تعمیم کمی شناخته شده از قضیه فیثاغورث. حقایق جالب در مورد قضیه فیثاغورث: چیزهای جدیدی در مورد قضیه معروف بیاموزید

19.10.2019

قضیه فیثاغورس: مجموع مساحت مربع های حمایت شده توسط پاها ( آو ب، برابر است با مساحت مربع ساخته شده بر روی هیپوتانوس ( ج).

فرمول هندسی:

این قضیه در ابتدا به صورت زیر فرموله شد:

فرمول جبری:

یعنی نشان دادن طول هیپوتنوز مثلث از طریق ج، و طول پاها از طریق آو ب :

آ 2 + ب 2 = ج 2

هر دو صورت‌بندی قضیه معادل هستند، اما صورت‌بندی دوم ابتدایی‌تر است، نیازی به مفهوم مساحت ندارد. یعنی می توان گزاره دوم را بدون دانستن چیزی در مورد مساحت و تنها با اندازه گیری طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه تأیید کرد.

قضیه فیثاغورث معکوس:

اثبات

در حال حاضر 367 اثبات این قضیه در ادبیات علمی ثبت شده است. احتمالاً قضیه فیثاغورث تنها قضیه‌ای است که چنین تعداد شواهد قابل توجهی دارد. چنین تنوعی را فقط می توان با اهمیت اساسی قضیه برای هندسه توضیح داد.

البته از نظر مفهومی می توان همه آنها را به تعداد کمی کلاس تقسیم کرد. معروف ترین آنها: اثبات با روش مساحت، اثبات بدیهی و عجیب و غریب (به عنوان مثال، با استفاده از معادلات دیفرانسیل).

از طریق مثلث های مشابه

اثبات زیر برای فرمول جبری ساده ترین برهان است که مستقیماً از بدیهیات ساخته شده است. به ویژه، از مفهوم مساحت شکل استفاده نمی کند.

اجازه دهید ABCیک مثلث قائم الزاویه وجود دارد سی. بیایید یک ارتفاع را از سیو پایه آن را با نشان دهید اچ. مثلث ACHشبیه مثلث ABCدر دو گوشه به همین ترتیب، مثلث CBHمشابه ABC. معرفی نماد

ما گرفتیم

چه چیزی معادل است

اضافه کردن، دریافت می کنیم

اثبات منطقه

برهان های زیر، علیرغم سادگی ظاهری شان، اصلاً چندان ساده نیستند. همه آنها از خواص منطقه استفاده می کنند که اثبات آن از اثبات خود قضیه فیثاغورث پیچیده تر است.

اثبات از طریق معادل سازی

چهار مثلث قائم الزاویه را مطابق شکل 1 مرتب کنید.
چهار ضلعی با اضلاع جمربع است زیرا مجموع دو زاویه تند 90 درجه و زاویه مستقیم 180 درجه است.
مساحت کل شکل از یک طرف برابر است با مساحت مربع با ضلع (a + b) و از طرف دیگر مجموع مساحت های چهار مثلث و دو مثلث داخلی است. مربع ها

Q.E.D.

شواهد از طریق معادل سازی

اثبات جایگشت زیبا

نمونه ای از یکی از این اثبات ها در نقاشی سمت راست نشان داده شده است، جایی که مربع ساخته شده بر روی هیپوتانوس با جایگشت به دو مربع ساخته شده روی پاها تبدیل می شود.

برهان اقلیدس

ترسیم برای اثبات اقلیدس

تصویری برای اثبات اقلیدس

ایده اثبات اقلیدس به این صورت است: بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که نیمی از مساحت مربع ساخته شده بر روی فرضیه برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها و سپس مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها. مربع بزرگ و دو مربع کوچک با هم برابرند.

نقاشی سمت چپ را در نظر بگیرید. بر روی اضلاع یک مثلث قائم الزاویه بر روی آن مربع ساختیم و از راس زاویه قائم C عمود بر هیپوتانوس AB یک پرتو s رسم کردیم، مربع ABIK را که روی هیپوتنوز ساخته شده است به دو مستطیل - BHJI و HAKJ بریدیم. ، به ترتیب. معلوم می شود که مساحت این مستطیل ها دقیقاً برابر با مساحت مربع های ساخته شده روی پایه های مربوطه است.

بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که مساحت مربع DECA برابر است با مساحت مستطیل AHJK برای این کار از یک مشاهده کمکی استفاده می کنیم: مساحت مثلثی با ارتفاع و قاعده مشابه با داده شده. مستطیل برابر با نصف مساحت مستطیل داده شده است. این نتیجه تعریف مساحت مثلث به عنوان نصف حاصلضرب پایه و ارتفاع است. از این مشاهدات نتیجه می شود که مساحت مثلث ACK برابر با مساحت مثلث AHK (نشان داده نشده) است که به نوبه خود برابر با نصف مساحت مستطیل AHJK است.

اکنون ثابت کنیم که مساحت مثلث ACK نیز برابر با نصف مساحت مربع DECA است. تنها کاری که برای این کار باید انجام شود اثبات برابری مثلث های ACK و BDA است (زیرا مساحت مثلث BDA با ویژگی فوق برابر با نصف مساحت مربع است). این تساوی آشکار است، مثلث ها در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند. یعنی - AB=AK,AD=AC - برابری زوایای CAK و BAD با روش حرکت به راحتی قابل اثبات است: بیایید مثلث CAK را 90 درجه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخانیم، سپس واضح است که اضلاع متناظر دو مثلث مورد نظر منطبق هستند (با توجه به این واقعیت که زاویه در راس مربع 90 درجه است).

بحث در مورد تساوی مساحت های مربع BCFG و مستطیل BHJI کاملاً مشابه است.

بنابراین، ما ثابت کردیم که مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتنوس مجموع مساحت مربع های ساخته شده روی پاها است. ایده پشت این اثبات بیشتر با انیمیشن بالا نشان داده شده است.

اثبات لئوناردو داوینچی

عناصر اصلی اثبات تقارن و حرکت است.

همانطور که از تقارن، قطعه مشخص می شود، نقاشی را در نظر بگیرید سیمنمربع را تشریح می کند آباچجی به دو قسمت یکسان (از مثلث آبسیو جیاچمندر ساخت و ساز برابر هستند). با استفاده از چرخش 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت، برابری ارقام سایه دار را مشاهده می کنیم. سیآجیمن و جیDآب . اکنون واضح است که مساحت شکلی که توسط ما سایه زده شده است برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های ساخته شده روی پاها و مساحت مثلث اصلی. از سوی دیگر، برابر است با نصف مساحت مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوز، به اضافه مساحت مثلث اصلی. آخرین مرحله در اثبات به خواننده واگذار می شود.

اثبات با روش بینهایت کوچک

اثبات زیر با استفاده از معادلات دیفرانسیل اغلب به ریاضیدان معروف انگلیسی هاردی نسبت داده می شود که در نیمه اول قرن بیستم زندگی می کرد.

با توجه به نقاشی نشان داده شده در شکل و مشاهده تغییر ضلع آ، می توانیم رابطه زیر را برای افزایش بی نهایت کوچک بنویسیم باو آ(با استفاده از مثلث های مشابه):

اثبات با روش بینهایت کوچک

با استفاده از روش جداسازی متغیرها متوجه می شویم

یک عبارت کلی تر برای تغییر هیپوتانوس در مورد افزایش هر دو پا

با ادغام این معادله و با استفاده از شرایط اولیه به دست می آوریم

ج 2 = آ 2 + ب 2 + ثابت

بدین ترتیب به پاسخ مورد نظر می رسیم

ج 2 = آ 2 + ب 2 .

همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، وابستگی درجه دوم در فرمول نهایی به دلیل تناسب خطی بین اضلاع مثلث و افزایش ها ظاهر می شود، در حالی که مجموع به دلیل مشارکت مستقل از افزایش پایه های مختلف است.

اگر فرض کنیم که یکی از پاها افزایشی را تجربه نمی کند (در این مورد، ساق پا) می توان اثبات ساده تری به دست آورد. ب). سپس برای ثابت ادغام بدست می آوریم

تغییرات و تعمیم

اگر به جای مربع، اشکال مشابه دیگری بر روی پاها ساخته شود، تعمیم زیر از قضیه فیثاغورث درست است: در یک مثلث قائم الزاویه، مجموع مساحت های شکل های مشابه ساخته شده بر روی پاها برابر است با مساحت شکل ساخته شده بر روی هیپوتانوس.به خصوص:
- مجموع مساحت مثلث های منظم ساخته شده روی پاها برابر است با مساحت مثلث منتظم ساخته شده بر روی هیپوتنوس.
- مجموع مساحت نیم دایره های ساخته شده روی پاها (مثل قطر) برابر است با مساحت نیم دایره ساخته شده روی هیپوتنوس. از این مثال برای اثبات خصوصیات فیگورهایی استفاده می‌شود که با کمان‌های دو دایره محدود شده‌اند و نام هیپوکراتیک لونولا را دارند.

داستان

چوپی 500–200 قبل از میلاد. در سمت چپ کتیبه: مجموع مجذور طول ارتفاع و قاعده مربع طول هیپوتنوس است.

کتاب چینی باستانی چوپی از مثلث فیثاغورثی با ضلع های 3، 4 و 5 صحبت می کند: در همان کتاب، طرحی پیشنهاد شده است که با یکی از نقشه های هندسه هندو باخارا مطابقت دارد.

کانتور (بزرگترین مورخ آلمانی ریاضیات) معتقد است که برابری 3 ² + 4 ² = 5² قبلاً در حدود 2300 قبل از میلاد برای مصریان شناخته شده بود. ه.، در زمان پادشاه آمنه هت اول (طبق پاپیروس 6619 موزه برلین). به گفته کانتور، هارپدوناپت‌ها یا «طناب‌ها» با استفاده از مثلث‌های قائم‌الزاویه با ضلع‌های ۳، ۴ و ۵، زوایای قائمه می‌ساختند.

بازتولید روش ساخت آنها بسیار آسان است. یک طناب به طول 12 متر بردارید و در امتداد یک نوار رنگی به فاصله 3 متر به آن ببندید. از یک سر و 4 متر از سر دیگر. یک زاویه قائم بین اضلاع به طول 3 و 4 متر محصور خواهد شد. ممکن است به هارپدوناپت‌ها اعتراض شود که اگر کسی مثلاً از مربع چوبی استفاده شده توسط همه نجاران استفاده کند، روش ساختن آنها زائد می‌شود. در واقع، نقشه های مصری شناخته شده است که در آنها چنین ابزاری یافت می شود، به عنوان مثال، نقاشی هایی که یک کارگاه نجاری را به تصویر می کشند.

در مورد قضیه فیثاغورث در میان بابلی ها تا حدودی بیشتر شناخته شده است. در یک متن مربوط به زمان حمورابی، یعنی به 2000 ق.م. e.، یک محاسبه تقریبی از هیپوتنوز یک مثلث قائم الزاویه داده شده است. از اینجا می توان نتیجه گرفت که در بین النهرین حداقل در مواردی قادر به انجام محاسبات با مثلث های قائم الزاویه بودند. Van der Waerden (ریاضیدان هلندی) بر اساس از یک سو، بر اساس سطح دانش فعلی ریاضیات مصر و بابل، و از سوی دیگر، بر اساس مطالعه انتقادی منابع یونانی، به این نتیجه رسید:

ادبیات

در روسی

Skopets Z. A.مینیاتورهای هندسی. م.، 1990
یلنسکی ش.پیروی از راه فیثاغورث. م.، 1961
ون در واردن بی.ال.علم بیداری. ریاضیات مصر باستان، بابل و یونان. م.، 1959
گلیزر جی.آی.تاریخچه ریاضیات در مدرسه م.، 1982
W. Litzman، "قضیه فیثاغورث" M.، 1960.
- سایتی در مورد قضیه فیثاغورث با تعداد زیادی اثبات، مطالب از کتاب W. Litzman گرفته شده است، تعداد زیادی نقاشی به صورت فایل های گرافیکی جداگانه ارائه شده است.
قضیه فیثاغورث و فصل سه گانه فیثاغورث از کتاب D. V. Anosov "نگاهی به ریاضیات و چیزی از آن"
در مورد قضیه فیثاغورث و روش های اثبات آن G. Glaser، آکادمی آکادمی آموزش روسیه، مسکو

به انگلیسی

قضیه فیثاغورث در WolframMathWorld
Cut-The-Knot، بخش مربوط به قضیه فیثاغورث، حدود 70 اثبات و اطلاعات اضافی گسترده (eng.)

بنیاد ویکی مدیا 2010 .

قضیه فیثاغورث از دوران مدرسه برای همه شناخته شده بود. یک ریاضیدان برجسته حدس بزرگی را ثابت کرد که در حال حاضر توسط بسیاری از مردم استفاده می شود. این قانون به این صورت است: مجذور طول هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های پاها. برای چندین دهه، حتی یک ریاضیدان نتوانسته است این قانون را استدلال کند. از این گذشته ، فیثاغورس برای مدت طولانی به سمت هدف خود راه رفت ، به طوری که در نتیجه نقاشی ها در زندگی روزمره اتفاق افتاد.

آیه کوچکی به این قضیه که اندکی پس از اثبات ابداع شد، مستقیماً خواص این فرضیه را ثابت می کند: "شلوار فیثاغورث از همه جهات برابر است." این دو خط در حافظه بسیاری از مردم سپرده شد - تا به امروز این شعر در محاسبات به یادگار مانده است.
این قضیه را "شلوار فیثاغورثی" می نامیدند زیرا هنگام ترسیم در وسط یک مثلث قائم الزاویه به دست می آمد که در اضلاع آن مربع وجود داشت. از نظر ظاهری، این نقاشی شبیه شلوار بود - از این رو نام این فرضیه است.
فیثاغورث به قضیه توسعه یافته افتخار می کرد، زیرا این فرضیه با حداکثر شواهد با فرضیه های مشابه خود متفاوت است. مهم: این معادله به دلیل 370 مدرک واقعی در کتاب رکوردهای گینس ثبت شد.
این فرضیه توسط تعداد زیادی از ریاضیدانان و اساتید از کشورهای مختلف به طرق مختلف اثبات شد.. جونز، ریاضیدان انگلیسی، اندکی پس از اعلام این فرضیه، آن را با کمک یک معادله دیفرانسیل اثبات کرد.
در حال حاضر، هیچ کس اثبات قضیه توسط خود فیثاغورث را نمی داند. حقایق در مورد شواهد یک ریاضیدان امروز برای کسی شناخته شده نیست. اعتقاد بر این است که اثبات نقاشی های اقلیدس، اثبات فیثاغورث است. با این حال، برخی از دانشمندان با این بیانیه استدلال می کنند: بسیاری بر این باورند که اقلیدس به طور مستقل این قضیه را بدون کمک خالق فرضیه اثبات کرد.
دانشمندان کنونی کشف کرده اند که ریاضیدان بزرگ اولین کسی نبود که این فرضیه را کشف کرد.. این معادله مدتها قبل از کشف فیثاغورث شناخته شده بود. این ریاضیدان تنها موفق شد این فرضیه را دوباره متحد کند.
فیثاغورث به معادله نام «قضیه فیثاغورث» نداده است.. این نام پس از "دو خط بلند" ثابت شد. ریاضیدان فقط می خواست تمام دنیا تلاش ها و اکتشافات او را بشناسند و از آنها استفاده کنند.
موریتز کانتور - بزرگترین ریاضیدان که یادداشت هایی با نقاشی روی پاپیروس باستانی پیدا کرد و دید.. اندکی پس از آن، کانتور متوجه شد که این قضیه در اوایل 2300 قبل از میلاد برای مصریان شناخته شده بود. فقط در این صورت هیچ کس از آن استفاده نکرد و سعی نکرد آن را ثابت کند.
محققان فعلی معتقدند که این فرضیه در اوایل قرن هشتم قبل از میلاد شناخته شده بود. دانشمندان هندی آن زمان محاسبه تقریبی هیپوتنوس مثلثی را کشف کردند که دارای زوایای قائمه بود. درست است، در آن زمان هیچ کس نمی توانست معادله را با محاسبات تقریبی به طور قطع ثابت کند.
بارتل ون در واردن، ریاضیدان بزرگ، پس از اثبات این فرضیه، به نتیجه گیری مهمی رسید.: «شایستگی ریاضیدان یونانی را نه کشف جهت و هندسه، بلکه فقط توجیه آن می دانند. در دست فیثاغورث فرمول های محاسباتی بود که مبتنی بر فرضیات، محاسبات نادرست و ایده های مبهم بود. با این حال، دانشمند برجسته توانست آن را به یک علم دقیق تبدیل کند.»
یک شاعر معروف گفت که در روز کشف نقاشی خود، قربانی باشکوهی برای گاو نر برپا کرد.. پس از کشف این فرضیه بود که شایعاتی منتشر شد مبنی بر اینکه قربانی صد گاو نر «در صفحات کتاب ها و نشریات سرگردان شد». عقل تا به امروز به شوخی می گوید که از آن زمان همه گاو نر از یک کشف جدید می ترسند.
اثبات اینکه فیثاغورث برای اثبات نقاشی هایی که ارائه کرده شعری در مورد شلوار نیاورده است: در طول زندگی ریاضیدان بزرگ هنوز شلواری وجود نداشت. آنها چندین دهه بعد اختراع شدند.
بازتاب فیثاغورث در مورد حکومت خود: راز آنچه روی زمین وجود دارد در اعداد نهفته است. از این گذشته، یک ریاضیدان با تکیه بر فرضیه خود، خواص اعداد را مطالعه کرد، زوج و فرد را آشکار کرد و نسبت ها را ایجاد کرد.

