معادلات با پارامترها: روش حل گرافیکی

8-9 نمرات

این مقاله یک روش گرافیکی برای حل برخی از معادلات با پارامترها را مورد بحث قرار می دهد که زمانی که باید تعیین کنید یک معادله بسته به پارامتر چند ریشه دارد بسیار مؤثر است. آ.

مسئله 1. معادله چند ریشه دارد؟ | | x | - 2 | = آ بستگی به پارامتر دارد آ?

راه حل. در سیستم مختصات (x; y) نمودارهایی از توابع y = | می سازیم | x | - 2 | و y = آ. نمودار تابع y = | | x | - 2 | در شکل نشان داده شده است.

نمودار تابع y = a یک خط مستقیم موازی با محور Ox یا منطبق با آن است (اگر آ = 0).

از نقاشی می توان دریافت که:

اگر آ= 0، سپس خط مستقیم y = آبا محور Ox منطبق است و دارای نمودار تابع y = | است | x | - 2 | دو نکته مشترک ؛ این بدان معنی است که معادله اصلی دارای دو ریشه است (در این مورد، ریشه ها را می توان یافت: x 1,2 = d 2).
اگر 0< آ < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
اگر آ= 2، سپس خط y = 2 دارای سه نقطه مشترک با نمودار تابع است. سپس معادله اصلی دارای سه ریشه است.
اگر آ> 2، سپس خط مستقیم y = آبا نمودار تابع اصلی دو نقطه خواهد داشت، یعنی این معادله دو ریشه خواهد داشت.

اگر آ < 0, то корней нет;
اگر آ = 0, آ> 2، سپس دو ریشه وجود دارد.
اگر آ= 2 ، سپس سه ریشه ؛
اگر 0< آ < 2, то четыре корня.

مسئله 2. معادله چند ریشه دارد؟ | x 2 - 2 | x | - 3 | = آ بستگی به پارامتر دارد آ?

راه حل. در سیستم مختصات (x; y) نمودارهایی از توابع y = | می سازیم x 2 – 2| x | – 3 | و y = آ.

نمودار تابع y = | x 2 – 2| x | – 3 | در شکل نشان داده شده است. نمودار تابع y = a یک خط مستقیم موازی با Ox یا منطبق با آن است (زمانی که آ = 0).

از نقاشی می توانید ببینید:

اگر آ= 0، سپس خط مستقیم y = آبا محور Ox منطبق است و دارای نمودار تابع y = | است x2 – 2| x | – 3 | دو نقطه مشترک و همچنین خط مستقیم y = آبا نمودار تابع y = | خواهد داشت x 2 – 2| x | – 3 | دو نقطه مشترک در آ> 4. بنابراین، چه زمانی آ= 0 و آ> 4 معادله اصلی دو ریشه دارد.
اگر 0< آ < 3, то прямая y = آبا نمودار تابع y = | دارد x 2 – 2| x | – 3 | چهار نقطه مشترک و همچنین خط مستقیم y= آچهار نقطه مشترک با نمودار تابع ساخته شده در خواهد داشت آ= 4. بنابراین، در 0< آ < 3, آ= 4 معادله اصلی چهار ریشه دارد.
اگر آ= 3، سپس خط مستقیم y = آنمودار یک تابع را در پنج نقطه قطع می کند. بنابراین معادله پنج ریشه دارد.
اگر 3< آ < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
اگر آ < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

اگر آ < 0, то корней нет;
اگر آ = 0, آ> 4، سپس دو ریشه.
اگر 0< آ < 3, آ= 4، سپس چهار ریشه.
اگر آ= 3، سپس پنج ریشه.
اگر 3< آ < 4, то шесть корней.

مسئله 3. معادله چند ریشه دارد؟

بسته به پارامتر آ?

راه حل. اجازه دهید نموداری از تابع در سیستم مختصات بسازیم (x; y) اما ابتدا اجازه دهید آن را به شکل زیر ارائه کنیم:

خطوط x = 1، y = 1 مجانبی از نمودار تابع هستند. نمودار تابع y = | x | + آاز نمودار تابع y = | به دست می آید x | جابجایی توسط یک واحد در امتداد محور Oy.

نمودارهای تابع تقاطع در یک نقطه در آ> – 1؛ این بدان معنی است که معادله (1) برای این مقادیر پارامتر یک راه حل دارد.

در آ = – 1, آ= - 2 نمودار در دو نقطه قطع می شوند. یعنی برای این مقادیر پارامتر، معادله (1) دو ریشه دارد.
در – 2< آ < – 1, آ < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

اگر آ> – 1، سپس یک راه حل؛
اگر آ = – 1, آ= – 2، سپس دو راه حل وجود دارد.
اگر - 2< آ < – 1, آ < – 1, то три решения.

اظهار نظر. هنگام حل معادله (1) مسئله 3 باید به این مورد توجه ویژه داشت که آ= – 2، زیرا نقطه (– 1; – 1) به نمودار تابع تعلق ندارد اما متعلق به نمودار تابع y = | است x | + آ.

بیایید به سراغ حل یک مشکل دیگر برویم.

مسئله 4. معادله چند ریشه دارد؟

x + 2 = آ| x – 1 | (2)

بسته به پارامتر آ?

راه حل. توجه داشته باشید که x = 1 ریشه این معادله نیست، زیرا برابری 3 = است آ· 0 نمی تواند برای هیچ مقدار پارامتر درست باشد آ. بیایید دو طرف معادله را بر | تقسیم کنیم x – 1 |(| x – 1 | شماره 0)، سپس معادله (2) شکل خواهد گرفت. در سیستم مختصات xOy تابع را رسم خواهیم کرد

نمودار این تابع در شکل نشان داده شده است. نمودار تابع y = آیک خط مستقیم موازی با محور Ox یا منطبق با آن است (اگر آ = 0).

