آیا می خواهید از شانس ریاضی موفقیت شرط خود مطلع شوید؟ سپس دو خبر خوب برای شما وجود دارد. اول: برای محاسبه توانایی بین کشوری، نیازی به انجام محاسبات پیچیده و صرف زمان زیادی ندارید. کافی است از فرمول های ساده استفاده کنید که کار با آنها چند دقیقه طول می کشد. دوم: پس از مطالعه این مقاله، به راحتی می توانید احتمال عبور هر یک از تراکنش های خود را محاسبه کنید.
برای تعیین صحیح توانایی بین کشوری، باید سه مرحله را انجام دهید:
- محاسبه درصد احتمال نتیجه یک رویداد با توجه به دفتر شرط بندی؛
- احتمال را با استفاده از داده های آماری خودتان محاسبه کنید.
- با در نظر گرفتن هر دو احتمال، ارزش شرط را بیابید.
بیایید با استفاده از نه تنها فرمول ها، بلکه با استفاده از مثال ها، هر یک از مراحل را با جزئیات بررسی کنیم.
عبور سریع
محاسبه احتمال گنجانده شده در شانس های شرط بندی
اولین قدم این است که بفهمیم خود بنگاه‌کننده با چه احتمالی شانس یک نتیجه خاص را تخمین می‌زند. واضح است که شرط‌بندی‌ها به این شکل شانس تعیین نمی‌کنند. برای این کار از فرمول زیر استفاده می کنیم:
پب=(1/K)*100%
که در آن P B احتمال نتیجه طبق دفتر شرط‌بندی است.
K - شانس شرط بندی برای نتیجه.
فرض کنید که شانس پیروزی آرسنال لندن در بازی مقابل بایرن مونیخ 4 است. این بدان معنی است که احتمال پیروزی آنها توسط مؤسسه به صورت (1/4)*100%=25% ارزیابی می شود. یا جوکوویچ مقابل یوژنی بازی می کند. ضریب پیروزی نواک 1.2 است، شانس او (1/1.2) * 100٪ = 83٪ است.
اینگونه است که خود بنگاه‌ها شانس موفقیت هر بازیکن و تیم را ارزیابی می‌کنند. پس از اتمام مرحله اول، به مرحله دوم می رویم.
محاسبه احتمال یک رویداد توسط بازیکن
نکته دوم برنامه ما ارزیابی خودمان از احتمال وقوع رویداد است. از آنجایی که نمی‌توانیم پارامترهایی مانند انگیزه و لحن بازی را از نظر ریاضی در نظر بگیریم، از یک مدل ساده‌شده استفاده می‌کنیم و فقط از آمار جلسات قبلی استفاده می‌کنیم. برای محاسبه احتمال آماری یک نتیجه، از فرمول استفاده می کنیم:
پو=(UM/M)*100%
جایی کهپو- احتمال یک رویداد با توجه به بازیکن؛
UM - تعداد مسابقات موفقی که در آن چنین رویدادی رخ داده است.
M - تعداد کل مسابقات.
برای روشن تر شدن موضوع مثال هایی می زنیم. اندی ماری و رافائل نادال 14 بازی را با هم انجام دادند. در 6 تای آنها مجموع در بازی ها کمتر از 21 بود، در 8 مورد مجموع بیشتر بود. شما باید احتمال اینکه بازی بعدی با مجموع بالاتر انجام شود را پیدا کنید: (8/14)*100=57%. والنسیا 74 بازی مقابل اتلتیکو در مستایا انجام داد که در آن 29 پیروزی به دست آورد. احتمال برد والنسیا: (29/74)*100%=39%.
و همه اینها را فقط به لطف آمار بازی های قبلی یاد می گیریم! به طور طبیعی، محاسبه چنین احتمالی برای یک تیم یا بازیکن جدید امکان پذیر نخواهد بود، بنابراین این استراتژی شرط بندی فقط برای مسابقاتی مناسب است که در آن حریفان بیش از یک بار با هم روبرو می شوند. اکنون می‌دانیم که چگونه می‌توانیم احتمالات بنگاه‌ها و نتایج خودمان را تعیین کنیم، و تمام دانش لازم برای رفتن به مرحله آخر را داریم.
تعیین ارزش یک شرط
ارزش (ارزش) یک شرط و قابل قبول بودن یک ارتباط مستقیم دارند: هر چه مقدار بالاتر باشد، شانس پاس کردن بیشتر است. مقدار به صورت زیر محاسبه می شود:
V=پو*K-100%
جایی که V مقدار است.
P I - احتمال نتیجه با توجه به شرط بندی.
K - شانس شرط بندی برای نتیجه.
فرض کنید می خواهیم روی برد میلان در بازی مقابل رم شرط بندی کنیم و احتمال برد "قرمز سیاه ها" 45 درصد است. شرط‌بند شانس 2.5 را برای این نتیجه به ما پیشنهاد می‌کند. آیا چنین شرط بندی ارزشمند خواهد بود؟ ما محاسبات را انجام می دهیم: V=45%*2.5-100%=12.5%. عالی است، ما یک شرط ارزشمند با شانس خوب برای پاس داریم.
بیایید یک مورد دیگر را در نظر بگیریم. ماریا شاراپووا در مقابل پترا کویتووا بازی می کند. ما می خواهیم برای پیروزی ماریا معامله ای انجام دهیم که احتمال آن طبق محاسبات ما 60٪ است. بوک سازها برای این نتیجه ضریب 1.5 ارائه می دهند. مقدار را تعیین می کنیم: V=60%*1.5-100=-10%. همانطور که می بینید، این شرط بندی هیچ ارزشی ندارد و باید از آن اجتناب کرد.
رویدادهایی که در واقعیت یا در تخیل ما اتفاق می افتد را می توان به 3 گروه تقسیم کرد. اینها اتفاقات خاصی هستند که قطعا رخ خواهند داد، رویدادهای غیرممکن و اتفاقات تصادفی. نظریه احتمال رویدادهای تصادفی را مطالعه می کند، به عنوان مثال. رویدادهایی که ممکن است اتفاق بیفتند یا نباشند. در این مقاله به طور مختصر به ارائه تئوری فرمول های احتمالات و مثال هایی از حل مسائل در نظریه احتمال می پردازیم که در تکلیف 4 آزمون دولتی واحد ریاضی (سطح مشخصات) خواهد بود.
چرا به نظریه احتمال نیاز داریم؟
از نظر تاریخی، نیاز به مطالعه این مشکلات در قرن هفدهم در ارتباط با توسعه و حرفه ای شدن قمار و پیدایش کازینوها بوجود آمد. این یک پدیده واقعی بود که نیاز به مطالعه و تحقیق خاص خود داشت.
کارت های بازی، تاس و رولت موقعیت هایی را ایجاد کردند که در آن هر یک از تعداد محدودی از رویدادهای به همان اندازه ممکن ممکن بود رخ دهد. نیاز به ارائه تخمین های عددی از احتمال وقوع یک رویداد خاص وجود داشت.
در قرن بیستم، مشخص شد که این علم به ظاهر بیهوده نقش مهمی در درک فرآیندهای اساسی که در عالم صغیر رخ می دهد ایفا می کند. نظریه مدرن احتمال ایجاد شد.
مفاهیم اساسی نظریه احتمال
موضوع مطالعه نظریه احتمال، رویدادها و احتمالات آنهاست. اگر یک رویداد پیچیده باشد، می توان آن را به اجزای ساده ای تقسیم کرد که احتمالات آن به راحتی قابل یافتن است.
مجموع رویدادهای A و B را رویداد C می نامند که شامل این واقعیت است که یا رویداد A یا رویداد B یا رویدادهای A و B به طور همزمان رخ داده اند.
حاصلضرب رویدادهای A و B یک رویداد C است، به این معنی که هم رویداد A و هم رویداد B رخ داده است.
رویدادهای A و B در صورتی ناسازگار نامیده می شوند که نتوانند به طور همزمان رخ دهند.
رویداد A در صورتی غیرممکن نامیده می شود که اتفاق نیفتد. چنین رویدادی با نماد نشان داده می شود.
یک رویداد A در صورت قطعی بودن وقوع آن قطعی نامیده می شود. چنین رویدادی با نماد نشان داده می شود.
