حداقل مضرب مشترک سه عدد. مقسوم علیه مشترک و مضرب

بیایید بحث را در مورد کمترین مضرب مشترک که در بخش LCM - کمترین مضرب مشترک، تعریف، مثال شروع کردیم، ادامه دهیم. در این مبحث به روش هایی برای یافتن LCM برای سه عدد یا بیشتر می پردازیم، این سوال را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که چگونه LCM یک عدد منفی را پیدا کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

محاسبه کمترین مضرب مشترک (LCM) از طریق gcd

ما قبلاً رابطه بین کمترین مضرب مشترک و بزرگترین مقسوم علیه مشترک را ایجاد کرده ایم. حالا بیایید یاد بگیریم که چگونه LCM را از طریق GCD تعریف کنیم. ابتدا بیایید بفهمیم که چگونه این کار را برای اعداد مثبت انجام دهیم.

تعریف 1

با استفاده از فرمول LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) می توانید کمترین مضرب مشترک را از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک پیدا کنید.

مثال 1

باید LCM اعداد 126 و 70 را پیدا کرد.

راه حل

بیایید a = 126، b = 70 را در نظر بگیریم. مقادیر موجود در فرمول را برای محاسبه کمترین مضرب مشترک از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) جایگزین کنید.

GCD اعداد 70 و 126 را پیدا می کند. برای این ما به الگوریتم اقلیدس نیاز داریم: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , از این رو gcd (126 , 70) = 14 .

بیایید LCM را محاسبه کنیم: LCM (126، 70) = 126 70: GCD (126، 70) = 126 70: 14 = 630.

پاسخ: LCM (126، 70) = 630.

مثال 2

نوک اعداد 68 و 34 را پیدا کنید.

راه حل

یافتن GCD در این مورد آسان است، زیرا 68 بر 34 بخش پذیر است. حداقل مضرب مشترک را با استفاده از فرمول محاسبه کنید: LCM (68، 34) = 68 34: GCD (68، 34) = 68 34: 34 = 68.

پاسخ: LCM(68، 34) = 68.

در این مثال از قانون برای یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد صحیح مثبت a و b استفاده کردیم: اگر عدد اول بر عدد دوم بخش پذیر باشد، LCM این اعداد برابر با عدد اول خواهد بود.

یافتن LCM با فاکتورگیری اعداد به فاکتورهای اولیه

حال بیایید به راهی برای یافتن LCM نگاه کنیم که بر اساس تجزیه اعداد به عوامل اول است.

تعریف 2

برای یافتن کمترین مضرب مشترک، باید چند مرحله ساده را انجام دهیم:

• ما حاصل ضرب همه ضرایب اول اعدادی را که برای آنها باید LCM را پیدا کنیم، تشکیل می دهیم.
• ما همه عوامل اصلی را از محصولات به دست آمده آنها حذف می کنیم.
• حاصلضرب پس از حذف ضرایب اول مشترک برابر با LCM اعداد داده شده خواهد بود.

این روش برای یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس برابری LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) است. اگر به فرمول نگاه کنید، مشخص می شود: حاصل ضرب اعداد a و b برابر است با حاصلضرب همه عواملی که در گسترش این دو عدد نقش دارند. در این حالت، GCD دو عدد برابر است با حاصلضرب تمام عوامل اولی که همزمان در فاکتورگیری این دو عدد وجود دارند.

مثال 3

ما دو عدد 75 و 210 داریم. می توانیم آنها را به صورت زیر در نظر بگیریم: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. اگر حاصل ضرب همه ضرایب دو عدد اصلی را بسازید، به دست می آورید: 2 3 3 5 5 5 7.

اگر عوامل مشترک هر دو عدد 3 و 5 را حذف کنیم، حاصلضرب شکل زیر به دست می آید: 2 3 5 5 7 = 1050. این محصول LCM ما برای اعداد 75 و 210 خواهد بود.

مثال 4

LCM اعداد را پیدا کنید 441 و 700 ، هر دو عدد را به عوامل اول تجزیه می کند.

راه حل

بیایید همه عوامل اول اعداد داده شده در شرط را پیدا کنیم:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

دو زنجیره اعداد بدست می آوریم: 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7 .

حاصلضرب تمام عواملی که در گسترش این اعداد مشارکت داشته اند به صورت زیر خواهد بود: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. بیایید عوامل مشترک را پیدا کنیم. این عدد 7 است. ما آن را از محصول کلی حذف می کنیم: 2 2 3 3 5 5 7 7. معلوم می شود که NOC (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

پاسخ: LCM (441، 700) = 44 100.

اجازه دهید یک فرمول دیگر از روش برای یافتن LCM با تجزیه اعداد به عوامل اول ارائه دهیم.

تعریف 3

قبلاً، ما از تعداد کل عوامل مشترک برای هر دو عدد حذف شدیم. حالا ما این کار را متفاوت انجام خواهیم داد:

• بیایید هر دو عدد را به عوامل اول تجزیه کنیم:
• به حاصل ضرب ضرایب اول عدد اول عوامل گمشده عدد دوم را اضافه کنید.
• حاصلضرب را بدست می آوریم که LCM مورد نظر دو عددی خواهد بود.