مطمئن شوید که مثلثی که به شما داده می شود مثلث قائم الزاویه باشد، زیرا قضیه فیثاغورث فقط برای مثلث های قائم الزاویه صدق می کند. در مثلث های قائم الزاویه یکی از سه زاویه همیشه 90 درجه است.

زاویه قائمه در مثلث قائم الزاویه به جای منحنی با مربع نشان داده می شود که نمایانگر زوایای غیر قائم است.

اضلاع مثلث را برچسب بزنید.پاها را به صورت "a" و "b" تعیین کنید (پایه ها اضلاع هستند که در زوایای قائم با هم متقاطع می شوند)، و فرضیه را به عنوان "c" (هیپوتنوز بزرگترین ضلع مثلث قائم الزاویه است که در مقابل زاویه قائمه قرار دارد).

مشخص کنید که کدام ضلع مثلث را می خواهید پیدا کنید.قضیه فیثاغورث به شما امکان می دهد هر ضلعی از مثلث قائم الزاویه را پیدا کنید (اگر دو ضلع دیگر آن مشخص باشد). تعیین کنید کدام ضلع (a، b، c) باید پیدا شود.

به عنوان مثال، با دادن یک هیپوتانوس برابر با 5، و یک پا برابر با 3. در این مورد، شما باید پایه دوم را پیدا کنید. بعداً به این مثال باز خواهیم گشت.
اگر دو ضلع دیگر مجهول باشند، باید طول یکی از ضلع های مجهول را پیدا کرد تا بتوان قضیه فیثاغورث را اعمال کرد. برای این کار از توابع مثلثاتی اصلی استفاده کنید (اگر مقدار یکی از زوایای غیر قائم به شما داده شود).

در فرمول a 2 + b 2 \u003d c 2 مقادیری را که به شما داده شده است (یا مقادیری که شما پیدا کرده اید) جایگزین کنید.به یاد داشته باشید که a و b پا هستند و c افت فشار است.

در مثال ما، بنویسید: 3² + b² = 5².

هر ضلع شناخته شده را مربع کنید.یا درجات را رها کنید - بعداً می توانید اعداد را مربع کنید.

در مثال ما، بنویسید: 9 + b² = 25.

طرف مجهول را در یک طرف معادله جدا کنید.برای انجام این کار، مقادیر شناخته شده را به طرف دیگر معادله منتقل کنید. اگر فرضیه را پیدا کنید، در قضیه فیثاغورث قبلاً در یک طرف معادله جدا شده است (بنابراین هیچ کاری لازم نیست انجام شود).

در مثال ما، عدد 9 را به سمت راست معادله ببرید تا مجهول b2 را جدا کنید. b² = 16 دریافت خواهید کرد.

جذر دو طرف معادله را بعد از اینکه در یک طرف معادله مجهول (مربع) و در طرف دیگر یک برس (عدد) وجود دارد، بگیرید.

در مثال ما، b² = 16. جذر دو طرف معادله را بگیرید و b = 4 را بدست آورید. بنابراین پای دوم 4 است.

از قضیه فیثاغورث در زندگی روزمره استفاده کنید، زیرا می توان آن را در تعداد زیادی از موقعیت های عملی به کار برد. برای انجام این کار، یاد بگیرید که مثلث های قائم الزاویه را در زندگی روزمره تشخیص دهید - در هر موقعیتی که در آن دو جسم (یا خط) در زوایای قائمه قطع می شوند و یک جسم (یا خط) سوم، بالای دو جسم اول (یا به صورت مورب) را به هم متصل می کند. خطوط)، می توانید از قضیه فیثاغورث برای یافتن ضلع مجهول (اگر دو ضلع دیگر شناخته شده باشند) استفاده کنید.

مثال: با توجه به نردبانی که به ساختمان تکیه داده است. پایین پله ها از پایه دیوار 5 متر فاصله دارد. بالای پله ها از سطح زمین 20 متر (بالا از دیوار) فاصله دارد. طول نردبان چقدر است؟
- «5 متر از پایه دیوار» یعنی a = 5; "20 متر از زمین است" به این معنی است که b = 20 (یعنی به شما دو پایه از یک مثلث قائم الزاویه داده می شود، زیرا دیوار ساختمان و سطح زمین در زوایای قائمه همدیگر را قطع می کنند). طول نردبان طول هیپوتنوز است که ناشناخته است.
  - a² + b² = c²
  - (5)² + (20)² = c²
  - 25 + 400 = c²
  - 425 = c²
  - c = √425
  - c = 20.6. بنابراین طول تقریبی پله ها 20.6 متر است.

وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه

لیسه № 1 MOU

گزارش با موضوع: "فیثاغورث و قضیه او"

دانش آموزان گروه 8 - 1، 2:

Minitskaya E.P.

معلم:

Skvortsova A.S.

زندگی نامه فیثاغورث
تاریخچه قضیه
اعداد فیثاغورثی
اثبات قضیه (از ساده ترین اثبات ها تا پیچیده ترین آنها)

1. زندگی نامه فیثاغورث

دانشمند بزرگ فیثاغورث در اطراف به دنیا آمد 570 قبل از میلاد مسیح در جزیره ساموس پدر فیثاغورث منسارخوس بود که گوهرتراش بود. نام مادر فیثاغورث ناشناخته است. طبق بسیاری از شواهد باستانی، پسر متولد شده فوق العاده زیبا بود و به زودی توانایی های برجسته خود را نشان داد. در میان معلمان فیثاغورث جوان، سنت نام بزرگتر هرمودامانت و فرکیدس سیروس را می نامد (اگرچه هیچ اطمینان قطعی وجود ندارد که ژرمودامانت و فرکیدس اولین معلمان فیثاغورث بوده اند). فیثاغورث جوان تمام روزها را زیر پای پیر هرمودامانت گذراند و به ملودی‌های سیتارا و هگزامترهای هومر گوش داد. اشتیاق به موسیقی و شعر هومر بزرگ، فیثاغورس را تا آخر عمر حفظ کرد. و فیثاغورث که حکیمی شناخته شده بود، در محاصره انبوهی از دانش آموزان، روز خود را با خواندن یکی از آهنگ های هومر آغاز کرد. فرسیدس فیلسوف بود و بنیانگذار مکتب فلسفی ایتالیایی به شمار می رفت. بنابراین، اگر هرمودامانت فیثاغورث جوان را وارد دایره الهه ها کرد، فرکیدس ذهن خود را به لوگوس معطوف کرد. فرکیدس نگاه فیثاغورث را به طبیعت معطوف کرد و تنها در آن توصیه کرد که اولین و اصلی ترین معلم خود را ببیند. اما به هر حال، تخیل بی قرار فیثاغورث جوان به زودی در ساموس کوچک شلوغ شد و او به میلتوس می رود و در آنجا با دانشمند دیگری به نام تالس ملاقات می کند. تالس به او توصیه می کند که برای دانش به مصر برود که فیثاغورس نیز چنین کرد.

که در 548 قبل از میلاد مسیح فیثاغورث وارد ناوکراتیس، مستعمره سامی ها شد، جایی که شخصی برای یافتن سرپناه و غذا وجود داشت. پس از مطالعه زبان و مذهب مصریان، عازم ممفیس می شود. علیرغم توصیه نامه فرعون، کاهنان حیله گر عجله ای نداشتند تا اسرار خود را برای فیثاغورث فاش کنند و آزمایش های سختی را به او پیشنهاد کردند. اما فیثاغورث که عطش دانش رانده شده بود، بر همه آنها غلبه کرد، اگرچه طبق حفاری ها، کاهنان مصری نتوانستند چیز زیادی به او بیاموزند، زیرا. در آن زمان هندسه مصری یک علم صرفاً کاربردی بود (برآورنده نیاز آن زمان به شمارش و اندازه گیری زمین). بنابراین، با آموختن همه چیزهایی که کشیشان به او دادند، پس از فرار از دست آنها، به وطن خود در هلاس نقل مکان کرد. با این حال، فیثاغورث پس از انجام بخشی از راه، تصمیم به سفر زمینی می گیرد و در طی آن توسط کمبوجیه، پادشاه بابل، که در حال رفتن به خانه بود، اسیر شد. لازم نیست زندگی فیثاغورث در بابل را دراماتیزه کنیم، زیرا کوروش فرمانروای بزرگ با همه اسیران مدارا می کرد. ریاضیات بابلی به طور غیرقابل انکاری پیشرفته تر از ریاضیات مصری بود (نمونه ای از آن سیستم موقعیتی حساب دیفرانسیل و انتگرال است) و فیثاغورث چیزهای زیادی برای یادگیری داشت. ولی در 530 قبل از میلاد مسیح کوروش به لشکرکشی به قبایل آسیای میانه پرداخت. و فیثاغورث با سوء استفاده از هیاهوی شهر به سرزمین خود گریخت. و در ساموس در آن زمان پلیکراتس ظالم سلطنت کرد. البته فیثاغورث از زندگی نیمه برده درباری راضی نبود و به غارهای اطراف ساموس بازنشسته شد. پس از چندین ماه ادعای پولیکراتس، فیثاغورس به کروتون نقل مکان کرد. فیثاغورث در کروتون چیزی شبیه یک برادری مذهبی-اخلاقی یا یک نظم رهبانی مخفی ("فیثاغورثی ها") ایجاد کرد که اعضای آن موظف بودند به اصطلاح زندگی فیثاغورثی را رهبری کنند. در عین حال یک اتحادیه مذهبی و یک باشگاه سیاسی و یک انجمن علمی بود. باید گفت که برخی از اصولی که فیثاغورث موعظه کرده است حتی اکنون نیز قابل تقلید است.

