Zadaci s parametrom (grafički metod rješenja) Uvod. Plan za rješavanje zadataka s parametrom grafičkom metodom. Linearne jednadžbe s parametrom

23.09.2019

Jednačine sa parametrima s pravom se smatraju jednim od najtežih problema u školskoj matematici. Upravo ti zadaci iz godine u godinu padaju na listu zadataka tipa B i C na Jedinstvenom državnom ispitu Jedinstvenog državnog ispita. Međutim, među velikim brojem jednačina s parametrima, postoje one koje se lako mogu riješiti grafički. Razmotrimo ovu metodu na primjeru rješavanja nekoliko problema.

Pronađite zbroj cjelobrojnih vrijednosti a za koje je jednadžba |x 2 – 2x – 3| = a ima četiri korijena.

Rješenje.

Da bismo odgovorili na pitanje problema, konstruišemo grafove funkcija na jednoj koordinatnoj ravni

y = |x 2 – 2x – 3| i y = a.

Grafikon prve funkcije y = |x 2 – 2x – 3| dobiće se iz grafika parabole y = x 2 - 2x - 3 tako što se prikazuje simetrično oko ose apscisa dela grafika koji je ispod ose Ox. Dio grafikona iznad x-ose će ostati nepromijenjen.

Uradimo to korak po korak. Graf funkcije y \u003d x 2 - 2x - 3 je parabola, čije su grane usmjerene prema gore. Da bismo izgradili njegov graf, nalazimo koordinate vrha. To se može učiniti pomoću formule x 0 = -b / 2a. Dakle, x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. Da bismo pronašli koordinatu vrha parabole duž y-ose, zamjenjujemo dobivenu vrijednost za x 0 u jednadžbu funkcije koja se razmatra. Dobijamo da je y 0 = 1 - 2 - 3 = -4. Dakle, vrh parabole ima koordinate (1; -4).

Zatim morate pronaći točke presjeka grana parabole s koordinatnim osa. U tačkama preseka grana parabole sa apscisnom osom, vrednost funkcije je nula. Stoga rješavamo kvadratnu jednadžbu x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Njegovi korijeni će biti željene točke. Prema Vietinoj teoremi, imamo x 1 = -1, x 2 = 3.

U tačkama preseka grana parabole sa y-osom, vrednost argumenta je nula. Dakle, tačka y = -3 je tačka preseka grana parabole sa y-osom. Dobijeni grafikon je prikazan na slici 1.

Da bismo dobili grafik funkcije y = |x 2 - 2x - 3|, prikazat ćemo dio grafika koji je ispod x-ose simetrično oko x-ose. Dobijeni grafikon je prikazan na slici 2.

Grafikon funkcije y = a je prava linija paralelna sa x-osi. To je prikazano na slici 3. Koristeći sliku i nalazimo da grafovi imaju četiri zajedničke tačke (i jednačina ima četiri korijena) ako a pripada intervalu (0; 4).

Cjelobrojne vrijednosti broja a iz primljenog intervala: 1; 2; 3. Da bismo odgovorili na pitanje zadatka, pronađimo zbir ovih brojeva: 1 + 2 + 3 = 6.

Odgovor: 6.

Pronađite aritmetičku sredinu cjelobrojnih vrijednosti broja a, za koje je jednadžba |x 2 – 4|x| – 1| = a ima šest korijena.

Počnimo crtanjem funkcije y = |x 2 – 4|x| – 1|. Da bismo to učinili, koristimo jednakost a 2 = |a| 2 i odaberite puni kvadrat u izrazu podmodula napisanom na desnoj strani funkcije:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Tada će originalna funkcija izgledati kao y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Da bismo napravili graf ove funkcije, gradimo sukcesivno grafove funkcija:

1) y = (x - 2) 2 - 5 - parabola sa vrhom u tački sa koordinatama (2; -5); (Sl. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - deo parabole konstruisan u stavu 1, koji se nalazi desno od ordinatne ose, prikazan je simetrično levo od ose Oy; (Sl. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - dio grafika konstruisan u stavu 2, koji se nalazi ispod x-ose, prikazuje se simetrično u odnosu na apscisnu osu prema gore. (Sl. 3).

Razmotrite rezultirajuće crteže:

Grafikon funkcije y = a je prava linija paralelna sa x-osi.