مثال 5

بیایید به اعداد 75 و 210 برگردیم که قبلاً در یکی از نمونه‌های قبلی به دنبال LCM بودیم. بیایید آنها را به عوامل ساده تقسیم کنیم: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. به حاصل ضرب عوامل 3، 5 و 5 شماره 75 فاکتورهای گمشده را اضافه کنید 2 و 7 اعداد 210 . ما گرفتیم: 2 3 5 5 7 .این LCM اعداد 75 و 210 است.

مثال 6

محاسبه LCM اعداد 84 و 648 ضروری است.

راه حل

بیایید اعداد را از شرط به عوامل اول تجزیه کنیم: 84 = 2 2 3 7و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. به حاصل ضرب عوامل 2، 2، 3 و 7 اعداد 84 عوامل گمشده 2، 3، 3 و
3 شماره های 648 . ما محصول را دریافت می کنیم 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .این کمترین مضرب مشترک 84 و 648 است.

پاسخ: LCM (84، 648) = 4536.

یافتن LCM سه یا چند عدد

صرف نظر از اینکه با چند عدد سروکار داریم، الگوریتم اقدامات ما همیشه یکسان خواهد بود: ما به طور مداوم LCM دو عدد را پیدا می کنیم. یک قضیه برای این مورد وجود دارد.

قضیه 1

فرض کنید اعداد صحیح داریم a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kاز این اعداد در محاسبات متوالی m 2 = LCM (a 1 , a 2 ) , m 3 = LCM (m 2 , a 3 ) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) یافت می شود.

حال بیایید ببینیم که چگونه می توان این قضیه را برای مسائل خاص اعمال کرد.

مثال 7

شما باید حداقل مضرب مشترک چهار عدد 140، 9، 54 و را محاسبه کنید 250 .

راه حل

بیایید نماد را معرفی کنیم: a 1 \u003d 140 ، a 2 \u003d 9 ، a 3 \u003d 54 ، a 4 \u003d 250.

بیایید با محاسبه m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) شروع کنیم. بیایید از الگوریتم اقلیدسی برای محاسبه GCD اعداد 140 و 9 استفاده کنیم: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . دریافت می کنیم: GCD(140، 9) = 1، LCM(140، 9) = 140 9: GCD(140، 9) = 140 9: 1 = 1260. بنابراین، m 2 = 1 260 .

حالا بیایید طبق همان الگوریتم محاسبه کنیم m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54). در طول محاسبات، m 3 = 3 780 بدست می آوریم.

باقی مانده است که m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) محاسبه کنیم. ما طبق همان الگوریتم عمل می کنیم. m 4 \u003d 94 500 دریافت می کنیم.

LCM چهار عدد از شرط مثال 94500 است.

پاسخ: LCM (140، 9، 54، 250) = 94500.

همانطور که می بینید، محاسبات ساده، اما بسیار پر زحمت هستند. برای صرفه جویی در زمان، می توانید از راه دیگری بروید.

تعریف 4

ما الگوریتم اقدامات زیر را به شما پیشنهاد می کنیم:

• همه اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید.
• به حاصل ضرب ضرایب عدد اول، عوامل گمشده را از حاصل ضرب عدد دوم اضافه کنید.
• فاکتورهای گمشده عدد سوم را به محصول به دست آمده در مرحله قبل و غیره اضافه کنید.
• حاصلضرب حاصل حداقل مضرب مشترک همه اعداد شرط خواهد بود.

مثال 8

لازم است LCM پنج عدد 84، 6، 48، 7، 143 را پیدا کنید.

راه حل

بیایید هر پنج عدد را به عوامل اول تجزیه کنیم: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . اعداد اول که عدد 7 است را نمی توان در فاکتورهای اول قرار داد. چنین اعدادی با تجزیه آنها به عوامل اول همزمان است.

حالا حاصل ضرب ضرایب اول 2، 2، 3 و 7 عدد 84 را گرفته و ضرایب گمشده عدد دوم را به آنها اضافه می کنیم. عدد 6 را به 2 و 3 تبدیل کرده ایم. این عوامل قبلاً در حاصل ضرب عدد اول هستند. بنابراین، آنها را حذف می کنیم.

ما به اضافه کردن ضریب های گمشده ادامه می دهیم. به عدد 48 می رویم که از حاصل ضرب ضرایب اول آن 2 و 2 را می گیریم. سپس ضریب ساده 7 را از عدد چهارم و ضریب های 11 و 13 عدد پنجم را اضافه می کنیم. دریافت می کنیم: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. این کمترین مضرب مشترک از پنج عدد اصلی است.

پاسخ: LCM (84، 6، 48، 7، 143) = 48،048.

یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد منفی

برای یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد منفی ابتدا باید این اعداد با اعدادی با علامت مخالف جایگزین شوند و سپس طبق الگوریتم های فوق محاسبات انجام شود.

مثال 9

LCM(54، -34) = LCM(54، 34) و LCM(-622، -46، -54، -888) = LCM(622، 46، 54، 888).

این گونه اعمال از این جهت جایز است که اگر پذیرفته شود آو - الف- اعداد مخالف
سپس مجموعه مضرب ها آبا مجموعه مضرب یک عدد منطبق است - الف.

