چگونه ریشه یک عدد بزرگ را پیدا کنیم. شمارش بدون ماشین حساب

نحوه استخراج ریشه از شماره در این مقاله یاد می گیریم که چگونه جذر اعداد چهار و پنج رقمی را بدست آوریم.

بیایید جذر سال 1936 را به عنوان مثال در نظر بگیریم.

از این رو، .

آخرین رقم در عدد 1936 عدد 6 است. مربع عدد 4 و عدد 6 به 6 ختم می شود. بنابراین، 1936 می تواند مربع عدد 44 یا عدد 46 باشد. باقی مانده است که با ضرب بررسی شود.

به معنای،

بیایید جذر عدد 15129 را در نظر بگیریم.

از این رو، .

آخرین رقم در عدد 15129 عدد 9 است. مربع عدد 3 و عدد 7 به 9 ختم می شود. بنابراین، 15129 می تواند مربع عدد 123 یا عدد 127 باشد. بیایید با ضرب بررسی کنیم.

به معنای،

نحوه استخراج ریشه - ویدئو

و اکنون پیشنهاد می کنم ویدیوی آنا دنیسوا را تماشا کنید - "چگونه ریشه را استخراج کنیم "، نویسنده سایت" فیزیک ساده"، که در آن او نحوه یافتن ریشه های مربع و مکعب بدون ماشین حساب را توضیح می دهد.

در این ویدیو چندین روش برای استخراج ریشه مورد بحث قرار می گیرد:

1. ساده ترین راه برای استخراج ریشه دوم.

2. با انتخاب با استفاده از مربع مجموع.

3. روش بابلی.

4. روش استخراج جذر ستون.

5. راهی سریع برای استخراج ریشه مکعبی.

6. روش استخراج ریشه مکعب در یک ستون.

دانش آموزان همیشه می پرسند: "چرا نمی توانم از ماشین حساب در امتحان ریاضی استفاده کنم؟ چگونه جذر یک عدد را بدون ماشین حساب استخراج کنیم؟ بیایید سعی کنیم به این سوال پاسخ دهیم.

چگونه جذر یک عدد را بدون کمک ماشین حساب استخراج کنیم؟

عمل ریشه دوممعکوس عمل مربع کردن

√81= 9 9 2 =81

اگر جذر یک عدد مثبت را بگیرید و حاصل را مربع کنید، همان عدد را بدست می آورید.

از اعداد کوچکی که مجذورات دقیق اعداد طبیعی هستند، مثلاً 1، 4، 9، 16، 25، ...، 100 می توان ریشه های مربع را به صورت شفاهی استخراج کرد. معمولاً در مدرسه جدول مربع های اعداد طبیعی تا بیست را آموزش می دهند. با دانستن این جدول، به راحتی می توان از اعداد 121،144، 169، 196، 225، 256، 289، 324، 361، 400 ریشه های مربع استخراج کرد. از اعداد بزرگتر از 400 می توانید با استفاده از روش انتخاب، آنها را استخراج کنید. بیایید سعی کنیم با یک مثال به این روش نگاه کنیم.

مثال: ریشه عدد 676 را استخراج کنید.

متوجه می شویم که 20 2 = 400، و 30 2 = 900، که به معنای 20 است.< √676 < 900.

مربع های دقیق اعداد طبیعی به 0 ختم می شوند. 1 4 5 6; 9.
عدد 6 با 4 2 و 6 2 داده می شود.
یعنی اگر ریشه از 676 گرفته شود، 24 یا 26 است.

باقی مانده است که بررسی کنید: 24 2 = 576، 26 2 = 676.

پاسخ: √676 = 26 .

بیشتر مثال: √6889 .

از آنجایی که 80 2 = 6400، و 90 2 = 8100، سپس 80< √6889 < 90.
عدد 9 با 3 2 و 7 2 داده می شود، سپس √6889 برابر است با 83 یا 87.

بیایید بررسی کنیم: 83 2 = 6889.

پاسخ: √6889 = 83 .

اگر حل با استفاده از روش انتخاب برایتان دشوار است، می توانید عبارت رادیکال را فاکتور بگیرید.

مثلا، √893025 را پیدا کنید.

بیایید عدد 893025 را فاکتور کنیم، به یاد داشته باشید، شما این کار را در کلاس ششم انجام دادید.

