در میان ویژگی‌های عددی متغیرهای تصادفی، ابتدا باید به مواردی اشاره کرد که موقعیت یک متغیر تصادفی را در محور عدد مشخص می‌کنند، یعنی. مقداری متوسط و تقریبی را نشان می‌دهد که تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی حول آن گروه‌بندی می‌شود.
مقدار متوسط یک متغیر تصادفی یک عدد معین است که همانطور که بود "نماینده" آن است و در محاسبات تقریبی تقریبی جایگزین آن می شود. هنگامی که می گوییم: "متوسط زمان کارکرد لامپ 100 ساعت است" یا "متوسط نقطه ضربه نسبت به هدف 2 متر به سمت راست جابه جا می شود"، با این کار مشخصه عددی خاصی از یک متغیر تصادفی را نشان می دهیم که آن را توصیف می کند. مکان روی محور عددی، یعنی. شرح موقعیت.
از ویژگی های یک موقعیت در نظریه احتمال، مهمترین نقش را انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی ایفا می کند که گاهی اوقات به سادگی مقدار متوسط یک متغیر تصادفی نامیده می شود.
یک متغیر تصادفی گسسته را در نظر بگیرید که دارای مقادیر ممکن با احتمالات است. ما باید موقعیت مقادیر متغیر تصادفی را در محور x با مقداری مشخص کنیم، با در نظر گرفتن این واقعیت که این مقادیر احتمالات متفاوتی دارند. برای این منظور طبیعی است که از «میانگین وزنی» مقادیر استفاده شود و هر مقدار باید در حین میانگین گیری با «وزن» متناسب با احتمال این مقدار در نظر گرفته شود. بنابراین، میانگین متغیر تصادفی را محاسبه خواهیم کرد که آن را با:
یا با توجه به اینکه
. (5.6.1)
این میانگین وزنی را انتظار ریاضی از متغیر تصادفی می نامند. بنابراین، ما یکی از مهمترین مفاهیم نظریه احتمال را در نظر گرفتیم - مفهوم انتظار ریاضی.
انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی، مجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات این مقادیر است.
توجه داشته باشید که در فرمول فوق، تعریف انتظار ریاضی، به طور دقیق، فقط برای متغیرهای تصادفی گسسته معتبر است. در زیر این مفهوم را به کمیت های پیوسته تعمیم می دهیم.
برای اینکه مفهوم انتظار ریاضی را بیشتر توضیح دهیم، اجازه دهید به تفسیر مکانیکی توزیع یک متغیر تصادفی گسسته بپردازیم. بگذارید نقاط دارای ابسیسا در محور آبسیسا قرار گیرند که جرم ها به ترتیب در آن متمرکز شده اند و . سپس، بدیهی است که انتظار ریاضی تعریف شده توسط فرمول (5.6.1) چیزی نیست جز آبسیسا مرکز ثقل سیستم داده شده از نقاط مادی.
انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی با یک وابستگی عجیب با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی با تعداد زیادی آزمایش مرتبط است. این وابستگی از همان نوع وابستگی بین فرکانس و احتمال است، یعنی: با تعداد زیادی آزمایش، میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی به انتظارات ریاضی آن نزدیک می شود (در احتمال همگرا می شود). از وجود رابطه بین فراوانی و احتمال، می توان به عنوان یک نتیجه، وجود یک رابطه مشابه بین میانگین حسابی و انتظار ریاضی را استنباط کرد.
در واقع، یک متغیر تصادفی گسسته را در نظر بگیرید که با یک سری توزیع مشخص می شود:
جایی که 
.
اجازه دهید آزمایش های مستقلی انجام شود که در هر کدام از آنها مقدار مقدار مشخصی را می گیرد. فرض کنید مقدار یک بار ظاهر شد، مقدار یک بار ظاهر شد، به طور کلی مقدار یک بار ظاهر شد. به طور مشخص،
اجازه دهید میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده کمیت را محاسبه کنیم، که بر خلاف انتظارات ریاضی، نشان خواهیم داد:
اما چیزی بیش از فراوانی (یا احتمال آماری) یک رویداد وجود ندارد. این فرکانس را می توان نامید. سپس
,
آن ها میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی برابر است با مجموع حاصلضرب همه مقادیر ممکن متغیر تصادفی و بسامدهای این مقادیر.