مثال 10

محاسبه LCM اعداد منفی ضروری است − 145 و − 45 .

راه حل

بیایید اعداد را تغییر دهیم − 145 و − 45 به اعداد مخالف خود 145 و 45 . اکنون، با استفاده از الگوریتم، LCM (145، 45) = 145 45 را محاسبه می کنیم: GCD (145، 45) = 145 45: 5 = 1 305، که قبلاً GCD را با استفاده از الگوریتم اقلیدس تعیین کرده ایم.

دریافت می کنیم که LCM اعداد - 145 و − 45 برابر است 1 305 .

پاسخ: LCM (- 145، 45-) = 1 305.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

شماره دوم: b=

جداکننده رقمبدون جداکننده فضا "'

نتیجه:

بزرگترین مقسوم علیه gcd( آ,ب)=6

کمترین مضرب مشترک LCM( آ,ب)=468

بزرگترین عدد طبیعی که اعداد a و b بدون باقیمانده بر آن بخش پذیرند نامیده می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترک(gcd) از این اعداد. به gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) یا hcf(a,b) نشان داده شده است.

کمترین مضرب مشترک(LCM) از دو عدد صحیح a و b کوچکترین عدد طبیعی است که بدون باقیمانده بر a و b بخش پذیر است. LCM(a,b) یا lcm(a,b) نشان داده می شود.

اعداد صحیح a و b نامیده می شوند coprimeاگر هیچ مقسوم علیه مشترک دیگری به جز +1 و -1 نداشته باشند.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک

بگذارید دو عدد مثبت داده شود آ 1 و آ 2 1). لازم است یک مقسوم علیه مشترک این اعداد پیدا شود، یعنی. چنین عددی را پیدا کنید λ ، که اعداد را تقسیم می کند آ 1 و آ 2 به طور همزمان. بیایید الگوریتم را شرح دهیم.

1) در این مقاله کلمه عدد به معنای یک عدد صحیح خواهد بود.

اجازه دهید آ 1 ≥ آ 2 و اجازه دهید

جایی که متر 1 , آ 3 تعدادی اعداد صحیح هستند، آ 3 <آ 2 (باقی مانده از تقسیم آ 1 در آ 2 باید کمتر باشد آ 2).

بیایید وانمود کنیم که λ تقسیم می کند آ 1 و آ 2، سپس λ تقسیم می کند متر 1 آ 2 و λ تقسیم می کند آ 1 −متر 1 آ 2 =آ 3 (اظهار 2 از مقاله «تقسیم پذیری اعداد. علامت تقسیم پذیری»). نتیجه می شود که هر مقسوم علیه مشترک آ 1 و آ 2 مقسوم علیه مشترک است آ 2 و آ 3 . عکس آن نیز صادق است اگر λ مقسوم علیه مشترک آ 2 و آ 3، سپس متر 1 آ 2 و آ 1 =متر 1 آ 2 +آ 3 نیز به تقسیم می شوند λ . از این رو مقسوم علیه مشترک است آ 2 و آ 3 نیز یک مقسوم علیه مشترک است آ 1 و آ 2. زیرا آ 3 <آ 2 ≤آ 1، پس می توان گفت که حل مسئله یافتن مقسوم علیه مشترک اعداد است آ 1 و آ 2 به یک مسئله ساده تر یعنی یافتن مقسوم علیه مشترک اعداد کاهش می یابد آ 2 و آ 3 .

اگر آ 3 ≠0، سپس می توانیم تقسیم کنیم آ 2 در آ 3 . سپس

,

جایی که متر 1 و آ 4 تعدادی اعداد صحیح هستند، ( آ 4 باقی مانده از تقسیم آ 2 در آ 3 (آ 4 <آ 3)). با استدلال مشابه به این نتیجه می رسیم که مقسوم علیه های مشترک اعداد آ 3 و آ 4 همان مقسوم علیه مشترک اعداد است آ 2 و آ 3 و همچنین با مقسوم علیه های مشترک آ 1 و آ 2. زیرا آ 1 , آ 2 , آ 3 , آ 4، ... اعدادی که دائما در حال کاهش هستند و از آنجایی که تعداد محدودی از اعداد صحیح بین آنها وجود دارد. آ 2 و 0، سپس در مرحله ای n، باقی مانده از تقسیم آغیر آ n+1 برابر با صفر خواهد بود ( آ n+2=0).

.

هر مقسوم علیه مشترک λ شماره آ 1 و آ 2 نیز مقسوم علیه اعداد است آ 2 و آ 3 , آ 3 و آ 4 , .... آ n و آ n+1 . برعکس نیز درست است، مقسوم علیه مشترک اعداد آ n و آ n+1 نیز مقسوم علیه اعداد هستند آ n-1 و آ n، ....، آ 2 و آ 3 , آ 1 و آ 2. اما مقسوم علیه مشترک آ n و آ n+1 یک عدد است آ n+1، زیرا آ n و آ n+1 بر بخش پذیر هستند آ n+1 (به یاد بیاورید آ n+2=0). از این رو آ n+1 نیز مقسوم علیه اعداد است آ 1 و آ 2 .

توجه داشته باشید که شماره آ n+1 بزرگترین مقسوم علیه اعداد است آ n و آ n+1، از بزرگترین مقسوم علیه آ n+1 خودش است آ n+1 . اگر آ n + 1 را می توان به عنوان حاصلضرب اعداد صحیح نشان داد، سپس این اعداد نیز مقسوم علیه مشترک اعداد هستند. آ 1 و آ 2. عدد آ n+1 نامیده می شوند بزرگترین مقسوم علیه مشترکشماره آ 1 و آ 2 .

شماره آ 1 و آ 2 می تواند اعداد مثبت و منفی باشد. اگر یکی از اعداد برابر با صفر باشد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد برابر با قدر مطلق عدد دیگر خواهد بود. بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد صفر تعریف نشده است.

الگوریتم فوق نامیده می شود الگوریتم اقلیدسبرای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح.

مثالی از یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد 630 و 434 را پیدا کنید.

• مرحله 1. عدد 630 را بر 434 تقسیم کنید. باقیمانده 196 است.
• مرحله 2. عدد 434 را بر 196 تقسیم کنید. باقیمانده 42 است.
• مرحله 3. عدد 196 را بر 42 تقسیم کنید. باقیمانده 28 است.
• مرحله 4. عدد 42 را بر 28 تقسیم کنید باقیمانده 14 است.
• مرحله 5. عدد 28 را بر 14 تقسیم کنید، باقیمانده 0 است.

در مرحله 5 باقیمانده تقسیم 0 است بنابراین بزرگترین مقسوم علیه اعداد 630 و 434 14 است. توجه داشته باشید که اعداد 2 و 7 نیز مقسوم علیه اعداد 630 و 434 هستند.

اعداد همزمان اول

تعریف 1. بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد را بگذارید آ 1 و آ 2 برابر با یک است. سپس این اعداد فراخوانی می شوند اعداد همزمان اولکه مقسوم علیه مشترک ندارند.

قضیه 1. اگر آ 1 و آ 2 عدد نسبتا اول و λ یک عدد، سپس هر مقسوم‌کننده مشترک اعداد λa 1 و آ 2 نیز مقسوم علیه مشترک اعداد است λ و آ 2 .

اثبات الگوریتم اقلیدس را برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد در نظر بگیرید آ 1 و آ 2 (به بالا مراجعه کنید).

.

از شرایط قضیه برمی آید که بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد آ 1 و آ 2، و بنابراین آ n و آ n+1 برابر با 1 است. آ n+1=1.

بیایید همه این برابری ها را در ضرب کنیم λ ، سپس

.

اجازه دهید مقسوم علیه مشترک آ 1 λ و آ 2 است δ . سپس δ به عنوان یک عامل وارد می شود آ 1 λ , متر 1 آ 2 λ و در آ 1 λ -متر 1 آ 2 λ =آ 3 λ (به "تقسیم پذیری اعداد"، بیانیه 2 مراجعه کنید). به علاوه δ به عنوان یک عامل وارد می شود آ 2 λ و متر 2 آ 3 λ ، و از این رو به عنوان یک عامل وارد می شود آ 2 λ -متر 2 آ 3 λ =آ 4 λ .

با استدلال به این روش، ما متقاعد می شویم که δ به عنوان یک عامل وارد می شود آ n-1 λ و متر n-1 آ n λ ، و بنابراین در آ n-1 λ −متر n-1 آ n λ =آ n+1 λ . زیرا آ n+1 =1، سپس δ به عنوان یک عامل وارد می شود λ . از این رو شماره δ مقسوم علیه مشترک اعداد است λ و آ 2 .

موارد خاص قضیه 1 را در نظر بگیرید.

نتیجه 1. اجازه دهید آو جاعداد اول نسبتا هستند ب. سپس محصول آنها acیک عدد اول نسبت به ب.

واقعا از قضیه 1 acو بمقسوم علیه های مشترک مشابهی دارند جو ب. اما اعداد جو ب coprime، یعنی دارای یک مقسوم علیه مشترک 1. سپس acو بهمچنین دارای یک مقسوم علیه مشترک 1. از این رو acو بمتقابل ساده

نتیجه 2. اجازه دهید آو باعداد coprime و let بتقسیم می کند ak. سپس بتقسیم می کند و ک.

واقعا از شرط ادعا akو بمقسوم علیه مشترک دارند ب. به موجب قضیه 1، بباید مقسوم علیه مشترک باشد بو ک. از این رو بتقسیم می کند ک.

نتیجه 1 را می توان تعمیم داد.

نتیجه 3. 1. اجازه دهید اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 , ..., آ m نسبت به عدد اول هستند ب. سپس آ 1 آ 2 , آ 1 آ 2 · آ 3 , ..., آ 1 آ 2 آ 3 ··· آ m، حاصل ضرب این اعداد نسبت به عدد اول است ب.

2. اجازه دهید دو ردیف اعداد داشته باشیم

به طوری که هر عدد در ردیف اول نسبت به هر عدد در ردیف دوم اول باشد. سپس محصول

یافتن چنین اعدادی که بر هر یک از این اعداد بخش پذیر باشند لازم است.