بگذارید هر رویداد A با یک عدد P(A) مرتبط باشد. این عدد P(A) را احتمال رخداد A می نامند که شرایط زیر با این مطابقت برقرار باشد.
یک مورد خاص مهم، وضعیتی است که نتایج ابتدایی به همان اندازه احتمالی وجود داشته باشد، و دلخواه از این نتایج، رویدادهای A را تشکیل می دهند. در این حالت، احتمال را می توان با استفاده از فرمول وارد کرد. احتمال معرفی شده به این صورت را احتمال کلاسیک می گویند. می توان ثابت کرد که در این حالت خواص 1-4 برآورده می شود.
مسائل تئوری احتمال که در آزمون یکپارچه در ریاضیات ظاهر می شوند عمدتاً به احتمال کلاسیک مربوط می شوند. چنین کارهایی می توانند بسیار ساده باشند. مسائل تئوری احتمال در نسخه های نمایشی بسیار ساده هستند. محاسبه تعداد پیامدهای مطلوب آسان است؛ تعداد تمام نتایج دقیقاً در شرایط نوشته شده است.
با استفاده از فرمول به جواب میرسیم.
نمونه ای از یک مسئله از آزمون دولتی واحد در ریاضیات در تعیین احتمال
روی میز 20 پای وجود دارد - 5 عدد با کلم، 7 عدد با سیب و 8 عدد با برنج. مارینا می خواهد پای را بگیرد. احتمال اینکه او کیک برنجی را بگیرد چقدر است؟
راه حل.
20 نتیجه ابتدایی به همان اندازه محتمل وجود دارد، یعنی مارینا می تواند هر یک از 20 پای را بگیرد. اما باید احتمال اینکه مارینا پای برنج را بگیرد را تخمین بزنیم، یعنی جایی که A انتخاب پای برنج است. این بدان معنی است که تعداد نتایج مطلوب (انتخاب پای با برنج) تنها 8 است. سپس احتمال با فرمول تعیین می شود:
رویدادهای مستقل، متضاد و خودسرانه
با این حال، وظایف پیچیده تری در بانک وظایف باز یافت شد. بنابراین، اجازه دهید توجه خواننده را به سایر موضوعات مورد مطالعه در نظریه احتمال جلب کنیم.
رویدادهای A و B در صورتی مستقل هستند که احتمال هر یک به وقوع رویداد دیگر بستگی نداشته باشد.
رویداد B این است که رویداد A اتفاق نیفتاده است. رویداد B مخالف رویداد A است. احتمال رویداد مخالف برابر است با یک منهای احتمال رویداد مستقیم، یعنی. .
قضایای جمع و ضرب احتمال، فرمول ها
برای رویدادهای دلخواه A و B، احتمال مجموع این رویدادها برابر است با مجموع احتمالات آنها بدون احتمال رویداد مشترک آنها، یعنی. .
برای رویدادهای مستقل A و B، احتمال وقوع این رویدادها برابر است با حاصل ضرب احتمالات آنها، یعنی. در این مورد .
دو عبارت آخر را قضایای جمع و ضرب احتمال می نامند.
شمارش تعداد نتایج همیشه به این سادگی نیست. در برخی موارد استفاده از فرمول های ترکیبی ضروری است. مهمترین چیز این است که تعداد رویدادهایی را بشمارید که شرایط خاصی را برآورده می کنند. گاهی اوقات این نوع محاسبات می توانند به وظایف مستقل تبدیل شوند.
از چند طریق می توان 6 دانش آموز را در 6 صندلی خالی نشست؟ شاگرد اول هر یک از 6 مکان را خواهد گرفت. هر یک از این گزینه ها با 5 روش برای جانشینی دانش آموز دوم مطابقت دارد. برای دانش آموز سوم 4 مکان رایگان، برای نفر چهارم 3 مکان، برای نفر پنجم 2 مکان رایگان باقی مانده است و نفر ششم تنها جای باقی مانده را خواهد داشت. برای یافتن تعداد همه گزینه ها باید محصولی را پیدا کنید که با علامت 6 نشان داده می شود! و «شش فاکتوریل» را می خواند.
در حالت کلی، پاسخ به این سوال با فرمول تعداد جایگشت های n عنصر داده می شود.در مورد ما.
اجازه دهید اکنون مورد دیگری را با دانش آموزان خود در نظر بگیریم. از چند طریق می توان 2 دانش آموز را در 6 صندلی خالی نشست؟ شاگرد اول هر یک از 6 مکان را خواهد گرفت. هر یک از این گزینه ها با 5 روش برای جانشینی دانش آموز دوم مطابقت دارد. برای یافتن تعداد همه گزینه ها، باید محصول را پیدا کنید.
به طور کلی، پاسخ به این سوال با فرمول تعداد قرارگیری n عنصر روی k عنصر داده می شود
در مورد ما .
و آخرین مورد در این مجموعه. به چند روش می توانید از بین 6 دانش آموز سه دانش آموز را انتخاب کنید؟ دانش آموز اول را می توان به 6 روش انتخاب کرد، دومی - به 5 روش، سومی - به چهار روش. اما در بین این گزینه ها همان سه دانش آموز 6 بار ظاهر می شوند. برای یافتن تعداد همه گزینه ها، باید مقدار را محاسبه کنید: . به طور کلی، پاسخ به این سوال با فرمول تعداد ترکیب عناصر به عنصر داده می شود:
در مورد ما .
نمونه هایی از حل مسائل از آزمون دولتی واحد در ریاضیات برای تعیین احتمال
وظیفه 1. از مجموعه ویرایش شده توسط. یاشچنکو
30 پای در بشقاب وجود دارد: 3 عدد با گوشت، 18 عدد با کلم و 9 عدد با گیلاس. ساشا به صورت تصادفی یک پای را انتخاب می کند. این احتمال را پیدا کنید که او با یک گیلاس به پایان برسد.
.
پاسخ: 0.3.
وظیفه 2. از مجموعه ویرایش شده توسط. یاشچنکو
در هر دسته 1000 لامپ به طور متوسط 20 لامپ معیوب هستند. احتمال اینکه یک لامپ که به طور تصادفی از یک دسته گرفته شده است کار کند را پیدا کنید.
راه حل: تعداد لامپ های در حال کار 1000-20=980 است. سپس این احتمال وجود دارد که یک لامپ به طور تصادفی از یک دسته کار کند:
پاسخ: 0.98.
احتمال اینکه دانش آموز U بیش از 9 مسئله را در آزمون ریاضی به درستی حل کند 0.67 است. احتمال اینکه U. بیش از 8 مسئله را به درستی حل کند 0.73 است. این احتمال را پیدا کنید که U دقیقا 9 مسئله را به درستی حل کند.
اگر یک خط عددی را تصور کنیم و نقاط 8 و 9 را روی آن علامت گذاری کنیم، خواهیم دید که شرط «U. دقیقاً 9 مشکل را به درستی حل خواهد کرد» در شرط «U. بیش از 8 مشکل را به درستی حل می کند، اما برای شرط «U. بیش از 9 مشکل را به درستی حل می کند.
با این حال، شرط «U. بیش از 9 مشکل را به درستی حل خواهد کرد» در شرط «U. بیش از 8 مشکل را به درستی حل خواهد کرد. بنابراین، اگر رویدادها را مشخص کنیم: «U. دقیقاً 9 مشکل را به درستی حل می کند" - از طریق A، "U. بیش از 8 مشکل را به درستی حل می کند" - از طریق B، "U. بیش از 9 مسئله را به درستی حل خواهد کرد» از طریق C. این راه حل به شکل زیر خواهد بود:
پاسخ: 0.06.
در امتحان هندسه، دانش آموز به یک سوال از لیست سوالات امتحان پاسخ می دهد. احتمال اینکه این سوال مثلثاتی باشد 0.2 است. احتمال اینکه این یک سوال در زوایای خارجی باشد 0.15 است. هیچ سوالی وجود ندارد که به طور همزمان به این دو موضوع مرتبط باشد. احتمال اینکه دانش آموزی در یکی از این دو مبحث در امتحان سوال بگیرد را بیابید.
بیایید فکر کنیم چه اتفاقاتی داریم. دو رویداد ناسازگار به ما داده می شود. یعنی سوال یا به مبحث "مثلثات" مربوط می شود یا به مبحث "زوایای خارجی". طبق قضیه احتمال، احتمال رخدادهای ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات هر رویداد، باید مجموع احتمالات این رویدادها را پیدا کنیم، یعنی:
پاسخ: 0.35.