با افزایش تعداد آزمایش ها، فرکانس ها به احتمالات مربوطه نزدیک می شوند (در احتمال همگرا می شوند). در نتیجه، میانگین حسابی مقادیر مشاهده‌شده یک متغیر تصادفی با افزایش تعداد آزمایش‌ها به انتظارات ریاضی آن نزدیک می‌شود (در احتمال همگرا می‌شود).
ارتباط بین میانگین حسابی و انتظار ریاضی فرموله شده در بالا محتوای یکی از اشکال قانون اعداد بزرگ را تشکیل می دهد. ما در فصل 13 به اثبات دقیق این قانون خواهیم پرداخت.
ما قبلاً می دانیم که همه اشکال قانون اعداد بزرگ این واقعیت را بیان می کنند که میانگین های معینی در تعداد زیادی آزمایش پایدار هستند. در اینجا ما در مورد پایداری میانگین حسابی از یک سری مشاهدات با همان مقدار صحبت می کنیم. با تعداد کمی آزمایش، میانگین حسابی نتایج آنها تصادفی است. با افزایش کافی در تعداد آزمایش ها، "تقریبا تصادفی" نمی شود و با تثبیت، به یک مقدار ثابت - انتظار ریاضی نزدیک می شود.
ویژگی پایداری میانگین ها برای تعداد زیادی آزمایش به راحتی به صورت تجربی تأیید می شود. به عنوان مثال، وزن کردن هر جسمی در آزمایشگاه روی ترازوهای دقیق، در نتیجه توزین هر بار مقدار جدیدی به دست می‌آید. برای کاهش خطای مشاهده، بدن را چندین بار وزن کرده و از میانگین حسابی مقادیر به دست آمده استفاده می کنیم. به راحتی می توان دریافت که با افزایش بیشتر تعداد آزمایش ها (وزن کردن)، میانگین حسابی کمتر و کمتر به این افزایش واکنش نشان می دهد و با تعداد کافی آزمایش ها عملاً تغییر نمی کند.
فرمول (5.6.1) برای انتظارات ریاضی مربوط به مورد یک متغیر تصادفی گسسته است. برای یک مقدار پیوسته، انتظار ریاضی، البته، دیگر به صورت مجموع بیان نمی شود، بلکه به صورت یک انتگرال بیان می شود:
, (5.6.2)
چگالی توزیع کمیت کجاست.
فرمول (5.6.2) از فرمول (5.6.1) به دست می آید، اگر مقادیر فردی را در آن با پارامتر x به طور مداوم در حال تغییر جایگزین کنیم، احتمالات مربوطه - با یک عنصر احتمال، و مجموع نهایی - با یک انتگرال. در ادامه، ما اغلب از این روش برای بسط فرمول های مشتق شده برای کمیت های ناپیوسته در مورد کمیت های پیوسته استفاده می کنیم.
در تفسیر مکانیکی، انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته همان معنی را حفظ می کند - آبسیسا مرکز ثقل در صورتی که جرم به طور مداوم در امتداد محور آبسیسا با چگالی توزیع شود. این تفسیر اغلب امکان یافتن انتظارات ریاضی را بدون محاسبه انتگرال (5.6.2) از ملاحظات مکانیکی ساده می دهد.
در بالا، نماد انتظار ریاضی کمیت را معرفی کردیم. در برخی موارد، هنگامی که یک مقدار به عنوان یک عدد خاص در فرمول ها گنجانده می شود، نشان دادن آن با یک حرف راحت تر است. در این موارد، انتظار ریاضی از مقدار را از طریق زیر نشان خواهیم داد:
نماد و برای انتظارات ریاضی بسته به راحتی یک یا آن نماد فرمول ها در آینده به صورت موازی استفاده خواهد شد. اجازه دهید در صورت لزوم موافقت کنیم که کلمات "انتظار ریاضی" را با حروف m.o مخفف کنیم.
لازم به ذکر است که مهمترین ویژگی موقعیت - انتظار ریاضی - برای همه متغیرهای تصادفی وجود ندارد. می توان نمونه هایی از چنین متغیرهای تصادفی را که انتظار ریاضی برای آنها وجود ندارد، ایجاد کرد، زیرا مجموع یا انتگرال مربوطه واگرا می شود.
به عنوان مثال، یک متغیر تصادفی ناپیوسته با یک سری توزیع را در نظر بگیرید:
تأیید آن آسان است، یعنی سری توزیع منطقی است. با این حال، مجموع در این مورد متفاوت است و بنابراین، انتظار ریاضی از مقدار وجود ندارد. با این حال، برای عمل، چنین مواردی جالب توجه نیستند. معمولاً متغیرهای تصادفی که با آنها سر و کار داریم، محدوده محدودی از مقادیر ممکن و البته انتظاری نیز دارند.
در بالا، فرمول های (5.6.1) و (5.6.2) را به ترتیب بیان کردیم که انتظارات ریاضی را برای یک متغیر تصادفی ناپیوسته و پیوسته بیان می کند.
اگر مقدار متعلق به مقادیر نوع مختلط باشد، انتظارات ریاضی آن با فرمولی از شکل بیان می شود:
, (5.6.3)
که در آن مجموع به تمام نقاطی که تابع توزیع در آن شکسته می‌شود و انتگرال به تمام بخش‌هایی که تابع توزیع در آنها پیوسته است گسترش می‌یابد.
علاوه بر مهمترین ویژگی های موقعیت - انتظار ریاضی - سایر ویژگی های موقعیت گاهی اوقات در عمل استفاده می شود، به ویژه حالت و میانه یک متغیر تصادفی.
حالت یک متغیر تصادفی محتمل ترین مقدار آن است. اصطلاح "محتمل ترین ارزش"، به طور دقیق، فقط برای مقادیر ناپیوسته اعمال می شود. برای یک کمیت پیوسته، حالت مقداری است که در آن چگالی احتمال حداکثر است. ما موافقت می کنیم که حالت را با حرف تعیین کنیم. روی انجیر 5.6.1 و 5.6.2 به ترتیب حالت متغیرهای تصادفی ناپیوسته و پیوسته را نشان می دهند.
اگر چند ضلعی توزیع (منحنی توزیع) بیش از یک ماکزیمم داشته باشد، توزیع "چند وجهی" نامیده می شود (شکل های 5.6.3 و 5.6.4).
گاهی اوقات توزیع هایی وجود دارند که در وسط نه حداکثر، بلکه حداقل دارند (شکل 5.6.5 و 5.6.6). چنین توزیع هایی "ضد وجهی" نامیده می شوند. نمونه ای از توزیع ضد وجهی، توزیع به دست آمده در مثال 5، شماره 5.1 است.
در حالت کلی، حالت و انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی با هم مطابقت ندارند. در یک مورد خاص، وقتی توزیع متقارن و معین است (یعنی حالت دارد) و انتظار ریاضی وجود دارد، آنگاه با حالت و مرکز تقارن توزیع منطبق است.
یکی دیگر از ویژگی های موقعیت اغلب استفاده می شود - به اصطلاح میانه یک متغیر تصادفی. این مشخصه معمولاً فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته استفاده می شود، اگرچه می توان آن را به طور رسمی برای یک متغیر ناپیوسته نیز تعریف کرد.
میانه یک متغیر تصادفی مقدار آن است که برای آن
آن ها به همان اندازه احتمال دارد که متغیر تصادفی کوچکتر یا بزرگتر از . از نظر هندسی، میانه آبسیسا نقطه ای است که در آن ناحیه محدود شده توسط منحنی توزیع به نصف تقسیم می شود (شکل 5.6.7).
روش- مقدار در مجموعه مشاهداتی که اغلب اتفاق می افتد
Mo \u003d X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),
در اینجا X Mo مرز سمت چپ فاصله مودال است، h Mo طول بازه مودال است، f Mo-1 فرکانس بازه پیش وجهی، f Mo فرکانس بازه مودال، f Mo+1 است. فرکانس بازه postmodal.
حالت توزیع کاملاً پیوسته هر نقطه از حداکثر محلی چگالی توزیع است. برای توزیع های گسسته، یک حالت هر مقدار a i است که احتمال p i بیشتر از احتمال مقادیر همسایه است.
میانهمتغیر تصادفی پیوسته ایکسمقدار آن Me چنین نامیده می شود، که برای آن به همان اندازه احتمال دارد که متغیر تصادفی کمتر یا بیشتر شود. من، یعنی
M e \u003d (n + 1) / 2 P(X < من) = P(X > من)
به طور مساوی توزیع شده NEW
توزیع یکنواختیک متغیر تصادفی پیوسته در صورتی که تابع چگالی توزیع آن به طور یکنواخت توزیع شود نامیده می شود (شکل 1.6، آ) به نظر می رسد:
تعیین: - SW به طور یکنواخت در تاریخ توزیع می شود.