اگر عدد بر آن بخش پذیر باشد آ 1، سپس به نظر می رسد sa 1، کجا ستعدادی عدد اگر qبزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد است آ 1 و آ 2، سپس

جایی که س 1 مقداری عدد صحیح است. سپس

است حداقل مضرب مشترک اعداد آ 1 و آ 2 .

آ 1 و آ 2 هم اول، سپس کمترین مضرب مشترک اعداد آ 1 و آ 2:

کمترین مضرب مشترک این اعداد را پیدا کنید.

از موارد فوق نتیجه می گیرد که هر مضربی از اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 باید مضربی از اعداد باشد ε و آ 3 و بالعکس. حداقل مضرب مشترک اعداد را بگذارید ε و آ 3 است ε 1 . علاوه بر این، مضربی از اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 , آ 4 باید مضربی از اعداد باشد ε 1 و آ 4 . حداقل مضرب مشترک اعداد را بگذارید ε 1 و آ 4 است ε 2. بنابراین، ما متوجه شدیم که همه مضرب اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 ,...,آ m منطبق بر مضرب یک عدد خاص است ε n که کمترین مضرب مشترک اعداد داده شده نامیده می شود.

در مورد خاص زمانی که اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 ,...,آ m coprime، سپس کمترین مضرب مشترک اعداد آ 1 , آ 2 همانطور که در بالا نشان داده شده است شکل (3) دارد. علاوه بر این، از آن زمان آ 3 عدد اول نسبت به اعداد آ 1 , آ 2، سپس آ 3 یک عدد نسبی اول است آ 1 · آ 2 (نتیجه 1). بنابراین کمترین مضرب مشترک اعداد آ 1 ,آ 2 ,آ 3 یک عدد است آ 1 · آ 2 · آ 3 . با استدلال به روشی مشابه، به ادعاهای زیر می رسیم.

بیانیه 1. کمترین مضرب مشترک اعداد هم اول آ 1 , آ 2 , آ 3 ,...,آ m برابر حاصلضرب آنهاست آ 1 · آ 2 · آ 3 ··· آمتر

بیانیه 2. هر عددی که بر هر یک از اعداد همزمان اول بخش پذیر باشد آ 1 , آ 2 , آ 3 ,...,آ m نیز بر حاصلضرب آنها قابل تقسیم است آ 1 · آ 2 · آ 3 ··· آمتر

مضرب یک عدد عددی است که بر یک عدد معین بدون باقیمانده بخش پذیر است. کمترین مضرب مشترک (LCM) یک گروه از اعداد کوچکترین عددی است که به طور مساوی بر هر عدد در گروه بخش پذیر باشد. برای یافتن کمترین مضرب مشترک، باید ضرایب اول اعداد داده شده را پیدا کنید. همچنین، LCM را می توان با استفاده از تعدادی روش دیگر که برای گروه های دو یا چند عددی قابل استفاده است، محاسبه کرد.

مراحل

تعدادی مضرب

به این اعداد نگاه کنید.روشی که در اینجا توضیح داده می شود زمانی بهتر است که به دو عدد داده شود که هر دو کمتر از 10 هستند. اگر اعداد بزرگ داده شده است، از روش دیگری استفاده کنید.

• به عنوان مثال، حداقل مضرب مشترک اعداد 5 و 8 را پیدا کنید. اینها اعداد کوچک هستند، بنابراین می توان از این روش استفاده کرد.

1. مضرب یک عدد عددی است که بر یک عدد معین بدون باقیمانده بخش پذیر است. اعداد چندگانه را می توان در جدول ضرب پیدا کرد.

   • به عنوان مثال، اعدادی که مضرب 5 هستند عبارتند از: 5، 10، 15، 20، 25، 30، 35، 40.

2. یک سری اعداد را که مضربی از عدد اول هستند بنویسید.این کار را زیر مضربی از عدد اول انجام دهید تا دو ردیف اعداد را با هم مقایسه کنید.

   • به عنوان مثال، اعدادی که مضرب 8 هستند عبارتند از: 8، 16، 24، 32، 40، 48، 56 و 64.

3. کوچکترین عددی را که در هر دو سری مضرب ظاهر می شود بیابید.ممکن است مجبور شوید سری های طولانی مضرب بنویسید تا کل را بیابید. کوچکترین عددی که در هر دو سری مضرب ظاهر می شود، کمترین مضرب مشترک است.

   • برای مثال کوچکترین عددی که در سری مضرب های 5 و 8 ظاهر می شود 40 است بنابراین 40 کمترین مضرب مشترک 5 و 8 است.

   فاکتورسازی اولیه

   1. به این اعداد نگاه کنید.روشی که در اینجا توضیح داده می شود زمانی بهتر است که به دو عدد داده شود که هر دو بزرگتر از 10 هستند. اگر اعداد کوچکتر داده شده اند، از روش دیگری استفاده کنید.

      • برای مثال کوچکترین مضرب مشترک اعداد 20 و 84 را پیدا کنید. هر کدام از اعداد بزرگتر از 10 هستند، بنابراین می توان از این روش استفاده کرد.

   2. عدد اول را فاکتورسازی کنید.یعنی باید چنین اعداد اولی را پیدا کنید، وقتی ضرب می شوند، یک عدد معین به دست می آورید. با یافتن عوامل اصلی، آنها را به عنوان یک برابر یادداشت کنید.

      • مثلا، 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2))\زمان 10=20)و 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). بنابراین، عوامل اول عدد 20، اعداد 2، 2 و 5 هستند. آنها را به عنوان یک عبارت بنویسید: .

   3. عدد دوم را به فاکتورهای اول تبدیل کنید.این کار را به همان ترتیبی که عدد اول را فاکتور گرفتید انجام دهید، یعنی اعداد اولی را پیدا کنید که با ضرب، این عدد بدست آید.

      • مثلا، 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2))\زمان 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)و 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). بنابراین، ضرایب اول عدد 84 اعداد 2، 7، 3 و 2 هستند. آنها را به صورت یک عبارت بنویسید: .

   4. عوامل مشترک هر دو عدد را بنویسید.عواملی را به عنوان عملیات ضرب بنویسید. همانطور که هر عامل را یادداشت می کنید، آن را در هر دو عبارت خط بزنید (عباراتی که تجزیه اعداد را به عوامل اول توصیف می کنند).

      • به عنوان مثال، ضریب مشترک برای هر دو عدد 2 است، بنابراین بنویسید 2 × (\displaystyle 2\ بار)و 2 را در هر دو عبارت خط بزنید.
      • ضریب مشترک برای هر دو عدد ضریب دیگری از 2 است، بنابراین بنویسید 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)و 2 دوم را در هر دو عبارت خط بزنید.

   5. عوامل باقیمانده را به عملیات ضرب اضافه کنید.اینها عواملی هستند که در هر دو عبارت خط زده نمی شوند، یعنی عواملی که در هر دو عدد مشترک نیستند.

      • مثلاً در بیان 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)هر دو دو (2) خط خورده اند زیرا آنها عوامل مشترک هستند. ضریب 5 خط خورده نیست، بنابراین عملیات ضرب را به صورت زیر بنویسید: 2 × 2 × 5 (\splaystyle 2\times 2\times 5)
      • در بیان 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)هر دو دس (2) نیز خط خورده اند. فاکتورهای 7 و 3 خط خورده نیستند، بنابراین عملیات ضرب را به صورت زیر بنویسید: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\splaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. حداقل مضرب مشترک را محاسبه کنید.برای این کار اعداد را در عملیات ضرب نوشتاری ضرب کنید.

      • مثلا، 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). بنابراین کمترین مضرب مشترک 20 و 84 420 است.

   یافتن مقسوم علیه های مشترک

   1. یک شبکه مانند یک بازی تیک تاک بکشید.چنین شبکه ای از دو خط موازی تشکیل شده است که (در زاویه قائم) با دو خط موازی دیگر تلاقی می کنند. این باعث ایجاد سه ردیف و سه ستون می شود (شبکه بسیار شبیه علامت # است). در سطر اول و ستون دوم عدد اول را بنویسید. عدد دوم را در سطر اول و ستون سوم بنویسید.

      • برای مثال حداقل مضرب مشترک 18 و 30 را پیدا کنید. در سطر اول و ستون دوم عدد 18 و در سطر اول و ستون سوم عدد 30 را بنویسید.

   2. مقسوم علیه مشترک هر دو عدد را پیدا کنید.آن را در سطر اول و ستون اول یادداشت کنید. بهتر است به دنبال مقسوم‌کننده‌های اول باشید، اما این پیش‌نیاز نیست.

      • به عنوان مثال، 18 و 30 اعداد زوج هستند، بنابراین مقسوم علیه مشترک آنها 2 است. بنابراین در سطر اول و ستون اول 2 بنویسید.

   3. هر عدد را بر تقسیم کننده اول تقسیم کنید.هر ضریب را زیر عدد مربوطه بنویسید. ضریب حاصل از تقسیم دو عدد است.

      • مثلا، 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)پس عدد 9 را زیر 18 بنویسید.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)پس عدد 15 را زیر 30 بنویسید.

   4. یک مقسوم علیه مشترک برای هر دو ضریب پیدا کنید.اگر چنین مقسوم‌کننده‌ای وجود نداشت، از دو مرحله بعدی صرفنظر کنید. در غیر این صورت در سطر دوم و ستون اول تقسیم کننده را یادداشت کنید.

      • به عنوان مثال 9 و 15 بر 3 بخش پذیرند پس در سطر دوم و ستون اول عدد 3 را بنویسید.

   5. هر ضریب را بر تقسیم کننده دوم تقسیم کنید.هر نتیجه تقسیم را زیر ضریب مربوطه بنویسید.

      • مثلا، 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)پس 3 زیر 9 بنویسید.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)پس 5 را زیر 15 بنویسید.

   6. در صورت لزوم، شبکه را با سلول های اضافی تکمیل کنید.مراحل بالا را آنقدر تکرار کنید تا ضریب ها یک مقسوم علیه مشترک داشته باشند.

   7. دور اعداد ستون اول و سطر آخر شبکه خط بکشید.سپس اعداد برجسته شده را به صورت عملیات ضرب بنویسید.

      • به عنوان مثال اعداد 2 و 3 در ستون اول و اعداد 3 و 5 در ردیف آخر قرار دارند، بنابراین عمل ضرب را به این صورت بنویسید: 2 × 3 × 3 × 5 (\splaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. حاصل ضرب اعداد را پیدا کنید.این حداقل مضرب مشترک دو عدد داده شده را محاسبه می کند.

      • مثلا، 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). پس کمترین مضرب مشترک 18 و 30 90 است.

   الگوریتم اقلیدس

   1. اصطلاحات مرتبط با عملیات تقسیم را به خاطر بسپارید.سود سهام عددی است که تقسیم می شود. مقسوم علیه عددی است که بر آن تقسیم می شود. ضریب حاصل از تقسیم دو عدد است. باقیمانده عددی است که هنگام تقسیم دو عدد باقی می ماند.

      • مثلاً در بیان 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)باقی مانده. 3:
        15 بخش پذیر است
        6 مقسوم علیه است
        2 خصوصی است
        3 باقی مانده است.

برای درک نحوه محاسبه LCM، ابتدا باید معنای اصطلاح "چندین" را تعیین کنید.

مضرب A یک عدد طبیعی است که بدون باقیمانده بر A بخش پذیر است بنابراین می توان 15، 20، 25 و ... را مضرب 5 در نظر گرفت.

می تواند تعداد محدودی از مقسوم علیه های یک عدد خاص وجود داشته باشد، اما تعداد بی نهایت مضرب وجود دارد.

مضرب مشترک اعداد طبیعی عددی است که بدون باقیمانده بر آنها بخش پذیر باشد.

چگونه کوچکترین مضرب مشترک اعداد را پیدا کنیم

کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد (دو، سه یا بیشتر) کوچکترین عدد طبیعی است که به طور مساوی بر همه این اعداد بخش پذیر است.

برای یافتن NOC می توانید از چندین روش استفاده کنید.

برای اعداد کوچک، نوشتن تمام مضرب این اعداد در یک خط راحت است تا زمانی که یک مشترک در بین آنها پیدا شود. ضریب ها در رکورد با حرف بزرگ K نشان داده می شوند.

به عنوان مثال، مضرب 4 را می توان به صورت زیر نوشت:

K(4) = (8،12، 16، 20، 24، ...)

K(6) = (12، 18، 24، ...)

بنابراین، می بینید که کمترین مضرب مشترک اعداد 4 و 6 عدد 24 است. این ورودی به صورت زیر انجام می شود:

LCM(4، 6) = 24

اگر اعداد بزرگ هستند، مضرب مشترک سه عدد یا بیشتر را پیدا کنید، سپس بهتر است از روش دیگری برای محاسبه LCM استفاده کنید.

برای تکمیل کار، لازم است اعداد پیشنهادی را به فاکتورهای اول تجزیه کنیم.

ابتدا باید بسط بزرگترین اعداد را در یک خط و در زیر آن - بقیه را بنویسید.

در بسط هر عدد، ممکن است عوامل مختلفی وجود داشته باشد.

به عنوان مثال، اعداد 50 و 20 را به فاکتورهای اول فاکتور می کنیم.

در بسط عدد کوچکتر باید زیر عواملی که در بسط اولین عدد بزرگ وجود ندارد خط کشید و سپس به آن اضافه کرد. در مثال ارائه شده، یک دوس گم شده است.

اکنون می توانیم حداقل مضرب مشترک 20 و 50 را محاسبه کنیم.

LCM (20، 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

بنابراین حاصل ضرب ضرایب اول عدد بزرگتر و ضرایب عدد دوم که در تجزیه عدد بزرگتر لحاظ نمی شوند، کمترین مضرب مشترک خواهند بود.

برای یافتن LCM سه یا چند عدد، همه آنها باید مانند مورد قبلی به ضرایب اول تجزیه شوند.

به عنوان مثال، می توانید حداقل مضرب مشترک اعداد 16، 24، 36 را پیدا کنید.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

بنابراین، تنها دو دس از تجزیه شانزده در فاکتورگیری یک عدد بزرگتر گنجانده نشد (یکی در تجزیه بیست و چهار است).

بنابراین، آنها باید به تجزیه تعداد بیشتری اضافه شوند.

LCM (12، 16، 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

موارد خاصی برای تعیین کمترین مضرب مشترک وجود دارد. بنابراین، اگر بتوان یکی از اعداد را بدون باقیمانده بر دیگری تقسیم کرد، بزرگتر از این اعداد کمترین مضرب مشترک خواهد بود.

برای مثال، NOC های دوازده و بیست و چهار، بیست و چهار خواهند بود.

اگر لازم باشد که حداقل مضرب مشترک اعداد هم اول را که مقسوم‌گیرنده‌های یکسانی ندارند پیدا کنیم، LCM آنها برابر حاصلضرب آنها خواهد بود.

به عنوان مثال، LCM(10، 11) = 110.

اما بسیاری از اعداد طبیعی به طور مساوی بر سایر اعداد طبیعی بخش پذیرند.

مثلا:

عدد 12 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12 بخش پذیر است.

عدد 36 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12، بر 18، بر 36 بخش پذیر است.

اعدادی که عدد بر آنها بخش پذیر است (برای 12 عدد 1، 2، 3، 4، 6 و 12 است) نامیده می شوند. مقسوم علیه اعداد. مقسوم علیه یک عدد طبیعی آعدد طبیعی است که عدد داده شده را تقسیم می کند آبدون هیچ ردی. عدد طبیعی که بیش از دو عامل داشته باشد نامیده می شود کامپوزیت .