Koristeći sliku, zaključujemo da grafovi funkcija imaju šest zajedničkih tačaka (jednačina ima šest korijena) ako a pripada intervalu (1; 5).

To se može vidjeti na sljedećoj slici:

Pronađite aritmetičku sredinu cjelobrojnih vrijednosti parametra a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Odgovor: 3.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

To zadaci sa parametrom uključuju, na primjer, traženje rješenja za linearne i kvadratne jednadžbe u općem obliku, proučavanje jednačine za broj dostupnih korijena, ovisno o vrijednosti parametra.

Bez davanja detaljnih definicija, razmotrite sljedeće jednačine kao primjere:

y = kx, gdje su x, y varijable, k je parametar;

y = kx + b, gdje su x, y varijable, k i b parametri;

ax 2 + bx + c = 0, gdje su x varijable, a, b i c su parametri.

Rešiti jednačinu (nejednakost, sistem) sa parametrom znači, po pravilu, rešiti beskonačan skup jednačina (nejednačina, sistema).

Zadaci sa parametrom mogu se uslovno podijeliti u dvije vrste:

a) uslov kaže: riješi jednadžbu (nejednakost, sistem) - to znači, za sve vrijednosti parametra pronaći sva rješenja. Ako barem jedan slučaj ostane neistražen, takvo rješenje se ne može smatrati zadovoljavajućim.

b) potrebno je navesti moguće vrijednosti parametra za koji jednadžba (nejednakost, sistem) ima određena svojstva. Na primjer, ima jedno rješenje, nema rješenja, ima rješenja koja pripadaju intervalu, itd. U takvim zadacima potrebno je jasno naznačiti pri kojoj vrijednosti parametra je traženi uslov zadovoljen.

Parametar, budući da je nepoznat fiksni broj, ima, takoreći, poseban dualitet. Prije svega, mora se uzeti u obzir da navodna slava sugerira da se parametar mora percipirati kao broj. Drugo, sloboda rukovanja parametrom je ograničena njegovom nepoznatošću. Tako, na primjer, operacije dijeljenja izrazom u kojem postoji parametar ili izvlačenje korijena parnog stepena iz sličnog izraza zahtijevaju preliminarno istraživanje. Stoga se mora voditi računa o rukovanju parametrom.

Na primjer, da bismo uporedili dva broja -6a i 3a, potrebno je razmotriti tri slučaja:

1) -6a će biti veće od 3a ako je a negativan broj;

2) -6a = 3a u slučaju kada je a = 0;

3) -6a će biti manje od 3a ako je a pozitivan broj 0.

Odluka će biti odgovor.

Neka je data jednadžba kx = b. Ova jednadžba je skraćenica za beskonačan skup jednačina u jednoj varijabli.

Prilikom rješavanja takvih jednadžbi mogu postojati slučajevi:

1. Neka je k bilo koji realni broj različit od nule, a b bilo koji broj iz R, tada je x = b/k.

2. Neka je k = 0 i b ≠ 0, originalna jednačina će imati oblik 0 · x = b. Očigledno, ova jednačina nema rješenja.

3. Neka su k i b brojevi jednaki nuli, tada imamo jednakost 0 · x = 0. Njeno rješenje je bilo koji realan broj.

Algoritam za rješavanje ove vrste jednadžbi:

1. Odredite "kontrolne" vrijednosti parametra.

2. Riješite originalnu jednačinu za x sa vrijednostima parametra koje su određene u prvom paragrafu.

3. Riješite originalnu jednačinu za x sa vrijednostima parametara koje se razlikuju od onih odabranih u prvom paragrafu.

4. Odgovor možete zapisati u sljedećem obliku:

1) kada ... (vrijednost parametra), jednačina ima korijen ...;

2) kada ... (vrijednost parametra), nema korijena u jednadžbi.

Primjer 1

Riješite jednadžbu s parametrom |6 – x| = a.

Rješenje.

Lako je vidjeti da je ovdje a ≥ 0.

Po pravilu modula 6 – x = ±a, izražavamo x:

Odgovor: x = 6 ± a, gdje je a ≥ 0.

Primjer 2

Riješite jednačinu a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 u odnosu na varijablu x.