بر این اساس، تابع توزیع در بخش (شکل 1.6، ب):
برنج. 1.6. توابع یک متغیر تصادفی که به طور یکنواخت در [ آ,ب]: آ- چگالی احتمال f(ایکس); ب- توزیع ها اف(ایکس)
انتظارات ریاضی و واریانس این RV با عبارات زیر تعیین می شود:
به دلیل تقارن تابع چگالی، با میانه منطبق است. مد هیچ توزیع یکنواختی ندارد
مثال 4 زمان انتظار برای پاسخ به تماس تلفنی یک متغیر تصادفی است که از قانون توزیع یکنواخت در محدوده 0 تا 2 دقیقه پیروی می کند. توابع توزیع انتگرالی و دیفرانسیل این متغیر تصادفی را بیابید.
27. قانون عادی توزیع احتمال
یک متغیر تصادفی پیوسته x دارای توزیع نرمال با پارامترهای: m,s > 0 است، اگر چگالی توزیع احتمال به شکل زیر باشد:
که در آن: m انتظار ریاضی است، s انحراف معیار است.
توزیع نرمال به نام گاوس ریاضیدان آلمانی نیز گاوسی نامیده می شود. این واقعیت که یک متغیر تصادفی دارای توزیع نرمال با پارامترهای: m, , به صورت زیر است: N (m, s)، که در آن: m=a=M[X];
اغلب، در فرمول ها، انتظارات ریاضی با نشان داده می شود آ . اگر یک متغیر تصادفی بر اساس قانون N(0,1) توزیع شود، آن را یک مقدار نرمال عادی یا استاندارد شده می نامند. تابع توزیع برای آن به شکل زیر است:
نمودار چگالی توزیع نرمال که منحنی نرمال یا منحنی گاوس نامیده می شود، در شکل 5.4 نشان داده شده است.
برنج. 5.4. چگالی توزیع نرمال
خواصیک متغیر تصادفی با قانون توزیع نرمال
1. اگر، پس برای پیدا کردن احتمال سقوط این مقدار در یک بازه معین ( x 1; x 2) از فرمول استفاده می شود:
2. احتمال اینکه انحراف یک متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن از مقدار (در مقدار مطلق) تجاوز نکند برابر است با:
3. "قانون سه سیگما". اگر یک متغیر تصادفی باشد، عملاً مطمئن است که مقادیر آن در بازه () موجود است. (احتمال فراتر رفتن از این مرزها 0.0027 است.) این قانون با دانستن پارامترهای (و) اجازه می دهد تا فاصله مقادیر عملی یک متغیر تصادفی را تقریباً تعیین کنید.
توزیع نمایی
یک متغیر تصادفی X دارای توزیع نمایی با پارامتر است اگر چگالی آن شکل داشته باشد
با ادغام چگالی، تابع توزیع نمایی را به دست می آوریم:
ویژگی های اصلی توزیع نمایی:
نمودارهای چگالی و توابع توزیع نمایی حاصل
ارزش مورد انتظار انتظارات ریاضیمتغیر تصادفی گسسته ایکس، که تعداد محدودی از مقادیر را می گیرد ایکسمنبا احتمالات آرمن، جمع نامیده می شود:
انتظارات ریاضیمتغیر تصادفی پیوسته ایکسانتگرال حاصل ضرب مقادیر آن نامیده می شود ایکسبر روی چگالی توزیع احتمال f(ایکس):
(6ب)
انتگرال نامناسب (6 ب) مطلقاً همگرا فرض می شود (در غیر این صورت می گوییم انتظار م(ایکس) وجود ندارد). انتظارات ریاضی مشخص می کند مقدار متوسطمتغیر تصادفی ایکس. بعد آن با بعد یک متغیر تصادفی منطبق است.
ویژگی های انتظار ریاضی:
پراکندگی. پراکندگیمتغیر تصادفی ایکسشماره نامیده می شود:
پراکندگی است مشخصه پراکندگیمقادیر یک متغیر تصادفی ایکسنسبت به مقدار متوسط آن م(ایکس). بعد واریانس برابر با بعد متغیر تصادفی مربع است. بر اساس تعاریف واریانس (8) و انتظارات ریاضی (5) برای یک متغیر تصادفی گسسته و (6) برای یک متغیر تصادفی پیوسته، عبارات مشابهی را برای واریانس به دست می‌آوریم:
(9)
اینجا متر = م(ایکس).
خواص پراکندگی:
انحراف معیار:
(11)
از آنجایی که بعد انحراف معیار با یک متغیر تصادفی یکسان است، بیشتر از واریانس مورد استفاده به عنوان معیار پراکندگی است.