اگر آЈ – 1، پس هیچ ریشه ای وجود ندارد.
اگر - 1< آЈ 1، سپس یک ریشه.
اگر آ> 1، سپس دو ریشه وجود دارد.

بیایید پیچیده ترین معادله را در نظر بگیریم.

مشکل 5. در چه مقادیری از پارامتر آمعادله

آ x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

سه راه حل دارد؟

راه حل. 1. مقدار کنترلی پارامتر برای این معادله عدد خواهد بود آ= 0، که در آن رابطه (3) به شکل 0 + | است x – 1 | = 0، از آنجا x = 1. بنابراین، زمانی که آ= 0، معادله (3) یک ریشه دارد که شرایط مسئله را برآورده نمی کند.

2. موردی را در نظر بگیرید که آ № 0.

اجازه دهید معادله (3) را به شکل زیر بازنویسی کنیم: آ x 2 = – | x – 1 |. توجه داشته باشید که معادله تنها زمانی راه حل خواهد داشت آ < 0.

در سیستم مختصات xOy نمودارهایی از توابع y = | می سازیم X - 1 | و y = آ x 2 . نمودار تابع y = | x – 1 | در شکل نشان داده شده است. نمودار تابع y = آ x 2 سهمی است که شاخه های آن به سمت پایین هدایت می شوند آ < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

معادله (3) تنها زمانی سه راه حل خواهد داشت که خط مستقیم y = – x + 1 بر نمودار تابع y= مماس باشد. آ x 2 .

فرض کنید x 0 آبسیسا نقطه مماس خط مستقیم y = – x + 1 با سهمی y = باشد. آ x 2 . معادله مماس شکل دارد

y = y (x 0) + y "(x 0) (x - x 0).

بیایید شرایط مماس را بنویسیم:

این معادله را می توان بدون استفاده از مفهوم مشتق حل کرد.

بیایید روش دیگری را در نظر بگیریم. اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که اگر خط مستقیم y = kx + b دارای یک نقطه مشترک با سهمی y = باشد. آ x 2 + px + q، سپس معادله آ x 2 + px + q = kx + b باید یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، یعنی ممیز آن صفر است. در مورد ما معادله را داریم آ x 2 = - x + 1 ( آشماره 0). معادله تبعیض آمیز

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

6. معادله بسته به پارامتر چند ریشه دارد آ?

1)| | x | - 3 | = آ;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = آ;
3)| x 2 - 4 | x | + 3 | = آ;
4)| x 2 - 6 | x | + 5 | = آ.

1) اگر آ<0, то корней нет; если آ=0, آ> 3، سپس دو ریشه. اگر آ= 3 ، سپس سه ریشه ؛ اگر 0<آ<3, то четыре корня;
2) اگر آ<1, то корней нет; если آ=1، سپس یک مجموعه نامتناهی از راه حل ها از بازه [– 2; - 1]؛ اگر آ> 1، سپس دو راه حل وجود دارد.
3) اگر آ<0, то корней нет; если آ=0, آ<3, то четыре корня; если 0<آ<1, то восемь корней; если آ= 1، سپس شش ریشه. اگر آ=3، سپس سه راه حل وجود دارد. اگر آ> 3، سپس دو راه حل وجود دارد.
4) اگر آ<0, то корней нет; если آ=0, 4<آ<5, то четыре корня; если 0<آ< 4, то восемь корней; если آ= 4، سپس شش ریشه. اگر آ= 5، سپس سه ریشه. اگر آ> 5، سپس دو ریشه وجود دارد.

7. معادله چند ریشه دارد | x + 1 | = آ(x - 1) بسته به پارامتر آ?

توجه داشته باشید. از آنجایی که x = 1 ریشه معادله نیست، این معادله را می توان به شکل کاهش داد .

پاسخ: اگر آ J-1، آ > 1, آ=0، سپس یک ریشه. اگر - 1<آ<0, то два корня; если 0<آЈ 1، پس هیچ ریشه ای وجود ندارد.

8. معادله x + 1 = چند ریشه دارد آ| x – 1 |بسته به پارامتر آ?

یک نمودار بکشید (شکل را ببینید).

پاسخ: اگر آЈ –1، پس هیچ ریشه ای وجود ندارد. اگر - 1<آЈ 1، سپس یک ریشه. اگر آ> 1، سپس دو ریشه وجود دارد.

9. معادله چند ریشه دارد؟

2| x | - 1 = a (x - 1)

بسته به پارامتر آ?

توجه داشته باشید. معادله را کاهش دهید تا تشکیل شود

پاسخ: اگر آ J-2، آ>2, آ=1، سپس یک ریشه. اگر -2<آ<1, то два корня; если 1<آЈ 2، پس هیچ ریشه ای وجود ندارد.

10. معادله چند ریشه دارد؟

بسته به پارامتر آ?

پاسخ: اگر آЈ 0, آ i 2، سپس یک ریشه. اگر 0<آ<2, то два корня.

11. در چه مقادیری از پارامتر آمعادله

x 2 + آ| x – 2 | = 0

سه راه حل دارد؟

توجه داشته باشید. معادله را به شکل x 2 = – کاهش دهید آ| x – 2 |.

پاسخ : چه زمانی آ J -8.