اتاق توسط یک فانوس با سه لامپ روشن می شود. احتمال خاموش شدن یک لامپ در طول یک سال 0.29 است. این احتمال را پیدا کنید که حداقل یک لامپ در طول سال بسوزد.
بیایید رویدادهای احتمالی را در نظر بگیریم. ما سه لامپ داریم که ممکن است هر کدام مستقل از هر لامپ دیگری بسوزد یا نسوزد. اینها رویدادهای مستقلی هستند.
سپس گزینه های چنین رویدادهایی را نشان خواهیم داد. بیایید از نمادهای زیر استفاده کنیم: - لامپ روشن است، - لامپ سوخته است. و درست در کنار آن احتمال وقوع را محاسبه خواهیم کرد. به عنوان مثال، احتمال وقوع یک رویداد که در آن سه رویداد مستقل "لامپ سوخته است"، "لامپ روشن است"، "لامپ روشن است" رخ داده است: ، جایی که احتمال رویداد "لامپ روشن است" رخ داده است. روشن است» به عنوان احتمال رخداد مخالف رویداد «لامپ روشن نیست» محاسبه می شود، یعنی: .
توجه داشته باشید که تنها 7 رویداد ناسازگار برای ما وجود دارد که احتمال چنین رویدادهایی برابر است با مجموع احتمالات هر یک از رویدادها: .
پاسخ: 0.975608.
مشکل دیگری را در شکل مشاهده می کنید:
بنابراین، ما متوجه شدیم که تئوری احتمال چیست، فرمول ها و مثال هایی از حل مسائلی که ممکن است در نسخه Unified State Exam با آنها مواجه شوید.
احتمال وقوع یک رویداد در یک آزمون خاص برابر است با نسبت، که در آن:
تعداد کل همه نتایج ابتدایی و به همان اندازه ممکن یک آزمون معین که تشکیل می شوند گروه کامل رویدادها;
تعداد نتایج اولیه مطلوب برای رویداد.
مشکل 1
یک گلدان حاوی 15 توپ سفید، 5 توپ قرمز و 10 توپ سیاه است. 1 توپ به طور تصادفی کشیده شده است، احتمال آن را پیدا کنید: الف) سفید، ب) قرمز، ج) سیاه.
راه حل: مهمترین پیش نیاز برای استفاده از تعریف کلاسیک احتمال است توانایی شمارش تعداد کل نتایج.
در کل 15 + 5 + 10 = 30 توپ در کوزه وجود دارد و بدیهی است که حقایق زیر درست است:
بازیابی هر توپی به همان اندازه امکان پذیر است (فرصت برابرعواقب)، در حالی که نتایج ابتدایی و فرم گروه کامل رویدادها (یعنی در نتیجه آزمایش، یکی از 30 توپ قطعا حذف خواهد شد).
بنابراین، تعداد کل نتایج:
این رویداد را در نظر بگیرید: - یک توپ سفید از کوزه کشیده می شود. این رویداد با نتایج ابتدایی مورد علاقه است، بنابراین، طبق تعریف کلاسیک: 
- احتمال اینکه یک توپ سفید از کوزه بیرون کشیده شود.
به اندازه کافی عجیب، حتی در چنین کار ساده ای، می توان نادرستی جدی ایجاد کرد. دام اینجا کجاست؟ بحث در اینجا نادرست است "از آنجایی که نیمی از توپ ها سفید هستند، پس احتمال رسم یک توپ سفید وجود دارد » . تعریف کلاسیک احتمال اشاره دارد ابتدایینتایج، و کسری باید یادداشت شود!
با سایر نکات، به طور مشابه، رویدادهای زیر را در نظر بگیرید:
یک توپ قرمز از کوزه کشیده می شود.
- یک توپ سیاه از کوزه کشیده می شود.
یک رویداد با 5 نتیجه ابتدایی و یک رویداد با 10 نتیجه ابتدایی مورد علاقه قرار می گیرد. بنابراین احتمالات مربوطه عبارتند از: 
یک بررسی معمولی از بسیاری از وظایف سرور با استفاده از آن انجام می شود قضایای مجموع احتمالات رویدادها که یک گروه کامل را تشکیل می دهند. در مورد ما، رویدادها یک گروه کامل را تشکیل می دهند، به این معنی که مجموع احتمالات مربوطه باید لزوما برابر با یک باشد: .
بیایید بررسی کنیم که آیا این درست است: این چیزی است که می خواستم از آن مطمئن شوم.
پاسخ: 
در عمل، گزینه طراحی راه حل "سرعت بالا" رایج است:
مجموع: 15 + 5 + 10 = 30 توپ در کوزه. طبق تعریف کلاسیک:
- احتمال اینکه یک توپ سفید از کوزه کشیده شود.
- احتمال اینکه یک توپ قرمز از کوزه کشیده شود.
- احتمال اینکه یک توپ سیاه از کوزه کشیده شود.
پاسخ:
مشکل 2
این فروشگاه 30 یخچال دریافت کرد که 5 دستگاه از آنها دارای نقص ساخت هستند. یک یخچال به صورت تصادفی انتخاب می شود. احتمال اینکه بدون عیب باشد چقدر است؟
مشکل 3
هنگام گرفتن شماره تلفن، مشترک دو رقم آخر را فراموش می کند، اما به یاد می آورد که یکی از آنها صفر و دیگری فرد است. احتمال اینکه او شماره صحیح را بگیرد را پیدا کنید.
توجه داشته باشید: صفر یک عدد زوج است (بدون باقیمانده بر 2 بخش پذیر است)
راه حل: ابتدا تعداد کل نتایج را پیدا می کنیم. طبق شرط، مشترک به خاطر می آورد که یکی از ارقام صفر است و رقم دیگر فرد است. در اینجا منطقی تر است که موها را با آنها تقسیم نکنید ترکیبیاتو بهره ببرید روش فهرست کردن مستقیم نتایج . یعنی هنگام ایجاد یک راه حل، ما به سادگی تمام ترکیبات را یادداشت می کنیم:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90
و ما آنها را می شماریم - در مجموع: 10 نتیجه.
تنها یک نتیجه مطلوب وجود دارد: عدد صحیح.
طبق تعریف کلاسیک: 
- احتمال اینکه مشترک شماره صحیح را بگیرد
پاسخ: 0,1
کار پیشرفته برای راه حل مستقل:
مشکل 4
مشترک پین کد سیم کارت خود را فراموش کرده است، اما به یاد می آورد که شامل سه عدد "پنج" است و یکی از اعداد یا "هفت" یا "هشت" است. احتمال موفقیت آمیز بودن مجوز در اولین تلاش چقدر است؟
در اینجا شما همچنین می توانید این ایده را ایجاد کنید که احتمال دارد مشترک با مجازات در قالب کد puk مواجه شود، اما، متأسفانه، استدلال از محدوده این درس فراتر خواهد رفت.
راه حل و پاسخ در زیر آمده است.
گاهی اوقات فهرست کردن ترکیب ها کار بسیار پر زحمتی است. به ویژه، این مورد در گروه مشکلات بعدی، نه کمتر محبوب، که در آن 2 تاس ریخته می شود، صادق است (کمتر - بیشتر):
مشکل 5
این احتمال را بیابید که هنگام پرتاب دو تاس، تعداد کل آن خواهد بود:
الف) پنج امتیاز؛
ب) بیش از چهار امتیاز نباشد.
ج) از 3 تا 9 امتیاز شامل.
راه حل: تعداد کل نتایج را بیابید:
راه‌هایی که می‌تواند طرف قالب اول بیفتد وبه طرق مختلف، طرف مکعب دوم می تواند بیرون بیفتد. توسط قانون ضرب ترکیب ها، جمع: 
ترکیبات ممکن به عبارت دیگر، هر یکوجه مکعب اول می تواند یک جفت مرتب تشکیل دهد با هریکلبه مکعب دوم اجازه دهید توافق کنیم که چنین جفتی را به شکل بنویسیم، عددی که در قالب اول ظاهر می‌شود و عددی است که در قالب دوم ظاهر می‌شود.
مثلا:
تاس اول 3 امتیاز، تاس دوم 5 امتیاز، مجموع امتیازها: 3 + 5 = 8.