20 سال گذشت. آوازه برادری در سراسر جهان پیچید. یک روز، سیلون، مردی ثروتمند اما شرور، نزد فیثاغورس می‌آید و می‌خواهد مستانه به برادری بپیوندد. پس از رد شدن، سایلون با سوء استفاده از آتش زدن خانه اش، مبارزه با فیثاغورث را آغاز می کند. در جریان آتش سوزی، فیثاغورثی ها به هزینه خود جان معلم خود را نجات دادند و پس از آن فیثاغورث دلتنگ شد و به زودی خودکشی کرد.

2. تاریخچه قضیه فیثاغورث

قضیه فیثاغورث می گوید : مجذور هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های پاها.

بیایید بررسی تاریخی را با چین باستان شروع کنیم . در اینجا توجه ویژه ای به کتاب ریاضی چو - پی جلب می شود. این مقاله در مورد مثلث فیثاغورث با ضلع های 3، 4 و 5 چنین می گوید:

"اگر زاویه قائمه به اجزای تشکیل دهنده آن تجزیه شود، خطی که انتهای اضلاع آن را به هم متصل می کند، زمانی که پایه 3 و ارتفاع آن 4 باشد، 5 خواهد بود.".

که در همان کتاب طرحی را ارائه می‌کند که با یکی از نقاشی‌های هندسه هندو بشارا مطابقت دارد.

کانتور(بزرگترین مورخ آلمانی ریاضیات) معتقد است که برابری

3² + 4² = 5²

در حدود 2300 سال قبل از میلاد برای مصریان شناخته شده بود. ه.، در زمان پادشاه آمنه هت اول (طبق پاپیروس 6619 موزه برلین).

به گفته کانتور، هارپدوناپت‌ها یا «طناب‌ها» با استفاده از مثلث‌های قائم الزاویه با ضلع‌های 3، 4 و 5، زوایای قائمه می‌ساختند. بازتولید روش ساخت آنها بسیار آسان است. یک طناب به طول 12 متر بردارید و در امتداد یک نوار رنگی به فاصله 3 متر به آن ببندید. از یک سر و 4 متر از سر دیگر. یک زاویه قائم بین اضلاع به طول 3 و 4 متر محصور خواهد شد. ممکن است به هارپدوناپت‌ها اعتراض شود که اگر کسی مثلاً از مربع چوبی استفاده شده توسط همه نجاران استفاده کند، روش ساختن آنها زائد می‌شود. در واقع، نقشه های مصری شناخته شده است که در آنها چنین ابزاری یافت می شود، به عنوان مثال، نقاشی هایی که یک کارگاه نجاری را به تصویر می کشند.

در مورد قضیه فیثاغورث در میان بابلی ها تا حدودی بیشتر شناخته شده است. در یک متن مربوط به زمان حمورابی، یعنی به 2000 ق.م. e.، یک محاسبه تقریبی از هیپوتنوز یک مثلث قائم الزاویه داده شده است. از اینجا می توان نتیجه گرفت که در بین النهرین حداقل در مواردی قادر به انجام محاسبات با مثلث های قائم الزاویه بودند. از یک سو بر اساس سطح دانش کنونی ریاضیات مصر و بابل و از سوی دیگر بررسی انتقادی منابع یونانی، ون در واردن(ریاضیدان هلندی) به این نتیجه رسید:

شایستگی اولین ریاضیدانان یونانی، مانند تالس، فیثاغورث و فیثاغورثی ها، کشف ریاضیات نیست، بلکه نظام مندی و توجیه آن است. در دستان آنها دستور العمل های محاسباتی مبتنی بر ایده های مبهم به یک علم دقیق تبدیل شده است.

هندسه در میان هندوها و همچنین در میان مصریان و بابلی ها ارتباط تنگاتنگی با این آیین داشت. به احتمال بسیار زیاد قضیه مربع هیپوتنوس قبلاً در قرن 18 قبل از میلاد در هند شناخته شده بود. ه.

اعداد فیثاغورثی

در ریاضیات اعداد فیثاغورثی (سه گانه فیثاغورثی) یک تاپلی از سه عدد صحیح است که رابطه فیثاغورثی را برآورده می کند:

ایکس 2 + y 2 = z 2 .

از آنجایی که معادله ایکس 2 + y 2 = z 2 همگن، وقتی ضرب شود ایکس, yو zبه ازای همان عدد یک سه گانه فیثاغورثی دیگر دریافت می کنید. سه گانه فیثاغورثی نامیده می شود اولیه ، اگر از این طریق نمی توان به دست آورد، یعنی - اعداد نسبتا اول.

مثلثی که اضلاع آن برابر با اعداد فیثاغورثی است مستطیل شکل . علاوه بر این، هر مثلثی از این قبیل، هرونی است، یعنی مثلثی که تمام اضلاع و مساحت آن اعداد صحیح هستند. ساده ترین آنها - مثلث مصریبا احزاب 3, 4 و 5 (3 2 + 4 2 = 5 2 ).

سه گانه فیثاغورثی نقطه ای را با مختصات گویا روی دایره واحد تعریف می کند ایکس 2 + y 2 = 1 .

به راحتی می توان فهمید که در سه گانه ابتدایی ( ایکس, y, z) شماره ایکسو yبرابری متفاوتی دارند هر سه گانه اولیه فیثاغورثی ( ایکس, y, z)، جایی که ایکس- عجیب است، اما y- به طور مساوی، بدون ابهام در فرم برای برخی نشان داده شده است کوپرایم طبیعیشماره متر > nبرابری متفاوت برعکس، هر جفتی از این قبیل یک سه گانه فیثاغورثی اولیه را تعریف می کند.

برخی از سه گانه فیثاغورثی (به ترتیب صعودی حداکثر تعداد مرتب شده اند، موارد ابتدایی برجسته شده اند): (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

سه گانه فیثاغورثی برای مدت بسیار طولانی شناخته شده است. در معماری سنگ قبرهای باستانی بین النهرین، یک مثلث متساوی الساقین یافت می شود که از دو مستطیل با اضلاع 9، 12 و 15 ذراع تشکیل شده است. اهرام فرعون اسنفرو (قرن XXVII قبل از میلاد) با استفاده از مثلث هایی با ضلع های 20، 21 و 29 و همچنین 18، 24 و 30 ده ها ذراع مصری ساخته شده اند.

همچنین به فرهنگ لغت های دیگر مراجعه کنید:

اعداد فیثاغورثی- سه اعداد طبیعی به طوری که مثلثی که طول اضلاع آن متناسب (یا مساوی) با این اعداد باشد قائم الزاویه باشد. طبق قضیه، معکوس قضیه فیثاغورث (نگاه کنید به قضیه فیثاغورث)، برای این کافی است که آنها ... (دایره المعارف بزرگ شوروی).

اثبات قضیه فیثاغورث

تا به امروز، ادبیات علمی 367 اثبات این قضیه احتمالاً قضیه فیثاغورث تنها قضیه‌ای است که چنین تعداد شواهد قابل توجهی دارد. چنین تنوعی را فقط می توان با اهمیت اساسی قضیه برای هندسه توضیح داد.

از طریق مثلث های مشابه

پ
دهان ABCیک مثلث قائم الزاویه وجود دارد سی. بیایید یک ارتفاع را از سیو پایه آن را با نشان دهید اچ. مثلث ACHشبیه مثلث ABCدر دو گوشه به همین ترتیب، مثلث CBHمشابه ABC. معرفی نماد

ما گرفتیم

چه چیزی معادل است

اضافه کردن، دریافت می کنیم

اثبات منطقه

اثبات از طریق معادل سازی

بیایید چهار مثلث قائم الزاویه مساوی ترتیب دهیم.
چهار ضلعی با اضلاع جمربع است زیرا مجموع دو زاویه تند 90 درجه و زاویه مستقیم 180 درجه است.
مساحت کل شکل از یک طرف مساحت مربع با ضلع (a + b) و از طرف دیگر مجموع مساحت چهار مثلث و مساحت است. از مربع داخلی

Q.E.D.

