АКСИОМА

АКСИОМА

(от греч. axioma - значимое, принятое положение) - исходное, принимаемое без доказательства положение к.-л. теории, лежащее в основе доказательств др. ее положений.
Долгое термин «А.» понимался не просто как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающееся в особом доказательстве в силу его самоочевидности, наглядности, ясности и т.п. Так, Аристотель считал, что А. (начала) не требуют доказательства по причине своей ясности и простоты. Др.-греч. математик Евклид рассматривал принятые им геометрические А. как самоочевидные истины, достаточные для выведения всех др. истин геометрии. Нередко А. трактовались как вечные и непреложные истины, известные до всякого опыта и не зависящие от него, попытка обоснования которых могла только подорвать их очевидность.
Переосмысление проблемы обоснования А. изменило и самого термина «А.». А. являются не исходным началом познания, а скорее его промежуточным результатом. Они обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых составных элементов теории: последней есть одновременно и подтверждение ее А. Критерии выбора А. меняются от теории к теории и являются во многом прагматическими, учитывающими соображения краткости, удобства манипулирования, минимизации числа исходных понятий и т.п. В частности, в формальном исчислении, теорем которого уже известен, А. - это просто одна из тех формул, из которых выводятся остальные доказуемые формулы. Если, однако, еще не определена однозначно, ее А. может диктоваться и содержательными соображениями.
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ - способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами.
А.м. - особый способ определения объектов и отношений между ними. Он используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др.
А.м. зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря «Началам» Евклида, появившимся ок. 330-320 до н.э. Евклиду не удалось, однако, описать в его «аксиомах и постулатах» все свойства геометрических объектов, используемые им в действительности; его доказательства сопровождались многочисленными чертежами. «Скрытые» допущения геометрии Евклида были выявлены только в Новейшее время Д. Гильбертом, рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержащие точное логических средств вывода теорем из аксиом. Доказательство в такой теории представляет собой последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода.
К аксиоматической формальной системе предъявляются требования непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом и т.д.
А.м. является лишь одним из методов построения научного знания. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высокого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории.
Как показал К. Гёдель, достаточно богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чисел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности А.м. и невозможности полной формализации научного знания.

Философия: Энциклопедический словарь. - М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

АКСИОМА

(греч. - удостоенное, принятое положение, от о? - считаю достойным) , исходное положение науч. теории, принимаемое в качестве истинного без логич. доказательства и лежащее в основе доказательства др. положений этой теории. Термин «А.» впервые встречается у Аристотеля. В истории познания А. обычно рассматривались как вечные и непреложные априорные истины, при этом упускалась из виду их обусловленность многовековым человеч. опытом, прак-тич.познават. деятельностью.

В совр. науке А.- это те предложения теории, которые принимаются за исходные, причём об истинности решается либо в рамках др. науч. теорий, либо посредством интерпретации данной теории. В отличие от содержат, науч. теории, А. в формальном исчислении - это просто одна из тех формул, из которых по правилам вывода этого исчисления выводятся остальные доказуемые в нём формулы (теоремы этого исчисления) .

см. также ст. Аксиоматический метода лит. к ней.

Философский энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .

АКСИОМА

(от греч. axioma – , требование)

исходное положение, которое не может быть доказано, но в то же время и не нуждается в доказательстве, т. к. является совершенно очевидным и поэтому может служить исходным положением для др. положений (см. Дедукция). Логическими аксиомами являются: закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего (см. Exclusi tertii principium), закон достаточного основания. Аксиоматика – учение об определениях и доказательствах в их отношении к системе аксиом. Ср. Логистика.

Философский энциклопедический словарь . 2010 .

АКСИО́МА

(греч. ἀξίωμα – удостоенное, принятое положение, от ἀξιόω – считаю достойным) – положение нек-рой данной теории, к-рое при дедуктивном построении этой теории не доказывается в ней, а принимается за исходное, отправное, лежащее в основе доказательств других предложений этой теории. Обычно в качестве А. выбираются такие предложения рассматриваемой теории, к-рые являются заведомо истинными или могут в рамках этой теории считаться истинными, не вызывая сомнений в силу своей простоты и ясности.