- تاس اول 6 امتیاز، دوم - 1 امتیاز، مجموع امتیازها: 6 + 1 = 7.
- 2 امتیاز روی هر دو تاس ریخته شده، مجموع: 2 + 2 = 4.
بدیهی است که کوچکترین مقدار توسط یک جفت و بزرگترین مقدار توسط دو "شش" داده می شود.
الف) رویداد را در نظر بگیرید: - هنگام پرتاب دو تاس، 5 امتیاز ظاهر می شود. بیایید تعداد نتایجی که به نفع این رویداد است را بنویسیم و بشماریم:
مجموع: 4 نتیجه مطلوب طبق تعریف کلاسیک:
- احتمال مورد نظر
ب) رویداد را در نظر بگیرید: - بیش از 4 امتیاز ظاهر نمی شود. یعنی یا 2 یا 3 یا 4 امتیاز. دوباره ترکیبات مطلوب را لیست و شمارش می کنیم، در سمت چپ تعداد کل امتیازها را می نویسم و بعد از کولون - جفت های مناسب: 
مجموع: 6 ترکیب مطلوب. بدین ترتیب:
- احتمال اینکه بیش از 4 امتیاز رول نشود.
ج) رویداد را در نظر بگیرید: - 3 تا 9 امتیاز شامل می شود. در اینجا می توانید جاده مستقیم را انتخاب کنید، اما ... به دلایلی نمی خواهید. بله، برخی از جفت ها قبلاً در پاراگراف های قبلی ذکر شده اند، اما هنوز کارهای زیادی برای انجام دادن وجود دارد.
بهترین راه برای ادامه چیست؟ در چنین مواردی، یک مسیر دوربرگردان منطقی به نظر می رسد. در نظر بگیریم رویداد مخالف: - 2 یا 10 یا 11 یا 12 امتیاز ظاهر می شود.
چه فایده ای دارد؟ رویداد معکوس توسط تعداد بسیار کمتری از زوج ها مورد علاقه است:
مجموع: 7 نتیجه مطلوب.
طبق تعریف کلاسیک:
- احتمال اینکه کمتر از سه یا بیشتر از 9 امتیاز بگیرید.
افراد بسیار دقیق می توانند تمام 29 جفت را لیست کنند و بدین ترتیب بررسی را تکمیل کنند.
پاسخ: 
در مسئله بعدی جدول ضرب را تکرار می کنیم:
مشکل 6
این احتمال را پیدا کنید که هنگام پرتاب دو تاس، حاصل ضرب امتیازها برابر باشد:
الف) برابر هفت خواهد بود.
ب) حداقل 20 خواهد بود.
ج) زوج خواهد بود.
راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس.
مسئله 7
3 نفر وارد آسانسور یک ساختمان 20 طبقه در طبقه اول شدند. و بریم. این احتمال را پیدا کنید که:
الف) آنها در طبقات مختلف خارج می شوند.
ب) دو نفر در یک طبقه خارج می شوند.
ج) همه در یک طبقه پیاده می شوند.
راه حل: بیایید تعداد کل نتایج را محاسبه کنیم: راه هایی که اولین مسافر می تواند از آسانسور خارج شود وراه - مسافر دوم وراه - مسافر سوم. طبق قاعده ضرب ترکیبات: نتایج ممکن. به این معنا که، هرطبقه خروجی 1 نفر قابل ترکیب است با هرطبقه خروجی نفر دوم و با هرطبقه خروجی 3 نفر.
روش دوم بر اساس قرار دادن با تکرار:
- هر که آن را واضح تر می فهمد.
الف) رویداد را در نظر بگیرید: - مسافران در طبقات مختلف پیاده می شوند. بیایید تعداد نتایج مطلوب را محاسبه کنیم: 
3 مسافر در طبقات مختلف می توانند با این روش ها خارج شوند. استدلال خود را بر اساس فرمول انجام دهید.
طبق تعریف کلاسیک: 
ج) رویداد را در نظر بگیرید: - مسافران در همان طبقه پیاده می شوند. این رویداد نتایج مطلوبی دارد و طبق تعریف کلاسیک، احتمال مربوطه: 
.
از پشت در می آییم:
ب) رویداد را در نظر بگیرید: - دو نفر در یک طبقه پیاده می شوند (و بر این اساس سومی در طرف دیگر قرار دارد).
رویدادها شکل می گیرند گروه کامل (ما معتقدیم که هیچ کس در آسانسور نمی خوابد و آسانسور گیر نمی کند، که به معنی .
در نتیجه، احتمال مورد نظر:
بدین ترتیب، قضیه در مورد جمع احتمالات رویدادها تشکیل یک گروه کامل، می تواند نه تنها راحت باشد، بلکه به یک نجات دهنده واقعی تبدیل شود!
پاسخ:
وقتی کسرهای بزرگ به دست می آورید، تمرین خوبی است که مقادیر اعشاری تقریبی آنها را نشان دهید. معمولاً به اعشار 2-3-4 گرد می شود.
از آنجایی که رویدادهای نقاط "a"، "be"، "ve" یک گروه کامل را تشکیل می دهند، انجام یک بررسی کنترل منطقی است و با مقادیر تقریبی بهتر است:
چیزی که باید بررسی می شد.
گاهی اوقات، به دلیل خطاهای گرد کردن، نتیجه ممکن است 0.9999 یا 1.0001 باشد؛ در این مورد، یکی از مقادیر تقریبی باید "تنظیم" شود تا کل یک واحد "خالص" باشد.
بدون کمک دیگری:
مسئله 8
10 سکه پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که:
الف) تمام سکه ها سر نشان خواهند داد.
ب) 9 سکه سر و یک سکه دم خواهد داشت.
ج) سر روی نیمی از سکه ها ظاهر می شود.
مسئله 9
7 نفر به صورت تصادفی روی یک نیمکت هفت نفره می نشینند. احتمال اینکه دو نفر خاص به هم نزدیک باشند چقدر است؟
راه حل: هیچ مشکلی در تعداد کل نتایج وجود ندارد:
7 نفر می توانند به روش های مختلف روی یک نیمکت بنشینند.
اما چگونه می توان تعداد نتایج مطلوب را محاسبه کرد؟ فرمول های پیش پا افتاده مناسب نیستند و تنها راه، استدلال منطقی است. ابتدا بیایید شرایطی را در نظر بگیریم که ساشا و ماشا در لبه سمت چپ نیمکت کنار هم قرار گرفتند: 
بدیهی است که ترتیب مهم است: ساشا می تواند در سمت چپ، ماشا در سمت راست و بالعکس بنشیند. اما این همه چیز نیست - برای هراز این دو مورد، بقیه افراد می توانند به روش های دیگری در صندلی های خالی بنشینند. به طور ترکیبی، ساشا و ماشا را می توان در مکان های مجاور به روش های زیر مرتب کرد: وبرای هر یک از این جابجایی ها، افراد دیگر را می توان به روش هایی بازآرایی کرد.
بنابراین، با توجه به قاعده ضرب ترکیبات، نتایج مطلوب پدید می آید.
اما این همه ماجرا نیست! حقایق فوق حقیقت دارد برای هرجفت مکان های همسایه: 
جالب است بدانید که اگر نیمکت "گرد" باشد (اتصال صندلی های چپ و راست)، سپس یک جفت اضافی، هفتم از مکان های مجاور تشکیل می شود. اما بیایید حواسمان پرت نشود. طبق همان اصل ضرب ترکیب ها، تعداد نهایی نتایج مطلوب را به دست می آوریم:
طبق تعریف کلاسیک: 
- احتمال اینکه دو فرد خاص در نزدیکی باشند.
پاسخ:
مسئله 10
دو تخته سفید و سیاه به طور تصادفی روی صفحه شطرنج 64 سلولی قرار می گیرند. چقدر احتمال دارد که یکدیگر را «کتک نزنند»؟
ارجاع: صفحه شطرنج به اندازه مربع است. روک های سیاه و سفید هنگامی که در یک ردیف یا در یک عمود قرار می گیرند یکدیگر را "کتک می زنند".
حتماً یک نقشه شماتیک از تخته بکشید، و حتی اگر در نزدیکی آن شطرنج وجود داشته باشد، بهتر است. استدلال روی کاغذ یک چیز است و وقتی قطعات را با دست خود مرتب می کنید چیز دیگری است.
