درس و ارائه با موضوع: "توالی اعداد. پیشرفت هندسی"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید! تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه نهم
قدرت و ریشه توابع و نمودارها

بچه ها امروز با نوع دیگری از پیشرفت آشنا می شویم.
موضوع درس امروز پیشرفت هندسی است.

پیشرفت هندسی

تعریف. دنباله عددی که در آن هر جمله، که از دومی شروع می شود، برابر حاصلضرب قبلی و مقداری ثابت باشد، پیشرفت هندسی نامیده می شود.
بیایید دنباله خود را به صورت بازگشتی تعریف کنیم: $b_(1)=b$، $b_(n)=b_(n-1)*q$،
که در آن b و q اعداد معینی هستند. عدد q را مخرج پیشروی می گویند.

مثال. 1،2،4،8،16… پیشرفت هندسی، که در آن عضو اول برابر با یک و $q=2$ است.

مثال. 8،8،8،8… یک تصاعد هندسی که اولین جمله آن هشت است،
و $q=1$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... یک تصاعد هندسی که اولین جمله آن سه است،
و $q=-1$.

پیشروی هندسی دارای خاصیت یکنواختی است.
اگر $b_(1)>0$، $q>1$،
سپس توالی در حال افزایش است.
اگر $b_(1)>0$، $0 دنباله معمولاً به صورت: $b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n)، ...$ نشان داده می شود.

درست مانند یک تصاعد حسابی، اگر تعداد عناصر در یک تصاعد هندسی محدود باشد، آن پیشروی را یک پیشرفت هندسی محدود می نامند.

$b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n-2)، b_(n-1)، b_(n)$.
توجه داشته باشید که اگر دنباله یک تصاعد هندسی است، دنباله عبارت های مربعی نیز یک تصاعد هندسی است. دنباله دوم عبارت اول $b_(1)^2$ و مخرج $q^2$ دارد.

فرمول عضو n یک پیشرفت هندسی

یک پیشروی هندسی نیز می تواند به صورت تحلیلی مشخص شود. بیایید ببینیم چگونه این کار را انجام دهیم:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
ما به راحتی می توانیم الگو را ببینیم: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
فرمول ما "فرمول n-امین عضو یک پیشرفت هندسی" نامیده می شود.

بیایید به مثال های خود برگردیم.

مثال. 1،2،4،8،16... یک تصاعد هندسی که جمله اول آن برابر با یک است،
و $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

مثال. 16،8،4،2،1،1/2... یک تصاعد هندسی که جمله اول آن شانزده و $q=\frac(1)(2)$ است.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

مثال. 8،8،8،8... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول هشت و $q=1$ است.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

مثال. 3،-3،3،-3،3... یک تصاعد هندسی که اولین جمله آن سه و $q=-1$ است.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

مثال. با توجه به یک پیشرفت هندسی $b_(1)، b_(2)، …، b_(n)، … $.
الف) معلوم است که $b_(1)=6، q=3$. $b_(5)$ را پیدا کنید.
ب) معلوم است که $b_(1)=6، q=2، b_(n)=768$. n را پیدا کنید.
ج) معلوم است که $q=-2، b_(6)=96$. $b_(1)$ را پیدا کنید.
د) معلوم است که $b_(1)=-2، b_(12)=4096$. q را پیدا کنید.

راه حل.
الف) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ب) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ از $2^7=128 => n-1=7; n=8 دلار
ج) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
د) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

مثال. تفاوت بین اعضای هفتم و پنجم پیشرفت هندسی 192 است، مجموع اعضای پنجم و ششم پیشروی 192 است. عضو دهم این پیشروی را پیدا کنید.

راه حل.
می دانیم که: $b_(7)-b_(5)=192$ و $b_(5)+b_(6)=192$.
ما همچنین می دانیم: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
سپس:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
ما یک سیستم معادلات بدست آوردیم:
$\begin(موارد)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(موارد)$.
با معادل سازی، معادلات ما به دست می آیند:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
ما دو راه حل q دریافت کردیم: $q_(1)=2، q_(2)=-1$.
به طور متوالی در معادله دوم جایگزین کنید:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ هیچ راه حلی وجود ندارد.
دریافتیم که: $b_(1)=4، q=2$.
بیایید عبارت دهم را پیدا کنیم: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

مجموع یک پیشرفت هندسی محدود

فرض کنید پیشرفت هندسی محدودی داریم. اجازه دهید، و همچنین برای یک تصاعد حسابی، مجموع اعضای آن را محاسبه کنیم.

اجازه دهید یک پیشرفت هندسی محدود داده شود: $b_(1)،b_(2)،…،b_(n-1)،b_(n)$.
بیایید نماد را برای مجموع عبارت‌های آن معرفی کنیم: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
در صورتی که $q=1$. همه اعضای پیشروی هندسی برابر با عضو اول هستند، پس واضح است که $S_(n)=n*b_(1)$.
اکنون مورد $q≠1$ را در نظر بگیرید.
مقدار فوق را در q ضرب کنید.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
توجه داشته باشید:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

ما فرمول مجموع یک پیشرفت هندسی محدود را به دست آورده ایم.

مثال.
مجموع هفت جمله اول یک تصاعد هندسی که جمله اول آن 4 و مخرج آن 3 است را بیابید.

راه حل.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

مثال.
پنجمین عضو پیشروی هندسی را پیدا کنید که مشخص است: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

راه حل.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
4095-$(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

ویژگی مشخصه یک پیشرفت هندسی

بچه ها، با توجه به پیشرفت هندسی. بیایید سه عضو متوالی آن را در نظر بگیریم: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
ما آن را میدانیم:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
سپس:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
اگر پیشرفت متناهی باشد، آنگاه این برابری برای همه ترم ها به جز اولین و آخرین برقرار است.
اگر از قبل معلوم نباشد که دنباله چه نوع دنباله ای دارد، اما معلوم است که: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
پس با اطمینان می توان گفت که این یک پیشرفت هندسی است.

یک دنباله اعداد فقط زمانی یک تصاعد هندسی است که مجذور هر یک از جمله های آن برابر با حاصل ضرب دو جمله همسایه آن پیشرفت باشد. فراموش نکنید که برای یک پیشرفت محدود این شرط برای ترم اول و آخر برآورده نمی شود.

بیایید به این هویت نگاه کنیم: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ را میانگین هندسی a و b می نامند.

مدول هر عضو یک پیشروی هندسی برابر است با میانگین هندسی دو عضو مجاور آن.

مثال.
x را طوری پیدا کنید که $x+2; 2x+2; 3x+3$ سه عضو متوالی یک پیشروی هندسی بودند.

