vjerovatnog događaja. Nezavisnost događaja. Teorema množenja vjerovatnoće

19.04.2019

vjerovatnoća je broj od 0 do 1 koji odražava šanse da će se desiti slučajni događaj, gdje je 0 potpuno odsustvo vjerovatnoće da će se događaj dogoditi, a 1 znači da će se dotični događaj definitivno dogoditi.

Vjerovatnoća događaja E je broj između i 1.
Zbir vjerovatnoća događaja koji se međusobno isključuju je 1.

empirijska vjerovatnoća- vjerovatnoća, koja se izračunava kao relativna učestalost događaja u prošlosti, izvučena iz analize istorijskih podataka.

Vjerovatnoća vrlo rijetkih događaja ne može se empirijski izračunati.

subjektivna verovatnoća- vjerovatnoća zasnovana na ličnoj subjektivnoj procjeni događaja, bez obzira na istorijske podatke. Investitori koji donose odluke o kupovini i prodaji dionica često djeluju na osnovu subjektivne vjerovatnoće.

prethodna verovatnoća -

Šansa 1 od... (izgledi) da će se događaj dogoditi kroz koncept vjerovatnoće. Šansa da se dogodi neki događaj izražava se u terminima vjerovatnoće na sljedeći način: P/(1-P).

Na primjer, ako je vjerovatnoća događaja 0,5, onda je šansa za događaj 1 od 2, jer 0,5/(1-0,5).

Šansa da se događaj ne dogodi izračunava se po formuli (1-P)/P

Nedosljedna vjerovatnoća- na primjer, u cijeni akcija kompanije A uzima se u obzir 85% mogućeg događaja E, au cijeni akcija kompanije B samo 50%. To se zove neusklađena vjerovatnoća. Prema holandskoj teoremi klađenja, neusklađena vjerovatnoća stvara prilike za profit.

Bezuslovna verovatnoća je odgovor na pitanje "Kolika je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi?"

Uslovna verovatnoća je odgovor na pitanje: "Kolika je vjerovatnoća događaja A ako se dogodi događaj B." Uslovna vjerovatnoća se označava kao P(A|B).

Zajednička vjerovatnoća je vjerovatnoća da će se događaji A i B desiti u isto vrijeme. Označeno kao P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Pravilo zbrajanja vjerovatnoće:

Vjerovatnoća da će se dogoditi ili događaj A ili događaj B je

P(A ili B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ako se događaji A i B međusobno isključuju, onda

P(A ili B) = P(A) + P(B)

Nezavisni događaji- događaji A i B su nezavisni ako

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

To jest, to je niz ishoda gdje je vrijednost vjerovatnoće konstantna od jednog događaja do sljedećeg.
Bacanje novčića je primjer takvog događaja - rezultat svakog sljedećeg bacanja ne ovisi o rezultatu prethodnog.

Zavisni događaji To su događaji u kojima vjerovatnoća da se jedan dogodi zavisi od vjerovatnoće da će se drugi dogoditi.

Pravilo za množenje vjerovatnoće nezavisnih događaja:
Ako su događaji A i B nezavisni, onda

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Pravilo ukupne vjerovatnoće:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S i S" su događaji koji se međusobno isključuju

očekivanu vrijednost slučajna varijabla je prosjek mogućih ishoda slučajne varijable. Za događaj X, očekivanje je označeno kao E(X).

Pretpostavimo da imamo 5 vrijednosti međusobno isključivih događaja sa određenom vjerovatnoćom (na primjer, prihod kompanije je iznosio toliki iznos sa takvom vjerovatnoćom). Očekivanje je zbir svih ishoda pomnožen njihovom vjerovatnoćom:

Varijanca slučajne varijable je očekivana vrijednost kvadrata odstupanja slučajne varijable od njene očekivane vrijednosti:

s 2 = E( 2 ) (6)

Uslovna očekivana vrijednost - očekivanje slučajne varijable X, pod uvjetom da se događaj S već dogodio.