12. در چه مقادیری از پارامتر آمعادله

آ x 2 + | x + 1 | = 0

سه راه حل دارد؟

توجه داشته باشید. از مسئله 5 استفاده کنید. این معادله تنها در صورتی سه راه حل دارد که معادله باشد آ x 2 + x + 1 = 0 یک راه حل دارد، و مورد آ= 0 شرایط مسئله را برآورده نمی کند، یعنی مورد زمانی باقی می ماند که

13. معادله چند ریشه دارد؟

x | x – 2 | = 1 - آ

بسته به پارامتر آ?

توجه داشته باشید. معادله را به شکل –x |x – 2| کاهش دهید + 1 = آ

بسته به پارامتر آ?

توجه داشته باشید. نمودارهای سمت چپ و راست این معادله را بسازید.

پاسخ: اگر آ<0, آ>2، سپس دو ریشه وجود دارد. اگر 0 Ј آЈ 2، سپس یک ریشه.

16- معادله چند ریشه دارد؟

بسته به پارامتر آ?

توجه داشته باشید. نمودارهای سمت چپ و راست این معادله را بسازید. برای رسم نمودار یک تابع بیایید فواصل علامت ثابت عبارات x + 2 و x را پیدا کنیم:

پاسخ: اگر آ>– 1، سپس یک راه حل؛ اگر آ= – 1، سپس دو راه حل وجود دارد. اگر - 3<آ<–1, то четыре решения; если آЈ –3، سپس سه راه حل وجود دارد.

§ 8. کاربرد نظریه احتمال در آمار.

2. تعیین پارامترهای توزیع ناشناخته.

با استفاده از هیستوگرام ، تقریباً می توانیم چگالی توزیع یک متغیر تصادفی را ترسیم کنیم. ظاهر این نمودار اغلب به ما امکان می دهد در مورد توزیع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی فرض کنیم. بیان این چگالی توزیع معمولاً شامل پارامترهایی است که باید از داده های تجربی تعیین شوند.
اجازه دهید وقتی چگالی توزیع به دو پارامتر بستگی دارد ، در مورد مورد خاص قرار بگیریم.
بنابراین اجازه دهید x 1، x 2، ...، x n- مقادیر مشاهده شده از یک متغیر تصادفی مداوم ، و اجازه دهید چگالی توزیع احتمال آن به دو پارامتر ناشناخته بستگی داشته باشد آو ب، یعنی به نظر می رسد . یکی از روشهای یافتن پارامترهای ناشناخته آو بشامل این واقعیت است که آنها به گونه ای انتخاب می شوند که انتظارات ریاضی و واریانس توزیع نظری با میانگین و واریانس نمونه منطبق باشد:

(66)

جایی که

(67)

از دو معادله به دست آمده () پارامترهای ناشناخته یافت می شود آو ب. بنابراین ، به عنوان مثال ، اگر یک متغیر تصادفی از قانون توزیع احتمال عادی پیروی کند ، چگالی توزیع احتمال آن

به دو پارامتر بستگی دارد آو . این پارامترها ، همانطور که می دانیم ، به ترتیب انتظار ریاضی و انحراف استاندارد از یک متغیر تصادفی هستند. بنابراین برابری () مانند این نوشته خواهد شد:

(68)

بنابراین ، چگالی توزیع احتمال فرم دارد

یادداشت 1.ما قبلا این مشکل را در . نتیجه اندازه گیری یک متغیر تصادفی است که از قانون توزیع عادی با پارامترها پیروی می کند آو . برای مقدار تقریبی آما مقدار را انتخاب کردیم و برای مقدار تقریبی - مقدار.

تبصره 2.با تعداد زیادی آزمایش ، یافتن مقادیر و استفاده از فرمولها () با محاسبات دست و پا گیر همراه است. بنابراین ، آنها این کار را انجام می دهند: هر یک از مقادیر مشاهده شده کمیت ، در حال سقوط است منفاصله بین ] X i-1 , X i [سری آماری ، تقریباً برابر با وسط در نظر گرفته می شود ج مناین فاصله، یعنی c i =(X i-1 +X i)/2. فاصله اول را در نظر بگیرید ] X 0 , X 1 [. به او برخورد کرد متر 1مقادیر مشاهده شده از متغیر تصادفی که هر کدام را با یک عدد جایگزین می کنیم از 1. بنابراین ، مجموع این مقادیر تقریباً برابر است m 1 s 1. به طور مشابه، مجموع مقادیری که در بازه دوم قرار می گیرند تقریباً برابر است متر 2 با 2و غیره. از همین رو

به روشی مشابه برابری تقریبی را بدست می آوریم

بنابراین، بیایید آن را نشان دهیم

(71)

واقعا،

معادلات با پارامترها به حق یکی از دشوارترین مسائل در ریاضیات مدرسه در نظر گرفته می شود. دقیقاً همین وظایف است که سال به سال در لیست وظایف نوع B و C در آزمون دولتی یکپارچه آزمون یکپارچه دولتی قرار می گیرند. با این حال، در میان تعداد زیاد معادلات دارای پارامتر، مواردی وجود دارد که به راحتی می توان آنها را به صورت گرافیکی حل کرد. بیایید این روش را با استفاده از مثال حل چندین مسئله در نظر بگیریم.

مجموع مقادیر صحیح عدد a را بیابید که معادله |x 2 – 2x – 3| = a چهار ریشه دارد.

راه حل.

برای پاسخ به سوال، بیایید نمودارهایی از توابع را در یک صفحه مختصات بسازیم

y = |x 2 – 2x – 3| و y = a.

