سطح اول

درجه و خواص آن راهنمای جامع (2019)

چرا مدرک لازم است؟ کجا به آنها نیاز دارید؟ چرا باید برای مطالعه آنها وقت بگذارید؟

برای یادگیری همه چیز در مورد مدارک تحصیلی، اینکه آنها برای چه هستند، چگونه از دانش خود در زندگی روزمره استفاده کنید، این مقاله را بخوانید.

و البته دانستن مدارک تحصیلی شما را به گذراندن موفقیت آمیز آزمون OGE یا Unified State Examination و ورود به دانشگاه رویاهایتان نزدیک می کند.

بیا بریم... (بریم!)

یادداشت مهم! اگر به‌جای فرمول‌ها حرف‌های بیهوده می‌بینید، حافظه پنهان خود را پاک کنید. برای انجام این کار، CTRL+F5 (در ویندوز) یا Cmd+R (در مک) را فشار دهید.

سطح اول

توان همان عملیات ریاضی جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم است.

اکنون همه چیز را با استفاده از مثال های بسیار ساده به زبان انسان توضیح خواهم داد. مراقب باش. مثال ها ابتدایی هستند، اما چیزهای مهم را توضیح می دهند.

بیایید با اضافه شروع کنیم.

اینجا چیزی برای توضیح نیست. شما از قبل همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر کدام دو بطری کولا دارند. کولا چقدر؟ درست است - 16 بطری.

حالا ضرب.

همین مثال با کولا را می توان به شکل دیگری نوشت: . ریاضیدانان افرادی حیله گر و تنبل هستند. آنها ابتدا متوجه برخی الگوها می شوند و سپس راهی برای "شمارش" سریعتر آنها پیدا می کنند. در مورد ما، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر به همان تعداد بطری کولا دارند و تکنیکی به نام ضرب را ارائه کردند. موافقم، آسانتر و سریعتر از آن در نظر گرفته می شود.

بنابراین، برای شمارش سریع تر، آسان تر و بدون خطا، فقط باید به خاطر بسپارید جدول ضرب. البته، شما می توانید همه چیز را آهسته تر، سخت تر و با اشتباه انجام دهید! ولی…

اینجا جدول ضرب است. تکرار.

و دیگری زیباتر:

و ریاضیدانان تنبل چه ترفندهای شگرف دیگری برای شمارش ارائه کردند؟ درست - افزایش یک عدد به توان.

افزایش یک عدد به توان

اگر لازم است یک عدد را در خودش پنج برابر ضرب کنید، ریاضیدانان می گویند که باید این عدد را به توان پنجم برسانید. مثلا، . ریاضیدانان به یاد دارند که دو به توان پنجم است. و چنین پازل هایی را در ذهن حل کنید - سریع تر، آسان تر و بدون خطا.

برای انجام این کار، شما فقط نیاز دارید آنچه را که در جدول قدرت اعداد با رنگ مشخص شده است به خاطر بسپارید. باور کنید زندگی شما را بسیار آسان تر می کند.

ضمناً چرا درجه دوم نامیده می شود مربعاعداد و سوم مکعب? چه مفهومی داره؟ یه سوال خیلی خوب حالا هم مربع و هم مکعب خواهید داشت.

مثال زندگی واقعی شماره 1

بیایید با مربع یا توان دوم یک عدد شروع کنیم.

اندازه یک استخر مربع را متر به متر تصور کنید. استخر در حیاط خلوت شماست. هوا گرم است و من واقعاً می خواهم شنا کنم. اما ... استخر بدون ته! لازم است کف استخر با کاشی پوشانده شود. چند تا کاشی نیاز دارید؟ برای تعیین این موضوع، باید مساحت کف استخر را بدانید.

به سادگی می توانید با تکان دادن انگشت خود بشمارید که کف استخر از مکعب هایی متر به متر تشکیل شده است. اگر کاشی های شما متر به متر باشد، به قطعات نیاز دارید. آسان است... اما شما کجا چنین کاشی را دیدید؟ کاشی بیشتر سانتی متر در سانتی متر خواهد بود و سپس شما را با "شمارش با انگشت" عذاب خواهید داد. سپس شما باید ضرب کنید. بنابراین، در یک طرف کف استخر، کاشی‌ها (تکه‌ها) و در طرف دیگر، کاشی‌ها قرار می‌دهیم. ضرب در، شما کاشی ().

دقت کردید که برای تعیین مساحت کف استخر همان عدد را در خودش ضرب کردیم؟ چه مفهومی داره؟ از آنجایی که همان عدد ضرب می شود، می توانیم از تکنیک توان استفاده کنیم. (البته وقتی فقط دو عدد دارید، باز هم باید آنها را ضرب کنید یا به توان برسانید. اما اگر تعداد آنها زیاد باشد، افزایش به توان بسیار آسانتر است و همچنین خطاهای کمتری در محاسبات وجود دارد. برای امتحان، این بسیار مهم است).
بنابراین، سی تا درجه دوم () خواهد بود. یا می توانید بگویید که سی مربع خواهد بود. به عبارت دیگر، توان دوم یک عدد را همیشه می توان به صورت مربع نشان داد. و برعکس، اگر مربعی را دیدید، همیشه توان دوم فلان عدد است. مربع تصویری از توان دوم یک عدد است.

مثال زندگی واقعی شماره 2

در اینجا یک کار برای شماست، شمارش کنید که چند مربع روی صفحه شطرنج با استفاده از مربع عدد ... در یک طرف سلول ها و در طرف دیگر نیز. برای شمارش تعداد آنها باید هشت را در هشت ضرب کنید یا ... اگر متوجه شدید که صفحه شطرنج مربعی با یک ضلع است، می توانید هشت را مربع کنید. سلول ها را دریافت کنید. () بنابراین؟

مثال زندگی واقعی شماره 3

حالا مکعب یا توان سوم یک عدد. همون استخر اما اکنون باید دریابید که چقدر آب باید در این استخر ریخته شود. شما باید حجم را محاسبه کنید. (حجم ها و مایعات، اتفاقاً با متر مکعب اندازه گیری می شوند. غیرمنتظره، درست است؟) یک استخر بکشید: یک پایین به اندازه یک متر و یک متر عمق و سعی کنید محاسبه کنید که چند مکعب به اندازه یک متر در متر وارد شما می شود. استخر.

فقط انگشت خود را نشان دهید و بشمارید! یک، دو، سه، چهار... بیست و دو، بیست و سه... چقدر شد؟ گم نشدی؟ آیا شمردن با انگشت سخت است؟ به طوری که! از ریاضیدانان مثال بزنید. آنها تنبل هستند، بنابراین متوجه شدند که برای محاسبه حجم استخر، باید طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. در مورد ما، حجم استخر برابر با مکعب خواهد بود ... راحت تر، درست است؟

حالا تصور کنید که ریاضیدانان چقدر تنبل و حیله گر هستند اگر این کار را خیلی آسان کنند. همه چیز را به یک عمل تقلیل داد. آنها متوجه شدند که طول، عرض و ارتفاع برابر است و همان عدد در خودش ضرب می شود ... و این به چه معناست؟ یعنی می توانید از مدرک استفاده کنید. بنابراین، کاری را که شما زمانی با انگشت می شمردید، در یک عمل انجام می دهند: سه در یک مکعب برابر است. اینگونه نوشته شده است:

فقط باقی می ماند جدول درجات را حفظ کنید. مگر اینکه شما به اندازه ریاضیدانان تنبل و حیله گر باشید. اگر دوست دارید سخت کار کنید و اشتباه کنید، می توانید با انگشت به شمارش ادامه دهید.

خوب، برای اینکه در نهایت شما را متقاعد کنیم که مدارک توسط افراد لوفر و حیله گر اختراع شده اند تا مشکلات زندگی خود را حل کنند و مشکلی برای شما ایجاد نکنند، این دو نمونه دیگر از زندگی است.

مثال زندگی واقعی شماره 4

شما یک میلیون روبل دارید. در ابتدای هر سال به ازای هر میلیون یک میلیون دیگر درآمد کسب می کنید. یعنی هر یک میلیون شما در ابتدای هر سال دو برابر می شود. چند سال دیگر چقدر پول خواهید داشت؟ اگر الان نشسته اید و «با انگشت خود می شمرید»، پس فردی بسیار سخت کوش و .. احمق هستید. اما به احتمال زیاد در عرض چند ثانیه جواب می دهید، زیرا شما باهوش هستید! بنابراین، در سال اول - دو برابر دو ... در سال دوم - چه شد، توسط دو نفر دیگر، در سال سوم ... متوقف شوید! متوجه شدید که این عدد یک بار در خودش ضرب می شود. پس دو تا توان پنجم یک میلیون است! حالا تصور کنید که یک مسابقه دارید و کسی که سریعتر محاسبه می کند این میلیون ها را می گیرد ... آیا ارزش دارد درجات اعداد را به خاطر بسپارید، نظر شما چیست؟

مثال زندگی واقعی شماره 5

شما یک میلیون دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیون، دو عدد بیشتر درآمد دارید. عالیه درسته؟ هر میلیون سه برابر می شود. در یک سال چقدر پول خواهید داشت؟ بیا بشماریم. سال اول - ضرب در، سپس نتیجه در دیگری ... این در حال حاضر خسته کننده است، زیرا شما قبلاً همه چیز را فهمیده اید: سه بار در خودش ضرب می شود. پس توان چهارم یک میلیون است. فقط باید به یاد داشته باشید که توان سه به چهارم یا است.

اکنون می دانید که با بالا بردن یک عدد به یک قدرت، زندگی خود را بسیار آسان خواهید کرد. بیایید نگاهی بیشتر به کارهایی که می توانید با مدرک انجام دهید و آنچه باید در مورد آنها بدانید بیاندازیم.

اصطلاحات و مفاهیم ... تا دچار سردرگمی نشوید

بنابراین، ابتدا اجازه دهید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، نما چیست? این بسیار ساده است - این عددی است که "در بالای" قدرت عدد است. علمی نیست، اما واضح و آسان برای به خاطر سپردن ...

خوب، در همان زمان، چه چنین پایه مدرک? حتی ساده تر، عددی است که در پایین، در پایه قرار دارد.

اینم یه عکس برای اطمینان

خب به طور کلی برای تعمیم و به خاطر سپردن بهتر ... یک مدرک با پایه "" و نشانگر "" به صورت "در درجه" خوانده می شود و به صورت زیر نوشته می شود:

توان یک عدد با توان طبیعی

احتمالاً قبلاً حدس زده اید: زیرا توان یک عدد طبیعی است. بله، اما چیست عدد طبیعی? ابتدایی! اعداد طبیعی اعدادی هستند که در شمارش موارد استفاده می‌شوند: یک، دو، سه ... وقتی اقلام را می‌شماریم، نمی‌گوییم: «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت». «یک سوم» یا «نقطه صفر پنج دهم» هم نمی گوییم. اینها اعداد طبیعی نیستند. به نظر شما این اعداد چیست؟

اعدادی مانند «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت» اشاره دارند تمام اعداد.به طور کلی اعداد صحیح شامل همه اعداد طبیعی، اعداد مخالف اعداد طبیعی (یعنی با علامت منفی گرفته شده) و یک عدد هستند. درک صفر آسان است - این زمانی است که هیچ چیز وجود ندارد. و اعداد منفی ("منهای") به چه معناست؟ اما آنها در درجه اول برای نشان دادن بدهی ها اختراع شده اند: اگر موجودی تلفن خود را به روبل داشته باشید، به این معنی است که به روبل اپراتور بدهکار هستید.

همه کسرها اعداد گویا هستند. به نظر شما چگونه به وجود آمدند؟ بسیار ساده. چندین هزار سال پیش، اجداد ما کشف کردند که اعداد طبیعی کافی برای اندازه گیری طول، وزن، مساحت و غیره ندارند. و به این نتیجه رسیدند اعداد گویا… جالب است، اینطور نیست؟

اعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این اعداد چیست؟ به طور خلاصه، یک کسر اعشاری بی نهایت. به عنوان مثال، اگر محیط یک دایره را بر قطر آن تقسیم کنید، یک عدد غیر منطقی به دست می آورید.

خلاصه:

بیایید مفهوم درجه را تعریف کنیم که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

1. هر عدد به توان اول با خودش برابر است:
2. مربع کردن یک عدد به معنای ضرب آن در خودش است:
3. مکعب کردن یک عدد به این معناست که آن را در خودش سه برابر کنیم:

تعریف.برای رساندن یک عدد به توان طبیعی به این معناست که عدد را در خودش ضرب کنیم:
.

خواص درجه

این خواص از کجا آمده است؟ الان بهت نشون میدم

بیایید ببینیم چیست و ?

الف مقدماتی:

در کل چند ضریب وجود دارد؟

خیلی ساده است: ما عواملی را به فاکتورها اضافه کردیم و نتیجه فاکتورها است.

اما طبق تعریف، این درجه یک عدد با توان است، یعنی: که باید اثبات می شد.

مثال: بیان را ساده کنید.

راه حل:

مثال:بیان را ساده کنید.

راه حل:توجه به این نکته ضروری است که در قاعده ما لزوماباید به همین دلیل باشد!
بنابراین، ما درجه ها را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

فقط برای محصولات قدرت!

تحت هیچ شرایطی نباید آن را بنویسید.

2. یعنی -ام قدرت یک عدد

درست مانند ویژگی قبلی، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:

معلوم می شود که عبارت در خودش یک بار ضرب می شود، یعنی طبق تعریف، این توان دهم عدد است:

در واقع این را می توان «براکت کردن اندیکاتور» نامید. اما شما هرگز نمی توانید این کار را در کل انجام دهید:

بیایید فرمول های ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟

اما این درست نیست، واقعا.

مدرک با پایه منفی

تا اینجا ما فقط بحث کرده ایم که توان چه چیزی باید باشد.

اما مبنای چه چیزی باید باشد؟

بر حسب درجه از شاخص طبیعیاساس ممکن است هر عددی. در واقع، ما می‌توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم، چه مثبت، چه منفی یا زوج.

بیایید به این فکر کنیم که چه علائمی ("" یا "") دارای درجاتی از اعداد مثبت و منفی خواهند بود؟

مثلا عدد مثبت خواهد بود یا منفی؟ آ؟ ? با اولی، همه چیز مشخص است: مهم نیست که چند عدد مثبت را با یکدیگر ضرب کنیم، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما موارد منفی کمی جالب تر هستند. از این گذشته ، ما یک قانون ساده را از کلاس ششم به یاد می آوریم: "منهای ضربدر منهای یک مثبت می دهد." یعنی یا. اما اگر ضرب کنیم معلوم می شود.

