ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление и единичный отрезок, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат и обозначаются так: Ох, Оy, Оz, имеют свои названия: ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат соответственно, а их общая точка - началом координат. Обычно она обозначается буквой О.
Вся система координат обозначается Охуz.
Если через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох провести плоскости, то такие плоскости будут называться координатными плоскостями и обозначаться: Оху, Оуz, Оzх соответственно.
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч — отрицательной полуосью.
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости.
Посмотрим, как это делается.
Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные осям координат, и обозначим через М₁, М₂ и М₃ точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат.
Первая координата точки М (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОМ₁, если М₁ - точка положительной полуоси;
х= - ОМ₁, если М₁ - точка отрицательной полуоси; х =0, если М₁ совпадает с точкой О.
Аналогично с помощью точки М₂ определяется вторая координата (ордината) у точки М,
а с помощью точки М₃ — третья координата (аппликата) z точки М.
Координаты точки М записываются в скобках после обозначения точки М (х; у; z).
Запомните, что первой указывают абсциссу, второй - ординату, третьей — аппликату.
Найдем координаты точек А, В, С, D, E, F, представленные на рисунке.
Проведем через точку А три плоскости, перпендикулярные к осям координат, тогда точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат будут координатами точки А. Точка А имеет координаты: абсцисса = 9, ордината = 5, аппликата = 10 и записывается это так: А (9; 5;10).
Аналогично записываются координаты следующих точек:
Точка В имеет координаты: абсцисса = 4, ордината = -3, аппликата = 6
Точка С имеет координаты: абсцисса = 9, ордината = 0, аппликата = 0
Точка имеет D координаты: абсцисса = 4, ордината = 0, аппликата = 5
Точка Е имеет координаты: абсцисса = 0, ордината = 8, аппликата = 0
Точка F имеет координаты: абсцисса = 0, ордината = 0, аппликата = -3
Если точка М (х; у; z) лежит на координатной плоскости на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю.
Если МЄОху (точка М принадлежит плоскости Оху), то аппликата точки М равна нулю: z=0.
Аналогично, если МЄОхz (точка М принадлежит плоскости Оxz), то у = 0, а если МЄОуz (точка М принадлежит плоскости Oyz), то х = 0.
Если МЄОх (точка М лежит на оси абсцисс) ордината и аппликата точки М равны нулю: у=о и z=0. В нашем примере это точка С.
Если МЄОу (точка М лежит на оси ординат), то х=0 и z=0. В нашем примере это точка Е.
Если МЄОz (точка М лежит на оси аппликат), то х = 0 и у = 0. В нашем примере это точка F.
Если все три координаты точки М равны нулю, то это значит, что М=О (0; 0; 0) - начало координат.
Даны координаты четырех вершин куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1: A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0; 1; 0); A 1 (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.
Так как фигура — куб, то все стороны равны единице, все грани являются квадратами.
Точка С принадлежит плоскости Оху, то есть ее координата z равна нулю, координата х равна стороне СД и равна АВ, значит равна единице, координата игрек равна стороне куба СВ, значит равна АД и равна единице.
Аналогично, Точка В 1 принадлежи плоскости Охz, то еcть ее координата y равна нулю, координата х равна стороне координата х равна стороне А1B1 и равна АВ значит равна единице, координата зет равна стороне куба В В1значит равна АА1 и равна единице.
Точка Д 1 принадлежи плоскости Оуz, то еcть ее координата х равна нулю, координата у равна стороне А 1 Д 1 и равна АД, значит равна единице, координата зет равна стороне куба А 1 В 1 , значит равна АВ и равна единице.
Точка С 1 не принадлежит никакой плоскости, то еcть все координаты отличны от нуля, координата х равна стороне C 1 D 1 и равна АB, значит равна единице, координата игрек равна стороне куба В 1 С 1 , значит равна АД и равна единице, и координата зет равна стороне CC 1 , то есть AA 1 и также равна единице.
Найдите координаты проекций точки C(; ;) на координатные плоскости Oxy, Oxz, Oyz и координатные оси Ox, Oy, Oz.
1) опустим перпендикуляры на плоскость Oxy— это CN, на плоскость Oxz - CL, и на плоскость Oyz прямая CR.
Таким образом, проекция точки С на плоскость Oxy это точка N и она имеет координаты икс равный минус корень из трех, игрек равен минус корень из двух на два, зет равнен нулю.