شواهد از طریق معادل سازی

اثبات قانونی با تغییر. نمونه ای از یکی از این اثبات ها در نقاشی سمت راست نشان داده شده است، جایی که مربع ساخته شده بر روی هیپوتانوس با جایگشت به دو مربع ساخته شده روی پاها تبدیل می شود.

برهان اقلیدس

نقاشی سمت راست را در نظر بگیرید. بر روی اضلاع یک مثلث قائم الزاویه بر روی آن مربع ساختیم و از راس زاویه قائم C عمود بر هیپوتانوس AB یک پرتو s رسم کردیم، مربع ABIK را که روی هیپوتنوز ساخته شده است به دو مستطیل - BHJI و HAKJ بریدیم. ، به ترتیب. معلوم می شود که مساحت این مستطیل ها دقیقاً برابر با مساحت مربع های ساخته شده روی پایه های مربوطه است.

بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که مساحت مربع DECA برابر با مساحت مستطیل AHJK است. برای انجام این کار از یک مشاهده کمکی استفاده می کنیم: مساحت مثلثی با ارتفاع و قاعده یکسان با مستطیل داده شده برابر با نصف مساحت مستطیل داده شده است. این نتیجه تعریف مساحت مثلث به عنوان نصف حاصلضرب پایه و ارتفاع است. از این مشاهدات نتیجه می شود که مساحت مثلث ACK برابر با مساحت مثلث AHK (نشان داده نشده) است که به نوبه خود برابر با نصف مساحت مستطیل AHJK است.

D اکنون ثابت می کنیم که مساحت مثلث ACK نیز برابر با نصف مساحت مربع DECA است. تنها کاری که برای این کار باید انجام شود اثبات برابری مثلث های ACK و BDA است (زیرا مساحت مثلث BDA با ویژگی فوق برابر با نصف مساحت مربع است). این تساوی آشکار است، مثلث ها در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند. یعنی - AB \u003d AK, AD \u003d AC - برابری زوایای CAK و BAD با روش حرکت به راحتی قابل اثبات است: بیایید مثلث CAK را 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخانیم، سپس واضح است که اضلاع مربوط به دو مثلث در نظر گرفته شده است. منطبق خواهد شد (به دلیل این واقعیت است که زاویه در راس مربع 90 درجه است).

بحث در مورد تساوی مساحت های مربع BCFG و مستطیل BHJI کاملاً مشابه است.

اثبات لئوناردو داوینچی

جی

عناصر اصلی اثبات تقارن و حرکت است.

همانطور که از تقارن، قطعه مشخص می شود، نقاشی را در نظر بگیرید CIمربع را تشریح می کند ABHJبه دو قسمت یکسان (از مثلث ABCو JHIدر ساخت و ساز برابر هستند). با استفاده از چرخش 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت، برابری ارقام سایه دار را مشاهده می کنیم. CAJIو GDAB. اکنون واضح است که مساحت شکلی که توسط ما سایه زده شده است برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های ساخته شده روی پاها و مساحت مثلث اصلی. از سوی دیگر، برابر است با نصف مساحت مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوز، به اضافه مساحت مثلث اصلی. آخرین مرحله اثبات به عهده شماست.

با

اثبات زیر با استفاده از معادلات دیفرانسیل اغلب به ریاضیدان معروف انگلیسی نسبت داده می شود هاردیکه در نیمه اول قرن بیستم زندگی می کرد.

اثبات با روش بینهایت کوچک

با استفاده از روش جداسازی متغیرها متوجه می شویم

یک عبارت کلی تر برای تغییر هیپوتانوس در مورد افزایش هر دو پا

با ادغام این معادله و با استفاده از شرایط اولیه به دست می آوریم

ج 2 = آ 2 + ب 2 + ثابت

بدین ترتیب به پاسخ مورد نظر می رسیم

ج 2 = آ 2 + ب 2 .

ساده ترین اثبات ها

ساده ترین اثبات قضیه در ساده ترین حالت مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین به دست می آید. در واقع، کافی است فقط به کاشی کاری مثلث های قائم الزاویه نگاه کنیم تا ببینیم قضیه درست است. به عنوان مثال، برای مثلث ABC: مربع ساخته شده بر روی فرضیه AC شامل 4 مثلث اولیه و مربع های ساخته شده روی پاها شامل دو مثلث است.

قضیه ثابت شده است.
اثبات با تجزیه

برهان های متعددی برای قضیه فیثاغورث وجود دارد که در آنها مربع های ساخته شده بر روی پاها و روی هپوتنوس به گونه ای بریده می شوند که هر قسمت از مربع ساخته شده روی فرضیه مطابق با بخشی از یکی از مربع های ساخته شده بر روی پایه ها باشد. در همه این موارد، یک نگاه به نقاشی برای درک اثبات کافی است; بحث در اینجا ممکن است به یک کلمه محدود شود: "ببین!"، همانطور که در نوشته های ریاضیدانان هندو باستان انجام می شد. البته باید توجه داشت که در واقع تا زمانی که تساوی تمام اجزای متناظر با یکدیگر را ثابت نکنیم، نمی توان برهان را کامل دانست. انجام این کار تقریباً همیشه نسبتاً آسان است، اما می تواند (مخصوصاً با تعداد زیادی قطعه) به کار بسیار زیادی نیاز داشته باشد.

اثبات اپستین

بیایید با اثبات شروع کنیم اپستاین; مزیت آن این است که در اینجا فقط مثلث ها به عنوان اجزای تجزیه ظاهر می شوند. برای درک نقشه، توجه داشته باشید که سیم سی دی مستقیم ادنا عمود بر خط EF.

تجزیه به مثلث ها نیز می تواند بصری تر از شکل باشد.

D اثبات نیلسن

در شکل، خطوط کمکی با پیشنهاد تغییر کرده است نیلسن.

D اثبات Betcher

شکل یک تجزیه بسیار واضح را نشان می دهد بترا.

اثبات پریگال

که در کتاب های درسی اغلب با بسط نشان داده شده در شکل (به اصطلاح "چرخ با تیغه" مواجه می شوند؛ این اثبات پیدا شد پریگال). از طریق مرکز O مربع ساخته شده بر روی پایه بزرگتر، خطوط مستقیم موازی و عمود بر هیپوتانوس را رسم می کنیم. مطابقت اجزای شکل به وضوح از نقاشی قابل مشاهده است.

اثبات گوتیل

و تجزیه نشان داده شده در شکل به دلیل گوتیل است. با آرایش بصری قطعات جداگانه مشخص می شود، که به شما امکان می دهد بلافاصله ببینید که مورد مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین چه ساده سازی هایی را به دنبال خواهد داشت.

اثبات قرن نهم میلادی

آر قبلاً فقط چنین برهانی ارائه می شد که در آن مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوس از یک طرف و مربع های ساخته شده روی پاها از طرف دیگر از قسمت های مساوی تشکیل شده بودند. چنین برهانی را اثبات های جمع ("برهان های افزودنی") یا به طور معمول تر، اثبات های تجزیه می نامند. تا اینجا از چیدمان معمول مربع هایی که در اضلاع متناظر مثلث، یعنی خارج از مثلث ساخته شده اند، اقدام کرده ایم. با این حال، در بسیاری از موارد، آرایش متفاوت مربع ها سودمندتر است.

در شکل مربع های ساخته شده روی پاها به صورت پلکانی در کنار هم قرار گرفته اند. این رقم، که در شواهد مربوط به قرن نهم پس از میلاد به دست آمده است، ه.، هندی ها صدا زدند "صندلی عروس". روش ساخت مربعی با ضلع معادل هیپوتانوس از نقشه مشخص است. قسمت مشترک دو مربع ساخته شده بر روی پاها و مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوس یک پنج ضلعی سایه دار نامنظم 5 است. با وصل کردن مثلث های 1 و 2 به آن، هر دو مربع ساخته شده روی پاها را دریافت می کنیم. اگر مثلث های 1 و 2 را با مثلث های 3 و 4 برابر آنها جایگزین کنیم، مربعی به دست می آوریم که روی هیپوتانوس ساخته شده است. شکل های زیر دو آرایش متفاوت نزدیک به آنچه در شکل اول ارائه شده است را نشان می دهد.

اثبات به روش مکمل

اثبات یک

اچ همراه با اثبات های روش جمع، مثال هایی از اثبات های تفریق که اثبات های روش جمع نیز نامیده می شوند، ارائه می شود. ایده کلی چنین شواهدی به شرح زیر است.

از دو ناحیه مساوی ، قسمت های مساوی باید کم شود تا در یک مورد دو مربع روی پاها ساخته شده باشد و در دیگری - مربعی که روی هیپوتنوس ساخته شده است. پس از همه، اگر در برابری

B - A \u003d C و B 1 - A 1 \u003d C 1

قسمت آقسمت های مساوی آ 1 ، و قسمت که دراز نظر اندازه مساوی که در 1 ، سپس قطعات باو با 1 نیز برابر هستند.