مسئله 11
احتمال اینکه چهار کارت پخش شده شامل یک آس و یک کینگ باشد چقدر است؟
بیایید تعداد کل نتایج را محاسبه کنیم. به چند روش می توانید 4 کارت را از یک عرشه حذف کنید؟ احتمالاً همه فهمیدند که ما در مورد آن صحبت می کنیم تعداد ترکیب:
با استفاده از این روش ها می توانید 4 کارت را از روی عرشه انتخاب کنید.
اکنون ما نتایج مطلوب را در نظر می گیریم. طبق شرط، در انتخاب 4 کارت باید یک آس، یک شاه وجود داشته باشد و که به صورت متن ساده بیان نشده است - دو کارت دیگر:
راه های استخراج یک آس؛
راه هایی که می توانید یک پادشاه را انتخاب کنید
ما آس و پادشاهان را از بررسی حذف می کنیم: 36 - 4 - 4 = 28
راه هایی که می توانید دو کارت دیگر را استخراج کنید.
طبق قانون ضرب ترکیب ها:
راه هایی برای استخراج ترکیب مورد نظر از کارت ها (1st Ace وپادشاه اول ودو کارت دیگر).
اجازه دهید در مورد معنای ترکیبی نماد به روش دیگری توضیح دهم:
هرآس ترکیب می کند با هرپادشاه و با هریکممکن است جفت کارت های دیگر
طبق تعریف کلاسیک: 
- احتمال اینکه در بین چهار کارت داده شده یک آس و یک شاه وجود داشته باشد.
اگر زمان و حوصله دارید، کسرهای بزرگ را تا حد امکان کاهش دهید.
پاسخ:
یک کار ساده تر برای حل به تنهایی:
مسئله 12
جعبه شامل 15 قطعه با کیفیت و 5 قطعه معیوب می باشد. 2 قسمت به صورت تصادفی حذف می شود.
این احتمال را پیدا کنید که:
الف) هر دو قسمت از کیفیت بالایی برخوردار خواهند بود.
ب) یک قسمت از کیفیت بالایی برخوردار باشد و یکی معیوب باشد.
ج) هر دو قسمت معیوب هستند.
رویدادهای نقاط ذکر شده یک گروه کامل را تشکیل می دهند، بنابراین بررسی اینجا خود را نشان می دهد. راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس. به طور کلی، جالب ترین چیزها تازه شروع شده اند!
مسئله 13
دانش آموز پاسخ 25 سوال امتحانی از 60 سوال را می داند. در صورت نیاز به پاسخگویی حداقل به 2 سوال از 3 سوال، احتمال قبولی در آزمون چقدر است؟
راه حل: بنابراین، وضعیت به این صورت است: در مجموع 60 سؤال که از بین آنها 25 سؤال "خوب" و بر این اساس 60 - 25 = 35 "بد" است. وضعیت نامطمئن است و به نفع دانشجو نیست. بیایید دریابیم که شانس او چقدر خوب است:
روش هایی که می توانید از 60 سوال 3 سوال را انتخاب کنید (تعداد کل نتایج).
برای قبولی در آزمون باید به 2 پاسخ دهید یا 3 سوال ما ترکیبات مطلوب را در نظر می گیریم:
راه هایی برای انتخاب 2 سوال "خوب". ویکی "بد" است.
راه هایی که می توانید 3 سوال "خوب" را انتخاب کنید.
توسط قانون برای اضافه کردن ترکیبات:
روش هایی که می توانید ترکیبی از 3 سوال را انتخاب کنید که برای قبولی در امتحان مطلوب است (بدون تفاوت با دو یا سه سوال "خوب").
طبق تعریف کلاسیک: 
پاسخ:
مسئله 14
به یک بازیکن پوکر 5 کارت داده می شود. این احتمال را پیدا کنید که:
الف) در بین این کارت ها یک جفت ده و یک جفت جک وجود خواهد داشت.
ب) به بازیکن یک فلاش داده می شود (5 کارت از همان لباس).
ج) به بازیکن چهار کارت داده می شود (4 کارت با همان ارزش).
کدام یک از ترکیبات زیر بیشتر به دست می آید؟
! توجه!اگر شرط سؤال مشابهی را مطرح می کند، به آن پاسخ دهید لازم استجواب بده
ارجاع
پوکر به طور سنتی با یک عرشه 52 کارتی بازی می‌شود که شامل کارت‌هایی از 4 کت و شلوار از دوش تا آس است.
پوکر ریاضی‌ترین بازی است (کسانی که بازی می‌کنند آن را می‌دانند)، که در آن می‌توانید برتری قابل توجهی نسبت به حریفان کم‌صلاحیت داشته باشید.
راه حل ها و پاسخ ها:
وظیفه 2: راه حل: 30 - 5 = 25 یخچال بدون عیب.
- احتمال اینکه یخچالی که به طور تصادفی انتخاب شده است نقصی نداشته باشد.
پاسخ
:
وظیفه 4: راه حل: تعداد کل نتایج را بیابید:
روش هایی که می توانید مکانی را انتخاب کنید که شماره مشکوک در آن قرار دارد و روی هراز این 4 مکان، 2 رقم را می توان قرار داد (هفت یا هشت). طبق قانون ضرب ترکیب ها، تعداد کل نتایج: 
.
روش دیگر، راه حل می تواند به سادگی تمام نتایج را فهرست کند (خوشبختانه تعداد کمی از آنها وجود دارد):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
تنها یک نتیجه مطلوب وجود دارد (پین کد صحیح).
بنابراین، طبق تعریف کلاسیک:
- احتمال اینکه مشترک در اولین تلاش وارد سیستم شود
پاسخ
:
وظیفه 6: راه حل
وظیفه 6:راه حل
: تعداد کل نتایج را بیابید:
اعداد می توانند روی 2 تاس به روش های مختلف ظاهر شوند.
الف) رویداد را در نظر بگیرید:
- هنگام پرتاب دو تاس، حاصل ضرب امتیازها برابر با هفت خواهد بود. هیچ نتیجه مطلوبی برای این رویداد وجود ندارد،
، یعنی این رویداد غیرممکن است
ب) رویداد را در نظر بگیرید:
- هنگام پرتاب دو تاس، حاصل ضرب امتیاز حداقل 20 خواهد بود. نتایج زیر به نفع این رویداد است:
مجموع: 8
طبق تعریف کلاسیک:
- احتمال مورد نظر
ج) وقایع متضاد را در نظر بگیرید:
- حاصل ضرب امتیاز زوج خواهد بود.
- حاصل ضرب امتیازها فرد خواهد بود.
بیایید تمام نتایج مطلوب برای رویداد را فهرست کنیم :
مجموع: 9 نتیجه مطلوب.
طبق تعریف کلاسیک احتمال: 
رویدادهای متضاد یک گروه کامل را تشکیل می دهند، بنابراین:
- احتمال مورد نظر
پاسخ
:
مسئله 8:راه حل
راه های افتادن 2 سکه
یک راه دیگر: راه هایی که سکه اول سقوط می کندو راه هایی که سکه دوم می تواند سقوط کندو …
و راه های سقوط سکه دهم طبق قانون ضرب ترکیب ها، 10 سکه می تواند سقوط کند 
راه ها.
الف) رویداد را در نظر بگیرید: - تمام سکه ها سر را نشان می دهند. با توجه به تعریف کلاسیک احتمال، این رویداد توسط یک نتیجه واحد مورد علاقه قرار می گیرد: .
ب) رویداد را در نظر بگیرید: - 9 سکه به سر فرود می آیند و یک سکه دم می کند.
وجود دارد سکه هایی که ممکن است روی سر فرود آیند. طبق تعریف کلاسیک احتمال: 
.
ج) رویداد را در نظر بگیرید: - سر روی نیمی از سکه ها ظاهر می شود.
وجود دارد 
ترکیبی منحصر به فرد از پنج سکه که می تواند سرها را فرود آورد. طبق تعریف کلاسیک احتمال: 
پاسخ:
مسئله 10:راه حل
: بیایید تعداد کل نتایج را محاسبه کنیم:
روش هایی برای قرار دادن دو تخته روی تخته
یکی دیگر از گزینه های طراحی: 
راه های انتخاب دو مربع از یک صفحه شطرنجو
راه هایی برای قرار دادن یک رخ سفید و سیاهدر هر
از موارد 2016 بنابراین، تعداد کل نتایج: .