نمودار اولین تابع y = |x 2 – 2x – 3| از نمودار سهمی y = x 2 – 2x – 3 با نمایش متقارن آن قسمت از نمودار که زیر محور Ox است نسبت به محور x به دست می آید. بخشی از نمودار واقع در بالای محور x بدون تغییر باقی می ماند.

بیایید این کار را مرحله به مرحله انجام دهیم. نمودار تابع y = x 2 – 2x – 3 سهمی است که شاخه های آن به سمت بالا هدایت می شوند. برای ساخت نمودار آن، مختصات راس را پیدا می کنیم. این را می توان با استفاده از فرمول x 0 = -b/2a انجام داد. بنابراین، x 0 = 2/2 = 1. برای یافتن مختصات راس سهمی در امتداد محور ارتین، مقدار حاصل را به جای x 0 در معادله تابع مورد نظر قرار می دهیم. دریافت می کنیم که y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. این بدان معنی است که راس سهمی دارای مختصات (1; -4) است.

در مرحله بعد، باید نقاط تقاطع شاخه های سهمی را با محورهای مختصات پیدا کنید. در نقاط تقاطع شاخه های سهمی با محور آبسیسا مقدار تابع صفر است. بنابراین معادله درجه دوم x 2 – 2x – 3 = 0 را حل می کنیم. ریشه های آن نقاط مورد نیاز خواهد بود. بر اساس قضیه ویتا، x 1 = -1، x 2 = 3 داریم.

در نقاط تقاطع شاخه های سهمی با محور ارتین، مقدار آرگومان صفر است. بنابراین، نقطه y = -3 نقطه تقاطع شاخه های سهمی با محور y است. نمودار حاصل در شکل 1 نشان داده شده است.

برای به دست آوردن نموداری از تابع y = |x 2 – 2x – 3|، اجازه دهید بخشی از نمودار را که در زیر محور x قرار دارد به طور متقارن نسبت به محور x نمایش دهیم. نمودار حاصل در شکل 2 نشان داده شده است.

نمودار تابع y = a یک خط مستقیم موازی با محور آبسیسا است. در شکل 3 نشان داده شده است. با استفاده از شکل، در می یابیم که نمودارها دارای چهار نقطه مشترک هستند (و معادله دارای چهار ریشه است) اگر a متعلق به بازه (0؛ 4) باشد.

مقادیر صحیح عدد a از بازه به دست آمده: 1; 2 3. برای پاسخ به سؤال، مجموع این اعداد را پیدا می کنیم: 1 + 2 + 3 = 6.

پاسخ: 6.

میانگین حسابی مقادیر صحیح عدد a را که معادله |x 2 – 4|x| – 1| = a دارای شش ریشه است.

بیایید با رسم تابع y = |x 2 – 4|x| شروع کنیم – 1|. برای این کار از تساوی a 2 = |a| استفاده می کنیم 2 و مربع کامل را در عبارت زیر مدولار نوشته شده در سمت راست تابع انتخاب کنید:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4 | x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

سپس تابع اصلی به شکل y = |(|x| – 2) 2 – 5| خواهد بود.

برای ساختن نموداری از این تابع، نمودارهای متوالی توابع را می سازیم:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – سهمی با راس در نقطه با مختصات (2; -5); (عکس. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – بخشی از سهمی ساخته شده در مرحله 1، که در سمت راست محور ارتین قرار دارد، به طور متقارن در سمت چپ محور Oy نمایش داده می شود. (شکل 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - بخشی از نمودار ساخته شده در نقطه 2 که در زیر محور x قرار دارد، به طور متقارن نسبت به محور x به سمت بالا نمایش داده می شود. (شکل 3).

بیایید به نقشه های حاصل نگاه کنیم:

نمودار تابع y = a یک خط مستقیم موازی با محور آبسیسا است.

با استفاده از شکل، نتیجه می گیریم که نمودار توابع دارای شش نقطه مشترک هستند (معادله شش ریشه دارد) اگر a متعلق به بازه (1؛ 5) باشد.

این را می توان در شکل زیر مشاهده کرد:

بیایید میانگین حسابی مقادیر صحیح پارامتر a را پیدا کنیم:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

پاسخ: 3.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

به منظور آشکار ساختن کامل قابلیت های این روش، انواع اصلی مشکلات را در نظر خواهیم گرفت.

نمونه کارها برای آزمایش دانش و مهارت هنگام حل مسائل با پارامترها با استفاده از روش گرافیکی (هواپیما مختصات)

تمرین 1.

با چه ارزش هاییآآیا معادله = دو ریشه دارد؟

راه حل.

بیایید به یک سیستم معادل برویم:

این سیستم در صفحه مختصات (;) یک منحنی را تعریف می کند. واضح است که تمام نقاط این کمان سهموی (و فقط آنها) دارای مختصاتی هستند که معادله اصلی را برآورده می کند. بنابراین، تعداد راه حل های معادله برای هر مقدار ثابت پارامتر, برابر تعداد نقاط تقاطع منحنی با خط افقی مربوط به این مقدار پارامتر است.

بدیهی است که وقتی خطوط نشان داده شده نمودار را در دو نقطه قطع می کنند که معادل معادله اصلی دارای دو ریشه است.

پاسخ:در

وظیفه 2.

تمام مقادیر a را که سیستم برای آنهاست پیدا کنید راه حل منحصر به فردی دارد

راه حل.

بیایید سیستم اصلی را به این شکل بازنویسی کنیم:

تمام محلول های این سیستم (جفت فرم) با هچ کردن ناحیه نشان داده شده در شکل را تشکیل می دهند. نیاز برای یک راه حل منحصر به فرد برای یک سیستم داده شده به زبان گرافیکی به شرح زیر ترجمه می شود: خطوط افقی باید تنها یک نقطه مشترک با ناحیه حاصل داشته باشند. دیدن آن فقط مستقیم آسان استو نیاز بیان شده را برآورده کنید.