لحظات توزیع مفاهیم انتظار ریاضی و واریانس موارد خاصی از یک مفهوم کلی تر برای ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی است - لحظات توزیع. گشتاورهای توزیع یک متغیر تصادفی به عنوان انتظارات ریاضی برخی از توابع ساده یک متغیر تصادفی معرفی می شوند. بنابراین، لحظه سفارش کنسبت به نقطه ایکس 0 انتظار نامیده می شود م(ایکس–ایکس 0 )ک. لحظات نسبت به مبدأ ایکس= 0 فراخوانی می شود لحظات اولیهو مشخص شده اند:
(12)
لحظه اولیه مرتبه اول مرکز توزیع متغیر تصادفی در نظر گرفته شده است:
(13)
لحظات مربوط به مرکز توزیع ایکس= مترتماس گرفت نقاط مرکزیو مشخص شده اند:
(14)
از (7) چنین می شود که ممان مرکزی مرتبه اول همیشه برابر با صفر است:
گشتاورهای مرکزی به مبدأ مقادیر متغیر تصادفی بستگی ندارند، زیرا با تغییر مقدار ثابت بامرکز توزیع آن با همان مقدار جابه جا می شود با، و انحراف از مرکز تغییر نمی کند: ایکس – متر = (ایکس – با) – (متر – با).
حالا بدیهی است که پراکندگی- این لحظه مرکزی مرتبه دوم:
عدم تقارن. لحظه مرکزی مرتبه سوم:
(17)
در خدمت ارزیابی است چولگی توزیع. اگر توزیع نسبت به نقطه متقارن باشد ایکس= متر، سپس ممان مرکزی مرتبه سوم برابر با صفر خواهد بود (و همچنین تمام ممان مرکزی مرتبه های فرد). بنابراین، اگر ممان مرکزی مرتبه سوم با صفر متفاوت باشد، توزیع نمی تواند متقارن باشد. بزرگی عدم تقارن با استفاده از یک بی بعد تخمین زده می شود ضریب عدم تقارن:
(18)
علامت ضریب عدم تقارن (18) نشان دهنده عدم تقارن سمت راست یا چپ است (شکل 2).
برنج. 2. انواع عدم تقارن توزیع ها.
اضافی. لحظه مرکزی مرتبه چهارم:
(19)
در خدمت ارزیابی به اصطلاح کشیدگی، که درجه شیب (نقطه دار) منحنی توزیع در نزدیکی مرکز توزیع را نسبت به منحنی توزیع نرمال تعیین می کند. از آنجایی که برای یک توزیع نرمال، کمیت گرفته شده به عنوان کشش عبارت است از:
(20)
روی انجیر 3 نمونه هایی از منحنی های توزیع را با مقادیر مختلف کشیدگی نشان می دهد. برای توزیع نرمال E= 0. منحنی هایی که بیش از حد معمول اوج دارند دارای کشیدگی مثبت و منحنی هایی با قله های مسطح بیشتر دارای کشیدگی منفی هستند.
برنج. 3. منحنی های توزیع با درجات مختلف شیب (kurtosis).
گشتاورهای مرتبه بالاتر در کاربردهای مهندسی آمار ریاضی معمولاً استفاده نمی شود.
روش
گسستهمتغیر تصادفی محتمل ترین مقدار آن است. روش مداومیک متغیر تصادفی مقدار آن است که در آن چگالی احتمال حداکثر است (شکل 2). اگر منحنی توزیع یک حداکثر داشته باشد، توزیع فراخوانی می شود تک وجهی. اگر منحنی توزیع بیش از یک حداکثر داشته باشد، توزیع فراخوانی می شود چندوجهی. گاهی اوقات توزیع هایی وجود دارد که منحنی های آنها دارای حداکثر نیست، بلکه یک حداقل است. چنین توزیع هایی نامیده می شوند ضد وجهی. در حالت کلی، حالت و انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی با هم مطابقت ندارند. در یک مورد خاص، برای معین، یعنی داشتن یک حالت، یک توزیع متقارن، و به شرطی که یک انتظار ریاضی وجود داشته باشد، دومی با حالت و مرکز تقارن توزیع منطبق است.
میانه متغیر تصادفی ایکسمعنی آن است من، که برای آن برابری برقرار است: i.e. به همان اندازه احتمال دارد که متغیر تصادفی باشد ایکسکمتر یا بیشتر خواهد بود من. از نظر هندسی میانهآبسیسا نقطه ای است که در آن ناحیه زیر منحنی توزیع به نصف تقسیم می شود (شکل 2). در مورد توزیع مودال متقارن، میانه، حالت و میانگین یکسان است.