>

چگونه برای یک سیستم معادلات خطی راه حل کلی و جزئی پیدا کنیم؟ لجن مفصلی، غیر مفصلی

مثال 1. یک راه حل کلی و چند راه حل خاص سیستم را پیدا کنید

راه حلاین کار را با ماشین حساب انجام دهید ماتریس های توسعه یافته و اصلی را می نویسیم:

ماتریس اصلی A با یک خط نقطه از هم جدا می شود.از بالا، سیستم های مجهول را با در نظر گرفتن جایگشت احتمالی عبارت ها در معادلات سیستم می نویسیم. با تعیین رتبه ماتریس توسعه یافته، به طور همزمان رتبه اصلی را پیدا می کنیم. در ماتریس B، ستون اول و دوم متناسب هستند. از بین دو ستون متناسب، تنها یکی می تواند به مینور اصلی بیفتد، بنابراین بیایید، برای مثال، ستون اول را فراتر از خط چین با علامت مخالف حرکت دهیم. برای سیستم، این به معنای انتقال عبارت از x 1 به سمت راست معادلات است.

ماتریس را به شکل مثلثی می آوریم. ما فقط با سطرها کار خواهیم کرد، زیرا ضرب یک ردیف ماتریس در عددی غیر از صفر و اضافه کردن به ردیف دیگر برای سیستم به معنای ضرب معادله در همان عدد و اضافه کردن آن به معادله دیگر است که جواب سیستم را تغییر نمی دهد. . کار با ردیف اول: ردیف اول ماتریس را در (-3) ضرب کنید و به ترتیب به ردیف های دوم و سوم اضافه کنید. سپس ردیف اول را در (2-) ضرب می کنیم و به ردیف چهارم اضافه می کنیم.

خطوط دوم و سوم متناسب هستند، بنابراین می توان یکی از آنها، به عنوان مثال، خط دوم را خط زد. این معادل حذف معادله دوم سیستم است، زیرا نتیجه معادله سوم است.

اکنون با خط دوم کار می کنیم: آن را در (-1) ضرب کرده و به خط سوم اضافه می کنیم.

مینور چین دار بالاترین مرتبه (از همه مینورهای ممکن) را دارد و غیر صفر است (برابر حاصلضرب عناصر روی قطر اصلی است) و این مینور هم به ماتریس اصلی و هم به ماتریس توسعه یافته تعلق دارد، از این رو rangA است. = RangB = 3.
جزئی اساسی است. این شامل ضرایب برای مجهول x 2، x 3، x 4 است، به این معنی که مجهول x 2، x 3، x 4 وابسته هستند و x 1، x 5 آزاد هستند.
ماتریس را تبدیل می کنیم و فقط مینور اصلی را در سمت چپ باقی می گذاریم (که مربوط به نقطه 4 الگوریتم حل بالا است).

سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی و دارای فرم است

با روش حذف مجهولات در می یابیم:
, ,

ما روابطی را دریافت کردیم که متغیرهای وابسته x 2، x 3، x 4 را از طریق x 1 و x 5 آزاد بیان می کند، یعنی یک راه حل کلی پیدا کردیم:

با دادن مقادیر دلخواه به مجهولات رایگان، هر تعداد راه حل خاص را به دست می آوریم. بیایید دو راه حل خاص پیدا کنیم:
1) اجازه دهید x 1 = x 5 = 0، سپس x 2 = 1، x 3 = -3، x 4 = 3.
2) x 1 = 1، x 5 = -1، سپس x 2 = 4، x 3 = -7، x 4 = 7 قرار دهید.
بنابراین، ما دو راه حل پیدا کردیم: (0.1، -3،3،0) - یک راه حل، (1.4، -7.7، -1) - یک راه حل دیگر.

مثال 2. بررسی سازگاری، یافتن یک راه حل کلی و یک خاص از سیستم

راه حل. بیایید معادلات اول و دوم را دوباره مرتب کنیم تا در معادله اول یک واحد داشته باشیم و ماتریس B را بنویسیم.

ما در ستون چهارم صفر می گیریم که روی ردیف اول کار می کند:

حالا صفرهای ستون سوم را با استفاده از ردیف دوم بدست آورید:

ردیف های سوم و چهارم متناسب هستند، بنابراین می توان یکی از آنها را بدون تغییر رتبه خط زد:
ردیف سوم را در (2-) ضرب کنید و به ردیف چهارم اضافه کنید:

می بینیم که رتبه های ماتریس های اصلی و توسعه یافته 4 است و رتبه با تعداد مجهول ها منطبق است، بنابراین، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

مثال 3. سیستم را از نظر سازگاری بررسی کنید و در صورت وجود راه حل پیدا کنید.

راه حل. ماتریس توسعه یافته سیستم را می سازیم.

دو معادله اول را طوری مرتب کنید که در گوشه سمت چپ بالا عدد 1 وجود داشته باشد:
با ضرب ردیف اول در (-1)، آن را به ردیف سوم اضافه می کنیم:

خط دوم را در (2-) ضرب کرده و به خط سوم اضافه کنید:

این سیستم ناسازگار است، زیرا ماتریس اصلی یک ردیف متشکل از صفر دریافت می کند که با یافتن رتبه خط زده می شود و آخرین ردیف در ماتریس توسعه یافته باقی می ماند، یعنی rB > r A.

ورزش. این سیستم معادلات را برای سازگاری بررسی کرده و با استفاده از حساب ماتریسی آن را حل کنید.
راه حل

مثال. سازگاری یک سیستم معادلات خطی را ثابت کنید و آن را به دو روش حل کنید: 1) با روش گاوس. 2) روش کرامر. (پاسخ را به شکل x1,x2,x3 وارد کنید)
راه حل:doc:doc:xls
پاسخ: 2,-1,3.

مثال. یک سیستم معادلات خطی داده شده است. سازگاری آن را ثابت کنید. یک راه حل کلی سیستم و یک راه حل خاص پیدا کنید.
راه حل
پاسخ: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

ورزش. برای هر سیستم راه حل های کلی و خاص پیدا کنید.
راه حل.ما این سیستم را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی مطالعه می کنیم.
ماتریس های توسعه یافته و اصلی را می نویسیم:

1 1 14 0 2 0
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1
x 1x2x 3x4x5

در اینجا ماتریس A به صورت پررنگ است.
ماتریس را به شکل مثلثی می آوریم. ما فقط با سطرها کار خواهیم کرد، زیرا ضرب یک ردیف ماتریس در عددی غیر از صفر و اضافه کردن به ردیف دیگر برای سیستم به معنای ضرب معادله در همان عدد و اضافه کردن آن به معادله دیگر است که جواب سیستم را تغییر نمی دهد. .
ردیف اول را در (3) ضرب کنید. ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:
0 -1 40 -3 6 -1
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1

ردیف دوم را در (2) ضرب کنید. ردیف سوم را در (3-) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به خط 2 اضافه کنیم:
0 -1 40 -3 6 -1
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

مینور انتخابی بالاترین مرتبه (در بین مینورهای ممکن) را دارد و با صفر متفاوت است (برابر حاصل ضرب عناصر در مورب متقابل است) و این مینور هم به ماتریس اصلی و هم به ماتریس توسعه یافته تعلق دارد، بنابراین زنگ ( A) = Rang(B) = 3 از آنجایی که رتبه ماتریس اصلی برابر است با رتبه ماتریس توسعه یافته، پس سیستم مشارکتی است.
این مینور پایه است. این شامل ضرایب برای مجهول x 1، x 2، x 3 است، به این معنی که مجهول x 1، x 2، x 3 وابسته (اساسی) و x 4، x 5 آزاد هستند.
ماتریس را تبدیل می کنیم و فقط مینور اصلی را در سمت چپ باقی می گذاریم.
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -1 3 -6
2 3 -3 1 -3 2
x 1x2x 3 x4x5
سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی است و به شکل زیر است:
27x3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
با روش حذف مجهولات در می یابیم:
ما روابطی را دریافت کردیم که متغیرهای وابسته x 1، x 2، x 3 را از طریق x 4، x 5 آزاد بیان می کند، یعنی پیدا کردیم تصمیم مشترک:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
نا معلوم، زیرا بیش از یک راه حل دارد

ورزش. سیستم معادلات را حل کنید.
پاسخ:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
با دادن مقادیر دلخواه به مجهولات رایگان، هر تعداد راه حل خاص را به دست می آوریم. سیستم است نا معلوم

سیستم نامیده می شود مفصل،یا قابل حلاگر حداقل یک راه حل داشته باشد. سیستم نامیده می شود ناسازگار،یا نامحلولاگر راه حلی نداشته باشد

SLAE معین، نامعین.

اگر SLAE راه حلی داشته باشد و منحصر به فرد باشد، نامیده می شود مسلم - قطعیو اگر راه حل منحصر به فرد نیست، پس نا معلوم.

معادلات ماتریسی

ماتریس ها امکان نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی را فراهم می کنند. اجازه دهید یک سیستم از 3 معادله با سه مجهول داده شود:

ماتریس سیستم را در نظر بگیرید و ستون های ماتریسی از اعضای مجهول و مجهول

بیایید محصول را پیدا کنیم

آن ها در نتیجه حاصل ضرب، سمت چپ معادلات این سیستم را بدست می آوریم. سپس با استفاده از تعریف برابری ماتریسی می توان این سیستم را به صورت زیر نوشت

یا کوتاهتر آ∙X=B.

در اینجا ماتریس ها آو بشناخته شده اند، و ماتریس ایکسناشناخته. او باید پیدا شود، زیرا. عناصر آن راه حل این سیستم هستند. این معادله نامیده می شود معادله ماتریسی

بگذارید تعیین کننده ماتریس با صفر | متفاوت باشد آ| ≠ 0. سپس معادله ماتریس به صورت زیر حل می شود. دو طرف معادله سمت چپ را در ماتریس ضرب کنید الف-1، معکوس ماتریس آ: . از آنجا که A -1 A = Eو E∙X=X، سپس حل معادله ماتریس را به شکل به دست می آوریم X = A -1 B .

توجه داشته باشید که از آنجایی که ماتریس معکوس را فقط می توان برای ماتریس های مربعی یافت، روش ماتریس فقط می تواند سیستم هایی را حل کند که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر است.

فرمول های کرامر

روش کرامر این است که ما پی در پی پیدا می کنیم شناسه اصلی سیستم، یعنی تعیین کننده ماتریس A: D = det (a i j) و n تعیین کننده کمکی D i (i= ) که از دترمینال D با جایگزینی ستون i با ستونی از عبارات آزاد به دست می آیند.

فرمول های کرامر به این صورت است: D × x i = D i (i = ).

از این قانون کرامر پیروی می کند، که پاسخی جامع به سؤال سازگاری سیستم می دهد: اگر تعیین کننده اصلی سیستم غیر صفر باشد، سیستم دارای یک راه حل منحصر به فرد است که با فرمول های x i = D i / D تعیین می شود.

اگر تعیین کننده اصلی سیستم D و همه تعیین کننده های کمکی D i = 0 (i= ) باشد، سیستم دارای تعداد بی نهایت جواب است. اگر تعیین کننده اصلی سیستم D = 0 و حداقل یک تعیین کننده کمکی با صفر متفاوت باشد، آنگاه سیستم ناسازگار است.

قضیه (قاعده کرامر): اگر تعیین کننده سیستم Δ≠ 0 باشد، سیستم مورد بررسی یک و تنها یک راه حل دارد و

اثبات: بنابراین، سیستمی متشکل از 3 معادله با سه مجهول را در نظر بگیرید. معادله 1 سیستم را در متمم جبری ضرب کنید یک 11عنصر یک 11، معادله 2 - روشن A21و 3 - در A 31:

بیایید این معادلات را اضافه کنیم:

هر یک از براکت ها و سمت راست این معادله را در نظر بگیرید. با توجه به قضیه بسط تعیین کننده بر حسب عناصر ستون 1.

به طور مشابه، می توان نشان داد که و .

در نهایت، دیدن آن آسان است

بنابراین، برابری را بدست می آوریم: . از این رو، .

برابری ها و به طور مشابه به دست می آیند، از آنجایی که ادعای قضیه در زیر آمده است.

قضیه کرونکر-کاپلی.

سیستم معادلات خطی اگر و تنها در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس سیستم با رتبه ماتریس تقویت شده برابر باشد.

اثبات:به دو مرحله تقسیم می شود.

1. اجازه دهید سیستم راه حلی داشته باشد. بیایید آن را نشان دهیم.

اجازه دهید مجموعه ای از اعداد راه حل سیستم است با ستون -ام ماتریس نشان دهید، . سپس، یعنی ستون عبارت‌های آزاد ترکیبی خطی از ستون‌های ماتریس است. اجازه دهید . بیایید وانمود کنیم که . سپس توسط . ما در مینور اصلی انتخاب می کنیم. او نظم دارد. ستون اعضای آزاد باید از این مینور عبور کند، در غیر این صورت مینور پایه ماتریس خواهد بود. ستون عبارت‌های آزاد در مینور ترکیبی خطی از ستون‌های ماتریس است. با توجه به خصوصیات تعیین کننده ، تعیین کننده ای که با جایگزینی ستون عبارت های آزاد با ستون از صغیر بدست می آید کجاست. اگر ستون از M جزئی عبور کند، در آن دو ستون یکسان وجود خواهد داشت و بنابراین، . اگر ستون از مینور عبور نکرده باشد، فقط با ترتیب ستون ها با مینور مرتبه r + 1 ماتریس متفاوت است. از آن به بعد . بنابراین، که با تعریف پایه جزئی در تضاد است. بنابراین، این فرض نادرست است.

2. اجازه دهید. اجازه دهید نشان دهیم که سیستم راه حلی دارد. از آنجا که، پس مینور پایه ماتریس، مینور پایه ماتریس است. اجازه دهید ستون ها از مینور عبور کنند . سپس، بر اساس قضیه جزئی پایه در یک ماتریس، ستون عبارت های آزاد ترکیبی خطی از ستون های نشان داده شده است:

(1)

, , , و مجهولات باقیمانده را برابر با صفر می گیریم. سپس برای این مقادیر به دست می آوریم

به موجب برابری (1) . آخرین تساوی یعنی مجموعه اعداد راه حل سیستم است وجود راه حل ثابت شده است.

در سیستم مورد بحث در بالا ، و سیستم سازگار است. در سیستم، و سیستم ناسازگار است.

نکته: اگرچه قضیه کرونکر-کاپلی تعیین سازگاری سیستم را ممکن می‌سازد، اما به ندرت از آن استفاده می‌شود، عمدتاً در مطالعات نظری. دلیل آن این است که محاسباتی که هنگام یافتن رتبه یک ماتریس انجام می شود اساساً با محاسبات هنگام یافتن راه حل برای سیستم یکسان است. بنابراین معمولاً به جای یافتن و به دنبال راه حلی برای سیستم می گردد. اگر بتوان آن را پیدا کرد، آنگاه می آموزیم که سیستم سازگار است و به طور همزمان راه حل آن را به دست می آوریم. اگر راه حلی پیدا نشود، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است.

الگوریتم یافتن راه حل برای یک سیستم دلخواه معادلات خطی (روش گاوس)

اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی با مجهولات داده شود. لازم است راه حل کلی خود را در صورت سازگاری یا عدم تطابق آن بیابد. روشی که در این قسمت ارائه خواهد شد به روش محاسبه دترمینان و به روش یافتن رتبه یک ماتریس نزدیک است. الگوریتم پیشنهادی نامیده می شود روش گاوسیا روش حذف متوالی مجهولات

اجازه دهید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم

عملیات زیر را با ماتریس ها عملیات ابتدایی می نامیم:

1. جایگشت خطوط;

2. ضرب یک رشته در یک عدد غیر صفر.

3. جمع یک رشته با یک رشته دیگر ضرب در یک عدد.

توجه داشته باشید که هنگام حل یک سیستم معادلات، بر خلاف محاسبه تعیین کننده و یافتن رتبه، نمی توان با ستون ها عمل کرد. اگر سیستم معادلات از ماتریس به دست آمده با انجام یک عملیات ابتدایی بازیابی شود، آنگاه سیستم جدید معادل سیستم اصلی خواهد بود.

هدف الگوریتم این است که با اعمال دنباله ای از عملیات ابتدایی در ماتریس، اطمینان حاصل شود که هر سطر، به جز اولین سطر، با صفر شروع می شود و تعداد صفرها تا اولین عنصر غیرصفر در هر کدام بعدی ردیف بزرگتر از ردیف قبلی است.

مرحله الگوریتم به شرح زیر است. اولین ستون غیر صفر را در ماتریس پیدا کنید. بگذارید یک ستون با عدد باشد. یک عنصر غیر صفر در آن پیدا می کنیم و خط را با این عنصر با خط اول عوض می کنیم. برای اینکه نمادهای اضافی را انباشته نکنیم، فرض می کنیم که چنین تغییری از ردیف ها در ماتریس قبلاً انجام شده است، یعنی . سپس به خط دوم اولین ضرب در عدد را اضافه می کنیم و به خط سوم اولین ضرب در عدد و غیره را اضافه می کنیم. در نتیجه ماتریس را بدست می آوریم

(معمولاً اولین ستون های خالی وجود ندارند.)