پاسخ:یا.

دو وظیفه ای که اخیراً مورد بحث قرار گرفت به ما امکان می دهد در مقایسه با مواردی که قبلاً ارائه شد، توصیه های خاص تری ارائه دهیم:

سعی کنید پارامتر را از طریق یک متغیر بیان کنید، یعنی برابری های فرم را بدست آورید، سپس

یک نمودار از یک عملکرد را در هواپیما بکشید.

وظیفه 3.

با چه ارزش هاییآ آیا معادله دقیقاً سه ریشه دارد؟

راه حل.

ما داریم

نمودار این مجموعه، اتحاد یک "گوشه" و یک سهمی است. بدیهی است که فقط یک خط مستقیم اتحادیه حاصل را در سه نقطه قطع می کند.

پاسخ: .

اظهار نظر: پارامتر معمولا در نظر گرفته می شود به عنوان یک عدد ثابت اما ناشناخته در همین حال، از نقطه نظر رسمی، یک پارامتر یک متغیر و «برابر» با سایرین موجود در مسئله است. با این نمای پارامتر فرم، توابع نه با یک، بلکه با دو متغیر تعریف می شوند.

وظیفه 4.

تمام مقادیر پارامتر را پیدا کنید, که معادله یک راه حل دارد.

راه حل.

کسری برابر با صفر است اگر و تنها در صورتی که صورت کسری صفر و مخرج آن غیر صفر باشد.

پیدا کردن ریشه های سه جمله ای درجه دوم:

با استفاده از سیستم به دست آمده، ساختن نموداری از معادله اصلی آسان است. وجود "پنچرها" در این نمودار است که به معادله اجازه می دهد تا یک راه حل منحصر به فرد در زمان و = داشته باشد. این عامل تعیین کننده در تصمیم گیری است.

پاسخ: و.

وظیفه 5.

در چه مقادیر پارامتری،آ معادله یک راه حل منحصر به فرد دارد.

راه حل.

اجازه دهید یک سیستم معادل معادله اصلی بنویسیم

از اینجا می گیریم

بیایید یک نمودار بسازیم و خطوط مستقیم عمود بر محورها رسم کنیمآ .

دو نابرابری اول سیستم مجموعه ای از نقاط را تعریف می کند که با سایه نشان داده می شود و این مجموعه شامل هذلول و هذلولی نمی شود.

سپس قطعه و پرتو، قطعه و پرتو به ترتیب روی خطوط و ، نمودار معادله اصلی هستند. یک راه حل این خواهد بود که 2< < или < или = .

پاسخ : 2 < < или < или = .

وظیفه 6.

تمام مقادیر پارامتر را پیدا کنیدآ ، که برای آن معادله

دقیقا دو راه حل متفاوت داره

راه حل.

مجموعه ای از دو سیستم را در نظر بگیرید

اگر , که

اگر < , که

از اینجا

یا

سهمی ها و خط مستقیم دو نقطه مشترک دارند:آ (-2; - 2), که در(-1؛ -1)، و، که در - راس سهمی اول،D - بالای دوم. بنابراین نمودار معادله اصلی در شکل نشان داده شده است.

باید دقیقا دو راه حل متفاوت وجود داشته باشد. این کار با یا انجام می شود.

پاسخ:یا.

وظیفه 7.

مجموعه تمام اعدادی که برای هر کدام از آنها معادله است را بیابید

تنها دو ریشه متفاوت دارد

راه حل.

اجازه دهید این معادله را به شکل بازنویسی کنیم

ریشه های معادله، به شرطی که.

بیایید یک نمودار از این معادله بسازیم. در این مورد، ساختن یک نمودار با اختصاص یک متغیر به محور ارتین راحت است. در اینجا ما پاسخ را با استفاده از خطوط مستقیم عمودی "خوانده" می کنیم، متوجه می شویم که این معادله فقط دو ریشه متفاوت در = -1 یا یا دارد.

خطوط نقطه چین نشان دهنده آن است.

پاسخ:در = -1 یا یا.

وظیفه 8.

که مجموعه راه حل های نابرابری شامل یک بازه است.

راه حل.

اجازه دهید مجموعه ای از دو سیستم معادل معادله اصلی را بنویسیم:

یا

از آنجایی که در حل سیستم اول هیچکدامآ بخش را نمی توان گنجاند، سپس مطالعات لازم را برای سیستم دوم انجام خواهیم داد.

ما داریم

بیایید نشان دهیم . سپس نابرابری دوم سیستم شکل می گیرد< - و در صفحه مختصات مجموعه نشان داده شده در شکل را تعریف می کند.

با استفاده از شکل، مشخص می کنیم که وقتی مجموعه به دست آمده شامل تمام نقاطی است که در آن ابسیساها از تمام مقادیر بازه عبور می کنند.

سپس، از اینجا.

پاسخ : .

وظیفه 9.

تمام اعداد غیر منفی را که یک عدد منحصر به فرد وجود دارد که سیستم را برآورده می کند، پیدا کنید

راه حل.