Проекция точки С на плоскость Oxz - это точка L и она имеет координаты икс равен минус корень из трех, игрек равен нулю, зет равен корень из пяти минус корень из трех.
Проекция точки С на плоскость Oyz- это точка R и она имеет координаты икс равен нулю, игрек равен минус корень из двух на два, зет равен корень из пяти минус корень из трех.
2)Из точки N проводим перпендикуляры на ось Ох - прямая NK, а на Оу - прямая NG, и на ось Оz проводим перпендикуляр из точки R- это прямая RP.
Проекция точки С на ось Ох - точка К имеет координаты икс равный минус корень из трех, а игрек и зет равны нулю.
Проекция точки С на ось Оy- точка G имеет координаты икс и зет равны нулю, игрек равен минус корень из двух на два.
Проекция точки С на ось Оz- точка P имеет координаты икс и игрек равны нулю, зет равный корень из пяти минус корень из трех.
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат , на каждой оси выбрано положительное направление.Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами (см. Рис. 1).
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A. Записывают так: A(x, y).
Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.
Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX - ось абсцисс, OY - ось ординат, OZ - ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. Рис. 2).
Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC, координата z - длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A, координата z - аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).
Орты
Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов , сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.
В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются i j k или e x e y e z . При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов :
- [i j ]=k ;
- [j k ]=i ;
- [k i ]=j .
История
Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году . Поэтому прямоугольную систему координат называют также - Декартова система координат . Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма , однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.
Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Декартова система координат" в других словарях:
ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта (см. ДЕКАРТ Рене). Декарт впервые ввел… … Энциклопедический словарь
ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ - прямоугольная система координат на плоскости или в пространстве, в которой масштабы по осям одинаковы и оси координат взаимно перпендикулярны. Д. с. к. обозначается буквами x:, у для точки на плоскости или x, у, z для точки в пространстве. (См.… …
ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, система, введенная Рене ДЕКАРТОМ, в которой положение точки определяется расстоянием от нее до взаимно пересекающихся линий (осей). В простейшем варианте системы оси (которые обозначаются как х и у) перпендикулярны.… … Научно-технический энциклопедический словарь
декартова система координат
Прямолинейная система координат (См. Координаты) на плоскости или в пространстве (обычно с одинаковыми масштабами по осям). Сам Р. Декарт в «Геометрии» (1637) употреблял только систему координат на плоскости (вообще, косоугольную). Часто… … Большая советская энциклопедия
Комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В… … Википедия
декартова система - Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Cartesian system; Cartesian system of co ordinates vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. декартова система, f; декартова система… … Fizikos terminų žodynas
СИСТЕМА КООРДИНАТ - совокупность условий, определяющих положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве. Существуют различные С. к.: декартова, косоугольная, цилиндрическая, сферическая, криволинейная и др. Линейные и угловые величины, определяющие положение… … Большая политехническая энциклопедия
Ортонормированная прямолинейная система координат в евклидовом пространстве. Д. п. с. к. на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми осями координат, на каждой из к рых выбрано положительное направление и задан отрезок единичной … Математическая энциклопедия
Прямоугольная система координат прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для… … Википедия
Книги
- Вычислительная гидродинамика. Теоретические основы. Учебное пособие , Павловский Валерий Алексеевич, Никущенко Дмитрий Владимирович. Книга посвящена систематическому изложению теоретических основ для постановки задач математического моделирования течений жидкостей и газов. Особое внимание уделено вопросам построения…
Если на плоскости или в трехмерном пространстве ввести систему координат, то мы получим возможность описывать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств, то есть, мы сможем использовать методы алгебры. Поэтому понятие системы координат очень важно.
В этой статье мы покажем как задается прямоугольная декартова система координат на плоскости и в трехмерном пространстве и выясним как определяются координаты точек. Для наглядности приведем графические иллюстрации.
Навигация по странице.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости.
Введем прямоугольную систему координат на плоскости.
Для этого проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, выберем на каждой из них положительное направление , указав его стрелочкой, и выберем на каждой из них масштаб (единицу измерения длины). Обозначим точку пересечения этих прямых буквой О и будем считать ее началом отсчета . Так мы получили прямоугольную систему координат на плоскости.
Каждую из прямых с выбранным началом отсчета О , направлением и масштабом называют координатной прямой или координатной осью .
Прямоугольную систему координат на плоскости обычно обозначают Oxy , где Ox и Oy – ее координатные оси. Ось Ox называют осью абсцисс , а ось Oy – осью ординат .
Сейчас условимся с изображением прямоугольной системы координат на плоскости.
Обычно единица измерения длины на осях Ox и Oy выбирается одинаковая и откладывается от начала координат на каждой координатной оси в положительном направлении (отмечается штришком на координатных осях и рядом записывается единица), ось абсцисс направляется вправо, а ось ординат – вверх. Все остальные варианты направления координатных осей сводятся к озвученному (ось Ox - вправо, ось Oy - вверх) при помощи поворота системы координат на некоторый угол относительно начала координат и взгляда на нее с другой стороны плоскости (при необходимости).
Прямоугольную систему координат часто называют декартовой, так как ее на плоскости впервые ввел Рене Декарт. Еще чаще прямоугольную систему координат называют прямоугольной декартовой системой координат, собирая все воедино.
Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве.
Аналогично задается прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном евклидовом пространстве, только берется не две, а три взаимно перпендикулярных прямых. Другими словами, к координатным осям Оx и Oy добавляется координатная ось Oz , которую называют осью аппликат .
В зависимости от направления координатных осей различают правую и левую прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве.
Если смотреть с положительного направления оси Oz и кратчайший поворот от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Oy происходит против хода часовой стрелки, то система координат называется правой .
Если смотреть с положительного направления оси Oz и кратчайший поворот от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Oy происходит по ходу часовой стрелки, то система координат называется левой .
Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости.
Сначала рассмотрим координатную прямую Ox и возьмем некоторую точку M на ней.
Каждому действительному числу соответствует единственная точка M на этой координатной прямой. К примеру, точке, расположенной на координатной прямой на расстоянии от начала отсчета в положительном направлении, соответствует число , а числу -3 соответствует точка, расположенная на расстоянии 3 от начала отсчета в отрицательном направлении. Числу 0 соответствует начало отсчета.
С другой стороны, каждой точке M на координатной прямой Ox соответствует действительное число . Это действительное число есть ноль, если точка M совпадает с началом отсчета (с точкой O ). Это действительное число положительно и равно длине отрезка OM в данном масштабе, если точка M удалена от начала отсчета в положительном направлении. Это действительное число отрицательно и равно длине отрезка OM со знаком минус, если точка M удалена от начала отсчета в отрицательном направлении.
Число называется координатой точки M на координатной прямой.
Теперь рассмотрим плоскость с введенной прямоугольной декартовой системой координат. Отметим на этой плоскости произвольную точку М .
Пусть - проекция точки M на прямую Ox , а - проекции точки M на координатную прямую Oy (при необходимости смотрите статью ). То есть, если через точку M провести прямые, перпендикулярные координатным осям Ox и Oy , то точками пересечения этих прямых с прямыми Ox и Oy являются соответственно точки и .
Пусть точке на координатной оси Ox соответствует число , а точке на оси Oy - число .
Каждой точке М плоскости в заданной прямоугольной декартовой системе координат соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел , называемых координатами точки M на плоскости. Координату называют абсциссой точки М , а - ординатой точки М .
Верно и обратное утверждение: каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует точка М плоскости в заданной системе координат.
Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.
Покажем как определяются координаты точки М в прямоугольной системе координат, заданной в трехмерном пространстве.
Пусть и - проекции точки M на координатные оси Ox , Oy и Oz соответственно. Пусть этим точкам на координатных осях Ox , Oy и Oz соответствуют действительные числа и .
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X "X и Y "Y O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y "Y вверх, ось X "X смотрела направо.
Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X "X и Y "Y , называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y . Координата x равна длине отрезка OB , координата y - длине отрезка OC OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y "Y и X "X соответственно.
Координата x называется абсциссой точки A , координата y - ординатой точки A . Записывают так: .
Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.
Рис. 2 : Декартова плоскость
Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.
Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX , OY и OZ . Оси координат пересекаются в точке O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX - ось абсцисс, OY - ось ординат, OZ - ось аппликат.
Если большой палец правой руки принять за направление X , указательный за направление Y , а средний за направление Z , то образуется правая система координат.
Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат.
Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ . Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси.
Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x , y и z . Координата x равна длине отрезка OB , координата y - длине отрезка OC , координата z - длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB , OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ , XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A , координата y - ординатой точки A , координата z - аппликатой точки A . Записывают так: .