دریافت می کنیم: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

بیشتر مثال: √20736. بیایید عدد 20736 را فاکتور کنیم:

ما √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 بدست می آوریم.

البته فاکتورسازی مستلزم دانش علائم تقسیم پذیری و مهارت فاکتورسازی است.

و در نهایت، وجود دارد قانون استخراج ریشه های مربع. با مثال هایی با این قانون آشنا می شویم.

√279841 را محاسبه کنید.

برای استخراج ریشه یک عدد صحیح چند رقمی، آن را از راست به چپ به صورت هایی که دارای 2 رقم هستند تقسیم می کنیم (لبه سمت چپ ممکن است دارای یک رقم باشد). ما آن را اینگونه می نویسیم: 27’98’41

برای به دست آوردن اولین رقم ریشه (5)، جذر بزرگترین مربع کامل موجود در وجه اول سمت چپ (27) را می گیریم.
سپس مربع اولین رقم ریشه (25) از وجه اول کم می شود و وجه بعدی (98) به اختلاف اضافه می شود (کاهش).
در سمت چپ عدد حاصل 298، دو رقم ریشه (10) را بنویسید، تعداد تمام ده‌ها عدد قبلی (29/2 ≈ 2) را بر آن تقسیم کنید، ضریب را آزمایش کنید (102 ∙ 2 = 204). نباید بیشتر از 298 باشد و (2) را بعد از اولین رقم ریشه بنویسید.
سپس ضریب 204 حاصل از 298 کم می شود و یال بعدی (41) به اختلاف (94) اضافه می شود.
در سمت چپ عدد 9441 حاصل، حاصل ضرب دو رقمی ریشه (52 ∙2 = 104) را بنویسید، تعداد تمام ده‌های عدد 9441 (944/104 ≈ 9) را بر این حاصل تقسیم کنید، ضریب (1049 ∙9 = 9441) باید 9441 باشد و آن را (9) بعد از رقم دوم ریشه یادداشت کنید.

ما پاسخ √279841 = 529 را دریافت کردیم.

به همین ترتیب استخراج کنید ریشه کسرهای اعشاری. فقط عدد رادیکال باید به صورت تقسیم شود تا کاما بین چهره ها باشد.

مثال. مقدار √0.00956484 را پیدا کنید.

فقط به یاد داشته باشید که اگر یک کسر اعشاری دارای تعداد فرد اعشار باشد، نمی توان جذر آن را گرفت.

بنابراین اکنون سه راه برای استخراج ریشه مشاهده کرده اید. مناسب ترین مورد را انتخاب کنید و تمرین کنید. برای یادگیری حل مشکلات، باید آنها را حل کنید. و اگر سوالی دارید، .

blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

فرمول های ریشه خواص ریشه های مربع

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

در درس قبل فهمیدیم که جذر چیست. وقت آن است که بفهمیم کدام یک وجود دارند فرمول های ریشهچه هستند خواص ریشهو با این همه چه می توان کرد.

فرمول های ریشه ها، خواص ریشه ها و قوانین کار با ریشه ها- این اساساً همان چیز است. به طور شگفت انگیزی فرمول های کمی برای ریشه های مربع وجود دارد. که قطعا من را خوشحال می کند! یا بهتر است بگوییم، می توانید فرمول های مختلف زیادی بنویسید، اما برای کار عملی و مطمئن با ریشه، تنها سه فرمول کافی است. همه چیز دیگر از این سه سرچشمه می گیرد. اگرچه بسیاری از افراد در سه فرمول ریشه گیج می شوند، بله...

بیایید با ساده ترین مورد شروع کنیم. او اینجاست:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

و آیا دارید اعتیاد به ماشین حساب? یا به نظر شما محاسبه خیلی سخت است مثلاً جز با ماشین حساب یا استفاده از جدول مربع.

این اتفاق می افتد که دانش آموزان مدرسه به یک ماشین حساب گره می خورند و حتی با فشار دادن دکمه های ارزشمند 0.7 را در 0.5 ضرب می کنند. میگن خب من هنوزم حساب کردن بلدم ولی الان در وقتم صرفه جویی میکنم... امتحان که بیاد... اونوقت به خودم فشار میارم...

