خطوط موازی را ثابت کنید. خط مستقیم. خطوط موازی. مفاهیم اساسی

نشانه های موازی دو خط

قضیه 1. اگر در محل تلاقی دو خط یک سکانس:

زوایای مورب مساوی هستند یا

زوایای مربوطه مساوی هستند یا

پس مجموع زوایای یک طرفه 180 درجه است

خطوط موازی هستند(عکس. 1).

اثبات ما خود را به اثبات مورد 1 محدود می کنیم.

فرض کنید که در محل تقاطع خطوط a و b توسط یک AB متقاطع، زوایای قرار گرفته برابر هستند. به عنوان مثال، ∠ 4 = ∠ 6. اجازه دهید ثابت کنیم که a || ب

فرض کنید خطوط a و b موازی نباشند. سپس در نقطه ای M قطع می شوند و در نتیجه یکی از زوایای 4 یا 6 زاویه خارجی مثلث ABM خواهد بود. اجازه دهید، برای قطعیت، ∠ 4 گوشه بیرونی مثلث ABM، و ∠ 6 گوشه داخلی باشد. از قضیه زاویه خارجی یک مثلث نتیجه می شود که ∠ 4 بزرگتر از ∠ 6 است و این با شرط در تضاد است، به این معنی که خطوط a و 6 نمی توانند قطع شوند، بنابراین موازی هستند.

نتیجه 1. دو خط متمایز در یک صفحه عمود بر یک خط موازی هستند(شکل 2).

اظهار نظر. روشی که مورد 1 قضیه 1 را اثبات کردیم، روش اثبات با تناقض یا تقلیل به پوچی نامیده می شود. این روش به این دلیل نام خود را به خود اختصاص داد که در ابتدای استدلال، فرضی مخالف (مخالف) آن چیزی است که باید اثبات شود. به این دلیل که با استدلال بر اساس فرض انجام شده به نتیجه ای پوچ می رسیم به پوچی می گویند. دریافت چنین نتیجه ای ما را وادار می کند که فرضی را که در ابتدا مطرح شد رد کنیم و فرضی را که لازمه اثبات بود بپذیریم.

وظیفه 1.خطی بسازید که از یک نقطه M معین و موازی با یک خط معین a است و از نقطه M نمی گذرد.

راه حل. یک خط p را از نقطه M عمود بر خط a رسم می کنیم (شکل 3).

سپس یک خط b را از نقطه M عمود بر خط p رسم می کنیم. خط b مطابق با نتیجه قضیه 1 موازی با خط a است.

یک نتیجه گیری مهم از مسئله مورد نظر حاصل می شود:
از طریق نقطه ای که روی یک خط معین نیست، همیشه می توان خطی موازی با خط داده شده رسم کرد..

ویژگی اصلی خطوط موازی به شرح زیر است.

بدیهیات خطوط موازی. از طریق یک نقطه معین که روی یک خط معین نیست، فقط یک خط موازی با خط داده شده وجود دارد.

برخی از خصوصیات خطوط موازی را که از این اصل بدیهی آمده است در نظر بگیرید.

1) اگر خطی یکی از دو خط موازی را قطع کند، آنگاه خط دیگر را قطع می کند (شکل 4).

2) اگر دو خط مختلف با خط سوم موازی باشند، پس موازی هستند (شکل 5).

قضیه زیر نیز درست است.

قضیه 2. اگر دو خط موازی با یک سکانت قطع شوند، آنگاه:

زوایای دروغگویی برابر است.

زوایای مربوطه برابر هستند.

مجموع زوایای یک طرفه 180 درجه است.

نتیجه 2. اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، بر دیگری نیز عمود است.(شکل 2 را ببینید).

اظهار نظر. قضیه 2 معکوس قضیه 1 نامیده می شود. نتیجه گیری قضیه 1 شرط قضیه 2 است. و شرط قضیه 1 نتیجه قضیه 2 است. هر قضیه ای معکوس ندارد، یعنی اگر یک قضیه داده شده درست باشد، در این صورت ممکن است قضیه معکوس نادرست باشد.