حالا بیایید نتایجی را بشماریم که در آن روک ها یکدیگر را "کتک می زنند". بیایید اولین خط افقی را در نظر بگیریم. بدیهی است که ارقام را می توان به هر شکلی روی آن قرار داد، مثلاً به این صورت:
علاوه بر این، روک ها را می توان دوباره مرتب کرد. بیایید استدلال را به شکل عددی قرار دهیم: 
روش هایی برای انتخاب دو سلولو راه هایی برای چیدمان مجدد روک هادر هراز 28 مورد جمع: 
موقعیت های ممکن از ارقام در افقی.
نسخه کوتاه طرح: روش هایی که می توانید رخ سفید و سیاه را در رتبه اول قرار دهید.
استدلال فوق صحیح استبرای هر
افقی، بنابراین تعداد ترکیب ها باید در هشت ضرب شود:
. علاوه بر این، یک داستان مشابه برای هر یک از هشت عمودی صادق است. بیایید تعداد کل تشکیلاتی را محاسبه کنیم که در آنها قطعات یکدیگر را "کتک می زنند":
سپس در گونه های باقیمانده چیدمان، روک ها یکدیگر را "شکست" نخواهند داد:
4032 - 896 = 3136
طبق تعریف کلاسیک احتمال:
- احتمال اینکه یک رخ سفید و سیاه به طور تصادفی روی تخته قرار داده شود، یکدیگر را شکست ندهند.
پاسخ :
مسئله 12:راه حل
: مجموع: 15 + 5 = 20 قسمت در یک جعبه. بیایید تعداد کل نتایج را محاسبه کنیم:
با استفاده از این روش ها می توانید 2 قسمت را از جعبه جدا کنید.
الف) رویداد را در نظر بگیرید: - هر دو قسمت استخراج شده از کیفیت بالایی برخوردار خواهند بود.
با استفاده از این روش ها می توانید 2 قطعه با کیفیت را استخراج کنید.
طبق تعریف کلاسیک احتمال: 
ب) رویداد را در نظر بگیرید: - یک قطعه با کیفیت بالا و یکی معیوب خواهد بود.
راه هایی برای استخراج 1 قسمت با کیفیتو1 معیوب
طبق تعریف کلاسیک: 
ج) رویداد را در نظر بگیرید: - هر دو قسمت استخراج شده معیوب هستند.
با استفاده از این روش ها می توانید 2 قطعه معیوب را حذف کنید.
طبق تعریف کلاسیک: 
معاینه: بیایید مجموع احتمالات رویدادهایی را که گروه کامل را تشکیل می دهند محاسبه کنیم: ، چیزی بود که باید بررسی می شد.
پاسخ:
و اکنون بیایید یک ابزار یادگیری آشنا و بدون دردسر را در دست بگیریم - تاس با گروه کامل رویدادها 
، که شامل این واقعیت است که هنگام پرتاب به ترتیب 1، 2، 3، 4، 5 و 6 امتیاز ظاهر می شود.
رویداد را در نظر بگیرید - در نتیجه پرتاب یک تاس، حداقل پنج امتیاز ظاهر می شود. این رویداد شامل دو نتیجه ناسازگار است: (رول 5 یا 6 امتیاز)
- احتمال اینکه تاس انداختن حداقل پنج امتیاز را به همراه داشته باشد.
بیایید رویدادی را در نظر بگیریم که بیش از 4 امتیاز رول نمی شود و احتمال آن را پیدا می کنیم. طبق قضیه جمع احتمالات رویدادهای ناسازگار:
شاید برخی از خوانندگان هنوز به طور کامل متوجه نشده باشند ذاتنا سازگاری. بیایید دوباره در مورد آن فکر کنیم: یک دانش آموز نمی تواند به 2 سوال از 3 سوال پاسخ دهد و در همان زمانبه هر 3 سوال پاسخ دهید بنابراین، حوادث و ناسازگار هستند.
در حال حاضر، با استفاده از تعریف کلاسیک، بیایید احتمالات آنها را پیدا کنیم:
واقعیت گذراندن موفقیت آمیز آزمون با مقدار بیان می شود (پاسخ به 2 سوال از 3 سوال یابرای همه سوالات). طبق قضیه جمع احتمالات رویدادهای ناسازگار: 
- احتمال موفقیت دانش آموز در امتحان.
این راه حل کاملاً معادل است، کدام یک را بیشتر دوست دارید انتخاب کنید.
مشکل 1
این فروشگاه محصولات را در جعبه از چهار انبار عمده فروشی دریافت کرد: چهار انبار از 1، پنج از 2، هفت از 3 و چهار انبار از 4. یک جعبه برای فروش به صورت تصادفی انتخاب شده است. احتمال اینکه جعبه ای از انبار اول یا سوم باشد چقدر است.
راه حل: مجموع دریافتی فروشگاه: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 جعبه.
در این کار، استفاده از روش "سریع" قالب بندی بدون نوشتن رویدادها با حروف بزرگ راحت تر است. طبق تعریف کلاسیک:
- احتمال اینکه جعبه ای از انبار اول برای فروش انتخاب شود.
- احتمال انتخاب جعبه از انبار سوم برای فروش.
طبق قضیه جمع رویدادهای ناسازگار:
- احتمال انتخاب جعبه از انبار اول یا سوم برای فروش.
پاسخ: 0,55
البته مشکل قابل حل و صرفاً از طریق راه حل است تعریف کلاسیک احتمالبا شمارش مستقیم تعداد پیامدهای مطلوب (4 + 7 = 11)، اما روش در نظر گرفته شده بدتر نیست. و حتی واضح تر.
مشکل 2
جعبه شامل 10 دکمه قرمز و 6 دکمه آبی است. دو دکمه به صورت تصادفی حذف می شوند. احتمال همرنگ بودن آنها چقدر است؟
به طور مشابه - در اینجا می توانید استفاده کنید قانون جمع ترکیبیاما هرگز نمیدانی... ناگهان یکی آن را فراموش کرد. سپس قضیه اضافه کردن احتمالات رویدادهای ناسازگار به کمک خواهد آمد!
با دانستن اینکه احتمال را می توان اندازه گیری کرد، بیایید سعی کنیم آن را با اعداد بیان کنیم. سه راه ممکن وجود دارد.
برنج. 1.1. اندازه گیری احتمال
احتمال تعیین شده توسط تقارن
شرایطی وجود دارد که در آنها نتایج احتمالی به همان اندازه محتمل است. به عنوان مثال، هنگام پرتاب یک سکه، اگر سکه استاندارد باشد، احتمال ظاهر شدن "سر" یا "دم" یکسان است، یعنی. P ("سر") = P ("دم"). از آنجایی که تنها دو نتیجه ممکن است، پس P("سر") + P ("دم") = 1، بنابراین، P ("سر") = P ("دم") = 0.5.
در آزمایش‌هایی که نتایج آنها شانس وقوع برابری دارند، احتمال رویداد E, P (E) برابر است با:
مثال 1.1. سکه سه بار پرتاب می شود. احتمال دو سر و یک دم چقدر است؟
ابتدا، بیایید همه نتایج ممکن را پیدا کنیم: برای اطمینان از یافتن همه گزینه های ممکن، از یک نمودار درختی استفاده می کنیم (به فصل 1، بخش 1.3.1 مراجعه کنید).
بنابراین، 8 پیامد به یک اندازه ممکن وجود دارد، بنابراین، احتمال آنها 1/8 است. رویداد E - دو سر و دم - سه رخ داد. از همین رو:
مثال 1.2. یک قالب استاندارد دو بار نورد می شود. احتمال اینکه نمره 9 یا بیشتر باشد چقدر است؟
بیایید همه نتایج ممکن را پیدا کنیم.
جدول 1.2. تعداد کل امتیازهایی که با دوبار چرخاندن قالب به دست می آید
بنابراین، در 10 از 36 نتیجه ممکن، مجموع امتیازات 9 یا بنابراین:
احتمال به طور تجربی تعیین شده
مثال با یک سکه از جدول. 1.1 مکانیسم تعیین احتمال را به وضوح نشان می دهد.