راه حل.
بیایید از ویژگی مشخصه استفاده کنیم:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ و $x_(2)=-1$.
راه حل های ما را به ترتیب در عبارت اصلی جایگزین کنید:
با $x=2$، دنباله را دریافت کردیم: 4;6;9 یک پیشروی هندسی با $q=1.5$ است.
با $x=-1$، دنباله را دریافت کردیم: 1;0;0.
پاسخ: $x=2.$

وظایف برای راه حل مستقل

1. هشتمین عضو اول پیشروی هندسی 16؛ -8؛ 4؛ -2 را پیدا کنید.
2. دهمین عضو پیشروی هندسی 11،22،44 را پیدا کنید.
3. معلوم است که $b_(1)=5، q=3$. $b_(7)$ را پیدا کنید.
4. معلوم است که $b_(1)=8، q=-2، b_(n)=512$. n را پیدا کنید.
5. مجموع 11 عضو اول پیشروی هندسی 3;12;48... را بیابید.
6. x را طوری پیدا کنید که $3x+4; 2x+4; x+5$ سه عضو متوالی یک پیشرفت هندسی هستند.

پیشرفت هندسیدر ریاضیات کمتر از حساب اهمیت ندارد. پیشروی هندسی به دنباله ای از اعداد b1، b2،...، b[n] گفته می شود که هر عضو بعدی از ضرب عضو قبلی در یک عدد ثابت به دست می آید. این عدد که میزان رشد یا کاهش پیشرفت را نیز مشخص می کند، نامیده می شود مخرج یک پیشرفت هندسیو نشان دهند

برای انتساب کامل یک تصاعد هندسی، علاوه بر مخرج، لازم است اولین جمله آن را نیز بشناسیم یا تعیین کنیم. برای مقدار مثبت مخرج، پیشروی یک دنباله یکنواخت است، و اگر این دنباله اعداد به طور یکنواخت کاهش می یابد و یکنواخت افزایش می یابد. موردی که مخرج برابر با یک باشد در عمل در نظر گرفته نمی شود، زیرا ما دنباله ای از اعداد یکسان داریم و جمع آنها مورد توجه عملی نیست.

اصطلاح کلی یک پیشرفت هندسیطبق فرمول محاسبه می شود

مجموع n جمله اول یک پیشرفت هندسیبا فرمول تعیین می شود

اجازه دهید راه حل مسائل پیشروی هندسی کلاسیک را در نظر بگیریم. بیایید با ساده ترین برای درک شروع کنیم.

مثال 1. جمله اول یک تصاعد هندسی 27 و مخرج آن 1/3 است. شش جمله اول یک تصاعد هندسی را پیدا کنید.

راه حل: شرط مسئله را در فرم می نویسیم

برای محاسبات، از فرمول n ام یک پیشرفت هندسی استفاده می کنیم

بر اساس آن، ما اعضای ناشناخته پیشرفت را پیدا می کنیم

همانطور که می بینید، محاسبه شرایط یک پیشرفت هندسی دشوار نیست. خود پیشرفت به این شکل خواهد بود

مثال 2. سه عضو اول یک تصاعد هندسی آورده شده است: 6; -12; 24. مخرج و جمله هفتم را بیابید.

راه حل: مخرج پیشروی هندسی را بر اساس تعریف آن محاسبه می کنیم

ما یک تصاعد هندسی متناوب داریم که مخرج آن -2 است. جمله هفتم با فرمول محاسبه می شود

در این کار حل شده است.

مثال 3. یک تصاعد هندسی توسط دو نفر از اعضای آن ارائه شده است . جمله دهم پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل:

بیایید مقادیر داده شده را از طریق فرمول ها بنویسیم

طبق قوانین، لازم است مخرج را پیدا کرده و سپس مقدار مورد نظر را جستجو کنیم، اما برای جمله دهم داریم

همین فرمول را می توان بر اساس دستکاری های ساده با داده های ورودی به دست آورد. ترم ششم سریال را بر دیگری تقسیم می کنیم در نتیجه به دست می آوریم

اگر مقدار حاصل در جمله ششم ضرب شود، عدد دهم را بدست می آوریم

بنابراین، برای چنین مشکلاتی، با کمک تبدیل های ساده به روشی سریع، می توانید راه حل مناسب را پیدا کنید.

مثال 4. پیشروی هندسی با فرمول های مکرر داده می شود

مخرج پیشروی هندسی و مجموع شش جمله اول را پیدا کنید.

راه حل:

داده های داده شده را در قالب یک سیستم معادلات می نویسیم

مخرج را با تقسیم معادله دوم بر معادله اول بیان کنید

جمله اول پیشروی را از معادله اول بیابید

پنج عبارت زیر را محاسبه کنید تا مجموع پیشرفت هندسی را به دست آورید

سطح اول

پیشرفت هندسی راهنمای جامع با مثال (2019)

دنباله عددی

پس بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. مثلا:

شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند به تعداد دلخواه (در مورد ما، آنها) باشد. مهم نیست چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام یک از آنها اول است، کدام دوم و به همین ترتیب تا آخر، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله عددیمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک شماره منحصر به فرد اختصاص داد.

به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک شماره دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد -امین) همیشه یکسان است.

به عددی که دارای عدد است، -امین عضو دنباله گفته می شود.

ما معمولاً کل دنباله را یک حرف می نامیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله را - همان حرف با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

در مورد ما:

رایج ترین انواع پیشروی، حسابی و هندسی است. در این مبحث در مورد نوع دوم صحبت خواهیم کرد - پیشرفت هندسی.

چرا به یک پیشرفت هندسی و تاریخچه آن نیاز داریم؟

حتی در دوران باستان، ریاضیدان ایتالیایی، راهب لئوناردو پیزا (که بیشتر به عنوان فیبوناچی شناخته می شود)، به نیازهای عملی تجارت می پرداخت. راهب با این وظیفه روبرو شد که تعیین کند کمترین وزنی که می توان برای وزن کردن کالا به کار برد چقدر است؟ فیبوناچی در نوشته‌های خود ثابت می‌کند که چنین سیستمی از وزن‌ها بهینه است: این یکی از اولین موقعیت‌هایی است که در آن افراد مجبور بودند با یک پیشروی هندسی دست و پنجه نرم کنند، که احتمالاً در مورد آن شنیده‌اید و حداقل تصور کلی از آن دارید. پس از درک کامل موضوع، به این فکر کنید که چرا چنین سیستمی بهینه است؟

در حال حاضر، در عمل زندگی، یک پیشرفت هندسی هنگام سرمایه گذاری وجوه در یک بانک آشکار می شود، زمانی که میزان بهره بر روی مبلغ انباشته شده در حساب دوره قبل محاسبه می شود. به عبارت دیگر، اگر پول را در یک سپرده مدت دار در یک بانک پس انداز قرار دهید، در یک سال میزان سپرده از مبلغ اصلی افزایش می یابد، یعنی. مبلغ جدید برابر است با سهم ضرب شده در. در یک سال دیگر، این مقدار افزایش می یابد، یعنی. مقدار بدست آمده در آن زمان دوباره ضرب می شود و به همین ترتیب. وضعیت مشابهی در مشکلات محاسباتی به اصطلاح توضیح داده شده است بهره مرکب- درصد هر بار از مبلغی که در حساب است با در نظر گرفتن سود قبلی اخذ می شود. در مورد این وظایف کمی بعد صحبت خواهیم کرد.