اگر ماتریس دارای ردیفی با عدد k باشد که در آن همه عناصر برابر با صفر هستند و در آن صورت اجرای الگوریتم را متوقف می کنیم و نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است. در واقع، با بازیابی سیستم معادلات از ماتریس توسعه یافته، دریافت می کنیم که معادله -ام شکل خواهد داشت.

این معادله هیچ مجموعه ای از اعداد را برآورده نمی کند .

ماتریس را می توان به صورت نوشتاری نوشت

با توجه به ماتریس، مرحله توصیف شده الگوریتم را انجام می دهیم. ماتریس را دریافت کنید

جایی که ، . این ماتریس دوباره می تواند به صورت نوشته شود

و مرحله بالا از الگوریتم دوباره بر روی ماتریس اعمال می شود.

اگر پس از اجرای مرحله بعدی، ماتریس کاهش یافته جدید فقط از صفر تشکیل شده باشد یا تمام سطرها تمام شده باشند، فرآیند متوقف می شود. توجه داشته باشید که نتیجه گیری در مورد ناسازگاری سیستم می تواند روند را حتی زودتر متوقف کند.

اگر ماتریس را کاهش نمی دادیم، در نهایت به یک ماتریس از فرم می رسیدیم

در ادامه، به اصطلاح پاس معکوس روش گاوسی انجام می شود. بر اساس ماتریس، سیستمی از معادلات را می سازیم. در سمت چپ، مجهولات را با اعداد مربوط به اولین عناصر غیر صفر در هر خط، یعنی . توجه کنید که . مجهولات باقی مانده به سمت راست منتقل می شوند. با در نظر گرفتن مجهولات سمت راست که مقداری ثابت هستند، به راحتی می توان مجهولات سمت چپ را بر حسب آنها بیان کرد.

حال با دادن مقادیر دلخواه به مجهولات سمت راست و محاسبه مقادیر متغیرهای سمت چپ، راه حل های مختلفی برای سیستم اصلی Ax=b پیدا می کنیم. برای نوشتن راه حل کلی، باید مجهول های سمت راست را به هر ترتیب با حروف مشخص کنید ، از جمله مجهولاتی که به دلیل ضرایب صفر به صراحت در سمت راست نوشته نشده اند و سپس ستون مجهولات را می توان به عنوان یک ستون نوشت که در آن هر عنصر ترکیبی خطی از مقادیر دلخواه است. (به ویژه، فقط یک مقدار دلخواه). این ورودی راه حل کلی سیستم خواهد بود.

اگر سیستم همگن بود، جواب کلی سیستم همگن را بدست می آوریم. ضرایب , گرفته شده در هر عنصر از ستون راه حل کلی, راه حل اول را از سیستم اصلی راه حل ها, ضرایب , راه حل دوم و غیره تشکیل می دهد.

روش 2: سیستم اساسی محلول های یک سیستم همگن را می توان به روش دیگری به دست آورد. برای انجام این کار، به یک متغیر، که به سمت راست منتقل می شود، باید مقدار 1 و بقیه - صفر اختصاص داده شود. با محاسبه مقادیر متغیرهای سمت چپ، یک راه حل از سیستم بنیادی به دست می آوریم. با نسبت دادن مقدار 1 به متغیر دیگر سمت راست و صفر به بقیه، جواب دوم را از سیستم بنیادی به دست می آوریم و به همین ترتیب.

تعریف: سیستم مشترک نامیده می شود th، اگر حداقل یک راه حل داشته باشد، و ناسازگار باشد - در غیر این صورت، در صورتی که سیستم هیچ راه حلی نداشته باشد. این سوال که آیا یک سیستم راه حل دارد یا نه تنها با نسبت تعداد معادلات و تعداد مجهولات مرتبط نیست. به عنوان مثال، یک سیستم از سه معادله با دو مجهول

راه حل دارد، و حتی بی نهایت راه حل دارد، اما سیستمی از دو معادله با سه مجهول.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

این سیستم همیشه سازگار است زیرا یک راه حل ساده دارد x 1 =…=x n = 0

برای وجود راه حل های غیر پیش پا افتاده، کافی و لازم است

شرایط r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Thمجموعه راه حل های SLAE یک فضای خطی از ابعاد (n-r) را تشکیل می دهد. به این معنی که حاصلضرب حل آن با یک عدد و همچنین مجموع و ترکیب خطی تعداد محدودی از جواب های آن، راه حل های این سیستم هستند. فضای حل خطی هر SLAE زیرفضای فضای R n است.

هر مجموعه ای از (n-r) راه حل های خطی مستقل از یک SLAE (که پایه ای در فضای حل است) نامیده می شود. مجموعه اساسی راه حل ها (FSR).

فرض کنید х 1 ,…,х r مجهولات پایه باشند, х r +1 ,…,х n مجهولات آزاد باشند. ما به نوبه خود مقادیر زیر را به متغیرهای رایگان می دهیم:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

یک فضای خطی S (فضای راه حل ها) را تشکیل می دهد که یک زیرفضا در R n است (n تعداد مجهول ها است) و dims=k=n-r که r رتبه سیستم است. اساس موجود در فضای حل (x (1) ,…, x (k) ) را سیستم اساسی راه حل ها می نامند و راه حل کلی شکل دارد:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? آر

  • سیستم های مترمعادلات خطی با nناشناخته.
    حل یک سیستم معادلات خطیچنین مجموعه ای از اعداد است ( x 1، x 2، …، x n) با جایگزینی آن در هر یک از معادلات سیستم، برابری صحیح به دست می آید.
    جایی که a ij , i = 1, …, m; j = 1، …، nضرایب سیستم هستند.
    b i، i = 1، …، m- اعضای رایگان؛
    x j، j = 1، …، n- ناشناخته.
    سیستم فوق را می توان به صورت ماتریسی نوشت: A X = B,




    جایی که ( آ|ب) ماتریس اصلی سیستم است.
    آ- ماتریس توسعه یافته سیستم؛
    ایکس- ستون مجهولات؛
    بستونی از اعضای آزاد است.
    اگر ماتریس بماتریس صفر ∅ نیست، پس این سیستم معادلات خطی را ناهمگن می نامند.
    اگر ماتریس ب= ∅، پس این سیستم معادلات خطی همگن نامیده می شود. یک سیستم همگن همیشه یک راه حل صفر (بی اهمیت) دارد: x 1 \u003d x 2 \u003d ...، x n \u003d 0.
    سیستم مشترک معادلات خطیسیستمی از معادلات خطی است که دارای جواب است.
    سیستم معادلات خطی ناسازگاریک سیستم معادلات خطی است که هیچ جوابی ندارد.
    سیستم معینی از معادلات خطییک سیستم معادلات خطی است که یک راه حل منحصر به فرد دارد.
    سیستم نامعین معادلات خطیمنظومه ای از معادلات خطی است که دارای بی نهایت جواب است.
  • سیستم های n معادله خطی با n مجهول
    اگر تعداد مجهولات برابر با تعداد معادلات باشد، ماتریس مربع است. تعیین کننده ماتریس را تعیین کننده اصلی سیستم معادلات خطی می نامند و با نماد Δ نشان داده می شود.
    روش کرامربرای حل سیستم ها nمعادلات خطی با nناشناخته.
    قانون کرامر
    اگر تعیین کننده اصلی یک سیستم معادلات خطی برابر با صفر نباشد، سیستم سازگار و تعریف شده است و تنها راه حل با استفاده از فرمول های کرامر محاسبه می شود:
    که در آن Δ i تعیین کننده هایی هستند که از تعیین کننده اصلی سیستم Δ با جایگزینی بدست می آیند منستون هفتم به ستون اعضای آزاد. .
  • سیستم های m معادلات خطی با n مجهول
    قضیه کرونکر-کاپلی.


    برای اینکه این سیستم معادلات خطی سازگار باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته سیستم باشد. رتبه (Α) = رتبه (Α| B).
    اگر rang(Α) ≠ rang(Α|B)، پس سیستم بدیهی است که هیچ راه حلی ندارد.
    اگر رتبه (Α) = رتبه (Α| B)، پس دو حالت ممکن است:
    1) rang(Α) = n(به تعداد مجهولات) - راه حل منحصر به فرد است و می توان با فرمول های کرامر به دست آورد.
    2) رتبه (Α)< n - راه حل های بی نهایت زیادی وجود دارد.
  • روش گاوسبرای حل سیستم معادلات خطی


    بیایید ماتریس تقویت شده را بسازیم ( آ|ب) از سیستم داده شده از ضرایب در سمت راست و مجهول.
    روش گاوسی یا روش حذف مجهولات شامل کاهش ماتریس افزوده می شود. آ|ب) با کمک دگرگونی های ابتدایی روی ردیف های آن به شکل مورب (به شکل مثلث بالایی). با بازگشت به سیستم معادلات، همه مجهولات تعیین می شوند.
    تبدیل های اولیه در رشته ها شامل موارد زیر است:
    1) تعویض دو خط.
    2) ضرب یک رشته در عددی غیر از 0.
    3) اضافه کردن رشته دیگری که در یک عدد دلخواه ضرب شده است.
    4) دور انداختن یک رشته پوچ.
    یک ماتریس توسعه یافته کاهش یافته به یک فرم مورب مربوط به یک سیستم خطی معادل با یک داده شده است، که حل آن مشکلی ایجاد نمی کند. .
  • سیستم معادلات خطی همگن.
    سیستم همگن به شکل زیر است:

    با معادله ماتریس مطابقت دارد A X = 0.
    1) یک سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا r(A) = r(A|B)، همیشه یک راه حل صفر وجود دارد (0، 0، …، 0).
    2) برای اینکه یک سیستم همگن جواب غیر صفر داشته باشد، کافی و لازم است که r = r(A)< n ، که معادل Δ = 0 است.
    3) اگر r< n ، سپس Δ = 0، سپس مجهولات رایگان وجود دارد c 1 , c 2 , …, c n-r، سیستم راه حل های بی اهمیتی دارد و تعداد آنها بی نهایت است.
    4) راه حل کلی ایکسدر r< n را می توان به صورت ماتریسی به صورت زیر نوشت:
    X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
    راه حل ها کجاست X 1، X 2، …، X n-rیک سیستم اساسی از راه حل ها را تشکیل می دهد.
    5) سیستم اساسی راه حل ها را می توان از حل کلی سیستم همگن بدست آورد:

    ,
    اگر به ترتیب مقادیر پارامترها را (1، 0، …، 0)، (0، 1، …، 0)، …، (0، 0، …، 1) فرض کنیم.
    تجزیه راه حل کلی از نظر سیستم اساسی راه حل هارکوردی از جواب کلی به عنوان یک ترکیب خطی از راه حل های متعلق به سیستم بنیادی است.
    قضیه. برای اینکه یک سیستم معادلات همگن خطی جواب غیر صفر داشته باشد، لازم و کافی است که Δ ≠ 0 باشد.
    بنابراین، اگر دترمینان Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.
    اگر Δ ≠ 0 باشد، سیستم معادلات همگن خطی دارای بی نهایت جواب است.
    قضیه. برای اینکه یک سیستم همگن جواب غیر صفر داشته باشد، کافی و لازم است r(A)< n .
    اثبات:
    1) rنمی تواند بیشتر باشد n(رتبه ماتریس از تعداد ستون ها یا ردیف ها تجاوز نمی کند).
    2) r< n ، زیرا اگر r=n، سپس تعیین کننده اصلی سیستم Δ ≠ 0، و با توجه به فرمول های کرامر، یک راه حل بی اهمیت منحصر به فرد وجود دارد. x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0، که با شرط منافات دارد. به معنای، r(A)< n .
    نتیجه. به منظور یک سیستم همگن nمعادلات خطی با nمجهولات یک راه حل غیر صفر دارد، لازم و کافی است که Δ = 0.

سیستم های معادلات به طور گسترده ای در صنعت اقتصادی در مدل سازی ریاضی فرآیندهای مختلف استفاده می شود. به عنوان مثال، هنگام حل مشکلات مدیریت تولید و برنامه ریزی، مسیرهای لجستیک (مشکل حمل و نقل) یا قرار دادن تجهیزات.

سیستم های معادله نه تنها در زمینه ریاضیات، بلکه در فیزیک، شیمی و زیست شناسی، هنگام حل مسائل مربوط به یافتن اندازه جمعیت مورد استفاده قرار می گیرند.

سیستم معادلات خطی اصطلاحی است برای دو یا چند معادله با چندین متغیر که برای آنها باید یک جواب مشترک پیدا کرد. چنین دنباله ای از اعداد که برای آن همه معادلات به برابری های واقعی تبدیل می شوند یا ثابت می کنند که دنباله وجود ندارد.

معادله خطی

معادلات شکل ax+by=c را خطی می نامند. عناوین x، y مجهولاتی هستند که مقدار آنها را باید پیدا کرد، b، a ضرایب متغیرها، c عبارت آزاد معادله است.
حل معادله با رسم نمودار آن مانند یک خط مستقیم به نظر می رسد که همه نقاط آن حل چند جمله ای هستند.

انواع سیستم های معادلات خطی

ساده ترین نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی با دو متغیر X و Y هستند.

F1(x,y) = 0 و F2(x,y) = 0 که در آن F1,2 توابع و (x,y) متغیرهای تابع هستند.

حل یک سیستم معادلات - به این معنی است که مقادیری (x, y) را پیدا کنید که سیستم برای آنها برابری واقعی می شود یا اینکه هیچ مقادیر مناسبی برای x و y وجود ندارد.

یک جفت مقدار (x, y) که به صورت مختصات نقطه نوشته می شود، راه حل یک سیستم معادلات خطی نامیده می شود.

اگر سیستم ها یک راه حل مشترک داشته باشند یا راه حلی وجود نداشته باشد، معادل نامیده می شوند.

سیستم های همگن معادلات خطی سیستم هایی هستند که سمت راست آنها برابر با صفر است. اگر قسمت سمت راست بعد از علامت "برابر" مقداری داشته باشد یا با یک تابع بیان شود، چنین سیستمی همگن نیست.

تعداد متغیرها می تواند بسیار بیشتر از دو باشد، پس باید در مورد مثالی از یک سیستم معادلات خطی با سه متغیر یا بیشتر صحبت کنیم.

در مواجهه با سیستم‌ها، دانش‌آموزان تصور می‌کنند که تعداد معادلات لزوماً باید با تعداد مجهول‌ها منطبق باشد، اما اینطور نیست. تعداد معادلات در سیستم به متغیرها بستگی ندارد، ممکن است تعداد زیادی از آنها وجود داشته باشد.

روش های ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

هیچ روش تحلیلی کلی برای حل چنین سیستم هایی وجود ندارد، همه روش ها بر اساس حل های عددی هستند. دوره مدرسه ریاضیات به طور مفصل روش هایی مانند جایگشت، جمع جبری، جایگزینی، و همچنین روش گرافیکی و ماتریسی، حل با روش گاوس را شرح می دهد.

وظیفه اصلی در آموزش روش های حل، آموزش نحوه تجزیه و تحلیل صحیح سیستم و یافتن الگوریتم حل بهینه برای هر مثال است. نکته اصلی حفظ سیستمی از قوانین و اقدامات برای هر روش نیست، بلکه درک اصول به کارگیری یک روش خاص است.

حل نمونه های سیستم معادلات خطی پایه هفتم برنامه مدرسه آموزش عمومی بسیار ساده است و با جزئیات کامل توضیح داده شده است. در هر کتاب درسی ریاضی به این بخش توجه کافی شده است. حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی به روش گاوس و کرامر در اولین دوره های موسسات آموزش عالی با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار می گیرد.

حل سیستم ها به روش جایگزینی

اقدامات روش جایگزینی با هدف بیان مقدار یک متغیر از طریق متغیر دوم است. این عبارت در معادله باقی مانده جایگزین می شود، سپس به یک شکل متغیر منفرد کاهش می یابد. این عمل بسته به تعداد مجهولات در سیستم تکرار می شود

بیایید یک سیستم معادلات خطی کلاس هفتم را با روش جایگزینی مثال بزنیم:

همانطور که از مثال مشخص است، متغیر x از طریق F(X) = 7 + Y بیان شده است. . راه حل این مثال مشکلی ایجاد نمی کند و به شما امکان می دهد مقدار Y را بدست آورید. آخرین مرحله بررسی مقادیر بدست آمده است.

همیشه نمی توان نمونه ای از یک سیستم معادلات خطی را با جایگزینی حل کرد. معادلات می توانند پیچیده باشند و بیان متغیر بر حسب مجهول دوم برای محاسبات بیشتر دست و پا گیر خواهد بود. هنگامی که بیش از 3 مجهول در سیستم وجود دارد، راه حل جایگزینی نیز غیرعملی است.

حل یک مثال از سیستم معادلات ناهمگن خطی:

حل با استفاده از جمع جبری

هنگام جستجوی راه حل برای سیستم ها با روش جمع، جمع ترم به ترم و ضرب معادلات در اعداد مختلف انجام می شود. هدف نهایی عملیات ریاضی معادله ای با یک متغیر است.

کاربرد این روش نیاز به تمرین و مشاهده دارد. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جمع با تعداد متغیرهای 3 یا بیشتر آسان نیست. جمع جبری زمانی مفید است که معادلات دارای کسر و اعداد اعشاری باشند.

الگوریتم عمل حل:

  1. دو طرف معادله را در یک عدد ضرب کنید. در نتیجه عملیات حسابی باید یکی از ضرایب متغیر برابر با 1 شود.
  2. عبارت حاصل را ترم به ترم اضافه کنید و یکی از مجهولات را پیدا کنید.
  3. مقدار حاصل را در معادله دوم سیستم جایگزین کنید تا متغیر باقیمانده را پیدا کنید.

روش حل با معرفی یک متغیر جدید

اگر سیستم نیاز به یافتن راه حلی برای بیش از دو معادله نداشته باشد، می توان یک متغیر جدید معرفی کرد، تعداد مجهولات نیز نباید بیش از دو باشد.

این روش برای ساده سازی یکی از معادلات با معرفی یک متغیر جدید استفاده می شود. معادله جدید با توجه به مجهول وارد شده حل می شود و مقدار حاصل برای تعیین متغیر اصلی استفاده می شود.

از مثال می توان دریافت که با معرفی متغیر جدید t، می توان معادله 1 سیستم را به یک مثلث مربع استاندارد کاهش داد. شما می توانید یک چند جمله ای را با پیدا کردن ممیز حل کنید.

لازم است مقدار ممیز را با استفاده از فرمول معروف بدست آوریم: D = b2 - 4*a*c، که در آن D ممیز مورد نظر است، b، a، c ضرب کننده های چند جمله ای هستند. در مثال داده شده، a=1، b=16، c=39، بنابراین D=100. اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد، دو راه حل وجود دارد: t = -b±√D / 2*a، اگر ممیز کمتر از صفر باشد، تنها یک راه حل وجود دارد: x= -b / 2*a.

راه حل برای سیستم های حاصل با روش جمع یافت می شود.

یک روش بصری برای حل سیستم ها

مناسب برای سیستم های دارای 3 معادله. این روش شامل ترسیم نمودارهای هر معادله موجود در سیستم بر روی محور مختصات است. مختصات نقاط تقاطع منحنی ها راه حل کلی سیستم خواهد بود.

روش گرافیکی دارای تعدادی تفاوت ظریف است. چندین مثال از حل سیستم معادلات خطی را به صورت تصویری در نظر بگیرید.

همانطور که از مثال مشخص است، دو نقطه برای هر خط ساخته شده است، مقادیر متغیر x به صورت دلخواه انتخاب شده است: 0 و 3. بر اساس مقادیر x، مقادیر y پیدا شد: 3 و 0. نقاط با مختصات (0، 3) و (3، 0) روی نمودار مشخص شده و با یک خط به هم متصل شدند.

مراحل باید برای معادله دوم تکرار شوند. نقطه تلاقی خطوط راه حل سیستم است.

در مثال زیر، باید یک جواب گرافیکی برای سیستم معادلات خطی پیدا کرد: 0.5x-y+2=0 و 0.5x-y-1=0.

همانطور که از مثال مشخص است، سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا نمودارها موازی هستند و در تمام طول خود قطع نمی کنند.

سیستم‌های مثال‌های 2 و 3 مشابه هستند، اما وقتی ساخته می‌شوند، مشخص می‌شود که راه‌حل‌های آنها متفاوت است. باید به خاطر داشت که همیشه نمی توان گفت که آیا سیستم راه حلی دارد یا خیر، همیشه باید یک نمودار ساخت.

ماتریس و انواع آن

از ماتریس ها برای نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی استفاده می شود. ماتریس نوع خاصی از جدول پر از اعداد است. n*m دارای n - سطر و m - ستون است.

یک ماتریس زمانی مربع است که تعداد ستون ها و سطرها برابر باشد. ماتریس-بردار یک ماتریس تک ستونی با تعداد بی نهایت ممکن سطر است. ماتریسی با واحدهایی در امتداد یکی از مورب ها و سایر عناصر صفر را هویت می نامند.

ماتریس معکوس چنین ماتریسی است که وقتی در آن ضرب شود ماتریس اصلی به واحد یک تبدیل می شود، چنین ماتریسی فقط برای مربع اصلی وجود دارد.

قوانین تبدیل یک سیستم معادلات به یک ماتریس

با توجه به سیستم معادلات، ضرایب و اعضای آزاد معادلات به صورت اعداد ماتریس نوشته می شوند، یک معادله یک ردیف از ماتریس است.

یک ردیف ماتریسی غیر صفر نامیده می شود اگر حداقل یک عنصر از سطر برابر با صفر نباشد. بنابراین، اگر در هر یک از معادلات تعداد متغیرها متفاوت باشد، باید به جای مجهول گمشده، صفر وارد شود.

ستون های ماتریس باید کاملاً با متغیرها مطابقت داشته باشند. این بدان معنی است که ضرایب متغیر x را فقط می توان در یک ستون نوشت، برای مثال اولی، ضریب مجهول y - فقط در ستون دوم.

هنگام ضرب یک ماتریس، تمام عناصر ماتریس به صورت متوالی در یک عدد ضرب می شوند.

گزینه هایی برای یافتن ماتریس معکوس

فرمول برای یافتن ماتریس معکوس بسیار ساده است: K -1 = 1 / |K|، که در آن K -1 ماتریس معکوس و |K| - تعیین کننده ماتریس |K| نباید برابر با صفر باشد، پس سیستم یک راه حل دارد.

تعیین کننده به راحتی برای یک ماتریس دو در دو محاسبه می شود، فقط لازم است عناصر به صورت مورب در یکدیگر ضرب شوند. برای گزینه "سه در سه" فرمولی وجود دارد |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . می توانید از فرمول استفاده کنید یا می توانید به یاد داشته باشید که باید از هر سطر و هر ستون یک عنصر بگیرید تا شماره ستون و ردیف عناصر در محصول تکرار نشود.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی به روش ماتریسی

روش ماتریسی برای یافتن راه حل، کاهش ورودی های دست و پا گیر را در هنگام حل سیستم هایی با تعداد زیادی متغیر و معادلات ممکن می سازد.

در مثال، a nm ضرایب معادلات، ماتریس یک بردار است x n متغیرها، و b n عبارت‌های آزاد هستند.

حل سیستم ها به روش گاوس

در ریاضیات عالی، روش گاوس همراه با روش کرامر مطالعه می شود و فرآیند یافتن راه حل برای سیستم ها، روش حل گاوس-کرامر نامیده می شود. از این روش ها برای یافتن متغیرهای سیستم هایی با تعداد معادلات خطی زیاد استفاده می شود.

روش گاوسی بسیار شبیه به راه حل های جایگزینی و جمع جبری است، اما سیستماتیک تر است. در دوره مدرسه از حل گاوسی برای سیستم های معادله 3 و 4 استفاده می شود. هدف از این روش، آوردن سیستم به شکل ذوزنقه معکوس است. با تبدیل ها و جانشینی های جبری، مقدار یک متغیر در یکی از معادلات سیستم پیدا می شود. معادله دوم عبارتی است با 2 مجهول و 3 و 4 - با 3 و 4 متغیر.

پس از آوردن سیستم به شکل توصیف شده، راه حل بعدی به جایگزینی متوالی متغیرهای شناخته شده در معادلات سیستم کاهش می یابد.

در کتاب های درسی مدرسه برای کلاس 7، نمونه ای از راه حل گاوسی به شرح زیر است:

همانطور که از مثال مشخص است، در مرحله (3) دو معادله 3x 3 -2x 4 =11 و 3x 3 +2x 4 =7 به دست آمد. حل هر یک از معادلات به شما امکان می دهد یکی از متغیرهای x n را پیدا کنید.

قضیه 5 که در متن به آن اشاره شده است، بیان می کند که اگر یکی از معادلات سیستم با معادلی جایگزین شود، سیستم حاصل نیز معادل معادله اصلی خواهد بود.

درک روش گاوسی برای دانش‌آموزان دبیرستانی دشوار است، اما یکی از جالب‌ترین روش‌ها برای پرورش نبوغ کودکانی است که در برنامه مطالعاتی پیشرفته در کلاس‌های ریاضی و فیزیک مطالعه می‌کنند.

برای سهولت در ثبت محاسبات، مرسوم است که موارد زیر را انجام دهید:

ضرایب معادله و عبارات آزاد به شکل ماتریس نوشته می شوند که هر ردیف از ماتریس با یکی از معادلات سیستم مطابقت دارد. سمت چپ معادله را از سمت راست جدا می کند. اعداد رومی بیانگر تعداد معادلات در سیستم هستند.

ابتدا ماتریسی را می نویسند که با آن کار می کنند، سپس تمام اقدامات انجام شده با یکی از ردیف ها. ماتریس حاصل بعد از علامت "فلش" نوشته می شود و تا حصول نتیجه به انجام عملیات جبری لازم ادامه می دهد.

در نتیجه، ماتریسی باید به دست آید که در آن یکی از مورب ها 1 است و سایر ضرایب برابر با صفر هستند، یعنی ماتریس به یک شکل واحد کاهش می یابد. نباید فراموش کنیم که با اعداد دو طرف معادله محاسبات انجام دهیم.

این علامت گذاری کمتر دست و پا گیر است و به شما امکان می دهد با فهرست کردن مجهولات متعدد حواس شما پرت نشود.

استفاده رایگان از هر روش راه حلی نیاز به دقت و مقدار مشخصی تجربه دارد. همه روش ها اعمال نمی شوند. برخی از راه‌های یافتن راه‌حل در حوزه خاصی از فعالیت‌های انسانی ارجح‌تر هستند، در حالی که برخی دیگر به منظور یادگیری وجود دارند.


حل سیستم معادلات جبری خطی (SLAE) بدون شک مهمترین مبحث درس جبر خطی است. تعداد زیادی از مسائل از تمام شاخه های ریاضیات به حل سیستم های معادلات خطی کاهش می یابد. این عوامل دلیل ایجاد این مقاله را توضیح می دهند. مطالب مقاله به گونه ای انتخاب و ساختار بندی شده است که با کمک آن بتوانید

  • روش بهینه را برای حل سیستم معادلات جبری خطی خود انتخاب کنید،
  • مطالعه تئوری روش انتخاب شده،
  • سیستم معادلات خطی خود را با در نظر گرفتن جزئیات حل مثال ها و مسائل معمولی حل کنید.

شرح مختصری از مطالب مقاله.

ابتدا تمام تعاریف، مفاهیم لازم را ارائه می کنیم و نمادهایی را معرفی می کنیم.

در مرحله بعد، روش‌هایی را برای حل سیستم‌های معادلات جبری خطی در نظر می‌گیریم که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و راه‌حل منحصربه‌فردی دارند. ابتدا روی روش کرامر تمرکز می کنیم، ثانیاً روش ماتریسی را برای حل چنین سیستم هایی از معادلات نشان می دهیم و سوم، روش گاوس (روش حذف متوالی متغیرهای مجهول) را تحلیل می کنیم. برای تثبیت نظریه، ما قطعا چندین SLAE را به روش های مختلف حل خواهیم کرد.

پس از آن به حل سیستم های معادلات جبری خطی به شکل کلی می پردازیم که در آن تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق نیست یا ماتریس اصلی سیستم منحط است. ما قضیه کرونکر-کاپلی را فرموله می‌کنیم که به ما امکان می‌دهد سازگاری SLAEها را تعیین کنیم. اجازه دهید حل سیستم ها (در مورد سازگاری آنها) را با استفاده از مفهوم پایه ماتریس تجزیه و تحلیل کنیم. ما همچنین روش گاوس را در نظر خواهیم گرفت و راه حل های مثال ها را با جزئیات شرح خواهیم داد.

حتماً روی ساختار حل کلی سیستم های همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی تمرکز کنید. اجازه دهید مفهوم یک سیستم اساسی از راه حل ها را ارائه دهیم و نشان دهیم که چگونه جواب کلی SLAE با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها نوشته می شود. برای درک بهتر، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم.

در نتیجه، ما سیستم‌هایی از معادلات را در نظر می‌گیریم که به خطی کاهش می‌یابند، و همچنین مسائل مختلفی را که در حل آنها SLAEها بوجود می‌آیند.

پیمایش صفحه.

تعاریف، مفاهیم، ​​تعاریف.

ما سیستم هایی از معادلات جبری خطی p را با n متغیر مجهول (p ممکن است برابر با n باشد) در نظر خواهیم گرفت.

متغیرهای ناشناخته، - ضرایب (برخی اعداد حقیقی یا مختلط)، - اعضای آزاد (همچنین اعداد حقیقی یا مختلط).

این شکل از SLAE نامیده می شود هماهنگ كردن.

که در فرم ماتریسیاین سیستم معادلات به شکل
جایی که - ماتریس اصلی سیستم، - ماتریس-ستون متغیرهای مجهول، - ماتریس-ستون اعضای آزاد.

اگر ماتریس-ستون عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n + 1) - به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس گسترش یافتهسیستم های معادلات خطی معمولاً ماتریس تقویت شده با حرف T مشخص می شود و ستون اعضای آزاد با یک خط عمودی از بقیه ستون ها جدا می شود.

با حل سیستم معادلات جبری خطیمجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول نامیده می شود که تمام معادلات سیستم را به هویت تبدیل می کند. معادله ماتریسی برای مقادیر داده شده متغیرهای مجهول نیز به یک هویت تبدیل می شود.

اگر یک سیستم معادلات حداقل یک جواب داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل.

اگر سیستم معادلات هیچ جوابی نداشته باشد، آن را می گویند ناسازگار.

اگر یک SLAE راه حل منحصر به فردی داشته باشد، آنگاه نامیده می شود مسلم - قطعی; اگر بیش از یک راه حل وجود دارد، پس - نا معلوم.

اگر عبارات آزاد تمام معادلات سیستم برابر با صفر باشد ، سپس سیستم فراخوانی می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

حل سیستم های ابتدایی معادلات جبری خطی.

اگر تعداد معادلات سیستم برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد و تعیین کننده ماتریس اصلی آن برابر با صفر نباشد، چنین SLAE هایی را فراخوانی می کنیم. ابتدایی. چنین سیستم‌هایی از معادلات راه‌حل منحصربه‌فردی دارند و در مورد یک سیستم همگن، همه متغیرهای مجهول برابر با صفر هستند.

ما مطالعه چنین SLAE را در دبیرستان شروع کردیم. هنگام حل آنها، یک معادله را برداشتیم، یک متغیر مجهول را بر حسب بقیه بیان کردیم و آن را با معادلات باقیمانده جایگزین کردیم، سپس معادله بعدی را گرفتیم، متغیر مجهول بعدی را بیان کردیم و آن را با معادلات دیگر جایگزین کردیم و به همین ترتیب. یا از روش جمع استفاده کردند، یعنی دو یا چند معادله اضافه کردند تا برخی از متغیرهای مجهول را حذف کنند. ما در مورد این روش ها به طور مفصل صحبت نخواهیم کرد، زیرا آنها اساساً اصلاحات روش گاوس هستند.

روش های اصلی برای حل سیستم های ابتدایی معادلات خطی روش کرامر، روش ماتریسی و روش گاوس است. بیایید آنها را مرتب کنیم.

حل سیستم معادلات خطی به روش کرامر.

اجازه دهید سیستمی از معادلات جبری خطی را حل کنیم

که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم با صفر، یعنی .

بگذارید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم باشد، و تعیین کننده های ماتریس هایی هستند که با جایگزینی از A به دست می آیند 1، 2، ...، نهمستون به ترتیب به ستون اعضای آزاد:

با چنین نمادگذاری، متغیرهای مجهول با فرمول های روش کرامر به عنوان محاسبه می شوند . به این ترتیب حل یک سیستم معادلات جبری خطی با روش کرامر پیدا می شود.

مثال.

روش کرامر .

راه حل.

ماتریس اصلی سیستم دارای فرم است . تعیین کننده آن را محاسبه کنید (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید):

از آنجایی که تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم غیر صفر است، سیستم راه حل منحصر به فردی دارد که با روش کرامر می توان آن را پیدا کرد.

تعیین کننده های لازم را بنویسید و محاسبه کنید (تعیین کننده با جایگزینی ستون اول در ماتریس A با ستونی از اعضای آزاد، تعیین کننده - با جایگزینی ستون دوم با ستونی از اعضای آزاد، - با جایگزینی ستون سوم ماتریس A با ستونی از اعضای آزاد به دست می آید. ):

یافتن متغیرهای ناشناخته با استفاده از فرمول :

پاسخ:

عیب اصلی روش کرامر (اگر بتوان آن را عیب نامید) پیچیدگی محاسبه دترمیناتورها در زمانی است که تعداد معادلات سیستم بیش از سه باشد.

حل سیستم معادلات جبری خطی به روش ماتریس (با استفاده از ماتریس معکوس).

اجازه دهید سیستم معادلات جبری خطی به صورت ماتریسی داده شود، که در آن ماتریس A دارای بعد n در n و تعیین کننده آن غیر صفر است.

از آنجایی که پس ماتریس A معکوس است، یعنی یک ماتریس معکوس وجود دارد. اگر هر دو قسمت تساوی را در سمت چپ ضرب کنیم، فرمولی برای یافتن ماتریس ستون متغیرهای مجهول به دست می آید. پس حل سیستم معادلات جبری خطی را با روش ماتریسی بدست آوردیم.

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش ماتریسی

راه حل.

بیایید سیستم معادلات را به صورت ماتریسی بازنویسی کنیم:

زیرا

سپس SLAE را می توان با روش ماتریس حل کرد. با استفاده از ماتریس معکوس، راه حل این سیستم را می توان به صورت پیدا کرد .

