Эта гармония поражает своими масштабами...

Здравствуйте, друзья!

Вы что-нибудь слышали о Божественной гармонии или Золотом сечении? Задумывались ли о том, почему нам что-то кажется идеальным и красивым, а что-то отталкивает?

Если нет, то вы удачно попали на эту статью, потому что в ней мы обсудим золотое сечение, узнаем что это такое, как оно выглядит в природе и в человеке. Поговорим о его принципах, узнаем что такое ряд Фибоначчи и многое многое другое, включая понятие золотой прямоугольник и золотая спираль.

Да, в статье много изображений, формул, как-никак, золотое сечение - это еще и математика. Но все описано достаточно простым языком, наглядно. А еще, в конце статьи, вы узнаете, почему все так любят котиков =)

Что такое золотое сечение?

Если по-простому, то золотое сечение - это определенное правило пропорции, которое создает гармонию ?. То есть, если мы не нарушаем правила этих пропорций, то у нас получается очень гармоничная композиция.

Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому.

Но, кроме этого, золотое сечение - это математика: у него есть конкретная формула и конкретное число. Многие математики, вообще, считают его формулой божественной гармонии, и называют «асимметричной симметрией».

До наших современников золотое сечение дошло со времен Древней Греции, однако, бытует мнение, что сами греки уже подсмотрели золотое сечение у египтян. Потому что многие произведения искусства Древнего Египта четко построены по канонам этой пропорции.

Считается, что первым ввел понятие золотого сечения Пифагор. До наших дней дошли труды Евклида (он при помощи золотого сечения строил правильные пятиугольники, именно поэтому такой пятиугольник назван «золотым»), а число золотого сечения названо в честь древнегреческого архитектора Фидия. То есть, это у нас число «фи» (обозначается греческой буквой φ), и равно оно 1.6180339887498948482… Естественно, это значение округляют: φ = 1,618 или φ = 1,62, а в процентном соотношении золотое сечение выглядит, как 62% и 38%.

В чем же уникальность этой пропорции (а она, поверьте, есть)? Давайте для начала попробуем разобраться на примере отрезка. Итак, берем отрезок и делим его на неравные части таким образом, чтобы его меньшая часть относилась к большей, как большая ко всему целому. Понимаю, не очень пока ясно, что к чему, попробую проиллюстрировать наглядней на примере отрезков:

Итак, берем отрезок и делим его на два других, таким образом, чтобы меньший отрезок а, относился к большему отрезку b, так же, как и отрезок b относится к целому, то есть ко всей линии (a + b). Математически это выглядит так:

Этот правило работает бесконечно, вы можете делить отрезки сколь угодно долго. И, видите, как это просто. Главное один раз понять и все.

Но теперь рассмотрим более сложный пример, который попадается очень часто, так как золотое сечение еще представляют в виде золотого прямоугольника (соотношение сторон которого равно φ = 1,62). Это очень интересный прямоугольник: если от него «отрезать» квадрат, то мы снова получим золотой прямоугольник. И так бесконечно много раз. Смотрите:

Но математика не была бы математикой, если бы в ней не было формул. Так что, друзья, сейчас будет немножко «больно». Решение золотой пропорции спрятала под спойлер, очень много формул, но без них не хочу оставлять статью.

Ряд Фибоначчи и золотое сечение

Продолжаем творить и наблюдать за магией математики и золотого сечения. В средние века был такой товарищ - Фибоначчи (или Фибоначи, везде по-разному пишут). Любил математику и задачи, была у него и интересная задачка с размножением кроликов =) Но не в этом суть. Он открыл числовую последовательность, числа в ней так и зовутся «числа Фибоначчи».

Сама последовательность выглядит так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... и дальше до бесконечности.

Если словами, то последовательность Фибоначчи - это такая последовательность чисел, где каждое последующее число, равно сумме двух предыдущих.

Причем здесь золотое сечение? Сейчас увидите.

Спираль Фибоначчи

Чтобы увидеть и прочувствовать всю связь числового ряда Фибоначчи и золотого сечения, нужно снова взглянуть на формулы.

Иными словами, с 9-го члена последовательности Фибоначчи мы начинаем получать значения золотого сечения. И если визуализировать всю эту картину, то мы увидим, как последовательность Фибоначчи создает прямоугольники все ближе и ближе к золотому прямоугольнику. Вот такая вот связь.

Теперь поговорим о спирали Фибоначчи, ее еще называют «золотой спиралью».

Золотая спираль - логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен φ4, где φ - золотое сечение.

В общем и целом, с точки зрения математики, золотое сечение - идеальная пропорция. Но на этом ее чудеса только начинаются. Принципам золотого сечения подчинен почти весь мир, эту пропорцию создала сама природа. Даже эзотерики, и те, видят в ней числовую мощь. Но об этом точно не в этой статье будем говорить, поэтому, чтобы ничего не пропустить, можете подписаться на обновления сайта.

Золотое сечение в природе, человеке, искусстве

Прежде, чем мы начнем, хотелось бы уточнить ряд неточностей. Во-первых, само определение золотого сечения в данном контексте не совсем верно. Дело в том, что само понятие «сечение» - это термин геометрический, обозначающий всегда плоскость, но никак не последовательность чисел Фибоначчи.

И, во-вторых, числовой ряд и соотношение одного к другому, конечно, превратили в некий трафарет, который можно накладывать на все, что кажется подозрительным, и очень радоваться, когда есть совпадения, но все же, здравый смысл терять не стоит.

Однако, «все смешалось в нашем королевстве» и одно стало синонимом другого. Так что в общем и целом, смысл от этого не потерялся. А теперь к делу.

Вы удивитесь, но золотое сечение, точнее пропорции максимально приближенные к нему, можно увидеть практически везде, даже в зеркале. Не верите? Давайте с этого и начнем.

Знаете, когда я училась рисовать, то нам объясняли, как проще строить лицо человека, его тело и прочее. Все надо рассчитывать, относительно чего-то другого.

Все, абсолютно все пропорционально: кости, наши пальцы, ладони, расстояния на лице, расстояние вытянутых рук по отношению к телу и так далее. Но даже это не все, внутреннее строение нашего организма, даже оно, приравнивается или почти приравнивается к золотой формуле сечения. Вот какие расстояния и пропорции:

от плеч до макушки к размеру головы = 1:1.618

от пупка до макушки к отрезку от плеч до макушки = 1:1.618

от пупка до коленок и от коленок до ступней = 1:1.618

от подбородка до крайней точки верхней губы и от нее до носа = 1:1.618

Разве это не удивительно!? Гармония в чистом виде, как внутри, так и снаружи. И именно поэтому, на каком-то подсознательном что-ли уровне, некоторые люди не кажутся нам красивыми, даже если у них крепкое подтянутое тело, бархатная кожа, красивые волосы, глаза и прочее и все остальное. Но, все равно, малейшее нарушений пропорций тела, и внешность уже слегка «режет глаза».

Короче говоря, чем красивее кажется нам человек, тем ближе его пропорции к идеальным. И это, кстати, не только к человеческому телу можно отнести.

Золотое сечение в природе и ее явлениях

Классическим примером золотого сечения в природе является раковина моллюска Nautilus pompilius и аммонита. Но это далеко не все, есть еще много примеров:

в завитках человеческого уха мы можем увидеть золотую спираль;

ее же (или приближенную к ней) в спиралях, по которым закручиваются галактики;

и в молекуле ДНК;

по ряду Фибоначчи устроен центр подсолнуха, растут шишки, середина цветов, ананас и многие другие плоды.

Друзья, примеров настолько много, что я просто оставлю тут видеоролик (он чуть ниже), чтобы не перегружать текстом статью. Потому что, если эту тему копать, то можно углубиться в такие дебри: еще древние греки доказывали, что Вселенная и, вообще, все пространство, - спланировано по принципу золотого сечения.

Вы удивитесь, но эти правила можно отыскать даже в звуке. Смотрите:

Наивысшая точка звука, вызывающая боль и дискомфорт в наших ушах, равна 130 децибелам.

Делим пропорцией 130 на число золотого сечения φ = 1,62 и получаем 80 децибел - звук человеческого крика.

Продолжаем пропорционально делить и получаем, скажем так, нормальную громкость человеческой речи: 80 / φ = 50 децибел.

Ну, а последний звук, который получим благодаря формуле – приятный звук шепота = 2,618.

По данному принципу можно определить оптимально-комфортное, минимальное и максимальное число температуры, давления, влажности. Я не проверяла, и не знаю, насколько эта теория верна, но, согласитесь, звучит впечатляюще.

Абсолютно во всем живом и не живом можно прочесть высшую красоту и гармонию.

Главное, только не увлекаться этим, ведь если мы хотим что-то в чем-то увидеть, то увидим, даже если этого там нет. Вот я, например, обратила внимание на дизайн PS4 и увидела там золотое сечение =) Впрочем, эта консоль настолько классная, что не удивлюсь, если дизайнер, и правда, что-то там мудрил.

Золотое сечение в искусстве

Тоже очень большая и обширная тема, которую стоит рассмотреть отдельно. Тут лишь помечу несколько базовых моментов. Самое примечательное, что многие произведения искусства и архитектурные шедевры древности (и не только) сделаны, по принципам золотого сечения.

Египетские и пирамиды Майя, Нотр-дам де Пари, греческий Парфенон и так далее.

В музыкальных произведениях Моцарта, Шопена, Шуберта, Баха и прочих.

В живописи (там это наглядно видно): все самые знаменитые картины известных художников сделаны с учетом правил золотого сечения.

Эти принципы можно встретить и в стихах Пушкина, и в бюсте красавицы Нефертити.

Даже сейчас правила золотой пропорции используются, например, в фотографии. Ну, и конечно, во всем остальном искусстве, включая кинематограф и дизайн.

Золотые котики Фибоначчи

Ну и, наконец, о котиках! Вы задумывались о том, почему все так любят котеек? Они же ведь заполонили Интернет! Котики везде и это чудесно =)

А все дело в том, что кошки - идеальны! Не верите? Сейчас докажу вам это математически!

Видите? Тайна раскрыта! Котейки идеальны с точки зрения математики, природы и Вселенной =)

* Я шучу, конечно. Нет, кошки, действительно, идеальны) Но математически их никто не измерял, наверное.

На этом, в общем-то, все, друзья! Мы увидимся в следующих статьях. Удачи вам!

P. S. Изображения взяты с сайта medium.com.

Правило «золотого сечения» в живописи, фотографии, математике, архитектуре, искусстве

Правило "одной трети", или "золотого сечения". Это правило было выведено Леонардо Да Винчи и является одним из самых главных. Наиболее важный элемент изображения, располагается на расстоянии примерно 1/3 по высоте или ширине кадра от его границы. Поделите кадр на девять одинаковых квадратов. Точки пересечения линий и есть “золотое сечение”.

Фото Андрея Попова

Другая схема, подтверждающее "золотое сечение" изображена ниже. Проведем диагональ фотографии, затем из свободного угла опустим линию к этой диагонали под прямым углом. Таким образом наша фотография окажется разделена на три прямоугольных треугольника. Схему можно поворачивать как угодно, но самые важные части сюжета должны располагаться в этих треугольниках.

Вот рисунок иллюстрирующий сразу две схемы "золотого сечения".