اجازه دهید این را با مثال قضیه زوایای عمودی توضیح دهیم. این قضیه را می توان به صورت زیر فرموله کرد: اگر دو زاویه عمودی باشند، آنگاه با هم برابرند. قضیه معکوس این خواهد بود: اگر دو زاویه مساوی باشند، آنگاه آنها عمودی هستند. و این البته درست نیست. دو زاویه مساوی اصلاً نباید عمودی باشند.

مثال 1دو خط موازی با یک سوم عبور می کنند. مشخص است که تفاوت بین دو زاویه یک طرفه داخلی 30 درجه است. آن زوایا را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید شکل 6 شرایط را برآورده کند.

در این مقاله در مورد خطوط موازی صحبت می کنیم، تعاریف می دهیم، علائم و شرایط موازی را مشخص می کنیم. برای وضوح مطالب نظری، از تصاویر و حل مثال‌های معمولی استفاده می‌کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1 تعریف 1

خطوط موازی در هواپیمادو خط مستقیم در صفحه هستند که نقاط مشترکی ندارند.

تعریف 2

خطوط موازی در فضای سه بعدی- دو خط مستقیم در فضای سه بعدی که در یک صفحه قرار دارند و نقاط مشترکی ندارند.

لازم به ذکر است که برای تعیین خطوط موازی در فضا، توضیح "در یک صفحه قرار گرفته اند" بسیار مهم است: دو خط در فضای سه بعدی که دارای نقاط مشترک نیستند و در یک صفحه قرار نمی گیرند، نیستند. موازی، اما متقاطع

برای نشان دادن خطوط موازی، معمولاً از نماد ∥ استفاده می شود. یعنی اگر خطوط داده شده a و b موازی باشند، این شرط باید به طور خلاصه به صورت زیر نوشته شود: a ‖ b . به صورت شفاهی، موازی خطوط به صورت زیر نشان داده می شود: خطوط a و b موازی هستند، یا خط a موازی با خط b است، یا خط b موازی با خط a است.

اجازه دهید بیانیه ای را تدوین کنیم که نقش مهمی در موضوع مورد مطالعه دارد.

اصل

از طریق نقطه ای که به یک خط معین تعلق ندارد، فقط یک خط موازی با خط داده شده وجود دارد. این گفته را نمی توان بر اساس بدیهیات شناخته شده پلان سنجی اثبات کرد.

در مورد فضا، قضیه صادق است:

قضیه 1

از طریق هر نقطه ای از فضا که به یک خط معین تعلق ندارد، تنها یک خط موازی با خط داده شده وجود خواهد داشت.

اثبات این قضیه بر اساس اصل موضوع فوق (برنامه هندسه برای پایه های 10-11) آسان است.

علامت موازی شرط کافی است که تحت آن خطوط موازی تضمین می شود. به عبارت دیگر، تحقق این شرط برای تأیید واقعیت توازی کافی است.

به ویژه شرایط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط در صفحه و فضا وجود دارد. توضیح می دهیم: واجب یعنی شرطی که تحقق آن برای خطوط موازی لازم است; اگر ارضا نشد، خطوط موازی نیستند.

به طور خلاصه شرط لازم و کافی برای توازی خطوط، شرطی است که رعایت آن برای موازی بودن خطوط با یکدیگر لازم و کافی است. از یک سو، این نشانه موازی بودن است، از سوی دیگر، ویژگی ذاتی خطوط موازی است.

قبل از ارائه یک فرمول دقیق از شرایط لازم و کافی، چند مفهوم اضافی دیگر را یادآوری می کنیم.

تعریف 3

خط مقطعخطی است که هر یک از دو خط داده شده را قطع می کند.

سکنت که دو خط مستقیم را قطع می کند، هشت زاویه غیر منبسط را تشکیل می دهد. برای فرمول بندی شرط لازم و کافی از زوایای متقاطع، متناظر و یک طرفه استفاده می کنیم. بیایید آنها را در تصویر نشان دهیم:

قضیه 2

اگر دو خط در یک صفحه یک سکانس را قطع کنند، برای موازی بودن خطوط داده شده کافی و لازم است که زوایای نهفته متقاطع مساوی یا زوایای متناظر مساوی یا مجموع زوایای یک طرفه برابر با 180 باشد. درجه.

اجازه دهید شرایط لازم و کافی برای خطوط موازی در صفحه را به صورت گرافیکی نشان دهیم:

اثبات این شرایط در برنامه هندسه برای پایه های 7-9 وجود دارد.

به طور کلی این شرایط برای فضای سه بعدی نیز قابل اجرا است، مشروط بر اینکه دو خط و سکنت مربوط به یک صفحه باشند.

اجازه دهید به چند قضیه دیگر اشاره کنیم که اغلب برای اثبات موازی بودن خطوط استفاده می شود.

قضیه 3

در یک صفحه، دو خط موازی با یک سوم با یکدیگر موازی هستند. این ویژگی بر اساس اصل توازی که در بالا ذکر شد اثبات می شود.

قضیه 4

در فضای سه بعدی، دو خط موازی با یک سوم موازی یکدیگر هستند.

اثبات صفت در برنامه هندسه پایه دهم مطالعه می شود.

ما مثالی از این قضایا ارائه می دهیم:

اجازه دهید یک جفت قضیه دیگر را نشان دهیم که موازی بودن خطوط را اثبات می کند.

قضیه 5

در یک صفحه، دو خط عمود بر یک سوم با یکدیگر موازی هستند.

اجازه دهید یک مورد مشابه را برای یک فضای سه بعدی فرموله کنیم.

قضیه 6

در فضای سه بعدی، دو خط عمود بر یک سوم با یکدیگر موازی هستند.

بیایید نشان دهیم:

تمام قضایای فوق، علائم و شرایط فوق، به راحتی موازی بودن خطوط را با روش های هندسه اثبات می کند. یعنی برای اثبات موازی بودن خطوط، می توان نشان داد که زوایای متناظر با هم برابر هستند، یا این واقعیت را نشان داد که دو خط داده شده بر خط سوم عمود هستند و غیره. اما توجه می کنیم که اغلب استفاده از روش مختصات برای اثبات موازی بودن خطوط در یک صفحه یا در فضای سه بعدی راحت تر است.

موازی بودن خطوط در یک سیستم مختصات مستطیلی

در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص، یک خط مستقیم با معادله یک خط مستقیم در صفحه یکی از انواع ممکن تعیین می شود. به طور مشابه، یک خط مستقیم داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی با برخی از معادلات یک خط مستقیم در فضا مطابقت دارد.

اجازه دهید شرایط لازم و کافی را برای موازی خطوط در یک سیستم مختصات مستطیلی، بسته به نوع معادله ای که خطوط داده شده را توصیف می کند، بنویسیم.

بیایید با شرط خطوط موازی در صفحه شروع کنیم. بر اساس تعاریف بردار جهت خط و بردار معمولی خط در صفحه است.

قضیه 7

برای موازی بودن دو خط غیر منطبق بر روی یک صفحه، لازم و کافی است که بردارهای جهت خطوط داده شده، هم خط باشند، یا بردارهای عادی خطوط داده شده، خطی باشند، یا بردار جهت یک خط، عمود بر آن باشند. بردار معمولی خط دیگر

بدیهی است که شرط خطوط موازی در صفحه بر اساس شرایط بردارهای خطی یا شرط عمود بردار بودن دو بردار است. یعنی اگر a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) بردارهای جهت خطوط a و b باشند.

و n b → = (n b x , n b y) بردارهای عادی خطوط a و b هستند، سپس شرط لازم و کافی فوق را به صورت زیر می نویسیم: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y یا n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y یا a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0، که t مقداری واقعی است. مختصات بردارهای جهت یا مستقیم با معادلات داده شده خطوط تعیین می شود. بیایید مثال های اصلی را در نظر بگیریم.