بیایید با استفاده از ماتریسی از مکمل های جبری عناصر ماتریس A یک ماتریس معکوس بسازیم (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید):

باقی مانده است که محاسبه شود - ماتریس متغیرهای مجهول با ضرب ماتریس معکوس در ماتریس-ستون اعضای آزاد (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید):

پاسخ:

یا در نماد دیگری x 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

مشکل اصلی در یافتن راه‌حل برای سیستم‌های معادلات جبری خطی با روش ماتریس، پیچیدگی یافتن ماتریس معکوس، به‌ویژه برای ماتریس‌های مربعی با مرتبه بالاتر از سوم است.

حل سیستم معادلات خطی به روش گاوس.

فرض کنید باید برای سیستمی متشکل از n معادله خطی با n متغیر مجهول راه حلی پیدا کنیم
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.

ماهیت روش گاوسشامل حذف متوالی متغیرهای مجهول می شود: اول، x 1 از تمام معادلات سیستم حذف می شود، از دومی شروع می شود، سپس x 2 از همه معادلات حذف می شود، از سومین شروع می شود، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول باشد. x n در آخرین معادله باقی می ماند. چنین فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود روش گاوس مستقیم. پس از اتمام اجرای رو به جلو روش گاوسی، x n از آخرین معادله، x n-1 از معادله ماقبل آخر با استفاده از این مقدار و به همین ترتیب، x 1 از معادله اول به دست می آید. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول در هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود روش گاوس معکوس.

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم حذف می کنیم و از معادله دوم شروع می کنیم. برای این کار، معادله اول ضرب در معادله دوم سیستم را اضافه کنید، اولین ضرب در معادله سوم و به همین ترتیب، اولین ضرب در معادله n را اضافه کنید. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان کنیم و عبارت حاصل را جایگزین تمام معادلات دیگر کنیم، به همین نتیجه می رسیم. بنابراین، متغیر x 1 از تمام معادلات، با شروع از دوم، حذف می شود.

در مرحله بعد، ما به طور مشابه عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از سیستم به دست آمده، که در شکل مشخص شده است

برای این کار دومی ضرب شده در را به معادله سوم سیستم اضافه کنید، دومی ضرب در را به معادله چهارم اضافه کنید و به همین ترتیب دومی ضرب شده در را به معادله n اضافه کنید. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف . بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که به طور مشابه با بخشی از سیستم که در شکل مشخص شده است عمل می کنیم.

بنابراین سیر مستقیم روش گاوس را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه، مسیر معکوس روش گاوس را شروع می کنیم: x n را از آخرین معادله به صورت محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار بدست آمده x n، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم، و به همین ترتیب، x 1 را از معادله اول می یابیم. معادله

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش گاوسی

راه حل.

بیایید متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به هر دو قسمت معادله دوم و سوم، قسمت های مربوط به معادله اول را به ترتیب در و در ضرب می کنیم:

حالا x 2 را از معادله سوم با جمع کردن قسمت های چپ و راست معادله دوم به قسمت های چپ و راست آن، ضرب در:

در این مورد، مسیر رو به جلو روش گاوس تکمیل می شود، مسیر معکوس را شروع می کنیم.

از آخرین معادله سیستم معادلات حاصل، x 3 را پیدا می کنیم:

از معادله دوم بدست می آوریم.

از معادله اول، متغیر مجهول باقی مانده را پیدا می کنیم و این مسیر معکوس روش گاوس را کامل می کند.

پاسخ:

X 1 \u003d 4، x 2 \u003d 0، x 3 \u003d -1.

حل سیستم معادلات جبری خطی به شکل کلی.

در حالت کلی، تعداد معادلات سیستم p با تعداد متغیرهای مجهول n منطبق نیست:

چنین SLAE هایی ممکن است هیچ راه حلی نداشته باشند، یک راه حل واحد داشته باشند یا راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشند. این عبارت برای سیستم های معادلاتی که ماتریس اصلی آنها مربع و منحط است نیز صدق می کند.

قضیه کرونکر-کاپلی.

قبل از یافتن راه حل برای یک سیستم معادلات خطی، لازم است سازگاری آن مشخص شود. پاسخ به این سوال که چه زمانی SLAE سازگار است و چه زمانی ناسازگار است، می دهد قضیه کرونکر-کاپلی:
برای سازگاری سیستمی از معادلات p با n مجهول (p می تواند برابر با n باشد) لازم و کافی است که رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته باشد، یعنی Rank( الف)=رتبه (T) .

اجازه دهید کاربرد قضیه کرونکر-کاپلی را برای تعیین سازگاری یک سیستم معادلات خطی به عنوان مثال در نظر بگیریم.

مثال.

دریابید که آیا سیستم معادلات خطی دارد یا خیر راه حل ها

راه حل.

. اجازه دهید از روش مرزبندی خردسالان استفاده کنیم. جزئی از مرتبه دوم متفاوت از صفر بیایید به موارد فرعی مرتبه سوم پیرامون آن بپردازیم:

از آنجایی که همه مینورهای مرتبه سوم مرزی برابر با صفر هستند، رتبه ماتریس اصلی دو است.

به نوبه خود، رتبه ماتریس تقویت شده برابر با سه است، زیرا جزئی از مرتبه سوم است

متفاوت از صفر

بدین ترتیب، Rang(A) بنابراین، با توجه به قضیه کرونکر-کاپلی، می‌توان نتیجه گرفت که سیستم اصلی معادلات خطی ناسازگار است.

پاسخ:

هیچ سیستم راه حلی وجود ندارد.

بنابراین، ما یاد گرفتیم که ناسازگاری سیستم را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی مشخص کنیم.

اما چگونه می توان راه حل SLAE را در صورت اثبات سازگاری آن پیدا کرد؟

برای انجام این کار، به مفهوم مبنا مینور یک ماتریس و قضیه رتبه یک ماتریس نیاز داریم.

بالاترین مرتبه مینور ماتریس A، به غیر از صفر، نامیده می شود پایه ای.

از تعریف پایه مینور بر می آید که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس است. برای یک ماتریس غیر صفر A، می تواند چندین مینور اصلی وجود داشته باشد؛ همیشه یک مینور اصلی وجود دارد.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید .

همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس برابر با صفر هستند، زیرا عناصر ردیف سوم این ماتریس مجموع عناصر مربوط به ردیف اول و دوم هستند.

مینورهای مرتبه دوم زیر پایه هستند، زیرا غیر صفر هستند

خردسالان پایه نیستند، زیرا برابر با صفر هستند.

قضیه رتبه ماتریس.

اگر رتبه یک ماتریس از مرتبه p در n r باشد، آنگاه همه عناصر سطرها (و ستون‌ها) ماتریس که پایه اصلی انتخابی را تشکیل نمی‌دهند به صورت خطی بر حسب عناصر متناظر سطرها (و ستون‌ها) بیان می‌شوند. ) که پایه جزئی را تشکیل می دهند.

قضیه رتبه ماتریس چه چیزی به ما می دهد؟

اگر با قضیه کرونکر-کاپلی، سازگاری سیستم را مشخص کرده باشیم، هر مینور اصلی از ماتریس اصلی سیستم را انتخاب می کنیم (ترتیب آن برابر با r است) و تمام معادلاتی را که چنین نیستند از سیستم حذف می کنیم. مینور اصلی انتخابی را تشکیل می دهند. SLAE به‌دست‌آمده از این طریق معادل معادل اصلی خواهد بود، زیرا معادلات دور ریخته شده هنوز اضافی هستند (طبق قضیه رتبه ماتریس، آنها ترکیبی خطی از معادلات باقی‌مانده هستند).

در نتیجه پس از کنار گذاشتن معادلات بیش از حد سیستم، دو حالت امکان پذیر است.

    اگر تعداد معادلات r در سیستم حاصل با تعداد متغیرهای مجهول برابر باشد، قطعی خواهد بود و تنها راه حل را می توان با روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

    مثال.

    .

    راه حل.

    رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر دو است، زیرا جزئی از مرتبه دوم است متفاوت از صفر رتبه ماتریس توسعه یافته همچنین برابر با دو است، زیرا تنها جزئی مرتبه سوم برابر با صفر است

    و مینور مرتبه دوم در نظر گرفته شده در بالا با صفر متفاوت است. بر اساس قضیه کرونکر-کاپلی، می توان سازگاری سیستم اصلی معادلات خطی را تایید کرد، زیرا Rank(A)=Rank(T)=2 .

    به عنوان جزئی پایه، ما می گیریم . از ضرایب معادله اول و دوم تشکیل می شود:

    معادله سوم سیستم در تشکیل مینور اصلی شرکت نمی کند، بنابراین بر اساس قضیه رتبه ماتریس آن را از سیستم حذف می کنیم:

    بنابراین ما یک سیستم ابتدایی از معادلات جبری خطی به دست آورده ایم. بیایید آن را با روش کرامر حل کنیم:

    پاسخ:

    x 1 \u003d 1، x 2 \u003d 2.