Возникнув в Древней Греции, термин "А." впервые встречается у Аристотеля, а затем через труды последователей и комментаторов Эвклида прочно входит в геометрию. В средние века аристотелевской философии обусловило его проникновение в другие области науки, а через нее и в обыденную . А. стали называть такое положение, к-рое, будучи совершенно очевидным, не нуждается в доказательстве. Природу этой очевидности видели, следуя взглядам, идущим еще от Платона, в прирожденности человеку таких основных истин, как математич. А. Учение Канта об априорности последних, т.е. о том, что они предшествуют всякому опыту и не зависят от него, было кульминацией таких взглядов на А. Построение Лобачевским неэвклидовой геометрии явилось первым крупным ударом по взгляду на А. как на вечные и непреложные "априорные" истины.

Критикуя взгляды Гегеля на логич. А. (на фигуры аристотелевских силлогизмов), Ленин писал: "практическая человека миллиарды раз должна была приводить человека к повторению разных логических фигур, д а б ы эти фигуры м о г л и получить а к с и о м" ("Философские тетради", 1947, с. 164). Именно в обусловленности многовековым человеч. опытом и практикой, включая сюда также и , и опыт развития науки, – очевидности А., рассматриваемых как истины, не нуждающиеся в доказательстве.

Вместе с тем взгляда на А. как на "априорные" истины привело к раздвоению понятия А. Все возрастающая в связи с запросами практики экспериментировать в области построения новых теорий, заменять, подобно Лобачевскому, одну А. , а также связанная с опытным происхождением А. их относительность, от ранее встречавшихся конкретных условий опыта и уровня развития науки, приводящая к невозможности выбрать раз навсегда и навечно в качестве А. такие положения, к-рые будут истинны абсолютно во всех условиях, – все это обусловило появление (а в наст. время в математике, особенно в математич. логике) и господство понятия А. в смысле, несколько отличном от традиционного. Понятие А. в этом новом смысле зависит от того, построение какой теории рассматривается и как проводится. А. данной теории при этом называются просто те предложения этой теории, к-рые при данном построении ее как дедуктивной теории (т.е. при данной ее аксиоматизации) принимаются за исходные, притом совершенно независимо от того, сколь они просты и очевидны.

Более того, уже из опыта, напр., построения различных неэвклидовых геометрий и их последующего истолкования и практич. использования (см. Относительности теория) стала ясной при построении (или аксиоматизации) той или иной теории каждый раз требовать заранее истинности ее аксиом. Об истинности А. нек-рой теории можно говорить лишь в связи с той или иной интерпретацией системы А. этой теории, но даже вопрос о существовании интерпретации часто ставится уже после построения самой теории. Да и при наличии фиксированной интерпретации возникают глубокие трудности, связанные со сложностью самого понятия истинности и проявляющиеся при попытках логико-математич. определения этого понятия в применении хотя бы к предложениям нек-рой достаточно четко описанной теории. Эти трудности могли быть обнаружены лишь после того, как стало возможным говорить о математич. описаниях самих теорий средствами развитого аппарата математич. логики, позволяющего формализовать различные теории. С его созданием связано дальнейшее , еще одно раздвоение понятия А., появление третьего смысла этого термина. В формальном исчислении А. является уже не предложением нек-рой содержательной научной теории, а просто одной из тех формул, из к-рых по правилам вывода этого исчисления выводятся остальные доказуемые в нем формулы ("теоремы" этого исчисления). См. также Метод аксиоматический и лит. к этой статье.

А. Кузнецов. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. - М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960-1970 .

АКСИОМА

АКСИОМА (греч. αξίωμα-принятое положение)-предложение, по какой-либо причине принимаемое в качестве исходного для каких-либо дальнейших рассуждений. Это общее аксиомы всякий раз конкретизируется вместе с уточнением того, что понимается под предложением, причиной и под дальнейшими рассуждениями. Типичные примеры аксиом: 1) некоторое символического языка исчисления, если под дальнейшими рассуждениями понимаются использующие его выводы в рамках данного исчисления. В этом случае причина принятия аксиом-само рассматриваемого исчисления. Здесь сомнения по поводу принятия аксиом бессмысленны; 2) некоторая эмпирическая , если под дальнейшими рассуждениями понимается, к примеру, систематически развиваемый на ее основе раздел физики. В этом случае причина принятия аксиомы-вера в закономерность природы, выражаемую данной гипотезой. Здесь сомнения по поводу принятия аксиомы не только осмысленны, но и желательны; 3) соглашение понимать термины, участвующие в формулировке некоторого суждения, как угодно, но все-таки таким образом, чтобы при этом понимании рассматриваемая формулировка выражала истинное . Это тот, когда под дальнейшими рассуждениями понимается заведомо истинных следствий из неоднозначно понимаемого исходного суждения. Здесь сомнения по поводу принятия аксиомы бессмысленны. Когда такого рода аксиому используют в рамках научной теории, ее часто называют постулатом значения; 4) , оцениваемое как необходимо истинное (аподиктическое), если под дальнейшими рассуждениями понимался какая-либо систематически развиваемая , претендующая на в эпистемологическом отношении (геометрия Евклида, Декарта, Спинозы, Фихте, Гильберта и т. д.). В этом случае причина принятия аксиомы-свидетельство специальной познавательной (интуиции) к непосредственному усмотрению некоторых (называемых часто самоочевидными) истин. В рамках указанной претензии сомневаться в аксиомах абсурдно, но вопрос об оправданности самой этой претензии- одна из самых глубоких и открытых проблем в философии. К. Ф. Самохвалов

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль . Под редакцией В. С. Стёпина . 2001 .

Синонимы :

Смотреть что такое "АКСИОМА" в других словарях:

- (греч. axioma, от axium признавать, почитать). Истина, не требующая доказательств, напр., целое больше своей части. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АКСИОМА греч. axioma, от axiun, признавать,… … Словарь иностранных слов русского языка

См … Словарь синонимов

аксиома - ы ж. axiome m., нем. Axiom <, гр. axiôma. 1547. Лексис.1. Отправное положение какой л. науки, принимаемое без доказательств. Сл. 18. Логическия и Онтологическия аксиомы. Брян. 1799 4. || чаще мн. Непреложные правила какой л. науки, искусства;… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Раздел очень прост в использовании. В предложенное поле достаточно ввести нужное слово, и мы вам выдадим список его значений. Хочется отметить, что наш сайт предоставляет данные из разных источников – энциклопедического, толкового, словообразовательного словарей. Также здесь можно познакомиться с примерами употребления введенного вами слова.

Найти

Значение слова аксиома

аксиома в словаре кроссвордиста

аксиома

Толковый словарь живого великорусского языка, Даль Владимир

аксиома

ж. греч. очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств, напр. целое всегда, больше части своей; основная истина, самоистина, ясноистина.

Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков

аксиома

аксиомы, ж. (греч. axioma). Положение, принимаемое без доказательств (мат.).

Очевидная истина, утверждение, принимаемое на веру (книжн.).

Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова.

аксиома

Исходное положение, принимаемое без доказательств и лежащее в основе доказательств истинности других положений (спец.).

Положение, принимаемое без доказательств (книжн.).

прил. аксиоматический, -ая, -ое.

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.

аксиома

Исходное положение какой-л. научной теории, принимаемое без доказательств.

перен. Неоспоримое, бесспорное положение, очевидная истина, не требующая доказательств.

Энциклопедический словарь, 1998 г.

аксиома

АКСИОМА (греч. axioma) положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности; истинное исходное положение теории.

Аксиома

(греч. axíōma ≈ удостоенное, принятое положение, от axióō ≈ считаю достойным), положение некоторой данной теории, которое при дедуктивном построении этой теории не доказывается в ней, а принимается за исходное, отправное, лежащее в основе доказательств других предложений этой теории. Обычно в качестве А. выбирают такие предложения рассматриваемой теории, которые являются заведомо истинными или могут в рамках этой теории считаться истинными.

Возникнув в Древней Греции, термин «А.» впервые встречается у Аристотеля, а затем через труды последователей и комментаторов Евклида прочно входит в геометрию. В средние века господство аристотелевской философии обусловило его проникновение в другие области науки, а через неё и в обыденную жизнь. А. стали называть такое общее положение, которое, будучи совершенно очевидным, не нуждается в доказательстве. Природу этой очевидности видели, следуя взглядам, идущим ещё от Платона, в прирождённости человеку таких основных истин, как математическая А. Учение И. Канта об априорности последних, т. е. о том, что они предшествуют всякому опыту и не зависят от него, было кульминацией таких взглядов на А. Первым крупным ударом по взгляду на А. как на вечные и непреложные «априорные» истины явилось построение Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии.

Критикуя взгляды Гегеля на логическую А. (на фигуры аристотелевских силлогизмов), В. И. Ленин писал: «...практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом» («Философские тетради», 1969, с. 172). Именно в обусловленности многовековым человеческим опытом, практикой, включая сюда также и эксперимент, и опыт развития науки,≈ причина очевидности А., рассматриваемых как истины, не нуждающиеся в доказательстве.

Вместе с тем крушение взгляда на А. как на «априорные» истины привело к раздвоению понятия А. Всё возрастающая в связи с запросами практики необходимость экспериментировать в области построения новых теорий, заменять одну А. другой, а также их относительность, зависимость от ранее встречающихся конкретных условий опыта и уровня развития науки, приводящая к невозможности выбрать раз навсегда и навечно в качестве А. такие положения, которые будут истинны абсолютно во всех условиях, ≈ всё это обусловило появление понятия А. в смысле, несколько отличном от традиционного. Понятие А. в этом смысле зависит от того, построение какой теории рассматривается и как оно проводится. А. данной теории при этом называются просто те предложения этой теории, которые при данном построении её как дедуктивной теории принимаются за исходные, притом совершенно независимо от того, сколь они просты и очевидны. Более того, уже из опыта, например, построения различных неевклидовых геометрий и их последующего истолкования и практического использования стала ясной невозможность при построении (или аксиоматизации) той или иной теории каждый раз требовать заранее истинности её А.

С созданием развитого аппарата математической логики связано дальнейшее развитие понятия А. В формальном исчислении А. является уже не предположением некоторой содержательной научной теории, а просто одной из тех формул, из которых по правилам вывода этого исчисления выводятся остальные доказуемые в нём формулы («теоремы» этого исчисления). См. также Аксиоматический метод и литературу при этой статье.

А.В. Кузнецов.

Википедия

Аксиома

Аксио́ма , постула́т - исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.

Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать - то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами.

В современной науке вопрос об истинности аксиом, лежащих в основе какой-либо теории, решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории.

Аксиоматиза́ция теории - явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах и не опираться на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.

Выбор аксиом, которые составляют основу конкретной теории, не является единственным. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии.

Набор аксиом называется непротиворечивым, если исходя из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание .

Австрийский математик Курт Гёдель доказал « теоремы о неполноте », согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система), начиная с определённого уровня сложности, либо внутренне противоречива, либо неполна.

Примеры аксиом

• Аксиома выбора
• Аксиома параллельности Евклида
• Аксиома Архимеда
• Аксиома объёмности
• Аксиома регулярности
• Аксиома полной индукции
• Аксиома Колмогорова
• Аксиома булеана

Примеры систем аксиом

• Аксиоматика теории множеств
• Аксиоматика вещественных чисел
• Аксиоматика Евклида
• Аксиоматика Гильберта

Примеры употребления слова аксиома в литературе.

Он излагает их именно так, как излагаются математические аксиомы , - устанавливает их как истины, которые должны быть приняты априорно и из которых вытекают неоспоримые выводы.

Такими обезличенными аксиомами стали идеи Вернадского о биогенном происхождении атмосферы, о рассеянии элементов, о диссимметрии жизни, о коренном материально-энергетическом отличии живых и косных естественных тел биосферы, об избирательной способности живых организмов к изотопам, о материальном обмене Земли с космосом, о длительности геологического времени.

Обе аксиомы дарвиновской теории - органическая целесообразность и единство природных процессов для всех живых существ - не были подтверждены никакими эмпирическими открытиями на протяжении еще ста пятидесяти лет.

Каждое доказательство опирается либо на дефиницию, либо на аксиому , либо на предшествующее, ранее доказанное утверждение.

Начинался он, как ни странно, в самом запаутиненном отсеке физики, куда давно никто не заглядывал, ибо там двери были заперты аксиомами .