موارد ساده تری وجود دارد که در آن یک پیشروی هندسی اعمال می شود. به عنوان مثال، گسترش آنفولانزا: یک نفر یک نفر را آلوده کرد، آنها به نوبه خود فرد دیگری را آلوده کردند، و بنابراین موج دوم عفونت - یک فرد، و آنها به نوبه خود، دیگری را آلوده کردند ... و غیره .. .

به هر حال، یک هرم مالی، همان MMM، یک محاسبه ساده و خشک با توجه به ویژگی های یک پیشرفت هندسی است. جالب هست؟ بیایید آن را بفهمیم.

پیشرفت هندسی

فرض کنید یک دنباله اعداد داریم:

بلافاصله پاسخ می دهید که آسان است و نام چنین دنباله ای یک پیشرفت حسابی با اختلاف اعضای آن است. چطور در مورد چیزی شبیه به این:

اگر عدد قبلی را از عدد بعدی کم کنید، خواهید دید که هر بار تفاوت جدیدی دریافت می کنید (و غیره)، اما دنباله قطعا وجود دارد و به راحتی قابل توجه است - هر عدد بعدی چند برابر عدد قبلی است!

این نوع دنباله نامیده می شود پیشرفت هندسیو مشخص شده است.

پیشروی هندسی ( ) یک دنباله عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر با عدد قبلی ضرب در همان عدد است. این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می نامند.

قیودی که عبارت اول ( ) برابر نیست و تصادفی نیستند. بیایید بگوییم که هیچ کدام وجود ندارد، و جمله اول هنوز برابر است، و q است، هوم .. اجازه دهید، سپس معلوم می شود:

موافق باشید که این پیشرفتی نیست.

همانطور که متوجه شدید، اگر هر عددی غیر از صفر باشد، همان نتایج را خواهیم گرفت. در این موارد، به سادگی هیچ پیشرفتی وجود نخواهد داشت، زیرا کل سری اعداد یا همه صفر، یا یک عدد، و بقیه صفر خواهند بود.

حالا بیایید در مورد مخرج یک تصاعد هندسی، یعنی در مورد، با جزئیات بیشتری صحبت کنیم.

بیایید تکرار کنیم: - این یک عدد است، هر ترم بعدی چند بار تغییر می کندپیشرفت هندسی

به نظر شما چه چیزی می تواند باشد؟ درست است، مثبت و منفی، اما صفر نیست (در این مورد کمی بالاتر صحبت کردیم).

فرض کنید یک مثبت داریم. اجازه دهید در مورد ما، a. ترم دوم چیست و؟ شما به راحتی می توانید پاسخ دهید که:

خیلی خوب. بر این اساس، اگر، پس همه اعضای بعدی پیشرفت علامت یکسانی دارند - آنها مثبت.

اگه منفی باشه چی؟ به عنوان مثال، الف. ترم دوم چیست و؟

این یک داستان کاملا متفاوت است

سعی کنید مدت این پیشرفت را بشمارید. چقدر گرفتی؟ من دارم. بنابراین، اگر، پس علائم شرایط پیشروی هندسی متناوب است. یعنی اگر پیشروی با علائم متناوب در اعضای آن مشاهده کردید، مخرج آن منفی است. این دانش می تواند به شما کمک کند هنگام حل مسائل مربوط به این موضوع خود را آزمایش کنید.

حالا بیایید کمی تمرین کنیم: سعی کنید تعیین کنید کدام دنباله های عددی یک تصاعد هندسی هستند و کدام یک حسابی:

فهمیدم؟ پاسخ های ما را مقایسه کنید:

• پیشرفت هندسی - 3، 6.
• پیشرفت حسابی - 2، 4.
• این نه یک پیشرفت حسابی است و نه یک پیشرفت هندسی - 1، 5، 7.

بیایید به آخرین پیشرفت خود برگردیم و سعی کنیم اصطلاح آن را به همان روشی که در حساب انجام می دهیم پیدا کنیم. همانطور که ممکن است حدس زده باشید، دو راه برای پیدا کردن آن وجود دارد.

هر جمله را به صورت متوالی ضرب می کنیم.

بنابراین، عضو -مین پیشرفت هندسی توصیف شده برابر است با.

همانطور که قبلا حدس می‌زنید، اکنون شما خودتان فرمولی را استخراج خواهید کرد که به شما کمک می‌کند هر عضوی از یک پیشرفت هندسی را پیدا کنید. یا قبلاً آن را برای خود آورده اید و نحوه یافتن عضو هفتم را در مراحل توضیح داده اید؟ اگر چنین است، صحت استدلال خود را بررسی کنید.

بیایید این را با مثال یافتن عضو -امین این پیشرفت نشان دهیم:

به عبارت دیگر:

ارزش عضوی از یک پیشرفت هندسی معین را برای خود بیابید.

اتفاق افتاد؟ پاسخ های ما را مقایسه کنید:

توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را که در روش قبلی وجود داشت، به دست آوردید، زمانی که ما به طور متوالی در هر عضو قبلی پیشرفت هندسی ضرب کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصیت" کنیم - آن را به شکل کلی در می آوریم و می گیریم:

فرمول مشتق شده برای همه مقادیر - هم مثبت و هم منفی صادق است. خودتان آن را با محاسبه شرایط یک پیشرفت هندسی با شرایط زیر بررسی کنید: , a.

حساب کردی؟ بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

موافق باشید که پیدا کردن یک عضو پیشرفت به همان روش یک عضو امکان پذیر است، اما احتمال اشتباه در محاسبه وجود دارد. و اگر ما قبلاً عبارت یک پیشرفت هندسی را پیدا کرده‌ایم، پس چه چیزی می‌تواند آسان‌تر از استفاده از بخش «قطع‌شده» فرمول باشد.

یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش.

اخیراً در مورد آنچه که می تواند بزرگتر یا کمتر از صفر باشد صحبت کردیم، با این حال، مقادیر خاصی وجود دارد که پیشرفت هندسی برای آنها نامیده می شود. بی نهایت در حال کاهش.

به نظر شما چرا همچین اسمی داره؟
برای شروع، اجازه دهید برخی از پیشرفت های هندسی متشکل از اعضا را بنویسیم.
پس بیایید بگوییم:

می بینیم که هر ترم بعدی از نظر زمان کمتر از ترم قبلی است، اما آیا عددی وجود خواهد داشت؟ شما بلافاصله پاسخ می دهید - "نه". به همین دلیل است که بی نهایت کاهشی - کاهش می یابد، کاهش می یابد، اما هرگز صفر نمی شود.