Vjerovatnoća - stepen (relativna mjera, kvantitativna procjena) mogućnosti nastanka nekog događaja. Kada razlozi da se neki mogući događaj zaista dogodi nadjačaju suprotne razloge, onda se ovaj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerovatnim ili nevjerovatnim. Prevlast pozitivnih osnova nad negativnim, i obrnuto, može biti u različitom stepenu, zbog čega je vjerovatnoća (i nevjerovatnost) veća ili manja. Stoga se vjerovatnoća često procjenjuje na kvalitativnom nivou, posebno u slučajevima kada je manje ili više tačna kvantitativna procjena nemoguća ili izuzetno teška. Moguće su različite gradacije "nivoa" vjerovatnoće.
Proučavanje vjerovatnoće sa matematičke tačke gledišta je posebna disciplina - teorija vjerovatnoće. U teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici, koncept vjerovatnoće je formaliziran kao numerička karakteristika događaja - mjera vjerovatnoće (ili njegova vrijednost) - mjera skupa događaja (podskupova skupa elementarnih događaja), uzimajući vrijednosti od
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Značenje
(\displaystyle 1)
Odgovara važećem događaju. Nemogući događaj ima vjerovatnoću 0 (obrnuto općenito nije uvijek tačno). Ako je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi
(\displaystyle p)
Tada je vjerovatnoća da se ne pojavi jednaka
(\displaystyle 1-p)
Konkretno, vjerovatnoća
(\displaystyle 1/2)
Označava jednaku vjerovatnoću nastanka i nenastupanja događaja.
Klasična definicija vjerovatnoće zasniva se na konceptu jednake vjerovatnoće ishoda. Vjerovatnoća je omjer broja ishoda koji favorizuju dati događaj i ukupnog broja jednako vjerovatnih ishoda. Na primjer, vjerovatnoća dobijanja glave ili repa pri nasumičnom bacanju novčića je 1/2 ako se pretpostavi da će se pojaviti samo ove dvije mogućnosti i da su jednako vjerovatne. Ova klasična „definicija“ vjerovatnoće može se generalizirati na slučaj beskonačnog broja mogućih vrijednosti – na primjer, ako se događaj može dogoditi s jednakom vjerovatnoćom u bilo kojoj tački (broj tačaka je beskonačan) nekog ograničenog područja prostor (ravan), tada je vjerovatnoća da će se to dogoditi u nekom dijelu ove dopuštene površine jednaka omjeru zapremine (površine) ovog dijela prema zapremini (površini) površine svih mogućih tačaka .
Empirijska "definicija" vjerovatnoće se odnosi na učestalost pojave događaja, na osnovu činjenice da kod dovoljno velikog broja pokušaja učestalost treba težiti objektivnom stepenu mogućnosti ovog događaja. U savremenom prikazu teorije vjerovatnoće, vjerovatnoća se definira aksiomatski, kao poseban slučaj apstraktne teorije mjere skupa. Ipak, veza između apstraktne mjere i vjerovatnoće, koja izražava stepen mogućnosti nekog događaja, jeste upravo učestalost njegovog posmatranja.
Probabilistički opis određenih pojava je postao široko rasprostranjen u savremenoj nauci, posebno u ekonometriji, statističkoj fizici makroskopskih (termodinamičkih) sistema, gde je čak iu slučaju klasičnog determinističkog opisa kretanja čestica, deterministički opis čitavog sistema čestica nije praktično moguće i prikladno. U kvantnoj fizici, sami opisani procesi su vjerovatnoće prirode.

Događaji koji se događaju u stvarnosti ili u našoj mašti mogu se podijeliti u 3 grupe. To su određeni događaji koji će se sigurno dogoditi, nemogući događaji i slučajni događaji. Teorija vjerovatnoće proučava slučajne događaje, tj. događaji koji se mogu ili ne moraju dogoditi. Ovaj članak će ukratko predstaviti teoriju formula vjerovatnoće i primjere rješavanja zadataka iz teorije vjerovatnoće, koji će se naći u 4. zadatku Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profilni nivo).

Zašto nam je potrebna teorija vjerovatnoće

Istorijski gledano, potreba za proučavanjem ovih problema pojavila se u 17. veku u vezi sa razvojem i profesionalizacijom kockanja i pojavom kazina. Bio je to pravi fenomen koji je zahtijevao svoje proučavanje i istraživanje.

Igranje karata, kockica, ruleta stvorilo je situacije u kojima se može dogoditi bilo koji od konačnog broja jednako vjerovatnih događaja. Postojala je potreba da se daju numeričke procjene mogućnosti nastanka nekog događaja.

U 20. veku postalo je jasno da ova naizgled neozbiljna nauka igra važnu ulogu u razumevanju fundamentalnih procesa koji se dešavaju u mikrokosmosu. Stvorena je moderna teorija vjerovatnoće.

Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće

Predmet proučavanja teorije vjerovatnoće su događaji i njihove vjerovatnoće. Ako je događaj složen, onda se može rastaviti na jednostavne komponente čije je vjerovatnoće lako pronaći.

Zbir događaja A i B naziva se događaj C, što se sastoji u činjenici da su se ili događaj A, ili događaj B, ili događaji A i B dogodili u isto vrijeme.

Proizvod događaja A i B je događaj C, koji se sastoji u činjenici da su se desili i događaj A i događaj B.

Za događaje A i B kaže se da su nekompatibilni ako se ne mogu dogoditi u isto vrijeme.

Za događaj A se kaže da je nemoguć ako se ne može dogoditi. Takav događaj je označen simbolom .

Događaj A se naziva izvjesnim ako će se definitivno dogoditi. Takav događaj je označen simbolom .

Neka svakom događaju A bude dodeljen broj P(A). Ovaj broj P(A) naziva se verovatnoća događaja A ako su sledeći uslovi ispunjeni takvom korespondencijom.

Važan poseban slučaj je situacija kada postoje podjednako vjerovatni elementarni ishodi, a proizvoljni od ovih ishoda formiraju događaje A. U ovom slučaju vjerovatnoća se može uvesti formulom . Ovako uvedena vjerovatnoća naziva se klasičnom vjerovatnoćom. Može se dokazati da svojstva 1-4 vrijede u ovom slučaju.

Problemi u teoriji vjerovatnoće, koji se nalaze na ispitu iz matematike, uglavnom se odnose na klasičnu vjerovatnoću. Takvi zadaci mogu biti vrlo jednostavni. Posebno su jednostavni problemi u teoriji vjerovatnoće u demonstracionim verzijama. Lako je izračunati broj povoljnih ishoda, broj svih ishoda je upisan direktno u uslov.

Dobijamo odgovor prema formuli.

Primjer zadatka sa ispita iz matematike za određivanje vjerovatnoće

Na stolu je 20 pita - 5 sa kupusom, 7 sa jabukama i 8 sa pirinčem. Marina želi da uzme pitu. Kolika je vjerovatnoća da će uzeti pirinčanu tortu?

Rješenje.

Ukupno ima 20 jednako vjerojatnih elementarnih ishoda, odnosno Marina može uzeti bilo koju od 20 pita. Ali moramo procijeniti vjerovatnoću da će Marina uzeti pirinčanu pljeskavicu, odnosno gdje je A izbor pirinčane pljeskavice. To znači da imamo ukupno 8 povoljnih ishoda (odabir pirinčane pite) