از مدل ریاضی استفاده می شود. مدل سازی ریاضی شکل و اصول نمایش مدل های ریاضی

مدل ریاضی b نمایش ریاضی واقعیت است.

مدل سازی ریاضی- فرآیند ساخت و مطالعه مدل های ریاضی.

همه علوم طبیعی و اجتماعی که از دستگاه ریاضی استفاده می کنند، در واقع به مدل سازی ریاضی مشغول هستند: آنها شی واقعی را با مدل ریاضی آن جایگزین می کنند و سپس دومی را مطالعه می کنند.

تعاریف

هیچ تعریفی نمی تواند فعالیت واقعی مدل سازی ریاضی را به طور کامل پوشش دهد. علیرغم این، تعاریف از این جهت مفید هستند که سعی می کنند مهم ترین ویژگی ها را برجسته کنند.

تعریف مدل از نظر A. A. Lyapunov: مدل سازی یک مطالعه غیرمستقیم عملی یا نظری یک شی است که در آن نه موضوع مورد علاقه ما به طور مستقیم، بلکه برخی از سیستم های مصنوعی یا طبیعی کمکی مورد مطالعه قرار می گیرد:

واقع در برخی مطابقت های عینی با شی قابل شناخت؛

قادر به جایگزینی او در برخی موارد

که در طول مطالعه خود، در نهایت اطلاعاتی در مورد شی مورد مدل ارائه می دهد.

با توجه به کتاب درسی Sovetov و Yakovlev: "مدل یک شی جایگزین شی اصلی است که مطالعه برخی از ویژگی های اصلی را ارائه می دهد." "به جای یک شی با شی دیگر به منظور به دست آوردن اطلاعات در مورد مهمترین ویژگی های شی اصلی با استفاده از شی مدل، مدل سازی نامیده می شود." تحت مدل‌سازی ریاضی، فرآیند برقراری مطابقت با یک شی واقعی معین از یک شی ریاضی را که مدل ریاضی نامیده می‌شود، و مطالعه این مدل را درک خواهیم کرد که به دست آوردن ویژگی‌های شی واقعی مورد بررسی را ممکن می‌سازد. نوع مدل ریاضی هم به ماهیت شی واقعی و هم به وظایف مطالعه شی و هم به پایایی و دقت مورد نیاز برای حل این مسئله بستگی دارد.

به گفته سامارسکی و میخائیلوف، یک مدل ریاضی «معادل» یک شی است که در شکل ریاضی مهمترین ویژگی های آن را منعکس می کند: قوانینی که از آنها پیروی می کند، اتصالات ذاتی در اجزای تشکیل دهنده آن و غیره. مدل-الگوریتم-برنامه”. پس از ایجاد سه گانه "مدل-الگوریتم-برنامه"، محقق یک ابزار جهانی، انعطاف پذیر و ارزان را دریافت می کند که ابتدا در آزمایش های محاسباتی آزمایشی اشکال زدایی و آزمایش می شود. پس از اینکه کفایت سه گانه به شی اصلی مشخص شد، "آزمایش های" متنوع و دقیقی با مدل انجام می شود که تمام خصوصیات و ویژگی های کیفی و کمی مورد نیاز شی را ارائه می دهد.

بر اساس مونوگراف میشکیس: «بیایید به یک تعریف کلی برویم. اجازه دهید مجموعه‌ای از ویژگی‌های یک شی واقعی a با S را بررسی کنیم

کمک ریاضی برای انجام این کار، ما یک "شیء ریاضی" a" را انتخاب می کنیم - یک سیستم معادلات، یا روابط حسابی، یا اشکال هندسی، یا ترکیبی از هر دو، و غیره، - که مطالعه آن با استفاده از ریاضیات باید به سوالات مطرح شده پاسخ دهد. در مورد خواص S. در این شرایط a" را مدل ریاضی شیء a نسبت به کل S خصوصیات آن می نامند.

به گفته A. G. Sevostyanov: "مدل ریاضی مجموعه ای از روابط ریاضی، معادلات، نابرابری ها و غیره است که الگوهای اصلی ذاتی در فرآیند، شی یا سیستم مورد مطالعه را توصیف می کند."

ویکی‌واژه‌نامه یک تعریف کلی کمتر از یک مدل ریاضی، مبتنی بر ایده‌آلی‌سازی «وضعیت ورودی-خروجی» وام گرفته شده از تئوری اتوماتا ارائه می‌کند: «نمایش ریاضی انتزاعی از یک فرآیند، دستگاه یا ایده نظری. از مجموعه‌ای از متغیرها برای نمایش ورودی‌ها، خروجی‌ها و حالت‌های داخلی و مجموعه‌ای از معادلات و نابرابری‌ها برای توصیف تعاملات آنها استفاده می‌کند.

در نهایت، مختصرترین تعریف یک مدل ریاضی: "معادله ای که یک ایده را بیان می کند."

طبقه بندی رسمی مدل ها

طبقه بندی رسمی مدل ها بر اساس طبقه بندی ابزارهای ریاضی مورد استفاده است. اغلب به شکل دوگانگی ساخته می شود. به عنوان مثال، یکی از مجموعه های محبوب دوگانگی این است:

مدل های خطی یا غیر خطی؛ سیستم های متمرکز یا توزیع شده؛ قطعی یا تصادفی؛ استاتیک یا پویا؛ گسسته یا پیوسته

و غیره هر مدل ساخته شده خطی یا غیرخطی، قطعی یا تصادفی است، ... طبیعتاً انواع مختلط نیز امکان پذیر است: از یک جهت متمرکز، از یک جهت مدل های توزیع شده و غیره.

طبقه بندی بر اساس نحوه نمایش شی.

همراه با طبقه‌بندی رسمی، مدل‌ها در نحوه نمایش شی متفاوت هستند:

مدل های ساختاری یک شی را به عنوان یک سیستم با دستگاه و مکانیسم عملکرد خاص خود نشان می دهند. مدل‌های عملکردی از چنین نمایش‌هایی استفاده نمی‌کنند و فقط رفتار ادراک‌شده خارجی شی را منعکس می‌کنند. در بیان افراطی به آنها مدل های جعبه سیاه نیز می گویند.انواع مدل های ترکیبی نیز امکان پذیر است که گاهی به آنها مدل های جعبه خاکستری نیز گفته می شود.

تقریباً تمام نویسندگانی که فرآیند مدل‌سازی ریاضی را توصیف می‌کنند، نشان می‌دهند که ابتدا یک ساختار ایده‌آل خاص، یک مدل معنادار ساخته می‌شود. در اینجا هیچ اصطلاح ثابتی وجود ندارد و سایر نویسندگان این شی ایده آل را مدل مفهومی، مدل نظری یا پیش مدل می نامند. در این حالت، ساخت ریاضی نهایی را یک مدل رسمی یا صرفاً یک مدل ریاضی که در نتیجه رسمی شدن این مدل محتوایی به دست می آید، می گویند. یک مدل معنادار می تواند با استفاده از مجموعه ای از ایده آل سازی های آماده ساخته شود، مانند مکانیک، که در آن فنرهای ایده آل، بدنه های صلب، آونگ های ایده آل، رسانه های الاستیک و غیره عناصر ساختاری آماده را برای مدل سازی معنادار فراهم می کنند. با این حال، در حوزه‌هایی از دانش که تئوری‌های رسمی کامل‌شده وجود ندارد، ایجاد مدل‌های معنادار بسیار پیچیده‌تر می‌شود.

کار R. Peierls طبقه بندی مدل های ریاضی مورد استفاده در فیزیک و به طور گسترده تر در علوم طبیعی را ارائه می دهد. در کتاب A. N. Gorban و R. G. Khlebopros این طبقه بندی تحلیل و بسط یافته است. این طبقه بندی در درجه اول بر مرحله ساخت یک مدل معنادار متمرکز است.

این مدل‌ها «نماینده توصیف آزمایشی این پدیده هستند و نویسنده یا به امکان آن اعتقاد دارد یا حتی آن را درست می‌داند». به گفته R. Peierls، برای مثال، مدل منظومه شمسی بر اساس بطلمیوس و مدل کوپرنیک، مدل رادرفورد از اتم و مدل انفجار بزرگ.

هیچ فرضیه ای در علم یک بار برای همیشه قابل اثبات نیست. ریچارد فاینمن این را خیلی واضح بیان کرد:

ما همیشه این توانایی را داریم که یک نظریه را رد کنیم، اما توجه داشته باشید که هرگز نمی توانیم صحت آن را ثابت کنیم. بیایید فرض کنیم که شما یک فرضیه موفق را مطرح می کنید، محاسبه می کنید که به کجا منجر می شود و متوجه می شوید که تمام پیامدهای آن به صورت تجربی تایید شده است. آیا این به این معنی است که نظریه شما درست است؟ نه، این به سادگی به این معنی است که شما نتوانستید آن را رد کنید.

اگر مدلی از نوع اول ساخته شود، به این معنی است که به طور موقت درست تشخیص داده می شود و می توان روی مشکلات دیگر تمرکز کرد. با این حال، این نمی تواند یک نکته در تحقیق باشد، بلکه فقط یک مکث موقت است: وضعیت مدل نوع اول فقط می تواند موقتی باشد.

مدل پدیدارشناختی دارای مکانیزمی برای توصیف پدیده است. با این حال، این مکانیسم به اندازه کافی قانع کننده نیست، نمی تواند به اندازه کافی توسط داده های موجود تأیید شود، یا به خوبی با نظریه های موجود و دانش انباشته در مورد شی مطابقت ندارد. بنابراین، مدل‌های پدیدارشناختی وضعیت راه‌حل‌های موقتی دارند. اعتقاد بر این است که پاسخ هنوز ناشناخته است و لازم است جستجو برای "مکانیسم های واقعی" ادامه یابد. Peierls به عنوان مثال، مدل کالری و مدل کوارک ذرات بنیادی را به نوع دوم اشاره می کند.

نقش مدل در پژوهش ممکن است با گذشت زمان تغییر کند، ممکن است داده‌ها و نظریه‌های جدید مدل‌های پدیدارشناختی را تأیید کنند و به ارتقای آن‌ها برسند.

وضعیت فرضیه به همین ترتیب، دانش جدید ممکن است به تدریج با مدل‌ها-فرضیه‌های نوع اول در تضاد باشد و ممکن است به دومی منتقل شود. بنابراین، مدل کوارک به تدریج وارد دسته فرضیه ها می شود. اتمیسم در فیزیک به عنوان یک راه حل موقت به وجود آمد، اما با سیر تاریخ به نوع اول تبدیل شد. اما مدل های اتر از نوع 1 به نوع 2 رسیده اند و اکنون خارج از علم هستند.

ایده ساده سازی هنگام ساخت مدل ها بسیار محبوب است. اما ساده سازی متفاوت است. Peierls سه نوع ساده سازی را در مدل سازی متمایز می کند.

اگر امکان ساخت معادلاتی برای توصیف سیستم مورد مطالعه وجود داشته باشد، این بدان معنا نیست که حتی با کمک کامپیوتر نیز می توان آنها را حل کرد. یک تکنیک رایج در این مورد استفاده از تقریب است. از جمله آنها می توان به مدل های پاسخ خطی اشاره کرد. معادلات با معادلات خطی جایگزین می شوند. مثال استاندارد قانون اهم است.

اگر از مدل گاز ایده آل برای توصیف گازهای به اندازه کافی کمیاب استفاده کنیم، آنگاه این یک مدل نوع 3 است. در چگالی گازهای بالاتر، تصور یک وضعیت گاز ایده آل ساده تر برای درک و ارزیابی کیفی نیز مفید است، اما در این صورت این در حال حاضر نوع 4 است. .

در یک مدل نوع 4، جزئیاتی که می توانند به طور قابل توجهی و همیشه به طور قابل کنترلی بر روی نتیجه تأثیر نگذارند، کنار گذاشته می شوند. بسته به پدیده ای که مدل برای مطالعه استفاده می شود، همین معادلات می توانند به عنوان مدل نوع 3 یا نوع 4 عمل کنند. بنابراین، اگر از مدل‌های پاسخ خطی در غیاب مدل‌های پیچیده‌تر استفاده شود، این مدل‌ها از قبل مدل‌های خطی پدیدارشناسی هستند و به نوع 4 زیر تعلق دارند.

مثال‌ها: کاربرد یک مدل گاز ایده‌آل برای یک مدل غیر ایده‌آل، معادله حالت واندروالس، اکثر مدل‌های فیزیک حالت جامد، مایع و هسته‌ای. مسیر از ریز توصیف تا خواص اجسام متشکل از تعداد زیادی ذره بسیار طولانی است. بسیاری از جزئیات را باید کنار گذاشت. این منجر به مدل های نوع 4 می شود.

مدل اکتشافی فقط یک شباهت کیفی با واقعیت را حفظ می کند و پیش بینی ها را فقط "به ترتیب بزرگی" انجام می دهد. یک مثال معمولی تقریب مسیر آزاد میانگین در تئوری جنبشی است. فرمول های ساده ای برای ضرایب ویسکوزیته، انتشار، هدایت حرارتی، مطابق با واقعیت به ترتیب بزرگی ارائه می دهد.

اما هنگام ساختن یک فیزیک جدید، مدلی که حداقل یک توصیف کیفی از یک شی را ارائه دهد - مدلی از نوع پنجم - به دور است. در این مورد، یک مدل اغلب با قیاس استفاده می شود که حداقل به نحوی واقعیت را منعکس می کند.

R. Peierls تاریخچه استفاده از قیاس ها را در اولین مقاله W. Heisenberg در مورد ماهیت نیروهای هسته ای ذکر می کند. این اتفاق پس از کشف نوترون رخ داد، و اگرچه خود دبلیو هایزنبرگ فهمید که هسته‌ها را می‌توان متشکل از نوترون‌ها و پروتون‌ها توصیف کرد، اما هنوز نتوانست این ایده را که نوترون در نهایت باید از یک پروتون و یک الکترون تشکیل شده باشد را کنار بگذارد. . در این مورد، قیاسی بین برهمکنش در سیستم نوترون-پروتون و برهمکنش یک اتم هیدروژن و یک پروتون به وجود آمد. این قیاس بود که او را به این نتیجه رساند که باید نیروهای مبادله ای برهمکنش بین یک نوترون و یک پروتون وجود داشته باشد، که مشابه نیروهای مبادله در سیستم H-H است، به دلیل انتقال یک الکترون بین دو پروتون. ... بعدها، وجود نیروهای مبادله ای برهمکنش بین نوترون و پروتون ثابت شد، اگرچه آنها کاملاً از بین نرفتند.