برای اینکه به وضوح بفهمیم این از نظر بصری چگونه به نظر می رسد، بیایید سعی کنیم نموداری از پیشرفت خود را ترسیم کنیم. بنابراین، برای مورد ما، فرمول به شکل زیر است:

در نمودارها، ما عادت داریم که به این موارد وابستگی ایجاد کنیم، بنابراین:

ماهیت عبارت تغییر نکرده است: در ورودی اول، وابستگی مقدار یک عضو پیش رونده هندسی را به عدد ترتیبی آن نشان دادیم، و در ورودی دوم، به سادگی مقدار یک عضو پیش رونده هندسی را برای، و شماره ترتیبی نه به عنوان، بلکه به عنوان تعیین شد. تنها کاری که باید انجام دهید این است که نمودار را رسم کنید.
ببینیم چی گرفتی این نموداری است که من گرفتم:

دیدن؟ تابع کاهش می یابد، به سمت صفر میل می کند، اما هرگز از آن عبور نمی کند، بنابراین بی نهایت در حال کاهش است. بیایید نقاط خود را روی نمودار مشخص کنیم، و در همان زمان مختصات و معنی آن چیست:

سعی کنید نمودار یک پیشروی هندسی را به صورت شماتیک به تصویر بکشید اگر جمله اول آن نیز برابر باشد. تجزیه و تحلیل کنید که چه تفاوتی با نمودار قبلی ما دارد؟

توانستی مدیریت کنی؟ این نموداری است که من گرفتم:

اکنون که مبانی مبحث پیشرفت هندسی را کاملاً درک کرده‌اید: می‌دانید چیست، می‌دانید چگونه عبارت آن را پیدا کنید، و همچنین می‌دانید که پیشرفت هندسی بی‌نهایت در حال کاهش چیست، اجازه دهید به ویژگی اصلی آن برویم.

ویژگی یک پیشرفت هندسی

آیا ویژگی اعضای یک تصاعد حسابی را به خاطر دارید؟ بله، بله، چگونه می توان مقدار تعداد معینی از یک پیشرفت را در زمانی که مقادیر قبلی و بعدی اعضای این پیشرفت وجود دارد، پیدا کرد. به یاد آورد؟ این:

اکنون دقیقاً با همان سؤال برای شرایط یک تصاعد هندسی روبرو هستیم. برای استخراج چنین فرمولی، بیایید طراحی و استدلال را شروع کنیم. خواهید دید، بسیار آسان است، و اگر فراموش کردید، می توانید آن را خودتان بیرون بیاورید.

بیایید یک پیشرفت هندسی ساده دیگر را در نظر بگیریم، که در آن می دانیم و. چطوری پیدا کنم؟ با پیشرفت حسابی، این آسان و ساده است، اما اینجا چگونه است؟ در واقع، در هندسه نیز هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد - فقط باید هر مقداری را که به ما داده می شود مطابق فرمول رنگ آمیزی کنید.

می پرسی حالا با آن چه کنیم؟ بله خیلی ساده برای شروع، بیایید این فرمول ها را در شکل به تصویر بکشیم و سعی کنیم دستکاری های مختلفی با آنها انجام دهیم تا به یک مقدار برسیم.

ما از اعدادی که به ما داده می شود انتزاع می کنیم، فقط از طریق یک فرمول بر بیان آنها تمرکز می کنیم. ما باید مقدار برجسته شده با رنگ نارنجی را با دانستن عبارات مجاور آن پیدا کنیم. بیایید سعی کنیم اقدامات مختلفی را با آنها انجام دهیم که در نتیجه می توانیم به دست آوریم.

اضافه
بیایید سعی کنیم دو عبارت اضافه کنیم و دریافت می کنیم:

از این عبارت، همانطور که می بینید، ما به هیچ وجه نمی توانیم بیان کنیم، بنابراین، گزینه دیگری - تفریق را امتحان خواهیم کرد.

منها کردن.

همانطور که می بینید، ما از این هم نمی توانیم بیان کنیم، بنابراین سعی می کنیم این عبارات را در یکدیگر ضرب کنیم.

ضرب.

اکنون با دقت به آنچه داریم نگاه کنید، شرایط یک پیشرفت هندسی را که به ما داده شده در مقایسه با آنچه باید پیدا کنیم ضرب کنید:

حدس بزنید در مورد چه چیزی صحبت می کنم؟ به درستی، برای پیدا کردن آن، باید جذر اعداد پیشروی هندسی مجاور عدد مورد نظر را در یکدیگر ضرب کنیم:

بفرمایید. شما خودتان خاصیت یک تصاعد هندسی را استنباط کردید. سعی کنید این فرمول را به صورت کلی بنویسید. اتفاق افتاد؟

شرایط را فراموش کرده اید چه زمانی؟ به این فکر کنید که چرا مهم است، برای مثال، سعی کنید خودتان آن را محاسبه کنید. در این مورد چه اتفاقی می افتد؟ درست است، کاملا مزخرف است، زیرا فرمول شبیه به این است:

بر این اساس، این محدودیت را فراموش نکنید.

حالا بیایید محاسبه کنیم که چیست

پاسخ صحیح - ! اگر در هنگام محاسبه مقدار دوم ممکن را فراموش نکردید، پس شما یک فرد فوق العاده هستید و می توانید بلافاصله به آموزش ادامه دهید و اگر فراموش کردید، آنچه در زیر تحلیل می شود را بخوانید و توجه کنید که چرا باید هر دو ریشه در پاسخ نوشته شود. .

بیایید هر دو پیشرفت هندسی خود را ترسیم کنیم - یکی با یک مقدار و دیگری با یک مقدار، و بررسی کنیم که آیا هر دوی آنها حق وجود دارند یا خیر:

برای بررسی اینکه آیا چنین تصاعدی هندسی وجود دارد یا خیر، باید دید که آیا بین تمام اعضای داده شده آن یکسان است؟ q را برای حالت اول و دوم محاسبه کنید.

ببینید چرا باید دو جواب بنویسیم؟ زیرا علامت اصطلاح مورد نیاز به مثبت یا منفی بودن آن بستگی دارد! و از آنجایی که نمی دانیم چیست، باید هر دو پاسخ را با مثبت و منفی بنویسیم.