Rješenje.

Otvorimo zagrade: sjekira - a + 2x - 2 \u003d 0

Zapišimo jednačinu u standardnom obliku: x(a + 2) = a + 2.

Ako izraz a + 2 nije nula, tj. ako je a ≠ -2, imamo rješenje x = (a + 2) / (a + 2), tj. x = 1.

Ako je a + 2 jednako nuli, tj. a = -2, tada imamo ispravnu jednakost 0 x = 0, stoga je x bilo koji realan broj.

Odgovor: x \u003d 1 za a ≠ -2 i x € R za a = -2.

Primjer 3

Riješite jednačinu x/a + 1 = a + x u odnosu na varijablu x.

Rješenje.

Ako je a = 0, onda transformiramo jednadžbu u oblik a + x \u003d a 2 + ax ili (a - 1) x = -a (a - 1). Posljednja jednadžba za a = 1 ima oblik 0 · x = 0, dakle, x je bilo koji broj.

Ako je a ≠ 1, tada će posljednja jednačina imati oblik x = -a.

Ovo rješenje se može ilustrirati na koordinatnoj liniji (sl. 1)

Odgovor: nema rješenja za a = 0; x - bilo koji broj na a = 1; x \u003d -a sa a ≠ 0 i a ≠ 1.

Grafička metoda

Razmotrite još jedan način rješavanja jednadžbi s parametrom - grafički. Ova metoda se koristi prilično često.

Primjer 4

Koliko korijena, ovisno o parametru a, ima jednadžba ||x| – 2| = a?

Rješenje.

Za rješavanje grafičkom metodom konstruiramo grafove funkcija y = ||x| – 2| i y = a (sl. 2).

Na crtežu su jasno prikazani mogući slučajevi položaja prave y = a i broj korijena u svakom od njih.

Odgovor: jednadžba neće imati korijena ako je a< 0; два корня будет в случае, если a >2 i a = 0; jednadžba će imati tri korijena u slučaju a = 2; četiri korena - na 0< a < 2.

Primjer 5

Za koje je jednadžba 2|x| + |x – 1| = a ima jedan korijen?

Rješenje.

Nacrtajmo grafove funkcija y = 2|x| + |x – 1| i y = a. Za y = 2|x| + |x - 1|, proširujući module metodom jaza, dobijamo:

(-3x + 1, na x< 0,

y = (x + 1, za 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, za x > 1.

Na Slika 3 jasno se vidi da će jednadžba imati jedinstveni korijen samo kada je a = 1.

Odgovor: a = 1.

Primjer 6

Odrediti broj rješenja jednadžbe |x + 1| + |x + 2| = a u zavisnosti od parametra a?

Rješenje.

Grafikon funkcije y = |x + 1| + |x + 2| će biti izlomljena linija. Njegovi vrhovi će se nalaziti u tačkama (-2; 1) i (-1; 1) (slika 4).

Odgovor: ako je parametar a manji od jedan, tada jednačina neće imati korijena; ako je a = 1, tada je rješenje jednadžbe beskonačan skup brojeva iz intervala [-2; -jedan]; ako su vrijednosti parametra a veće od jedan, tada će jednadžba imati dva korijena.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe s parametrom?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Otdelkina Olga, učenica 9. razreda

Ova tema je sastavni dio izučavanja školskog predmeta algebra. Svrha ovog rada je dublje proučavanje ove teme, identificiranje najracionalnijeg rješenja koje brzo vodi do odgovora. Ovaj esej će pomoći ostalim studentima da shvate upotrebu grafičke metode za rješavanje jednačina sa parametrima, nauče o nastanku, razvoju ove metode.

Skinuti:

Pregled:

Uvod2

Poglavlje 1

Istorija nastanka jednačina sa parametrom 3

Vietin teorem 4

Osnovni koncepti5

Poglavlje 2. Vrste jednačina sa parametrima.

Linearne jednačine6

Kvadratne jednadžbe……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………...7

Poglavlje 3

Analitička metoda……………………………………………………………..8

Grafička metoda. Istorijat pojave……………………………9

Algoritam grafičkog rješenja ........................................................10

Rješavanje jednadžbe s modulom………………………………………………………….11

Praktični dio………………………………………………………………………………12

Zaključak……………………………………………………………………………………….19

Reference………………………………………………………………………………20

Uvod.