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название"золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.
Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

История золотого сечения
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог “Тимей” посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в “Началах” Евклида. Во 2-й книге “Начал” дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам “Начал” Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась “О перспективе в живописи”. Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли “Божественная пропорция” с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее “божественную суть” как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. “Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать”.

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя “Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности”.

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы “вместе с водой выплеснули и ребенка”. Вновь “открыто” золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд “Эстетические исследования”. С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях “математической эстетикой”.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название “Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве”. В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.
Золотые пропорции в частях тела человека

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония каким-либо математическим расчётам. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного — золотое сечение. Наша задача — узнать что же такое золотое сечение и установить — где человечество нашло применение золотого сечения.

Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Без порядочность, без форменность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония, воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.

Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, имеющими в своей основе золотое сечение. Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете? Посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой относительно вашего тела будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы воспроизвели «золотое сечение».

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом учёные — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения. Без конечный ряд после запятой — 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь — эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Всё живое и всё красивое — всё подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»? Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть это закон красоты? Или всё-таки он — мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен. «Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Наверное, трудно найти надёжную меру для объективной оценки самой красоты, и одной логикой тут не обойдешься. Однако здесь поможет опыт тех, для кого поиск красоты был самим смыслом жизни, кто сделал это своей профессией. Это, прежде всего, люди искусства, как мы их называем: художники, архитекторы, скульпторы, музыканты, писатели. Но это и люди точных наук, прежде всего, — математики.

Доверяя глазу больше, чем другим органам чувств, Человек в первую очередь учился различать окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определённом отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения — высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ — ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ

В математике пропорцией называют равенство двух отношений:

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части — АВ:АС=АВ:ВС;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда АВ:АС=АС:ВС.

Последнее и есть золотое деление (сечение).

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a:b=b:c или с:b=b:а.

Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC=1/2AB; CD=BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются без конечной дробью AE=0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ=0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поколения. К примеру, в правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в пропорции золотого сечения (т.е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618).

ВТОРОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Такая пропорция обнаружена в архитектуре.

Построение второго золотого сечения

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56:44.

Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

ЗОЛОТОЙ ТРЕУГОЛЬНИК (пентаграмма)

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер. Пусть O — центр окружности, A — точка на окружности и Е — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE=ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36 0 при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит её в пропорции золотого сечения.

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d 1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd 1 откладываем на линию Ad 1 , получая точку С. Она разделила линию Ad 1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad 1 и dd 1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Построение золотого треугольника

ИСТОРИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашёл, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Динамические прямоугольники

Платон также знал о золотом делении. Пифагореец Тимей в одноимённом диалоге Платона говорит: «Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться вещь, которая скрепляла бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция, ибо если три числа обладают тем свойством, что среднее так относится к меньшему, как большее к среднему, и, наоборот, меньшее так относится к среднему, как среднее к большему, то последнее и первое будет средним, а среднее — первым и последним. Таким образом, всё необходимое будет тем же самым, а так как оно будет тем же самым, то оно составит целое». Земной мир Платон строит, используя треугольники двух сортов: равнобедренные и неравнобедренные. Прекраснейшим прямоугольным треугольником он считает такой, в котором гипотенуза вдвое больше меньшего из катетов (такой прямоугольник является половиной равностороннего, основной фигуры вавилонян, в нём выступает отношение 1:3 1/2 , отличающееся от золотого сечения примерно на 1/25, и называемое Тимердингом «соперником золотого сечения»). С помощью треугольников Платон строит четыре правильных многогранника, ассоциируя их с четырьмя земными элементами (землей, водой, воздухом и огнем). И лишь последний из пяти существующих правильных многогранников — додекаэдр, всеми двенадцатью гранями которого служат правильные пятиугольники, претендует на символическое изображение небесного мира.

ИКОСАЭДР И ДОДЕКАЭДР

Честь открытия додекаэдра (или, как полагалось, самой Вселенной, этой квинтэссенции четырёх стихий, символизируемых, соответственно, тетраэдром, октаэдром, икосаэдром и кубом) принадлежит Гиппасу, впоследствии погибшему при кораблекрушении. В этой фигуре действительно запечатлено множество отношений золотого сечения, поэтому последнему отводилась главная роль в небесном мире, на чём впоследствии и настаивал брат минорит Лука Пачоли.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвящённым.

В средние века пентаграмма подверглась демонизации (как, впрочем, и многое, что почиталось божественным в античном язычестве) и нашла приют в оккультных науках. Однако Возрождение вновь выносит на свет и пентаграмму, и золотое сечение. Так, широкое хождение в тот период утверждения гуманизма обрела схема, описывающая строение человеческого тела.

К такой картинке, по сути, воспроизводящей пентаграмму, неоднократно прибегал и Леонардо да Винчи. Её интерпретация: тело человека обладает божественным совершенством, ибо заложенные в нём пропорции такие же, как в главной небесной фигуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства.

В 1496 г. по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «О божественной пропорции» (De divina proportione, 1497, изд. в Венеции в 1509 г.) с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Такая пропорция лишь одна, а единственность — высочайшее свойство Бога. В ней воплощено святое триединство. Эта пропорция не может быть выражена доступным числом, остаётся скрытой и тайной и самими математиками называется иррациональной (так и Бог не может быть ни определен, ни разъяснён словами). Бог никогда не изменяется и представляет всё во всем и всё в каждой своей части, так и золотое сечение для всякой непрерывной и определённой величины (независимо от того, большая она или малая) одно и то же, не может быть ни изменено, ни по-иному воспринято рассудком. Бог вызвал к бытию небесную добродетель, иначе называемую пятой субстанцией, с её помощью и четыре других простых тела (четыре стихии — землю, воду, воздух, огонь), а на их основе вызвал к бытию всякую другую вещь в природе; так и наша священная пропорция, согласно Платону в «Тимее», даёт формальное бытие самому небу, ибо ему приписывается вид тела, называемого додекаэдром, который невозможно построить без золотого сечения. Таковы аргументы Пачоли.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотого сечения. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведённой через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, — писал он, — что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m , рядом откладываем отрезок M . На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов.

Построение шкалы отрезков золотой пропорции

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребёнка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив её универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13:8=1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8:5=1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела — длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX — начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И СИММЕТРИЯ

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863-1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление — это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая — движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она — свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

РЯД ФИБОНАЧЧИ

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с арабскими цифрами. В 1202 г. вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счётной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21:34=0,617, а 34:55=0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение — 0,618:0,382 — даёт непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Как показано на нижнем рисунке, длина каждого сустава пальца соотносится с длиной следующего сустава по пропорции Ф. Такое же соотношение проявляется во всех пальцах рук и ног. Эта связь как-то необычна, потому что один палец длиннее другого без всякой видимой закономерности, но это всё не случайно, как не случайно всё в теле человека. Расстояния на пальцах, отмеченные от А до В до С до D до Е, все соотносятся друг с другом по пропорции Ф, равно как и фаланги пальцев от F до G до H.

Взгляните на этот скелет лягушки и посмотрите, как каждая косточка соответствует модели пропорции Ф точно так, как и в теле человека.

ОБОБЩЁННОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Учёные продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создаётся даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и, открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2=1+1; 4=2+2..., во втором — это сумма двух предыдущих чисел 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S+1, первых членов которого — единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через? S (n), то получим общую формулу? S (n)=? S (n-1)+? S (n-S-1).

Очевидно, что при S=0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S=1 — ряд Фибоначчи, при S=2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x S+1 -x S -1=0.

Нетрудно показать, что при S=0 получается деление отрезка пополам, а при S=1 — знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т.п.) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезу о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтверждённой, экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики — новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.

Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S>0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения — числа рациональные. И лишь позже, после открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков, на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа: 10, 5, 2, из которых уже по определённым правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.

Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная, система, в качестве первоосновы начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.

В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной — а не бесконечной, как думали ранее! — суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.

ПРИНЦИПЫ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ В ПРИРОДЕ

Всё, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах: рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если её развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал её и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение её шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гёте подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно.

Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетёт паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гёте называл спираль «кривой жизни».

Ряд Мандельброта

Золотая спираль тесно связана с циклами. Современная наука о хаосе изучает простые циклические операции с обратной связью и порождённые ими фрактальные формы, неизвестные ранее. Рисунок показывает известный ряд Мандельброта — страницу из словаря без конечности индивидуальных паттернов, называемых юлианскими рядами. Некоторые учёные связывают ряд Мандельброта с генетическим кодом клеточных ядер. Последовательное увеличение сечений раскрывает изумительные по своей художественной сложности фракталы. И тут тоже присутствуют логарифмические спирали! Это тем более важно, что и ряд Мандельброта, и юлианские ряды не являются изобретением человеческого разума. Они возникают из области первообразов Платона. Как сказал врач Р. Пенроуз, «они подобны горе Эверест»

Среди придорожных трав растёт ничем не примечательное растение — цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок ещё меньшего размера и снова выброс.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий — 38, четвертый — 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определённые пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Цикорий

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной частей тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2, 3, 5, 8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции — длина её хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Ящерица живородящая

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы — симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Большой интерес представляет исследование форм птичьих яиц. Их всевозможные формы колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой в прямоугольник с модулем 1,272 (корень золотой пропорции)

Такие формы птичьих яиц не являются случайными, поскольку в настоящее время установлено, что форме яиц, описываемых отношением золотого сечения, отвечают более высокие прочностные характеристики оболочки яйца.

Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов, и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.

В живой природе широко распространены формы, основанные на «пентагональной» симметрии (морские звезды, морские ежи, цветы).

Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору. Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда, без исключений, построены по совершенной чёткой формуле золотого сечения.

В микромире трёхмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно. К примеру, многие вирусы имеют трёхмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов — вирус Адено. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы, и из этих углов простираются шипообразные структуры.

Вирус Адено

Впервые золотое сечение в строении вирусов обнаружили в 1950-хх гг. ученые из Лондонского Биркбекского Колледжа А. Клуг и Д. Каспар. Первым логарифмическую форму явил в себе вирус Polyo. Форма этого вируса оказалась аналогичной с формой вируса Rhino.

Возникает вопрос: каким образом вирусы образуют столь сложные трёхмерные формы, устройство которых содержит в себе золотое сечение, которые даже нашим человеческим умом сконструировать довольно сложно? Первооткрыватель этих форм вирусов, вирусолог А. Клю г даёт такой комментарий: «Доктор Каспар и я показали, что для сферической оболочки вируса самой оптимальной формой является симметрия типа формы икосаэдра. Такой порядок сводит к минимуму число связующих элементов... Большая часть геодезических полусферических кубов Букминстера Фуллера построены по аналогичному геометрическому принципу. Монтаж таких кубов требует чрезвычайно точной и подробной схемы-разъяснения, тогда как бессознательные вирусы сами сооружают себе столь сложную оболочку из эластичных, гибких белковых клеточных единиц».

Комментарий Клюга ещё раз напоминает о предельно очевидной истине: в строении даже микроскопического организма, который учёные классифицируют как «самую примитивную форму жизни», в данном случае в вирусе, присутствует чёткий замысел и осуществлён разумный проект. Этот проект несопоставим по своему совершенству и точности исполнения с самыми передовыми архитектурными проектами, созданными людьми. К примеру, проектами, созданными гениальным архитектором Букминстером Фуллером.