خودتان مشخص کنید که عبارات زیر چه علامتی خواهند داشت:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

توانستی مدیریت کنی؟

در اینجا پاسخ ها آمده است: در چهار مثال اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما به سادگی به مبنا و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در مثال 5)، همه چیز به همان اندازه که به نظر می رسد ترسناک نیست: مهم نیست که پایه برابر است - درجه یکنواخت است، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود.

خوب، به جز زمانی که پایه صفر باشد. پایه یکسان نیست، درست است؟ بدیهی است که نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر چندان ساده نیست!

6 نمونه تمرین

تجزیه و تحلیل راه حل 6 مثال

اگر به درجه هشتم توجه نکنیم اینجا چه می بینیم؟ بیایید نگاهی به برنامه کلاس هفتم بیندازیم. پس، یادت هست؟ این فرمول ضرب اختصاری است، یعنی تفاوت مربع ها! ما گرفتیم:

ما با دقت به مخرج نگاه می کنیم. به نظر بسیار شبیه یکی از فاکتورهای شمارنده است، اما چه اشکالی دارد؟ ترتیب اصطلاحات اشتباه است. اگر آنها مبادله می شدند، این قانون می توانست اعمال شود.

اما چگونه این کار را انجام دهیم؟ معلوم می شود که بسیار آسان است: درجه زوج مخرج در اینجا به ما کمک می کند.

شرایط به طرز جادویی جای خود را تغییر داده اند. این "پدیده" در مورد هر عبارتی به میزان یکنواخت صدق می کند: ما می توانیم آزادانه علائم داخل پرانتز را تغییر دهیم.

اما مهم است که به یاد داشته باشید: همه علائم به طور همزمان تغییر می کنند!

بیایید به مثال برگردیم:

و دوباره فرمول:

کلاعداد طبیعی، متضاد آنها (یعنی گرفته شده با علامت "") و عدد را نام می بریم.

عدد صحیح مثبت، و هیچ تفاوتی با طبیعی ندارد، پس همه چیز دقیقاً مانند بخش قبل به نظر می رسد.

حالا بیایید به موارد جدید نگاه کنیم. بیایید با یک اندیکاتور برابر شروع کنیم.

هر عدد به توان صفر برابر با یک است:

مثل همیشه از خود می پرسیم: چرا اینطور است؟

مقداری قدرت با پایه در نظر بگیرید. برای مثال در نظر بگیرید و ضرب کنید:

بنابراین، ما عدد را در ضرب کردیم، و همان شد که -. در چه عددی باید ضرب کرد تا چیزی تغییر نکند؟ درست است، در به معنای.

ما می توانیم همین کار را با یک عدد دلخواه انجام دهیم:

بیایید این قانون را تکرار کنیم:

هر عدد به توان صفر برابر با یک است.

اما برای بسیاری از قوانین استثنا وجود دارد. و اینجا نیز آنجاست - این یک عدد (به عنوان پایه) است.

از یک طرف، باید با هر درجه ای برابر باشد - مهم نیست که چقدر صفر را در خودش ضرب کنید، باز هم صفر می شود، این واضح است. اما از طرف دیگر مانند هر عددی در درجه صفر باید برابر باشد. پس حقیقت این چیست؟ ریاضیدانان تصمیم گرفتند درگیر نشوند و از رساندن صفر به توان صفر خودداری کردند. یعنی اکنون نه تنها می توانیم بر صفر تقسیم کنیم، بلکه آن را به توان صفر نیز برسانیم.

بیایید جلوتر برویم. علاوه بر اعداد و اعداد طبیعی، اعداد صحیح شامل اعداد منفی نیز می شوند. برای اینکه بفهمیم درجه منفی چیست، بیایید مانند دفعه قبل عمل کنیم: یک عدد عادی را در یک درجه منفی ضرب می کنیم:

از اینجا به راحتی می توان مورد نظر را بیان کرد:

اکنون قانون حاصل را به یک درجه دلخواه گسترش می دهیم:

بنابراین، اجازه دهید این قانون را فرموله کنیم:

عدد به توان منفی معکوس همان عدد نسبت به توان مثبت است. اما در عین حال پایه نمی تواند null باشد:(چون تقسیم غیرممکن است).

بیایید خلاصه کنیم:

I. بیان در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.

II. هر عددی به توان صفر برابر است با یک: .

III. عددی که برابر با صفر به توان منفی نباشد، معکوس همان عدد با توان مثبت است: .

وظایف برای راه حل مستقل:

خوب، طبق معمول، مثال هایی برای یک راه حل مستقل:

تجزیه و تحلیل وظایف برای راه حل مستقل:

می دانم، می دانم، اعداد ترسناک هستند، اما در امتحان باید برای هر چیزی آماده باشید! اگر نتوانستید این مثال ها را حل کنید یا راه حل آنها را تحلیل کنید و یاد خواهید گرفت که چگونه در امتحان به راحتی با آنها کنار بیایید!

اجازه دهید به گسترش دامنه اعداد "مناسب" به عنوان یک توان ادامه دهیم.

حال در نظر بگیرید اعداد گویا.به چه اعدادی گویا می گویند؟

پاسخ: همه چیزهایی که می توانند به عنوان کسری نشان داده شوند، در آنجا و اعداد صحیح هستند، علاوه بر این.

تا بفهمیم چیست "درجه کسری"بیایید کسری را در نظر بگیریم:

بیایید هر دو طرف معادله را به توان برسانیم:

حالا این قانون را به خاطر بسپارید "درجه به درجه":

برای بدست آوردن چه عددی باید به توان افزایش داد؟

این فرمول تعریف ریشه درجه هفتم است.

یادآوری می‌کنم: ریشه توان دهم یک عدد () عددی است که وقتی به توان بالا می‌رود، برابر است.

یعنی ریشه درجه هفتم عمل معکوس توان است: .

معلوم می شود که. بدیهی است که این مورد خاص قابل توسعه است: .

حالا شمارنده را اضافه کنید: چیست؟ با قانون قدرت به قدرت به راحتی می توان پاسخ را دریافت کرد:

اما آیا پایه می تواند هر عددی باشد؟ پس از همه، ریشه را نمی توان از همه اعداد استخراج کرد.

هیچ یک!

این قانون را به خاطر بسپارید: هر عددی که به توان زوج افزایش یابد یک عدد مثبت است. یعنی نمی توان از اعداد منفی ریشه هایی با درجه زوج استخراج کرد!

و این بدان معنی است که چنین اعدادی را نمی توان به توان کسری با مخرج زوج رساند، یعنی عبارت معنی ندارد.

در مورد بیان چطور؟

اما اینجا یک مشکل پیش می آید.

عدد را می توان به عنوان کسرهای کاهش یافته دیگر، به عنوان مثال، یا.

و معلوم می شود که وجود دارد، اما وجود ندارد، و اینها فقط دو رکورد متفاوت از یک عدد هستند.

یا مثال دیگری: یک بار، سپس می توانید آن را یادداشت کنید. اما به محض اینکه نشانگر را به روش دیگری بنویسیم، دوباره دچار مشکل می شویم: (یعنی نتیجه کاملاً متفاوتی گرفتیم!).

برای جلوگیری از چنین پارادوکس هایی، در نظر بگیرید فقط نما پایه مثبت با توان کسری.

بنابراین اگر:

• - عدد طبیعی؛
• یک عدد صحیح است؛

مثال ها:

قدرت هایی با توان گویا برای تبدیل عبارات با ریشه بسیار مفید هستند، به عنوان مثال:

5 مثال تمرین

تجزیه و تحلیل 5 مثال برای آموزش

خوب، در حال حاضر - سخت ترین. حال به تحلیل خواهیم پرداخت درجه با توان غیر منطقی.

تمام قواعد و ویژگی‌های درجه‌ها در اینجا دقیقاً مانند درجه‌هایی با توان گویا هستند، به استثنای

در واقع، طبق تعریف، اعداد غیرمنطقی اعدادی هستند که نمی‌توانند به صورت کسری نمایش داده شوند، جایی که اعداد صحیح هستند (یعنی اعداد غیر منطقی همه اعداد حقیقی هستند به جز اعداد گویا).

هنگام مطالعه درجات با یک شاخص طبیعی، عدد صحیح و منطقی، هر بار یک "تصویر"، "قیاس" یا توصیف خاص را با عبارات آشناتر می سازیم.

برای مثال، یک توان طبیعی عددی است که در خودش چند برابر شود.

...توان صفر- این، همانطور که بود، عددی است که یک بار در خودش ضرب شده است، یعنی هنوز شروع به ضرب نکرده است، به این معنی که خود عدد هنوز ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه فقط یک "عدد خالی" مشخص است. ، یعنی شماره؛

...توان عدد صحیح منفی- انگار یک "فرآیند معکوس" خاصی اتفاق افتاده است، یعنی عدد در خودش ضرب نشده، بلکه تقسیم شده است.

به هر حال، علم اغلب از یک درجه با توان مختلط استفاده می کند، یعنی یک توان حتی یک عدد واقعی نیست.

اما در مدرسه، ما به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم؛ شما این فرصت را خواهید داشت که این مفاهیم جدید را در موسسه درک کنید.

جایی که ما مطمئن هستیم که خواهی رفت! (اگر یاد بگیرید چگونه چنین مثال هایی را حل کنید :))

مثلا:

خودتان تصمیم بگیرید:

تجزیه و تحلیل راه حل ها:

1. بیایید با قانون معمول از قبل برای ارتقاء مدرک به یک درجه شروع کنیم:

حالا به نمره نگاه کنید. آیا او چیزی را به شما یادآوری می کند؟ ما فرمول ضرب اختصاری اختلاف مربع ها را به یاد می آوریم:

در این مورد،

معلوم می شود که:

پاسخ: .

2. کسرها را در توان به یک شکل می آوریم: هر دو اعشاری یا هر دو معمولی. به عنوان مثال دریافت می کنیم:

جواب: 16

3. چیز خاصی نیست، ما ویژگی های معمول درجه ها را اعمال می کنیم:

سطح پیشرفته

تعریف مدرک

درجه بیانی از شکل است: ، که در آن:

• — پایه مدرک؛
• - توان

درجه با توان طبیعی (n = 1، 2، 3،...)

افزایش یک عدد به توان طبیعی n یعنی ضرب عدد در خودش:

توان با توان عدد صحیح (0، 1±، 2±،...)

اگر توان است عدد صحیح مثبتعدد:

نعوظ به توان صفر:

عبارت نامشخص است، زیرا از یک سو به هر درجه ای این است و از سوی دیگر هر عددی به درجه هفتم این است.

اگر توان است عدد صحیح منفیعدد:

(چون تقسیم غیرممکن است).

یک بار دیگر در مورد nulls: عبارت در case تعریف نشده است. اگر پس از آن.

مثال ها:

درجه با توان منطقی

• - عدد طبیعی؛
• یک عدد صحیح است؛

مثال ها:

خواص درجه

برای سهولت در حل مشکلات، بیایید سعی کنیم بفهمیم: این ویژگی ها از کجا آمده اند؟ بیایید آنها را ثابت کنیم.

بیایید ببینیم: چیست و؟

الف مقدماتی:

بنابراین، در سمت راست این عبارت، محصول زیر به دست می آید:

اما طبق تعریف، این توان یک عدد با توان است، یعنی:

Q.E.D.

مثال : بیان را ساده کنید.

راه حل : .

مثال : بیان را ساده کنید.

راه حل : توجه به این نکته ضروری است که در قاعده ما لزوماباید بر همین اساس باشد بنابراین، ما درجه ها را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

نکته مهم دیگر: این قانون - فقط برای محصولات قدرت!

تحت هیچ شرایطی نباید آن را بنویسم.

درست مانند ویژگی قبلی، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:

بیایید آن را به صورت زیر مرتب کنیم:

معلوم می شود که عبارت یک بار در خودش ضرب می شود، یعنی طبق تعریف، این توان -امین عدد است:

در واقع این را می توان «براکت کردن اندیکاتور» نامید. اما شما هرگز نمی توانید این کار را در کل انجام دهید:!

بیایید فرمول های ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟ اما این درست نیست، واقعا.

قدرت با پایه منفی.

تا اینجا ما فقط در مورد آنچه که باید باشد بحث کرده ایم فهرست مطالبدرجه. اما مبنای چه چیزی باید باشد؟ بر حسب درجه از طبیعی نشانگر اساس ممکن است هر عددی .

در واقع، ما می‌توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم، چه مثبت، چه منفی یا زوج. بیایید به این فکر کنیم که چه علائمی (" " یا "") دارای درجاتی از اعداد مثبت و منفی خواهند بود؟

مثلا عدد مثبت خواهد بود یا منفی؟ آ؟ ?

با اولی، همه چیز مشخص است: مهم نیست که چند عدد مثبت را با یکدیگر ضرب کنیم، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما موارد منفی کمی جالب تر هستند. از این گذشته ، ما یک قانون ساده را از کلاس ششم به یاد می آوریم: "منهای ضربدر منهای یک مثبت می دهد." یعنی یا. اما اگر در () ضرب کنیم، - به دست می آید.

و به همین ترتیب ad infinitum: با هر ضرب بعدی، علامت تغییر می کند. شما می توانید این قوانین ساده را فرموله کنید:

1. زوجدرجه، - شماره مثبت.
2. عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.
3. عدد مثبت به هر توانی یک عدد مثبت است.
4. صفر به هر توانی برابر با صفر است.

خودتان مشخص کنید که عبارات زیر چه علامتی خواهند داشت:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

توانستی مدیریت کنی؟ در اینجا پاسخ ها آمده است:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در چهار مثال اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما به سادگی به مبنا و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

در مثال 5)، همه چیز به همان اندازه که به نظر می رسد ترسناک نیست: مهم نیست که پایه برابر است - درجه یکنواخت است، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود. خوب، به جز زمانی که پایه صفر باشد. پایه یکسان نیست، درست است؟ بدیهی است که نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر چندان ساده نیست. در اینجا باید دریابید که کدام کمتر است: یا؟ اگر این را به خاطر داشته باشید، مشخص می شود که به این معنی است که پایه کمتر از صفر است. یعنی قانون 2 را اعمال می کنیم: نتیجه منفی خواهد بود.

