر را در نظر می گیریم، مفاد نظری اصلی در مورد تابع نمایی را یادآوری می کنیم.

1. تعریف و خواص تابع نمایی، تکنیکی برای حل ساده ترین معادلات نمایی

تعریف و ویژگی های اصلی یک تابع نمایی را به خاطر بیاورید. حل تمام معادلات نمایی و نابرابری ها بر اساس خواص است.

تابع نماییتابعی از فرم است که در آن پایه درجه است و در اینجا x یک متغیر مستقل، یک آرگومان است. y - متغیر وابسته، تابع.

برنج. 1. نمودار تابع نمایی

نمودار یک توان افزایش و کاهش را نشان می دهد که تابع نمایی را به ترتیب در پایه بزرگتر از یک و کوچکتر از یک اما بزرگتر از صفر نشان می دهد.

هر دو منحنی از نقطه (0;1) عبور می کنند

ویژگی های تابع نمایی:

دامنه: ؛

محدوده مقادیر: ;

تابع یکنواخت است، افزایش می یابد، کاهش می یابد.

یک تابع یکنواخت هر یک از مقادیر خود را با یک مقدار آرگومان می گیرد.

وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی‌نهایت افزایش می‌یابد، تابع از صفر، شامل، به اضافه بی‌نهایت افزایش می‌یابد. برعکس، وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی نهایت افزایش می یابد، تابع از بینهایت به صفر کاهش می یابد.

2. حل معادلات نمایی معمولی

نحوه حل ساده ترین معادلات نمایی را به یاد بیاورید. حل آنها بر اساس یکنواختی تابع نمایی است. تقریباً تمام معادلات نمایی پیچیده به چنین معادلاتی کاهش می یابد.

برابری توان های با پایه های مساوی به دلیل خاصیت تابع نمایی، یعنی یکنواختی آن است.

روش حل:

پایه درجات را برابر کنید.

نماها را برابر کنید.

بیایید به معادلات نمایی پیچیده تر برویم، هدف ما کاهش هر یک از آنها به ساده ترین آنها است.

بیایید از ریشه سمت چپ خلاص شویم و درجه ها را به همان پایه کاهش دهیم:

به منظور کاهش یک معادله نمایی پیچیده به یک معادله ساده، اغلب از تغییر متغیرها استفاده می شود.

بیایید از ویژگی درجه استفاده کنیم:

ما جایگزین معرفی می کنیم. بگذار پس

معادله حاصل را در دو ضرب می کنیم و تمام عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم:

ریشه اول بازه مقادیر y را برآورده نمی کند، آن را کنار می گذاریم. ما گرفتیم:

بیایید درجه ها را به همان شاخص برسانیم:

ما یک جایگزین را معرفی می کنیم:

بگذار پس . با این جایگزینی، بدیهی است که y مقادیر کاملاً مثبت می گیرد. ما گرفتیم:

ما می دانیم که چگونه معادلات درجه دوم مشابه را حل کنیم، پاسخ را می نویسیم:

برای اطمینان از درست یافتن ریشه ها، می توانید طبق قضیه ویتا بررسی کنید، یعنی مجموع ریشه ها و حاصل ضرب آنها را بیابید و با ضرایب مربوطه معادله بررسی کنید.

ما گرفتیم:

3. تکنیک حل معادلات نمایی همگن درجه دو

اجازه دهید نوع مهم معادلات نمایی زیر را مطالعه کنیم:

معادلات این نوع با توجه به توابع f و g همگن درجه دوم نامیده می شوند. در سمت چپ آن یک مثلث مربع نسبت به f با پارامتر g یا یک مثلث مربع نسبت به g با پارامتر f وجود دارد.

روش حل:

این معادله را می توان به عنوان یک معادله درجه دوم حل کرد، اما انجام آن برعکس آسان تر است. دو مورد باید در نظر گرفته شود:

در حالت اول می گیریم

در حالت دوم، ما حق داریم بر بالاترین درجه تقسیم کنیم و به دست می آوریم:

شما باید یک تغییر از متغیرها را معرفی کنید، ما یک معادله درجه دوم برای y دریافت می کنیم:

توجه داشته باشید که توابع f و g می توانند دلخواه باشند، اما ما علاقه مندیم که اینها توابع نمایی باشند.