حالا که به نکات اصلی تسلط پیدا کردید و فرمول خاصیت پیشروی هندسی را استنباط کردید، پیدا کنید، بدانید و

پاسخ های خود را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید:

چه فکر می‌کنید، چه می‌شود اگر مقادیر اعضای پیشروی هندسی مجاور عدد مورد نظر، بلکه با فاصله مساوی از آن به ما داده شود. به عنوان مثال، ما نیاز به پیدا کردن، و داده و. آیا می توانیم در این مورد از فرمولی که به دست آورده ایم استفاده کنیم؟ سعی کنید این احتمال را به همان روش تأیید یا رد کنید، و توضیح دهید که هر مقدار از چه چیزی تشکیل شده است، همانطور که در ابتدا فرمول را استخراج کردید.
چی به دست آوردی؟

حالا دوباره با دقت نگاه کنید.
و به همین ترتیب:

از اینجا می توان نتیجه گرفت که فرمول کار می کند نه تنها با همسایگانبا شرایط مورد نظر یک پیشرفت هندسی، بلکه با مساوی فاصلهاز آنچه اعضا به دنبال آن هستند.

بنابراین، فرمول اصلی ما می شود:

یعنی اگر در مورد اول گفتیم حالا می گوییم می تواند برابر با هر عدد طبیعی که کمتر باشد. نکته اصلی این است که برای هر دو عدد داده شده یکسان باشد.

روی نمونه های خاص تمرین کنید، فقط بسیار مراقب باشید!

1. ، . پیدا کردن.
2. ، . پیدا کردن.
3. ، . پیدا کردن.

تصمیم گرفت؟ امیدوارم خیلی دقت کرده باشید و متوجه یک شکار کوچک شده باشید.

ما نتایج را با هم مقایسه می کنیم.

در دو حالت اول با آرامش فرمول فوق را اعمال می کنیم و مقادیر زیر را بدست می آوریم:

در مورد سوم، با بررسی دقیق شماره سریال شماره هایی که به ما داده شده است، متوجه می شویم که آنها با شماره مورد نظر ما فاصله ندارند: شماره قبلی است، اما در موقعیت حذف شده است، بنابراین امکان پذیر نیست. برای اعمال فرمول

چگونه آن را حل کنیم؟ در واقع آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست! بیایید با شما بنویسیم که هر عددی که به ما داده شده و عدد مورد نظر شامل چه مواردی است.

پس داریم و. بیایید ببینیم چه کاری می توانیم با آنها انجام دهیم. من تقسیم را پیشنهاد می کنم. ما گرفتیم:

ما داده های خود را با فرمول جایگزین می کنیم:

مرحله بعدی که می توانیم پیدا کنیم - برای این ما باید ریشه مکعب عدد حاصل را بگیریم.

حالا بیایید دوباره به آنچه داریم نگاه کنیم. داریم، اما باید پیدا کنیم، و به نوبه خود برابر است با:

ما تمام داده های لازم برای محاسبه را پیدا کردیم. جایگزین در فرمول:

پاسخ ما: .

سعی کنید یک مشکل مشابه دیگر را خودتان حل کنید:
داده شده: ،
پیدا کردن:

چقدر گرفتی؟ من دارم - .

همانطور که می بینید، در واقع، شما نیاز دارید فقط یک فرمول را به خاطر بسپار- . بقیه چیزها را می توانید بدون هیچ مشکلی در هر زمان کنار بکشید. برای این کار کافی است ساده ترین پیشروی هندسی را روی یک کاغذ بنویسید و بنویسید که طبق فرمول بالا، هر یک از اعداد آن برابر است.

مجموع عبارات یک تصاعد هندسی.

اکنون فرمول هایی را در نظر بگیرید که به ما امکان می دهد به سرعت مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی را در یک بازه معین محاسبه کنیم:

برای بدست آوردن فرمول مجموع ترم های یک پیشروی هندسی محدود، تمام قسمت های معادله فوق را در ضرب می کنیم. ما گرفتیم:

با دقت نگاه کنید: دو فرمول آخر چه مشترکاتی دارند؟ درست است، اعضای مشترک، به عنوان مثال و غیره، به جز عضو اول و آخر. بیایید سعی کنیم معادله 1 را از معادله 2 کم کنیم. چی به دست آوردی؟

اکنون از طریق فرمول عضوی از یک پیشرفت هندسی بیان کنید و عبارت حاصل را در آخرین فرمول خود جایگزین کنید:

عبارت را گروه بندی کنید. شما باید دریافت کنید:

تنها کاری که باید انجام دهید این است که بیان کنید:

بر این اساس، در این مورد.

چه می شود اگر؟ آن وقت چه فرمولی کار می کند؟ یک پیشروی هندسی در را تصور کنید. او چگونه است؟ به طور صحیح یک سری از اعداد یکسان، به ترتیب، فرمول به صورت زیر خواهد بود:

همانطور که در مورد پیشرفت حسابی و هندسی، افسانه های بسیاری وجود دارد. یکی از آنها افسانه ست، خالق شطرنج است.

بسیاری از مردم می دانند که بازی شطرنج در هند اختراع شده است. هنگامی که پادشاه هندو او را ملاقات کرد، از شوخ طبعی او و موقعیت های مختلف ممکن در او خوشحال شد. پادشاه پس از اطلاع از اختراع آن توسط یکی از رعایای خود، تصمیم گرفت شخصاً به او پاداش دهد. او مخترع را نزد خود خواند و دستور داد هر چه می خواهد از او بخواهد و قول داد حتی ماهرانه ترین آرزو را برآورده کند.

ستا برای فکر کردن وقت خواست و روز بعد وقتی ستا در برابر شاه حاضر شد، شاه را با تواضع بی‌نظیر درخواستش غافلگیر کرد. او برای مربع اول صفحه شطرنج یک دانه گندم، برای مربع دوم، برای سومین، برای چهارمین و غیره گندم خواست.

پادشاه عصبانی شد و شیث را بیرون کرد و گفت که درخواست خدمتکار شایسته سخاوت سلطنتی نیست، اما قول داد که خادم غلات خود را برای تمام سلول های هیئت دریافت کند.

و اکنون سؤال این است: با استفاده از فرمول مجموع اعضای یک تصاعد هندسی، محاسبه کنید که ست چند دانه باید دریافت کند؟

بیایید بحث را شروع کنیم. از آنجایی که طبق شرط، ست برای سلول اول صفحه شطرنج یک دانه گندم، برای سلول دوم، سوم، چهارم و غیره درخواست کرد، می بینیم که مشکل در مورد یک پیشرفت هندسی است. در این مورد چه چیزی برابر است؟
درست.

کل سلول های صفحه شطرنج. به ترتیب، . ما تمام داده ها را داریم، فقط باید آن را در فرمول جایگزین کنیم و محاسبه کنیم.

برای نشان دادن حداقل تقریباً "مقیاس" یک عدد معین، با استفاده از ویژگی های درجه تبدیل می کنیم:

البته، اگر بخواهید، می توانید یک ماشین حساب بگیرید و محاسبه کنید که در نهایت چه عددی به دست می آید، و اگر نه، باید حرف من را قبول کنید: مقدار نهایی عبارت خواهد بود.
به این معنا که:

کوئینتیلیون کوادریلیون تریلیون میلیارد میلیون هزار.