و دوباره از تعریف درجه استفاده می کنیم:

همه چیز طبق معمول است - ما تعریف درجه ها را می نویسیم و آنها را به یکدیگر تقسیم می کنیم، آنها را به جفت تقسیم می کنیم و به دست می آوریم:

قبل از تجزیه و تحلیل آخرین قانون، اجازه دهید چند مثال را حل کنیم.

محاسبه مقادیر عبارات:

راه حل ها :

اگر به درجه هشتم توجه نکنیم اینجا چه می بینیم؟ بیایید نگاهی به برنامه کلاس هفتم بیندازیم. پس یادت هست؟ این فرمول ضرب اختصاری است، یعنی تفاوت مربع ها!

ما گرفتیم:

ما با دقت به مخرج نگاه می کنیم. به نظر بسیار شبیه یکی از فاکتورهای شمارنده است، اما چه اشکالی دارد؟ ترتیب اصطلاحات اشتباه است. اگر آنها معکوس شوند، قانون 3 می تواند اعمال شود. اما چگونه می توان این کار را انجام داد؟ معلوم می شود که بسیار آسان است: درجه زوج مخرج در اینجا به ما کمک می کند.

اگر آن را در ضرب کنید، چیزی تغییر نمی کند، درست است؟ اما اکنون به این صورت است:

شرایط به طرز جادویی جای خود را تغییر داده اند. این "پدیده" در مورد هر عبارتی به میزان یکنواخت صدق می کند: ما می توانیم آزادانه علائم داخل پرانتز را تغییر دهیم. اما مهم است که به یاد داشته باشید: همه نشانه ها در یک زمان تغییر می کنند!نمی توان آن را با تغییر تنها یک منهای قابل اعتراض به ما جایگزین کرد!

بیایید به مثال برگردیم:

و دوباره فرمول:

خب حالا آخرین قانون:

چگونه می خواهیم آن را ثابت کنیم؟ البته طبق معمول: بیایید مفهوم مدرک را گسترش دهیم و ساده کنیم:

خب حالا بیایید پرانتزها را باز کنیم. چند حرف خواهد بود؟ بار توسط ضرب - چگونه به نظر می رسد؟ این چیزی نیست جز تعریف یک عملیات ضرب: در مجموع معلوم شد ضریب هایی وجود دارد. یعنی طبق تعریف، توان یک عدد با توان است:

مثال:

درجه با توان غیرمنطقی

علاوه بر اطلاعات در مورد درجه برای سطح متوسط، ما مدرک را با یک شاخص غیر منطقی تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. تمام قواعد و ویژگی های درجه ها در اینجا دقیقاً مشابه درجه ای با توان گویا است، به استثنای - در نهایت، طبق تعریف، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی توانند به صورت کسری نمایش داده شوند، جایی که اعداد صحیح هستند (یعنی ، اعداد غیر منطقی همه اعداد حقیقی هستند به جز اعداد گویا).

هنگام مطالعه درجات با یک شاخص طبیعی، عدد صحیح و منطقی، هر بار یک "تصویر"، "قیاس" یا توصیف خاص را با عبارات آشناتر می سازیم. برای مثال، یک توان طبیعی عددی است که در خودش چند برابر شود. یک عدد به درجه صفر، همانطور که بود، عددی است که یک بار در خودش ضرب شده است، یعنی هنوز شروع به ضرب نکرده است، به این معنی که خود عدد هنوز ظاهر نشده است - بنابراین، نتیجه فقط یک عدد است. "تهیه یک عدد" معین، یعنی یک عدد. یک درجه با یک نشانگر منفی عدد صحیح - گویی یک "فرآیند معکوس" خاصی رخ داده است ، یعنی عدد به خودی خود ضرب نشده بلکه تقسیم شده است.

تصور درجه ای با توان غیرمنطقی بسیار دشوار است (همانطور که تصور یک فضای 4 بعدی دشوار است). بلکه یک شیء صرفاً ریاضی است که ریاضیدانان برای گسترش مفهوم درجه به کل فضای اعداد ایجاد کرده اند.

به هر حال، علم اغلب از یک درجه با توان مختلط استفاده می کند، یعنی یک توان حتی یک عدد واقعی نیست. اما در مدرسه، ما به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم؛ شما این فرصت را خواهید داشت که این مفاهیم جدید را در موسسه درک کنید.

پس اگر یک توان غیر منطقی ببینیم چه کنیم؟ ما تمام تلاش خود را می کنیم تا از شر آن خلاص شویم! :)

مثلا:

خودتان تصمیم بگیرید:

1)

2)

3)

پاسخ ها:

1. تفاوت فرمول مربع ها را به خاطر بسپارید. پاسخ: .
2. ما کسرها را به یک شکل می آوریم: یا هر دو اعشاری، یا هر دو معمولی. به عنوان مثال دریافت می کنیم: .
3. چیز خاصی نیست، ما ویژگی های معمول درجه ها را اعمال می کنیم:

خلاصه بخش و فرمول اساسی

درجهعبارتی از شکل نامیده می شود: ، که در آن:

درجه با توان عدد صحیح

درجه ای که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

درجه با توان منطقی

درجه که نشانگر آن اعداد منفی و کسری است.

درجه با توان غیرمنطقی

توانی که توان آن یک کسر اعشاری یا ریشه نامتناهی است.

خواص درجه

ویژگی های درجه.

• عدد منفی به زوجدرجه، - شماره مثبت.
• عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.
• عدد مثبت به هر توانی یک عدد مثبت است.
• صفر برابر هر توانی است.
• هر عددی به توان صفر برابر است.

حالا شما یک کلمه دارید ...

مقاله را چگونه دوست دارید؟ در نظرات زیر به من اطلاع دهید که آیا آن را دوست داشتید یا نه.

در مورد تجربه خود در مورد خواص قدرت به ما بگویید.

شاید شما سوالاتی داشته باشید. یا پیشنهادات

در نظرات بنویسید.

و در امتحانات خود موفق باشید!

تقسیم قوا با همین پایگاه. ویژگی اصلی یک درجه بر اساس خواص ضرب را می توان به حاصل ضرب سه یا چند درجه با پایه ها و توان های طبیعی یکسان تعمیم داد.

3.a-3 a0 = 1 است، که شمارنده دوم است. در مثال های پیچیده تر، ممکن است مواردی وجود داشته باشد که ضرب و تقسیم باید روی توان هایی با پایه های مختلف و توان های مختلف انجام شود. حال آنها را بر روی مثال های خاص در نظر بگیرید و سعی کنید ثابت کنید.

بنابراین، ما ثابت کردیم که هنگام تقسیم دو توان با پایه های یکسان، شاخص های آنها باید کم شود. بعد از تعیین درجه یک عدد، منطقی است که در مورد خواص درجه صحبت کنیم.

در اینجا ما برای تمام خصوصیات درجه اثبات می کنیم و همچنین نشان می دهیم که چگونه این ویژگی ها هنگام حل مثال ها اعمال می شوند. به عنوان مثال، ویژگی اصلی کسر am·an=am+n، هنگام ساده سازی عبارات، اغلب به شکل am+n=am·an استفاده می شود. اجازه دهید مثالی بزنیم که ویژگی اصلی مدرک را تایید می کند. قبل از ارائه اثبات این خاصیت، اجازه دهید معنای شرایط اضافی در فرمول را مورد بحث قرار دهیم.

خواص درجات با شاخص های طبیعی

شرط m>n معرفی می شود تا از توان طبیعی فراتر نرویم. از برابری حاصل از am−n·an=am و از ارتباط بین ضرب و تقسیم نتیجه می‌شود که am−n یک ضریب am و an است. این خاصیت قدرت های جزئی را با پایه های یکسان ثابت می کند. برای وضوح، این ویژگی را با یک مثال نشان می دهیم. برای مثال، برابری برای هر اعداد طبیعی p، q، r و s برقرار است. برای وضوح بیشتر، مثالی با اعداد خاص می زنیم: (((5،2)3)2)5=(5،2)3+2+5=(5،2)10.

جمع و تفریق تک جمله ها

این واقعیت و ویژگی های ضرب به ما امکان می دهد ادعا کنیم که حاصل ضرب هر تعداد از اعداد مثبت نیز یک عدد مثبت خواهد بود. کاملاً واضح است که برای هر n طبیعی با a=0 درجه an صفر است. در واقع، 0n=0·0·…·0=0. برای مثال 03=0 و 0762=0. به سراغ مبانی منفی برویم. بیایید با حالتی شروع کنیم که توان یک عدد زوج است، آن را 2·m نشان دهید، جایی که m یک عدد طبیعی است.

به اثبات این خاصیت می پردازیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و 0 باقی مانده است که قسمت دوم ویژگی را ثابت کنیم. بنابراین، am−an>0 و am>an که قرار بود ثابت شود. اثبات هر یک از این ویژگی ها کار دشواری نیست، برای این کار کافی است از تعاریف درجه با توان طبیعی و عدد صحیح و همچنین ویژگی های اعمال با اعداد واقعی استفاده کنید.

اگر p=0، آنگاه (a0)q=1q=1 و a0 q=a0=1 داریم، از آنجا (a0)q=a0 q. با همان اصل، می توان تمام خصوصیات دیگر یک درجه را با یک توان عدد صحیح، که به شکل تساوی نوشته شده است، اثبات کرد. شرایط p 0 در این مورد به ترتیب معادل شرایط m 0 خواهد بود.

در این صورت شرط p>q با شرط m1>m2 مطابقت دارد که از قاعده مقایسه کسرهای معمولی با مخرج یکسان ناشی می شود. این نابرابری ها در ویژگی های ریشه ها را می توان به ترتیب و به ترتیب بازنویسی کرد. و تعریف درجه با توان گویا به ما امکان می دهد به ترتیب به نابرابری ها و.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

محاسبه مقدار توان را عمل توان نامیده می شود. یعنی هنگام محاسبه مقدار عبارتی که حاوی براکت نیست، ابتدا عمل مرحله سوم و سپس مرحله دوم (ضرب و تقسیم) و در نهایت مرحله اول (جمع و تفریق) را انجام دهید. عملیات با ریشه

بسط مفهوم درجه. تا اینجا، ما تنها توان‌هایی را با توان طبیعی در نظر گرفته‌ایم؛ اما اعمال با توان و ریشه نیز می‌تواند به توان‌های منفی، صفر و کسری منجر شود. همه این نماها نیاز به یک تعریف اضافی دارند. اگر بخواهیم فرمول a m: a n=a m - n برای m = n معتبر باشد، باید درجه صفر را تعریف کنیم.

ضرب توان اعداد با توان های یکسان. در مرحله بعد، یک قضیه تقسیم قوا را با مبانی مساوی تنظیم می کنیم، مسائل توضیحی را حل می کنیم و قضیه را در حالت کلی اثبات می کنیم. اکنون به تعریف قدرت های منفی می پردازیم. شما به راحتی می توانید این را با جایگزین کردن فرمول از تعریف به بقیه ویژگی ها تأیید کنید. برای حل این مشکل به یاد داشته باشید که: 49 = 7^2 و 147 = 7^2 * 3^1. اگر اکنون با دقت از خصوصیات درجه ها استفاده می کنید (هنگام افزایش درجه به توان، توان ...

یعنی واقعاً توانها تفریق می شوند، اما از آنجایی که توان در مخرج توان منفی است، هنگام تفریق منهای منهای، یک مثبت می دهد و توان ها اضافه می شوند. بیایید به یاد بیاوریم که چه چیزی به آن مونومیال گفته می شود و چه عملیاتی را می توان با مونومی ها انجام داد. به یاد بیاورید که برای آوردن یک مونومی به فرم استاندارد، ابتدا باید یک ضریب عددی را با ضرب همه عوامل عددی بدست آورید و سپس توان های مربوطه را ضرب کنید.

انتقال به یک پایه جدید

یعنی ما باید یاد بگیریم که بین تک جملات مشابه و غیرمشابه تمایز قائل شویم. نتیجه می‌گیریم: تک‌جملات مشابه دارای جزء حرفی یکسان هستند و می‌توان آن‌ها را جمع و کم کرد.

از بازخورد شما متشکرم. اگر پروژه ما را دوست دارید و آماده کمک یا مشارکت در آن هستید، اطلاعات پروژه را برای دوستان و همکاران خود ارسال کنید. در ویدیوی قبلی گفته شد که در مثال‌های تک‌جمعی فقط می‌توان ضرب کرد: «بیایید تفاوت بین این عبارات و عبارات قبلی را پیدا کنیم.

خود مفهوم یک جملات به عنوان یک واحد ریاضی، تنها بر ضرب اعداد و متغیرها دلالت دارد، اگر عملیات دیگری وجود داشته باشد، عبارت دیگر یک تک جمله نخواهد بود. اما در عین حال، تک‌جملات را می‌توان جمع، تفریق، بین خود تقسیم کرد... لگاریتم‌ها، مانند هر اعداد، به هر شکل ممکن قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که به آنها ویژگی های اساسی می گویند.

لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی در اینجا همان پایه ها است. اگر پایه ها متفاوت است، این قوانین کار نمی کند! در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. از فرمول دوم برمی‌آید که امکان مبادله مبنا و آرگومان لگاریتم وجود دارد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج است.

یعنی خاصیت درجه طبیعی n حاصلضرب k عامل به صورت (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn نوشته می شود. هیچ قانونی برای جمع و تفریق توان ها با پایه یکسان وجود ندارد. پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. 4. توان 2a4/5a3 و 2/a4 را کاهش دهید و آنها را به یک مخرج مشترک بیاورید.

مقالات علوم طبیعی و ریاضی

خواص قوا با پایه یکسان

سه ویژگی از توان ها با پایه ها و توان های طبیعی یکسان وجود دارد. این

کار کنید مجموع

خصوصیدو توان با پایه یکسان برابر است با عبارتی که در آن پایه یکسان و توان آن است تفاوتشاخص های ضریب اصلی

افزایش توان یک عدد به توانبرابر است با عبارتی که در آن پایه همان عدد و توان آن است کار کردندو درجه

مراقب باش! قوانین مربوط به جمع و تفریققدرت هایی با همان پایه وجود ندارد.

ما این قواعد خواص را به شکل فرمول می نویسیم:

a m × a n = a m + n

a m ÷ a n = a m–n

(am) n = یک دقیقه

حال آنها را بر روی مثال های خاص در نظر بگیرید و سعی کنید ثابت کنید.

5 2 × 5 3 = 5 5 - در اینجا ما قانون را اعمال کردیم. و حالا تصور کنید اگر قوانین را نمی دانستیم چگونه این مثال را حل می کنیم:

5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 \u003d 5 5 - مربع پنج برابر پنج برابر پنج است و مکعب حاصل ضرب سه پنج است. نتیجه حاصل ضرب پنج پنج است، اما این چیزی غیر از پنج به توان پنجم است: 5 5 .