برهمکنش بین دو ذره ... اما، پیرو همین قیاس، دبلیو هایزنبرگ به این نتیجه رسید که هیچ نیروی هسته ای برهمکنش بین دو پروتون وجود ندارد و به فرض دافعه بین دو نوترون. هر دوی این یافته های اخیر با یافته های مطالعات بعدی در تضاد هستند.

الف.اینشتین یکی از استادان بزرگ آزمایش فکری بود. در اینجا یکی از آزمایشات او است. در جوانی اختراع شد و در نهایت منجر به ساخت نظریه نسبیت خاص شد. فرض کنید در فیزیک کلاسیک از یک موج نوری با سرعت نور پیروی می کنیم. ما یک میدان الکترومغناطیسی را مشاهده خواهیم کرد که به طور متناوب در فضا تغییر می کند و در زمان ثابت است. طبق معادلات ماکسول، این نمی تواند باشد. اینشتین جوان از این نتیجه گیری کرد: یا قوانین طبیعت با تغییر چارچوب مرجع تغییر می کنند یا سرعت نور به چارچوب مرجع بستگی ندارد. او گزینه دوم - زیباتر را انتخاب کرد. یکی دیگر از آزمایش های فکری معروف اینشتین پارادوکس انیشتین-پودولسکی-روزن است.

و در اینجا نوع 8 است که به طور گسترده در مدل های ریاضی سیستم های بیولوژیکی استفاده می شود.

اینها همچنین آزمایش‌های فکری با موجودات خیالی هستند که نشان می‌دهند پدیده ادعایی با اصول اولیه سازگار است و از درون مطابقت دارد. این تفاوت اصلی با مدل های نوع 7 است که تضادهای پنهان را آشکار می کند.

یکی از معروف‌ترین آزمایش‌ها، هندسه لوباچفسکی است. مثال دیگر تولید انبوه مدل‌های رسمی جنبشی نوسانات شیمیایی و بیولوژیکی، امواج خودکار و غیره است. پارادوکس انیشتین-پودولسکی-روزن به عنوان مدل نوع 7 برای نشان دادن ناسازگاری مکانیک کوانتومی در نظر گرفته شد. در یک روش کاملاً برنامه ریزی نشده، در نهایت به یک مدل نوع 8 تبدیل شد - نمایشی از امکان انتقال اطلاعات کوانتومی از راه دور.

یک سیستم مکانیکی متشکل از یک فنر ثابت در یک سر و باری به جرم m متصل به انتهای آزاد فنر را در نظر بگیرید. فرض می کنیم که بار فقط می تواند در جهت محور فنر حرکت کند. اجازه دهید یک مدل ریاضی از این سیستم بسازیم. وضعیت سیستم را با فاصله x از مرکز بار تا موقعیت تعادل آن توصیف می کنیم. ما تعامل فنر و بار را با استفاده از قانون هوک توصیف می کنیم و پس از آن از قانون دوم نیوتن برای بیان آن در قالب یک معادله دیفرانسیل استفاده می کنیم:

جایی که به معنای مشتق دوم x نسبت به زمان است..

معادله به دست آمده مدل ریاضی سیستم فیزیکی در نظر گرفته شده را توصیف می کند. این الگو "نوسانگر هارمونیک" نامیده می شود.

طبق طبقه بندی رسمی، این مدل خطی، قطعی، پویا، متمرکز، پیوسته است. در روند ساخت آن، ما فرضیات زیادی را مطرح کردیم که ممکن است در واقعیت درست نباشد.

در رابطه با واقعیت، این اغلب یک مدل نوع 4 است، یک ساده‌سازی است، زیرا برخی از ویژگی‌های اساسی جهانی حذف شده‌اند. در برخی از تقریب ها، چنین مدلی یک سیستم مکانیکی واقعی را به خوبی توصیف می کند، زیرا

عوامل دور ریخته شده تأثیر ناچیزی بر رفتار آن دارند. با این حال، مدل را می توان با در نظر گرفتن برخی از این عوامل اصلاح کرد. این منجر به یک مدل جدید، با دامنه گسترده تر می شود.

با این حال، هنگامی که مدل پالایش می شود، پیچیدگی مطالعه ریاضی آن می تواند به طور قابل توجهی افزایش یابد و مدل را عملاً بی استفاده کند. اغلب، یک مدل ساده تر به شما امکان می دهد تا سیستم واقعی را بهتر و عمیق تر از یک مدل پیچیده تر بررسی کنید.

اگر مدل نوسان ساز هارمونیک را برای اجسامی که از فیزیک دور هستند اعمال کنیم، وضعیت معنی دار آن ممکن است متفاوت باشد. به عنوان مثال، هنگام اعمال این مدل برای جمعیت های بیولوژیکی، به احتمال زیاد باید آن را به قیاس نوع 6 نسبت داد.

مدل های سخت و نرم.

نوسان ساز هارمونیک نمونه ای از مدل به اصطلاح "سخت" است. در نتیجه ایده آل سازی قوی یک سیستم فیزیکی واقعی به دست می آید. برای حل مسئله کاربردی بودن آن، لازم است درک کنیم که عواملی که از آنها غفلت کرده ایم چقدر مهم هستند. به عبارت دیگر بررسی مدل «نرم» که با اغتشاش کوچک «سخت» به دست می آید، ضروری است. می توان آن را برای مثال با معادله زیر به دست آورد:

در اینجا - یک تابع، که می تواند نیروی اصطکاک یا وابستگی سفتی فنر به میزان کشش آن را در نظر بگیرد، ε - برخی پارامترهای کوچک. شکل صریح تابع f در حال حاضر برای ما جالب نیست. اگر ثابت کنیم که رفتار یک مدل نرم تفاوت اساسی با رفتار یک مدل سخت ندارد، مشکل به مطالعه مدل سخت خلاصه می شود. در غیر این صورت، اعمال نتایج به دست آمده در مطالعه مدل صلب نیاز به تحقیقات بیشتری دارد. به عنوان مثال، حل معادله یک نوسان ساز هارمونیک، توابعی از فرم هستند

یعنی نوسانات با دامنه ثابت. آیا از این نتیجه می شود که یک نوسان ساز واقعی به طور نامحدود با دامنه ثابت نوسان می کند؟ خیر، زیرا با در نظر گرفتن سیستمی با اصطکاک خودسرانه کوچک، نوسانات میرا دریافت می کنیم. رفتار سیستم از نظر کیفی تغییر کرده است.

اگر سیستمی رفتار کیفی خود را تحت یک اغتشاش کوچک حفظ کند، گفته می شود که از نظر ساختاری پایدار است. نوسان ساز هارمونیک نمونه ای از یک سیستم ساختاری ناپایدار است. با این حال، این مدل می تواند برای مطالعه فرآیندها در بازه های زمانی محدود مورد استفاده قرار گیرد.

تطبیق پذیری مدل

مهم‌ترین مدل‌های ریاضی معمولاً یک ویژگی مهم جهانی بودن دارند: پدیده‌های واقعی اساساً متفاوت را می‌توان با یک مدل ریاضی توصیف کرد. به عنوان مثال، یک نوسان ساز هارمونیک نه تنها رفتار یک بار روی فنر، بلکه سایر فرآیندهای نوسانی را که اغلب ماهیت کاملاً متفاوتی دارند، توصیف می کند: نوسانات کوچک آونگ، نوسانات سطح مایع در یک ظرف U شکل، یا تغییر در قدرت جریان در مدار نوسانی. بنابراین، با مطالعه یک مدل ریاضی، ما یک کلاس کامل از پدیده های توصیف شده توسط آن را مطالعه می کنیم. همین هم ریختی قوانین بیان شده توسط مدل های ریاضی در بخش های مختلف دانش علمی است که لودویگ فون برتالانفی را به ایجاد نظریه عمومی سیستم ها سوق داد.

مسائل مستقیم و معکوس مدل سازی ریاضی

مشکلات زیادی در رابطه با مدل سازی ریاضی وجود دارد. ابتدا، لازم است طرح اساسی شیء مورد مدل‌سازی ارائه شود، تا آن را در چارچوب ایده‌آل‌سازی‌های این علم بازتولید کنیم. بنابراین، واگن قطار به سیستمی از صفحات و پیچیده تر تبدیل می شود

اجسام از مواد مختلف، هر ماده به‌عنوان ایده‌آل‌سازی مکانیکی استاندارد آن مشخص می‌شود، پس از آن معادلات جمع‌آوری می‌شوند، در طول مسیر برخی جزئیات به‌عنوان ناچیز کنار گذاشته می‌شوند، محاسبات انجام می‌شود، در مقایسه با اندازه‌گیری‌ها، مدل اصلاح می‌شود و غیره. با این حال، برای توسعه فن‌آوری‌های مدل‌سازی ریاضی، جدا کردن این فرآیند به عناصر اصلی آن مفید است.

به طور سنتی، دو دسته اصلی از مسائل مرتبط با مدل های ریاضی وجود دارد: مستقیم و معکوس.

وظیفه مستقیم: ساختار مدل و تمام پارامترهای آن شناخته شده در نظر گرفته می شود، وظیفه اصلی مطالعه مدل به منظور استخراج دانش مفید در مورد شی است. پل چه بار استاتیکی را می تواند تحمل کند؟ چگونه به یک بار دینامیکی واکنش نشان می دهد، چگونه هواپیما بر سد صوتی غلبه می کند، آیا از بال زدن جدا می شود - اینها نمونه های معمولی از یک مشکل مستقیم هستند. فرمول بندی یک مسئله مستقیم به مهارت خاصی نیاز دارد. اگر سؤالات درستی مطرح نشود، پل ممکن است فرو بریزد، حتی اگر مدل خوبی برای رفتار آن ساخته شده باشد. بنابراین، در سال 1879 در بریتانیا، یک پل فلزی بر روی رودخانه تی فروریخت، طراحان آن مدلی از پل را ساختند، آن را برای 20 برابر حاشیه ایمنی برای بار محاسبه کردند، اما بادهایی را که دائماً در آن می وزدند فراموش کردند. مکان ها و بعد از یک سال و نیم فرو ریخت.

که در در ساده ترین حالت، مسئله مستقیم بسیار ساده است و به حل صریح این معادله تقلیل می یابد.

مشکل معکوس: مجموعه ای از مدل های ممکن شناخته شده است، لازم است یک مدل خاص بر اساس داده های اضافی در مورد شی انتخاب شود. اغلب، ساختار مدل مشخص است و برخی از پارامترهای ناشناخته باید تعیین شوند. اطلاعات اضافی ممکن است شامل داده‌های تجربی اضافی یا نیازمندی‌های شیء باشد. داده‌های اضافی می‌توانند مستقل از فرآیند حل مسئله معکوس به دست آیند یا نتیجه آزمایشی باشند که به‌ویژه در مسیر حل برنامه‌ریزی شده است.

یکی از اولین نمونه‌های یک راه‌حل عالی یک مسئله معکوس با استفاده کامل از داده‌های موجود، روشی بود که توسط I. Newton برای بازسازی نیروهای اصطکاک از نوسانات میرایی مشاهده‌شده ساخته شد.

که در مثال دیگر آمار ریاضی است. وظیفه این علم توسعه روش هایی برای ثبت، توصیف و تجزیه و تحلیل داده های مشاهده ای و تجربی به منظور ساخت مدل های احتمالی پدیده های تصادفی انبوه است. آن ها مجموعه مدل های ممکن توسط مدل های احتمالی محدود شده است. در مسائل خاص، مجموعه مدل ها محدودتر است.

سیستم های کامپیوتری مدل سازی

برای پشتیبانی از مدل سازی ریاضی، سیستم های ریاضی کامپیوتری توسعه یافته اند، به عنوان مثال، Maple، Mathematica، Mathcad، MATLAB، VisSim و غیره. آنها به شما امکان می دهند مدل های رسمی و بلوکی از فرآیندها و دستگاه های ساده و پیچیده ایجاد کنید و به راحتی پارامترهای مدل را در طول تغییر دهید. شبیه سازی. مدل های بلوک با بلوک هایی نشان داده می شوند که مجموعه و اتصال آنها توسط نمودار مدل مشخص شده است.

نمونه های اضافی

نرخ رشد متناسب با جمعیت فعلی است. با معادله دیفرانسیل توصیف می شود

که در آن α پارامتری است که با تفاوت بین باروری و مرگ و میر تعیین می شود. جواب این معادله تابع نمایی x = x0 e است. اگر نرخ زاد و ولد از نرخ مرگ و میر بیشتر شود، اندازه جمعیت به طور نامحدود و بسیار سریع افزایش می یابد. واضح است که در واقعیت به دلیل محدودیت نمی تواند این اتفاق بیفتد

منابع هنگامی که به یک اندازه جمعیت بحرانی خاص رسید، مدل کافی نیست، زیرا منابع محدود را در نظر نمی گیرد. اصلاح مدل مالتوس می تواند مدل لجستیکی باشد که با معادله دیفرانسیل ورهولست توصیف می شود.

که در آن xs اندازه جمعیت «تعادل» است، که در آن نرخ تولد دقیقاً با نرخ مرگ و میر جبران می‌شود. اندازه جمعیت در چنین مدلی به مقدار تعادل xs تمایل دارد و این رفتار از نظر ساختاری پایدار است.

فرض کنید دو نوع حیوان در یک قلمرو زندگی می کنند: خرگوش و روباه. بگذارید تعداد خرگوش ها x، تعداد روباه ها y باشد. با استفاده از مدل مالتوس با اصلاحات لازم و با در نظر گرفتن خوردن خرگوش توسط روباه به سیستم زیر می رسیم که نام مدل Lotka-Volterra را دارد:

این سیستم زمانی که تعداد خرگوش ها و روباه ها ثابت باشد حالت تعادل دارد. انحراف از این حالت منجر به نوساناتی در تعداد خرگوش ها و روباه ها می شود، مشابه نوسانات در نوسانگر هارمونیک. همانطور که در مورد یک نوسان ساز هارمونیک، این رفتار از نظر ساختاری پایدار نیست: یک تغییر کوچک در مدل می تواند منجر به تغییر کیفی در رفتار شود. به عنوان مثال، حالت تعادل می تواند پایدار شود و نوسانات جمعیت از بین می رود. وضعیت برعکس نیز ممکن است، زمانی که هر انحراف کوچک از وضعیت تعادل منجر به عواقب فاجعه بار، تا انقراض کامل یکی از گونه ها شود. به این سوال که کدام یک از این سناریوها محقق می شود، مدل Volterra-Lotka پاسخی نمی دهد: در اینجا به تحقیقات بیشتری نیاز است.