اجازه دهید این روش را با یک مثال توضیح دهیم. روی انجیر مثلث های 2 و 3، برابر با مثلث اصلی 1، به شکل معمولی فیثاغورثی در بالا و پایین، برابر با مثلث اصلی 1 متصل می شوند. خط DG لزوماً از C عبور می کند. شش ضلعی های DABGFE و CAJKHB برابر هستند. اگر مثلث های 1 و 2 را از مثلث اول کم کنیم، مربع های ساخته شده روی پایه ها باقی می ماند و اگر مثلث های 1 و 3 مساوی را از شش ضلعی دوم کم کنیم، یک مربع ساخته شده روی هیپوتنوس باقی می ماند. این بدان معناست که مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های ساخته شده بر روی پاها.

باید ثابت کنیم که شش ضلعی های ما برابر هستند. توجه داشته باشید که خط DG شش ضلعی بالایی را به قسمت های مساوی تقسیم می کند. همین را می توان در مورد خط مستقیم CK و شش ضلعی پایینی گفت. DABG چهار ضلعی را که نیمی از DABGFE شش ضلعی است به دور نقطه A در جهت عقربه های ساعت با زاویه 90 بچرخانید. سپس با چهار ضلعی CAJK که نیمی از شش ضلعی CAJKHB است منطبق خواهد شد. بنابراین، شش ضلعی های DABGFE و CAJKHB برابر هستند.

اثبات دیگر با تفریق

پ بیایید با اثبات دیگری به روش تفریق آشنا شویم. ما رسم آشنای قضیه فیثاغورث را در یک قاب مستطیلی قرار می دهیم که جهت اضلاع آن با جهات پایه های مثلث منطبق است. بیایید برخی از بخش های شکل را همانطور که در شکل نشان داده شده است ادامه دهیم، در حالی که مستطیل به چندین مثلث، مستطیل و مربع تقسیم می شود. ابتدا چند قسمت از مستطیل را برداریم تا فقط یک مربع ساخته شده روی هیپوتنوس باقی بماند. این قسمت ها به شرح زیر است: مثلث 1، 2، 3، 4; مستطیل 5; مستطیل 6 و مربع 8; مستطیل 7 و مربع 9;

سپس قطعات را از مستطیل دور می اندازیم تا فقط مربع های ساخته شده روی پاها باقی بماند. این قسمت ها عبارتند از: مستطیل های 6 و 7؛ مستطیل 5; مستطیل 1 (سایه دار)؛ مستطیل 2 (سایه دار)؛

فقط برای ما باقی می ماند که نشان دهیم اجزای تفریق شده برابر هستند. به دلیل چیدمان شکل ها به راحتی قابل مشاهده است. از شکل مشخص است که:

مستطیل 5 برابر با خودش است.
چهار مثلث 1،2،3،4 مساحتی برابر با دو مستطیل 6 و 7 دارند.
مستطیل 6 و مربع 8، با هم، از نظر اندازه با مستطیل 1 (سایه دار) برابر هستند.
مستطیل 7 به همراه مربع 9 مساحتی برابر با مستطیل 2 دارند (سایه دار).

اثبات کامل است.

برهان اقلیدس

E مدرک داده شد اقلیدسدر آغاز او به گفته پروکلوس (بیزانس) توسط خود اقلیدس اختراع شد. برهان اقلیدس در گزاره 47 از کتاب اول آغازها آمده است.

مربع های مربوطه بر روی هپوتنوس و پایه های مثلث قائم الزاویه ABC ساخته می شوند و ثابت می شود که مستطیل BJLD برابر مربع ABFH و مستطیل ICEL برابر مربع ACCS است. سپس مجموع مربع های روی پاها برابر با مربع روی هیپوتانوس خواهد بود.

در واقع، مثلث های ABD و BFC در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند:

FB=AB، BC=BD
PFBC = d + RABC = RABD
S ABD = 1/2 S BJLD،

چون مثلث ABD و مستطیل BJLD پایه مشترک BD و ارتفاع مشترک LD دارند. به همین ترتیب

S FBC = 1\2S ABFH

(BF پایه مشترک است، AB ارتفاع کلی است). از این رو، با توجه به اینکه

S ABD = S FBC
S BJLD = S ABFH.

به همین ترتیب، با استفاده از برابری مثلث های BCK و ACE، آن را ثابت می کنیم

SJCEL = SACKG .
S ABFH + S ACKG = S BJLD + S JCEL = S BCED،

Q.E.D.

اثبات ساده شده اقلیدس

به همانطور که در اثبات های روش تجزیه، در اثبات نوع اقلیدسی نیز می توان از هر ترتیب مربع شروع کرد. گاهی اوقات می توان به ساده سازی هایی دست یافت.

اجازه دهید مربع ساخته شده بر روی یکی از پاها (در شکل مربعی است که روی پایه بزرگتر ساخته شده است) در همان سمت ساق مانند خود مثلث قرار گیرد. سپس ادامه ضلع این مربع در مقابل ساق از راس مربع ساخته شده روی هیپوتنوس عبور می کند. اثبات در این مورد کاملاً ساده به نظر می رسد ، زیرا در اینجا کافی است مناطق شکل های مورد علاقه خود را با مساحت یک مثلث (سایه دار است) - مساحت این مثلث برابر است با نصف مساحت مربع و در عین حال نصف مساحت مستطیل.

اثبات هاوکینز

پ اجازه دهید یک اثبات دیگر را ارائه کنیم که دارای ویژگی محاسباتی است، اما با تمام موارد قبلی تفاوت زیادی دارد. توسط هاوکینز انگلیسی در سال 1909 منتشر شد. آیا قبلاً شناخته شده بود یا خیر - سخت است که بگوییم.

مثلث قائم الزاویه ABC با زاویه قائم C را 90 درجه بچرخانید تا موقعیت A"CB را بگیرد. فرضیه A "B" را فراتر از نقطه A "تا تقاطع با خط AB در نقطه D ادامه می دهیم. پاره B" D ارتفاع مثلث B "AB" خواهد بود. اکنون چهار ضلعی سایه دار A" AB "B را در نظر بگیرید. می توان آن را به دو مثلث متساوی الساقین CAA" و SVV" (یا به دو مثلث A"B"A و A"B"B تجزیه کرد.

S CAA" = b²/2
S CBB" = a²/2
S A "AB" B \u003d (a² + b²) / 2
مثلث A "B" A و A "B" B یک قاعده مشترک c و ارتفاعات DA و DB دارند، بنابراین:

S A "AB" B \u003d c * DA / 2 + c * DB / 2 \u003d c (DA + DB) / 2 \u003d c² / 2

با مقایسه دو عبارت بدست آمده برای ناحیه، به دست می آوریم:

a² + b² = c²

قضیه ثابت شده است.

اثبات والدهایم

E اثبات نیز محاسباتی است. شما می توانید از ارقام برای اثبات اثبات های مبتنی بر مساحت به دو روش استفاده کنید.

D برای اثبات قضیه با استفاده از شکل اول کافی است مساحت ذوزنقه را به دو صورت بیان کنیم.

ذوزنقه = (a+b) ²/2
ذوزنقه = a²b²+c²/2
با معادل سازی قطعات مناسب به دست می آوریم:

a² + b² = c²

قضیه ثابت شده است.

پتانسیل خلاقیت معمولاً به علوم انسانی نسبت داده می شود و تحلیل علمی طبیعی، رویکرد عملی و زبان خشک فرمول ها و اعداد باقی می ماند. ریاضیات را نمی توان جزو رشته های علوم انسانی طبقه بندی کرد. اما بدون خلاقیت در "ملکه همه علوم" راه دوری نخواهید رفت - مردم مدتهاست که در مورد این موضوع می دانند. مثلاً از زمان فیثاغورث.

متأسفانه کتاب‌های درسی مدرسه معمولاً توضیح نمی‌دهند که در ریاضیات نه تنها قضایای، بدیهیات و فرمول‌ها مهم است. درک و احساس اصول اساسی آن مهم است. و در عین حال، سعی کنید ذهن خود را از کلیشه ها و حقایق ابتدایی رها کنید - فقط در چنین شرایطی همه اکتشافات بزرگ متولد می شوند.

از جمله اکتشافاتی که امروزه به عنوان قضیه فیثاغورث می شناسیم. با کمک آن، ما سعی خواهیم کرد نشان دهیم که ریاضیات نه تنها می تواند، بلکه باید سرگرم کننده باشد. و اینکه این ماجراجویی نه تنها برای آدم‌های با لیوان‌های ضخیم، بلکه برای همه افرادی که از نظر ذهنی قوی و از نظر روحی قوی هستند مناسب است.

از تاریخچه موضوع

به بیان دقیق، اگرچه این قضیه «قضیه فیثاغورث» نامیده می شود، اما خود فیثاغورث آن را کشف نکرد. مثلث قائم الزاویه و خواص ویژه آن مدت ها قبل از آن مورد مطالعه قرار گرفته است. در این مورد دو دیدگاه قطبی وجود دارد. طبق یک نسخه، فیثاغورث اولین کسی بود که اثبات کامل قضیه را یافت. به گفته دیگری، اثبات متعلق به نویسنده فیثاغورث نیست.