Трёхмерные модели додекаэдра и икосаэдра присутствуют также и в строении скелетов одноклеточных морских микроорганизмов радиолярий (лучевиков), скелет которых создан из кремнезёма.

Радиолярии формируют своё тело весьма изысканной, необычной красоты. Форма их составляет правильный додекаэдр, причём из каждого его угла прорастает псевдоудлиннение-конечность и иные необычные формы-наросты.

Великий Гёте, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввёл в научный обиход термин морфология.

Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

ТЕЛО ЧЕЛОВЕКА И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Все кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.

Золотые пропорции в частях тела человека

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступнёй человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

• расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;
• расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;
• расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;
• расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618;
• собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора;
• расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618;
• высота лица/ширина лица;
• центральная точка соединения губ до основания носа/длина носа;
• высота лица/расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ;
• ширина рта/ширина носа;
• ширина носа/расстояние между ноздрями;
• расстояние между зрачками/расстояние между бровями.

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдёте в нём формулу золотого сечения.

Каждый палец нашей руки состоит из трёх фаланг. Сумма длинн двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и даёт число золотого сечения (за исключением большого пальца).

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 — есть числа последовательности Фибоначчи.

Также следует отметить тот факт, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту.

Истины золотого сечения внутри нас и в нашем пространстве. Особенность бронхов, составляющих лёгкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче. Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea («Улитка»), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали =73 0 43".

Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столбца у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастола) давление уменьшается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции.

Если взять за единицу среднее давление крови в аорте, то систолическое давление крови в аорте составляет 0,382, а диастолическое 0,618, то есть их отношение соответствует золотой пропорции. Это означает, что работа сердца в отношении временных циклов и изменения давления крови оптимизированы по одному и тому же принципу закону золотой пропорции.

Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетённых между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем — одна стомиллионная доля сантиметра).

Строение участка спирали молекулы ДНК

Так вот 21 и 34 — это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины, и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В СКУЛЬПТУРЕ

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии, красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенон.

Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В АРХИТЕКТУРЕ

В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, всё зависит от положения наблюдателя, и если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» даёт наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618...

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.

На плане пола Парфенона также можно заметить «золотые прямоугольники».

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари), и в пирамиде Хеопса.

Не только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения; то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид.

Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили всё «на глазок», без особых математических расчетов. Однако новейшие исследования показали, что русские архитекторы хорошо знали математические пропорции, о чём свидетельствует анализ геометрии древних храмов.

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое сечение». Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществлённых проектах жилых домов и усадеб. Например, «золотое сечение» можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова.

Петровский дворец в Москве. Построен по проекту М.Ф. Казакова

Еще один архитектурный шедевр Москвы — дом Пашкова — является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Дом Пашкова

Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертёж нижнего этажа.

Многие высказывания зодчего заслуживают внимания и в наши дни. О своём любимом искусстве В. Баженов говорил: «Архитектура главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождём является рассудок».

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В МУЗЫКЕ

Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми «эстетическими вехами» на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие в целом. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые «кульминационным событием», как правило, находятся в соотношении Золотого сечения.

Ещё в 1925 году искусствовед Л.Л. Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Причём, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена. Он обнаружил в них 178 золотых сечений. При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении золотого сечения, но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.

Композитор и ученый М.А. Марутаев подсчитал количество тактов в знаменитой сонате «Аппассионата» и нашёл ряд интересных числовых соотношений. В частности, в разработке — центральной структурной единице сонаты, где интенсивно развиваются темы и сменяют друг друга тональности, — два основных раздела. В первом — 43,25 такта, во втором — 26,75. Отношение 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 даёт золотое сечение.

Наибольшее количество произведений, в которых имеется Золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

Если музыка — гармоническое упорядочение звуков, то поэзия — гармоническое упорядочение речи. Чёткий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Золотое сечение в поэзии в первую очередь проявляется как наличие определённого момента стихотворения (кульминации, смыслового перелома, главной мысли произведения) в строке, приходящейся на точку деления общего числа строк стихотворения в золотой пропорции. Так, если стихотворение содержит 100 строк, то первая точка Золотого сечения приходится на 62-ю строку (62%), вторая — на 38-ю (38%) и т.д. Произведения Александра Сергеевича Пушкина, и в том числе «Евгений Онегин», — тончайшее соответствие золотой пропорции! Произведения Шота Руставели и М.Ю. Лермонтова также построены по принципу Золотого сечения.

Страдивари писал, что с помощью золотого сечения он определял места для f-образных вырезов на корпусах своих знаменитых скрипок.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ПОЭЗИИ

Исследования поэтических произведений с этих позиций только начинаются. И начинать нужно с поэзии А.С. Пушкина. Ведь его произведения — образец наиболее выдающихся творений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии. С поэзии А.С. Пушкина мы и начнем поиски золотой пропорции — мерила гармонии и красоты.

Многое в структуре поэтических произведений роднит этот вид искусства с музыкой. Чёткий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой, своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция.

Начнём с величины стихотворения, то есть количества строк в нём. Казалось бы, этот параметр стихотворения может изменяться произвольно. Однако оказалось, что это не так. Например, проведенный Н. Васютинским анализ стихотворений А.С. Пушкина показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно; оказалось, что Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).

Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения. Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина «Сапожник»:

Проведём анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нём выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13, 8, 5 — числа Фибоначчи).

Одно из последних стихотворений Пушкина «Не дорого ценю я громкие права...» состоит из 21 строки и в нём выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк:

Не дорого ценю я громкие права, От коих не одна кружится голова. Я не ропщу о том, что отказали боги Мне в сладкой участи оспаривать налоги Или мешать царям друг с другом воевать; И мало горя мне, свободно ли печать Морочит олухов, иль чуткая цензура В журнальных замыслах стесняет балагура. Все это, видите ль, слова, слова, слова. Иные, лучшие, мне дороги права: Иная, лучшая, потребна мне свобода: Зависеть от царя, зависеть от народа - Не все ли нам равно? Бог с ними. Отчета не давать, себе лишь самому Служить и угождать; для власти, для ливреи Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи; По прихоти своей скитаться здесь и там, Дивясь божественным природы красотам, И пред созданьями искусств и вдохновенья Трепеща радостно в восторгах умиленья, Вот счастье! Вот права...

Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть всё стихотворение построено по законам золотой пропорции.

Представляет несомненный интерес анализ романа «Евгений Онегин», сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55!

Н. Васютинский констатирует: «Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне — строка «Бледнеть и гаснуть... вот блаженство!» Эта строка делит всю восьмую главу на две части: в первой 477 строк, а во второй — 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершённое гением Пушкина!».

Э. Розенов провел анализ многих поэтических произведений М.Ю. Лермонтова, Шиллера, А.К. Толстого и также обнаружил в них «золотое сечение».

Знаменитое стихотворение Лермонтова «Бородино» делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику, занимающее лишь одну строфу («Скажите, дядя, ведь недаром...»), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается, с нарастающим напряжением, ожидание боя, во второй — сам бой с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением.

Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив её золотым сечением (91:1,618=56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: «Ну, ж был денек!» Именно эта фраза представляет собой «кульминационный пункт возбужденного ожидания», завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя).

Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.

Многие исследователи поэмы Шота Руставели «Витязь в тигровой шкуре» отмечают исключительную гармоничность и мелодичность его стиха. Эти свойства поэмы грузинский учёный, академик Г.В. Церетели относит за счёт сознательного использования поэтом золотого сечения как в формировании формы поэмы, так и в построении ее стихов.

Поэма Руставели состоит из 1587 строф, каждая их которых состоит из четырех строк. Каждая строка состоит из 16 слогов и делится на две равные части по 8 слогов в каждом полустишии. Все полустишия делятся на два сегмента двух видов: А — полустишие с равными сегментами и чётным количеством слогов (4+4); В — полустишие с несимметричным делением на две неравные части (5+3 или 3+5). Таким образом, в полустишии В получаются соотношения 3:5:8, что является приближением к золотой пропорции.

Установлено, что в поэме Руставели из 1587 строф больше половины (863) построены по принципу золотого сечения.

В наше время родился новый вид искусства — кино, вобравший в себя драматургию действия, живопись, музыку. В выдающихся произведениях киноискусства правомерно искать проявления золотого сечения. Первым это сделал создатель шедевра мирового кино «Броненосец Потёмкин» кинорежиссер Сергей Эйзенштейн. В построении этой картины он сумел воплотить основной принцип гармонии — золотое сечение. Как отмечает сам Эйзенштейн, красный флаг на мачте восставшего броненосца (точка апогея фильма) взвивается в точке золотой пропорции, отсчитываемой от конца фильма.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ШРИФТАХ И БЫТОВЫХ ПРЕДМЕТАХ

Особый вид изобразительного искусства Древней Греции следует выделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме легко угадываются пропорции золотого сечения.

В живописи и скульптуре храмов, на предметах домашнего обихода древние египтяне чаще всего изображали богов и фараонов. Были установлены каноны изображения стоящего человека, идущего, сидящего и т.д. Художники обязаны были заучивать отдельные формы и схемы изображения по таблицам и образцам. Художники Древней Греции совершали специальные путешествия в Египет, чтобы поучиться умению пользоваться каноном.

ОПТИМАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ

Известно, что максимальная громкость звука , которая вызывает болевые ощущения, равна 130 децибеллам. Если разделить этот интервал золотой пропорцией 1,618, то получим 80 децибелл, которые характерны для громкости человеческого крика. Если теперь 80 децибелл разделить золотой пропорцией, то получим 50 децибелл, что соответствует громкости человеческой речи. Наконец, если разделить 50 децибелл квадратом золотой пропорции 2,618, то получим 20 децибелл, что соответствует шёпоту человека. Таким образом, все характерные параметры громкости звука взаимосвязаны через золотую пропорцию.

При температуре 18-20 0 C интервал влажности 40-60% считается оптимальным. Границы оптимального диапазона влажности могут быть получены, если абсолютную влажность 100% дважды разделить золотым сечением:100/2,618 = 38,2% (нижняя граница); 100/1,618=61,8% (верхняя граница).

При давлении воздуха 0,5 МПа у человека возникают неприятные ощущения, ухудшается его физическая и психологическая деятельность. При давлении 0,3-0,35 МПа разрешается только кратковременная работа, а при давлении 0,2 МПа разрешается работать не более 8 мин. Все эти характерные параметры связаны между собой золотой пропорцией:0,5/1,618=0,31 МПа; 0,5/2,618=0,19 МПа.

Граничными параметрами температуры наружного воздуха , в пределах которых возможно нормальное существование (а, главное, стало возможным происхождение) человека является диапазон температур от 0 до +(57-58) 0 С. Очевидно, по первой границе пояснений можно не приводить.

Разделим указанный диапазон положительных температур золотым сечением. При этом получим две границы (о бе границы являются характерными для организма человека температурами): первая соответствует температуре, вторая граница соответствует максимально возможной температуре наружного воздуха для организма человека.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЖИВОПИСИ

Ещё в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определённые точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение» картины.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнёт читать мои труды».