Odabrao sam ovu temu jer je sastavni dio izučavanja školskog predmeta algebra. Pripremajući ovaj rad, postavio sam za cilj dublje proučavanje ove teme, identificirajući najracionalnije rješenje koje brzo vodi do odgovora. Moj esej će pomoći ostalim studentima da shvate upotrebu grafičke metode za rješavanje jednačina sa parametrima, nauče o nastanku, razvoju ove metode.

U modernom životu, proučavanje mnogih fizičkih procesa i geometrijskih obrazaca često dovodi do rješavanja problema s parametrima.

Za rješavanje ovakvih jednačina vrlo je efikasna grafička metoda kada je potrebno utvrditi koliko korijena jednačina ima u zavisnosti od parametra α.

Zadaci sa parametrima su od čisto matematičkog interesa, doprinose intelektualnom razvoju učenika i služe kao dobar materijal za uvježbavanje vještina. Imaju dijagnostičku vrijednost, jer se mogu koristiti za provjeru znanja iz glavnih dijelova matematike, nivoa matematičkog i logičkog mišljenja, početnih istraživačkih vještina i obećavajućih mogućnosti za uspješno savladavanje predmeta matematike u visokoškolskim ustanovama.

U mom sažetku razmatraju se uobičajeni tipovi jednačina i nadam se da će mi znanje koje sam stekao u radu pomoći pri polaganju školskih ispita, jerjednačine sa parametrimas pravom se smatra jednim od najtežih problema u toku školske matematike. Upravo ti zadaci spadaju u listu zadataka na jedinstvenom državnom ispitu USE.

Istorija nastanka jednačina sa parametrom

Problemi za jednadžbe sa parametrom su se već susreli u astronomskoj raspravi "Aryabhattam", koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik:

αh 2 + bx = c, α>0

U jednadžbi su koeficijenti, osim parametra, također može biti negativan.

Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi.

Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi s parametrom. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) “Kvadrati su jednaki korijenima”, tj. αx 2 = bx.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. αx 2 = c.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. αx = c.

4) „Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, tj. αx 2 + c = bx.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. αx 2 + bx = c.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj. bx + c = αx 2 .

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina prema al-Khorezmiju u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abacusa", koju je 1202. godine napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe s parametrom, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u dvanaestom veku. uzeti u obzir, pored pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII veku. zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprimila je moderan izgled.

Vietin teorem

Teoremu koja izražava odnos između parametara, koeficijenata kvadratne jednadžbe i njenih korijena, koji nosi ime Vieta, on je prvi put formulirao 1591. godine. Na sljedeći način: „Ako se b + d pomnoži sa α minus α 2 jednako bc, tada je α jednako b i jednako d.

Da bismo razumjeli Vietu, treba zapamtiti da α, kao i svaki samoglasnik, znači nepoznato (naš x), dok su samoglasnici b, d koeficijenti za nepoznato. Na jeziku moderne algebre, Vietina formulacija iznad znači:

Ako ima

(α + b)x - x 2 \u003d αb,

To jest, x 2 - (α -b)x + αb \u003d 0,

tada je x 1 = α, x 2 = b.

Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednačina općim formulama ispisanim pomoću simbola, Vieta je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednačina. Međutim, simbolika Viete je još uvijek daleko od svog modernog oblika. Nije prepoznavao negativne brojeve i stoga je pri rješavanju jednačina razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

Osnovni koncepti

Parametar - nezavisna varijabla čija se vrijednost smatra fiksnim ili proizvoljnim brojem, ili brojem koji pripada intervalu određenom uslovom problema.

Jednadžba s parametrom- matematičkijednačina, izgled a čije rješenje ovisi o vrijednostima jednog ili više parametara.

Odluči se jednadžba sa srednjim parametrom za svaku vrijednostpronađite x vrijednosti koje zadovoljavaju ovu jednačinu, kao i:

1. Istražite za koje vrijednosti parametara jednačina ima korijene i koliko ih ima za različite vrijednosti parametara.
2. Pronađite sve izraze za korijene i navedite za svaki od njih vrijednosti parametara za koje ovaj izraz zaista određuje korijen jednadžbe.