4. نمونه هایی از حل معادلات همگن

بیایید همه عبارت ها را به سمت چپ معادله منتقل کنیم:

از آنجایی که توابع نمایی مقادیر کاملاً مثبت به دست می آورند، ما این حق را داریم که بلافاصله معادله را بدون در نظر گرفتن موارد زیر تقسیم کنیم:

ما گرفتیم:

ما یک جایگزین را معرفی می کنیم: (با توجه به ویژگی های تابع نمایی)

یک معادله درجه دوم بدست آوردیم:

ما ریشه ها را با توجه به قضیه Vieta تعیین می کنیم:

ریشه اول بازه مقادیر y را برآورده نمی کند، آن را کنار می گذاریم، دریافت می کنیم:

بیایید از خواص درجه استفاده کنیم و همه درجات را به مبانی ساده کاهش دهیم:

به راحتی می توان به توابع f و g توجه کرد:

از آنجایی که توابع نمایی مقادیر کاملاً مثبت به دست می‌آورند، ما حق داریم معادله را بدون در نظر گرفتن حالتی که به آن تقسیم کنیم.

به کانال یوتیوب سایت ما برای آگاهی از تمام دروس ویدیویی جدید.

ابتدا بیایید فرمول های اصلی درجه ها و خواص آنها را یادآوری کنیم.

محصول یک عدد آ n بار روی خودش اتفاق می افتد، می توانیم این عبارت را به صورت a … a=a n بنویسیم

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

قدرت یا معادلات نمایی- اینها معادلاتی هستند که در آنها متغیرها در توان (یا توان) هستند و مبنا یک عدد است.

نمونه هایی از معادلات نمایی:

در این مثال، عدد 6 پایه است، همیشه در پایین و متغیر است ایکسدرجه یا اندازه گیری

اجازه دهید مثال های بیشتری از معادلات نمایی ارائه دهیم.
2*5=10
16x-4x-6=0

حال بیایید ببینیم معادلات نمایی چگونه حل می شوند؟

بیایید یک معادله ساده در نظر بگیریم:

2 x = 2 3

چنین مثالی حتی در ذهن هم قابل حل است. مشاهده می شود که x=3. از این گذشته ، برای اینکه سمت چپ و راست برابر باشند ، باید به جای x عدد 3 را قرار دهید.
حال بیایید ببینیم این تصمیم چگونه باید گرفته شود:

2 x = 2 3
x = 3

برای حل این معادله حذف کردیم همین زمینه ها(یعنی دئوس) و آنچه باقی مانده را بنویسد، اینها درجات است. جوابی که دنبالش بودیم گرفتیم.

حالا بیایید راه حل خود را خلاصه کنیم.

الگوریتم حل معادله نمایی:
1. نیاز به بررسی همانچه پایه های معادله در سمت راست و چه در سمت چپ. اگر زمینه ها یکسان نیست، ما به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال هستیم.
2. بعد از یکسان شدن پایه ها، برابر کردندرجه و معادله جدید حاصل را حل کنید.

حالا بیایید چند مثال را حل کنیم:

بیایید ساده شروع کنیم.

پایه های سمت چپ و راست برابر با عدد 2 هستند، یعنی می توانیم پایه را دور بیندازیم و درجات آنها را برابر کنیم.

x+2=4 ساده ترین معادله به دست آمده است.
x=4 - 2
x=2
پاسخ: x=2

در مثال زیر می بینید که پایه ها متفاوت هستند، اینها 3 و 9 هستند.

3 3x - 9 x + 8 = 0

برای شروع، نه را به سمت راست منتقل می کنیم، دریافت می کنیم:

حالا باید همان پایه ها را درست کنید. می دانیم که 9=3 2 . بیایید از فرمول توان (a n) m = a nm استفاده کنیم.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

ما 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 دریافت می کنیم

3 3x \u003d 3 2x + 16 اکنون مشخص است که پایه های سمت چپ و راست یکسان و برابر با سه هستند، یعنی می توانیم آنها را دور بیندازیم و درجه ها را برابر کنیم.

3x=2x+16 ساده ترین معادله را بدست آورد
3x-2x=16
x=16
پاسخ: x=16.

بیایید به مثال زیر نگاه کنیم:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

اول از همه به پایه ها نگاه می کنیم، پایه ها دو و چهار متفاوت است. و ما باید همینطور باشیم. ما چهارگانه را مطابق فرمول (a n) m = a nm تبدیل می کنیم.

4 x = (2 2) x = 2 2x

و همچنین از یک فرمول a n a m = a n + m استفاده می کنیم:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

به معادله اضافه کنید:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

به همین دلایل مثال زدیم. اما اعداد 10 و 24 دیگر با ما تداخل دارند با آنها چه کنیم؟ اگر با دقت نگاه کنید، می بینید که در سمت چپ ما 2 2 برابر را تکرار می کنیم، در اینجا پاسخ است - می توانیم 2 2x را خارج از پرانتز قرار دهیم:

2 2x (2 4 - 10) = 24

بیایید عبارت داخل پرانتز را محاسبه کنیم:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

کل معادله را بر 6 تقسیم می کنیم:

4=2 2 را تصور کنید:

2 پایه 2x \u003d 2 2 یکسان هستند، آنها را دور بیندازید و درجه ها را برابر کنید.
2x \u003d 2 ساده ترین معادله بود. آن را بر 2 تقسیم می کنیم، به دست می آوریم
x = 1
پاسخ: x = 1.

بیایید معادله را حل کنیم:

9 x - 12*3 x +27 = 0

بیایید تبدیل کنیم:
9 x = (3 2) x = 3 2x

معادله را بدست می آوریم:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

پایه های ما یکسان هستند، برابر با سه، در این مثال، مشخص است که سه گانه اول دارای درجه ای دو برابر (2x) نسبت به دوم (فقط x) است. در این صورت می توانید تصمیم بگیرید روش جایگزینی. عددی که کمترین درجه را دارد با:

سپس 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

تمام درجه ها را با x در معادله t جایگزین می کنیم:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
یک معادله درجه دوم بدست می آوریم. ما از طریق تفکیک حل می کنیم، دریافت می کنیم:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

بازگشت به متغیر ایکس.

ما t 1 را می گیریم:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

به این معنا که،

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

یک ریشه پیدا شد. ما به دنبال مورد دوم هستیم، از t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
پاسخ: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

در سایت می توانید در بخش HELP DECIDE سوالات مورد علاقه خود را بپرسید، ما قطعا به شما پاسخ خواهیم داد.

به یک گروه بپیوندید

معادلات نمایی نامیده می شوند که مجهول در توان وجود داشته باشد. ساده ترین معادله نمایی به این شکل است: a x \u003d a b، که در آن a> 0، و 1، x مجهول است.

ویژگی های اصلی درجه ها که به کمک آنها معادلات نمایی تبدیل می شوند: a>0، b>0.

هنگام حل معادلات نمایی، از خواص زیر تابع نمایی نیز استفاده می شود: y = a x، a > 0، a1:

برای نمایش یک عدد به عنوان توان، از هویت لگاریتمی پایه استفاده می شود: b = , a > 0, a1, b > 0.

وظایف و تست های موضوع "معادلات نمایی"

  • معادلات نمایی

    درس: 4 تکلیف: 21 تست: 1

  • معادلات نمایی - مباحث مهم برای تکرار امتحان در ریاضی

    وظایف: 14

  • سیستم های معادلات نمایی و لگاریتمی - توابع نمایی و لگاریتمی درجه 11

    درس: 1 تکلیف: 15 تست: 1

  • §2.1. حل معادلات نمایی

    درس: 1 تکالیف: 27

  • §7 معادلات و نابرابری های نمایی و لگاریتمی - بخش 5. توابع نمایی و لگاریتمی درجه 10

    درس: 1 تکالیف: 17

برای حل موفقیت آمیز معادلات نمایی، باید ویژگی های پایه توان ها، ویژگی های یک تابع نمایی و هویت لگاریتمی پایه را بدانید.