امروز دیگر نمی توانید بررسی کنید که چه کسی درست می گوید و چه کسی اشتباه می کند. فقط معلوم است که اثبات فیثاغورث، اگر زمانی وجود داشته باشد، باقی نمانده است. با این حال، پیشنهاداتی وجود دارد مبنی بر اینکه اثبات معروف عناصر اقلیدس ممکن است متعلق به فیثاغورس باشد و اقلیدس فقط آن را ثبت کرده است.

امروزه نیز شناخته شده است که مشکلات مربوط به مثلث قائم الزاویه در منابع مصری از زمان فرعون آمنمه اول، بر روی لوح های گلی بابلی از سلطنت پادشاه حمورابی، در رساله باستانی هندی Sulva Sutra و اثر چینی باستانی Zhou یافت می شود. -بی سون جین.

همانطور که می بینید، قضیه فیثاغورث از زمان های قدیم ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرده است. تقریباً 367 مدرک مختلف که امروزه وجود دارد به عنوان تأیید عمل می کند. هیچ قضیه دیگری از این نظر نمی تواند با آن رقابت کند. نویسندگان شواهد برجسته عبارتند از لئوناردو داوینچی و بیستمین رئیس جمهور ایالات متحده، جیمز گارفیلد. همه اینها حاکی از اهمیت فوق العاده این قضیه برای ریاضیات است: بیشتر قضایای هندسه از آن مشتق شده اند یا به نوعی با آن مرتبط هستند.

اثبات قضیه فیثاغورث

کتب درسی مدرسه اکثراً اثبات جبری می دهند. اما اصل قضیه در هندسه است، پس بیایید ابتدا آن دسته از براهین قضیه معروف را که مبتنی بر این علم هستند، در نظر بگیریم.

اثبات 1

برای ساده ترین اثبات قضیه فیثاغورث برای یک مثلث قائم الزاویه، باید شرایط ایده آل را تنظیم کنید: بگذارید مثلث نه تنها قائم الزاویه، بلکه متساوی الساقین نیز باشد. دلایلی وجود دارد که باور کنیم این مثلثی است که در ابتدا توسط ریاضیدانان باستان مورد توجه قرار گرفته است.

بیانیه "مربع ساخته شده بر روی فرضیه مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های ساخته شده بر روی پاهای آن"را می توان با نقاشی زیر نشان داد:

به مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ABC نگاه کنید: بر روی هیپوتنوز AC می توانید مربعی متشکل از چهار مثلث برابر با ABC اصلی بسازید. و روی پاهای AB و BC بر روی یک مربع ساخته شده است که هر کدام شامل دو مثلث مشابه است.

به هر حال، این نقاشی اساس حکایات و کاریکاتورهای متعددی را تشکیل داد که به قضیه فیثاغورث اختصاص یافته است. شاید معروف ترین آنها باشد "شلوار فیثاغورثی در همه جهات برابر است":

اثبات 2

این روش جبر و هندسه را با هم ترکیب می‌کند و می‌تواند به‌عنوان گونه‌ای از اثبات هندی باستانی ریاضیدان بهاسکاری دیده شود.

یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع بسازید الف، ب و ج(عکس. 1). سپس دو مربع با اضلاع برابر با مجموع طول دو پایه بسازید - (a+b). در هر یک از مربع ها مانند شکل های 2 و 3 ساختارهایی ایجاد کنید.

در مربع اول، چهار مثلث مشابه شکل 1 بسازید. در نتیجه، دو مربع به دست می آید: یکی با ضلع a، دومی با ضلع. ب.

در مربع دوم، چهار مثلث مشابه ساخته شده مربعی با ضلع برابر با هیپوتانوس تشکیل می دهند ج.

مجموع مساحت مربع های ساخته شده در شکل 2 برابر است با مساحت مربعی که در شکل 3 با ضلع c ساخته ایم. این را می توان به راحتی با محاسبه مساحت مربع ها در شکل 1 تأیید کرد. 2 طبق فرمول و مساحت مربع محاط شده در شکل 3. با کم کردن مساحت چهار مثلث قائم الزاویه مساوی که در مربع حک شده اند از مساحت یک مربع بزرگ با یک ضلع. (a+b).

با کنار گذاشتن همه اینها، داریم: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. پرانتزها را باز کنید، تمام محاسبات جبری لازم را انجام دهید و آن را بدست آورید a 2 + b 2 = a 2 + b 2. در همان زمان، مساحت حکاکی شده در شکل 3. مربع را نیز می توان با استفاده از فرمول سنتی محاسبه کرد S=c2. آن ها a2+b2=c2شما قضیه فیثاغورث را ثابت کردید.

اثبات 3

همان برهان هندی باستانی در قرن دوازدهم در رساله «تاج دانش» («سیدانتا شیرومانی») شرح داده شده است، و نویسنده به عنوان استدلال اصلی از توسل به استعدادهای ریاضی و قدرت مشاهده دانش آموزان استفاده می کند. پیروان: "نگاه کن!".

اما ما این اثبات را با جزئیات بیشتری تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

در داخل مربع، چهار مثلث قائم الزاویه همانطور که در نقاشی نشان داده شده است بسازید. ضلع مربع بزرگ که همان فرض نیز می باشد نشان داده می شود با. پاهای مثلث را صدا کنیم آو ب. طبق نقشه، ضلع مربع داخلی است (الف-ب).

از فرمول مساحت مربع استفاده کنید S=c2برای محاسبه مساحت مربع بیرونی و در همان زمان با اضافه کردن مساحت مربع داخلی و مساحت چهار مثلث قائم الزاویه، همان مقدار را محاسبه کنید: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

می توانید از هر دو گزینه برای محاسبه مساحت مربع استفاده کنید تا مطمئن شوید که نتیجه یکسانی دارند. و این به شما این حق را می دهد که آن را بنویسید c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. در نتیجه حل، فرمول قضیه فیثاغورث را دریافت خواهید کرد c2=a2+b2. قضیه ثابت شده است.

اثبات 4

این شواهد عجیب چینی باستانی "صندلی عروس" نامیده شد - به دلیل شکل صندلی مانندی که از تمام ساختارها حاصل می شود:

از نقشه‌ای استفاده می‌کند که قبلاً در شکل 3 در اثبات دوم دیده‌ایم. و مربع داخلی با ضلع c به همان روشی ساخته شده است که در برهان هندی باستانی ارائه شده در بالا.

اگر به صورت ذهنی دو مثلث قائم الزاویه سبز را از نقاشی شکل 1 جدا کنید، آنها را با ضلع c به اضلاع مقابل مربع ببرید و زیرپوتنوس ها را به هیپوتنوس مثلث های یاسی وصل کنید، شکلی به نام «صندلی عروس» به دست می آید. ” (شکل 2). برای وضوح، می توانید همین کار را با مربع ها و مثلث های کاغذی انجام دهید. خواهید دید که "صندلی عروس" از دو مربع تشکیل شده است: مربع های کوچک با یک طرف بو بزرگ با یک طرف آ.

این ساخت و سازها به ریاضیدانان چینی باستان و ما که آنها را دنبال می کنیم این امکان را داد که به این نتیجه برسیم c2=a2+b2.

اثبات 5

این روش دیگری برای یافتن راه حلی برای قضیه فیثاغورث بر اساس هندسه است. به این روش گارفیلد می گویند.

یک مثلث قائم الزاویه بسازید ABC. ما باید این را ثابت کنیم BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

برای این کار، پا را ادامه دهید ACو یک بخش بسازید سی دی، که برابر با ساق پا است AB. عمود پایین آگهیبخش خط ED. بخش ها EDو ACبرابر هستند. نقطه ها را به هم وصل کنید Eو که در، و Eو باو یک نقاشی مانند تصویر زیر دریافت کنید:

برای اثبات برج، مجدداً به روشی که قبلاً آزمایش کرده ایم متوسل می شویم: مساحت شکل حاصل را به دو صورت پیدا می کنیم و عبارات را با یکدیگر برابر می کنیم.

مساحت چند ضلعی را پیدا کنید تختخوابرا می توان با اضافه کردن مساحت سه مثلث تشکیل دهنده آن انجام داد. و یکی از آنها ERU، نه تنها مستطیل، بلکه متساوی الساقین نیز می باشد. این را نیز فراموش نکنیم AB=CD, AC=EDو BC=C- این به ما امکان می دهد ضبط را ساده کنیم و آن را بیش از حد بارگذاری نکنیم. بنابراین، S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

در عین حال بدیهی است که تختخوابذوزنقه است. بنابراین، مساحت آن را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: SABED=(DE+AB)*1/2AD. برای محاسبات ما، نمایش بخش راحت تر و واضح تر است آگهیبه عنوان مجموع بخش ها ACو سی دی.