Razmotrimo jednačinu α(h+k)= α +c, gdje su α, c, k, x varijable.

Sistem dozvoljenih vrednosti varijabli α, c, k, xpoziva se bilo koji sistem vrijednosti varijabli, u kojem i lijevi i desni dio ove jednačine uzimaju stvarne vrijednosti.

Neka je A skup svih dozvoljenih vrednosti α, K - skup svih dozvoljenih vrednosti k, X - skup svih dozvoljenih vrednosti x, C - skup svih dozvoljenih vrednosti od c. Ako za svaki od skupova A, K, C, X odaberemo i fiksiramo, redom, jednu vrijednost α, k, c, i zamijenimo ih u jednadžbu, tada ćemo dobiti jednačinu za x, tj. jednačina sa jednom nepoznatom.

Varijable α, k, c, koje se pri rješavanju jednačine smatraju konstantnim, nazivaju se parametri, a sama jednačina se naziva jednačina koja sadrži parametre.

Parametri su označeni prvim slovima latinice: α, b, c, d, …, k , l, m, n, a nepoznate - slovima x, y, z.

Pozivaju se dvije jednadžbe koje sadrže iste parametre ekvivalentno ako:

a) imaju smisla za iste vrijednosti parametara;

b) svako rješenje prve jednačine je rješenje druge i obrnuto.

Vrste jednadžbi s parametrima

Jednačine sa parametrima su: linearne i kvadrat.

1) Linearna jednačina. Opšti oblik:

α x = b, gdje je x nepoznato;α , b - parametri.

Za ovu jednačinu, posebna ili kontrolna vrijednost parametra je ona pri kojoj koeficijent nestaje u nepoznatom.

Prilikom rješavanja linearne jednadžbe s parametrom razmatraju se slučajevi kada je parametar jednak svojoj posebnoj vrijednosti i različit od nje.

Posebna vrijednost parametra α je vrijednostα = 0.

1.Ako, a ≠0 , tada za bilo koji par parametaraα i b ima jedinstveno rješenje x = .

2.Ako, a =0, tada jednačina poprima oblik: 0 x = b . U ovom slučaju, vrijednost b = 0 je posebna vrijednost parametra b.

2.1. Za b ≠ 0 jednačina nema rješenja.

2.2. Za b =0 jednačina će imati oblik: 0 x=0.

Rješenje ove jednačine je bilo koji realan broj.

Kvadratna jednadžba s parametrom.

Opšti oblik:

α x 2 + bx + c = 0

gdje je parametar α ≠0, b i c - proizvoljni brojevi

Ako je α =1, tada se jednačina naziva redukovana kvadratna jednačina.

Korijeni kvadratne jednadžbe nalaze se po formulama

Izraz D = b 2 - 4 α c zove diskriminant.

1. Ako je D> 0 - jednačina ima dva različita korijena.

2. Ako D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Ako je D = 0 - jednačina ima dva jednaka korijena.

Metode za rješavanje jednačina sa parametrom:

Analitički - metoda direktnog rješenja koja ponavlja standardne procedure za pronalaženje odgovora u jednadžbi bez parametara.
Grafički - u zavisnosti od stanja problema, razmatra se položaj grafa odgovarajuće kvadratne funkcije u koordinatnom sistemu.

Analitička metoda

Algoritam rješenja:

Prije nego što se pristupi rješavanju problema s parametrima analitičkom metodom, potrebno je razumjeti situaciju za određenu numeričku vrijednost parametra. Na primjer, uzmite vrijednost parametra α =1 i odgovorite na pitanje: da li je vrijednost parametra α =1 potrebna vrijednost za ovaj problem.

Primjer 1: Odlučite se X linearna jednadžba s parametrom m:

Prema značenju problema (m-1)(x+3) = 0, odnosno m= 1, x = -3.

Pomnožeći obje strane jednačine sa (m-1)(x+3), dobijamo jednačinu

Dobijamo

Dakle, pri m = 2,25.

Sada je potrebno provjeriti da li ne postoje takve vrijednosti m za koje

pronađena vrijednost x je -3.

rješavajući ovu jednačinu, dobijamo da je x -3 kada je m = -0,4.

Odgovor: pri m=1, m=2,25.

Grafička metoda. Istorija pojave

Proučavanje opštih zavisnosti počelo je u 14. veku. Srednjovjekovna nauka je bila sholastička. S takvim karakterom nije bilo prostora za proučavanje kvantitativnih zavisnosti, radilo se samo o kvalitetima objekata i njihovim međusobnim odnosima. Ali među skolastičarima se pojavila škola koja je tvrdila da kvalitete mogu biti manje ili više intenzivne (haljina osobe koja je pala u rijeku vlažnija je od one koju je upravo uhvatila kiša)

Francuski naučnik Nicholas Oresme počeo je da prikazuje intenzitet dužina segmenata. Kada je ove segmente rasporedio okomito na neku pravu liniju, njihovi krajevi su formirali liniju, koju je nazvao "linija intenziteta" ili "linija gornje ivice" (grafikon odgovarajuće funkcionalne zavisnosti). Orezmo je proučavao čak i "planarnu" i "tjelesne" kvalitete, tj. funkcije koje zavise od dvije ili tri varijable.

Važno Oresmesovo postignuće bio je pokušaj klasifikacije rezultirajućih grafova. Izdvojio je tri vrste kvaliteta: ujednačene (sa konstantnim intenzitetom), ujednačeno neravne (sa konstantnom brzinom promjene intenziteta) i neravnomjerne (sve ostale), kao i karakteristična svojstva grafova takvih kvaliteta.

Da bi se stvorio matematički aparat za proučavanje grafova funkcija, uzeo je koncept varijable. Ovaj koncept je u nauku uveo francuski filozof i matematičar René Descartes (1596-1650). Descartes je bio taj koji je došao do ideja o jedinstvu algebre i geometrije i o ulozi varijabli; Descartes je uveo segment fiksne jedinice i počeo razmatrati odnos drugih segmenata prema njemu.

Dakle, grafovi funkcija tokom čitavog perioda svog postojanja prošli su niz fundamentalnih transformacija koje su ih dovele do oblika na koji smo navikli. Svaka faza ili korak u razvoju grafova funkcija sastavni je dio povijesti moderne algebre i geometrije.

Grafička metoda za određivanje broja korijena jednadžbe u zavisnosti od parametra uključenog u nju je prikladnija od analitičke.

Algoritam grafičkog rješenja

Funkcija Graf je skup tačaka gdjeapscisasu valjane vrijednosti argumenata, a ordinate- odgovarajuće vrijednostifunkcije.

Algoritam za grafičko rješavanje jednačina sa parametrom:

Pronađite domenu jednačine.
Izražavamo α kao funkcija od x.
U koordinatnom sistemu gradimo graf funkcijeα (x) za one vrijednosti x koje su unutar domene date jednadžbe.
Pronalaženje tačaka preseka praveα =c, sa grafom funkcije

sjekira). Ako je pravac α =c prelazi grafα (x), tada određujemo apscise presječnih tačaka. Da biste to učinili, dovoljno je riješiti jednačinu c = α (x) u odnosu na x.

Zapišite odgovor

Rješavanje jednadžbi s modulom

Prilikom grafičkog rješavanja jednadžbi s modulom koji sadrži parametar, potrebno je iscrtati grafove funkcija i razmotriti sve moguće slučajeve za različite vrijednosti parametra.

Na primjer, │h│= a,

Odgovor: ako a < 0, то нет корней, a > 0, zatim x = a, x = - a, ako je a = 0, onda je x = 0.

Rješavanje problema.

Zadatak 1. Koliko korijena ima jednačina| | x | - 2 | = a zavisno od parametra a?

Rješenje. U koordinatnom sistemu (x; y) crtamo grafike funkcija y = | | x | - 2 | i y= a . Grafikon funkcije y = | | x | - 2 | prikazano na slici.

Grafikon funkcije y =α a = 0).

Iz grafikona se vidi da:

Ako je a = 0, tada je prava y = a poklapa se sa Ox osom i ima sa grafikom funkcije y = | | x | - 2 | dvije zajedničke tačke; dakle, originalna jednadžba ima dva korijena (u ovom slučaju korijeni se mogu naći: x 1,2 = + 2).
Ako je 0< a < 2, то прямая y = α ima sa grafom funkcije y = | | x | - 2 | četiri zajedničke tačke i, prema tome, originalna jednadžba ima četiri korijena.
Ako a a = 2, tada prava y = 2 ima tri zajedničke tačke sa grafikom funkcije. Tada originalna jednadžba ima tri korijena.
Ako a a > 2, tada je prava y = a imaće dve tačke sa grafikom originalne funkcije, odnosno ova jednačina će imati dva korena.

Odgovor: ako a < 0, то корней нет;
ako je a = 0, a > 2, onda dva korijena;
ako je a = 2, onda tri korijena;
ako je 0< a < 2, то четыре корня.

Zadatak 2. Koliko korijena ima jednačina| x 2 - 2| x | - 3 | = a zavisno od parametra a?

Rješenje. U koordinatnom sistemu (x; y) crtamo grafike funkcija y = | x 2 - 2| x | - 3 | i y = a .

Grafikon funkcije y = | x 2 - 2| x | - 3 | prikazano na slici. Grafikon funkcije y =α je prava paralelna sa Ox ili koja se poklapa s njom (kada a = 0).

Iz grafikona možete vidjeti:

Ako je a = 0, tada je prava y = a poklapa se sa Ox osom i ima sa grafikom funkcije y = | x2 - 2| x | - 3 | dvije zajedničke tačke, kao i prava y = a imat će sa grafom funkcije y = | x 2 - 2| x | - 3 | dve zajedničke tačke a > 4. Dakle, za a = 0 i a > 4 originalna jednadžba ima dva korijena.
Ako je 0< a< 3, то прямая y = a ima sa grafom funkcije y = | x 2 - 2| x | - 3 | četiri zajedničke tačke, kao i prava y= a će imati četiri zajedničke tačke sa grafom konstruisane funkcije na a = 4. Dakle, na 0< a < 3, a = 4 originalna jednadžba ima četiri korijena.
Ako a a = 3, tada je prava y = a siječe graf funkcije u pet tačaka; dakle, jednačina ima pet korijena.
Ako 3< a< 4, прямая y = α siječe graf konstruirane funkcije u šest tačaka; dakle, za ove vrijednosti parametra, originalna jednadžba ima šest korijena.
Ako a a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α ne siječe graf funkcije y = | x 2 - 2| x | - 3 |.

Odgovor: ako a < 0, то корней нет;
ako je a = 0, a > 4, onda dva korijena;
ako je 0< a < 3, a = 4, zatim četiri korijena;

ako a = 3, zatim pet korijena;
ako 3< a < 4, то шесть корней.

Zadatak 3. Koliko korijena ima jednačina

zavisno od parametra a?

Rješenje. U koordinatnom sistemu (x; y) konstruišemo graf funkcije

ali prvo stavimo to u formu:

Prave x = 1, y = 1 su asimptote grafa funkcije. Grafikon funkcije y = | x | + a dobijeno iz grafa funkcije y = | x | pomaknut za jedinice duž ose Oy.

Grafovi funkcija seku u jednoj tački u a > - 1; dakle, jednadžba (1) za ove vrijednosti parametra ima jedno rješenje.

Za a = - 1, a = - 2 grafika se seku u dve tačke; dakle, za ove vrijednosti parametra, jednadžba (1) ima dva korijena.
Na -2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Odgovor: ako a > - 1, zatim jedno rješenje;
ako je a = - 1, a = - 2, zatim dva rješenja;
ako - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Komentar. Prilikom rješavanja jednačine zadatka posebnu pažnju treba obratiti na slučaj kada a = - 2, pošto tačka (- 1; - 1) ne pripada grafu funkcijeali pripada grafu funkcije y = | x | + a.

Zadatak 4. Koliko korijena ima jednačina

x + 2 = a | x - 1 |

zavisno od parametra a?

Rješenje. Imajte na umu da x = 1 nije korijen ove jednadžbe, jer je jednakost 3 = a 0 ne može biti istinito ni za jednu vrijednost parametra a . Obje strane jednačine dijelimo sa | x - 1 |(| x - 1 |0), tada će jednačina poprimiti oblikU koordinatnom sistemu xOy crtamo funkciju

Grafikon ove funkcije prikazan je na slici. Grafikon funkcije y = a je prava linija paralelna sa Ox osi ili koja se poklapa s njom (za a = 0).