Он снискал славу непревзойденного художника, великого учёного, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всём на свете».

Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный, из существующих, образец зеркального письма.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо деле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

СКАЗКА . Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: «Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя». Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи. Пришёл первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел её: как искусный мастер он сшил для неё красивую шёлковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями — ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и ещё умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: «Ты должна быть моей женой». Но женщина ответила: «Ты меня создал — будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил — будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь».

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, её лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано — художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с её лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно её храня, не может сдержать торжество. Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал ещё небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой. Несмотря на успех, Леонардо был мрачен, положение во Флоренции показалось художнику тягостным, он собрался в дорогу. Не помогли ему напоминания о нахлынувших заказах.

Золотое сечение в картине И.И. Шишкина «Сосновая роща». На этой знаменитой картине И.И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны — освещённый солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен — при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Сосновая роща

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих её в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

В.И. Суриков. «Боярыня Морозова»

Роли её отведена средняя часть картины. Она окована точкой высшего взлёта и точкой низшего спадания сюжета картины: взлёт руки Морозовой с двуперстным крестным знамением, как высшая точка; беспомощно протянутая к той же боярыне рука, но на этот раз рука старухи — нищей странницы, рука, из-под которой вместе с последней надеждой на спасение выскальзывает конец розвальней.

А как обстоит дело с «высшей точкой»? На первый взгляд имеем кажущееся противоречие: ведь сечение А 1 В 1 , отстоящее на 0,618... от правого края картины, проходит не через руку, не даже через голову или глаз боярыни, а оказывается где-то перед ртом боярыни.

Золотое сечение режет здесь действительно по самому главному. В нём, и именно в нём — величайшая сила Морозовой.

Нет живописи более поэтичной, чем живопись Боттичелли Сандро, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его «Венера». Для Боттичелли его Венера — воплощение идеи универсальной гармонии «золотого сечения», господствующего в природе. Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом.

Венера

Рафаэль «Афинская школа». Рафаэль не был учёным-математиком, но, подобно многим художникам той эпохи, обладал немалыми познаниями в геометрии. В знаменитой фреске «Афинская школа», где в храме науки предстоит общество великих философов древности, наше внимание привлекает группа Эвклида — крупнейшего древнегреческого математика, разбирающего сложный чертеж.

Хитроумная комбинация двух треугольников также построена в соответствии с пропорцией золотого сечения: она может быть вписана в прямоугольник с соотношением сторон 5/8. Этот чертеж удивительно легко вставляется в верхний участок архитектуры. Верхний угол треугольника упирается в замковый камень арки на ближнем к зрителю участке, нижний — в точку схода перспектив, а боковой участок обозначает пропорции пространственного разрыва между двумя частями арок.

Золотая спираль в картине Рафаэля «Избиение младенцев». В отличие от золотого сечения, ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре — спирали. Многофигурная композиция, выполненная в 1509 — 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довёл свой замысел до завершения, однако его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру «Избиение младенцев».

Избиение младенцев

Если на подготовительном эскизе Рафаэля мысленно провести линии, идущие от смыслового центра композиции — точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесённым мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза (на рисунке эти линии проведены красным цветом), а после этого соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль. Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ВОСПРИЯТИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ

О способности зрительного анализатора человека выделять объекты, построенные по алгоритму золотого сечения, как красивые, привлекательные и гармоничные, известно давно. Золотое сечение даёт ощущение наиболее совершенного единого целого. Формат многих книг соответствует золотому сечению. Оно выбирается для окон, живописных полотен и конвертов, марок, визиток. Человек может ничего не знать о числе Ф, но в строении предметов, а также в последовательности событий он подсознательно находит элементы золотой пропорции.

Проводились исследования, в которых испытуемым предлагалось выбирать и копировать прямоугольники различных пропорций. На выбор предлагалось три прямоугольника: квадрат (40:40 мм), прямоугольник «золотого сечения» с отношением сторон 1:1,62 (31:50 мм) и прямоугольник с удлиненными пропорциями 1:2,31 (26:60 мм).

При выборе прямоугольников в обычном состоянии в 1/2 случаев предпочтение отдается квадрату. Правое полушарие предпочитает золотое сечение и отвергает вытянутый прямоугольник. Наоборот, левое полушарие тяготеет к удлиненным пропорциям и отвергает золотое сечение.

При копировании этих прямоугольников наблюдалось следующее: когда активно правое полушарие — пропорции в копиях выдерживались наиболее точно; при активности левого полушария — пропорции всех прямоугольников искажались, прямоугольники вытягивались (квадрат срисовывался как прямоугольник с отношением сторон 1:1,2; пропорции вытянутого прямоугольника резко увеличивались и достигали 1:2,8). Наиболее сильно искажались пропорции «золотого» прямоугольника; его пропорции в копиях становились пропорциями прямоугольника 1:2,08.

При рисовании собственных рисунков преобладают пропорции, близкие к золотому сечению, и вытянутые. В среднем пропорции составляют 1:2, при этом правое полушарие отдает предпочтение пропорциям золотого сечения, левое полушарие отходит от пропорций золотого сечения и вытягивает рисунок.

А теперь нарисуйте несколько прямоугольников, измерьте их стороны и найдите соотношение сторон. Какое полушарие у Вас преобладает?

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ФОТОГРАФИИ

Примером использования золотого сечения в фотографии является расположение ключевых компонентов кадра в точках, которые расположены в 3/8 и 5/8 от краёв кадра. Можно это проиллюстрировать следующим примером: фотография кота, который расположен в произвольном месте кадра.

Теперь условно поделим кадр на отрезки, в пропорции по 1.62 общей длины от каждой стороны кадра. В местах пересечения отрезков и будут основные «зрительные центры», в которых стоит разместить необходимые ключевые элементы изображения. Перенесём нашего кота в точки «зрительных центров».

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И КОСМОС

Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.

Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в. Pяд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты — свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Две Золотых Спирали галактики совместимы со Звездой Давида.

Обратите внимание на звёзды, выходящие из галактики по белой спирали. Точно на 180 0 от одной из спиралей выходит другая развёртывающаяся спираль... Долгое время астрономы просто считали, что всё, что там есть — это то, что мы видим; если что-то видимо, то оно существует. Они либо совершенно не замечали невидимой части Реальности, либо они не считали её важной. Но невидимая сторона нашей Реальности в действительности значительно больше видимой стороны и, вероятно, важнее... Иными словами, видимая часть Реальности значительно меньше, нежели один процент от целого — почти ничто. На самом деле, наш настоящий дом — невидимая вселенная...

Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения. В спирали нашей галактики лежит коэффициент золотого сечения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Природа, понимаемая как весь мир в многообразии его форм, состоит, как бы, из двух частей: живой и неживой природы. Для творений неживой природы характерна высокая устойчивость, слабая изменчивость, если судить в масштабах человеческой жизни. Человек рождается, живёт, стареет, умирает, а гранитные горы остаются такими же и планеты вращаются вокруг Солнца также, как и во времена Пифагора.

Мир живой природы предстает перед нами совсем иным — подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Жизнь демонстрирует нам фантастический карнавал разнообразия и неповторимости творческих комбинаций! Мир неживой природы — это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир природы — это прежде всего мир гармонии, в которой действует «закон золотого сечения».

В современном мире наука приобретает особое значение, в связи с усилением воздействия человека на природу. Важными задачами на современном этапе являются поиск новых путей сосуществования человека и природы, изучение философских, социальных, экономических, образовательных и других проблем, стоящих перед обществом.

В данной работе было рассмотрено влияние свойств «золотого сечения» на живую и не живую природу, на исторический ход развития истории человечества и планеты в целом. Анализируя всё вышеизложенное можно ещё раз подивиться грандиозности процесса познания мира, открытием всё новых его закономерностей и сделать вывод: принцип золотого сечения — высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Можно ожидать, что законы развития различных систем природы, законы роста не очень разнообразны и прослеживаются в самых различных образованьях. В этом и проявляется единство природы. Идея такого единства, основанная на проявлении одних и тех же закономерностей в разнородных явлениях природы, сохранила свою актуальность от Пифагора до наших дней.

Изложены закономерности формообразования в природе и искусстве, зрительного восприятия и композиционного построения изображения. Показана роль золотого сечения. Даны рекомендации по практическому применению золотой пропорции при создании целостной гармонической формы, наиболее полно выражающей содержание произведения живописи и удовлетворяющей потребность человека в прекрасном.

О золотом сечении.

Спор о том, должна или не должна наука вторгаться в заповедные области искусства, идет давно. И спор этот носит явно схоластический характер. Во все эпохи процветания искусство вступало в союз с наукой. Художники-мыслители, теоретики и педагоги, размышлявшие над проблемами обучения молодых, всегда приходили к выводу, что без науки искусство развиваться и процветать не может. Художник и педагог Н. П. Крымов писал: «Говорят: искусство не наука, не математика, что это творчество, настроение и что в искусстве ничего нельзя объяснить - глядите и любуйтесь. По-моему, это не так. Искусство объяснимо и очень логично, о нем нужно и можно знать, оно математично... Можно точно доказать, почему картина хороша и почему плоха» 1 В. И. Суриков утверждал, что в композиции есть какой-то непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика. Известный французский архитектор и теоретик архитектуры XIX в. Виолле-ле-Дюк считал, что форма, которую невозможно объяснить, никогда не будет красивой. На дверях Сикионской школы рисунка в Древней Греции было написано: «Сюда не допускаются люди, не знающие геометрии». Не следует художникам бояться математики, она вовне и внутри нас. За кажущейся простотой и случайностью живого восприятия окружающей действительности скрывается математика. Когда мы слушаем музыку, наш мозг занимается алгеброй. Когда мы смотрим на что-либо, наш мозг занимается геометрией.