1. خط a در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادله کلی خط تعیین می شود: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; خط b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . سپس بردارهای عادی خطوط داده شده به ترتیب دارای مختصات (A 1 , B 1 ) و ( A 2 , B 2 ) خواهند بود. شرط توازی را به صورت زیر می نویسیم:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. خط مستقیم a با معادله یک خط مستقیم با شیب به شکل y = k 1 x + b 1 توصیف می شود. خط مستقیم b - y \u003d k 2 x + b 2. سپس بردارهای معمولی خطوط داده شده به ترتیب دارای مختصات (k 1, - 1) و (k 2 , - 1) خواهند بود و شرط موازی بودن را به صورت زیر می نویسیم:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

بنابراین، اگر خطوط موازی روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادلات با ضرایب شیب داده شوند، ضرایب شیب خطوط داده شده برابر خواهد بود. و گزاره برعکس درست است: اگر خطوط غیر منطبق بر روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادلات یک خط با ضرایب شیب یکسان تعیین شوند، آنگاه این خطوط داده شده موازی هستند.

1. خطوط a و b در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادلات متعارف خط روی صفحه به دست می آیند: x - x 1 a x = y - y 1 a y و x - x 2 b x = y - y 2 b y یا معادلات پارامتری از خط روی صفحه: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y و x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

سپس بردارهای جهت خطوط داده شده به ترتیب عبارتند از: a x , a y و b x , b y و شرط موازی بودن را به صورت زیر می نویسیم:

a x = t b x a y = t b y

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 1

دو خط داده می شود: 2 x - 3 y + 1 = 0 و x 1 2 + y 5 = 1 . باید تعیین کنید که آیا آنها موازی هستند یا خیر.

راه حل

معادله یک خط مستقیم را در پاره ها به شکل یک معادله کلی می نویسیم:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

می بینیم که n a → = (2, - 3) بردار نرمال خط 2 x - 3 y + 1 = 0 است و n b → = 2 , 1 5 بردار نرمال خط x 1 2 + y 5 است. = 1.

بردارهای حاصل خطی نیستند، زیرا چنین مقداری از t وجود ندارد که برابری برای آن صادق باشد:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

بنابراین شرط لازم و کافی موازی بودن خطوط روی صفحه برآورده نمی شود، به این معنی که خطوط داده شده موازی نیستند.

پاسخ:خطوط داده شده موازی نیستند.

مثال 2

خطوط داده شده y = 2 x + 1 و x 1 = y - 4 2 . آیا آنها موازی هستند؟

راه حل

بیایید معادله متعارف خط مستقیم x 1 \u003d y - 4 2 را به معادله یک خط مستقیم با شیب تبدیل کنیم:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

می بینیم که معادلات خطوط y = 2 x + 1 و y = 2 x + 4 یکسان نیستند (اگر غیر از این بود، خطوط یکسان بودند) و شیب خطوط برابر است، به این معنی که خطوط داده شده موازی هستند.

بیایید سعی کنیم مشکل را متفاوت حل کنیم. ابتدا بررسی می کنیم که آیا خطوط داده شده مطابقت دارند یا خیر. ما از هر نقطه از خط y \u003d 2 x + 1 استفاده می کنیم، به عنوان مثال، (0، 1) ، مختصات این نقطه با معادله خط x 1 \u003d y - 4 2 مطابقت ندارد، به این معنی که خطوط منطبق نیستند

مرحله بعدی تعیین تحقق شرط موازی برای خطوط داده شده است.

بردار عادی خط y = 2 x + 1 بردار n a → = (2, - 1) است و بردار جهت خط دوم داده شده b → = (1، 2) است. حاصل ضرب اسکالر این بردارها صفر است:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

بنابراین، بردارها عمود هستند: این به ما نشان می‌دهد که شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط اصلی وجود دارد. آن ها خطوط داده شده موازی هستند.

پاسخ:این خطوط موازی هستند.

برای اثبات موازی بودن خطوط در یک سیستم مختصات مستطیلی فضای سه بعدی از شرط لازم و کافی زیر استفاده می شود.

قضیه 8

برای موازی بودن دو خط غیر منطبق در فضای سه بعدی، لازم و کافی است که بردارهای جهت این خطوط به صورت هم خط باشند.

آن ها برای معادلات داده شده خطوط در فضای سه بعدی، با تعیین مختصات بردارهای جهت خطوط داده شده و همچنین بررسی وضعیت هم خطی آنها، پاسخ به این سؤال که آیا آنها موازی هستند یا نه، به دست می آید. به عبارت دیگر، اگر a → = (a x، a y، a z) و b → = (b x، b y، b z) به ترتیب بردارهای جهت خطوط a و b باشند، برای اینکه آنها موازی باشند، وجود چنین عدد واقعی t ضروری است، به طوری که برابری برقرار است:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

مثال 3

خطوط داده شده x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 و x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . اثبات موازی بودن این خطوط ضروری است.

راه حل

شرایط مسئله معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا و معادلات پارامتریک یک خط مستقیم دیگر در فضا است. بردارهای جهت a → و b → خطوط داده شده دارای مختصات هستند: (1، 0، - 3) و (2، 0، - 6).

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2، سپس a → = 1 2 b →.

بنابراین شرط لازم و کافی برای خطوط موازی در فضا برآورده می شود.

پاسخ:موازی بودن خطوط داده شده ثابت می شود.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

که در یک صفحه قرار دارند و یا منطبق هستند یا تلاقی نمی کنند. در برخی از تعاریف مکتب، خطوط منطبق موازی در نظر گرفته نمی شوند؛ در اینجا چنین تعریفی در نظر گرفته نمی شود.

خواص

1. موازی گرایی یک رابطه هم ارزی باینری است، بنابراین، کل مجموعه خطوط را به کلاس هایی از خطوط موازی با یکدیگر تقسیم می کند.
2. از طریق هر نقطه داده شده، می تواند دقیقاً یک خط موازی با نقطه داده شده وجود داشته باشد. این یک ویژگی متمایز از هندسه اقلیدسی است، در هندسه های دیگر عدد 1 با دیگران جایگزین می شود (در هندسه لوباچفسکی حداقل دو خط از این قبیل وجود دارد)
3. 2 خط موازی در فضا در یک صفحه قرار دارند.
4. وقتی دو خط موازی همدیگر را قطع می کنند، خط سوم نامیده می شود جدا کردن:
   1. سکنت باید هر دو خط را قطع کند.
   2. هنگام عبور، 8 گوشه تشکیل می شود که برخی از جفت های مشخصه آنها دارای نام و ویژگی های خاصی هستند:
      1. صلیب دروغ می گویدزوایا مساوی هستند
      2. قابل احترامزوایا مساوی هستند
      3. یک جانبهمجموع زوایای آن به 180 درجه می رسد.

در هندسه لوباچفسکی

در هندسه Lobachevsky در هواپیما از طریق یک نقطه قادر به تجزیه بیان نیست (خطای لغوی): جخارج از این خط $AB$

بی نهایت خط مستقیم وجود دارد که قطع نمی شوند آب. از اینها، به موازات آبفقط دو نام برده شده است

سر راست سیEخط متساوی الساقین (موازی) نامیده می شود آبدر جهت از آبه ب، اگر:

1. نکته ها بو Eدر یک طرف یک خط مستقیم دراز بکشید آسی ;
2. سر راست سیEاز خط عبور نمی کند آب، اما هر پرتویی که از داخل زاویه عبور کند آسیE، از تیر عبور می کند آب .

به طور مشابه، یک خط مستقیم، متساوی الساقین آبدر جهت از ببه آ .

تمام خطوط دیگری که خط داده شده را قطع نمی کنند نامیده می شوند فوق موازییا واگرا.

همچنین ببینید

بنیاد ویکی مدیا 2010 .