بنابراین واقعیت این است که در طول امتحان "لحظه های استرس زا" زیادی وجود خواهد داشت... همانطور که می گویند، آب سنگ ها را از بین می برد. بنابراین در یک امتحان، چیزهای کوچک، اگر تعدادشان زیاد باشد، می تواند شما را خراب کند...

بیایید تعداد مشکلات احتمالی را به حداقل برسانیم.

گرفتن جذر یک عدد بزرگ

اکنون فقط در مورد موردی صحبت خواهیم کرد که نتیجه استخراج ریشه دوم یک عدد صحیح باشد.

مورد 1.

بنابراین، اجازه دهید ما به هر قیمتی (مثلاً هنگام محاسبه ممیز) باید جذر 86436 را محاسبه کنیم.

عدد 86436 را به فاکتورهای اول تبدیل می کنیم. با تقسیم بر 2، 43218 بدست می آید. دوباره بر 2 تقسیم کنیم، عدد 21609 به دست می آید. یک عدد بر 2 قابل بخش نیست. اما از آنجایی که مجموع ارقام بر 3 بخش پذیر است، پس خود عدد بر 3 بخش پذیر است (به طور کلی مشخص است که بر 9 نیز بخش پذیر است). . دوباره بر 3 تقسیم می کنیم و عدد 2401 به دست می آید. 2401 به طور کامل بر 3 بخش پذیر نیست. بر پنج بخش پذیر نیست (به 0 یا 5 ختم نمی شود).

ما به تقسیم پذیری بر 7 مشکوک هستیم. در واقع، و

بنابراین، سفارش کامل!

مورد 2.

اجازه دهید ما باید محاسبه کنیم. عمل کردن به همان روشی که در بالا توضیح داده شد ناخوشایند است. ما سعی می کنیم فاکتورسازی کنیم ...

عدد 1849 بر 2 بخش پذیر نیست (زوج نیست)…

کاملا بر 3 بخش پذیر نیست (مجموع ارقام مضرب 3 نیست)...

به طور کامل بر 5 بخش پذیر نیست (آخرین رقم نه 5 است و نه 0)…

کاملاً بر 7 بخش پذیر نیست، بر 11 بخش پذیر نیست، بر 13 بخش پذیر نیست... خوب، چقدر طول می کشد تا همه اعداد اول را مرتب کنیم؟

بیایید کمی متفاوت فکر کنیم.

ما این را درک می کنیم

ما جستجوی خود را محدود کرده ایم. اکنون از اعداد 41 تا 49 عبور می کنیم. علاوه بر این، واضح است که از آنجایی که آخرین رقم عدد 9 است، پس باید روی گزینه های 43 یا 47 توقف کنیم - فقط این اعداد، وقتی مربع شوند، آخرین رقم 9 را می دهند. .

خب، در اینجا، البته، ما در 43 متوقف می شویم. در واقع،

P.S.چگونه 0.7 را در 0.5 ضرب کنیم؟

باید 5 را در 7 ضرب کنید، صفرها و علامت ها را نادیده بگیرید و سپس دو رقم اعشار را از راست به چپ جدا کنید. 0.35 می گیریم.

قبل از ماشین حساب، دانش‌آموزان و معلمان ریشه‌های مربع را با دست محاسبه می‌کردند. روش های مختلفی برای محاسبه جذر یک عدد به صورت دستی وجود دارد. برخی از آنها فقط یک راه حل تقریبی ارائه می دهند، برخی دیگر پاسخ دقیقی می دهند.

مراحل

فاکتورسازی اولیه

عدد رادیکال را به عواملی که اعداد مربعی هستند، تبدیل کنید.بسته به عدد رادیکال، یک پاسخ تقریبی یا دقیق دریافت خواهید کرد. اعداد مربع اعدادی هستند که می توان کل جذر را از آنها گرفت. فاکتورها اعدادی هستند که وقتی ضرب می شوند، عدد اصلی را می دهند. به عنوان مثال، ضرایب عدد 8 2 و 4 هستند، زیرا 2 x 4 = 8، اعداد 25، 36، 49 اعداد مربع هستند، زیرا √25 = 5، √36 = 6، √49 = 7. فاکتورهایی هستند که اعداد مربعی هستند. ابتدا سعی کنید عدد رادیکال را به فاکتورهای مربعی تبدیل کنید.