Оглавление
Предисловие
Введение
Глава первая
Золотое сечение и вопросы теории композиции
О золотом сечении
Золотое сечение - гармоническая пропорция
Золотое сечение и симметрия
История золотого сечения
Естественнонаучные основы теории композиции
Принципы формообразования в природе
Закономерности зрительного восприятия
Объективирование световых впечатлении
Научная теория композиции
Определение композиции
Поиски законов композиции
Что такое научная теория композиции
Творчество человека
Законы, правила, приемы и средства композиции
Глава вторая
Практическая композиция
Композиция при работе с натуры
Точка зрения
Расстояние до предмета. Величина образа на сечатке. Передача расстояния до предмета
Картина воображаемая и картина реальная
Способы определения углов зрения при работе с натуры
Приемы механического получения изображения
Приемы композиционных построений
Анализ картины
Композиция натюрморта и интерьера
Композиция пейзажа
О портрете. Натурные постановки
Место художника перед картиной
Цельность изображения
Глава третья
Работа над картиной
Золотое сечение в линейном построении картины
Идея, формат, ритм и золотое сечение
Эскиз картины. Расчеты расстояния и решение «обратной задачи»
Геометрический центр картины и линия золотого сечения. Гармонизация формы
Главный луч зрения в картине
Композиционный алгоритм линейного построения картины
Золотое сечение и композиция евстлотных тонов
Свет и глаз
Общий светлотный тон
Закон трехкомпонентности и принцип сближенных отношений
Композиция светлотных тонов
Золотое сечение и композиция цвета
Общий цветовой тон картины
Ограничение палитры
Цветовые системы и модели
Симметрия цвета. Контраст и нюанс
Гармония цвета
Построение и разработка колорита. Полный композиционный алгоритм картины
Глава четвертая
Научное и интуитивное в творчестве художника
Размер картины
Художественный строй картины
Прекрасное и таинственное
Предмет - зрительный образ - художественный образ
Художники и ученые. Терминология научная и обиходная
Предмет и цвет
Два полюса живописи
Рисовать формой, писать колоритом
Глава пятая
Объяснимое и чувственное в живописи
О колорите
Язык живописи -особый язык искусства
Цвет - единичное, колорит-множественное. Психологическая оценка колорита
От чего зависит колорит
Добрая традиция
Теории живописи - научную основу
Слово об авторе
Памятка живописца
В мире мудрых мыслей
Список использованной и рекомендуемой литературы.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Золотое сечение в живописи, Ковалев Ф.В., 1989 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• Художественный труд, 8 класс, Вариант для мальчиков, Чукалин В.Г., Яковлев Р.М., Танбаев X.К., Ермилова Е.В., Велькер Е.Е., Лосенко О.С., 2018

МИНЕСТЕРСВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Дальневосточный государственный гуманитарный университет»

ФАКУЛЬТЕТ ИЗОБРАЗИТЕЛЬНЫХ ИСКУССТВ И ДИЗАЙНА

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Золотое сечение в искусстве»

Студентки 2 курса

П. А. Сорокиной

Научный руководитель

О.Т. Титова

ст. преподаватель

Хабаровск 2012

Введение

История развития золотого сечения

Античность

Средние века

Возрождение

Значение золотого сечения в искусстве

Живопись

Архитектура

Литература

Заключение

Использованная литература

Приложение

Введение

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете -- посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная. Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение».

Цели работы это, прежде всего, изучить историю золотого сечения, изучить использование «божественной пропорции» в искусстве и познакомиться, с современны использованием золотого сечения.

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий -- свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» -- это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые -- от Пачоли до Эйнштейна -- будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой -- 1,6180339887.

Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое -- все подчиняется божественному закону, имя которому -- «золотое сечение».

Так что же такое «золотое сечение»? Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он -- мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее -- нет, известен. «Золотое сечение» -- это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Порой профессиональные художники, научившись рисовать и писать с натуры, по причине собственной слабой фундаментальной подготовки, считают, что знания законов красоты, (в частности закона золотого сечения) мешают свободному интуитивному творчеству. Это большое и глубокое заблуждение многих художников, так и не ставших истинными творцами. Мастера Древней Греции, умевшие сознательно пользоваться золотой пропорцией, что, в сущности, весьма просто, умело применяли ее гармонические величины во всех видах искусства и достигли такого совершенства строения форм, выражающих их общественные идеалы, какое редко встречается в практике мирового искусства. Вся античная культура прошла под знаком золотой пропорции. Знали эту пропорцию и в Древнем Египте.

Знание законов золотого сечения или непрерывного деления, как его называют некоторые исследователи учения о пропорциях, помогают художнику творить осознанно и свободно. Используя закономерности золотого сечения, можно исследовать пропорциональную структуру любого художественного произведения, даже если оно создавалось на основе творческой интуиции. Эта сторона дела имеет немаловажное значение при изучении классического наследия и при искусствоведческом анализе произведений всех видов искусств.

Сейчас с уверенностью можно сказать, что золотая пропорция - это та основа формообразования, применение которой обеспечивает многообразие композиционных форм во всех видах искусства и дает основание создать научную теорию композиции и единую теорию пластических искусств.

В работе рассматриваются первые упоминания о золотом сечении, история его развития, использование в искусстве и современное виденье золотого сечения.

История развития золотого сечения

Античность

История “Золотого сечения” - это история человеческого познания мира. Понятие “Золотое сечение” прошло в своем развитии все стадии познания. Первая ступень познания открытие “золотого сечения” древними пифагорейцами. Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян.

И действительно, пропорции пирамиды Хеопса,(1) храмов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. В начале 20-го века в Саккаре (Египет) археологи вскрыли склеп, в котором были погребены останки древне-египетского зодчего по имени Хеси-Ра. В литературе это имя часто встречается как Хесира. Предполагается, что Хеси-Ра был современником Имхотепа, жившего в период правления фараона Джосера (27-й век до н.э.)

Из склепа наряду с различными материальными ценностями были извлечены деревянные доски-панели, покрытые великолепной резьбой, которую исполнила рука безупречного мастера. Всего в склепе помещалось 11 досок; из них сохранилось только пять, а остальные панели полностью разрушены Долгое время назначение панелей из захоронения Хеси-Ра было неясным.(2) Вначале египтологи приняли эти панели за ложные двери. Однако, начиная с 60-х годов 20-го века, ситуация с панелями начала проясняться. В начале 60-х годов русский архитектор И. Шевелев обратил внимание на то, что на одной из панелей жезлы, которые зодчий держит в руках, соотносятся между собой как, то есть как малая сторона и диагональ с отношением сторон 1:2 ("двухсмежный квадрат"). Именно это наблюдение стало исходной точкой для исследований русского архитектора И. Шмелева, который провел тщательный геометрический анализ "панелей Хеси-Ра" и в результате пришел к сенсационному открытию, описанному в брошюре "Феномен Древнего Египта" (1993).

«Но теперь, после всестороннего и аргументированного анализа методом пропорций мы получаем достаточные основания утверждать, что панели Хеси-Ра - это система правил гармонии, кодированная языком геометрии...

Итак, в наших руках конкретные вещественные доказательства, "открытым текстом" повествующие о высочайшем уровне абстрактного мышления интеллектуалов из Древнего Египта. Автор, резавший доски, с изумительной точностью, ювелирным изяществом и виртуозной изобретательностью продемонстрировал правило ЗС (золотого сечения) в его широчайшем диапазоне вариаций. В результате была рождена ЗОЛОТАЯ СИМФОНИЯ, представленная ансамблем высокохудожественных произведений, не только свидетельствующих о гениальной одаренности их создателя, но и убедительно подтверждающих, что автор был посвящен в магические таинства гармонии. Этим гением был Золотых Дел Мастер по имени Хеси-Ра".»

Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответсвуют величинам золотого деления.

Вся древнегреческая культура развивалась под знаком золотой пропорции. Идея гармонии, основанной на золотом сечении, не могла не коснуться греческого искусства. Природа, взятая в широком смысле, включала в себя и творческий мир человека, искусство, музыку, где действуют те же законы ритма и гармонии. Взять материал и исключить все лишнее - таков афористически запечатленный план ваятеля, вобравшего в себя всю серьезность философской мудрости античного мыслителя. И это - главная идея греческого искусства, для которого "золотое сечение" впервые стало некоторым эстетическим каноном.

Основу искусства составляет теория пропорций. И, конечно же, вопросы пропорциональности не могли пройти мимо Пифагора. Из философов Греции Пифагор, может быть впервые, старается математически разобрать существо гармонических пропорций. Пифагор знал, что интервалы октавы могут быть выражены числами, которые отвечают соответствующим колебаниям струны, и эти числовые отношения были положены Пифагором в основу их музыкальной гармонии. Пифагору приписывают знание арифметической, геометрической и гармонической пропорций, а также закона золотого сечения. Последнему Пифагор придавал особое, выдающееся значение, сделав пентаграмму или звездчатый пятиугольник отличительным знаком своего "союза".

Платон, заимствуя пифагорейское учение о гармонии, использует пять правильных многогранников ("платоновых тел") и подчеркивает их "идеальную" красоту.

Не только философы Древней Греции, но и многие греческие художники и архитекторы уделяли значительное внимание достижению пропорциональности. И это подтверждается анализом архитектурных сооружений греческих зодчих. Фригийские гробницы и античный Парфенон, "Канон" Поликлета и Афродита Книдская Праксителя, наиболее совершенный греческий театр в Эпидавре и древнейший из дошедших до нас театр Диониса в Афинах - все это яркие образцы ваяния и творчества, исполненные глубокой гармонии на основе золотого сечения.

Театр в Эпидавре построен Поликлетом Младшим в 40-ю Олимпиаду. Рассчитан на 15 тысяч человек. Театрон (место для зрителей) делится на два яруса: первый имеет 34 ряда мест, второй - 21 (числа Фибоначчи!). Раствор угла, объемлющего пространство между театроном и скеной (пристройка для переодевания актеров и хранения реквизита), делит окружность основания амфитеатра в отношении 137°,5: 222°,5 = 0.618 (золотая пропорция). Это соотношение реализовано практически во всех античных театрах. Данная пропорция у Витрувия в его схематических изображениях такого рода построек, составляет 5:8, то есть рассматривается как отношение чисел Фибоначчи.

Театр Диониса в Афинах трехъярусный. Первый ярус имеет 13 секторов, второй -21 (числа Фибоначчи!). Отношение растворов углов, делящих окружность основания на две части - то же самое, то есть золотая пропорция.

При построении храмов за основу брался человек как "мера всех вещей": в храм он должен входить "с гордо поднятой головой". Его рост делился на 6 единиц (греческих футов), которые откладывались на линейке, а на нее наносилась шкала, жестко связанная с последовательностью шести членов ряда Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13 (их сумма равна 32=25). Прибавлением или вычитанием этих эталонных отрезков достигались необходимые пропорции сооружения. Шестикратное увеличение всех отложенных на линейке размеров сохраняло гармоническую пропорцию. В соответствии с этой шкалой и строили храмы, театры или стадионы.

Также о золотом делении знал Платон. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Таким образом, античность была полностью подчинена пропорции золотого сечения. В архитектуре, скульптуре, живописи и музыке прослеживалось пропорциональное деление. Гармония была присуща всей жизни.

Средние века

Одной из интереснейших личностей эпохи крестовых походов, предвестницы эпохи Возрождения, был император Фридрих Гогенштауфен, ученик сицилийских арабов и поклонник арабской культуры. При его дворце в Пизе жил и работал величайший из европейских математиков средних веков Леонардо Пизано (по прозвищу Фибоначчи)

Фибоначчи написал несколько математических сочинений: "Liber abaci", "Liber quadratorum", "Practica geometriae". Наиболее известным из них является "Liber abaci". Это сочинение вышло при жизни Фибоначчи в двух изданиях в 1202 г. и 1228 г. Книга состоит из 15 разделов. Заметим, что Фибоначчи задумывал свое сочинение как пособие для купцов, однако по своему значению оно вышло далеко за пределы торговой практики и по существу представляло своеобразную математическую энциклопедию эпохи средневековья. С этой точки зрения особенный интерес представляет 12-й раздел, в котором Фибоначчи (3) сформулировал и решил ряд математических задач, представляющих интерес с точки зрения общих перспектив развития математики.

Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является рассмотренная выше "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., названной впоследствии "рядом Фибоначчи".

Фибоначчи почти на два столетия опередил западно-европейских математиков своего времени. Подобно Пифагору, который получил свое "научное образование" у египетских и вавилонских жрецов и затем способствовал передаче полученных знаний в греческую науку, Фибоначчи получил свое математическое образование в арабских учебных заведениях и многие из полученных там знаний, в частности, арабо-индусскую десятичную систему счисления, он попытался "внедрить" в западно-европейскую науку. И подобно Пифагору историческая роль Фибоначчи для западного мира состояла в том, что он своими математическими книгами способствовал передаче математических знаний арабов в западно-европейскую науку и тем самым заложил основы для дальнейшего развития западно-европейской математики.

Итак, средневековье узнало о золотой пропорции в математическом варианте (в виде последовательности чисел Фибоначчи). Сохранение знаний о «божественной пропорции» послужило основой для дальнейшего развития искусства уже эпохи Возрождения.

Возрождение

Ренессанс в истории культуры стран Западной и Центральной Европы - переходная эпоха от средневековой культуры к культуре нового времени. Наиболее характерной чертой этой эпохи является гуманистическое мировоззрение и обращение к античному культурному наследию, как бы "возрождение" античной культуры. Эпоха Возрождения отмечена крупными научными сдвигами в области естествознания. Специфической особенностью науки этой эпохи была тесная связь с искусством, и это объединение иногда выражалось в творчестве одной личности. Наиболее ярким примером такой многогранной личности является Леонардо да Винчи - художник, ученый, инженер.

Вместе с другими достижениями античной культуры ученые и художники эпохи Возрождения с огромным энтузиазмом восприняли пифагорейскую идею гармонии Мироздания и золотое сечение. И не случайно, что именно Леонардо да Винчи, который является одной из наиболее ярких личностей эпохи Возрождения, вводит в широкое употребление название "золотое сечение", которое сразу же становится эстетическим каноном эпохи Возрождения.

Идея гармонии оказалась в ряду тех концептуальных построений античной культуры, к которым церковь отнеслась с большой заинтересованностью. Согласно христианской доктрине Веленная была творением Бога и беспрекословно подчинялась его воле. И христианский Бог при сотворении мира руководствовался математическими принципами. Эта католическая доктрина в науке и искусстве Возрождения приобрела форму поиска математического плана, по которому Бог создал Вселенную.

Убеждение в том, что природа сотворена по математическому плану и что творцом гармонии является Господь Бог, выражали в тот период не только ученые, но и поэты, а также представители искусства.

По мнению современного американского историка математики Мориса Клайна именно тесное слияние религиозной доктрины о Боге как творце Вселенной и античной идеи о числовой гармонии Мироздания, стало одной из важнейших причин огромного всплеска культуры в эпоху Возрождения. Наиболее ярко главная цель науки эпохи Возрождения изложена в следующем высказывании Иоганна Кеплера:

"Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые Бог ниспослал миру и открыл нам на языке математики".

Эта же идея, идея гармонии мира, выражение его упорядоченности и совершенства, превращается в главную идею искусства эпохи Возрождения. В произведениях Браманте, Леонардо да Винчи, Рафаэля, Джордано, Тициана, Альберти, Донателло, Микеланджело проявляется строгая соразмерность и гармоничность сюжета, подчиняющаяся выверенной пропорции. Наиболее выпукло закон гармонии, закон числа, с которым связывалась красота произведения, раскрывался в художественных произведениях и научно-методических исследованиях Леонардо, Дюрера, Альберти.

В период эпохи Итальянского Возрождения продолжаются исследования в области теории пропорциональности произведений скульптуры и архитектуры. В этот период в Италии переиздаются сочинения знаменитого римского архитектора Витрувия, оказавшие определяющее влияние на труды итальянских теоретиков искусства (Альберти). Возникнув во Флоренции, классический стиль Высокого Возрождения создал свои наиболее монументальные памятники в Риме, Венеции и других культурных центрах Италии.

Помимо художников, архитекторов и скульпторов этой эпохи под сильным влиянием античных идей о гармонии оказалась вся музыкальная культура. В этот период известный философ, физик и математик М. Мерсенн вводит в музыку 12-звуковой темперированный строй. В ряде свих работ - "Трактат о всеобщей гармонии", "Всеобщая гармония" Мерсенн рассматривает музыку как неотъемлемую часть математики и видит в ней - в ее консонансном звучании - один из основных способов проявления мировой гармонии и красоты.

Именно в этот период появляется первая книга, посвященная "золотому сечению".

XIX век

В 19 в. коренным образом меняется характер науки. Проблема структурного единства мира, выдвинутая еще в античности, постепенно возрождается в своем гносеологическом статусе, обеспечивается всем достоянием науки. Идея структурного единства мира подтверждается эволюционным учением в биологии (Ч. Дарвин), внесшим в естествознание идею развития, периодическим законом (Д.И. Менделеев), позволившем прогнозировать свойства еще неизвестных химических элементов, законом сохранения и превращения энергии (Р. Майер, Дж. Джоуль, Г. Гельмгольц), поставившем на единую основу все законы физики и химии,клеточной теорией (Т. Шванн, М. Шлейден), показавшей единообразную структуру всех живых организмов, и другими выдающимися научными открытиями науки 19-го века, доказавшими наличие внутренней связи между всеми известными видами вещества.

Последовательно проведенный в античности тезис о единстве человека и природы вновь возрождается на исходе 19-го и главным образом в первой половине 20-го века в ряде концептуальных построений, особенно в рамках так называемого "русского космизма" (В.И Вернадский, Н.Ф. Федоров, К.Э. Циолковский, П.А. Флоренский, А.Л. Чижевский и др.). Важнейшим направлением исследований становится поиск инвариантов бытия - особых устойчивостей, обнаруживающихся в целых классах внешне различных или разнородных явлений, способных вскрывать и выражать общую природу последних.

Это направление научного поиска с неизбежностью поставило вопрос в познании объективных законов гармонии, потребность в точном исчислении гармонических отношений. На данном фоне вновь пробуждается интерес к гармонической пропорции, к золотому сечению, числам Фибоначчи.

В 19-м веке большой вклад в развитие теории пропорциональности внес немецкий ученый А. Цейзинг, (4) книга которого "Neue Lehre von den Prportionen des menschlichen Korpers" (1854) является до сих пор широко цитируемой среди сочинений, посвященных проблеме пропорциональности.

Исходя из того положения, что пропорциональность есть отношение двух неравных частей между собой и к целому в наиболее совершенном их сочетании, Цейзинг формулирует закон пропорциональности следующим образом:

"Деление целого на неравные части пропорционально, когда отношение частей целого между собой то же, что и отношение их к целому, т.е. то отношение, которое дает золотое сечение".

Пытаясь доказать, что все мироздание подчиняется этому закону, Цейзинг старается проследить его как в органическом, так и в неорганическом мире.

В подтверждение этого он приводит данные об отношениях взаимных расстояний между собой небесных светил, отвечающих золотому сечению, устанавливает такие же отношения в строении человеческой фигуры, в конфигурации минералов, растений, в звуковых аккордах музыки в архитектурных произведениях.

Рассмотрев статуи Аполлона Бельведерского и Венеры Медицейской, Цейзинг устанавливает, что при делении общей высоты в указанном отношении линии деления проходят через естественные членения тела. Первый раздел проходит через пупок, второй через середину шеи т.д., то есть все размеры отдельных частей тела получаются путем деления целого по золотому сечению.

Останавливаясь на значении закона золотого сечения в музыке, Цейзинг указывает, что древние греки приписывали эстетическое впечатление аккордов пропорциональному делению октавы при помощи среднеарифметической и гармонической пропорции. Первой отвечает отношение основного тона к квинте и к октаве - 6:9:12; второй - отношение основного тона к кварте и к октаве - 6:8:12. Таким же образом греки объяснили гармонию и остальных созвучий.

Базируясь на тех положениях, что только те соединения тонов красивы, интервалы которых находятся между собой и к целому в пропорциональном отношении, и на том, что соединение только двух тонов не дает полной гармонии, Цейзинг показывает, что наиболее приятные для слуха консонансы имеют такие интервалы, что соотношение частот, входящих в аккорд, в наибольшей степени близко к золотой пропорции. Например, соединению малой терции с октавой основного звука соответствует отношение частот 3:5, соединение большой терции с октавой основного звука - 5:8 (3, 5, 8 - числа Фибоначчи!).

Далее Цейзинг делает вывод, что так как эти два соединения звуков между двузначными самые приятные для слуха, то этим, по-видимому, объясняется тот факт, что только ими заканчиваются музыкальные периоды. Этим же он объясняет, почему импровизированный народный напев и простая музыка двух валторн (или английских рожков) движется в секстах и их дополнениях - терциях.

Цейзинг обращает внимание еще на один любопытный факт. Как известно, мажорный (мужской) и минорный (женский) лады построены на основе мажорного и минорного трезвучия. Мажорное трезвучие, построенное на основе большой терции, является консонансом акустически правильным. Оно создает впечатление уравновешенности, физического совершенства, придающего ему характер силы, света, бодрости, объединяемых в жизни понятием "мажорности".

Минорное трезвучие, построенное на основе малой терции, является консонансом акустически неправильным. Оно создает впечатление сломленного звучания и имеет характер мрачности, печали, слабости, объединяемых в жизни понятием "минорности".

Эти выводы Цейзинга с его толкованием причин консонансности интервалов подтверждаются исследованиями акустиков.

Переходя к значению закона пропорциональности в архитектуре, Цейзинг указывает, что архитектура в области искусств занимает такое же положение, как и органический мир в природе, одухотворяя на почве мировых законов инертную материю. Планомерность, симметрия и пропорциональность при этом являются непременными ее атрибутами, откуда вытекает, что вопрос о законах пропорциональности в архитектуре стоит значительно острее, чем в скульптуре или в живописи.

Таким образом, наука 19-го столетия опять возвратилась к поиску ответа на те "вечные" вопросы, которые были поставлены еще древними греками. Созрело убеждение, что в мире господствует "универсальный закон" числа и ритма, выражающие его структурную и функциональную стороны. В этой связи в науке 19-го века вновь пробуждается интерес к золотому сечению.

Значение золотого сечения в искусстве

Итак, прежде чем определить золотое сечение, необходимо ознакомиться с понятием пропорции. В математике пропорция (лат. proportio) -- это равенство между двумя отношениями четырех величин: а: Ь = с: d. Далее, для примера обратимся к отрезку прямой. Отрезок АВ можно разделить на две равные части (/). Это будет соотношение равных величин -- АВ: АС = АВ: ВС. Эту же прямую (5) можно разделить на две неравные части в любом отношении. Эти части пропорции не образуют. Отношение малого отрезка к большому или меньшего к большему есть, а соотношения (пропорции) нет. И, наконец, прямую АВ можно разделить по золотому сечению, когда АВ: АС, как АС: ВС. Это и есть золотое деление или деление в крайнем и среднем отношении. Из вышеизложенного следует вывод, что золотое сечение -- это такое пропорциональное гармоническое деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему, т. е. a: b = b: с или с \Ь = b: а. Определение -- деление в крайнем и среднем отношении -- становится более понятным, если мы выразим его геометрически, а именно а: b как b: с.

Выводим золотую пропорцию. (6) Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка f делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Арифметически отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью. АЕ = 0,618..., если АВ принять за единицу, ff = 0,382.... В практике применяется округление: 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая -- 38 частям.

Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.(7)

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание еще древнегреческого ученого Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется спиралью Архимеда. Увеличение ее шага всегда равномерно.

Так где же мы сможем встретить золотое сечение в искусстве.

Живопись

Очень часто в одном и том же произведении живописи встречается сочетание симметричного деления на равные части по вертикали и деление на неравные части по золотому сечению по горизонталям. Рассмотрим примеры.

В знаменитом портрете Монны Лизы ("Джоконды")(8), который был завершен Леонардо да Винчи в 1503 г., важным элементом композиции становится космически обширный пейзаж, таящий в холодной дымке. Картина гениального художника привлекла внимание исследователей, которые обнаружили, что композиционное построение картины основано на двух "золотых" треугольниках, которые являются частями "пентаграммы".

Картина Леонардо да Винчи «Мадонна в гроте» (9) не строго симметрична, но в основе ее построения -- симметрия. Все содержание картины выражается в фигурах, которые разместились в нижней ее части. Они вписываются в квадрат. Но художник не довольствовался таким форматом. Он достраивает над квадратом прямоугольник золотого сечения. В результате такого построения вся картина получила формат золотого прямоугольника, поставленного вертикально. Радиусом, равным половине стороны квадрата, он описал окружность и получил полукружие верхней части картины. Внизу дуга пересекла ось симметрии и указала размер еще одного прямоугольника золотого сечения в нижней части картины. Затем радиусом, равным стороне квадрата, описывается новая дуга, которая дала точки на вертикальных сторонах картины. Эти точки помогли построить равносторонний треугольник, который и явился каркасом для построения всей группы фигур. Все пропорции в картине явились производными от высоты картины. Они образуют ряд отношений золотого сечения и служат основой гармонии форм и ритма, несущих в себе скрытый заряд эмоционального воздействия.

Аналогичным образом построена картина Рафаэля «Обручение Марии».

Широкое использование "золотой" спирали характерно для художественных произведений Рафаэля, Микеланджело и других итальянских художников.

Многофигурная композиция "Избиение младенцев" (10), выполненная в 1509-1510 годах Рафаэлем, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. На подготовительном эскизе Рафаэля проведена плавная линия, охватывающая всю картину. Линия начинается в смысловом центре композиции - точке, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, и далее идет вдоль фигуры ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить все эти куски кривой пунктиром, то с очень высокой точностью получается "золотая" спираль!

Фигура А. С. Пушкина в картине Н. Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском» (11) поставлена художником на линии золотого сечения в левой части полотна. Но и все остальные величины по ширине вовсе не случайны: ширина печи равна 24 частям от ширины картины, этажерки -- 14 частям, расстояние от этажерки до печи также равно 14 частям и т. д.

Если мы обратимся к древнерусской живописи, иконам XV -- XVI вв., то увидим такие же приемы построения изображения. Иконы вертикального формата симметричны по вертикали, а членения по горизонталям осуществлены по золотому сечению. Икона «Сошествие во ад» Дионисия и мастерской с математической точностью рассчитана в пропорциях золотого сечения.

В иконе конца XV в. «Чудо о Флоре и Лавре» осуществлено тройное отношение золотого сечения. Сначала мастер разделил высоту иконы на две равные части. Верхнюю отвел под изображение ангела и святых. Нижнюю часть он разделил на два неравных отрезка в отношении 3: 2. В итоге получилось соотношение трех величин золотого сечения: а:b, как b:с. В числах это будет выглядеть так: 100, 62, 38, а уменьшенные вдвое -- 50, 31, 19.

О симметричности «Троицы» (12) Андрея Рублева написано много. Но никто не обратил внимания на то, что по горизонталям и здесь осуществлен принцип золотых пропорций. Высота среднего ангела относится к высоте боковых ангелов, как их высота относится к высоте всей иконы. Линия золотого сечения пересекает ось симметрии по середине стола и чаши с жертвенным тельцем. Это -- композиционный замок иконы. На рисунке показаны и более мелкие величины ряда золотого сечения. Наряду с плавностью линий, колоритом пропорции иконы играют значительную роль в создании того общего впечатления, которое испытывает зритель при ее рассматривании.

Могучим хоралом представляется нашему взору икона Феофана Грека «Успение». Симметрия и золотое сечение в построении придают этой иконе такую мощь и стройность, какую мы видим и ощущаем при виде греческих храмов и слушании фуг Баха. Легко заметить, что композиция «Успения» Феофана Грека и «Троицы» Андрея Рублева одна и та же. Исследователи творчества древнерусских художников отмечают, что заслуга Феофана Грека состоит не столько в том, что он писал фрески и иконы для русских соборов и церквей, сколько в том, что он научил античной мудрости Андрея Рублева.

Музыка

Музыка - вид искусства, который отражает действительность и воздействует на человека посредством осмысленных и особым образом организованных звуковых последовательностей, состоящих из тонов. Сохраняя некоторое подобие звуков реальной жизни, музыкальные звучания принципиально отличаются от последних строгой высотной и временной (ритмической) организованностью ("музыкальная гармония"). Начиная с античного периода, выяснение законов "музыкальной гармонии" является одним из важных направлений научных исследований.

Пифагору приписывают установление двух основных законов гармонии в музыке:

1) если отношение частот колебаний двух звуков описывается малыми числами, то они дают гармоническое звучание;

2) чтобы получить гармоническое трезвучие, нужно к аккорду из двух консонансных звуков добавить третий звук, частота колебаний которого находится в гармонической пропорциональной связи с двумя первыми. Значение работ Пифагора по научному объяснению основ музыкальной гармонии трудно переоценить. Это была первая научно обоснованная теория музыкальной гармонии.

Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми вехами ("эстетическими вехами") на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие целого. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения. Существуют ли какие-либо закономерности возникновения "эстетических вех" в музыкальном произведении? Попытка ответить на этот вопрос была предпринята русским композитором Л.Сабанеевым. В большой статье "Этюды Шопена в освещении золотого сечения" (1925 г.) он показывает, что отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые "кульминационным событием", как правило, находятся в соотношении золотого сечения. Сабанеев пишет:

"Все такие события инстинктом автора приурочиваются к таким пунктам длины целого, что они собою делят временные протяжения на отдельные части, находящиеся в отношениях "золотого сечения". Как показывают наблюдения, приурочение подобных эстетических "вех" к пунктам деления общего или частичного протяжения в "золотом" отношении выполняется нередко с огромной точностью, что тем более удивительно, что при отсутствии у поэтов и у авторов музыки всякого знания о подобных вещах, это все является исключительно следствием внутреннего чувства стройности".

Анализ огромного числа музыкальных произведений позволил Сабанееву сделать вывод о том, что организация музыкального произведения построена так, что его кардинальные части, разделенные вехами, образуют ряды золотого сечения. Такая организация произведения соответствует наиболее экономному восприятию массы отношений и поэтому производит впечатление наивысшей "стройности" формы. По мнению Сабанеева, количество и частота использования золотого сечения в музыкальной композиции зависит от "ранга композитора". Наиболее высокий процент совпадений отмечается у гениальных композиторов, то есть "интуиция формы и стройности, как это и следует ожидать, наиболее сильна у гениев первого класса".

По наблюдениям Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, сопряженное с происходящим возле него "эстетическим событием", а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

Большое внимание исследованию законов музыкальной гармонии уделял известный русский искусствовед Э.К. Розенов. Он утверждал, что в музыкальных произведениях и поэзии существуют строгие пропорциональные отношения:

"Явные черты "природного творчества" мы должны признать в тех случаях, когда в сильно одухотворенных созданиях гениальных авторов, порожденных мощным стремлением духа к правде и красоте, мы совершенно неожиданно обнаруживаем какую-то неподдающуюся непосредственному сознанию таинственную закономерность числовых отношений".

Э. Розенов считал, что золотое сечение должно играть в музыке выдающуюся роль как средство для приведения однородных явлений в соответствие, созданное самой природой:

"Золотое деление могло бы:

1) устанавливать в музыкальном произведении изящное, соразмерное отношение между целым и его частями;

2) являться специальным местом подготовленного ожидания, совмещаясь с кульминационными пунктами (силы, массы, движения звуков) и с разного рода выдающимися, с точки зрения автора, эффектами;

3) направлять внимание слушателя на те мысли музыкального произведения, которым автор придает наиболее важное значение, которые желает поставить в связь и соответствие между собой".

Розенов выбирает для анализа ряд типичных произведений выдающихся композиторов: Баха, Бетховена, Шопена, Вагнера. Например, исследуя Хроматическую фантазию и фугу Баха, за единицу меры во времени была принята длительность четверти. В этом произведении содержится 330 таких единиц меры. Золотое деление этого интервала приходится на 204-ю четверть от начала.

Э. Розеновым подробно были разобраны: финал сонаты cis-moll Бетховена, Fantasia-Impromtu Шопена, вступление к "Тристану и Изольде" Вагнера. Во всех этих произведениях золотое сечение встречается очень часто. Особое внимание автор обращает на фантазию Шопена, которая была создана экспромтом и не подлежала никакой правке, а значит и не было сознательного применения закона золотого сечения, которое присутствует в этом музыкальном произведении вплоть до мелких музыкальных образований.

Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.

Архитектура

В архитектуре также можно наблюдать принцип золотого сечения. Например церковь Покрова на Нерли (1165 г.) (13) считается наиболее совершенным творением владимирских зодчих.

Знакомство с храмом Нерли создает образ гармонии, архитектурной красоты. И невольно возникает вопрос: какими "секретами" владели русские зодчие, творившие восемь веков назад?

Изучая архитектуру церкви Покрова на Нерли, русский архитектор И. Шевелев пришел к выводу, что в этом шедевре архитектуры проявляется пропорция, которая представляет собой отношение большей стороны к диагонали "двухсмежного квадрата", то есть прямоугольника с отношением сторон 1:2. Таким образом, в основе взаимосвязанных пропорций этого архитектурного сооружения положены пропорции "двухсмежного" квадрата и его производная - золотая пропорция. Наличие этих пропорций и определило красоту храма. "Поразительная красота и гармоничность архитектуры храма Покрова Богородицы на Нерли, - пишет теоретик архитектуры К.Н. Афанасьев, - оформляется цепью взаимосвязанных отношений "золотого сечения".

Другой пример -это собора Василия Блаженного на Красной площади Москвы. (14) История создания этого храма такова. 2 октября 1552 года пала Казань, навсегда избавив Россию от татарского нашествия. Для прославления "казанского взятия", вошедшего в историю России наравне с Куликовской битвой, царь Иван Грозный принял решение заложить на Красной площади Москвы собор Покрова; позже этот храм был прозван в народе "Василием Блаженным" в честь юродивого, который был погребен у стен храма в 16-м веке.

Для композиции построек собора характерно гармоническое сочетание симметричных и асимметричных пропорций. Храм, симметричный в своей основе, содержит много геометрических "неправильностей". Так, центральный объем шатра смещен на 3 м к западу от геометрического центра всей композиции. Однако неточность делает композицию более живописной, "живой" и она выигрывает в целом. Для архитектурного убранства собора характерно нарастание декоративных форм ввысь; формы вырастают одна из другой, тянутся вверх, подымаясь то крупными элементами, то образуя группы, состоящие из более мелких декоративных частей.

В соответствии с этой композиционной идеей построены и пропорции собора. Исследователи обнаружили в нем пропорцию, основанную на ряде золотого сечения:

где j = 0,618. В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех куполов, объединяющая их в одну соразмерную композицию.

При рассмотрении храма Василия Блаженного невольно возникает вопрос: случайно ли число куполов в нем равно 8 (вокруг центрального собора)? Существовали ли какие-либо каноны, определяющие число куполов в храме? Очевидно, существовали. Простейшие православные соборы раннего периода были одноглавые. После реформы патриарха Никона в середине 17-го века было запрещено строить одноглавые церкви как не соответствующие пятиглавому чину православной церкви.

Помимо одно- и двухкупольных православных церквей, многие имели по 5 и 8 куполов. Однако новгородский Софийский собор (10-й век) был 13-главым, а Преображенская церковь в Кижах, вырубленную из дерева 2,5 столетия назад, венчает 21 глава. Случаен ли такой рост числа куполов "по Фибоначчи" (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21), отражающий естественный закон роста - от простого к сложному?

Выражение "архитектура - это застывшая музыка" стало крылатым. Оно не является результатом строгого научного анализа, это скорее всего итог образного, интуитивного ощущения некой связи гармонической архитектурной формы с музыкальной гармонией. Музыкальная мелодия основана на чередовании звуков различной высоты и продолжительности, в ее основе - временная упорядоченность звуков. В основе архитектурной композиции - пространственная упорядоченность форм. Казалось бы между ними ничего общего. Но чтобы оценить размеры пространственной конструкции геометрической фигуры, мы должны проследить взглядом от начала до конца эту фигуру, и чем больше, например, длина ее, тем длительнее будет восприятие. Очевидно, здесь и заключена органическая связь пространственного и временного восприятия объектов человеком.

Литература

Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений Онегин", сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55!

Н Васютинский констатирует:

"Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!".

Многое в структуре поэтических произведений роднит этот вид искусства с музыкой. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция. Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино" делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику и занимающее лишь одну строфу ("Скажите, дядя, ведь недаром …"), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается с нарастающим напряжением ожидание боя, во второй - сам с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением.

Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!". Именно эта фраза представляет собой "кульминационный пункт возбужденного ожидания", завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя).

Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.

Применение золотого сечения в современном мире

В сегодняшний век высоких технологий, человек нуждается в созерцании гармонии даже в обыденных вещах. Дизайнер применяют принцип золотого сечения практически во всем от создания логотипа до дизайна автомобиля.

Дизайн

В дизайне чаще всего и применяют ряд Фибоначчи для вычисления идеальных пропорций. Но прогресс не стоит на месте, и сегодня появились специальные чрезвычайно удобные программы, позволяющие с легкостью вычислять золотое сечение. Вам нужно лишь задать число и получить соответствующее значение.

Возможно, вы немного удивлены и не можете понять, зачем применяется золотое сечение в дизайне? Ответ можно проиллюстрировать так. Отношение сторон у iPod Shuffle 1.59, iPod Classic 1.67 , а у iPhone4 1.7 - объем продаж за первые 4 дня торговли превысил 1 миллион 700 тысяч штук. Эти результаты продаж не удивляют поклонников продукции Apple, естественно прибор оценивают по другим характеристикам. Но, мне кажется, Джонатан Айв не случайно остановился на таких пропорциях. Как не случайно уже 200 лет компания Moleskine продает по всему миру записные книжки. В книжках Moleskine оставляли записи и делали зарисовки Матисс, Ван Гог, Хемингуэй и многие другие. Это реальная история человечества в книжках с пропорциями 1.57

Золотое сечение встречается в предметном мире и в прямом прочтении, как тема для стилизации, и в качестве базового конструктивного принципа, как скрипка великого мастера Страдивари.

Именно поэтому в веб-дизайне - это мощный рычаг воздействия на посетителей. Но не всякому дизайнеру под силу освоить это искусство.

В веб-дизайне правило золотого сечения помогает выполнять такие задачи:

1) Определять, какого размера должна быть картинка и все элементы на странице.

2) Владея методом золотого сечения, веб-дизайнер с легкостью может определять центры внимания на странице - т.е. именно те точки, куда направлены взгляды всех посетителей. Достаточно поместить туда нужную иллюстрацию или текст - и он попадет в поле зрения потенциальных клиентов.

Твиттер во время редизайна 2011 года использовал принцип золотого сечения в новом интерфейсе. (15) Но он сохраняет соотношение элементов сайта только в стандартной, узкой версии, если же окно будет больше, то контент растягивается.

Сайт It"s Numbered применяет принцип золотого сечения не ко всему интерефейсу, а только к связке контент+изображение.(16)
А сайт MmDesign использует золотое сечение для отображения основного визуала на главной странице.

Использование золотого сечения не гарантирует, что дизайн сайта будет хорошим, есть целый ряд других, не менее важных факторов, которые способствуют разработке правильного дизайна. Однако золотое сечение может помочь придать баланс и законченность работе, а также легкость восприятия интерфейса пользователями, чего зачастую не очень просто добиться.

Использование правила золотого сечения помогает находить баланс и оптимальное сочетание в расположении различных элементов на странице.

Таким образом золотое сечение применяется в создании логотипов, в промышленном дизайне, в создании интернет ресурсов.

Заключение

золотой сечение живопись музыка

Итак, мы делаем вывод, что среди бесчисленного разнообразия форм в природе, с которыми встречается художник, царит закономерность и системность, связующей нитью которых является пропорция золотого сечения. Все существующее в природе и воспринимаемое глазом человека имеет величину и форму. Всякий природный объект является чем-то единым, целостным. Нетрудно заметить, что природа всегда создает что-то целое: человека, дерево, рыбу, лошадь, собаку и т. д. От этого целого нельзя ничего отнять, убавить, не нарушив целостность. Нельзя ничего и прибавить. Оно будет лишним и тоже нарушит целостность и гармонию. Например, шесть пальцев на руке человека, три рога у быка.

В 20-м веке выполнено огромное количество искусствоведческих работ, показывающих широкое проявление и использование "золотого сечения" во всех сферах искусства: в музыке (Сабанеев "Этюды Шопена в освещении Золотого Сечения), в поэзии (академик Церетели "Золотое Сечение в поэме Шота Руставели "Витязь в тигровой шкуре"), киноискусстве (кинорежиссер Эйнштейн), архитектуре (Гримм Г.Д. "Пропорциональность в архитектуре), живописи (Ковалев Ф.В.), архитектуре (Шевелев И.Ш.), музыке (Марутаев М.А.). Большой интерес представляют исследования российского филолога Гринбаума О.Н. по выявлению "фибоначчиевых" закономерностей в поэзии А.С. Пушкина и российского философа Волошинова А.В. по исследованию математических начал формообразования в музыке, архитектуре, живописи и литературе.

Целое всегда состоит из частей. Части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Это и есть пропорции. С математической точки зрения мы отмечаем повторение измеримых равных величин и неравных, соотносящихся друг с другом как величины золотой пропорции. Это -- два вида пропорциональных отношений. Все другие величины, если они возникли в результате нарушения формообразования по каким-либо причинам, пропорции не составляют. Пропорциональные отношения ведут к симметрии, ритму, к гармонии и красоте. Непропорциональные отношения ведут к нарушению порядка, нарушению симметрии и ритма, что воспринимается человеком как некрасивое и даже уродливое.

Итак, природный закон божественной пропорции, проявляющийся в высших формах произведений искусства, обнаруживается в новой, ритмодинамической форме эстетического закона. Закон "золотого сечения", известный со времен Древнего Египта, является одним из самых удивительных математических законов; он был сформулирован великим Леонардо и все чаще фигурирует в стремительно нарастающем потоке естественнонаучных и гуманитарных исследований.

Этот закон не является законом принудительным, единственным или исключительным, обуславливающим художественное впечатление; тем не менее, он остается законом, непосредственно связанным с эстетическим, художественным воздействием, оказывает непосредственное влияние на впечатление цельности и красоты. Чуткий к красоте Пушкин одним только художественным инстинктом, во-первых, угадывал моменты "золотого сечения" в развитии своего повествования с поразительной по своей математической точности интуицией; во-вторых, устанавливал пропорциональные размеры частей по отношению к целому и, в-третьих, подчеркивал кульминационные пункты нарастающего по напряжению ожидания, композиционно помещая основные мысли повествования на места, столь заметные для непосредственного чувственного восприятия.

Использованная литература

1. Бендукидзе, А. Б. Золотое сечение: учебное пособие / А. Б. Бендукидзе; М, 1973. - 53-55с.

Подобные документы

Характеристика и методы выполнения правила "золотого сечения" в природе и элементах архитектурных сооружений. Изучение и обобщение материала о "золотом сечении": правило для растений, для фигуры человека, для архитектурных сооружений с. Михайловское.

презентация , добавлен 16.11.2010


Возрождение (Ренессанс) - период в культурном и идейном развитии стран Западной и Центральной Европы. Развитие ренессансной культуры в Испании. Архитектурный стиль платереско. Эскориал – жемчужина испанской ренессансной архитектуры. Ренессанс в живописи.

презентация , добавлен 26.05.2014


Основные структурные элементы эргономики. Стандарт и эстетика в дизайне, правило "золотого сечения". Использование бионики в графической деятельности художников-дизайнеров. Развитие дизайна за рубежом и в Украине. Стимулирование развития дизайна.

реферат , добавлен 12.01.2016


Серебряный век как проявление духовного и художественного ренессанса, знаменующего взлет русской культуры к концу XIX-XX вв. Понятие словесного ряда. Анализ и значение символизма в литературе, музыке и живописи. Особенности символического театра.

презентация , добавлен 27.03.2015


Анализ этапов истории, архитектурных и культурных особенностей трех древнейших городов Золотого кольца России: Владимира, Суздаля и Боголюбово, объединяющей чертой которых, является белокаменное зодчество. История этих городов после распада Киевской Руси.

курсовая работа , добавлен 13.06.2010


Исследование возникновения и развития барокко как стиля искусства, свойственного культуре Западной Европы с конца XVI до середины XVIII века. Общая характеристика и анализ развития направлений стиля барокко в живописи, скульптуре, архитектуре и музыке.

презентация , добавлен 20.09.2011


Понятие и основные этапы развития классицизма как художественного стиля и эстетического направления в европейском искусстве XVII-XIX вв. Основные требования и особенности его отражения в литературе, архитектуре, скульптуре, живописи, музыке, моде.

презентация , добавлен 12.10.2015


Обзор особенностей Барокко, одного из главенствующих стилей в архитектуре и искусстве Европы и Латинской Америки конца ХVI - середины XVIII веков. Идеал мужчины и женщины, мода эпохи Барокко. Проявление данного стиля в живописи, архитектуре и литературе.

презентация , добавлен 10.04.2013


Описание российского символизма как сложного и неоднозначного явления в художественной культуре рубежа XIX–XX веков, приобретшего в искусствоведении определение "Серебряный век" и его реализация в живописи, музыке, литературе и театральном искусстве.

курсовая работа , добавлен 09.05.2011


Импрессионизм как явление в европейском искусстве. Выражение в произведениях индивидуальности творца, его собственного видения мира. Художники–импрессионисты Клод Моне, Эдгар Дега, Альфред Сислей, Камиль Писсаро. Импрессионизм в музыке и литературе.