• خطوط متقاطع
• نستریخین، یوری افرموویچ

ببینید «خطوط موازی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

خطوط موازی- خطوط موازی، خطوط غیر متقاطع که در یک صفحه قرار دارند ... دایره المعارف مدرن

خطوط موازی فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

خطوط موازی- خطوط موازی، خطوط غیر متقاطع که در یک صفحه قرار دارند. … فرهنگ لغت دایره المعارف مصور

خطوط موازی- در هندسه اقلیدسی، خطوطی که در یک صفحه قرار دارند و قطع نمی شوند. در هندسه مطلق (نگاه کنید به هندسه مطلق) از نقطه ای که روی یک خط معین قرار ندارد حداقل یک خط می گذرد که خط داده شده را قطع نمی کند. در…… دایره المعارف بزرگ شوروی

خطوط موازیخطوط غیر متقاطعی هستند که در یک صفحه قرار دارند. * * * خطوط موازی خطوط موازی، خطوط غیر متقاطع در یک صفحه ... فرهنگ لغت دایره المعارفی

خطوط موازی- در هندسه اقلیدسی، خطوطی که در یک صفحه قرار دارند و قطع نمی شوند. در هندسه مطلق، از نقطه ای که روی یک خط معین قرار ندارد، حداقل یک خط می گذرد که خط داده شده را قطع نمی کند. در هندسه اقلیدسی فقط یک ... ... دایره المعارف ریاضی

خطوط موازیخطوط غیر متقاطع که در یک صفحه قرار دارند ... علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

جهان های موازی در فانتزی- این مقاله ممکن است شامل پژوهش اصلی باشد. پیوندهایی را به منابع اضافه کنید، در غیر این صورت ممکن است برای حذف قرار داده شود. اطلاعات بیشتر ممکن است در صفحه بحث باشد. این ... ویکی پدیا است

جهان های موازی- جهان موازی (در فانتزی) واقعیتی است که به نحوی همزمان با دنیای ما وجود دارد، اما مستقل از آن. این واقعیت مستقل می‌تواند در اندازه‌ای از یک منطقه جغرافیایی کوچک تا کل جهان باشد. به موازات ... ویکی پدیا

موازی- خطوط خطوط مستقیم را خطوط مستقیم می نامند اگر نه آنها و نه پسوندهای آنها متقاطع یکدیگر نباشند. اخبار یکی از این خطوط مستقیم با دیگری در همان فاصله است. با این حال، مرسوم است که می گویند دو خط مستقیم در بی نهایت قطع می شوند. چنین… … دایره المعارف بروکهاوس و افرون

کتاب ها

• مجموعه ای از میز. ریاضی. کلاس ششم. 12 جدول + روش شناسی، . جداول بر روی مقوای ضخیم پلی گرافی به ابعاد 680×980 میلی متر چاپ شده است. این کیت شامل بروشوری با توصیه های روش شناختی برای معلمان است. آلبوم آموزشی 12 برگ. تقسیم پذیری…

1. اگر دو خط با خط سوم موازی باشند، آنها موازی هستند:

اگر یک آ||جو ب||ج، سپس آ||ب.

2. اگر دو خط بر خط سوم عمود باشند، موازی هستند:

اگر یک آ⊥جو ب⊥ج، سپس آ||ب.

علائم باقی مانده از موازی خطوط بر اساس زوایایی است که در تقاطع دو خط با یک سوم ایجاد می شود.

3. اگر مجموع زوایای یک طرفه داخلی 180 درجه باشد، خطوط موازی هستند:

اگر ∠1 + ∠2 = 180 درجه، پس آ||ب.

4. اگر زوایای مربوطه با هم برابر باشند، خطوط موازی هستند:

اگر ∠2 = ∠4، پس آ||ب.

5. اگر زوایای متقاطع داخلی با هم برابر باشند، خطوط موازی هستند:

اگر ∠1 = ∠3، پس آ||ب.

ویژگی های خطوط موازی

گزاره هایی که معکوس نشانه های توازی خطوط هستند، ویژگی آنهاست. آنها بر اساس خصوصیات زوایایی هستند که از تقاطع دو خط موازی با یک خط سوم تشکیل شده اند.

1. هنگامی که دو خط موازی با یک خط سوم قطع می شوند، مجموع زوایای یک طرفه داخلی تشکیل شده توسط آنها 180 درجه است:

اگر یک آ||ب، سپس ∠1 + ∠2 = 180 درجه.

2. وقتی دو خط موازی با یک خط سوم قطع می شوند، زوایای مربوط به آنها برابر است:

اگر یک آ||ب، سپس ∠2 = ∠4.