    اگر تعداد معادلات r در SLAE حاصل کمتر از تعداد متغیرهای مجهول n باشد، آنگاه عبارت هایی که مینور اصلی را تشکیل می دهند را در قسمت های سمت چپ معادلات رها می کنیم و عبارت های باقی مانده را به قسمت های سمت راست معادلات منتقل می کنیم. سیستم با علامت مخالف

    متغیرهای مجهول (r از آنها وجود دارد) باقی مانده در سمت چپ معادلات نامیده می شوند. اصلی.

    متغیرهای ناشناخته (n - r از آنها وجود دارد) که در سمت راست قرار می گیرند فراخوانی می شوند رایگان.

    حال فرض می کنیم که متغیرهای مجهول آزاد می توانند مقادیر دلخواه بگیرند، در حالی که متغیرهای مجهول اصلی r بر حسب متغیرهای مجهول آزاد به روشی منحصر به فرد بیان می شوند. بیان آنها را می توان با حل SLAE حاصل با روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

    بیایید یک مثال بزنیم.

    مثال.

    حل سیستم معادلات جبری خطی .

    راه حل.

    رتبه ماتریس اصلی سیستم را پیدا کنید با روش مینورهای مرزی اجازه دهید یک 1 1 = 1 را به عنوان مینور مرتبه اول غیر صفر در نظر بگیریم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور مرتبه دوم غیر صفر در اطراف این مینور کنیم:

    بنابراین ما یک مینور غیر صفر مرتبه دوم پیدا کردیم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور مرزی غیر صفر از مرتبه سوم کنیم:

    بنابراین، رتبه ماتریس اصلی سه است. رتبه ماتریس تقویت شده نیز برابر با سه است، یعنی سیستم سازگار است.

    مینور غیر صفر یافت شده مرتبه سوم به عنوان پایه در نظر گرفته می شود.

    برای وضوح، ما عناصری را نشان می‌دهیم که پایه جزئی را تشکیل می‌دهند:

    عبارات شرکت کننده در مینور اصلی را در سمت چپ معادلات سیستم می گذاریم و بقیه را با علائم مخالف به سمت راست منتقل می کنیم:

    به متغیرهای مجهول مجهول x 2 و x 5 مقادیر دلخواه می دهیم، یعنی می گیریم ، جایی که اعداد دلخواه هستند. در این حالت، SLAE شکل می گیرد

    ما سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی به دست آمده را با روش کرامر حل می کنیم:

    از این رو، .

    در پاسخ فراموش نکنید که متغیرهای مجهول رایگان را مشخص کنید.

    پاسخ:

    اعداد دلخواه کجا هستند

خلاصه کنید.

برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی با فرم کلی، ابتدا با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی به سازگاری آن پی می بریم. اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر نباشد، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است.

اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد، ما مینور اصلی را انتخاب می کنیم و معادلات سیستم را که در تشکیل ماتریس اصلی انتخابی شرکت نمی کنند، کنار می گذاریم.

اگر ترتیب پایه مینور برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد، SLAE یک راه حل منحصر به فرد دارد که می توان آن را با هر روشی که برای ما شناخته شده است پیدا کرد.

اگر ترتیب مبنا مینور کمتر از تعداد متغیرهای مجهول باشد، عبارت ها را با متغیرهای مجهول اصلی در سمت چپ معادلات سیستم می گذاریم، عبارت های باقی مانده را به سمت راست منتقل می کنیم و مقادیر دلخواه را نسبت می دهیم. به متغیرهای مجهول رایگان از سیستم معادلات خطی حاصل، متغیرهای مجهول اصلی را به روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس می یابیم.

روش گاوس برای حل سیستم معادلات جبری خطی با فرم عمومی.

با استفاده از روش گاوس، می توان سیستم های معادلات جبری خطی از هر نوعی را بدون بررسی اولیه آنها برای سازگاری حل کرد. فرآیند حذف متوالی متغیرهای ناشناخته امکان نتیجه گیری در مورد سازگاری و ناسازگاری SLAE را فراهم می کند و در صورت وجود راه حل، یافتن آن را ممکن می سازد.

از نظر کار محاسباتی، روش گاوسی ارجحیت دارد.

شرح مفصل و نمونه های تحلیل شده آن را در مقاله روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی با فرم کلی ببینید.

ثبت جواب کلی سیستم های جبری خطی همگن و ناهمگن با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها.

در این بخش به سیستم های همگن و ناهمگن مشترک معادلات جبری خطی که دارای بی نهایت جواب هستند می پردازیم.

بیایید ابتدا به سیستم های همگن بپردازیم.

سیستم تصمیم گیری اساسییک سیستم همگن از p معادلات جبری خطی با n متغیر مجهول مجموعه ای از (n - r) راه حل های خطی مستقل از این سیستم است که r ترتیب مینور پایه ماتریس اصلی سیستم است.

اگر راه حل های مستقل خطی یک SLAE همگن را به صورت X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2), …, X (n-r) ستون های ماتریس هایی با بعد n تعیین کنیم. با 1 ) ، سپس جواب کلی این سیستم همگن به صورت ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها با ضرایب ثابت دلخواه C 1 ، С 2 ، ... ، С (n-r) نشان داده می شود ، یعنی .

اصطلاح حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی (اوروسلاو) به چه معناست؟

معنی ساده است: فرمول تمام راه حل های ممکن را برای SLAE اصلی مشخص می کند، به عبارت دیگر، با گرفتن هر مجموعه ای از مقادیر ثابت دلخواه C 1 , C 2 , ..., C (n-r) مطابق فرمول ما یکی از راه حل های SLAE همگن اصلی را دریافت می کند.

بنابراین، اگر ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا کنیم، می توانیم همه راه حل های این SLAE همگن را به صورت .

اجازه دهید روند ساخت یک سیستم اساسی از راه حل ها را برای یک SLAE همگن نشان دهیم.

ما مینور اصلی سیستم معادلات خطی اصلی را انتخاب می کنیم، تمام معادلات دیگر را از سیستم حذف می کنیم و تمام عبارات حاوی متغیرهای مجهول آزاد را به سمت راست معادلات سیستم با علائم مخالف منتقل می کنیم. بیایید به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر 1,0,0,…,0 بدهیم و مجهولات اصلی را با حل سیستم ابتدایی معادلات خطی به هر شکلی مثلاً با روش کرامر محاسبه کنیم. بنابراین، X (1) به دست می آید - اولین راه حل سیستم بنیادی. اگر به مجهولات رایگان مقادیر 0,1,0,0,…,0 بدهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (2) به دست می آید. و غیره. اگر به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر 0,0,…,0,1 بدهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، آنگاه X (n-r) به دست می آید. به این صورت است که سیستم اساسی راه حل های SLAE همگن ساخته می شود و جواب کلی آن را می توان به شکل نوشت.

برای سیستم های ناهمگن معادلات جبری خطی، جواب کلی به صورت نمایش داده می شود

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال.

سیستم اساسی راه حل ها و حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی را بیابید .

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم های همگن معادلات خطی همیشه با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر است. اجازه دهید رتبه ماتریس اصلی را با روش فرنگ کردن مینورها پیدا کنیم. به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول، عنصر a 1 1 = 9 از ماتریس اصلی سیستم را می گیریم. مینور غیر صفر مرزی مرتبه دوم را پیدا کنید:

یک مینور از مرتبه دوم، متفاوت از صفر، یافت می شود. بیایید در جست‌وجوی یک غیرصفر، از مینورهای مرتبه سوم که در حاشیه آن قرار دارند عبور کنیم:

همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس اصلی و توسعه یافته دو است. بیایید مینور اولیه را در نظر بگیریم. برای وضوح، عناصری از سیستم را که آن را تشکیل می دهند یادداشت می کنیم:

معادله سوم SLAE اصلی در تشکیل مینور اصلی شرکت نمی کند، بنابراین، می توان آن را حذف کرد:

عبارت‌های حاوی مجهولات اصلی را در سمت راست معادلات می‌گذاریم و عبارت‌های مجهول آزاد را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

اجازه دهید یک سیستم اساسی از راه حل های سیستم همگن اصلی معادلات خطی بسازیم. سیستم اساسی راه حل های این SLAE از دو راه حل تشکیل شده است، زیرا SLAE اصلی شامل چهار متغیر ناشناخته است و ترتیب مینور اصلی آن دو است. برای یافتن X (1)، به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر x 2 \u003d 1، x 4 \u003d 0 می دهیم، سپس مجهولات اصلی را از سیستم معادلات پیدا می کنیم.
.