مدل های ریاضی

مدل ریاضی - opi تقریبیشرح موضوع مدل سازی، بیان شده با استفاده ازschyu نمادگرایی ریاضی.

چندین قرن پیش مدل های ریاضی همراه با ریاضیات ظاهر شدند. انگیزه بزرگی برای توسعه مدل‌سازی ریاضی با ظاهر رایانه‌ها ایجاد شد. استفاده از رایانه امکان تجزیه و تحلیل و عملی ساختن بسیاری از مدل‌های ریاضی را که قبلاً قابل انجام تحقیقات تحلیلی نبوده‌اند، می‌دهد. ریاضی اجرا شده توسط کامپیوترمدل آسمانتماس گرفت مدل ریاضی کامپیوتری, آ انجام محاسبات هدفمند با استفاده از یک مدل کامپیوتریتماس گرفت آزمایش محاسباتی.

مراحل ماه ریاضی کامپیوترحذفدر شکل نشان داده شده است. اولینصحنه - تعریف اهداف مدلسازیاین اهداف می توانند متفاوت باشند:

1. یک مدل برای درک نحوه عملکرد یک شی خاص، ساختار آن، ویژگی های اساسی، قوانین توسعه و تعامل مورد نیاز است.
   با دنیای خارج (درک)؛
2. یک مدل برای یادگیری نحوه مدیریت یک شی (یا فرآیند) و تعیین بهترین راه های مدیریت برای اهداف و معیارهای معین (مدیریت) مورد نیاز است.
3. این مدل به منظور پیش‌بینی پیامدهای مستقیم و غیرمستقیم اجرای روش‌های مشخص شده و اشکال تأثیر بر روی شی (پیش‌بینی) مورد نیاز است.

بیایید با مثال توضیح دهیم. بگذارید موضوع مطالعه برهمکنش یک جریان مایع یا گاز با جسمی باشد که مانعی برای این جریان است. تجربه نشان می دهد که نیروی مقاومت در برابر جریان از کنار بدنه با افزایش سرعت جریان افزایش می یابد، اما در برخی از سرعت های به اندازه کافی بالا، این نیرو به طور ناگهانی کاهش می یابد تا با افزایش بیشتر سرعت دوباره افزایش یابد. چه چیزی باعث کاهش نیروی مقاومت شد؟ مدل‌سازی ریاضی به ما امکان می‌دهد پاسخ روشنی دریافت کنیم: در لحظه کاهش ناگهانی مقاومت، گردابه‌های تشکیل‌شده در جریان مایع یا گاز در پشت بدنه ساده شروع به جدا شدن از آن می‌کنند و توسط جریان منتقل می‌شوند.

نمونه ای از یک منطقه کاملاً متفاوت: همزیستی مسالمت آمیز با تعداد ثابتی از جمعیت دو گونه از افراد با یک پایه غذایی مشترک، "ناگهان" شروع به تغییر چشمگیر تعداد آنها می کند. و در اینجا مدل‌سازی ریاضی اجازه می‌دهد (با درجه مشخصی از قطعیت) علت را تعیین کند (یا حداقل یک فرضیه خاص را رد کند).

توسعه مفهوم مدیریت شی یکی دیگر از اهداف ممکن مدل سازی است. کدام حالت پرواز هواپیما باید انتخاب شود تا پرواز ایمن و از نظر اقتصادی بیشترین سود را داشته باشد؟ چگونه صدها نوع کار در ساخت یک تأسیسات بزرگ را برنامه ریزی کنیم تا در اسرع وقت به پایان برسد؟ بسیاری از چنین مشکلاتی به طور سیستماتیک در برابر اقتصاددانان، طراحان و دانشمندان مطرح می شوند.

در نهایت، پیش‌بینی پیامدهای تأثیرات معین بر یک شی می‌تواند هم در سیستم‌های فیزیکی ساده یک موضوع نسبتاً ساده باشد و هم در سیستم‌های بیولوژیکی، اقتصادی و اجتماعی بسیار پیچیده - در آستانه امکان‌پذیری. اگر پاسخ دادن به سوال در مورد تغییر نحوه انتشار گرما در یک میله نازک با تغییرات آلیاژ تشکیل دهنده آن نسبتاً آسان باشد، ردیابی (پیش‌بینی) پیامدهای محیطی و اقلیمی ساخت یک ساختمان به طور غیرقابل مقایسه دشوارتر است. نیروگاه برق آبی بزرگ یا پیامدهای اجتماعی تغییرات در قوانین مالیاتی. شاید در اینجا نیز روش‌های مدل‌سازی ریاضی کمک قابل توجهی در آینده ارائه دهند.

فاز دوم:تعریف پارامترهای ورودی و خروجی مدل. تقسیم پارامترهای ورودی بر اساس درجه اهمیت تأثیر تغییرات آنها بر خروجی. این فرآیند رتبه بندی یا تقسیم بر رتبه نامیده می شود (به زیر مراجعه کنید). "فرمالیزاعمل و مدل سازی").

مرحله سوم:ساخت یک مدل ریاضی در این مرحله، انتقال از فرمول انتزاعی مدل به فرمولی که دارای یک نمایش ریاضی خاص است، وجود دارد. یک مدل ریاضی معادلات، سیستم های معادلات، سیستم های نامساوی، معادلات دیفرانسیل یا سیستم های این گونه معادلات و غیره است.

مرحله چهارم:انتخاب روش برای مطالعه مدل ریاضی. اغلب در اینجا از روش های عددی استفاده می شود که به خوبی به برنامه نویسی کمک می کند. به عنوان یک قاعده، چندین روش برای حل یک مشکل مناسب هستند که در دقت، ثبات و غیره متفاوت هستند. موفقیت کل فرآیند مدل سازی اغلب به انتخاب صحیح روش بستگی دارد.

مرحله پنجم:توسعه یک الگوریتم، کامپایل و اشکال زدایی یک برنامه کامپیوتری فرآیندی است که رسمی کردن آن دشوار است. از بین زبان های برنامه نویسی، بسیاری از متخصصان برای مدل سازی ریاضی، FORTRAN را ترجیح می دهند: هم به دلیل سنت و هم به دلیل کارایی بی نظیر کامپایلرها (برای کار محاسباتی) و وجود کتابخانه های عظیم، با دقت اشکال زدایی و بهینه سازی شده از برنامه های استاندارد روش های ریاضی نوشته شده در آی تی. بسته به ماهیت کار و تمایل برنامه نویس، از زبان هایی مانند PASCAL، BASIC، C نیز استفاده می شود.

مرحله ششم:تست برنامه عملکرد برنامه بر روی یک مسئله آزمایشی با یک پاسخ شناخته شده آزمایش می شود. این تازه شروع یک روش آزمایشی است که توصیف آن به روشی رسمی و جامع دشوار است. معمولا تست زمانی به پایان می رسد که کاربر با توجه به ویژگی های حرفه ای خود، برنامه را صحیح بداند.

مرحله هفتم:آزمایش محاسباتی واقعی، که طی آن مشخص می شود که آیا مدل با یک شی (فرایند) واقعی مطابقت دارد یا خیر. اگر برخی از ویژگی‌های فرآیند به‌دست‌آمده در رایانه با ویژگی‌های به‌دست‌آمده تجربی با درجه دقت معینی منطبق باشد، مدل به اندازه کافی برای فرآیند واقعی مناسب است. اگر مدل با فرآیند واقعی مطابقت نداشته باشد، به یکی از مراحل قبلی برمی گردیم.

طبقه بندی مدل های ریاضی

طبقه بندی مدل های ریاضی می تواند بر اساس اصول مختلفی باشد. امکان طبقه بندی مدل ها بر اساس شاخه های علوم (مدل های ریاضی در فیزیک، زیست شناسی، جامعه شناسی و غیره) وجود دارد. می توان آن را بر اساس دستگاه ریاضی کاربردی (مدل های مبتنی بر استفاده از معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل جزئی، روش های تصادفی، تبدیل های جبری گسسته و غیره) طبقه بندی کرد. در نهایت، اگر از وظایف کلی مدل‌سازی در علوم مختلف صرف نظر از دستگاه ریاضی پیش برویم، طبقه‌بندی زیر طبیعی‌تر است:

• مدل های توصیفی (توصیفی)؛
• مدل های بهینه سازی؛
• مدل های چند معیاره؛
• مدل های بازی

بیایید این را با مثال توضیح دهیم.

مدل های توصیفی (توصیفی).. به عنوان مثال، شبیه‌سازی حرکت دنباله‌داری که به منظومه شمسی حمله می‌کند، برای پیش‌بینی مسیر پرواز، فاصله‌ای که از زمین می‌گذرد و غیره انجام می‌شود. در این مورد، اهداف مدل‌سازی توصیفی است، زیرا هیچ راهی برای تأثیرگذاری بر حرکت دنباله‌دار، تغییر چیزی در آن وجود ندارد.

مدل های بهینه سازیبرای توصیف فرآیندهایی که می توان در تلاش برای دستیابی به یک هدف معین تحت تأثیر قرار گیرد، استفاده می شود. در این مورد، مدل شامل یک یا چند پارامتر است که می تواند تحت تأثیر قرار گیرد. به عنوان مثال، با تغییر رژیم حرارتی در انبار غلات، می توان برای دستیابی به حداکثر حفظ دانه، چنین رژیمی را انتخاب کرد. بهینه سازی فرآیند ذخیره سازی

مدل های چند معیاره. اغلب لازم است فرآیند در چندین پارامتر به طور همزمان بهینه شود و اهداف می توانند بسیار متناقض باشند. به عنوان مثال، با دانستن قیمت غذا و نیاز فرد به غذا، باید تغذیه گروه های زیادی از مردم (در اردو، اردوگاه تابستانی کودکان و ...) از نظر فیزیولوژیکی صحیح و در عین حال با کمترین هزینه ممکن سازماندهی شود. . روشن است که این اهداف به هیچ وجه منطبق نیستند; هنگام مدل‌سازی، معیارهای مختلفی مورد استفاده قرار می‌گیرد که باید بین آنها تعادل جستجو شود.

مدل های بازیمی تواند نه تنها به بازی های رایانه ای، بلکه به چیزهای بسیار جدی مربوط شود. به عنوان مثال، قبل از نبرد، اگر اطلاعات ناقصی در مورد ارتش مخالف وجود داشته باشد، یک فرمانده باید با در نظر گرفتن واکنش احتمالی دشمن، طرحی را تدوین کند: به چه ترتیب واحدهای خاصی را وارد نبرد کنند و غیره. بخش ویژه ای از ریاضیات مدرن - نظریه بازی ها - وجود دارد که روش های تصمیم گیری را تحت شرایط اطلاعات ناقص مطالعه می کند.

در دوره مدرسه علوم کامپیوتر، دانش آموزان ایده اولیه مدل سازی ریاضی کامپیوتر را به عنوان بخشی از دوره پایه دریافت می کنند. در دبیرستان، مدل‌سازی ریاضی را می‌توان به طور عمیق در یک دوره آموزش عمومی برای کلاس‌های فیزیک و ریاضی و همچنین در یک درس انتخابی تخصصی مطالعه کرد.

اشکال اصلی آموزش مدل سازی ریاضی کامپیوتری در دبیرستان، سخنرانی، کلاس های آزمایشگاهی و اعتباری است. معمولاً کار روی ایجاد و آماده سازی برای مطالعه هر مدل جدید 3-4 درس طول می کشد. در جریان ارائه مطالب ، وظایفی تعیین می شود که در آینده باید توسط دانش آموزان به تنهایی حل شوند ، به طور کلی راه های حل آنها بیان شده است. سوالاتی فرموله می شود که پاسخ آنها باید هنگام انجام وظایف بدست آید. ادبیات اضافی نشان داده شده است، که به شما امکان می دهد اطلاعات کمکی را برای تکمیل موفقیت آمیزتر وظایف به دست آورید.

شکل تشکیل کلاس ها در مطالعه مطالب جدید معمولاً یک سخنرانی است. بعد از اتمام بحث مدل بعدی دانش آموزاناطلاعات نظری لازم و مجموعه ای از وظایف را برای کار بیشتر در اختیار دارند. در آماده سازی برای کار، دانش آموزان روش راه حل مناسب را انتخاب می کنند، با استفاده از برخی راه حل های خصوصی شناخته شده، آنها برنامه توسعه یافته را آزمایش می کنند. در صورت وجود مشکلات کاملاً احتمالی در انجام وظایف، مشاوره داده می شود، پیشنهادی برای کار کردن این بخش ها با جزئیات بیشتر در ادبیات ارائه می شود.

مرتبط ترین بخش عملی آموزش مدلسازی کامپیوتری روش پروژه است. تکلیف در قالب یک پروژه آموزشی برای دانش آموز تدوین شده و طی چندین درس انجام می شود و شکل اصلی سازمانی در این مورد کار آزمایشگاه کامپیوتری است. یادگیری مدل سازی با استفاده از روش پروژه یادگیری در سطوح مختلف قابل پیاده سازی است. اولی بیان مشکل فرآیند اجرای پروژه است که توسط معلم هدایت می شود. دوم اجرای طرح توسط دانش آموزان با راهنمایی معلم است. سوم اجرای مستقل یک پروژه تحقیقاتی آموزشی توسط دانشجویان است.

نتایج کار باید به صورت عددی، در قالب نمودار، نمودار ارائه شود. در صورت امکان، فرآیند بر روی صفحه نمایش کامپیوتر به صورت پویا ارائه می شود. پس از تکمیل محاسبات و دریافت نتایج، تجزیه و تحلیل آنها، مقایسه با حقایق شناخته شده از تئوری، تأیید اعتبار و تفسیر معنادار انجام می شود که متعاقباً در یک گزارش مکتوب منعکس می شود.

اگر نتایج دانش آموز و معلم را راضی کند، کار است شمارش می کندتکمیل شد و مرحله نهایی آن تهیه گزارش است. این گزارش شامل اطلاعات نظری مختصری در مورد موضوع مورد مطالعه، فرمول ریاضی مسئله، الگوریتم راه حل و توجیه آن، یک برنامه کامپیوتری، نتایج برنامه، تجزیه و تحلیل نتایج و نتیجه گیری، فهرست منابع است.

هنگامی که همه گزارش ها تهیه شد، در جلسه آزمون، دانش آموزان گزارش های مختصری از کار انجام شده ارائه می دهند و از پروژه خود دفاع می کنند. این یک شکل موثر از گزارش تیم پروژه به کلاس است، از جمله تنظیم مشکل، ساخت یک مدل رسمی، انتخاب روش‌های کار با مدل، پیاده‌سازی مدل در رایانه، کار با مدل نهایی، تفسیر نتایج، پیش بینی در نتیجه، دانش آموزان می توانند دو نمره دریافت کنند: اولی - برای شرح پروژه و موفقیت در دفاع از آن، دوم - برای برنامه، بهینه بودن الگوریتم، رابط و غیره. دانش آموزان همچنین در دوره نظرسنجی های تئوری نمره دریافت می کنند.

یک سوال ضروری این است که در درس انفورماتیک مدرسه برای مدلسازی ریاضی از چه ابزارهایی استفاده کنیم؟ پیاده سازی کامپیوتری مدل ها را می توان انجام داد:

• با استفاده از یک صفحه گسترده (معمولا MS Excel)؛
• با ایجاد برنامه در زبان های برنامه نویسی سنتی (پاسکال، بیسیک و غیره) و همچنین در نسخه های مدرن آنها (دلفی، ویژوال)
  پایه برای کاربرد و غیره)؛
• استفاده از بسته های نرم افزاری ویژه برای حل مسائل ریاضی (MathCAD و غیره).

در سطح مدرسه ابتدایی، به نظر می رسد اولین راه حل ترجیحی باشد. با این حال، در دبیرستان، زمانی که برنامه نویسی، همراه با مدل سازی، موضوع کلیدی علوم کامپیوتر است، مطلوب است که آن را به عنوان یک ابزار مدل سازی در نظر بگیریم. در فرآیند برنامه نویسی، جزئیات رویه های ریاضی در دسترس دانش آموزان قرار می گیرد. علاوه بر این، آنها به سادگی مجبور به تسلط بر آنها هستند و این نیز به آموزش ریاضی کمک می کند. در مورد استفاده از بسته‌های نرم‌افزاری خاص، این کار در دوره‌های علوم کامپیوتر پروفایل به عنوان مکمل ابزارهای دیگر مناسب است.

ورزش :

• مفاهیم کلیدی را ترسیم کنید.

یادداشت های سخنرانی

به نرخ

"مدل سازی ریاضی ماشین ها و سیستم های حمل و نقل"

این دوره به مسائل مربوط به مدل سازی ریاضی، با شکل و اصل نمایش مدل های ریاضی می پردازد. روش های عددی برای حل سیستم های غیرخطی یک بعدی در نظر گرفته شده است. سوالات مدلسازی کامپیوتری و آزمایش محاسباتی پوشش داده شده است. روش های پردازش داده های به دست آمده در نتیجه آزمایش های علمی یا صنعتی در نظر گرفته می شود. تحقیق در مورد فرآیندهای مختلف، شناسایی الگوها در رفتار اشیا، فرآیندها و سیستم ها. روش های درونیابی و تقریب داده های تجربی در نظر گرفته شده است. مسائل مربوط به شبیه سازی کامپیوتری و حل سیستم های دینامیکی غیرخطی در نظر گرفته شده است. به ویژه روش های انتگرال گیری عددی و حل معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول، دوم و بالاتر در نظر گرفته شده است.

سخنرانی: مدل سازی ریاضی. شکل و اصول نمایش مدل های ریاضی

این سخنرانی به مسائل کلی مدل سازی ریاضی می پردازد. طبقه بندی مدل های ریاضی داده شده است.

رایانه ها به طور محکم وارد زندگی ما شده اند و عملاً چنین حوزه ای از فعالیت انسانی وجود ندارد که در آن از رایانه استفاده نشود. رایانه ها اکنون به طور گسترده در فرآیند ایجاد و تحقیق ماشین های جدید، فرآیندهای فناوری جدید و جستجوی گزینه های بهینه آنها استفاده می شوند. در حل مشکلات اقتصادی، در حل مشکلات برنامه ریزی و مدیریت تولید در سطوح مختلف. ایجاد اجسام بزرگ در راکت سازی، هواپیماسازی، کشتی سازی و همچنین طراحی سدها، پل ها و غیره به طور کلی بدون استفاده از کامپیوتر غیرممکن است.

برای استفاده از رایانه در حل مسائل کاربردی، اول از همه، مسئله کاربردی باید به یک زبان ریاضی رسمی «ترجمه» شود، یعنی. برای یک شی، فرآیند یا سیستم واقعی، مدل ریاضی آن باید ساخته شود.

کلمه "مدل" از modus لاتین (کپی، تصویر، طرح کلی) گرفته شده است. مدل سازی جایگزینی شیء A با شیء دیگر B است. شیء جایگزین شده A را اصل یا شیء مدلسازی و جایگزین B را مدل می نامند. به عبارت دیگر، یک مدل یک شی جایگزین برای شی اصلی است که مطالعه برخی از ویژگی های اصلی را فراهم می کند.

هدف از مدل سازی به دست آوردن، پردازش، ارائه و استفاده از اطلاعات در مورد اشیایی است که با یکدیگر و محیط خارجی تعامل دارند. و مدل در اینجا به عنوان وسیله ای برای شناخت ویژگی ها و الگوهای رفتار شی عمل می کند.

مدل‌سازی در زمینه‌های مختلف فعالیت‌های انسانی به‌ویژه در حوزه‌های طراحی و مدیریت که فرآیندهای تصمیم‌گیری مؤثر بر اساس اطلاعات دریافت‌شده در آن‌ها ویژه است، کاربرد گسترده‌ای دارد.

یک مدل همیشه با هدف خاصی در ذهن ساخته می‌شود، که بر ویژگی‌های یک پدیده عینی تأثیر می‌گذارد و کدام ویژگی مهم نیست. این مدل، همانطور که بود، فرافکنی واقعیت عینی از یک زاویه دید معین است. گاهی اوقات، بسته به اهداف، می توانید تعدادی پیش بینی واقعیت عینی را دریافت کنید که در تضاد قرار می گیرند. این معمولاً برای سیستم‌های پیچیده معمول است، که در آن هر فرافکنی آنچه را که برای یک هدف خاص ضروری است از مجموعه‌ای از موارد غیر ضروری جدا می‌کند.

نظریه مدل‌سازی شاخه‌ای از علم است که روش‌هایی را برای مطالعه ویژگی‌های اشیاء اصلی بر اساس جایگزینی آن‌ها با سایر اشیاء مدل مطالعه می‌کند. نظریه شباهت زیربنای نظریه مدل سازی است. هنگام مدل‌سازی، شباهت مطلق اتفاق نمی‌افتد و فقط تلاش می‌کند تا اطمینان حاصل کند که مدل جنبه مورد مطالعه عملکرد شی را به خوبی منعکس می‌کند. تشابه مطلق تنها زمانی رخ می دهد که یک شی با شیء دیگر دقیقاً مشابه جایگزین شود.

همه مدل ها را می توان به دو دسته تقسیم کرد:

1. واقعی،

2. کامل.

به نوبه خود، مدل های واقعی را می توان به موارد زیر تقسیم کرد:

1. طبیعی،

2. فیزیکی،

3. ریاضی.

مدل های ایده آل را می توان به موارد زیر تقسیم کرد:

1. بصری،

2. نمادین،

3. ریاضی.

مدل های تمام مقیاس واقعی اشیا، فرآیندها و سیستم های واقعی هستند که آزمایش های علمی، فنی و صنعتی بر روی آنها انجام می شود.

مدل‌های فیزیکی واقعی مدل‌هایی هستند، مدل‌هایی که ویژگی‌های فیزیکی نمونه‌های اصلی را بازتولید می‌کنند (مدل‌های سینماتیک، دینامیک، هیدرولیک، حرارتی، الکتریکی، سبک).

ریاضی واقعی مدل های آنالوگ، ساختاری، هندسی، گرافیکی، دیجیتال و سایبرنتیک هستند.

مدل‌های بصری ایده‌آل نمودارها، نقشه‌ها، نقشه‌ها، نمودارها، نمودارها، آنالوگ‌ها، مدل‌های ساختاری و هندسی هستند.

مدل‌های نشانه ایده‌آل عبارتند از نمادها، الفبا، زبان‌های برنامه‌نویسی، نشانه‌گذاری مرتب، نماد توپولوژیکی، نمایش شبکه.

مدل های ریاضی ایده آل عبارتند از مدل های تحلیلی، عملکردی، شبیه سازی و ترکیبی.

در طبقه بندی فوق، برخی از مدل ها تفسیر دوگانه دارند (مثلاً آنالوگ). همه مدل ها، به جز مدل های تمام مقیاس، می توانند در یک کلاس از مدل های ذهنی ترکیب شوند، زیرا آنها محصول تفکر انتزاعی انسان هستند.

اجازه دهید در مورد یکی از جهانی ترین انواع مدل سازی - ریاضی صحبت کنیم، که در مطابقت با فرآیند فیزیکی شبیه سازی شده، سیستمی از روابط ریاضی را قرار می دهد، که راه حل آن به شما امکان می دهد پاسخی به سوال در مورد رفتار یک شیء بدون ایجاد یک مدل فیزیکی، که اغلب گران و ناکارآمد است.

مدل‌سازی ریاضی وسیله‌ای برای مطالعه یک شی، فرآیند یا سیستم واقعی با جایگزینی آنها با یک مدل ریاضی است که برای تحقیقات تجربی با استفاده از رایانه راحت‌تر است.

مدل ریاضی یک نمایش تقریبی از اشیاء، فرآیندها یا سیستم های واقعی است که در اصطلاحات ریاضی بیان می شود و ویژگی های اصلی اصلی را حفظ می کند. مدل‌های ریاضی به شکل کمی، با کمک ساختارهای منطقی و ریاضی، ویژگی‌های اصلی یک شی، فرآیند یا سیستم، پارامترهای آن، ارتباطات داخلی و خارجی را توصیف می‌کنند.

در حالت کلی، یک مدل ریاضی از یک شی، فرآیند یا سیستم واقعی به عنوان سیستمی از توابع نشان داده می شود.

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

که در آن X بردار متغیرهای ورودی است، X=t،

Y - بردار متغیرهای خروجی، Y= t،

Z - بردار تأثیرات خارجی، Z= t،

t - مختصات زمانی.

ساخت یک مدل ریاضی شامل تعیین روابط بین فرآیندها و پدیده‌های خاص، ایجاد یک دستگاه ریاضی است که به فرد اجازه می‌دهد رابطه بین فرآیندها و پدیده‌های خاص، بین مقادیر فیزیکی مورد علاقه یک متخصص و عوامل مؤثر بر آن را به صورت کمی و کیفی بیان کند. نتیجه نهایی.

معمولا تعداد آنها به قدری زیاد است که نمی توان کل مجموعه آنها را وارد مدل کرد. هنگام ساخت یک مدل ریاضی، قبل از تحقیق، وظیفه شناسایی و حذف عواملی که به طور قابل‌توجهی بر نتیجه نهایی تأثیر نمی‌گذارند، مطرح می‌شود (یک مدل ریاضی معمولاً شامل تعداد بسیار کمتری از عوامل نسبت به واقعیت است). بر اساس داده های تجربی، فرضیه هایی در مورد رابطه بین کمیت های بیان کننده نتیجه نهایی و عوامل وارد شده به مدل ریاضی مطرح می شود. چنین ارتباطی اغلب توسط سیستم های معادلات دیفرانسیل در مشتقات جزئی بیان می شود (به عنوان مثال، در مسائل مکانیک جامد، مایع و گاز، نظریه فیلتراسیون، هدایت گرما، نظریه میدان های الکترواستاتیک و الکترودینامیک).

هدف نهایی این مرحله، تدوین یک مسئله ریاضی است که حل آن با دقت لازم، نتایجی را بیان می کند که مورد علاقه یک متخصص است.

شکل و اصول نمایش یک مدل ریاضی به عوامل زیادی بستگی دارد.

با توجه به اصول ساخت، مدل های ریاضی به دو دسته تقسیم می شوند:

1. تحلیلی;

2. تقلید.

در مدل‌های تحلیلی، فرآیندهای عملکرد اشیاء، فرآیندها یا سیستم‌های واقعی به شکل وابستگی‌های عملکردی صریح نوشته می‌شوند.

مدل تحلیلی بسته به مسئله ریاضی به انواع زیر تقسیم می شود:

1. معادلات (جبری، ماورایی، دیفرانسیل، انتگرال)،

2. مسائل تقریبی (الحاق، برون یابی، ادغام عددی و تمایز)،

3. مشکلات بهینه سازی،

4. مشکلات تصادفی.

با این حال، با پیچیده‌تر شدن شی مدل‌سازی، ساخت یک مدل تحلیلی به یک مشکل حل‌ناپذیر تبدیل می‌شود. سپس محقق مجبور به استفاده از مدل سازی شبیه سازی می شود.

در مدل سازی شبیه سازی، عملکرد اشیا، فرآیندها یا سیستم ها توسط مجموعه ای از الگوریتم ها توصیف می شود. الگوریتم ها پدیده های ابتدایی واقعی را تقلید می کنند که یک فرآیند یا سیستم را می سازند و در عین حال ساختار منطقی و توالی خود را در زمان حفظ می کنند. مدل سازی شبیه سازی امکان به دست آوردن اطلاعات در مورد وضعیت های یک فرآیند یا سیستم را در مقاطع زمانی معین از داده های اولیه فراهم می کند، اما پیش بینی رفتار اشیا، فرآیندها یا سیستم ها دشوار است. می‌توان گفت که مدل‌های شبیه‌سازی، آزمایش‌های محاسباتی مبتنی بر رایانه با مدل‌های ریاضی هستند که رفتار اشیاء، فرآیندها یا سیستم‌های واقعی را شبیه‌سازی می‌کنند.