فوه) اگر می‌خواهید عظمت این عدد را تصور کنید، تخمین بزنید که چه اندازه انباری لازم است تا کل مقدار دانه را در خود جای دهد.
با ارتفاع انبار m و عرض m، طول آن باید به کیلومتر برسد، یعنی. دو برابر فاصله زمین تا خورشید

اگر پادشاه در ریاضیات قوی بود، می توانست به خود دانشمند پیشنهاد دهد که دانه ها را بشمارد، زیرا برای شمردن یک میلیون دانه، حداقل به یک روز شمارش خستگی ناپذیر نیاز داشت و با توجه به اینکه شمردن پنج میلیاردها ضروری است. غلات باید تمام عمر او را بشمارند.

و اکنون یک مسئله ساده را بر روی مجموع شرایط یک تصاعد هندسی حل خواهیم کرد.
واسیا، دانش آموز کلاس پنجم، با آنفولانزا بیمار شد، اما همچنان به مدرسه می رود. واسیا هر روز دو نفر را مبتلا می کند که به نوبه خود دو نفر دیگر و غیره را آلوده می کنند. فقط یک نفر در کلاس چند روز دیگر کل کلاس آنفولانزا می گیرند؟

بنابراین، اولین عضو یک پیشرفت هندسی واسیا است، یعنی یک شخص. عضو پیشروی هندسی، این دو نفر هستند که او در روز اول ورودش آنها را آلوده کرد. مجموع کل اعضای پیشرفت برابر با تعداد دانش آموزان 5A است. بر این اساس، ما در مورد پیشرفتی صحبت می کنیم که در آن:

بیایید داده های خود را با فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی جایگزین کنیم:

کل کلاس در عرض چند روز بیمار می شوند. آیا به فرمول ها و اعداد اعتقادی ندارید؟ سعی کنید «عفونت» دانش آموزان را خودتان به تصویر بکشید. اتفاق افتاد؟ ببینید برای من چه شکلی است:

خودتان حساب کنید اگر همه یک نفر را مبتلا کنند و یک نفر در کلاس باشد، چند روز دانش آموزان آنفولانزا می گیرند.

چه ارزشی گرفتی؟ معلوم شد که همه بعد از یک روز شروع به مریض شدن کردند.

همانطور که می بینید، چنین کار و ترسیمی برای آن شبیه یک هرم است که در آن هر بعدی افراد جدیدی را "به ارمغان می آورد". با این حال، دیر یا زود لحظه ای فرا می رسد که دومی نمی تواند کسی را جذب کند. در مورد ما، اگر تصور کنیم که کلاس ایزوله است، فرد از زنجیره () را می بندد. بنابراین، اگر شخصی درگیر یک هرم مالی بود که در صورت آوردن دو شرکت کننده دیگر در آن پول داده می شد، آن شخص (یا در حالت کلی) به ترتیب کسی را نمی آورد، همه چیزهایی را که در این کلاهبرداری مالی سرمایه گذاری کرده بود از دست می داد. .

همه آنچه در بالا گفته شد به یک پیشرفت هندسی کاهش یا افزایش اشاره دارد، اما، همانطور که به یاد دارید، ما یک نوع خاص داریم - یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش. چگونه می توان مجموع اعضای آن را محاسبه کرد؟ و چرا این نوع پیشرفت ویژگی های خاصی دارد؟ بیایید با هم بفهمیم

بنابراین، برای شروع، اجازه دهید دوباره به این تصویر از یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت از مثال خود نگاه کنیم:

و حالا بیایید به فرمول مجموع یک پیشروی هندسی که کمی قبل از آن مشتق شده است نگاه کنیم:
یا

ما برای چه تلاش می کنیم؟ درست است، نمودار نشان می دهد که تمایل به صفر دارد. یعنی زمانی که تقریباً برابر خواهد بود، به ترتیب، هنگام محاسبه عبارت، تقریباً به دست خواهیم آورد. در این رابطه، ما معتقدیم که هنگام محاسبه مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت کاهشی، می‌توان از این براکت صرف نظر کرد، زیرا برابر خواهد بود.

- فرمول حاصل جمع عبارات یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش است.

مهم!ما از فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش فقط در صورتی استفاده می کنیم که شرط صریحاً بیان کند که باید مجموع را پیدا کنیم. بی پایانتعداد اعضا

اگر یک عدد خاص n نشان داده شده باشد، از فرمول برای مجموع n جمله استفاده می کنیم، حتی اگر یا.

و حالا بیایید تمرین کنیم.

1. مجموع جمله های اول یک تصاعد هندسی را با و بیابید.
2. مجموع عبارت های یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را با و بیابید.

امیدوارم خیلی دقت کرده باشید پاسخ های ما را مقایسه کنید:

اکنون شما همه چیز را در مورد پیشرفت هندسی می دانید و زمان آن رسیده که از تئوری به عمل بروید. رایج ترین مشکلات نمایی که در امتحان یافت می شوند، مسائل بهره مرکب هستند. در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

مشکلات محاسبه بهره مرکب

حتماً اسم فرمول بهره مرکب را شنیده اید. منظورش را می فهمید؟ اگر نه، بیایید آن را بفهمیم، زیرا با درک خود فرآیند، بلافاصله متوجه خواهید شد که پیشرفت هندسی با آن چه ارتباطی دارد.

همه ما به بانک می‌رویم و می‌دانیم که شرایط مختلفی برای سپرده‌ها وجود دارد: این مدت، و نگهداری اضافی و بهره با دو روش مختلف محاسبه آن است - ساده و پیچیده.

با علاقه سادههمه چیز کم و بیش روشن است: در پایان مدت سپرده یک بار سود دریافت می شود. یعنی اگر ما در مورد قرار دادن 100 روبل در سال صحبت می کنیم ، آنها فقط در پایان سال اعتبار خواهند داشت. بر این اساس، تا پایان سپرده، روبل دریافت خواهیم کرد.

بهره مرکبگزینه ای است که در آن سرمایه بهره، یعنی اضافه شدن آنها به مبلغ سپرده و محاسبه بعدی درآمد نه از مبلغ اولیه، بلکه از مبلغ انباشته سپرده. حروف بزرگ به طور مداوم اتفاق نمی افتد، اما با مقداری تناوب. به عنوان یک قاعده، چنین دوره هایی برابر هستند و اغلب بانک ها از یک ماه، یک چهارم یا یک سال استفاده می کنند.

بیایید بگوییم که ما همه همان روبل را در سال قرار می دهیم، اما با سرمایه گذاری ماهانه سپرده. چه چیزی به دست می آوریم؟

اینجا همه چی رو میفهمی؟ اگر نه، بیایید قدم به قدم پیش برویم.