3 9 ÷ 3 5 = 3 9-5 = 3 4 . بیایید تقسیم را به صورت کسری بنویسیم:

می توان آن را کوتاه کرد:

در نتیجه، دریافت می کنیم:

بنابراین، ما ثابت کردیم که هنگام تقسیم دو توان با پایه های یکسان، شاخص های آنها باید کم شود.

با این حال، هنگام تقسیم، غیرممکن است که مقسوم‌کننده برابر با صفر باشد (زیرا نمی‌توانید بر صفر تقسیم کنید). علاوه بر این، از آنجایی که درجه ها را فقط با شاخص های طبیعی در نظر می گیریم، در نتیجه تفریق شاخص ها نمی توانیم عددی کمتر از 1 بدست آوریم.بنابراین، محدودیت هایی بر روی فرمول a m ÷ a n = a m–n اعمال می شود: a ≠ 0 و m > n .

بریم سراغ خاصیت سوم:
(2 2) 4 = 2 2 × 4 = 2 8

بیایید به شکل گسترده بنویسیم:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

شما می توانید به این نتیجه برسید و منطقی استدلال کنید. باید دو را در چهار برابر ضرب کنید. اما در هر مربع دو دس وجود دارد، بنابراین در مجموع هشت دس وجود خواهد داشت.

Scienceland.info

خواص درجه

یادآوری می کنیم که در این درس می فهمیم خواص درجهبا شاخص های طبیعی و صفر. درجات با شاخص های منطقی و ویژگی های آنها در درس های کلاس 8 مورد بحث قرار خواهد گرفت.

یک توان با توان طبیعی چندین ویژگی مهم دارد که به شما امکان می دهد محاسبات را در مثال های توان ساده کنید.

ملک شماره 1
محصول قدرت ها

هنگام ضرب توان ها با یک پایه، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان ها اضافه می شوند.

a m a n \u003d a m + n، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

این خاصیت توان ها بر حاصلضرب سه توان یا بیشتر نیز تأثیر می گذارد.

بیان را ساده کنید.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

به عنوان مدرک ارائه شود.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

به عنوان مدرک ارائه شود.
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

لطفاً توجه داشته باشید که در ویژگی مشخص شده فقط ضرب توان با پایه های یکسان بود.. در مورد اضافه آنها صدق نمی کند.

شما نمی توانید جمع (3 3 + 3 2) را با 3 5 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر
محاسبه (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 و 3 5 = 243

ملک شماره 2
مدارک تحصیلی خصوصی

هنگام تقسیم توان ها با پایه یکسان، مبنا بدون تغییر باقی می ماند و توان تقسیم کننده از توان تقسیم کننده کم می شود.

ضریب را به صورت توان بنویسید
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

محاسبه.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
مثال. معادله را حل کنید. ما از خاصیت درجات جزئی استفاده می کنیم.
3 8: t = 3 4

پاسخ: t = 3 4 = 81

با استفاده از خواص شماره 1 و شماره 2 می توانید به راحتی عبارات را ساده کنید و محاسبات را انجام دهید.

مثال. بیان را ساده کنید.
4 5 متر + 6 4 متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 5 متر + 6 + متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 6 متر + 8 − 4 متر − 3 = 4 2 متر + 5

مثال. مقدار یک عبارت را با استفاده از ویژگی های درجه پیدا کنید.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

لطفاً توجه داشته باشید که ملک 2 فقط به تقسیم اختیارات با مبانی یکسان می پرداخت.

شما نمی توانید تفاوت (4 3 −4 2) را با 4 1 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر شما (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 و 4 1 = 4 را محاسبه کنید.

ملک شماره 3
توانمندی

هنگام افزایش توان به توان، پایه توان بدون تغییر باقی می ماند و توان ها ضرب می شوند.

(a n) m \u003d a n m، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

توجه داشته باشید که خاصیت شماره 4 نیز مانند سایر خصوصیات درجات به صورت معکوس اعمال می شود.

(a n b n) = (a b) n

یعنی برای ضرب درجات با نماهای یکسان، می توان پایه ها را ضرب کرد و توان را بدون تغییر رها کرد.

مثال. محاسبه.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

مثال. محاسبه.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

در مثال های پیچیده تر، ممکن است مواردی وجود داشته باشد که ضرب و تقسیم باید روی توان هایی با پایه های مختلف و توان های مختلف انجام شود. در این مورد به شما توصیه می کنیم موارد زیر را انجام دهید.

به عنوان مثال، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

نمونه ای از توان کسری اعشاری.

4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (0.25-)) 20 = 4 (1-) 20 = 4 1 = 4

خواص 5
توان ضریب (کسری)

برای بالا بردن یک ضریب به توان، می توانید سود تقسیمی و مقسوم علیه را به طور جداگانه به این توان افزایش دهید و نتیجه اول را بر دومی تقسیم کنید.

(a: b) n \u003d a n: b n، که در آن "a"، "b" هر اعداد گویا هستند، b≠ 0، n هر عدد طبیعی است.

مثال. بیان را به صورت قدرت های جزئی بیان کنید.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

به شما یادآوری می کنیم که یک ضریب را می توان به صورت کسری نشان داد. بنابراین، در صفحه بعد به طور مفصل به موضوع افزایش کسری به توان خواهیم پرداخت.

ضرب و تقسیم اعداد با توان

اگر نیاز دارید عدد خاصی را به توان برسانید، می توانید از جدول توان های اعداد طبیعی از 2 تا 25 در جبر استفاده کنید. اکنون نگاهی دقیق تر خواهیم داشت خواص درجه.

اعداد نماییفرصت های بزرگی را باز می کنند، آنها به ما اجازه می دهند ضرب را به جمع تبدیل کنیم و جمع بسیار آسان تر از ضرب است.

برای مثال باید 16 را در 64 ضرب کنیم. حاصل ضرب این دو عدد 1024 است. پس 16 ضربدر 64=4x4x4x4x4 که آن هم 1024 است.

عدد 16 را نیز می توان به صورت 2x2x2x2 و 64 را به صورت 2x2x2x2x2x2 نشان داد و اگر ضرب کنیم دوباره 1024 به دست می آید.

و اکنون از قانون افزایش یک عدد به توان استفاده می کنیم. 16=4 2، یا 2 4، 64=4 3، یا 2 6، در حالی که 1024=6 4 =4 5، یا 2 10.

بنابراین، مشکل ما را می توان به شکل دیگری نوشت: 4 2 x4 3 =4 5 یا 2 4 x2 6 =2 10، و هر بار 1024 به دست می آید.

ما می توانیم تعدادی مثال مشابه را حل کنیم و ببینیم که ضرب اعداد با توان به کاهش می یابد افزودن نماها، یا یک توان البته به شرطی که مبانی عوامل برابر باشد.

بنابراین ، می توانیم بدون ضرب ، بلافاصله بگوییم که 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

این قانون هنگام تقسیم اعداد با توان نیز صادق است، اما در این مورد، e توان تقسیم کننده از توان تقسیم سود کم می شود. بنابراین، 2 5:2 3 =2 2، که در اعداد معمولی برابر است با 32:8=4، یعنی 2 2. بیایید خلاصه کنیم:

a m x a n \u003d a m + n، a m: a n \u003d a m-n، که در آن m و n اعداد صحیح هستند.

در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد ضرب و تقسیم اعداد با توانخیلی راحت نیست، زیرا ابتدا باید عدد را به صورت نمایی نمایش دهید. نمایش اعداد 8 و 16 در این شکل، یعنی 2 3 و 2 4 کار سختی نیست، اما چگونه می توان این کار را با اعداد 7 و 17 انجام داد؟ یا در مواردی که عدد را می توان به صورت نمایی نشان داد، اما مبانی عبارات نمایی اعداد بسیار متفاوت است، چه باید کرد. به عنوان مثال، 8×9 برابر است با 2 3 x 3 2، در این صورت نمی توانیم توان ها را جمع کنیم. نه 2 5 و نه 3 5 جواب است و نه پاسخ بین این دو.

بعد اصلا ارزش این را دارد که با این روش زحمت بکشیم؟ قطعا ارزشش را دارد. مزایای بسیار زیادی را به خصوص برای محاسبات پیچیده و وقت گیر ارائه می دهد.

تا به حال، ما فرض می کردیم که توان، تعداد عوامل یکسان است. در این حالت حداقل مقدار توان 2 است. اما اگر عمل تقسیم اعداد یا تفریق نماها را انجام دهیم، می توانیم عددی کمتر از 2 را نیز بدست آوریم، به این معنی که تعریف قبلی دیگر نمی تواند برای ما مناسب باشد. ادامه مطلب را در مقاله بعدی بخوانید.

جمع، تفریق، ضرب و تقسیم قوا

جمع و تفریق توان ها

بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن یک به یک آنها با علائم آنها.

بنابراین، مجموع a 3 و b 2 a 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.

شانس همان قدرت متغیرهای مشابهرا می توان اضافه یا کم کرد.

بنابراین، مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.

همچنین بدیهی است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیریم.

اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها به علائم آنها اضافه شود.

بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.

واضح است که مربع a و مکعب a نه دو برابر مربع a بلکه دو برابر مکعب a است.

مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.

منها کردنقدرت ها به همان روش جمع انجام می شود، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.

یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

ضرب توان

اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر با نوشتن پشت سر هم با علامت ضرب بین آنها یا بدون علامت ضرب کرد.

بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.

یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن همان متغیرها مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.

با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر با مجموعدرجات اصطلاحات

بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

در اینجا 5 توان حاصل ضرب است، برابر با 2 + 3، مجموع توان های جمله ها.

بنابراین، a n .a m = a m+n.

برای a n، a به اندازه توان n به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.

و a m ضریب در نظر گرفته می شود به همان تعداد که درجه m برابر است.

از همین رو، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع کردن توان ها ضرب کرد.

بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.

یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

این قانون برای اعدادی که توان آنها − هستند نیز صادق است منفی.

1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی

حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر است با مجموع یا اختلاف مجذورهای آنها.

اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یابد مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه.

بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

تقسیم درجات

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر اعداد با تفریق از مقسوم علیه یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.

بنابراین 3 b 2 تقسیم بر b 2 a 3 است.

نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac است $. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر

هنگام تقسیم توان ها با پایه یکسان، توان آنها کم می شود..

بنابراین، y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . یعنی $\frac = y$.

و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac = a^n$.

یا:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

این قانون برای اعداد با نیز معتبر است منفیمقادیر درجه
نتیجه تقسیم یک -5 بر -3 -2 است.
همچنین $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشت، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.

نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان

1. کاهش توان در $\frac $ پاسخ: $\frac $.

2. نماها را در $\frac$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac $ یا 2x.

3. توان های a 2 / a 3 و a -3 / a -4 را کاهش دهید و به مخرج مشترک بیاورید.
a 2.a -4 یک عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 یک عدد 0 = 1، دومین عدد است.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 / 5a 7 و 5a 5 / 5a 7 یا 2a 3 / 5a 2 و 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.

6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.

7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.

8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک

درجه و خواص آن سطح متوسط.

آیا می‌خواهید قدرت خود را آزمایش کنید و از میزان آمادگی خود برای آزمون یکپارچه دولتی یا OGE مطلع شوید؟

درجهعبارتی از شکل نامیده می شود: ، که در آن:

درجه با توان عدد صحیح

درجه ای که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

درجه با توان منطقی

درجه که نشانگر آن اعداد منفی و کسری است.

درجه با توان غیرمنطقی

درجه ای که توان آن یک کسر اعشاری یا ریشه نامتناهی است.

خواص درجه

ویژگی های درجه.

زوجدرجه، - شماره مثبت.

عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.

عدد مثبت به هر توانی یک عدد مثبت است.

صفر برابر هر توانی است.

هر عددی به توان صفر برابر است.

درجه یک عدد چقدر است؟

توان همان عملیات ریاضی جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم است.

اکنون همه چیز را با استفاده از مثال های بسیار ساده به زبان انسان توضیح خواهم داد. مراقب باش. مثال ها ابتدایی هستند، اما چیزهای مهم را توضیح می دهند.

بیایید با اضافه شروع کنیم.

اینجا چیزی برای توضیح نیست. شما از قبل همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر کدام دو بطری کولا دارند. کولا چقدر؟ درست است - 16 بطری.

حالا ضرب.

همین مثال با کولا را می توان به شکل دیگری نوشت: . ریاضیدانان افرادی حیله گر و تنبل هستند. آنها ابتدا متوجه برخی الگوها می شوند و سپس راهی برای "شمارش" سریعتر آنها پیدا می کنند. در مورد ما، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر به همان تعداد بطری کولا دارند و تکنیکی به نام ضرب را ارائه کردند. موافقم، آسانتر و سریعتر از آن در نظر گرفته می شود.

بنابراین، برای شمارش سریع تر، آسان تر و بدون خطا، فقط باید به خاطر بسپارید جدول ضرب. البته، شما می توانید همه چیز را آهسته تر، سخت تر و با اشتباه انجام دهید! ولی…

اینجا جدول ضرب است. تکرار.

و دیگری زیباتر:

و ریاضیدانان تنبل چه ترفندهای شگرف دیگری برای شمارش ارائه کردند؟ درست - افزایش یک عدد به توان.

افزایش یک عدد به توان

اگر لازم است یک عدد را در خودش پنج برابر ضرب کنید، ریاضیدانان می گویند که باید این عدد را به توان پنجم برسانید. مثلا، . ریاضیدانان به یاد دارند که دو به توان پنجم است. و آنها چنین مشکلاتی را در ذهن خود حل می کنند - سریع تر، آسان تر و بدون خطا.

برای انجام این کار، شما فقط نیاز دارید آنچه را که در جدول قدرت اعداد با رنگ مشخص شده است به خاطر بسپارید. باور کنید زندگی شما را بسیار آسان تر می کند.

ضمناً چرا درجه دوم نامیده می شود مربعاعداد و سوم مکعب? چه مفهومی داره؟ یه سوال خیلی خوب حالا هم مربع و هم مکعب خواهید داشت.

مثال زندگی واقعی شماره 1.

بیایید با مربع یا توان دوم یک عدد شروع کنیم.

اندازه یک استخر مربع را متر به متر تصور کنید. استخر در حیاط خلوت شماست. هوا گرم است و من واقعاً می خواهم شنا کنم. اما ... استخر بدون ته! لازم است کف استخر با کاشی پوشانده شود. چند تا کاشی نیاز دارید؟ برای تعیین این موضوع، باید مساحت کف استخر را بدانید.

به سادگی می توانید با تکان دادن انگشت خود بشمارید که کف استخر از مکعب هایی متر به متر تشکیل شده است. اگر کاشی های شما متر به متر باشد، به قطعات نیاز دارید. آسان است... اما شما کجا چنین کاشی را دیدید؟ کاشی بیشتر سانتی متر در سانتی متر خواهد بود و سپس شما را با "شمارش با انگشت" عذاب خواهید داد. سپس شما باید ضرب کنید. بنابراین، در یک طرف کف استخر، کاشی‌ها (تکه‌ها) و در طرف دیگر، کاشی‌ها قرار می‌دهیم. ضرب در، شما کاشی ().

دقت کردید که برای تعیین مساحت کف استخر همان عدد را در خودش ضرب کردیم؟ چه مفهومی داره؟ از آنجایی که همان عدد ضرب می شود، می توانیم از تکنیک توان استفاده کنیم. (البته وقتی فقط دو عدد دارید، باز هم باید آنها را ضرب کنید یا به توان برسانید. اما اگر تعداد آنها زیاد باشد، افزایش به توان بسیار آسانتر است و همچنین خطاهای کمتری در محاسبات وجود دارد. برای امتحان، این بسیار مهم است).
بنابراین، سی تا درجه دوم () خواهد بود. یا می توانید بگویید که سی مربع خواهد بود. به عبارت دیگر، توان دوم یک عدد را همیشه می توان به صورت مربع نشان داد. و برعکس، اگر مربعی را دیدید، همیشه توان دوم فلان عدد است. مربع تصویری از توان دوم یک عدد است.

مثال زندگی واقعی شماره 2.

در اینجا یک کار برای شما وجود دارد، با استفاده از مربع عدد، تعداد مربع های روی صفحه شطرنج را بشمارید. در یک طرف سلول ها و در طرف دیگر نیز. برای شمارش تعداد آنها باید هشت را در هشت ضرب کنید یا ... اگر متوجه شدید که صفحه شطرنج مربعی با یک ضلع است، می توانید هشت را مربع کنید. سلول ها را دریافت کنید. () بنابراین؟

مثال زندگی واقعی شماره 3.

حالا مکعب یا توان سوم یک عدد. همون استخر اما اکنون باید دریابید که چقدر آب باید در این استخر ریخته شود. شما باید حجم را محاسبه کنید. (حجم ها و مایعات، اتفاقاً با متر مکعب اندازه گیری می شوند. غیرمنتظره، درست است؟) یک استخر بکشید: یک پایین به اندازه یک متر و یک متر عمق و سعی کنید محاسبه کنید که چند مکعب به اندازه یک متر در متر وارد شما می شود. استخر.

فقط انگشت خود را نشان دهید و بشمارید! یک، دو، سه، چهار... بیست و دو، بیست و سه... چقدر شد؟ گم نشدی؟ آیا شمردن با انگشت سخت است؟ به طوری که! از ریاضیدانان مثال بزنید. آنها تنبل هستند، بنابراین متوجه شدند که برای محاسبه حجم استخر، باید طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. در مورد ما، حجم استخر برابر با مکعب خواهد بود ... راحت تر، درست است؟

حالا تصور کنید که ریاضیدانان چقدر تنبل و حیله گر هستند اگر این کار را خیلی آسان کنند. همه چیز را به یک عمل تقلیل داد. آنها متوجه شدند که طول، عرض و ارتفاع برابر است و همان عدد در خودش ضرب می شود ... و این به چه معناست؟ یعنی می توانید از مدرک استفاده کنید. بنابراین، کاری را که شما زمانی با انگشت می شمردید، در یک عمل انجام می دهند: سه در یک مکعب برابر است. اینگونه نوشته شده است:

فقط باقی می ماند جدول درجات را حفظ کنید. مگر اینکه شما به اندازه ریاضیدانان تنبل و حیله گر باشید. اگر دوست دارید سخت کار کنید و اشتباه کنید، می توانید با انگشت به شمارش ادامه دهید.

خوب، برای اینکه در نهایت شما را متقاعد کنیم که مدارک توسط افراد لوفر و حیله گر اختراع شده اند تا مشکلات زندگی خود را حل کنند و مشکلی برای شما ایجاد نکنند، این دو نمونه دیگر از زندگی است.

مثال زندگی واقعی شماره 4.

شما یک میلیون روبل دارید. در ابتدای هر سال به ازای هر میلیون یک میلیون دیگر درآمد کسب می کنید. یعنی هر یک میلیون شما در ابتدای هر سال دو برابر می شود. چند سال دیگر چقدر پول خواهید داشت؟ اگر الان نشسته اید و «با انگشت خود می شمرید»، پس فردی بسیار سخت کوش و .. احمق هستید. اما به احتمال زیاد در عرض چند ثانیه جواب می دهید، زیرا شما باهوش هستید! بنابراین، در سال اول - دو برابر دو ... در سال دوم - چه شد، توسط دو نفر دیگر، در سال سوم ... متوقف شوید! متوجه شدید که این عدد یک بار در خودش ضرب می شود. پس دو تا توان پنجم یک میلیون است! حالا تصور کنید که یک مسابقه دارید و کسی که سریعتر محاسبه می کند این میلیون ها را می گیرد ... آیا ارزش دارد درجات اعداد را به خاطر بسپارید، نظر شما چیست؟

نمونه ای از زندگی شماره 5.

شما یک میلیون دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیون، دو عدد بیشتر درآمد دارید. عالیه درسته؟ هر میلیون سه برابر می شود. در یک سال چقدر پول خواهید داشت؟ بیا بشماریم. سال اول - ضرب در، سپس نتیجه در دیگری ... این در حال حاضر خسته کننده است، زیرا شما قبلاً همه چیز را فهمیده اید: سه بار در خودش ضرب می شود. پس توان چهارم یک میلیون است. فقط باید به یاد داشته باشید که توان سه به چهارم یا است.

اکنون می دانید که با بالا بردن یک عدد به یک قدرت، زندگی خود را بسیار آسان خواهید کرد. بیایید نگاهی بیشتر به کارهایی که می توانید با مدرک انجام دهید و آنچه باید در مورد آنها بدانید بیاندازیم.

اصطلاحات و مفاهیم.

بنابراین، ابتدا اجازه دهید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، نما چیست? این بسیار ساده است - این عددی است که "در بالای" قدرت عدد است. علمی نیست، اما واضح و آسان برای به خاطر سپردن ...

خوب، در همان زمان، چه چنین پایه مدرک? حتی ساده تر، عددی است که در پایین، در پایه قرار دارد.

اینم یه عکس برای اطمینان

خب به طور کلی برای تعمیم و به خاطر سپردن بهتر ... یک مدرک با پایه "" و نشانگر "" به صورت "در درجه" خوانده می شود و به صورت زیر نوشته می شود:

"درجه یک عدد با شاخص طبیعی"

احتمالاً قبلاً حدس زده اید: زیرا توان یک عدد طبیعی است. بله، اما چیست عدد طبیعی? ابتدایی! اعداد طبیعی اعدادی هستند که در شمارش موارد استفاده می‌شوند: یک، دو، سه ... وقتی اقلام را می‌شماریم، نمی‌گوییم: «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت». «یک سوم» یا «نقطه صفر پنج دهم» هم نمی گوییم. اینها اعداد طبیعی نیستند. به نظر شما این اعداد چیست؟

اعدادی مانند «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت» اشاره دارند تمام اعداد.به طور کلی اعداد صحیح شامل همه اعداد طبیعی، اعداد مخالف اعداد طبیعی (یعنی با علامت منفی گرفته شده) و یک عدد هستند. درک صفر آسان است - این زمانی است که هیچ چیز وجود ندارد. و اعداد منفی ("منهای") به چه معناست؟ اما آنها در درجه اول برای نشان دادن بدهی ها اختراع شده اند: اگر موجودی تلفن خود را به روبل داشته باشید، به این معنی است که به روبل اپراتور بدهکار هستید.

همه کسرها اعداد گویا هستند. به نظر شما چگونه به وجود آمدند؟ بسیار ساده. چندین هزار سال پیش، اجداد ما کشف کردند که اعداد طبیعی کافی برای اندازه گیری طول، وزن، مساحت و غیره ندارند. و به این نتیجه رسیدند اعداد گویا… جالب است، اینطور نیست؟

اعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این اعداد چیست؟ به طور خلاصه، یک کسر اعشاری بی نهایت. به عنوان مثال، اگر محیط یک دایره را بر قطر آن تقسیم کنید، یک عدد غیر منطقی به دست می آورید.

اعداد طبیعی را اعدادی می گویند که در شمارش، یعنی و غیره استفاده می شود.

اعداد صحیح - همه اعداد طبیعی، اعداد طبیعی با منهای و عدد 0.

اعداد کسری گویا در نظر گرفته می شوند.

اعداد غیر منطقی اعشاری بی نهایت هستند

مدرک با شاخص طبیعی

بیایید مفهوم درجه را تعریف کنیم که توان آن یک عدد طبیعی (یعنی یک عدد صحیح و مثبت) است.

1. هر عدد به توان اول با خودش برابر است:
2. مربع کردن یک عدد به معنای ضرب آن در خودش است:
3. مکعب کردن یک عدد به این معناست که آن را در خودش سه برابر کنیم:

تعریف.برای رساندن یک عدد به توان طبیعی به این معناست که عدد را در خودش ضرب کنیم:

مقالات علوم طبیعی و ریاضی

خواص قوا با پایه یکسان

سه ویژگی از توان ها با پایه ها و توان های طبیعی یکسان وجود دارد. این

• کار کنید مجموع
• خصوصیدو توان با پایه یکسان برابر است با عبارتی که در آن پایه یکسان و توان آن است تفاوتشاخص های ضریب اصلی
• افزایش توان یک عدد به توانبرابر است با عبارتی که در آن پایه همان عدد و توان آن است کار کردندو درجه

مراقب باش! قوانین مربوط به جمع و تفریققدرت هایی با همان پایه وجود ندارد.

ما این قواعد خواص را به شکل فرمول می نویسیم:

• صبح؟ a n = m+n
• صبح؟ a n = m–n
• (am) n = یک دقیقه

حال آنها را بر روی مثال های خاص در نظر بگیرید و سعی کنید ثابت کنید.

5 2؟ 5 3 = 5 5 - در اینجا ما قانون را اعمال کردیم. و حالا تصور کنید اگر قوانین را نمی دانستیم چگونه این مثال را حل می کنیم:

5 2؟ 5 3 = 5؟ 5؟ 5؟ 5؟ 5 \u003d 5 5 - مربع پنج برابر پنج برابر پنج است و مکعب حاصل ضرب سه پنج است. نتیجه حاصل ضرب پنج پنج است، اما این چیزی غیر از پنج به توان پنجم است: 5 5 .

3 9؟ 3 5 = 3 9-5 = 3 4 . بیایید تقسیم را به صورت کسری بنویسیم:

می توان آن را کوتاه کرد:

در نتیجه، دریافت می کنیم:

بنابراین، ما ثابت کردیم که هنگام تقسیم دو توان با پایه های یکسان، شاخص های آنها باید کم شود.

با این حال، هنگام تقسیم، غیرممکن است که مقسوم‌کننده برابر با صفر باشد (زیرا نمی‌توانید بر صفر تقسیم کنید). علاوه بر این، از آنجایی که درجه ها را فقط با شاخص های طبیعی در نظر می گیریم، در نتیجه تفریق شاخص ها نمی توانیم عددی کمتر از 1 بدست آوریم، بنابراین فرمول a m ? a n = a m–n محدودیت اعمال می شود: a ? 0 و m > n.

بریم سراغ خاصیت سوم:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

بیایید به شکل گسترده بنویسیم:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

شما می توانید به این نتیجه برسید و منطقی استدلال کنید. باید دو را در چهار برابر ضرب کنید. اما در هر مربع دو دس وجود دارد، بنابراین در مجموع هشت دس وجود خواهد داشت.

Scienceland.info

قوانین جمع و تفریق

1. از تغییر در مکان عبارات، مجموع تغییر نمی کند (ویژگی جابجایی جمع)

13+25=38 را می توان به صورت: 25+13=38 نوشت

2. نتیجه جمع تغییر نخواهد کرد اگر عبارات مجاور با مجموع آنها جایگزین شوند (یک ویژگی تداعی جمع).

10+13+3+5=31 را می توان به صورت زیر نوشت: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 و غیره

3. واحدها با یک ها، ده ها با ده ها و غیره جمع می شوند.

34+11=45 (3 ده به اضافه 1 ده؛ 4 یک به اضافه 1 یک).

4. واحدها از واحدها، ده ها از ده ها و غیره کم می شوند.

53-12=41 (3 واحد منهای 2 واحد؛ 5 ده منهای 1 ده)

توجه: 10 واحد یک ده را می سازد. این را باید هنگام تفریق به خاطر بسپارید، زیرا اگر تعداد واحدهای تفریق شده بیشتر از واحدهای کاهش یافته باشد، می توانیم یک ده را از کاهش یافته «قرض» کنیم.

41-12 \u003d 29 (برای تفریق 2 از 1 ، ابتدا باید واحد را از ده ها "قرض" کنیم ، 11-2 \u003d 9 می گیریم؛ به یاد داشته باشید که کاهش یافته 1 کمتر دارد ، بنابراین ، آنجا وجود دارد 3 ده و از آن 1 ده کسر می شود پاسخ 29).

5. اگر یکی از آنها از مجموع دو جمله کم شود، جمله دوم به دست می آید.

این بدان معنی است که جمع را می توان با استفاده از تفریق بررسی کرد.

برای بررسی، یکی از عبارت ها از جمع کم می شود: 49-7=42 یا 49-42=7

اگر در نتیجه تفریق یکی از عبارت ها را به دست نیاوردید، در جمع شما خطایی رخ داده است.

6. اگر subtrahend را به تفاوت اضافه کنید، نتیجه را دریافت می کنید.

این بدان معنی است که تفریق را می توان با جمع بررسی کرد.

برای بررسی، subtrahend را به تفاوت اضافه کنید: 19+50=69.

اگر در نتیجه روشی که در بالا توضیح داده شد، کاهشی دریافت نکردید، در تفریق شما خطایی رخ داده است.