بسته به ماهیت فرآیندها و سیستم های واقعی مورد مطالعه، مدل های ریاضی می توانند به شرح زیر باشند:

1. قطعی،

2. تصادفی.

در مدل‌های قطعی، فرض بر این است که هیچ تأثیر تصادفی وجود ندارد، عناصر مدل (متغیرها، روابط ریاضی) به خوبی تثبیت شده‌اند و رفتار سیستم را می‌توان با دقت تعیین کرد. هنگام ساخت مدل های قطعی، بیشتر از معادلات جبری، معادلات انتگرال و جبر ماتریسی استفاده می شود.

مدل تصادفی ماهیت تصادفی فرآیندها را در اشیا و سیستم‌های مورد مطالعه در نظر می‌گیرد که با روش‌های نظریه احتمال و آمار ریاضی توصیف می‌شود.

با توجه به نوع اطلاعات ورودی، مدل ها به دو دسته تقسیم می شوند:

1. مستمر،

2. گسسته.

اگر اطلاعات و پارامترها پیوسته باشند و روابط ریاضی پایدار باشند، مدل پیوسته است. و بالعکس، اگر اطلاعات و پارامترها گسسته باشند، و اتصالات ناپایدار باشند، مدل ریاضی نیز گسسته است.

با توجه به رفتار مدل ها در زمان، آنها به موارد زیر تقسیم می شوند:

1. ایستا،

2. پویا.

مدل های استاتیک رفتار یک شی، فرآیند یا سیستم را در هر نقطه از زمان توصیف می کنند. مدل‌های پویا رفتار یک شی، فرآیند یا سیستم را در طول زمان منعکس می‌کنند.

با توجه به میزان تطابق بین مدل ریاضی و شی، فرآیند یا سیستم واقعی، مدل‌های ریاضی به دو دسته تقسیم می‌شوند:

1. ایزومورف (همان شکل)،

2. همومورفیک (از نظر شکل متفاوت).

اگر یک مدل تطابق کامل عنصر به عنصر بین آن و یک شی، فرآیند یا سیستم واقعی وجود داشته باشد، ایزومورفیک نامیده می شود. هممورفیک - اگر فقط بین مهم ترین اجزای شی و مدل مطابقت وجود داشته باشد.

در آینده برای تعریف مختصری از نوع مدل ریاضی در طبقه بندی فوق، از نماد زیر استفاده خواهیم کرد:

حرف اول:

د - قطعی،

ج - تصادفی.

نامه دوم:

H - پیوسته،

د - گسسته.

نامه سوم:

الف - تحلیلی،

و - تقلید.

1. تأثیر فرآیندهای تصادفی (به طور دقیق تر، در نظر گرفته نشده است) وجود ندارد. مدل قطعی (D).

2. اطلاعات و پارامترها پیوسته هستند، یعنی. مدل - پیوسته (H)،

3. عملکرد مدل مکانیزم میل لنگ در قالب معادلات ماورایی غیر خطی، یعنی. مدل - تحلیلی (A)

2. سخنرانی: ویژگی های ساخت مدل های ریاضی

این سخنرانی روند ساخت یک مدل ریاضی را شرح می دهد. الگوریتم کلامی فرآیند داده شده است.

برای استفاده از رایانه در حل مسائل کاربردی، اول از همه، مسئله کاربردی باید به یک زبان ریاضی رسمی «ترجمه» شود، یعنی. برای یک شی، فرآیند یا سیستم واقعی، مدل ریاضی آن باید ساخته شود.

مدل‌های ریاضی به شکل کمی، با کمک ساختارهای منطقی و ریاضی، ویژگی‌های اصلی یک شی، فرآیند یا سیستم، پارامترهای آن، ارتباطات داخلی و خارجی را توصیف می‌کنند.

برای ساخت یک مدل ریاضی به موارد زیر نیاز دارید:

1. تجزیه و تحلیل دقیق یک شی یا فرآیند واقعی.

2. برجسته ترین ویژگی ها و ویژگی های آن.

3. متغیرها را تعریف کنید، یعنی. پارامترهایی که مقادیر آنها بر ویژگی ها و ویژگی های اصلی شی تأثیر می گذارد.

4. وابستگی ویژگی های اساسی یک شی، فرآیند یا سیستم را به مقدار متغیرها با استفاده از روابط منطقی و ریاضی (معادلات، برابری ها، نابرابری ها، ساختارهای منطقی و ریاضی) توصیف کنید.

5. اتصالات داخلی یک شی، فرآیند یا سیستم را با استفاده از محدودیت ها، معادلات، برابری ها، نابرابری ها، ساختارهای منطقی و ریاضی برجسته کنید.

6. تعیین روابط خارجی و توصیف آنها با استفاده از محدودیت ها، معادلات، برابری ها، نابرابری ها، ساختارهای منطقی و ریاضی.

مدل‌سازی ریاضی علاوه بر مطالعه یک شی، فرآیند یا سیستم و تدوین توصیف ریاضی آن‌ها، شامل موارد زیر نیز می‌شود:

1. ساخت یک الگوریتم که رفتار یک شی، فرآیند یا سیستم را مدل می کند.

2. تأیید کفایت مدل و شی، فرآیند یا سیستم مبتنی بر آزمایش محاسباتی و طبیعی.

3. تنظیم مدل.

4. استفاده از مدل.

توصیف ریاضی فرآیندها و سیستم های مورد مطالعه به موارد زیر بستگی دارد:

1. ماهیت یک فرآیند یا سیستم واقعی و بر اساس قوانین فیزیک، شیمی، مکانیک، ترمودینامیک، هیدرودینامیک، مهندسی برق، نظریه پلاستیسیته، نظریه کشسانی و غیره تدوین شده است.

2. قابلیت اطمینان و دقت مورد نیاز مطالعه و مطالعه فرآیندها و سیستم های واقعی.

در مرحله انتخاب یک مدل ریاضی، موارد زیر مشخص می شود: خطی بودن و غیرخطی بودن یک شی، فرآیند یا سیستم، پویایی یا ایستا، ایستایی یا غیر ایستایی، و همچنین درجه قطعی بودن شی یا فرآیند تحت مطالعه. در مدل‌سازی ریاضی، شخص عمداً از ماهیت فیزیکی خاص اشیاء، فرآیندها یا سیستم‌ها انتزاع می‌کند و عمدتاً بر مطالعه وابستگی‌های کمی بین کمیت‌هایی که این فرآیندها را توصیف می‌کنند تمرکز می‌کند.

یک مدل ریاضی هرگز کاملاً با شی، فرآیند یا سیستم مورد نظر یکسان نیست. بر اساس ساده سازی، ایده آل سازی، توصیفی تقریبی از شی است. بنابراین، نتایج به دست آمده در تجزیه و تحلیل مدل تقریبی است. دقت آنها با درجه کفایت (تطابق) مدل و شی تعیین می شود.

ساخت یک مدل ریاضی معمولاً با ساخت و تجزیه و تحلیل ساده‌ترین و خشن‌ترین مدل ریاضی شی، فرآیند یا سیستم مورد بررسی آغاز می‌شود. در آینده، در صورت لزوم، مدل پالایش می شود، مطابقت آن با شی کاملتر می شود.

بیایید یک مثال ساده بزنیم. شما باید سطح میز را تعیین کنید. معمولاً برای این کار طول و عرض آن اندازه گیری می شود و سپس اعداد حاصل ضرب می شوند. چنین رویه ابتدایی در واقع به معنای زیر است: شی واقعی (سطح جدول) با یک مدل ریاضی انتزاعی - یک مستطیل جایگزین می شود. ابعاد به دست آمده در نتیجه اندازه گیری طول و عرض سطح میز به مستطیل نسبت داده می شود و مساحت چنین مستطیلی تقریباً به عنوان مساحت مورد نظر جدول در نظر گرفته می شود.

با این حال، مدل مستطیل میز ساده ترین و خام ترین مدل است. با رویکرد جدی تر به مسئله، قبل از استفاده از مدل مستطیل برای تعیین مساحت جدول، این مدل باید بررسی شود. بررسی ها را می توان به شرح زیر انجام داد: طول اضلاع مقابل جدول و همچنین طول مورب های آن را اندازه گیری کنید و آنها را با یکدیگر مقایسه کنید. اگر با دقت لازم، طول اضلاع مقابل و طول مورب ها به صورت جفتی با هم برابر باشند، در واقع سطح میز را می توان به عنوان یک مستطیل در نظر گرفت. در غیر این صورت، مدل مستطیل باید رد شود و با یک مدل چهار ضلعی کلی جایگزین شود. با نیاز به دقت بالاتر، ممکن است لازم باشد مدل را حتی بیشتر اصلاح کرد، به عنوان مثال، برای در نظر گرفتن گرد کردن گوشه‌های میز.

با استفاده از این مثال ساده، نشان داده شد که مدل ریاضی به طور منحصر به فرد توسط شی، فرآیند یا سیستم مورد مطالعه تعیین نمی شود. برای همین جدول، می‌توانیم یک مدل مستطیل، یا یک مدل پیچیده‌تر از یک چهارضلعی کلی یا یک چهارضلعی با گوشه‌های گرد را بپذیریم. انتخاب یک یا مدل دیگر با نیاز به دقت تعیین می شود. با افزایش دقت، مدل باید با در نظر گرفتن ویژگی های جدید و جدید شی، فرآیند یا سیستم مورد مطالعه، پیچیده شود.

مثال دیگری را در نظر بگیرید: مطالعه حرکت مکانیسم میل لنگ (شکل 2.1).

برنج. 2.1.

برای تحلیل سینماتیکی این مکانیسم، ابتدا لازم است مدل سینماتیکی آن ساخته شود. برای این:

1. ما مکانیسم را با طرح حرکتی آن جایگزین می کنیم، که در آن همه پیوندها با پیوندهای صلب جایگزین می شوند.

2. با استفاده از این طرح، معادله حرکت مکانیسم را استخراج می کنیم.

3. با افتراق دومی، معادلات سرعت و شتاب را به دست می آوریم که معادلات دیفرانسیل مرتبه 1 و 2 هستند.

بیایید این معادلات را بنویسیم:

که در آن C 0 موقعیت سمت راست نوار لغزنده C است:

r شعاع میل لنگ AB است.

l طول شاتون BC است.

- زاویه چرخش میل لنگ؛

معادلات ماورایی حاصل یک مدل ریاضی از حرکت مکانیزم میل لنگ محوری مسطح بر اساس فرضیات ساده‌سازی زیر را نشان می‌دهد:

1. ما علاقه ای به فرم های سازنده و آرایش توده های گنجانده شده در مکانیسم اجسام نداشتیم و تمام بدنه های مکانیسم را با قطعات خطی جایگزین کردیم. در واقع، تمام پیوندهای مکانیسم دارای جرم و شکل نسبتاً پیچیده ای هستند. به عنوان مثال شاتون یک اتصال پیش ساخته پیچیده است که البته شکل و ابعاد آن بر حرکت مکانیسم تأثیر می گذارد.

2. هنگام ساخت یک مدل ریاضی از حرکت مکانیسم مورد نظر، ما همچنین کشسانی اجسام موجود در مکانیسم را در نظر نگرفتیم، یعنی. همه پیوندها به عنوان اجسام کاملاً صلب انتزاعی در نظر گرفته شدند. در واقع، تمام اجسام موجود در مکانیسم، اجسام الاستیک هستند. هنگامی که مکانیسم حرکت می کند، آنها به نوعی تغییر شکل می دهند، حتی ممکن است ارتعاشات الاستیک در آنها رخ دهد. البته همه اینها بر حرکت مکانیسم نیز تأثیر می گذارد.

3. ما خطای ساخت لینک ها، شکاف های جفت سینماتیکی A، B، C و غیره را در نظر نگرفتیم.

بنابراین، مهم است که یک بار دیگر تأکید کنیم که هر چه الزامات برای دقت نتایج حل مسئله بیشتر باشد، نیاز به در نظر گرفتن ویژگی‌های شی، فرآیند یا سیستم مورد مطالعه هنگام ساخت یک مدل ریاضی بیشتر است. با این حال، توقف به موقع در اینجا مهم است، زیرا یک مدل پیچیده ریاضی می تواند به یک کار دشوار تبدیل شود.

این مدل زمانی به سادگی ساخته می‌شود که قوانینی که رفتار و ویژگی‌های یک شی، فرآیند یا سیستم را تعیین می‌کنند به خوبی شناخته شده باشند و تجربه عملی زیادی در کاربرد آن‌ها وجود داشته باشد.

زمانی که دانش ما در مورد شی، فرآیند یا سیستم مورد مطالعه ناکافی باشد، وضعیت پیچیده‌تری ایجاد می‌شود. در این مورد، هنگام ساخت یک مدل ریاضی، باید مفروضات اضافی را انجام داد که در ماهیت فرضیه ها هستند، چنین مدلی فرضی نامیده می شود. نتایج حاصل از مطالعه چنین مدل فرضی مشروط است. برای تأیید نتایج، لازم است نتایج مطالعه مدل روی رایانه با نتایج یک آزمایش در مقیاس کامل مقایسه شود. بنابراین، مسئله کاربردی بودن یک مدل ریاضی خاص برای مطالعه شی، فرآیند یا سیستم مورد بررسی، یک سوال ریاضی نیست و نمی توان آن را با روش های ریاضی حل کرد.

معیار اصلی حقیقت آزمایش است، تمرین به معنای وسیع کلمه.

ساخت مدل ریاضی در مسائل کاربردی یکی از پیچیده ترین و پر مسئولیت ترین مراحل کار است. تجربه نشان می دهد که در بسیاری از موارد انتخاب مدل مناسب به معنای حل مشکل بیش از نصف است. سختی این مرحله این است که نیاز به ترکیبی از دانش ریاضی و خاص دارد. بنابراین، بسیار مهم است که ریاضیدانان هنگام حل مسائل کاربردی، دانش خاصی در مورد موضوع داشته باشند و شرکای آنها، متخصصان، فرهنگ ریاضی خاصی، تجربه تحقیق در زمینه خود، دانش رایانه و برنامه نویسی داشته باشند.