روبل به بانک آوردیم. تا پایان ماه، باید مبلغی در حساب خود داشته باشیم که شامل روبل خود به اضافه سود آن است، یعنی:

موافق؟

می توانیم آن را از براکت خارج کنیم و سپس به دست می آوریم:

موافقم، این فرمول از قبل شبیه فرمولی است که در ابتدا نوشتیم. باقی مانده است که به درصدها بپردازیم

در شرایط مشکل سالانه به ما می گویند. همانطور که می دانید، ما در ضرب نمی کنیم - درصدها را به اعشار تبدیل می کنیم، یعنی:

درست؟ حالا می‌پرسید این شماره از کجا آمده است؟ بسیار ساده!
تکرار می کنم: شرط مشکل می گوید در مورد سالانهبهره تعلق گرفته است ماهانه. همانطور که می دانید، بانک به ترتیب در یک سال از ماه، بخشی از سود سالانه را در ماه از ما دریافت می کند:

متوجه شد؟ حالا سعی کنید بنویسید اگر بگویم سود روزانه محاسبه می شود، این قسمت از فرمول چگونه خواهد بود.
توانستی مدیریت کنی؟ بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

آفرین! بیایید به وظیفه خود بازگردیم: با در نظر گرفتن اینکه سود از مبلغ سپرده انباشته دریافت می شود، بنویسید که برای ماه دوم چقدر به حساب ما واریز می شود.
این چیزی است که برای من اتفاق افتاد:

یا به عبارت دیگر:

من فکر می کنم که شما قبلاً متوجه یک الگو شده اید و یک پیشرفت هندسی را در همه این موارد مشاهده کرده اید. بنویسید که عضو آن با چه چیزی برابری می کند یا به عبارت دیگر در پایان ماه چقدر پول دریافت می کنیم.
انجام داد؟ چک کردن!

همانطور که می بینید، اگر یک سال پول را با سود ساده در بانک بگذارید، روبل دریافت خواهید کرد و اگر آن را با نرخ مرکب قرار دهید، روبل دریافت خواهید کرد. سود ناچیز است، اما این فقط در طول سال اتفاق می افتد، اما برای دوره طولانی تر، سرمایه گذاری بسیار سودآورتر است:

نوع دیگری از مشکلات بهره مرکب را در نظر بگیرید. بعد از چیزی که فهمیدید، برای شما ابتدایی خواهد بود. پس وظیفه این است:

Zvezda سرمایه گذاری در این صنعت را در سال 2000 با سرمایه دلاری آغاز کرد. از سال 1380 هر سال سودی معادل سرمایه سال قبل داشته است. اگر سود از گردش خارج نشود، شرکت Zvezda در پایان سال 2003 چقدر سود خواهد داشت؟

سرمایه شرکت Zvezda در سال 2000.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2001.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2002.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2003.

یا می توانیم به طور خلاصه بنویسیم:

برای مورد ما:

2000، 2001، 2002 و 2003.

به ترتیب:
روبل
توجه داشته باشید که در این مشکل ما تقسیم بر یا بر نداریم، زیرا درصد سالانه داده می شود و سالانه محاسبه می شود. یعنی هنگام خواندن مسئله برای بهره مرکب دقت کنید که چند درصد داده می شود و در چه دوره ای شارژ می شود و فقط پس از آن به محاسبات بروید.
اکنون همه چیز را در مورد پیشرفت هندسی می دانید.

آموزش.

1. اگر مشخص باشد که یک ترم هندسی را پیدا کنید
2. اگر معلوم باشد که و
3. ام دی ام کپیتال در سال 2003 با سرمایه دلاری شروع به سرمایه گذاری در این صنعت کرد. او از سال 2004 هر سال سودی معادل سرمایه سال قبل داشته است. شرکت "MSK Cash Flows" در سال 2005 شروع به سرمایه گذاری در این صنعت به مبلغ 10000 دلار کرد و شروع به کسب سود در سال 2006 به مبلغ. اگر سود از گردش خارج نمی شد، در پایان سال 2007، سرمایه یک شرکت چند دلار از سرمایه شرکت دیگر بیشتر می شود؟

پاسخ ها:

1. از آنجایی که شرط مسئله بیانگر این نیست که پیشروی بی نهایت است و باید مجموع تعداد معینی از اعضای آن را پیدا کرد، محاسبه طبق فرمول انجام می شود:
2. 
   شرکت "MDM Capital":

   2003، 2004، 2005، 2006، 2007.
   - 100٪ افزایش می یابد، یعنی 2 برابر.
   به ترتیب:
   روبل
   جریان های نقدی MSK:

   2005، 2006، 2007.
   - افزایش می یابد، یعنی، بار.
   به ترتیب:
   روبل
   روبل

بیایید خلاصه کنیم.

1) تصاعد هندسی ( ) دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر با عدد قبلی ضرب در همان عدد است. این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می نامند.

2) معادله اعضای یک تصاعد هندسی -.

3) می تواند هر مقداری را بگیرد، به جز و.

• اگر، پس همه اعضای بعدی پیشرفت علامت یکسانی دارند - آنها مثبت;
• اگر، پس همه اعضای بعدی پیشرفت علائم جایگزین؛
• وقتی - پیشرفت را بی نهایت کاهشی می نامند.

4) ، در - خاصیت یک پیشرفت هندسی (اعضای همسایه)

یا
، در (شرایط مساوی)

وقتی آن را پیدا کردید، آن را فراموش نکنید باید دو پاسخ وجود داشته باشد.

مثلا،

5) مجموع اعضای یک تصاعد هندسی با فرمول محاسبه می شود:
یا

اگر پیشرفت بی نهایت در حال کاهش باشد، آنگاه:
یا

مهم!ما از فرمول مجموع عبارت‌های یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش فقط در صورتی استفاده می‌کنیم که شرط صریحاً بیان کند که باید مجموع تعداد نامتناهی از عبارت‌ها را پیدا کنیم.

6) وظایف مربوط به بهره مرکب نیز بر اساس فرمول عضو دهم یک پیشرفت هندسی محاسبه می شود، مشروط بر اینکه وجوه از گردش خارج نشده باشد:

پیشرفت هندسی. به طور خلاصه در مورد اصلی

پیشرفت هندسی( ) دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر است با عدد قبلی ضرب در همان عدد. این شماره نامیده می شود مخرج یک پیشرفت هندسی

مخرج یک تصاعد هندسیمی تواند هر مقداری به جز و.

• اگر همه اعضای بعدی پیشرفت علامت یکسانی داشته باشند - مثبت هستند.
• اگر، پس همه اعضای بعدی پیشرفت نشانه های متناوب را دارند.
• وقتی - پیشرفت را بی نهایت کاهشی می نامند.

معادله اعضای یک تصاعد هندسی - .