ما داریم

اولین معادله در صفحه مختصات خانواده ای از خطوط عمودی را مشخص می کند. خطوط مستقیم داشته باشید و هواپیماها را به چهار ناحیه تقسیم کنید. برخی از آنها راه حل هایی برای سیستم نابرابری هستند. با گرفتن یک امتیاز تست از هر منطقه می توان دقیقا کدام یک را تعیین کرد. ناحیه ای که نقطه آن نابرابری را برآورده می کند راه حل آن است (این تکنیک در هنگام حل نابرابری ها با یک متغیر با روش فواصل مرتبط است). ساخت خطوط مستقیم

به عنوان مثال، یک نقطه را می گیریم و آن را با مختصات نقاطی که نابرابری را برآورده می کنند، جایگزین می کنیم.

ما دو منطقه می گیریم (من) و ( II، اما با توجه به این که طبق شرط، فقط منطقه (من). ایجاد خطوط مستقیم , ک .

بنابراین، سیستم اصلی با تمام نقاط (و فقط آنها) که روی پرتوها قرار دارند و در نقاشی با خطوط پررنگ برجسته شده اند (یعنی ما نقاطی را در یک منطقه مشخص می سازیم) ارضا می شود.

اکنون باید در صورت رفع مشکل، مورد منحصر به فرد را پیدا کنیم. ما خطوط موازی را می سازیم که محور را قطع می کنند. و جایی که یک نقطه تقاطع با خط وجود خواهد داشت را پیدا کنید.

از شکل در می یابیم که شرط منحصر به فرد بودن راه حل حاصل می شود اگر (برای قبلاً 2 امتیاز)،

ترتیب نقطه تلاقی خطوط کجاست و

محل تقاطع خطوط کجاست و.

پس می گیریم< .

پاسخ: < .

وظیفه 10.

سیستم در چه مقادیری از پارامتر راه حل دارد؟

راه حل.

اجازه دهید سمت چپ نابرابری سیستم را فاکتور بگیریم

ما خطوط مستقیم می سازیم و ... ما در شکل با سایه زدن مجموعه نقاط صفحه ای که نابرابری سیستم را برآورده می کند نشان می دهیم.

ما یک hyperbola می سازیم =.

سپس ابسیساهای کمان های انتخابی هذلولی راه حل های سیستم اصلی هستند.م , پ , ن , س - نکات گره ای. بیایید آبسیس آنها را پیدا کنیم.

برای امتیاز پ , س ما داریم

باقی مانده است که پاسخ را یادداشت کنیم: یا.

پاسخ:یا.

وظیفه 11.

تمام مقادیری را بیابید که هر راه حلی برای نابرابری در مدول آنها از دو () تجاوز نمی کند.

راه حل .

اجازه دهید این نابرابری را به این شکل بازنویسی کنیم. بیایید نمودارهایی از معادلات و = بسازیم.

با استفاده از "روش فواصل" مشخص می کنیم که راه حل نابرابری اصلی مناطق سایه دار خواهد بود.

حالا بیایید منطقه را بسازیم و ببینید کدام قسمت از آن به ناحیه سایه افتاده می افتد.

آن ها اکنون، اگر برای مقداری ثابت، خط مستقیم در تقاطع با ناحیه حاصل، تنها نقاطی را به دست می‌دهد که آبسیساهای آنها شرط را برآورده می‌کند. < 2, سپس یکی از مقادیر پارامتر مورد نظر است.

بنابراین ما آن را می بینیم.

پاسخ: .

وظیفه 12.

برای چه مقادیری از پارامتر مجموعه راه حل های نابرابری بیش از چهار مقدار صحیح را شامل نمی شود؟

راه حل.

بگذارید این نابرابری را به شکل تبدیل کنیم. این نابرابری معادل ترکیب دو سیستم است

یا

با استفاده از این مجموعه راه حل نابرابری اصلی را به تصویر می کشیم.

بیایید خطوط مستقیم را در کجا ترسیم کنیم. سپس مقداری که خط برای آن خطوط را در بیش از چهار نقطه از مجموعه علامت‌گذاری شده قطع می‌کند، مقدار مورد نظر خواهد بود. بنابراین می بینیم که یا یا.

پاسخ:یا یا

وظیفه 13.

در چه مقادیر پارامتریآ دارای سیستم راه حل

راه حل.

ریشه های یک ترینوم درجه دوم و.

سپس

ما خطوط مستقیم می سازیم و ...

با استفاده از روش "فاصله ها" راه حلی برای نابرابری سیستم (منطقه سایه دار) پیدا می کنیم.

آن قسمت از دایره با مرکز در مبدا و شعاع 2 که در ناحیه سایه قرار می گیرد راه حل این سیستم خواهد بود. .

ما مقادیر را از سیستم می یابیم

معنی و از سیستم است.

پاسخ:

وظیفه 14.

بسته به مقادیر پارامترآ حل نابرابری > .

راه حل.

اجازه دهید این نابرابری را در فرم بازنویسی کنیم و تابع را در نظر بگیریم, که با گسترش ماژول ها به صورت زیر می نویسیم:

ما در حال ایجاد یک برنامه زمانبندی هستیم. نمودار صفحه مختصات را به دو ناحیه تقسیم می کند. با گرفتن t (0;0) و جایگزینی و جایگزینی به نابرابری اصلی، 0 > 1 را به دست می آوریم، و بنابراین نابرابری اصلی در ناحیه نمودار واقع در بالا برآورده می شود.

مستقیماً از شکل به دست می آوریم:

هیچ راه حلی وجود ندارد؛

در ;

در

پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد؛

در ;

در

وظیفه 15.

تمام مقادیر پارامتری که برای آن سیستم نابرابری ها وجود دارد را بیابید

فقط به یکی راضی است

راه حل.

بیایید این سیستم را به این شکل بازنویسی کنیم:

اجازه دهید منطقه تعریف شده توسط این سیستم را بسازیم.

1) ، راس سهمی است.