سخنرانی 3. مدل سازی کامپیوتری و آزمایش محاسباتی. حل مدل های ریاضی

مدلسازی کامپیوتری به عنوان روشی نوین در تحقیقات علمی مبتنی بر موارد زیر است:

1. ساخت مدل های ریاضی برای توصیف فرآیندهای مورد مطالعه.

2. استفاده از جدیدترین رایانه ها با سرعت بالا (میلیون ها عملیات در ثانیه) و قادر به انجام گفتگو با یک شخص.

ماهیت شبیه سازی کامپیوتری به شرح زیر است: بر اساس یک مدل ریاضی، یک سری آزمایشات محاسباتی با کمک یک کامپیوتر انجام می شود، یعنی. خواص اشیا یا فرآیندها مورد مطالعه قرار می گیرد، پارامترهای بهینه و حالت های عملکرد آنها پیدا می شود، مدل پالایش می شود. به عنوان مثال، با داشتن معادله ای که سیر یک فرآیند خاص را توصیف می کند، می توانید ضرایب، شرایط اولیه و مرزی آن را تغییر دهید و بررسی کنید که شی در این مورد چگونه رفتار خواهد کرد. علاوه بر این، می توان رفتار یک شی را در شرایط مختلف پیش بینی کرد.

آزمایش محاسباتی امکان جایگزینی یک آزمایش گران قیمت در مقیاس کامل را با محاسبات رایانه ای فراهم می کند. این اجازه می دهد تا در مدت زمان کوتاه و بدون هزینه های قابل توجه مادی مطالعه تعداد زیادی گزینه برای شی یا فرآیند طراحی شده برای حالت های مختلف عملکرد آن انجام شود، که به طور قابل توجهی زمان مورد نیاز برای توسعه سیستم های پیچیده و معرفی آنها را کاهش می دهد. به تولید

مدل‌سازی رایانه‌ای و آزمایش محاسباتی به عنوان یک روش جدید تحقیقات علمی، بهبود دستگاه ریاضی مورد استفاده در ساخت مدل‌های ریاضی را ضروری می‌سازد و با استفاده از روش‌های ریاضی امکان اصلاح و پیچیده‌تر کردن مدل‌های ریاضی را فراهم می‌کند. امیدوارکننده ترین روش برای انجام یک آزمایش محاسباتی استفاده از آن برای حل مشکلات عمده علمی، فنی و اجتماعی-اقتصادی زمان ما (طراحی راکتور برای نیروگاه های هسته ای، طراحی سدها و نیروگاه های برق آبی، مبدل های انرژی مغناطیسی هیدرودینامیکی، و در زمینه اقتصاد است. - تهیه برنامه متوازن برای یک صنعت، منطقه، کشور و غیره).

در برخی فرآیندها که آزمایش در مقیاس کامل برای زندگی و سلامت انسان خطرناک است، آزمایش محاسباتی تنها امکان ممکن است (همجوشی گرما هسته‌ای، اکتشاف فضا، طراحی و تحقیق در صنایع شیمیایی و سایر صنایع).

برای بررسی کفایت مدل ریاضی و شیء، فرآیند یا سیستم واقعی، نتایج تحقیق در رایانه با نتایج آزمایش بر روی یک نمونه آزمایشی در مقیاس کامل مقایسه می‌شود. از نتایج تأیید برای تصحیح مدل ریاضی استفاده می شود یا سؤال درباره کاربردی بودن مدل ریاضی ساخته شده برای طراحی یا مطالعه اشیاء، فرآیندها یا سیستم های داده شده تصمیم گیری می شود.

در پایان، بار دیگر تاکید می کنیم که شبیه سازی کامپیوتری و آزمایش محاسباتی این امکان را فراهم می کند که مطالعه یک شی "غیر ریاضی" به حل یک مسئله ریاضی کاهش یابد. این امکان استفاده از یک دستگاه ریاضی به خوبی توسعه یافته را برای مطالعه آن در ترکیب با فناوری کامپیوتر قدرتمند باز می کند. این اساس استفاده از ریاضیات و رایانه برای آگاهی از قوانین دنیای واقعی و استفاده از آنها در عمل است.

در وظایف طراحی یا مطالعه رفتار اشیاء، فرآیندها یا سیستم های واقعی، مدل های ریاضی معمولاً غیر خطی هستند، زیرا آنها باید فرآیندهای فیزیکی غیرخطی واقعی را که در آنها اتفاق می افتد منعکس کنند. در عین حال، پارامترها (متغیرهای) این فرآیندها توسط قوانین غیرخطی فیزیکی به هم مرتبط هستند. بنابراین، در مسائل طراحی یا مطالعه رفتار اشیاء، فرآیندها یا سیستم های واقعی، بیشتر از مدل های ریاضی از نوع DND استفاده می شود.

طبق طبقه بندی ارائه شده در سخنرانی 1:

د - مدل قطعی است، تأثیر فرآیندهای تصادفی وجود ندارد (به طور دقیق تر، در نظر گرفته نشده است).

H - مدل پیوسته، اطلاعات و پارامترها پیوسته است.

الف - مدل تحلیلی، عملکرد مدل در قالب معادلات (خطی، غیرخطی، سیستم معادلات، معادلات دیفرانسیل و انتگرال) تشریح شده است.

بنابراین، ما یک مدل ریاضی از شی، فرآیند یا سیستم در نظر گرفته شده، یعنی. یک مسئله کاربردی را به عنوان یک مسئله ریاضی ارائه کرد. پس از آن، مرحله دوم حل مسئله کاربردی آغاز می شود - جستجو یا توسعه روشی برای حل مسئله ریاضی فرموله شده. این روش باید برای اجرای آن در رایانه مناسب باشد، کیفیت لازم راه حل را ارائه دهد.

تمام روش های حل مسائل ریاضی را می توان به 2 گروه تقسیم کرد:

1. روش های دقیق برای حل مسائل.

2. روش های عددی برای حل مسائل.

در روش های دقیق برای حل مسائل ریاضی پاسخ را می توان در قالب فرمول به دست آورد.

به عنوان مثال، محاسبه ریشه های یک معادله درجه دوم:

یا مثلاً محاسبه توابع مشتق:

یا محاسبه یک انتگرال معین:

با این حال، با جایگزینی اعداد در فرمول به عنوان کسرهای اعشاری محدود، ما همچنان مقادیر تقریبی نتیجه را دریافت می کنیم.

برای اکثر مشکلاتی که در عمل با آن مواجه می شوند، روش های دقیق حل یا ناشناخته هستند و یا فرمول های بسیار دست و پا گیر ارائه می دهند. با این حال، آنها همیشه ضروری نیستند. اگر بتوانیم با دقت لازم آن را حل کنیم، می توان یک مسئله کاربردی را عملاً حل شده در نظر گرفت.

برای حل چنین مسائلی، روش‌های عددی ایجاد شده‌اند که در آنها حل مسائل پیچیده ریاضی به اجرای متوالی تعداد زیادی عملیات ساده حسابی کاهش می‌یابد. توسعه مستقیم روش های عددی متعلق به ریاضیات محاسباتی است.

نمونه ای از روش عددی روش مستطیل ها برای انتگرال گیری تقریبی است که نیازی به محاسبه ضد مشتق برای انتگرال ندارد. به جای انتگرال، مجموع تربیع نهایی محاسبه می شود:

x 1 =a - حد پایین ادغام.

x n+1 =b - حد بالایی ادغام.

n تعداد بخش هایی است که فاصله ادغام (a,b) به آنها تقسیم می شود.

طول یک بخش ابتدایی است.

f(x i) مقدار انتگرال در انتهای بخش های ابتدایی انتگرال گیری است.

هر چه تعداد بخش‌های n که بازه ادغام به آنها تقسیم می‌شود بیشتر باشد، جواب تقریبی به جواب واقعی نزدیک‌تر است، یعنی. نتیجه دقیق تر

بنابراین، در مسائل کاربردی، هم در استفاده از روش‌های حل دقیق و هم هنگام استفاده از روش‌های حل عددی، نتایج محاسبات تقریبی است. فقط مهم است که اطمینان حاصل شود که خطاها با دقت لازم مطابقت دارند.

روش‌های عددی برای حل مسائل ریاضی از دیرباز حتی قبل از ظهور رایانه‌ها شناخته شده بودند، اما به ندرت و تنها در موارد نسبتاً ساده به دلیل پیچیدگی شدید محاسبات استفاده می‌شدند. استفاده گسترده از روش های عددی به لطف رایانه ها امکان پذیر شده است.

با توجه به کتاب درسی Sovetov و Yakovlev: "یک مدل (lat. modulus - اندازه گیری) یک شی جایگزین شی اصلی است که مطالعه برخی از ویژگی های اصلی را فراهم می کند." (ص 6) «به جای یک شی با شی دیگر به منظور به دست آوردن اطلاعاتی در مورد مهم ترین ویژگی های شی اصلی با کمک یک شی مدل، مدل سازی نامیده می شود.» (ص. 6) «در مدل‌سازی ریاضی، فرآیند برقراری مطابقت با یک شی واقعی معین از یک شی ریاضی را که مدل ریاضی نامیده می‌شود، و مطالعه این مدل را درک خواهیم کرد، که امکان دستیابی به ویژگی‌های شی واقعی مورد بررسی را فراهم می‌کند. . نوع مدل ریاضی هم به ماهیت شی واقعی و هم به وظایف مطالعه شی و هم به پایایی و دقت مورد نیاز برای حل این مسئله بستگی دارد.

در نهایت، مختصرترین تعریف یک مدل ریاضی: "معادله ای که ایده را بیان می کند».

طبقه بندی مدل

طبقه بندی رسمی مدل ها

طبقه بندی رسمی مدل ها بر اساس طبقه بندی ابزارهای ریاضی مورد استفاده است. اغلب به شکل دوگانگی ساخته می شود. به عنوان مثال، یکی از مجموعه های محبوب دوگانگی این است:

و غیره هر مدل ساخته شده خطی یا غیرخطی، قطعی یا تصادفی است، ... طبیعتاً انواع مختلط نیز امکان پذیر است: از یک جهت متمرکز (از نظر پارامترها)، مدل های توزیع شده از نظر دیگر و غیره.

طبقه بندی از طریق نحوه نمایش شی

همراه با طبقه‌بندی رسمی، مدل‌ها در نحوه نمایش شی متفاوت هستند:

• مدل های ساختاری یا عملکردی

مدل های سازه اییک شی را به عنوان یک سیستم با دستگاه و مکانیسم عملکرد خاص خود نشان می دهد. مدل های کاربردیاز چنین نمایش هایی استفاده نکنید و فقط رفتار (عملکرد) شیء درک شده از بیرون را منعکس می کند. در بیان افراطی خود، آنها را مدل های "جعبه سیاه" نیز می نامند. انواع ترکیبی از مدل ها نیز امکان پذیر است که گاهی اوقات به آنها "مدل" نیز گفته می شود. جعبه خاکستری».

محتوا و مدل های رسمی

تقریباً تمام نویسندگانی که فرآیند مدل‌سازی ریاضی را توصیف می‌کنند، نشان می‌دهند که ابتدا یک ساختار ایده‌آل خاص ساخته می‌شود، مدل محتوا. در اینجا هیچ اصطلاح ثابتی وجود ندارد و سایر نویسندگان این موضوع را ایده آل می نامند مدل مفهومی , مدل حدس و گمانیا پیش مدل. در این حالت ساخت ریاضی نهایی نامیده می شود مدل رسمییا فقط یک مدل ریاضی به دست آمده در نتیجه رسمی شدن این مدل محتوا (پیش مدل). یک مدل معنادار می تواند با استفاده از مجموعه ای از ایده آل سازی های آماده ساخته شود، مانند مکانیک، که در آن فنرهای ایده آل، بدنه های صلب، آونگ های ایده آل، رسانه های الاستیک و غیره عناصر ساختاری آماده را برای مدل سازی معنادار فراهم می کنند. با این حال، در حوزه‌هایی از دانش که در آن نظریه‌های رسمی و کاملاً تکمیل‌شده وجود ندارد (پیش‌های فیزیک، زیست‌شناسی، اقتصاد، جامعه‌شناسی، روان‌شناسی و بسیاری از زمینه‌های دیگر)، ایجاد مدل‌های معنادار به‌طور چشمگیری پیچیده‌تر است.

طبقه بندی معنادار مدل ها

هیچ فرضیه ای در علم یک بار برای همیشه قابل اثبات نیست. ریچارد فاینمن این را خیلی واضح بیان کرد:

ما همیشه این توانایی را داریم که یک نظریه را رد کنیم، اما توجه داشته باشید که هرگز نمی توانیم صحت آن را ثابت کنیم. بیایید فرض کنیم که شما یک فرضیه موفق را مطرح می کنید، محاسبه می کنید که به کجا منجر می شود و متوجه می شوید که تمام پیامدهای آن به صورت تجربی تایید شده است. آیا این به این معنی است که نظریه شما درست است؟ نه، این به سادگی به این معنی است که شما نتوانستید آن را رد کنید.

اگر مدلی از نوع اول ساخته شود، به این معنی است که به طور موقت درست تشخیص داده می شود و می توان روی مشکلات دیگر تمرکز کرد. با این حال، این نمی تواند یک نکته در تحقیق باشد، بلکه فقط یک مکث موقت است: وضعیت مدل نوع اول فقط می تواند موقتی باشد.

نوع 2: مدل پدیدارشناختی (طوری رفتار کن که انگار…)

مدل پدیدارشناختی دارای مکانیزمی برای توصیف پدیده است. با این حال، این مکانیسم به اندازه کافی قانع کننده نیست، نمی تواند به اندازه کافی توسط داده های موجود تأیید شود، یا به خوبی با نظریه های موجود و دانش انباشته در مورد شی مطابقت ندارد. بنابراین، مدل‌های پدیدارشناختی وضعیت راه‌حل‌های موقتی دارند. اعتقاد بر این است که پاسخ هنوز ناشناخته است و لازم است جستجو برای "مکانیسم های واقعی" ادامه یابد. Peierls به عنوان مثال، مدل کالری و مدل کوارک ذرات بنیادی را به نوع دوم اشاره می کند.

نقش مدل در پژوهش ممکن است در طول زمان تغییر کند، ممکن است داده‌ها و نظریه‌های جدید مدل‌های پدیدارشناختی را تأیید کنند و به مقام یک فرضیه ارتقا پیدا کنند. به همین ترتیب، دانش جدید ممکن است به تدریج با مدل‌ها-فرضیه‌های نوع اول در تضاد باشد و ممکن است به دومی منتقل شود. بنابراین، مدل کوارک به تدریج وارد دسته فرضیه ها می شود. اتمیسم در فیزیک به عنوان یک راه حل موقت به وجود آمد، اما با سیر تاریخ به نوع اول تبدیل شد. اما مدل های اتر از نوع 1 به نوع 2 رسیده اند و اکنون خارج از علم هستند.

ایده ساده سازی هنگام ساخت مدل ها بسیار محبوب است. اما ساده سازی متفاوت است. Peierls سه نوع ساده سازی را در مدل سازی متمایز می کند.

نوع 3: تقریب (چیزی بسیار بزرگ یا بسیار کوچک در نظر گرفته می شود)

اگر امکان ساخت معادلاتی برای توصیف سیستم مورد مطالعه وجود داشته باشد، این بدان معنا نیست که حتی با کمک کامپیوتر نیز می توان آنها را حل کرد. یک تکنیک رایج در این مورد استفاده از تقریب ها (مدل های نوع 3) است. در میان آنها مدل های پاسخ خطی. معادلات با معادلات خطی جایگزین می شوند. مثال استاندارد قانون اهم است.

و در اینجا نوع 8 است که به طور گسترده در مدل های ریاضی سیستم های بیولوژیکی استفاده می شود.

نوع 8: نمایش امکان (نکته اصلی نشان دادن سازگاری درونی امکان است)

اینها نیز آزمایش های فکری هستند.با موجودات خیالی که نشان می دهد پدیده فرضیمنطبق با اصول اولیه و سازگار درونی. این تفاوت اصلی با مدل های نوع 7 است که تضادهای پنهان را آشکار می کند.

یکی از معروف ترین این آزمایش ها هندسه لوباچفسکی است (لوباچفسکی آن را «هندسه خیالی» نامیده است). مثال دیگر تولید انبوه مدل‌های رسمی جنبشی نوسانات شیمیایی و بیولوژیکی، امواج خودکار و غیره است. پارادوکس انیشتین-پودولسکی-روزن به عنوان مدل نوع 7 برای نشان دادن ناسازگاری مکانیک کوانتومی در نظر گرفته شد. در یک روش کاملاً برنامه ریزی نشده، در نهایت به یک مدل نوع 8 تبدیل شد - نمایشی از امکان انتقال اطلاعات کوانتومی از راه دور.

مثال

اجازه دهید یک سیستم مکانیکی متشکل از یک فنر ثابت در یک سر و یک بار جرمی متصل به انتهای آزاد فنر را در نظر بگیریم. فرض می کنیم که بار فقط در جهت محور فنر می تواند حرکت کند (مثلاً حرکت در امتداد میله رخ می دهد). اجازه دهید یک مدل ریاضی از این سیستم بسازیم. ما وضعیت سیستم را با فاصله از مرکز بار تا موقعیت تعادل آن توصیف خواهیم کرد. اجازه دهید تعامل فنر و بار را با استفاده از آن شرح دهیم قانون هوک() پس از آن از قانون دوم نیوتن برای بیان آن در قالب یک معادله دیفرانسیل استفاده می کنیم:

کجا یعنی مشتق دوم از نسبت به زمان: .

معادله به دست آمده مدل ریاضی سیستم فیزیکی در نظر گرفته شده را توصیف می کند. این الگو "نوسانگر هارمونیک" نامیده می شود.

طبق طبقه بندی رسمی، این مدل خطی، قطعی، پویا، متمرکز، پیوسته است. در روند ساخت آن، ما فرضیات زیادی (در مورد عدم وجود نیروهای خارجی، عدم وجود اصطکاک، کوچک بودن انحرافات و غیره) داشتیم که در واقعیت ممکن است محقق نشود.

در رابطه با واقعیت، این اغلب یک مدل نوع 4 است. ساده سازی("ما برخی از جزئیات را برای وضوح حذف می کنیم")، زیرا برخی از ویژگی های اساسی جهانی (به عنوان مثال، اتلاف) حذف شده اند. در برخی تقریب ها (مثلاً در حالی که انحراف بار از تعادل کم است، با اصطکاک کم، برای مدت زمان نه چندان طولانی و مشروط به شرایط خاص دیگر)، چنین مدلی یک سیستم مکانیکی واقعی را به خوبی توصیف می کند، زیرا عوامل دور ریخته شده تأثیر ناچیزی بر رفتار آن دارد. با این حال، مدل را می توان با در نظر گرفتن برخی از این عوامل اصلاح کرد. این منجر به مدل جدیدی با دامنه گسترده تر (اگرچه باز هم محدود) می شود.

با این حال، هنگامی که مدل پالایش می شود، پیچیدگی مطالعه ریاضی آن می تواند به طور قابل توجهی افزایش یابد و مدل را عملاً بی استفاده کند. اغلب، یک مدل ساده تر به شما امکان می دهد تا سیستم واقعی را بهتر و عمیق تر از یک مدل پیچیده تر (و به طور رسمی "درست تر") بررسی کنید.

اگر مدل نوسان ساز هارمونیک را برای اجسامی که از فیزیک دور هستند اعمال کنیم، وضعیت معنی دار آن ممکن است متفاوت باشد. به عنوان مثال، هنگام اعمال این مدل برای جمعیت های بیولوژیکی، به احتمال زیاد باید آن را به نوع 6 نسبت داد مقایسه("بیایید فقط برخی از ویژگی ها را در نظر بگیریم").

مدل های سخت و نرم

نوسان ساز هارمونیک نمونه ای از مدل به اصطلاح "سخت" است. در نتیجه ایده آل سازی قوی یک سیستم فیزیکی واقعی به دست می آید. برای حل مسئله کاربردی بودن آن، لازم است درک کنیم که عواملی که از آنها غفلت کرده ایم چقدر مهم هستند. به عبارت دیگر بررسی مدل «نرم» که با اغتشاش کوچک «سخت» به دست می آید، ضروری است. می توان آن را برای مثال با معادله زیر به دست آورد:

در اینجا - یک تابع، که می تواند نیروی اصطکاک یا وابستگی ضریب سختی فنر به میزان کشش آن را در نظر بگیرد - برخی پارامترهای کوچک. شکل صریح تابع در حال حاضر برای ما جالب نیست. اگر ثابت کنیم که رفتار یک مدل نرم تفاوت اساسی با رفتار یک مدل سخت ندارد (صرف نظر از شکل صریح عوامل مزاحم، اگر به اندازه کافی کوچک باشند)، مشکل به مطالعه مدل سخت کاهش می یابد. در غیر این صورت، اعمال نتایج به دست آمده در مطالعه مدل صلب نیاز به تحقیقات بیشتری دارد. به عنوان مثال، حل معادله یک نوسان ساز هارمونیک، توابعی به شکل، یعنی نوسانات با دامنه ثابت هستند. آیا از این نتیجه می شود که یک نوسان ساز واقعی به طور نامحدود با دامنه ثابت نوسان می کند؟ خیر، زیرا با در نظر گرفتن یک سیستم با اصطکاک خودسرانه کوچک (همیشه در یک سیستم واقعی) نوسانات میرا دریافت خواهیم کرد. رفتار سیستم از نظر کیفی تغییر کرده است.

اگر سیستمی رفتار کیفی خود را تحت یک اغتشاش کوچک حفظ کند، گفته می شود که از نظر ساختاری پایدار است. نوسان ساز هارمونیک نمونه ای از یک سیستم ساختاری ناپایدار (غیر خشن) است. با این حال، این مدل می تواند برای مطالعه فرآیندها در بازه های زمانی محدود مورد استفاده قرار گیرد.

جهانی بودن مدل ها

مهم ترین مدل های ریاضی معمولاً دارای خاصیت مهم هستند جهانی بودن: پدیده های واقعی اساسا متفاوت را می توان با یک مدل ریاضی توصیف کرد. به عنوان مثال، یک نوسان ساز هارمونیک نه تنها رفتار یک بار روی یک فنر، بلکه سایر فرآیندهای نوسانی را که اغلب ماهیت کاملاً متفاوتی دارند، توصیف می کند: نوسانات کوچک یک آونگ، نوسانات سطح مایع در یک ظرف شکل، یا یک تغییر در قدرت جریان در مدار نوسانی بنابراین، با مطالعه یک مدل ریاضی، ما یک کلاس کامل از پدیده های توصیف شده توسط آن را مطالعه می کنیم. همین هم ریختی قوانین بیان شده توسط مدل های ریاضی در بخش های مختلف دانش علمی است که لودویگ فون برتالانفی را به ایجاد "نظریه سیستم های عمومی" سوق داد.

مسائل مستقیم و معکوس مدل سازی ریاضی

مشکلات زیادی در رابطه با مدل سازی ریاضی وجود دارد. ابتدا، لازم است طرح اساسی شیء مورد مدل‌سازی ارائه شود، تا آن را در چارچوب ایده‌آل‌سازی‌های این علم بازتولید کنیم. بنابراین، یک واگن قطار به سیستمی از صفحات و بدنه های پیچیده تر ساخته شده از مواد مختلف تبدیل می شود، هر ماده به عنوان ایده آل سازی مکانیکی استاندارد آن (چگالی، مدول الاستیک، ویژگی های مقاومت استاندارد) مشخص می شود، پس از آن معادلات جمع آوری می شود، برخی از جزئیات دور ریخته می شوند. به عنوان ناچیز در طول مسیر، محاسبات انجام می شود، در مقایسه با اندازه گیری ها، مدل پالایش می شود و غیره. با این حال، برای توسعه فن‌آوری‌های مدل‌سازی ریاضی، جدا کردن این فرآیند به عناصر اصلی آن مفید است.

به طور سنتی، دو دسته اصلی از مسائل مرتبط با مدل های ریاضی وجود دارد: مستقیم و معکوس.

مشکل مستقیم: ساختار مدل و تمام پارامترهای آن شناخته شده در نظر گرفته می شود، وظیفه اصلی مطالعه مدل برای استخراج دانش مفید در مورد شی است. پل چه بار استاتیکی را می تواند تحمل کند؟ چگونه به یک بار دینامیک (مثلاً به راهپیمایی گروهی از سربازان یا عبور قطار با سرعت های مختلف) واکنش نشان می دهد، چگونه هواپیما بر دیوار صوتی غلبه می کند، آیا از بال زدن جدا می شود - اینها نمونه های معمولی از یک کار مستقیم هستند. تنظیم مشکل مستقیم (پرسیدن سوال صحیح) مهارت خاصی می خواهد. اگر سؤالات درستی مطرح نشود، پل ممکن است فرو بریزد، حتی اگر مدل خوبی برای رفتار آن ساخته شده باشد. بنابراین، در سال 1879، یک پل فلزی بر روی رودخانه تی در بریتانیای کبیر فروریخت، طراحان آن مدلی از پل را ساختند، آن را برای 20 برابر حاشیه ایمنی برای محموله محاسبه کردند، اما بادهایی که دائماً در آن می وزند را فراموش کردند. آن مکان ها و بعد از یک سال و نیم فرو ریخت.

در ساده ترین حالت (مثلاً معادله یک نوسانگر)، مسئله مستقیم بسیار ساده است و به حل صریح این معادله کاهش می یابد.

مشکل معکوس: بسیاری از مدل های ممکن شناخته شده است، لازم است یک مدل خاص بر اساس داده های اضافی در مورد شی انتخاب شود. اغلب، ساختار مدل مشخص است و برخی از پارامترهای ناشناخته باید تعیین شوند. اطلاعات اضافی ممکن است شامل داده های تجربی اضافی، یا در الزامات برای شی ( وظیفه طراحی). داده های اضافی می توانند بدون توجه به روند حل مسئله معکوس بیایند ( مشاهده غیرفعال) یا نتیجه آزمایشی باشد که به طور ویژه در طول حل برنامه ریزی شده است ( نظارت فعال).

یکی از اولین نمونه‌های یک راه‌حل عالی یک مسئله معکوس با استفاده کامل از داده‌های موجود، روشی بود که توسط I. Newton برای بازسازی نیروهای اصطکاک از نوسانات میرایی مشاهده‌شده ساخته شد.

مثال دیگر آمار ریاضی است. وظیفه این علم توسعه روش هایی برای ثبت، توصیف و تجزیه و تحلیل داده های مشاهده ای و تجربی به منظور ساخت مدل های احتمالی پدیده های تصادفی انبوه است. آن ها مجموعه مدل های ممکن توسط مدل های احتمالی محدود شده است. در مسائل خاص، مجموعه مدل ها محدودتر است.

سیستم های شبیه سازی کامپیوتری

برای پشتیبانی از مدل سازی ریاضی، سیستم های ریاضی کامپیوتری توسعه یافته اند، به عنوان مثال، Maple، Mathematica، Mathcad، MATLAB، VisSim و غیره. آنها به شما امکان می دهند مدل های رسمی و بلوکی از فرآیندها و دستگاه های ساده و پیچیده ایجاد کنید و به راحتی پارامترهای مدل را در طول تغییر دهید. شبیه سازی. مدل های بلوکتوسط بلوک ها (اغلب گرافیکی) نشان داده می شوند که مجموعه و اتصال آنها توسط نمودار مدل مشخص شده است.

نمونه های اضافی

مدل مالتوس

نرخ رشد متناسب با جمعیت فعلی است. با معادله دیفرانسیل توصیف می شود

که در آن یک پارامتر مشخص با تفاوت بین نرخ تولد و مرگ و میر تعیین می شود. جواب این معادله یک تابع نمایی است. اگر نرخ زاد و ولد از نرخ مرگ و میر بیشتر شود ()، اندازه جمعیت به طور نامحدود و بسیار سریع افزایش می یابد. واضح است که در واقعیت این امر به دلیل محدودیت منابع امکان پذیر نیست. هنگامی که به یک اندازه جمعیت بحرانی خاص رسید، مدل کافی نیست، زیرا منابع محدود را در نظر نمی گیرد. اصلاح مدل مالتوس می تواند مدل لجستیک باشد که با معادله دیفرانسیل ورهولست توصیف می شود.

اندازه جمعیت «تعادل» کجاست، که در آن نرخ تولد دقیقاً با نرخ مرگ و میر جبران می شود. اندازه جمعیت در چنین مدلی به مقدار تعادل تمایل دارد و این رفتار از نظر ساختاری پایدار است.

سیستم شکارچی-شکار

فرض کنید دو نوع جانور در یک منطقه زندگی می کنند: خرگوش (گیاه خوار) و روباه (خرگوش خوار). بگذارید تعداد خرگوش ها، تعداد روباه ها. با استفاده از مدل مالتوس با اصلاحات لازم و با در نظر گرفتن خوردن خرگوش توسط روباه به سیستم زیر می رسیم که نام دارد. مدل های سینی - Volterra:

این سیستم حالت تعادلی دارد که تعداد خرگوش ها و روباه ها ثابت است. انحراف از این حالت منجر به نوساناتی در تعداد خرگوش ها و روباه ها می شود، مشابه نوسانات در نوسانگر هارمونیک. همانطور که در مورد نوسان ساز هارمونیک، این رفتار از نظر ساختاری پایدار نیست: یک تغییر کوچک در مدل (به عنوان مثال، در نظر گرفتن منابع محدود مورد نیاز خرگوش ها) می تواند منجر به تغییر کیفی در رفتار شود. به عنوان مثال، حالت تعادل می تواند پایدار شود و نوسانات جمعیت از بین می رود. وضعیت برعکس نیز ممکن است، زمانی که هر انحراف کوچک از وضعیت تعادل منجر به عواقب فاجعه بار، تا انقراض کامل یکی از گونه ها شود. به این سوال که کدام یک از این سناریوها محقق می شود، مدل Volterra-Lotka پاسخی نمی دهد: در اینجا به تحقیقات بیشتری نیاز است.

یادداشت

1. "نمایش ریاضی واقعیت" (دایره المعارف بریتانیا)
2. نوویک I. B.، در مورد سؤالات فلسفی مدل سازی سایبرنتیک. م.، دانش، 1964.
3. Sovetov B. Ya.، Yakovlev S. A.، مدلسازی سیستمها: Proc. برای دانشگاه ها - ویرایش 3، تجدید نظر شده. و اضافی - م.: بالاتر. مدرسه، 2001. - 343 ص. شابک 5-06-003860-2
4. سامارسکی A. A.، Mikhailov A. P.مدل سازی ریاضی ایده ها. مواد و روش ها. مثال ها. - چاپ دوم، تصحیح شد. - M .: Fizmatlit، 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. میشکیس A.D., عناصر تئوری مدل های ریاضی. - چاپ سوم، کشیش. - M.: KomKniga, 2007. - 192 با ISBN 978-5-484-00953-4
6. سووستیانوف، A.G. مدل سازی فرآیندهای فناوری: کتاب درسی / A.G. سووستیانوف، P.A. سووستیانوف. - م.: صنایع سبک و غذایی، 1984. - 344 ص.
7. ویکی‌واژه: مدل‌های ریاضی
8. CliffsNotes.com. واژه نامه علوم زمین. 20 سپتامبر 2010
9. مدل کاهش و رویکردهای دانه درشت برای پدیده های چند مقیاسی، Springer، سری پیچیدگی، برلین-هایدلبرگ-نیویورک، 2006. XII+562 pp. شابک 3-540-35885-4
10. یک نظریه خطی یا غیرخطی در نظر گرفته می‌شود، بسته به اینکه از چه دستگاه ریاضی خطی یا غیرخطی استفاده می‌کند، از چه مدل‌های ریاضی خطی یا غیرخطی استفاده می‌کند. ... بدون انکار دومی. یک فیزیکدان مدرن، اگر اتفاقاً چنین موجود مهمی را به عنوان غیرخطی تعریف کند، به احتمال زیاد متفاوت عمل می‌کند و با ترجیح غیرخطی بودن به عنوان مهم‌تر و رایج‌تر از دو متضاد، خطی بودن را به عنوان «غیرخطی» تعریف می‌کند. خطی بودن". دانیلوف یو. ا.، سخنرانی در مورد دینامیک غیر خطی. مقدمه ابتدایی. Synergetics: از گذشته تا سری آینده. ویرایش 2. - M.: URSS، 2006. - 208 p. شابک 5-484-00183-8
11. سیستم‌های دینامیکی که با تعداد محدودی معادلات دیفرانسیل معمولی مدل‌سازی می‌شوند، سیستم‌های توده‌ای یا نقطه‌ای نامیده می‌شوند. آنها با استفاده از یک فضای فاز محدود بعد توصیف می شوند و با تعداد محدودی از درجات آزادی مشخص می شوند. یک سیستم واحد تحت شرایط مختلف می تواند به عنوان متمرکز یا توزیع شده در نظر گرفته شود. مدل های ریاضی سیستم های توزیع شده معادلات دیفرانسیل جزئی، معادلات انتگرال یا معادلات تاخیر معمولی هستند. تعداد درجات آزادی یک سیستم توزیع شده بی نهایت است و برای تعیین وضعیت آن به تعداد نامتناهی داده نیاز است. آنیشچنکو V.S.، سیستم های پویا، مجله آموزشی سوروس، 1376، شماره 11، ص. 77-84.
12. بسته به ماهیت فرآیندهای مورد مطالعه در سیستم S، انواع مدل‌سازی را می‌توان به قطعی و تصادفی، ایستا و پویا، گسسته، پیوسته و گسسته-پیوسته تقسیم کرد. مدل‌سازی قطعی فرآیندهای قطعی را نشان می‌دهد، یعنی فرآیندهایی که در آن‌ها فقدان تأثیرات تصادفی فرض می‌شود. مدل سازی تصادفی فرآیندها و رویدادهای احتمالی را نمایش می دهد. ... مدل سازی استاتیک برای توصیف رفتار یک شی در هر نقطه از زمان استفاده می شود، در حالی که مدل سازی پویا رفتار یک شی را در طول زمان منعکس می کند. مدل‌سازی گسسته برای توصیف فرآیندهایی که فرض می‌شود گسسته هستند، به ترتیب، مدل‌سازی پیوسته به شما امکان می‌دهد فرآیندهای پیوسته را در سیستم‌ها منعکس کنید، و مدل‌سازی گسسته-پیوسته برای مواردی که می‌خواهید حضور هر دو فرآیند گسسته و پیوسته را برجسته کنید، استفاده می‌شود. Sovetov B. Ya.، Yakovlev S. A.شابک 5-06-003860-2
13. معمولاً، مدل ریاضی ساختار (آرایش) شی مورد مدل‌سازی، ویژگی‌ها و ارتباطات متقابل اجزای این شی را که برای اهداف مطالعه ضروری است، منعکس می‌کند. چنین مدلی ساختاری نامیده می شود. اگر مدل فقط نحوه عملکرد شی را منعکس کند - به عنوان مثال، چگونه به تأثیرات خارجی واکنش نشان می دهد - آنگاه به آن یک جعبه سیاه یا عملکردی می گویند. مدل های ترکیبی نیز امکان پذیر است. میشکیس A.D.شابک 978-5-484-00953-4
14. بدیهی، اما مهمترین مرحله اولیه ساخت یا انتخاب یک مدل ریاضی این است که تا حد امکان در مورد شی مورد مدل‌سازی شفاف‌تر شویم و مدل محتوای آن را بر اساس بحث‌های غیررسمی اصلاح کنیم. در این مرحله نباید از زمان و تلاش دریغ کرد، موفقیت کل مطالعه تا حد زیادی به آن بستگی دارد. بیش از یک بار اتفاق افتاده است که کار قابل توجهی که برای حل یک مسئله ریاضی صرف شده است به دلیل توجه ناکافی به این طرف موضوع بی اثر یا حتی هدر رفته است. میشکیس A.D., عناصر تئوری مدل های ریاضی. - چاپ سوم، کشیش. - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « شرح مدل مفهومی سیستم.در این مرحله فرعی از ساخت یک مدل سیستمی: الف) مدل مفهومی M در اصطلاحات و مفاهیم انتزاعی توصیف می شود. ب) توصیفی از مدل با استفاده از طرح‌های ریاضی معمولی ارائه شده است. ج) فرضیه ها و مفروضات در نهایت پذیرفته می شوند. د) انتخاب روشی برای تقریب فرآیندهای واقعی هنگام ساخت یک مدل اثبات شده است. Sovetov B. Ya.، Yakovlev S. A.، مدلسازی سیستمها: Proc. برای دانشگاه ها - ویرایش 3، تجدید نظر شده. و اضافی - م.: بالاتر. مدرسه، 2001. - 343 ص. شابک 5-06-003860-2، ص. 93.
16. Blekhman I. I.، Myshkis A. D.، Panovko N. G.، ریاضیات کاربردی: موضوع، منطق، ویژگی های رویکردها. با مثال هایی از مکانیک: کتاب درسی. - چاپ سوم، کشیش. و اضافی - M.: URSS، 2006. - 376 ص. شابک 5-484-00163-3، فصل 2.

بردار متغیرهای ورودی، X= t,

Y - بردار متغیرهای خروجی، Y= t,

Z - بردار تأثیرات خارجی، Z= t,

t - مختصات زمانی.

ساختمان مدل ریاضیشامل تعیین پیوندهای بین فرآیندها و پدیده های خاص، ایجاد یک دستگاه ریاضی است که امکان بیان کمی و کیفی رابطه بین فرآیندها و پدیده های خاص، بین مقادیر فیزیکی مورد علاقه یک متخصص و عوامل مؤثر بر نتیجه نهایی را فراهم می کند.

معمولا تعداد آنها به قدری زیاد است که نمی توان کل مجموعه آنها را وارد مدل کرد. هنگام ساخت مدل ریاضیقبل از مطالعه، وظیفه شناسایی و حذف عواملی است که به طور قابل توجهی بر نتیجه نهایی تأثیر نمی گذارند. مدل ریاضیمعمولاً شامل تعداد بسیار کمتری از عوامل نسبت به واقعیت است). بر اساس داده های تجربی، فرضیه هایی در مورد رابطه بین کمیت های بیان کننده نتیجه نهایی و عوامل معرفی شده در مدل ریاضی. چنین رابطه ای اغلب توسط سیستم های دیفرانسیل بیان می شود معادلات دیفرانسیل جزئی(مثلاً در مسائل مکانیک جسم جامد، مایع و گاز، تئوری فیلتراسیون، هدایت گرما، نظریه میدان های الکترواستاتیکی و الکترودینامیکی).

هدف نهایی این مرحله، تدوین یک مسئله ریاضی است که حل آن با دقت لازم، نتایجی را بیان می کند که مورد علاقه یک متخصص است.

فرم و اصول ارائه مدل ریاضیبه عوامل زیادی بستگی دارد

طبق اصول ساخت و ساز مدل های ریاضیتقسیم شده به:

1. تحلیلی؛
2. تقلید

در مدل های تحلیلی، فرآیندهای عملکرد اشیاء، فرآیندها یا سیستم های واقعی به صورت صریح نوشته می شوند. وابستگی های عملکردی.

مدل تحلیلی بسته به مسئله ریاضی به انواع زیر تقسیم می شود:

1. معادلات (جبری، ماورایی، دیفرانسیل، انتگرال)،
2. مشکلات تقریب ( درون یابی، برون یابی، ادغام عددیو تفکیک),
3. مشکلات بهینه سازی،
4. مشکلات تصادفی

با این حال، با پیچیده‌تر شدن شی مدل‌سازی، ساخت یک مدل تحلیلی به یک مشکل حل‌ناپذیر تبدیل می‌شود. سپس محقق مجبور به استفاده می شود مدل سازی شبیه سازی.

که در مدل سازی شبیه سازیعملکرد اشیا، فرآیندها یا سیستم ها توسط مجموعه ای از الگوریتم ها توصیف می شود. الگوریتم‌ها پدیده‌های ابتدایی واقعی را تقلید می‌کنند که یک فرآیند یا سیستم را می‌سازند و در عین حال آن‌ها را حفظ می‌کنند ساختار منطقیو توالی در طول زمان شبیه سازیبه شما امکان می دهد اطلاعاتی در مورد داده های منبع بدست آورید حالات فرآیندییا سیستم ها در مقاطع خاصی از زمان، با این حال، پیش بینی رفتار اشیا، فرآیندها یا سیستم ها در اینجا دشوار است. می توان گفت که مدل های شبیه سازی- اینها مبتنی بر کامپیوتر هستند آزمایش های محاسباتیبا مدل های ریاضی، تقلید از رفتار اشیاء، فرآیندها یا سیستم های واقعی.

بسته به ماهیت فرآیندها و سیستم های واقعی مورد مطالعه مدل های ریاضیمی تواند:

1. قطعی،
2. تصادفی

در مدل‌های قطعی، فرض بر این است که هیچ تأثیر تصادفی وجود ندارد، عناصر مدل (متغیرها، روابط ریاضی) به خوبی تثبیت شده‌اند و رفتار سیستم را می‌توان با دقت تعیین کرد. هنگام ساخت مدل های قطعی، بیشتر از معادلات جبری، معادلات انتگرال، جبر ماتریسی استفاده می شود.

مدل تصادفیماهیت تصادفی فرآیندها در اشیا و سیستم های مورد مطالعه را در نظر می گیرد که با روش های نظریه احتمال و آمار ریاضی توصیف می شود.

با توجه به نوع اطلاعات ورودی، مدل ها به دو دسته تقسیم می شوند:

1. مداوم،
2. گسسته.

اگر اطلاعات و پارامترها پیوسته باشند و روابط ریاضی پایدار باشند، مدل پیوسته است. و بالعکس، اگر اطلاعات و پارامترها گسسته باشند، و اتصالات ناپایدار باشند، مدل ریاضی- گسسته.

با توجه به رفتار مدل ها در زمان، آنها به موارد زیر تقسیم می شوند:

1. ایستا،
2. پویا

مدل های استاتیک رفتار یک شی، فرآیند یا سیستم را در هر نقطه از زمان توصیف می کنند. مدل‌های پویا رفتار یک شی، فرآیند یا سیستم را در طول زمان منعکس می‌کنند.

با توجه به میزان تطابق بین