3. در محل تقاطع دو خط موازی با یک خط سوم، زوایای خوابیده ای که توسط آنها تشکیل شده است برابر است:

اگر یک آ||ب، سپس ∠1 = ∠3.

ویژگی زیر یک مورد خاص از هر مورد قبلی است:

4. اگر خطی در صفحه بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، بر دیگری نیز عمود است:

اگر یک آ||بو ج⊥آ، سپس ج⊥ب.

ویژگی پنجم اصل خطوط موازی است:

5. از طریق نقطه ای که روی یک خط معین قرار ندارد، فقط یک خط را می توان به موازات خط داده شده رسم کرد.

دستورالعمل

قبل از شروع اثبات، مطمئن شوید که خطوط در همان صفحه قرار دارند و می توان روی آن ترسیم کرد. ساده ترین روش اثبات، روش اندازه گیری با خط کش است. برای این کار از یک خط کش استفاده کنید تا فاصله خطوط مستقیم را در چند نقطه تا حد امکان از هم اندازه بگیرید. اگر فاصله ثابت بماند، خطوط داده شده موازی هستند. اما این روش به اندازه کافی دقیق نیست، بنابراین بهتر است از روش های دیگر استفاده کنید.

یک خط سوم بکشید تا هر دو خط موازی را قطع کند. با آنها چهار گوشه بیرونی و چهار گوشه داخلی را تشکیل می دهد. گوشه های داخلی را در نظر بگیرید. آنهایی که از طریق خط برش قرار می گیرند، دروغگویی متقاطع نامیده می شوند. آنهایی که در یک طرف قرار می گیرند یک طرفه نامیده می شوند. با استفاده از نقاله، دو گوشه مورب داخلی را اندازه بگیرید. اگر مساوی باشند، خطوط موازی خواهند بود. اگر شک دارید، زوایای داخلی یک طرفه را اندازه بگیرید و مقادیر حاصل را جمع کنید. اگر مجموع زوایای داخلی یک طرفه برابر با 180 درجه باشد، خطوط موازی خواهند بود.

اگر نقاله ندارید، از مربع 90 درجه استفاده کنید. از آن برای ایجاد عمود بر یکی از خطوط استفاده کنید. پس از آن این عمود را طوری ادامه دهید که خط دیگری را قطع کند. با استفاده از همان مربع، بررسی کنید که این عمود در چه زاویه ای آن را قطع می کند. اگر این زاویه نیز برابر با 90 درجه باشد، خطوط موازی با یکدیگر هستند.

در صورتی که خطوط در سیستم مختصات دکارتی داده شوند، راهنماها یا بردارهای عادی آنها را پیدا کنید. اگر این بردارها به ترتیب با یکدیگر هم خط باشند، آنگاه خطوط موازی هستند. معادله خطوط را به شکل کلی درآورید و مختصات بردار معمولی هر یک از خطوط را پیدا کنید. مختصات آن برابر با ضرایب A و B است. در صورتی که نسبت مختصات متناظر بردارهای عادی یکسان باشد، آنها هم خط و خطوط موازی هستند.

برای مثال، خطوط مستقیم با معادلات 4x-2y+1=0 و x/1=(y-4)/2 به دست می‌آیند. معادله اول شکل کلی است، دومی متعارف است. معادله دوم را به شکل کلی در آورید. از قانون تبدیل نسبت برای این کار استفاده کنید، و در نهایت به 2x=y-4 خواهید رسید. پس از کاهش به یک فرم کلی، 2x-y + 4 = 0 را دریافت کنید. از آنجایی که معادله کلی برای هر خط Ax + Vy + C = 0 نوشته می شود، پس برای خط اول: A = 4، B = 2، و برای خط دوم A = 2، B = 1 است. برای اولین مختصات مستقیم بردار عادی (4; 2)، و برای دوم - (2;1). نسبت مختصات مربوط به بردارهای نرمال 4/2=2 و 2/1=2 را بیابید. این اعداد مساوی هستند، یعنی بردارها هم خط هستند. از آنجایی که بردارها خطی هستند، خطوط موازی هستند.