Нужно признать, как аксиому , что чем выше политический уровень и марксистско-ленинская сознательность работников любой отрасли государственной и партийной работы, тем выше и плодотворнее сама работа, тем эффективнее результаты работы, и наоборот, -- чем ниже политический уровень и марксистско-ленинская сознательность работников, тем вероятнее срывы и провалы в работе, тем вероятнее измельчание и вырождение самих работников в деляг-крохоборов, тем вероятнее их перерождение.

Эш, Кифер, Петерс - с появлением каждого из них нарастало качество, нарастали полномочия, что для Лимаса было аксиомой разведывательной иерархии.

Никому даже в голову не приходило усомниться в этой очевидной аксиоме , тем более, что господствовавшая в то время контракционная теория объясняла образование гор остыванием Земли и сокращением ее радиуса.

Так формула: А есть А и не-А или всякая вещь есть А и не-А, представляющие собой основную аксиому металогики, выраженную в нашем языке понятий, -- с точки зрения нашей обычной логики звучит как абсурд и по существу не верна.

Среди Бидлэйков того поколения, к которому принадлежал Уолтер, невыносимость старого Джона стала почти аксиомой .

В каждом случае переданный круг мог бы реагировать точно так же, как круг, определенный в аксиомах Евклида.

Даже Эвклид не воплотил своих рассуждений в чертежах, а создал их как цепь словесных положений: постулатов, аксиом , теорем, доказательств, при которых чертежи являются лишь подспорным пояснением.

Что попытка осмыслить мир и жизнь осуществима лишь через отрешение от мира в смысле превозмогания его притязания иметь самодовлеющее и абсолютное значение, через утверждение себя в сверхмирной, вечной и истинно всеобъемлющей основе бытия - это есть просто самоочевидная истина, имеющая в области духовного знания значение элементарной аксиомы , без знания которой человек просто безграмотен.

Теперь я перехожу к дистрибуции Пуассона, теореме центрального предела, аксиоме Холмогорова, играм Эренхафта, цепочкам Маркова, треугольнику Паскаля и всему остальному.

Всю систему его взглядов можно было представить графически - расширение и суживание разных величин, стрелки, определяющие то или иное направление, кривые повышения или понижения и, главное, существование постоянных понятий, похожих на аксиому о том, что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками.

Слово «Аксиома» происходит от греческого axioma и обозначает в буквальном переводе на русский «значимое», «принятое» положение. То есть аксиома предполагает исходное понимание сути предмета или явления без необходимости доказывать это окружающим. Термин часто используется в математике, философии, логике.

Пожалуй, что такое аксиома , все мы знаем ещё со школьной скамьи. Но попроси любого человека привести пример таковой, наверняка каждый второй задумается и ответит не сразу, если вообще ответит.

Аксиома – это очевидное утверждение, не требующее доказательства.

Почему аксиома не нуждается в доказательстве? Ответ прост: потому что она очевидна – так считал учёный Аристотель, с точки зрения которого аксиома всегда ясна и проста. Например, «солнце светит днём».

Определение, что такое аксиома дал и древнегреческий учёный-математик Евклид, который ввёл несколько геометрических аксиом как самоочевидных истины. Например, «параллельные прямые не пересекаются». И, опираясь на них, он выводил иные теории в геометрии.

С точки зрения философии и риторики, аксиому можно трактовать как непреложную и вечную истину, познать которую можно без эмпирического опыта – например, «любить не значит обладать».

Понимание нового времени.

Спустя какое-то время возникла необходимость переосмыслить термин. Возникновение желания обосновать существующие аксиомы привело к изменению содержания этого понятия:

• аксиомы являлись уже не исходным началом для любого познания, а промежуточным результатом такового;
• аксиомы стали восприниматься не обоснованные сами по себе своей очевидностью, а как один из элементов общей теории познания.

Удивительно, но от теории к теории аксиомы меняются до неузнаваемости! Чаще всего они по-прежнему, как и до нашей эры, принимаются за отправное положение, на основе которого выстраиваются все остальные доказательства.

Синонимия

Синонимом термина «аксиома» можно назвать слово «постулат», поскольку он обозначает нечто незыблемое и не требующее доказательств.

Отталкиваясь от известного или нового постулата, можно рассуждать на любую тему, развивая мысль по определенным законам логики.