• برای مثال جذر 400 را (با دست) محاسبه کنید. ابتدا سعی کنید 400 را به فاکتورهای مربعی تبدیل کنید. 400 مضربی از 100 است، یعنی بر 25 بخش پذیر است - این یک عدد مربع است. با تقسیم 400 بر 25 عدد 16 به دست می آید. عدد 16 نیز یک عدد مربع است. بنابراین، 400 را می توان در فاکتورهای مربع 25 و 16، یعنی 25 x 16 = 400 در نظر گرفت.
• این را می توان به صورت زیر نوشت: √400 = √(25 x 16).

1. جذر حاصل ضرب برخی از جمله ها برابر است با حاصل ضرب جذر هر جمله، یعنی √(a x b) = √a x √b. از این قانون استفاده کنید تا جذر هر ضریب مربع را بگیرید و نتایج را ضرب کنید تا پاسخ را پیدا کنید.

   • در مثال ما، ریشه 25 و 16 را بگیرید.
     • √ (25 × 16)
     • √25 x √16
     • 5 × 4 = 20

2. اگر عدد رادیکال به دو عامل مربع تبدیل نشود (و این در بیشتر موارد اتفاق می افتد)، نمی توانید پاسخ دقیق را در قالب یک عدد کامل پیدا کنید. اما شما می توانید با تجزیه عدد رادیکال به یک ضریب مربع و یک عامل معمولی (عددی که کل جذر را نمی توان از آن گرفت) مسئله را ساده کنید. سپس جذر ضریب مربع را می گیرید و ریشه ضریب مشترک را می گیرید.

   • به عنوان مثال، جذر عدد 147 را محاسبه کنید، عدد 147 را نمی توان در دو فاکتور مربع قرار داد، اما می توان آن را به فاکتورهای زیر تقسیم کرد: 49 و 3. مسئله را به صورت زیر حل کنید:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. در صورت لزوم، ارزش ریشه را تخمین بزنید.اکنون می‌توانید با مقایسه آن با مقادیر ریشه‌های اعداد مربعی که نزدیک‌ترین (در دو طرف خط اعداد) به عدد رادیکال هستند، مقدار ریشه را تخمین بزنید (مقدار تقریبی را بیابید). مقدار ریشه را به صورت کسری اعشاری دریافت خواهید کرد که باید در عدد پشت علامت ریشه ضرب شود.

   • بیایید به مثال خود بازگردیم. عدد رادیکال 3 است. نزدیکترین اعداد مربع به آن اعداد 1 (√1 = 1) و 4 (√4 = 2) خواهد بود. بنابراین، مقدار √3 بین 1 و 2 قرار دارد. از آنجایی که مقدار √3 احتمالاً به 2 نزدیک تر است تا 1، تخمین ما این است: √3 = 1.7. ما این مقدار را در عدد علامت ریشه ضرب می کنیم: 7 x 1.7 = 11.9. اگر حساب را روی ماشین حساب انجام دهید، 12.13 دریافت خواهید کرد که تقریباً به پاسخ ما نزدیک است.
     • این روش با اعداد زیاد نیز کار می کند. برای مثال √35 را در نظر بگیرید. عدد رادیکال 35 است. نزدیکترین اعداد مربع به آن اعداد 25 (√25 = 5) و 36 (√36 = 6) خواهند بود. بنابراین، مقدار √35 بین 5 و 6 قرار دارد. از آنجایی که مقدار √35 بسیار نزدیکتر به 6 است تا 5 (زیرا 35 تنها 1 کمتر از 36 است)، می توان گفت که √35 کمی کمتر از 6 است. بررسی ماشین حساب به ما پاسخ 5.92 را می دهد - ما درست می گفتیم.

4. راه دیگر این است که عدد رادیکال را به عوامل اول تبدیل کنیم.عوامل اول اعدادی هستند که فقط بر 1 و خودشان بخش پذیرند. فاکتورهای اول را در یک سری بنویسید و جفت فاکتورهای یکسان را پیدا کنید. چنین عواملی را می توان از علامت ریشه خارج کرد.