جمع و تفریق اعداد گویا

این درس جمع و تفریق اعداد گویا را پوشش می دهد. موضوع به عنوان پیچیده طبقه بندی می شود. در اینجا لازم است از کل زرادخانه دانش قبلاً به دست آمده استفاده شود.

قوانین جمع و تفریق اعداد صحیح برای اعداد گویا نیز معتبر است. به یاد بیاورید که اعداد گویا اعدادی هستند که می توان آنها را به صورت کسری نشان داد آ -عدد کسری است بمخرج کسری است. و بنباید پوچ باشد

در این درس، به طور فزاینده ای به کسرها و اعداد مختلط به عنوان یک عبارت رایج اشاره خواهیم کرد - اعداد گویا.

پیمایش درس:

مثال 1مقدار یک عبارت را پیدا کنید

هر عدد گویا را همراه با علائم آن در پرانتز می بندیم. ما در نظر می گیریم که مثبتی که در عبارت داده می شود، علامت عمل است و برای کسرها صدق نمی کند. این کسری علامت مثبت مخصوص به خود را دارد که به دلیل اینکه نوشته نشده است نامرئی است. اما برای وضوح آن را یادداشت می کنیم:

این جمع اعداد گویا با علائم مختلف است. برای جمع اعداد گویا با علامت های مختلف، باید عدد کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و علامتی را که ماژول آن بزرگتر است جلوی پاسخ قرار دهید. و برای اینکه بفهمید کدام ماژول بزرگتر و کدام کمتر است، باید بتوانید قبل از محاسبه ماژول های این کسرها را با هم مقایسه کنید:

مدول یک عدد گویا بیشتر از مدول یک عدد گویا است. بنابراین، از . جواب گرفت سپس با کاهش 2 این کسر به جواب نهایی رسیدیم.

در صورت تمایل، برخی از اقدامات ابتدایی، مانند محصور کردن اعداد در پرانتز و قرار دادن ماژول‌ها را می‌توان نادیده گرفت. این مثال را می توان به صورت کوتاه تری نوشت:

مثال 2مقدار یک عبارت را پیدا کنید

هر عدد گویا را همراه با علائم آن در پرانتز می بندیم. ما در نظر می گیریم که منهای که در عبارت داده می شود، علامت عمل است و برای کسری صدق نمی کند.

کسر در این مورد یک عدد گویا مثبت است که دارای علامت مثبت است که نامرئی است. اما برای وضوح آن را یادداشت می کنیم:

جمع را جایگزین تفریق کنیم. به یاد بیاورید که برای این کار باید عدد مقابل را با تفریق به minuend اضافه کنید:

جمع اعداد گویا منفی را بدست آوردیم. برای اضافه کردن اعداد گویا منفی، باید ماژول های آنها را اضافه کنید و جلوی پاسخ دریافتی یک منهای قرار دهید:

مثال 3مقدار یک عبارت را پیدا کنید

در این عبارت کسرها مخرج های مختلفی دارند. برای اینکه کار را برای خودمان راحت کنیم، بیایید این کسرها را به یک مخرج (مشترک) بیاوریم. ما در این مورد به تفصیل نمی پردازیم. اگر مشکل دارید، حتما به درس کسر برگردید و آن را تکرار کنید.

پس از تقلیل کسرها به مخرج مشترک، عبارت به شکل زیر در می آید:

این جمع اعداد گویا با علائم مختلف است. ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم می کنیم و علامت را جلوی پاسخ دریافتی که ماژول آن بزرگتر است قرار می دهیم:

مثال 4مقدار یک عبارت را پیدا کنید

ما مجموع سه ترم را بدست آوردیم. ابتدا مقدار عبارت را بیابید سپس به پاسخ دریافتی اضافه کنید

اقدام اول:

اقدام دوم:

بنابراین، مقدار عبارت برابر است.

راه حل این مثال را می توان کوتاهتر نوشت

مثال 5. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

هر عدد را همراه با علائم آن داخل پرانتز قرار دهید. برای این کار به طور موقت عدد مختلط را گسترش می دهیم

بیایید اجزای عدد صحیح را محاسبه کنیم:

در عبارت اصلی به جای واحد حاصل را بنویسید:

بیایید عبارت حاصل را تبدیل کنیم. برای این کار پرانتزها را حذف می کنیم و واحد و کسر را با هم می نویسیم

راه حل این مثال را می توان کوتاهتر نوشت:

مثال 6مقدار یک عبارت را پیدا کنید

عدد مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید. بیایید بقیه را به همین شکل بازنویسی کنیم:

هر عدد گویا را به همراه علائم آن در پرانتز می بندیم:

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

جمع اعداد گویا منفی را بدست آوردیم. بیایید ماژول های این اعداد را جمع کنیم و قبل از پاسخ دریافتی یک منهای قرار دهیم:

بنابراین، مقدار عبارت است.

راه حل این مثال را می توان کوتاهتر نوشت:

مثال 7بیان ارزش را پیدا کنید

بیایید عدد مختلط را به صورت منبسط بنویسیم. بیایید بقیه را به همین شکل بازنویسی کنیم:

هر عدد گویا را همراه با علائم آن داخل پرانتز قرار دهید

در صورت امکان، تفریق را با جمع جایگزین می کنیم:

بیایید اجزای عدد صحیح را محاسبه کنیم:

در عبارت اصلی به جای نوشتن عدد حاصل؟ 7

عبارت یک شکل بسط یافته از نوشتن یک عدد مختلط است. می توانید بلافاصله با نوشتن اعداد با هم پاسخ را یادداشت کنید؟ 7 و کسری (پنهان کردن منهای این کسری)

بنابراین، ارزش عبارت است

راه حل این مثال را می توان بسیار کوتاهتر نوشت. اگر از برخی جزئیات صرف نظر کنید، می توان آن را به صورت زیر نوشت:

مثال 8مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این عبارت به دو صورت قابل محاسبه است. بیایید هر یک از آنها را در نظر بگیریم.

راه اولقسمت های اعداد صحیح و کسری عبارت به طور جداگانه محاسبه می شوند.

ابتدا اجازه دهید اعداد مختلط را به صورت بسط یافته بنویسیم:

هر عدد را همراه با علائم آن داخل پرانتز قرار دهید:

در صورت امکان، تفریق را با جمع جایگزین می کنیم:

ما مجموع چند عبارت را بدست آوردیم. طبق قانون انجمنی جمع، اگر یک عبارت شامل چند عبارت باشد، مجموع آن به ترتیب عملیات بستگی ندارد. این به ما این امکان را می دهد که قسمت های عدد صحیح و کسری را جداگانه گروه بندی کنیم:

بیایید اجزای عدد صحیح را محاسبه کنیم:

در عبارت اصلی به جای نوشتن عدد به دست آمده 3

بیایید اجزای کسری را محاسبه کنیم:

در عبارت اصلی، به جای نوشتن عدد مختلط حاصل

برای ارزیابی عبارت به دست آمده، عدد مختلط باید به طور موقت بسط داده شود، سپس هر عدد را پرانتز کنید و جمع را جایگزین تفریق کنید. این کار باید بسیار با دقت انجام شود تا علائم اصطلاحات اشتباه نشود.

پس از تبدیل عبارت، یک عبارت جدید داریم که محاسبه آن آسان است. یک عبارت مشابه در مثال 7 بود. به یاد بیاورید که ما قسمت های صحیح را جداگانه اضافه کردیم و قسمت کسری را همانطور که هست رها کردیم:

بنابراین ارزش عبارت است

راه حل این مثال را می توان کوتاهتر نوشت

در یک راه حل کوتاه، مراحل قرار دادن اعداد در پرانتز، جایگزینی تفریق با جمع، گذاشتن ماژول ها نادیده گرفته می شود. اگر در یک مدرسه یا مؤسسه آموزشی دیگر هستید، برای صرفه جویی در زمان و مکان باید از این فعالیت های ابتدایی صرف نظر کنید. راه حل کوتاه بالا را می توان حتی کوتاهتر نوشت. شبیه این خواهد شد:

بنابراین، در حالی که در مدرسه یا مؤسسه آموزشی دیگری هستید، برای این واقعیت آماده باشید که برخی از اقدامات باید در ذهن انجام شود.

راه دوم.اعداد مختلط عبارت به کسرهای نامناسب تبدیل می شوند و مانند کسرهای معمولی محاسبه می شوند.

هر عدد گویا را همراه با علائم آن داخل پرانتز قرار دهید

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

حالا اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید:

جمع اعداد گویا منفی را بدست آوردیم. بیایید ماژول های آنها را اضافه کنیم و قبل از پاسخ دریافتی یک منهای قرار دهیم:

همان پاسخ دفعه قبل را گرفتم.

راه حل دقیق راه دوم به شرح زیر است:

مثال 9عبارات بیان را پیدا کنید

راه اولاعداد صحیح و کسری را جداگانه اضافه کنید.

این بار، بیایید سعی کنیم از برخی اقدامات اولیه، مانند نوشتن یک عبارت به شکل گسترده، قرار دادن اعداد در پرانتز، جایگزینی تفریق با جمع، قرار دادن ماژول ها صرف نظر کنیم:

توجه داشته باشید که قطعات کسری به یک مخرج مشترک تقلیل یافته اند.

راه دوم.اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و مانند کسرهای معمولی محاسبه کنید.

مثال 10مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

عبارت به دست آمده حاوی اعداد منفی نیست که علت اصلی خطاها هستند. و از آنجایی که اعداد منفی وجود ندارد، می‌توانیم مثبت جلوی زیرمجموعه را حذف کنیم و همچنین پرانتزها را حذف کنیم. سپس ساده ترین عبارت را می گیریم که محاسبه آن آسان است:

در این مثال، قسمت های عدد صحیح و کسری به طور جداگانه محاسبه شده است.

مثال 11.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این جمع اعداد گویا با علائم مختلف است. ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم می کنیم و علامت را جلوی عدد حاصل که ماژول آن بزرگتر است قرار می دهیم:

مثال 12.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

عبارت از چندین پارامتر تشکیل شده است. با توجه به ترتیب عملیات، اول از همه، شما باید اقدامات را در براکت انجام دهید.

ابتدا عبارت را محاسبه می کنیم سپس عبارت را اضافه می کنیم و پاسخ های دریافتی اضافه می شوند.

اقدام اول:

اقدام دوم:

اقدام سوم:

پاسخ:ارزش بیانی برابر است

مثال 13مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

با جمع اعداد گویا با علائم مختلف به دست می آید. ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و علامت را جلوی پاسخ که ماژول آن بزرگتر است قرار دهید. اما ما با اعداد مختلط سروکار داریم. برای اینکه بفهمید کدام ماژول بزرگتر و کدام کوچکتر است، باید ماژول های این اعداد مختلط را با هم مقایسه کنید. و برای مقایسه ماژول های اعداد مختلط باید آنها را به کسرهای نامناسب تبدیل کرده و مانند کسرهای معمولی مقایسه کنید.

شکل زیر تمامی مراحل مقایسه ماژول های اعداد مختلط را نشان می دهد

با دانستن اینکه کدام مدول بزرگتر و کدام کوچکتر است، می توانیم محاسبه مثال خود را ادامه دهیم:

بنابراین، ارزش بیان برابر است

جمع و تفریق کسرهای اعشاری را در نظر بگیرید که آنها نیز اعداد گویا هستند و می توانند هم مثبت و هم منفی باشند.

مثال 14مقدار عبارت را بیابید؟3.2 + 4.3

هر عدد گویا را همراه با علائم آن در پرانتز می بندیم. ما در نظر می گیریم که مثبتی که در عبارت داده می شود، علامت عملیات است و برای کسر اعشاری 4.3 اعمال نمی شود. این اعشار علامت بعلاوه مخصوص به خود را دارد که به دلیل مکتوب نشدن نامرئی است. اما برای وضوح آن را یادداشت می کنیم:

این جمع اعداد گویا با علائم مختلف است. برای جمع اعداد گویا با علامت های مختلف، باید عدد کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و علامتی را که ماژول آن بزرگتر است جلوی پاسخ قرار دهید. و برای اینکه بفهمید کدام مدول بزرگتر و کدام کوچکتر است، باید بتوانید مدول های این کسرهای اعشاری را قبل از محاسبه آنها مقایسه کنید:

مدول 4.3 بزرگتر از مدول 3.2 است، بنابراین ما 3.2 را از 4.3 کم کردیم. جواب گرفتم 1.1 پاسخ مثبت است، زیرا پاسخ باید دارای علامت ماژول بزرگتر، یعنی ماژول |+4,3| باشد.

بنابراین مقدار عبارت?3.2 + (4.3) 1.1 است

مثال 15مقدار عبارت 3.5 + (?8.3) را بیابید.

این جمع اعداد گویا با علائم مختلف است. مانند مثال قبل، ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم می کنیم و علامت را جلوی پاسخ قرار می دهیم که ماژول آن بزرگتر است.

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

بنابراین، مقدار عبارت 3.5 + (?8.3) برابر با 4.8 است

این مثال را می توان کوتاهتر نوشت:

مثال 16مقدار عبارت?7.2 + (?3.11) را بیابید

این جمع اعداد گویا منفی است. برای اضافه کردن اعداد گویا منفی، باید ماژول های آنها را اضافه کنید و قبل از پاسخ، یک منهای قرار دهید. برای جلوگیری از به هم ریختن عبارت، می‌توانید ورودی را با ماژول‌ها نادیده بگیرید:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

بنابراین، مقدار عبارت?7.2 + (?3.11) برابر با 10.31 است

این مثال را می توان کوتاهتر نوشت:

مثال 17.مقدار عبارت?0.48 + (?2.7) را بیابید.