Мы помним, что любая аксиома должна приниматься на веру, но таковое положение дел возможно только в нематериальных субстанциях, например, когда речь идёт о религии. Если же разговор касается вполне материальных, проверяемых и анализируемых вещей/событий/фактов, то любой оратор должен тщательно анализировать ту базу, от которой он отталкивается, чтобы не основываться на ложных тезисах, которые слушатель не может проверить здесь и сейчас.

Без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами .

Назначение [ | ]

Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать - то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами .

Аксиоматиза́ция теории - явное указание конечного или счётного , рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах и не опираться на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.

Выбор аксиом, которые составляют основу конкретной теории, не является единственным. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии .

Толчком к изменению восприятия аксиом послужили работы российского математика Николая Лобачевского о неевклидовой геометрией , впервые опубликованные в конце 1820-х годов. Ещё будучи студентом, он пытался доказать пятый постулат Евклида, но позднее отказался от этого. Лобачевский сделал вывод о том, что пятый постулат является лишь произвольным ограничением, которое можно заменить другим ограничением. Если бы пятый постулат Евклида был доказуем, то Лобачевский столкнулся бы с противоречиями. Однако, хотя новая версия пятого постулата и не была наглядно-очевидной, она полностью выполняла роль аксиомы, позволяя построить новую непротиворечивую систему геометрии.

Сперва идеи Лобачевского не были признаны (например, о них отрицательно отзывался академик Остроградский). Позднее, когда Лобачевский опубликовал работы на других языках, он был замечен Гауссом , который тоже имел некоторые наработки в области неевклидовой геометрии. Он косвенно высказал восхищение этой работой. Настоящее признание геометрия Лобачевского получила лишь через 10-12 лет после смерти автора, когда была доказана её непротиворечивость в случае непротиворечивости геометрии Евклида. Это привело к революции в математическом мире. Гильберт развернул масштабный проект по аксиоматизации всей математики для доказательства её непротиворечивости. Его планам не суждено было сбыться из-за последовавших теорем Гёделя о неполноте . Однако это послужило толчком к формализации математики. Например, появились аксиомы натуральных чисел и их арифметики , работы Кантора по созданию теории множеств . Это позволило математикам создавать строго истинные доказательства для теорем.

Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории - аксиомы могут быть достаточно произвольными, они не обязаны быть очевидными. Единственным неизменным требованием к аксиоматическим системам является их внутренняя непротиворечивость. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом . В соответствии с

Аксиома: определение из Википедии

Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα - утверждение, положение), постула́т - исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.
Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать - то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами.
В современной науке вопрос об истинности аксиом, лежащих в основе какой-либо теории, решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории.
Аксиоматиза́ция теории - явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах и не опираться на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.
Выбор аксиом, которые составляют основу конкретной теории, не является единственным. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии.
Набор аксиом называется непротиворечивым, если исходя из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание.
Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система), начиная с определённого уровня сложности, либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, ни истинность, ни ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы).
Примеры аксиом
Аксиома выбора
Аксиома параллельности Евклида
Аксиома Архимеда
Аксиома объёмности
Аксиома регулярности
Аксиома полной индукции
Аксиома Колмогорова
Аксиома булеана
Примеры систем аксиом
Аксиоматика теории множеств
Аксиоматика вещественных чисел
Аксиоматика Евклида
Аксиоматика Гильберта

Аксиома: определение из словаря Ожегова

АКСИ’ОМА, -ы, ж.
1. Исходное положение, принимаемое без доказательств и лежащее в основе доказательств истинности других положений (спец.).
2. Положение, принимаемое без доказательств (книжн.).
прил. ~тический, -ая, -ое.

Аксиома: определение из словаря Даля

АКСИОМА ж. греч. очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств, напр. целое всегда, больше части своей; основная истина, самоистина, ясноистина.

Аксиома: определение из словаря Ефремовой

ж.
1) Исходное положение какой-л. научной теории, принимаемое без доказательств.
2) перен. Неоспоримое, бесспорное положение, очевидная истина, не требующая
доказательств.

Аксиома: определение из словаря Ушакова

аксиомы, ж. (греч. axioma). Положение, принимаемое без доказательств (мат.). || Очевидная истина, утверждение, принимаемое на веру (книжн.).

На текущей странице дано определение слова аксиома простым языком. Надеемся, что после прочтения этого объяснения простыми словами, у вас больше не осталось вопросов, что такое аксиома.