2) - خط مستقیمی که از نقاط و.

شرط منحصر به فرد بودن راه حل به صورت زیر به زبان گرافیکی ترجمه می شود: خطوط افقی با ناحیه حاصل باید فقط یک نقطه مشترک داشته باشند. شرط بیان شده توسط خطوط مستقیم برآورده می شود و محل تقاطع سهمی و خط مستقیم کجاست.

بیایید مقدار را پیدا کنیم:

= (برای هدف مسئله مناسب نیست)،

پیدا کردن ترتیب:

پاسخ: ،

وظیفه 16.

تمام مقادیر پارامتر را پیدا کنیدآ، که تحت آن سیستم نابرابری ها

فقط برای یک x ارضا می کند.

راه حل .

بیایید سهمی ها بسازیم و با سایه زدن جواب آخرین سیستم را نشان دهیم.

1) , .

2) , .

شکل نشان می دهد که شرط مشکل زمانی که یا.

پاسخ:یا.

وظیفه 17.

معادله دقیقاً برای چه مقادیری سه ریشه دارد؟

راه حل.

این معادله معادل مجموعه است

نمودار جمعیت ترکیبی از نمودارهای سهمی و زاویه است.

خطوط، اتحاد حاصل را در سه نقطه قطع می کنند.

پاسخ:در

وظیفه 18.

معادله دقیقاً برای چه مقادیری سه راه حل دارد؟

راه حل.

بیایید سمت چپ این معادله را تبدیل کنیم. یک معادله درجه دوم نسبت به بدست می آوریم.

معادله را می گیریم

که معادل کل است

اتحاد نمودارهای سهمی راه حل جمعیت است.

نقاط متقاطع سهمی ها را پیدا کنید:

اطلاعات لازم را از شکل می خوانیم: این معادله سه راه حل در یا دارد

پاسخ:در یا

وظیفه 19.

بسته به پارامتر، تعداد ریشه های معادله را تعیین کنید

راه حل .

این معادله را نسبت به a درجه دوم در نظر بگیرید.

,

.

کلیت را می گیریم

ما نمودارهایی از معادلات جمعیت می سازیم و به سوال مطرح شده در مسئله پاسخ می دهیم.

پاسخ:: بدون راه حل

: یک راه حل;

: دو راه حل;

یا: سه راه حل;

یا: چهار راه حل

وظیفه 20.

سیستم چند راه حل دارد؟

راه حل.

واضح است که تعداد ریشه های معادله دوم سیستم با تعداد جواب های خود سیستم برابر است.

ما داریم، .

با در نظر گرفتن این معادله به عنوان یک معادله درجه دوم، مجموعه را به دست می آوریم.

اکنون دسترسی به صفحه مختصات کار را ساده می کند. مختصات نقاط تقاطع را با حل معادله پیدا می کنیم

از اینجا

رئوس سهمی ها و.

جواب:: چهار راه حل;

: دو راه حل;

: یک راه حل;

: بدون راه حل

وظیفه 21.

تمام مقادیر واقعی پارامتری را که معادله آن تنها دو ریشه مجزا دارد، بیابید. این ریشه ها را بنویسید.

راه حل .

بیایید ریشه های مثلث درجه دوم داخل پرانتز را پیدا کنیم:

اجازه دهید مجموعه راه حل های این معادله را با ساختن نمودارهایی در صفحه مختصات به تصویر بکشیم در شرایطی که

ما اطلاعات لازم را از تصویر می خوانیم. بنابراین ، این معادله دارای دو ریشه متفاوت در (و) و در (و) است

پاسخ: در (و) و

در (و).

وظیفه 2 2 .

حل سیستم نابرابری ها:

راه حل.

ما نمودارهایی از پارابول ها و خطوط مستقیم را در هواپیما می سازیم.

تمام نقاط موجود در منطقه سایه دار راه حلی برای سیستم است. بگذارید منطقه ساخته شده را به دو قسمت تقسیم کنیم.

اگر چنین است، پس هیچ راه حلی وجود ندارد.

اگر، پس آبسیسا نقاط ناحیه سایه دار بزرگتر از آبسیسا نقاط خط مستقیم خواهد بود، اما از آبسیسا (ریشه بزرگتر معادله) سهمی کوچکتر خواهد بود.

بیایید آن را از طریق معادله خط مستقیم بیان کنیم:

بیایید ریشه های معادله را پیدا کنیم:

سپس.

اگر چنین است، پس.

پاسخ: برای و 1 هیچ راه حلی وجود ندارد.

در

در

وظیفه 23.

سیستم نابرابری ها را حل کنید

راه حل.

– بالای سهمی

بالای سهمی.

آبسیسا از نقاط تقاطع پارابولا را پیدا کنید:

ناحیه سایه دار راه حل سیستم است. بیایید آن را به دو قسمت تقسیم کنیم.

در معادلات سهمی ها آنها را به صورت زیر بیان می کنیم:

بیایید آن را بنویسیم پاسخ:

اگر و، پس هیچ راه حلی وجود ندارد.

اگر پس از آن< ;

اگر پس از آن.

وظیفه 24.

در چه مقادیر و معادله راه حلی ندارد؟

راه حل.

معادله معادل سیستم است

بیایید بسیاری از راه حل های سیستم را بسازیم.

سه قطعه سهمی راه حل این معادله است.

بیایید کدام را پیدا کنیم و آن را حذف کنیم.

بنابراین، زیرا هیچ راه حلی وجود ندارد.

وقتی هیچ راه حلی وجود ندارد؛

(توجه: برای بقیهآیک یا دو راه حل وجود دارد).