با توجه به تعداد کل آزمایش‌های موفق، احتمال نتیجه مورد نیاز به صورت زیر محاسبه می‌شود:
یک نسبت، فراوانی نسبی وقوع یک نتیجه معین در یک آزمایش به اندازه کافی طولانی است. احتمال یا بر اساس داده های آزمایش انجام شده، بر اساس داده های گذشته محاسبه می شود.
مثال 1.3. از پانصد لامپ الکتریکی آزمایش شده، 415 لامپ بیش از 1000 ساعت کار کردند. بر اساس داده های این آزمایش، می توان نتیجه گرفت که احتمال کارکرد عادی یک لامپ از این نوع برای بیش از 1000 ساعت:
توجه داشته باشید. آزمایش ماهیتا مخرب است، بنابراین همه لامپ ها را نمی توان آزمایش کرد. اگر فقط یک لامپ آزمایش شود، احتمال 1 یا 0 خواهد بود (یعنی آیا می تواند 1000 ساعت دوام بیاورد یا خیر). از این رو نیاز به تکرار آزمایش است.
مثال 1.4. روی میز 1.3 داده های مربوط به مدت خدمت مردان شاغل در شرکت را نشان می دهد:
جدول 1.3. سابقه کار آقایان
احتمال اینکه فرد بعدی استخدام شده توسط شرکت حداقل دو سال کار کند چقدر است:
راه حل.
جدول نشان می دهد که از هر 100 کارمند 38 نفر بیش از دو سال در شرکت مشغول به کار بوده اند. احتمال تجربی اینکه کارمند بعدی بیش از دو سال در شرکت بماند عبارت است از:
در عین حال، ما فرض می کنیم که کارمند جدید "معمولی است و شرایط کار بدون تغییر است.
ارزیابی احتمال موضوعی
در تجارت، موقعیت‌هایی اغلب پیش می‌آیند که در آن هیچ تقارنی وجود ندارد و داده‌های تجربی نیز وجود ندارد. بنابراین، تعیین احتمال نتیجه مطلوب تحت تأثیر نظرات و تجربیات محقق ذهنی است.
مثال 1.5.
1. یک کارشناس سرمایه گذاری احتمال سود در دو سال اول را 0.6 تخمین می زند.
2. پیش بینی مدیر بازاریابی: احتمال فروش 1000 واحد از یک محصول در ماه اول پس از ظهور آن در بازار 0.4 است.
به عنوان یک مقوله هستی شناختی میزان امکان ظهور هر موجودی را تحت هر شرایطی منعکس می کند. برخلاف تفسیر ریاضی و منطقی این مفهوم، ریاضیات هستی‌شناختی خود را با الزام بیان کمی مرتبط نمی‌داند. معنای V. در چارچوب درک جبر و ماهیت توسعه به طور کلی آشکار می شود.
تعریف عالی
تعریف ناقص ↓
احتمال
مفهوم مشخص کردن کمیت ها اندازه گیری امکان وقوع یک رویداد معین در زمان معین شرایط در علم دانش سه تفسیر از V وجود دارد. مفهوم کلاسیک V. که برخاسته از ریاضیات است. تجزیه و تحلیل قمار و به طور کامل توسط ب. پاسکال، جی. برنولی و پی. لاپلاس توسعه یافته است، برنده شدن را به عنوان نسبت تعداد موارد مطلوب به تعداد کل همه مواردی که به یک اندازه ممکن است در نظر می گیرند. به عنوان مثال، هنگام پرتاب یک تاس که دارای 6 ضلع است، می توان انتظار داشت که هر یک از آنها با ارزش 1/6 فرود آیند، زیرا هیچ یک از طرفین برتری نسبت به دیگری ندارد. چنین تقارنی از نتایج تجربی به ویژه در هنگام سازماندهی بازی ها مورد توجه قرار می گیرد، اما در مطالعه رویدادهای عینی در علم و عمل نسبتاً نادر است. کلاسیک تعبیر V. جای خود را به آمار داد. مفاهیم V. که مبتنی بر واقعی است مشاهده وقوع یک رویداد خاص در مدت زمان طولانی. تجربه تحت شرایط کاملاً ثابت تمرین تأیید می کند که هر چه یک رویداد بیشتر اتفاق بیفتد، درجه امکان عینی وقوع آن بیشتر است، یا B. بنابراین، آماری. تفسیر V. مبتنی بر مفهوم مربوط است. فرکانس، که می تواند به صورت تجربی تعیین شود. V. به عنوان یک نظری این مفهوم هرگز با بسامد تعیین شده تجربی منطبق نیست، اما به صورت جمع. در موارد، عملاً با نسبی تفاوت کمی دارد. فرکانس یافت شده در نتیجه مدت. مشاهدات بسیاری از آماردانان V. را به عنوان یک "دو" اشاره می کنند. فرکانس ها، لبه ها به صورت آماری تعیین می شوند. مطالعه نتایج مشاهده
یا آزمایشات تعریف V. همانطور که حد مربوط می شود کمتر واقع بینانه بود. فرکانس رویدادهای دسته جمعی، یا گروه ها، پیشنهاد شده توسط R. Mises. به عنوان توسعه بیشتر رویکرد فرکانس به V.، یک تفسیر غیرمستقیم یا تمایلی از V. ارائه شده است (K. Popper، J. Hacking، M. Bunge، T. Settle). بر اساس این تفسیر، برای مثال، V. ویژگی ایجاد شرایط را مشخص می کند. آزمایش نصب و راه اندازی برای به دست آوردن دنباله ای از رویدادهای تصادفی عظیم. دقیقاً همین نگرش است که باعث ایجاد فیزیکی می شود تمایلات، یا مستعدات، V. که با استفاده از خویشاوندان قابل بررسی است. فرکانس
آماری تفسیر V. بر تحقیقات علمی غالب است. شناخت، زیرا منعکس کننده خاص است. ماهیت الگوهای ذاتی در پدیده های انبوه با طبیعت تصادفی. در بسیاری از فیزیکی، بیولوژیکی، اقتصادی، جمعیتی. و سایر فرآیندهای اجتماعی، لازم است که عملکرد بسیاری از عوامل تصادفی را در نظر بگیریم که با فرکانس پایدار مشخص می شوند. شناسایی این فرکانس ها و کمیت های پایدار. ارزیابی آن با کمک V. این امکان را فراهم می کند تا ضرورتی را که از طریق کنش تجمعی بسیاری از تصادفات راه می یابد آشکار کند. اینجاست که دیالکتیک تبدیل شانس به ضرورت تجلی می یابد (رجوع کنید به ف. انگلس، در کتاب: ک. مارکس و ف. انگلس، آثار، ج 20، ص 535-36).
استدلال منطقی یا استقرایی، رابطه بین مقدمات و نتیجه استدلال غیر نمایشی و به ویژه استقرایی را مشخص می کند. بر خلاف استنتاج، مقدمات استقراء صدق نتیجه را تضمین نمی کند، بلکه فقط آن را کم و بیش قابل قبول می کند. این معقول بودن، با مقدمات دقیق فرموله شده، گاهی اوقات می تواند با استفاده از V ارزیابی شود. مقدار این V. اغلب با مقایسه تعیین می شود. مفاهیم (بیش از، کمتر یا مساوی)، و گاهی اوقات به صورت عددی. منطقی تفسیر اغلب برای تجزیه و تحلیل استدلال استقرایی و ساختن سیستم های مختلف منطق احتمالی استفاده می شود (R. Carnap, R. Jeffrey). در معناشناسی مفاهیم منطقی V. اغلب به عنوان درجه ای که یک گزاره توسط دیگران تأیید می شود (به عنوان مثال، یک فرضیه با داده های تجربی آن) تعریف می شود.