   • به عنوان مثال، جذر 45 را محاسبه کنید. عدد رادیکال را به ضرایب اول تبدیل می کنیم: 45 = 9 x 5، و 9 = 3 x 3. بنابراین، √45 = √(3 x 3 x 5). 3 را می توان به عنوان علامت ریشه خارج کرد: √45 = 3√5. اکنون می توانیم √5 را تخمین بزنیم.
   • بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم: √88.
     • = √ (2 × 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). شما سه ضریب 2 دریافت کردید. چند تا از آنها را بردارید و آنها را فراتر از علامت ریشه حرکت دهید.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. اکنون می توانید √2 و √11 را ارزیابی کرده و یک پاسخ تقریبی پیدا کنید.

   محاسبه جذر به صورت دستی

   استفاده از تقسیم طولانی

   1. این روش شامل فرآیندی شبیه به تقسیم طولانی است و پاسخ دقیقی را ارائه می دهد.ابتدا یک خط عمودی بکشید که ورق را به دو نیمه تقسیم می کند و سپس به سمت راست و کمی زیر لبه بالایی ورق، یک خط افقی به خط عمودی بکشید. حالا عدد رادیکال را به جفت اعداد تقسیم کنید و از قسمت کسری بعد از نقطه اعشار شروع کنید. بنابراین، شماره 79520789182.47897 به صورت "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" نوشته شده است.

      • برای مثال، جذر عدد 780.14 را محاسبه می کنیم. دو خط بکشید (همانطور که در تصویر نشان داده شده است) و عدد داده شده را به شکل "7 80، 14" در بالا سمت چپ بنویسید. طبیعی است که اولین رقم از سمت چپ یک رقم جفت نشده باشد. پاسخ (ریشه این عدد) را در بالا سمت راست می نویسید.

   2. برای اولین جفت اعداد (یا تک عددی) از سمت چپ، بزرگترین عدد صحیح n را پیدا کنید که مربع آن کوچکتر یا مساوی با جفت اعداد (یا عدد واحد) مورد نظر باشد. به عبارت دیگر، عدد مربعی را که به اولین جفت اعداد (یا عدد منفرد) نزدیکتر است، اما کوچکتر از آن است، از سمت چپ پیدا کنید و جذر آن عدد مربع را بگیرید. شما عدد n را دریافت خواهید کرد. n که پیدا کردید را در بالا سمت راست بنویسید و مربع n را در پایین سمت راست بنویسید.

      • در مورد ما، اولین عدد سمت چپ 7 خواهد بود. بعد، 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. مربع عدد n را که به تازگی پیدا کردید از اولین جفت اعداد (یا تک عددی) سمت چپ کم کنید.نتیجه محاسبه را زیر زیر خط (مربع عدد n) بنویسید.

      • در مثال ما 4 را از 7 کم کنید و 3 بدست آورید.

   4. جفت دوم اعداد را پایین آورده و در کنار مقدار بدست آمده در مرحله قبل یادداشت کنید.سپس عدد بالا سمت راست را دو برابر کنید و نتیجه را در پایین سمت راست با اضافه کردن "_×_=" بنویسید.

      • در مثال ما، جفت دوم اعداد "80" است. بعد از 3، "80" را بنویسید. سپس، عدد بالا سمت راست را دو برابر کنید.

   5. جاهای خالی سمت راست را پر کنید.

      • در مورد ما، اگر عدد 8 را به جای خط تیره قرار دهیم، 48 x 8 = 384، که بیش از 380 است. بنابراین، 8 یک عدد بسیار بزرگ است، اما 7 انجام خواهد شد. به جای خط تیره 7 بنویسید و به دست آورید: 47 x 7 = 329. 7 را در بالا سمت راست بنویسید - این رقم دوم در ریشه دوم مورد نظر عدد 780.14 است.

   6. عدد حاصل را از عدد فعلی سمت چپ کم کنید.نتیجه مرحله قبل را زیر عدد فعلی در سمت چپ بنویسید، تفاوت را پیدا کنید و زیر زیر خط بنویسید.

      • در مثال ما، 329 را از 380 کم کنید، که برابر با 51 است.

   7. مرحله 4 را تکرار کنید.اگر جفت اعدادی که منتقل می‌شوند جزء کسری عدد اصلی است، یک جداکننده (ویرگول) بین قسمت‌های صحیح و کسری در جذر مورد نیاز در بالا سمت راست قرار دهید. در سمت چپ، جفت اعداد بعدی را پایین بیاورید. عدد بالا سمت راست را دو برابر کنید و نتیجه را در پایین سمت راست با اضافه کردن "_×_=" بنویسید.