پاسخ: ; .

وظیفه 25.

برای چه مقادیر واقعی پارامتر حداقل یکی وجود دارد که شرایط را برآورده کند:

راه حل.

اجازه دهید نابرابری را به صورت گرافیکی با استفاده از "روش فاصله" حل کنیم و یک نمودار بسازیم. بیایید ببینیم کدام قسمت از نمودار در ناحیه ساخته شده برای حل نابرابری قرار می گیرد و مقادیر مربوطه را پیدا می کنیم.آ.

ما نمودارهایی از خطوط مستقیم می سازیم و

آنها هواپیمای مختصات را به 4 منطقه تقسیم می کنند.

آخرین نابرابری را به صورت گرافیکی با استفاده از روش بازه حل می کنیم.

محل سایه دار راه حل آن است. بخشی از نمودار سهمی در این ناحیه قرار می گیرد. در بازه ؛ (با شرایط، نابرابری سیستم سخت است) وجود دارند که شرایط سیستم داده شده را برآورده می کنند.

پاسخ:

کار 26.

تمام مقادیر پارامتری را بیابید که برای هر کدام از آنها مجموعه راه حل های نابرابری شامل یک راه حل منفرد برای نابرابری نیست.

راه حل.

اجازه دهید مجموعه ای از راه حل ها را برای نابرابری بسازیم ("با استفاده از روش فاصله"). سپس یک "نوار" از مقادیر پارامترهای مورد نیاز می سازیمq مواردی که هیچ یک از نقاط مناطق مشخص شده به "نوار" تعلق ندارد.

پاسخ:یا.

وظیفه 27.

معادله برای چه مقادیری از پارامتر راه حل منحصر به فردی دارد؟

راه حل.

بیایید صورت کسر را فاکتور بگیریم.

این معادله معادل سیستم:

بیایید یک نمودار از جمعیت در صفحه مختصات بسازیم.

یا

– نقطه تلاقی خطوط و. نمودار جمعیت ترکیبی از خطوط مستقیم است.

نقاط نمودار را با ابسیسا "با سوراخ کنید".

خطوط مستقیم می کشیم و می بینیم که یک نقطه تقاطع با نمودار وجود دارد.

بدیهی است که فقط برای یا این معادله راه حل منحصر به فردی دارد.

پاسخ:یا.

وظیفه 28.

سیستم نابرابری ها برای کدام مقادیر واقعی پارامتر هیچ راه حلی ندارد؟

راه حل.

مجموعه نقاط صفحه ناحیه سایه دار این سیستم از نابرابری ها را برآورده می کند.

ما خطوط مستقیم می سازیم. از شکل مشخص می کنیم که وقتی (آبسیسا نقطه تقاطع هذلولی و خط مستقیم است)، خطوط مستقیم ناحیه سایه دار را قطع نمی کنند.

پاسخ:در

وظیفه 29.

در چه مقادیر پارامتریآ این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

راه حل.

بیایید به سیستمی معادل این سیستم برویم.

در صفحه مختصات، نمودارهای سهمی و رئوس سهمی ها را به ترتیب، نقاط و می سازیم.

بیایید با حل معادله ابسیساهای نقاط تقاطع سهمی ها را محاسبه کنیم.

ناحیه سایه دار راه حل سیستم نابرابری ها است. مستقیم و

یک نقطه مشترک با ناحیه سایه دار دارد.

پاسخ:در من

وظیفه 30.

حل نابرابری:

راه حل.

بسته به پارامتر، مقدار را پیدا می کنیم.

ما نابرابری را با استفاده از "روش فاصله" حل خواهیم کرد.

بیایید سهمی بسازیم

: .

بیایید مختصات نقطه تقاطع سهمی ها را محاسبه کنیم:

نقاط در ناحیه سایه‌دار این نابرابری را برآورده می‌کنند. با کشیدن یک خط مستقیم، این ناحیه را به سه قسمت تقسیم می کنیم.

1) اگر، پس هیچ راه حلی وجود ندارد.

2) اگر، پس در معادله آن را از طریق بیان می کنیم:

بنابراین، در منطقهمن ما داریم.

اگر چنین است، پس نگاه کنید:

یک منطقه II .

بیایید آن را در معادله از طریق بیان کنیم.

ریشه کوچکتر

ریشه بزرگتر

بنابراین، در منطقه II ما داریم.

ب) منطقه III : .

پاسخ: وقتی هیچ راه حلی وجود ندارد؛

در

در، .

ادبیات:

Galitsky M. L.، Goldman A. M.، Zvavich L. I. مجموعه ای از مسائل جبر برای کلاس های 8 تا 9: کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس های با مطالعه پیشرفته ریاضیات - ویرایش 2. - م.: آموزش و پرورش، 1994.

پی. آی. گورنشتاین، وی. بی. پولونسکی، ام. اس. یاکر. مشکل در پارامترها ویرایش سوم، توسعه یافته و اصلاح شده است. - M.: Ilexa، خارکف: Gymnasium، 2003.

Faddeev D.K. جبر 6 - 8. - M.: آموزش و پرورش، 1983 (ب - کا معلم ریاضیات).

A.H Shakhmeister. معادلات و نامساوی با پارامترها. ویرایش شده توسط B. G. Ziv. اس – پترزبورگ مسکو. 2004.

V. V. Amelkin، V. L. Rabtsevich. مشکلات با پارامترهای Minsk "Asar"، 2002.

A.H Shakhmeister. مشکلات پارامترها در آزمون یکپارچه دولتی. انتشارات دانشگاه مسکو، CheRo در Neva MTsNMO.