بیایید هر دو روش را برای محاسبه مساحت یک شکل با قرار دادن علامت مساوی بین آنها بنویسیم: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). ما از برابری بخش هایی که قبلاً برای ما شناخته شده و در بالا توضیح داده شده است برای ساده کردن سمت راست نماد استفاده می کنیم: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. و اکنون پرانتزها را باز می کنیم و برابری را تغییر می دهیم: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. پس از اتمام تمام تحولات، دقیقاً آنچه را که نیاز داریم دریافت می کنیم: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. ما قضیه را ثابت کردیم.

البته این فهرست شواهد هنوز کامل نیست. قضیه فیثاغورث را می توان با استفاده از بردارها، اعداد مختلط، معادلات دیفرانسیل، استریومتری و غیره نیز اثبات کرد. و حتی فیزیکدانان: برای مثال، اگر مایع در حجم های مربع و مثلثی مشابه آنچه در نقشه ها نشان داده شده است ریخته شود. با ریختن مایع می توان تساوی مساحت ها و در نتیجه خود قضیه را اثبات کرد.

چند کلمه در مورد سه قلوهای فیثاغورثی

این موضوع در برنامه درسی مدرسه کم یا کم مطالعه شده است. در ضمن بسیار جالب است و در هندسه از اهمیت بالایی برخوردار است. سه گانه فیثاغورثی برای حل بسیاری از مسائل ریاضی استفاده می شود. ایده آنها می تواند در ادامه تحصیل برای شما مفید باشد.

پس سه قلوهای فیثاغورثی چیست؟ به این اعداد طبیعی می گویند که در سه عدد جمع آوری می شوند که مجموع مربع های دو عدد از آنها برابر با عدد سوم مجذور است.

سه گانه فیثاغورثی می تواند به شرح زیر باشد:

ابتدایی (هر سه عدد نسبتا اول هستند)؛
غیر ابتدایی (اگر هر عدد در یک سه گانه در همان عدد ضرب شود، یک سه گانه جدید به دست می آورید که ابتدایی نیست).

حتی قبل از دوران ما، مصریان باستان مجذوب شیدایی تعداد سه قلوهای فیثاغورثی بودند: در کارها آنها یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع 3.4 و 5 واحد را در نظر می گرفتند. به هر حال، هر مثلثی که اضلاع آن برابر با اعداد سه گانه فیثاغورثی باشد به طور پیش فرض مستطیل شکل است.

نمونه هایی از سه گانه فیثاغورثی: (3، 4، 5)، (6، 8، 10)، (5، 12، 13)، (9، 12، 15)، (8، 15، 17)، (12، 16، 20))، (15، 20، 25)، (7، 24، 25)، (10، 24، 26)، (20، 21، 29)، (18، 24، 30)، (10، 30، 34) )، (21، 28، 35)، (12، 35، 37)، (15، 36، 39)، (24، 32، 40)، (9، 40، 41)، (27، 36، 45)، (14، 48، 50)، (30، 40، 50) و غیره.

کاربرد عملی قضیه

قضیه فیثاغورث نه تنها در ریاضیات، بلکه در معماری و ساخت و ساز، نجوم و حتی ادبیات نیز کاربرد دارد.

اول، در مورد ساخت: قضیه فیثاغورث به طور گسترده ای در آن در مسائل با سطوح مختلف پیچیدگی استفاده می شود. به عنوان مثال، به پنجره رمانسک نگاه کنید:

بیایید عرض پنجره را به عنوان نشان دهیم ب، سپس شعاع نیم دایره بزرگ را می توان به عنوان نشان داد آرو از طریق بیان کنید b: R=b/2. شعاع نیم دایره های کوچکتر را نیز می توان بر حسب بیان کرد b: r=b/4. در این مشکل، ما به شعاع دایره داخلی پنجره (بیایید آن را بنامیم) علاقه مندیم پ).

قضیه فیثاغورث فقط برای محاسبه مفید است آر. برای این کار از یک مثلث قائم الزاویه استفاده می کنیم که در شکل با خط نقطه چین مشخص شده است. هیپوتنوز مثلث از دو شعاع تشکیل شده است: b/4+p. یک پا شعاع است b/4، یکی دیگر b/2-p. با استفاده از قضیه فیثاغورث می نویسیم: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. بعد، براکت ها را باز می کنیم و می گیریم b 2/16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. بیایید این عبارت را به bp/2=b 2/4-bp. و سپس تمام اصطلاحات را به تقسیم می کنیم ب، موارد مشابه را برای بدست آوردن می دهیم 3/2*p=b/4. و در پایان متوجه می شویم p=b/6- همان چیزی است که ما نیاز داشتیم.

با استفاده از قضیه می توانید طول تیرهای سقف شیروانی را محاسبه کنید. تعیین کنید که ارتفاع یک برج متحرک برای رسیدن سیگنال به محل مشخصی چقدر است. و حتی به طور پیوسته یک درخت کریسمس را در میدان شهر نصب کنید. همانطور که می بینید، این قضیه نه تنها در صفحات کتاب های درسی زندگی می کند، بلکه اغلب در زندگی واقعی نیز مفید است.

تا آنجا که به ادبیات مربوط می شود، قضیه فیثاغورث از دوران باستان الهام بخش نویسندگان بوده است و امروزه نیز ادامه دارد. برای مثال، نویسنده آلمانی قرن نوزدهم، آدلبرت فون چامیسو، از او برای نوشتن یک غزل الهام گرفت:

نور حقیقت به زودی از بین نمی رود،
اما، با درخشش، بعید است که از بین برود
و مانند هزاران سال پیش،
باعث ایجاد شک و اختلاف نخواهد شد.

عاقلانه ترین زمانی که به چشم می رسد
نور حقیقت، خدایان را شکر.
و صد گاو نر، چاقو خورده، دروغ می گویند -
هدیه برگشت فیثاغورث خوش شانس.

از آن زمان، گاو نر ناامیدانه غرش می کند:
برای همیشه قبیله گاو نر را برانگیخت
رویداد ذکر شده در اینجا

آنها فکر می کنند زمان آن فرا رسیده است
و باز هم قربانی خواهند شد
چند قضیه عالی

(ترجمه ویکتور توپوروف)

و در قرن بیستم، یوگنی ولتیستوف نویسنده شوروی در کتاب خود "ماجراهای الکترونیک" یک فصل کامل را به اثبات قضیه فیثاغورث اختصاص داد. و نیم فصل از داستان در مورد جهان دو بعدی که اگر قضیه فیثاغورث به قانون اساسی و حتی دین برای یک جهان تبدیل شود، می تواند وجود داشته باشد. زندگی در آن بسیار ساده تر است، اما بسیار خسته کننده تر است: برای مثال، هیچ کس در آنجا معنای کلمات "گرد" و "کرکی" را نمی فهمد.

و نویسنده در کتاب "ماجراهای الکترونیک" از زبان معلم ریاضیات تاراتارا می گوید: "مهمترین چیز در ریاضیات حرکت فکر، ایده های جدید است." این پرواز خلاقانه تفکر است که قضیه فیثاغورث را ایجاد می کند - بی جهت نیست که این همه شواهد متنوع دارد. این کمک می کند تا فراتر از حد معمول بروید و به چیزهای آشنا به روشی جدید نگاه کنید.

نتیجه

این مقاله به این منظور ایجاد شده است که شما بتوانید فراتر از برنامه درسی مدرسه در ریاضیات نگاه کنید و نه تنها آن دسته از اثبات های قضیه فیثاغورث را که در کتاب های درسی "هندسه 7-9" (ال. اس. آتاناسیان، وی. ” (A.V. Pogorelov) و همچنین راه های عجیب دیگری برای اثبات قضیه معروف. و همچنین نمونه هایی از نحوه اعمال قضیه فیثاغورث را در زندگی روزمره ببینید.

اولاً، این اطلاعات به شما امکان می دهد در کلاس های ریاضی نمرات بالاتری کسب کنید - اطلاعات مربوط به این موضوع از منابع اضافی همیشه بسیار قدردانی می شود.

ثانیاً، ما می‌خواستیم به شما کمک کنیم تا متوجه شوید که ریاضیات چقدر جالب است. تا با مثال های خاص متقاعد شود که همیشه جایی برای خلاقیت در آن وجود دارد. امیدواریم قضیه فیثاغورث و این مقاله الهام بخش شما برای انجام تحقیقات و اکتشافات هیجان انگیز در ریاضیات و سایر علوم باشد.

اگر شواهد ارائه شده در مقاله را جالب دیدید، در نظرات به ما بگویید. آیا این اطلاعات را در مطالعات خود مفید دیدید؟ نظر خود را در مورد قضیه فیثاغورث و این مقاله با ما در میان بگذارید - ما خوشحال خواهیم شد که همه اینها را با شما در میان بگذاریم.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.