      • در مثال ما، جفت اعداد بعدی که باید حذف شوند، قسمت کسری عدد 780.14 خواهد بود، بنابراین جداکننده اعداد صحیح و کسری را در ریشه مربع مورد نظر در سمت راست بالا قرار دهید. 14 را پایین بیاورید و در پایین سمت چپ بنویسید. دو برابر عدد بالا سمت راست (27) 54 است، بنابراین "54_×_=" را در پایین سمت راست بنویسید.

   8. مراحل 5 و 6 را تکرار کنید.به جای خط تیره سمت راست بزرگترین عدد را پیدا کنید (به جای خط تیره باید همان عدد را جایگزین کنید) به طوری که حاصل ضرب کمتر یا مساوی با عدد فعلی سمت چپ باشد.

      • در مثال ما، 549 x 9 = 4941، که کمتر از عدد فعلی در سمت چپ (5114) است. 9 را در بالا سمت راست بنویسید و حاصل ضرب را از عدد فعلی سمت چپ کم کنید: 5114 - 4941 = 173.

   9. اگر می خواهید رقم های اعشاری بیشتری را برای جذر پیدا کنید، چند صفر در سمت چپ عدد فعلی بنویسید و مراحل 4، 5، و 6 را تکرار کنید. نیاز داشتن.

   درک فرآیند

   برای تسلط بر این روش، عددی را که باید جذر آن را به عنوان مساحت مربع S پیدا کنید، تصور کنید. در این صورت، به دنبال طول ضلع L چنین مربعی خواهید بود. مقدار L را طوری محاسبه می کنیم که L2 = S.

   برای هر عدد در جواب یک حرف بدهید.اجازه دهید اولین رقم در مقدار L (ریشه دوم مورد نظر) را با A نشان دهیم. B دومین رقم، C سوم و غیره خواهد بود.

   برای هر جفت رقم اول یک حرف مشخص کنید.اجازه دهید با S a اولین جفت ارقام را در مقدار S، با S b دومین جفت رقم و غیره را نشان دهیم.

   ارتباط بین این روش و تقسیم طولانی را درک کنید.درست مانند تقسیم، که در آن فقط به رقم بعدی عددی که هر بار تقسیم می کنیم علاقه مندیم، هنگام محاسبه یک جذر، یک جفت رقم را به صورت متوالی کار می کنیم (برای به دست آوردن یک رقم بعدی در مقدار ریشه دوم). .

   1. اولین جفت ارقام Sa از عدد S را در نظر بگیرید (در مثال ما Sa = 7) و جذر آن را پیدا کنید.در این حالت، اولین رقم A از مقدار ریشه دوم مورد نظر، رقمی خواهد بود که مربع آن کوچکتر یا مساوی S a باشد (یعنی ما به دنبال A هستیم به طوری که نابرابری A² ≤ Sa باشد.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • فرض کنید باید 88962 را بر 7 تقسیم کنیم. در اینجا مرحله اول مشابه خواهد بود: اولین رقم عدد قابل تقسیم 88962 (8) را در نظر می گیریم و بزرگترین عددی را انتخاب می کنیم که با ضرب در 7 مقداری کمتر یا مساوی 8 به دست می دهد. یعنی به دنبال آن هستیم. عدد d که نابرابری برای آن درست است: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. به طور ذهنی مربعی را تصور کنید که مساحت آن را باید محاسبه کنید.شما به دنبال L هستید، یعنی طول ضلع مربعی که مساحت آن برابر با S است، اعداد موجود در عدد L هستند. یک عدد دو رقمی) یا 100A + 10B + C = L (برای عدد سه رقمی) و غیره.

      • اجازه دهید (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². به یاد داشته باشید که 10A+B عددی است که در آن رقم B مخفف واحد و رقم A مخفف ده ها است. برای مثال، اگر A=1 و B=2 باشد، 10A+B برابر با عدد 12 است. (10A+B)²مساحت کل میدان است، 100A²- مساحت مربع داخلی بزرگ، B²- مساحت مربع کوچک داخلی، 10A×B- مساحت هر یک از دو مستطیل. با جمع کردن مساحت های شکل های توصیف شده، مساحت مربع اصلی را خواهید یافت.