این جمع اعداد گویا منفی است. ماژول های آنها را اضافه می کنیم و جلوی پاسخ دریافتی علامت منفی می گذاریم. برای جلوگیری از به هم ریختن عبارت، می‌توانید ورودی را با ماژول‌ها نادیده بگیرید:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

مثال 18.مقدار عبارت?4,9 ? 5.9

هر عدد گویا را همراه با علائم آن در پرانتز می بندیم. ما در نظر می گیریم که منهای که در عبارت داده می شود علامت عملیات است و برای کسر اعشاری 5.9 صدق نمی کند. این اعشار علامت بعلاوه مخصوص به خود را دارد که به دلیل مکتوب نشدن نامرئی است. اما برای وضوح آن را یادداشت می کنیم:

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

جمع اعداد گویا منفی را بدست آوردیم. ماژول های آنها را اضافه کنید و جلوی پاسخ دریافتی یک منهای قرار دهید. برای جلوگیری از به هم ریختن عبارت، می‌توانید ورودی را با ماژول‌ها نادیده بگیرید:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

بنابراین، مقدار عبارت 4,9 ? 5.9 برابر است؟ 10.8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

مثال 19.مقدار عبارت 7 را پیدا کنید؟ 9.3

هر عدد را همراه با علائم آن داخل پرانتز قرار دهید

جمع را جایگزین تفریق کنیم

جمع اعداد گویا با علائم مختلف را به دست آوردیم. ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و علامت را جلوی پاسخ که ماژول آن بزرگتر است قرار دهید. برای جلوگیری از به هم ریختن عبارت، می‌توانید ورودی را با ماژول‌ها نادیده بگیرید:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

بنابراین، مقدار عبارت 7 ? 9.3 برابر است؟ 2.3

حل تفصیلی این مثال به صورت زیر نوشته شده است:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

یک راه حل کوتاه به این صورت است:

مثال 20.مقدار عبارت را بیابید؟ 0.25 ? (?1،2)

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

جمع اعداد گویا با علائم مختلف را به دست آوردیم. ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و علامت را جلوی پاسخ قرار دهید که ماژول آن بزرگتر است:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

حل تفصیلی این مثال به صورت زیر نوشته شده است:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

یک راه حل کوتاه به این صورت است:

مثال 21.مقدار عبارت?3.5 + (4.1 ? 7.1) را بیابید.

ابتدا اقدامات داخل پرانتز را انجام می دهیم سپس پاسخ دریافتی را با عدد اضافه می کنیم؟3.5. بیایید از ورود ماژول‌ها بگذریم تا عبارات به هم نریزند.

اقدام اول:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

اقدام دوم:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

پاسخ:مقدار عبارت ?3.5 + (4.1 ? 7.1) ?6.5 است.

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

مثال 22.مقدار عبارت (3.5 ? 2.9) ? (3.7 x 9.1)

بیایید اعمال را در پرانتز انجام دهیم، سپس از عددی که در نتیجه اجرای براکت های اول معلوم شد، عددی را که در نتیجه اجرای براکت دوم به دست آمد کم کنیم. بیایید از ورود ماژول‌ها بگذریم تا عبارات به هم نریزند.

اقدام اول:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

اقدام دوم:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

عمل سوم

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

پاسخ:مقدار عبارت (3.5 ? 2.9) ? (3.7 ? 9.1) برابر با 6 است.

یک راه حل کوتاه برای این مثال را می توان به صورت زیر نوشت:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

مثال 23.مقدار عبارت?3.8 + 17.15 ? 6.2؟ 6.15

هر عدد گویا را همراه با علائم آن داخل پرانتز قرار دهید

در صورت امکان تفریق را با جمع جایگزین کنید

این عبارت از چند اصطلاح تشکیل شده است. طبق قانون تداعی جمع، اگر عبارت از چند عبارت تشکیل شده باشد، مجموع آن به ترتیب اعمال بستگی ندارد. این بدان معنی است که شرایط را می توان به هر ترتیبی اضافه کرد.

ما چرخ را دوباره اختراع نمی کنیم، بلکه تمام اصطلاحات را از چپ به راست به ترتیب ظاهر شدن آنها اضافه می کنیم:

اقدام اول:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

اقدام دوم:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

اقدام سوم:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

پاسخ:مقدار بیان؟ 3.8 + 17.15 ? 6.2؟ 6.15 برابر است با 1.

یک راه حل کوتاه برای این مثال را می توان به صورت زیر نوشت:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

راه حل های کوتاه مشکلات و سردرگمی کمتری ایجاد می کنند، بنابراین بهتر است به آنها عادت کنید.

مثال 24.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید کسر اعشاری 1.8 را به عدد مختلط تبدیل کنیم. بقیه را همانطور که هست بازنویسی می کنیم. اگر در تبدیل عدد اعشاری به عدد مختلط مشکل دارید، حتماً درس مربوط به کسرهای اعشاری را تکرار کنید.

مثال 25.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

جمع را جایگزین تفریق کنیم. در طول مسیر، کسر اعشاری (? 4.4) را به کسری نامناسب تبدیل می کنیم.

هیچ عدد منفی در عبارت حاصل وجود ندارد. و چون اعداد منفی وجود ندارد، می‌توانیم مثبت جلوی عدد دوم را حذف کرده و پرانتز را حذف کنیم. سپس یک عبارت جمع ساده بدست می آوریم که به راحتی حل می شود

مثال 26.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید عدد مختلط را به کسری نامناسب و کسر اعشاری 0.85 را به کسری معمولی تبدیل کنیم. عبارت زیر را دریافت می کنیم:

جمع اعداد گویا منفی را بدست آوردیم. ماژول های آنها را اضافه می کنیم و جلوی پاسخ دریافتی علامت منفی می گذاریم. برای جلوگیری از به هم ریختن عبارت، می‌توانید ورودی را با ماژول‌ها نادیده بگیرید:

مثال 27.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

هر دو کسر را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید. برای تبدیل اعداد اعشاری 2.05 به کسر نامناسب، می توانید ابتدا آن را به یک عدد مختلط و سپس به کسری نامناسب تبدیل کنید:

پس از تبدیل هر دو کسر به کسر نامناسب، عبارت زیر را دریافت می کنیم:

جمع اعداد گویا با علائم مختلف را به دست آوردیم. ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم می کنیم و علامتی که ماژول آن بزرگتر است را در مقابل پاسخ دریافتی قرار می دهیم:

مثال 28.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

جمع را جایگزین تفریق کنیم. بیایید اعشار را به کسری مشترک تبدیل کنیم

مثال 29.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید کسرهای اعشاری 0.25 و 1.25 را به کسرهای معمولی تبدیل کنیم، بقیه را همانطور که هست رها کنیم. عبارت زیر را دریافت می کنیم:

می توانید در صورت امکان ابتدا جمع را جایگزین تفریق کنید و اعداد گویا را یکی یکی اضافه کنید. گزینه دوم وجود دارد: ابتدا اعداد گویا و را اضافه کنید و سپس عدد گویا را از عدد حاصل کم کنید. ما از این گزینه استفاده خواهیم کرد.

اقدام اول:

اقدام دوم:

پاسخ:ارزش بیانی برابر با؟2.

مثال 30.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

کسرهای اعشاری را به کسرهای معمولی تبدیل کنید. بقیه را همین طور که هست بگذاریم.

ما مجموع چند عبارت را بدست آوردیم. اگر مجموع از چند عبارت تشکیل شده باشد، می توان عبارت را به هر ترتیبی ارزیابی کرد. این از قانون انجمنی جمع ناشی می شود.

بنابراین، ما می توانیم راحت ترین گزینه را برای خود سازماندهی کنیم. اول از همه، می توانید اولین و آخرین عبارت، یعنی اعداد گویا و . این اعداد مخرج های یکسانی دارند، به این معنی که این ما را از نیاز به آوردن آنها به آن رها می کند.

اقدام اول:

عدد حاصل را می توان به جمله دوم یعنی عدد گویا اضافه کرد. اعداد گویا در قسمت های کسری مخرج های یکسانی دارند که باز هم برای ما یک مزیت است

اقدام دوم:

خوب، بیایید عدد حاصل را با جمله آخر، یعنی با یک عدد گویا، جمع کنیم؟ راحت است که هنگام محاسبه این عبارت، هفت ها ناپدید شوند، یعنی مجموع آنها برابر با صفر خواهد بود، زیرا مجموع اعداد مخالف برابر با صفر است.

اقدام سوم:

پاسخ:ارزش عبارت است

آیا درس را دوست داشتید؟
به گروه جدید Vkontakte ما بپیوندید و شروع به دریافت اعلان های درس های جدید کنید

جمع و تفریق اعداد صحیح

در این درس خواهیم آموخت جمع و تفریق اعداد صحیحو همچنین قوانین جمع و تفریق آنها.

به یاد بیاورید که اعداد صحیح همه اعداد مثبت و منفی و همچنین عدد 0 هستند. به عنوان مثال، اعداد زیر اعداد صحیح هستند:

اعداد مثبت را می توان به راحتی جمع و تفریق کرد، ضرب و تقسیم کرد. متأسفانه، این را نمی توان در مورد اعداد منفی گفت، که بسیاری از مبتدیان را با منفی های خود قبل از هر رقم گیج می کنند. همانطور که تمرین نشان می دهد، اشتباهات ناشی از اعداد منفی بیشتر دانش آموزان را ناراحت می کند.

مثال های جمع و تفریق عدد صحیح

اولین چیزی که باید یاد بگیرید جمع و تفریق اعداد صحیح با استفاده از خط مختصات است. کشیدن خط مختصات ضروری نیست. کافی است آن را در افکار خود تصور کنید و ببینید اعداد منفی در کجا قرار دارند و اعداد مثبت کجا هستند.

ساده ترین عبارت را در نظر بگیرید: 1 + 3. مقدار این عبارت 4 است:

این مثال را می توان با استفاده از خط مختصات فهمید. برای انجام این کار، از نقطه ای که عدد 1 قرار دارد، باید سه مرحله به سمت راست حرکت کنید. در نتیجه، ما خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد 4 در آن قرار دارد. در شکل می توانید ببینید که چگونه این اتفاق می افتد:

علامت مثبت در عبارت 1 + 3 به ما می گوید که باید در جهت افزایش اعداد به سمت راست حرکت کنیم.

مثال 2بیایید مقدار عبارت 1 را پیدا کنیم؟ 3.

ارزش این عبارت است؟2

این مثال دوباره با استفاده از خط مختصات قابل درک است. برای انجام این کار، از نقطه ای که عدد 1 قرار دارد، باید سه مرحله به سمت چپ حرکت کنید. در نتیجه، خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد منفی 2 در آن قرار دارد. شکل نشان می دهد که چگونه این اتفاق می افتد:

علامت منفی در عبارت 1 ? 3 به ما می گوید که باید در جهت کاهش اعداد به سمت چپ حرکت کنیم.

به طور کلی، باید به یاد داشته باشیم که اگر اضافه انجام شود، باید در جهت افزایش به سمت راست حرکت کنیم. اگر تفریق انجام شود، باید در جهت کاهش به سمت چپ حرکت کنید.

مثال 3مقدار عبارت را بیابید؟2 + 4

مقدار این عبارت 2 است

این مثال دوباره با استفاده از خط مختصات قابل درک است. برای انجام این کار، از نقطه ای که عدد منفی 2 قرار دارد، باید چهار قدم به سمت راست حرکت کنید. در نتیجه خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد مثبت 2 قرار دارد.

مشاهده می شود که از نقطه ای که عدد منفی 2 در آن قرار دارد چهار پله به سمت راست حرکت کرده ایم و به نقطه ای رسیده ایم که عدد مثبت 2 قرار دارد.

علامت مثبت در عبارت?2 + 4 به ما می گوید که باید در جهت افزایش اعداد به سمت راست حرکت کنیم.

مثال 4مقدار عبارت را بیابید؟1 ? 3

مقدار این عبارت است؟4

این مثال دوباره با استفاده از یک خط مختصات قابل حل است. برای انجام این کار، از نقطه ای که عدد منفی ۱ قرار دارد، باید سه قدم به سمت چپ حرکت کنید. در نتیجه خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد منفی در آن قرار دارد؟

مشاهده می شود که از نقطه ای که عدد منفی؟1 در آن قرار دارد، سه پله به سمت چپ حرکت کرده ایم و به نقطه ای رسیده ایم که عدد منفی؟4 قرار دارد.

علامت منفی در عبارت?1 ? 3 به ما می گوید که باید در جهت کاهش اعداد به سمت چپ حرکت کنیم.

مثال 5مقدار عبارت را بیابید؟2 + 2

مقدار این عبارت 0 است

این مثال را می توان با استفاده از یک خط مختصات حل کرد. برای انجام این کار، از نقطه ای که عدد منفی 2 قرار دارد، باید دو قدم به سمت راست حرکت کنید. در نتیجه خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد 0 در آن قرار دارد

مشاهده می شود که از نقطه ای که عدد منفی 2 در آن قرار دارد دو پله به سمت راست حرکت کرده ایم و به نقطه ای رسیده ایم که عدد 0 قرار دارد.

علامت مثبت در عبارت?2 + 2 به ما می گوید که باید در جهت افزایش اعداد به سمت راست حرکت کنیم.

قوانین جمع و تفریق اعداد صحیح

برای محاسبه این یا آن عبارت، لازم نیست هر بار خط مختصات را تصور کنید، چه رسد به رسم آن. استفاده از قوانین آماده راحت تر است.

هنگام اعمال قوانین، باید به علامت عملیات و علائم اعدادی که باید اضافه یا تفریق شوند توجه کنید. این مشخص می کند که کدام قانون اعمال شود.

مثال 1مقدار عبارت را بیابید؟2 + 5

در اینجا یک عدد مثبت به عدد منفی اضافه می شود. به عبارت دیگر، جمع اعداد با علائم مختلف انجام می شود. ?2 منفی و 5 مثبت است. برای چنین مواردی، قانون زیر ارائه شده است:

بنابراین، بیایید ببینیم کدام ماژول بزرگتر است:

آیا مدول 5 بزرگتر از مدول عدد است؟2. این قانون مستلزم تفریق ماژول کوچکتر از ماژول بزرگتر است. بنابراین باید 2 را از 5 کم کنیم و قبل از پاسخ دریافتی علامتی را که مدول آن بیشتر است قرار دهیم.

عدد 5 مدول بزرگ تری دارد پس علامت این عدد در جواب خواهد بود. یعنی پاسخ مثبت خواهد بود:

آیا معمولاً کوتاهتر نوشته می شود؟ 2 + 5 = 3

مثال 2مقدار عبارت 3 + (?2) را بیابید

در اینجا، مانند مثال قبلی، جمع اعداد با علائم مختلف انجام می شود. 3 عدد مثبت و ?2 منفی است. توجه داشته باشید که عدد?2 در داخل پرانتز قرار دارد تا عبارت واضح تر و زیباتر شود. درک این عبارت بسیار ساده تر از عبارت 3+?2 است.

بنابراین، قانون جمع اعداد با علائم مختلف را اعمال می کنیم. مانند مثال قبل، ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم می کنیم و علامت را در مقابل پاسخ قرار می دهیم که ماژول آن بزرگتر است:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

مدول عدد 3 از مدول عدد?2 بزرگتر است پس 2 را از 3 کم کرده و علامت مدول را که بزرگتر است جلوی جواب دریافتی قرار می دهیم. عدد 3 دارای یک ماژول بزرگتر است، بنابراین علامت این عدد در پاسخ قرار می گیرد. یعنی پاسخ مثبت است.