در ارتباط با توسعه نظریه های تصمیم گیری و بازی ها، به اصطلاح تفسیر شخصی از V. اگرچه V. در عین حال درجه ایمان موضوع و وقوع یک رویداد خاص را بیان می کند، خود V. باید به گونه ای انتخاب شود که بدیهیات حساب V. برآورده شود. بنابراین، V. با چنین تفسیری نه چندان درجه ایمان ذهنی، بلکه بیشتر معقول را بیان می کند. در نتیجه، تصمیماتی که بر اساس چنین V. گرفته می شود، منطقی خواهد بود، زیرا آنها جنبه های روانی را در نظر نمی گیرند. ویژگی ها و تمایلات موضوع
با معرفتی t.zr. تفاوت بین آماری، منطقی و تفسیرهای شخصی از V. این است که اگر اولین ویژگی های عینی و روابط پدیده های توده ای با ماهیت تصادفی را مشخص می کند، آنگاه دو مورد آخر ویژگی های ذهنی و شناختی را تحلیل می کنند. فعالیت های انسانی در شرایط عدم قطعیت
احتمال
یکی از مهمترین مفاهیم علم است که یک دیدگاه سیستمی خاص از جهان، ساختار، تکامل و دانش آن را مشخص می کند. ویژگی دیدگاه احتمالی جهان از طریق گنجاندن مفاهیم تصادفی، استقلال و سلسله مراتب (ایده سطوح در ساختار و تعیین سیستم ها) در میان مفاهیم اساسی هستی آشکار می شود.
تصورات مربوط به احتمال در دوران باستان سرچشمه گرفته و به ویژگی های دانش ما مربوط می شد، در حالی که وجود دانش احتمالی تشخیص داده شد که با دانش قابل اعتماد و با دانش نادرست تفاوت داشت. تأثیر ایده احتمال بر تفکر علمی و توسعه دانش مستقیماً با توسعه نظریه احتمال به عنوان یک رشته ریاضی مرتبط است. منشاء دکترین ریاضی احتمالات به قرن هفدهم برمی گردد، زمانی که توسعه هسته ای از مفاهیم اجازه می دهد. ویژگی های کمی (عددی) و بیان یک ایده احتمالی.
کاربردهای فشرده احتمال برای توسعه شناخت در نیمه دوم رخ می دهد. 19 - طبقه 1 قرن 20 احتمال وارد ساختار علوم بنیادی طبیعت مانند فیزیک آماری کلاسیک، ژنتیک، نظریه کوانتومی و سایبرنتیک (نظریه اطلاعات) شده است. بر این اساس، احتمال آن مرحله از توسعه علم را که اکنون به عنوان علم غیر کلاسیک تعریف می شود، شخصیت می بخشد. برای آشکار کردن تازگی و ویژگی های روش تفکر احتمالی، لازم است از تحلیل موضوع نظریه احتمال و مبانی کاربردهای متعدد آن استفاده کنیم. نظریه احتمال معمولاً به عنوان یک رشته ریاضی تعریف می شود که الگوهای پدیده های تصادفی انبوه را تحت شرایط خاص مطالعه می کند. تصادفی بودن به این معناست که در چارچوب شخصیت توده ای، وجود هر پدیده ابتدایی به وجود پدیده های دیگر بستگی ندارد و با آن تعیین نمی شود. در عین حال، ماهیت توده ای پدیده ها، خود ساختاری پایدار دارد و دارای قاعده مندی های خاصی است. یک پدیده انبوه کاملاً به زیرسیستم ها تقسیم می شود و تعداد نسبی پدیده های ابتدایی در هر یک از زیر سیستم ها (فرکانس نسبی) بسیار پایدار است. این ثبات با احتمال مقایسه می شود. یک پدیده انبوه به طور کلی با توزیع احتمال مشخص می شود، یعنی با مشخص کردن زیرسیستم ها و احتمالات مربوط به آنها. زبان نظریه احتمال، زبان توزیع احتمالات است. بر این اساس، نظریه احتمال به عنوان علم انتزاعی عملکرد با توزیع ها تعریف می شود.
احتمال در علم ایده هایی در مورد الگوهای آماری و سیستم های آماری ایجاد کرد. دومی سیستم هایی هستند که از موجودیت های مستقل یا شبه مستقل تشکیل شده اند؛ ساختار آنها با توزیع احتمال مشخص می شود. اما چگونه می توان سیستم هایی را از موجودیت های مستقل تشکیل داد؟ معمولاً فرض بر این است که برای شکل‌گیری سیستم‌هایی با ویژگی‌های یکپارچه، لازم است که اتصالات به اندازه کافی پایدار بین عناصر آنها وجود داشته باشد که سیستم‌ها را سیمان کند. پایداری سیستم های آماری با وجود شرایط خارجی، محیط خارجی، نیروهای خارجی به جای نیروهای داخلی به دست می آید. خود تعریف احتمال همیشه مبتنی بر تعیین شرایط برای تشکیل پدیده جرم اولیه است. ایده مهم دیگری که پارادایم احتمالی را مشخص می کند، ایده سلسله مراتب (فرع) است. این ایده رابطه بین ویژگی های عناصر فردی و ویژگی های یکپارچه سیستم ها را بیان می کند: دومی، همانطور که بود، بر روی اولی ساخته شده است.
اهمیت روش‌های احتمالی در شناخت در این واقعیت است که امکان مطالعه و بیان نظری الگوهای ساختار و رفتار اشیاء و سیستم‌هایی را که دارای ساختار سلسله مراتبی و «دو سطحی» هستند را می‌دهند.
تجزیه و تحلیل ماهیت احتمال بر اساس فراوانی آن، تفسیر آماری است. در همان زمان، برای مدت بسیار طولانی، چنین درکی از احتمال در علم حاکم بود که به آن احتمال منطقی یا استقرایی می گفتند. احتمال منطقی به سؤالاتی در مورد اعتبار یک قضاوت جداگانه و فردی تحت شرایط خاص علاقه مند است. آیا می توان میزان تایید (پایایی، صدق) یک نتیجه گیری استقرایی (نتیجه گیری فرضی) را به صورت کمی ارزیابی کرد؟ در طول توسعه نظریه احتمال، چنین سؤالاتی بارها و بارها مورد بحث قرار گرفت و آنها شروع به صحبت در مورد درجات تأیید نتیجه گیری های فرضی کردند. این اندازه گیری احتمال با اطلاعاتی که در دسترس یک فرد معین است، تجربه او، دیدگاه ها در مورد جهان و ذهنیت روانی تعیین می شود. در همه این موارد، بزرگی احتمال قابل اندازه‌گیری دقیق نیست و عملاً خارج از صلاحیت نظریه احتمال به عنوان یک رشته ریاضی سازگار است.
تفسیر عینی و مکرر احتمال در علم با مشکلات قابل توجهی ایجاد شد. در ابتدا، درک ماهیت احتمال به شدت تحت تأثیر دیدگاه های فلسفی و روش شناختی بود که مشخصه علم کلاسیک بود. از نظر تاریخی، توسعه روش های احتمالی در فیزیک تحت تأثیر تعیین کننده ایده های مکانیک رخ داده است: سیستم های آماری به سادگی به عنوان مکانیکی تفسیر می شدند. از آنجایی که مشکلات مربوطه با روش های دقیق مکانیک حل نشد، ادعاهایی مطرح شد که روی آوردن به روش های احتمالی و قوانین آماری نتیجه ناقص بودن دانش ما است. در تاریخ توسعه فیزیک آماری کلاسیک، تلاش های زیادی برای اثبات آن بر اساس مکانیک کلاسیک انجام شد، اما همه آنها شکست خوردند. اساس احتمال این است که ویژگی‌های ساختاری طبقه خاصی از سیستم‌ها را به غیر از سیستم‌های مکانیکی بیان می‌کند: وضعیت عناصر این سیستم‌ها با ناپایداری و ماهیت خاص (غیر قابل تقلیل به مکانیک) برهمکنش‌ها مشخص می‌شود.
ورود احتمال به دانش منجر به انکار مفهوم جبر سخت، به انکار مدل اساسی هستی و دانش توسعه یافته در روند شکل گیری علم کلاسیک می شود. مدل های اساسی ارائه شده توسط نظریه های آماری ماهیت متفاوت و کلی تری دارند: آنها شامل ایده های تصادفی و استقلال هستند. ایده احتمال با افشای پویایی درونی اشیاء و سیستم ها همراه است که نمی تواند به طور کامل توسط شرایط و شرایط خارجی تعیین شود.
مفهوم یک بینش احتمالی از جهان، مبتنی بر مطلق سازی ایده ها در مورد استقلال (مانند پارادایم تعیین سخت) اکنون محدودیت های خود را آشکار کرده است که به شدت در گذار علم مدرن به روش های تحلیلی برای مطالعه منعکس شده است. سیستم های پیچیده و مبانی فیزیکی و ریاضی پدیده های خودسازماندهی.
تعریف عالی
تعریف ناقص ↓