هنگام حل معادلات نمایی، از دو روش اصلی استفاده می شود:

  1. انتقال از معادله a f(x) = a g(x) به معادله f(x) = g(x);
  2. معرفی خطوط جدید

مثال ها.

1. معادلات کاهش به ساده ترین. آنها با آوردن هر دو طرف معادله به توانی با پایه یکسان حل می شوند.

3x \u003d 9x - 2.

راه حل:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

پاسخ: 4.

2. معادلات حل شده با براکت کردن عامل مشترک.

راه حل:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

پاسخ: 3.

3. معادلات حل شده با تغییر متغیر.

راه حل:

2 2x + 2 x - 12 = 0
2 x \u003d y را نشان می دهیم.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
الف) 2 x = - 4. معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا 2 x > 0.
ب) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

پاسخ:لاگ 2 3.

4. معادلات حاوی توان با دو پایه متفاوت (غیر قابل تقلیل).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
× 23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

پاسخ: 2.

5. معادلاتی که نسبت به x و b x همگن هستند.

فرم کلی: .

9 x + 4 x = 2.5 x 6 x .

راه حل:

3 2x - 2.5 × 2x 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
(3/2) x = y را نشان می دهیم.
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

پاسخ: log 3/2 2; - لاگ 3/2 2.

در مرحله آمادگی برای آزمون نهایی، دانش آموزان دبیرستانی باید دانش خود را در مورد "معادلات نمایی" ارتقا دهند. تجربه سال های گذشته نشان می دهد که چنین وظایفی برای دانش آموزان مشکلات خاصی ایجاد می کند. بنابراین، دانش آموزان دبیرستانی، صرف نظر از سطح آمادگی خود، نیاز به تسلط دقیق بر نظریه، حفظ فرمول ها و درک اصل حل این گونه معادلات دارند. فارغ التحصیلان با آموختن کنار آمدن با این نوع وظایف، می توانند هنگام قبولی در امتحان ریاضی روی نمرات بالایی حساب کنند.

همراه با Shkolkovo برای تست امتحان آماده شوید!

هنگام تکرار مطالب تحت پوشش، بسیاری از دانش آموزان با مشکل یافتن فرمول های مورد نیاز برای حل معادلات مواجه می شوند. کتاب درسی مدرسه همیشه در دسترس نیست و انتخاب اطلاعات لازم در مورد یک موضوع در اینترنت زمان زیادی می برد.

پورتال آموزشی Shkolkovo از دانش آموزان دعوت می کند تا از پایگاه دانش ما استفاده کنند. ما در حال اجرای یک روش کاملاً جدید برای آمادگی برای آزمون نهایی هستیم. با مطالعه در سایت ما، می توانید شکاف های دانش را شناسایی کنید و دقیقاً به آن دسته از وظایفی که بیشترین مشکلات را ایجاد می کنند توجه کنید.

معلمان "Skolkovo" تمام مطالب لازم برای گذراندن موفقیت آمیز امتحان را به ساده ترین و در دسترس ترین شکل جمع آوری، نظام مند و ارائه کردند.

تعاریف و فرمول های اصلی در بخش «مرجع نظری» ارائه شده است.

برای جذب بهتر مطالب، توصیه می کنیم تکالیف را تمرین کنید. مثال های معادلات نمایی با راه حل های ارائه شده در این صفحه را با دقت مرور کنید تا الگوریتم محاسبات را درک کنید. پس از آن، وظایف موجود در بخش "کاتالوگ ها" را ادامه دهید. می توانید با ساده ترین کارها شروع کنید یا مستقیماً به حل معادلات نمایی پیچیده با چندین مجهول یا . پایگاه داده تمرینات در وب سایت ما به طور مداوم تکمیل و به روز می شود.

نمونه هایی با شاخص هایی که برای شما مشکل ایجاد کرده اند را می توان به "موارد دلخواه" اضافه کرد. بنابراین می توانید به سرعت آنها را پیدا کنید و راه حل را با معلم در میان بگذارید.

برای موفقیت در امتحان، هر روز در پورتال Shkolkovo مطالعه کنید!