معمولاً کوتاهتر 3 + (? 2) = 1 نوشته می شود

مثال 3مقدار عبارت 3 را پیدا کنید؟ 7

در این عبارت عدد بزرگتر از عدد کوچکتر کم می شود. برای چنین موردی، قانون زیر ارائه شده است:

برای تفریق عدد بزرگتر از عدد کوچکتر، باید عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم کنید و جلوی پاسخ دریافتی یک عدد منفی قرار دهید.

در این عبارت یک اشکال جزئی وجود دارد. به یاد داشته باشید که علامت مساوی (=) بین مقادیر و عبارات زمانی قرار می گیرد که آنها با یکدیگر برابر باشند.

ارزش عبارت 3 7 چگونه می دانستیم مساوی؟4. این بدان معنی است که هر تبدیلی که در این عبارت انجام خواهیم داد باید برابر باشد؟4

اما می بینیم که مرحله دوم شامل عبارت 7 ? 3 که برابر با?4 نیست.

برای اصلاح این وضعیت عبارت 7 ? 3 باید در پرانتز گرفته شود و جلوی این براکت یک منفی قرار دهید:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

در این صورت برابری در هر مرحله رعایت خواهد شد:

پس از ارزیابی عبارت، پرانتزها را می توان حذف کرد، که ما انجام دادیم.

بنابراین برای دقیق تر، راه حل باید به شکل زیر باشد:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

این قانون را می توان با استفاده از متغیرها نوشت. شبیه این خواهد شد:

آ؟ b=؟ (ب؟ الف)

تعداد زیادی براکت و علائم عملیاتی می تواند حل یک کار به ظاهر بسیار ساده را پیچیده کند، بنابراین بهتر است یاد بگیرید که چگونه چنین مثال هایی را به طور خلاصه بنویسید، مثلاً 3؟ 7=؟ 4.

در واقع جمع و تفریق اعداد صحیح فقط به جمع تقلیل می یابد. این یعنی چی؟ به این معنی که اگر می خواهید اعداد را تفریق کنید، این عمل را می توان با جمع جایگزین کرد.

پس بیایید با قانون جدید آشنا شویم:

تفریق یک عدد از عدد دیگر به معنای جمع کردن عددی است که برعکس عدد کسر شده باشد.

برای مثال ساده ترین عبارت 5 را در نظر بگیرید؟ 3. در مراحل اولیه یادگیری ریاضی، به سادگی علامت مساوی قرار داده و پاسخ را یادداشت می کنیم:

اما اکنون در حال پیشرفت در یادگیری هستیم، بنابراین باید خود را با قوانین جدید وفق دهیم. قانون جدید می گوید که تفریق یک عدد از عدد دیگر به معنای افزودن عددی به مینیوند است که برعکس عدد تفریق شده باشد.

با استفاده از عبارت 5?3 به عنوان مثال، بیایید سعی کنیم این قانون را درک کنیم. چیزی که در این عبارت کاهش می یابد 5 است و چیزی که کم می شود 3 است. قانون می گوید برای تفریق 3 از 5، باید عددی را به 5 اضافه کنید که مخالف 3 باشد. عدد مقابل برای عدد 3 است. است؟ 3. ما یک عبارت جدید می نویسیم:

و ما قبلاً می دانیم که چگونه مقادیر چنین عباراتی را پیدا کنیم. این جمع اعداد با علائم مختلف است که در بالا به آن پرداختیم. برای جمع کردن اعداد با علامت های مختلف، باید عدد کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و علامتی که ماژول آن بزرگتر است را در مقابل پاسخ دریافتی قرار دهید:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

آیا مدول 5 از مدول عدد بزرگتر است؟3. بنابراین 3 را از 5 کم کردیم و 2 به دست آوردیم. عدد 5 مدول بزرگتری دارد بنابراین علامت این عدد در پاسخ قرار داده شد. یعنی جواب مثبت است.

در ابتدا، همه موفق نمی شوند به سرعت جمع را جایگزین تفریق کنند. زیرا اعداد مثبت بدون علامت مثبت نوشته می شوند.

مثلاً در عبارت 3 ? علامت 1 منهای که نشان دهنده تفریق است، علامت عمل است و به یک اشاره نمی کند. واحد در این مورد یک عدد مثبت است و علامت مثبت خاص خود را دارد، اما ما آن را نمی بینیم، زیرا به طور سنتی مثبت قبل از اعداد مثبت نوشته نمی شود.

و بنابراین، برای وضوح، این عبارت را می توان به صورت زیر نوشت:

برای راحتی، اعداد با علائم آنها در داخل پرانتز قرار می گیرند. در این مورد، جایگزینی تفریق با جمع بسیار آسان تر است. در این حالت عدد (+1) و عدد مقابل (?1) کم می شود. عمل تفریق را با جمع جایگزین می کنیم و به جای عدد فرعی (+1) عدد مقابل (? 1) را یادداشت می کنیم.

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

در نگاه اول به نظر می رسد که این حرکات اضافی چه فایده ای دارد، اگر می توانید از روش خوب قدیمی برای قرار دادن علامت مساوی استفاده کنید و بلافاصله پاسخ 2 را یادداشت کنید. در واقع، این قانون بیش از یک بار به ما کمک می کند.

بیایید مثال قبلی 3 را حل کنیم؟ 7 با استفاده از قانون تفریق. ابتدا عبارت را به شکل عادی می آوریم و هر عدد را با علائمش قرار می دهیم. سه علامت مثبت دارد زیرا عددی مثبت است. منهای نشان دهنده تفریق در مورد هفت صدق نمی کند. هفت دارای علامت مثبت است زیرا یک عدد مثبت نیز هست:

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

محاسبه بیشتر دشوار نیست:

مثال 7مقدار عبارت را بیابید؟4 ? 5

قبل از ما دوباره عملیات تفریق است. این عملیات باید با افزودن جایگزین شود. به (?4) کاهش یافته، عدد مقابل را به (5+) تفریق شده اضافه می کنیم. عدد مقابل برای زیر خط (+5) عدد (?5) است.

ما به شرایطی رسیده ایم که باید اعداد منفی را اضافه کنیم. برای چنین مواردی، قانون زیر ارائه شده است:

برای اضافه کردن اعداد منفی، باید ماژول های آنها را اضافه کنید و جلوی پاسخ دریافتی یک منهای قرار دهید.

بنابراین، بیایید طبق قانون ماژول های اعداد را اضافه کنیم و جلوی پاسخ دریافتی یک منهای قرار دهیم:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

ورودی با ماژول ها باید در براکت ها محصور شود و قبل از این براکت ها یک منهای قرار داده شود. بنابراین ما یک منهای ارائه می دهیم که باید قبل از پاسخ باشد:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

راه حل این مثال را می توان کوتاهتر نوشت:

مثال 8مقدار عبارت را بیابید؟3 ? 5؟ 7؟ 9

بیایید بیان را به شکل واضحی برسانیم. در اینجا، همه اعداد به جز عدد?3 مثبت هستند، بنابراین آنها دارای علائم مثبت خواهند بود:

اجازه دهید عملیات تفریق را با عملیات جمع جایگزین کنیم. همه منفی ها (به جز منفی که در جلوی سه قرار دارد) به مثبت و همه اعداد مثبت به عکس تغییر می کنند:

حالا قانون جمع اعداد منفی را اعمال کنید. برای اضافه کردن اعداد منفی، باید ماژول های آنها را اضافه کنید و جلوی پاسخ دریافتی یک منهای قرار دهید:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

راه حل این مثال را می توان کوتاهتر نوشت:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

مثال 9مقدار عبارت را بیابید؟10 + 6 ? 15 + 11؟ 7

بیایید عبارت را به یک شکل واضح بیاوریم:

در اینجا دو عمل وجود دارد: جمع و تفریق. جمع را همانطور که هست رها می کنیم و جمع را جایگزین تفریق می کنیم:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

به دنبال ترتیب اقدامات، ما هر عمل را به نوبه خود و بر اساس قوانین قبلاً مطالعه شده انجام خواهیم داد. ورودی های دارای ماژول را می توان نادیده گرفت:

اقدام اول:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

اقدام دوم:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

اقدام سوم:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

اقدام چهارم:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

بنابراین مقدار عبارت ?10 + 6 ? 15 + 11؟ 7 برابر است؟ 15

توجه داشته باشید. لازم نیست با قرار دادن اعداد در داخل پرانتز، عبارت را به شکل واضحی برسانید. هنگام عادت کردن به اعداد منفی، می توان از این عمل صرف نظر کرد، زیرا زمان می برد و ممکن است گیج کننده باشد.

بنابراین، برای جمع و تفریق اعداد صحیح، باید قوانین زیر را به خاطر بسپارید:

برای اضافه کردن اعداد با علامت های مختلف، باید یک ماژول کوچکتر را از یک ماژول بزرگتر کم کنید و علامتی که ماژول آن بزرگتر است را جلوی پاسخ قرار دهید.

برای تفریق عدد بزرگتر از عدد کوچکتر، باید عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم کرده و جلوی پاسخ دریافتی علامت منفی قرار دهید.

تفریق یک عدد از عدد دیگر به این معنی است که برعکس عدد کسر شده به عدد کاهش یافته اضافه می شود.

برای اضافه کردن اعداد منفی باید ماژول های آنها را اضافه کنید و جلوی پاسخ دریافتی علامت منفی قرار دهید.

جبر قانون 5-7 به دنباله عددی که هر عضو آن از دومی شروع می شود برابر با قبلی است و با همان عدد d برای این دنباله اضافه می شود، پیشروی حسابی نامیده می شود. عدد d را اختلاف یک تصاعد حسابی می گویند. در پیشرفت حسابی، یعنی در […]

حل مسائل در ژنتیک با استفاده از قوانین مندل 1 و 2 سخنرانی 8 جولیا کیارنووا 1. - ارائه ارائه 3 سال پیش توسط Alina Artemyeva منتشر شد. […]

ما نرخ مالیات حمل و نقل را برای وانت ها و سایر وسایل نقلیه غیر معمول با رده "B" تعیین می کنیم. اطلاعات لازم را از عنوان دریافت می کنیم) لازم نیست در نظر گرفته شود. از این گذشته ، رده "B" به هیچ وجه به معنای […]

رتبه بندی شرکت های بیمه OSAGO OSAGO به بیمه اجباری اشاره دارد که نه تنها در روسیه بلکه در سایر کشورهای نزدیک خارج از کشور نیز معتبر است. این بیمه نامه ها توسط بسیاری از شرکت های بیمه صادر می شود که مجوز مناسب برای انجام این گونه فعالیت ها را دریافت کرده اند. با این حال، […]

اقامت در هتل Ufa مینی هتل در Ufa 5 پنج اتاق مهمانان پایتخت را به یک هتل دنج و راحت واقع در مرکز اوفا در امتداد خیابان Komsomolskaya 159/1 دعوت می کنیم. در مجاورت هتل، مجموعه سینمایی Iskra IMAX، یک سیرک، یک رستوران-کلوپ، یک کافه، یک رستوران Beer Berry، یک […]

قوانین استفاده از زمان حال ساده در زبان انگلیسی زمان حال ساده یک زمان دستوری است که به عنوان یکی از ساده‌ترین زمان‌ها برای درک در نظر گرفته می‌شود، زیرا زمان حال ساده در همه زبان‌ها وجود دارد. در زبان های اسلاوی این درست است. اگر در حال خواندن این مقاله هستید، به این معنی است که شما تنها […]

اگر می خواهید عدد خاصی را به یک پاور افزایش دهید، می توانید از . اکنون نگاهی دقیق تر خواهیم داشت خواص درجه.

اعداد نماییفرصت های بزرگی را باز می کنند، آنها به ما اجازه می دهند ضرب را به جمع تبدیل کنیم و جمع بسیار آسان تر از ضرب است.

برای مثال باید 16 را در 64 ضرب کنیم. حاصل ضرب این دو عدد 1024 است. پس 16 ضربدر 64=4x4x4x4x4 که آن هم 1024 است.

عدد 16 را نیز می توان به صورت 2x2x2x2 و 64 را به صورت 2x2x2x2x2x2 نشان داد و اگر ضرب کنیم دوباره 1024 به دست می آید.

حالا بیایید از قانون استفاده کنیم. 16=4 2، یا 2 4، 64=4 3، یا 2 6، در حالی که 1024=6 4 =4 5، یا 2 10.

بنابراین، مشکل ما را می توان به شکل دیگری نوشت: 4 2 x4 3 =4 5 یا 2 4 x2 6 =2 10، و هر بار 1024 به دست می آید.

ما می توانیم تعدادی مثال مشابه را حل کنیم و ببینیم که ضرب اعداد با توان به کاهش می یابد افزودن نماها، یا یک توان البته به شرطی که مبانی عوامل برابر باشد.

بنابراین ، می توانیم بدون ضرب ، بلافاصله بگوییم که 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

این قانون هنگام تقسیم اعداد با توان نیز صادق است، اما در این مورد، e توان تقسیم کننده از توان تقسیم سود کم می شود. بنابراین، 2 5:2 3 =2 2، که در اعداد معمولی برابر است با 32:8=4، یعنی 2 2. بیایید خلاصه کنیم:

a m x a n \u003d a m + n، a m: a n \u003d a m-n، که در آن m و n اعداد صحیح هستند.

در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد ضرب و تقسیم اعداد با توانخیلی راحت نیست، زیرا ابتدا باید عدد را به صورت نمایی نمایش دهید. نمایش اعداد 8 و 16 در این شکل، یعنی 2 3 و 2 4 کار سختی نیست، اما چگونه می توان این کار را با اعداد 7 و 17 انجام داد؟ یا در مواردی که عدد را می توان به صورت نمایی نشان داد، اما مبانی عبارات نمایی اعداد بسیار متفاوت است، چه باید کرد. به عنوان مثال، 8×9 برابر است با 2 3 x 3 2، در این صورت نمی توانیم توان ها را جمع کنیم. نه 2 5 و نه 3 5 جواب است و نه پاسخ بین این دو.

بعد اصلا ارزش این را دارد که با این روش زحمت بکشیم؟ قطعا ارزشش را دارد. مزایای بسیار زیادی را به خصوص برای محاسبات پیچیده و وقت گیر ارائه می دهد.