توجه داشته باشید که اعداد 12 و 36 مقسوم علیه مشترک دارند. این اعداد عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 6، 12. بزرگترین مقسوم علیه این اعداد 12 است. مقسوم علیه مشترک این دو عدد آو بعددی است که هر دو عدد داده شده بدون باقیمانده بر آن بخش پذیرند آو ب.

مضرب مشترکچند عدد به عددی گفته می شود که بر هر یک از این اعداد بخش پذیر باشد. مثلا، اعداد 9، 18 و 45 مضرب مشترک 180 دارند. اما 90 و 360 نیز مضرب مشترک آنها هستند. در بین همه مضربهای jcommon، همیشه کوچکترین آنها وجود دارد، در این مورد 90 است. این عدد نامیده می شود. کمترینمضرب مشترک (LCM).

LCM همیشه یک عدد طبیعی است که باید بزرگتر از بزرگترین اعدادی باشد که برای آن تعریف شده است.

حداقل مضرب مشترک (LCM). خواص.

جابجایی:

انجمنی:

به طور خاص، اگر و اعداد هم اول باشند، پس:

حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح مترو nمقسوم علیه همه مضرب های مشترک دیگر است مترو n. علاوه بر این، مجموعه ای از مضرب های مشترک m,nمنطبق با مجموعه مضرب برای LCM( m,n).

مجانبی برای را می توان در قالب برخی از توابع نظری اعداد بیان کرد.

بنابراین، عملکرد چبیشف. و:

این از تعریف و ویژگی های تابع لاندو به دست می آید g(n).

آنچه از قانون توزیع اعداد اول به دست می آید.

یافتن حداقل مضرب مشترک (LCM).

NOC( الف، ب) به چند روش قابل محاسبه است:

1. اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده است، می توانید از رابطه آن با LCM استفاده کنید:

2. اجازه دهید تجزیه متعارف هر دو عدد به عوامل اول مشخص شود:

جایی که p 1,...,p kاعداد اول مختلف هستند و d 1,...,dkو e 1,...,ekاعداد صحیح غیر منفی هستند (اگر عدد اول مربوطه در تجزیه نباشد، می توانند صفر باشند).

سپس LCM ( آ,ب) با فرمول محاسبه می شود:

به عبارت دیگر، بسط LCM شامل تمام عوامل اولی است که حداقل در یکی از بسط های اعداد گنجانده شده است. الف، ب، و بزرگترین از دو شاخص این عامل گرفته شده است.

مثال:

محاسبه کمترین مضرب مشترک چند عدد را می توان به چندین محاسبه متوالی LCM دو عدد تقلیل داد:

قانون.برای پیدا کردن LCM یک سری اعداد، شما نیاز دارید:

- اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید.

- بزرگترین انبساط را به فاکتورهای حاصلضرب مورد نظر ( حاصل ضرب ضرایب بیشترین تعداد داده شده) منتقل کنید و سپس عواملی را از بسط اعداد دیگری که در عدد اول رخ نمی دهند یا در آن هستند اضافه کنید. تعداد دفعات کمتر؛

- حاصل ضرب ضرایب اول LCM اعداد داده شده خواهد بود.

هر دو یا چند عدد طبیعی LCM خود را دارند. اگر اعداد مضرب یکدیگر نباشند یا عوامل یکسانی در بسط نداشته باشند، LCM آنها برابر است با حاصلضرب این اعداد.

ضرایب اول عدد 28 (2، 2، 7) با ضریب 3 (عدد 21) تکمیل شد، حاصلضرب حاصل (84) کوچکترین عددی خواهد بود که بر 21 و 28 بخش پذیر است.

فاکتورهای اول بزرگترین عدد 30 با ضریب 5 از عدد 25 تکمیل شد، حاصل ضرب 150 از بزرگترین عدد 30 بزرگتر است و بر همه اعداد داده شده بدون باقیمانده بخش پذیر است. این کوچکترین حاصل ضرب ممکن (150، 250، 300...) است که همه اعداد داده شده مضرب آن هستند.

اعداد 2،3،11،37 اول هستند، بنابراین LCM آنها برابر است با حاصلضرب اعداد داده شده.

قانون. برای محاسبه LCM اعداد اول، باید همه این اعداد را در هم ضرب کنید.

گزینه ای دیگر:

برای یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM) از چندین عدد به موارد زیر نیاز دارید:

1) هر عدد را به عنوان حاصلضرب عوامل اول آن نشان دهید، برای مثال:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7،

2) توان همه عوامل اول را بنویسید:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) تمام مقسوم علیه های اول (ضرب) هر یک از این اعداد را بنویسید.

4) بزرگترین درجه هر یک از آنها را که در همه بسط های این اعداد یافت می شود انتخاب کنید.

5) این قدرت ها را چند برابر کنید.

مثال. LCM اعداد: 168، 180 و 3024 را بیابید.

راه حل. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

ما بزرگترین قدرت های همه مقسوم علیه های اول را می نویسیم و آنها را ضرب می کنیم:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.