مجموع عبارات یک تصاعد هندسیبا فرمول محاسبه می شود:
یا

دستورالعمل

10, 30, 90, 270...

برای یافتن مخرج یک تصاعد هندسی لازم است.
راه حل:

1 گزینه. بیایید یک عضو دلخواه از پیشرفت (مثلاً 90) را در نظر بگیریم و آن را بر قبلی (30) تقسیم کنیم: 90/30=3.

اگر مجموع چند عضو یک تصاعد هندسی یا مجموع همه اعضای یک تصاعد هندسی در حال کاهش مشخص باشد، برای یافتن مخرج پیشرفت، از فرمول های مناسب استفاده کنید:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q)، که در آن Sn مجموع n جمله اول پیشرفت هندسی و
S = b1/(1-q)، که در آن S مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش است (مجموع همه اعضای پیشرفت با مخرج کمتر از یک).
مثال.

جمله اول یک تصاعد هندسی نزولی برابر با یک و مجموع تمام عبارات آن برابر با دو است.

تعیین مخرج این پیشرفت الزامی است.
راه حل:

داده های کار را با فرمول جایگزین کنید. گرفتن:
2=1/(1-q)، از آنجا – q=1/2.

پیشروی دنباله ای از اعداد است. در یک تصاعد هندسی، هر جمله بعدی از ضرب عبارت قبلی در عدد معینی q به دست می آید که مخرج پیشرفت نامیده می شود.

دستورالعمل

اگر دو عضو همسایه b(n+1) و b(n) هندسی مشخص باشند، برای بدست آوردن مخرج، باید عدد دارای عدد بزرگ را بر عدد قبل از آن تقسیم کرد: q=b(n) +1)/b(n). این از تعریف پیشرفت و مخرج آن به دست می آید. شرط مهم این است که جمله اول و مخرج پیشروی برابر با صفر نباشد وگرنه نامعین در نظر گرفته می شود.

بنابراین، روابط زیر بین اعضای پیشرفت برقرار می شود: b2=b1 q، b3=b2 q، … , b(n)=b(n-1) q. با فرمول b(n)=b1 q^(n-1) هر عضوی از یک پیشرفت هندسی را می توان محاسبه کرد که در آن مخرج q و عضو b1 مشخص است. همچنین، هر یک از مدول های پیشرفت برابر با میانگین اعضای همسایه خود است: |b(n)|=√، از این رو پیشرفت آن را دریافت کرد.

آنالوگ یک پیشرفت هندسی ساده ترین تابع نمایی y=a^x است، جایی که x در توان است، a مقداری است. در این حالت، مخرج پیشروی با جمله اول منطبق است و برابر با عدد a است. اگر آرگومان x به عنوان یک عدد طبیعی n (شمارنده) در نظر گرفته شود، مقدار تابع y را می توان به عنوان n امین عضو پیشرفت درک کرد.

برای مجموع n عضو اول یک پیشرفت هندسی وجود دارد: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). این فرمول برای q≠1 معتبر است. اگر q=1 باشد، مجموع n جمله اول با فرمول S(n)=n b1 محاسبه می شود. به هر حال، پیشرفت برای q بزرگتر از یک و مثبت b1 افزایش نامیده می شود. هنگامی که مخرج پیشرفت، مدول از یک تجاوز نمی کند، پیشروی کاهشی نامیده می شود.

یک مورد خاص از یک پیشروی هندسی، یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش (b.u.g.p.) است. واقعیت این است که اعضای یک پیشروی هندسی در حال کاهش بارها و بارها کاهش می‌یابند، اما هرگز به صفر نخواهند رسید. با وجود این، می توان مجموع تمام عبارات چنین پیشرفتی را یافت. با فرمول S=b1/(1-q) تعیین می شود. تعداد کل اعضا n بی نهایت است.

برای تجسم اینکه چگونه می توانید تعداد بی نهایت عدد را اضافه کنید و بی نهایت به دست نیاورید، یک کیک بپزید. نصفش رو قطع کن سپس نصف آن را نصف کنید و همینطور ادامه دهید. قطعاتی که به دست خواهید آورد چیزی بیش از اعضای یک پیشرفت هندسی در حال کاهش بی نهایت با مخرج 1/2 نیستند. اگر همه این قطعات را کنار هم قرار دهید، کیک اصلی را دریافت می کنید.

مسائل هندسی نوع خاصی از تمرین است که نیاز به تفکر فضایی دارد. اگر نمی توانید هندسی را حل کنید وظیفهسعی کنید قوانین زیر را رعایت کنید

دستورالعمل

شرایط مشکل را با دقت بخوانید، اگر چیزی را به خاطر نمی آورید یا متوجه نمی شوید، دوباره آن را بخوانید.

سعی کنید تعیین کنید که چه نوع مسائل هندسی است، به عنوان مثال: محاسباتی، زمانی که باید مقداری ارزش را پیدا کنید، وظایفی برای نیاز به یک زنجیره منطقی استدلال، وظایفی برای ساختن با استفاده از قطب نما و خط کش. مشکلات مختلط بیشتر وقتی نوع مشکل را فهمیدید، سعی کنید منطقی فکر کنید.

برای این مسئله قضیه لازم را به کار ببرید، اگر شک دارید یا اصلاً گزینه ای وجود ندارد، سعی کنید نظریه ای را که در موضوع مربوطه مطالعه کرده اید به خاطر بسپارید.

پیش نویس مشکل را نیز تهیه کنید. سعی کنید از روش های شناخته شده برای بررسی صحت راه حل خود استفاده کنید.

حل مسئله را به طور منظم در یک دفترچه بدون لکه و خط خطی کامل کنید و مهمتر از همه - شاید حل اولین مسائل هندسی زمان و تلاش لازم باشد. با این حال، هنگامی که این فرآیند را انجام دادید، شروع به کلیک کردن روی کارهایی مانند آجیل خواهید کرد و از انجام آن لذت خواهید برد!

پیشروی هندسی دنباله ای از اعداد b1، b2، b3، ...، b(n-1)، b(n) است به طوری که b2=b1*q، b3=b2*q، ...، b(n ) =b(n-1)*q، b1≠0، q≠0. به عبارت دیگر، هر یک از اعضای پیشروی با ضرب آن در مقداری مخرج غیر صفر پیشرفت q از عضو قبلی به دست می‌آید.

دستورالعمل

مسائل مربوط به یک پیشروی اغلب با کامپایل و دنبال کردن یک سیستم با توجه به جمله اول پیشرفت b1 و مخرج پیشرفت q حل می شود. برای نوشتن معادلات، یادآوری برخی فرمول ها مفید است.

نحوه بیان عضو n ام پیشرفت از طریق اولین عضو پیشروی و مخرج پیشرفت: b(n)=b1*q^(n-1).

مورد |q| را جداگانه در نظر بگیرید<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии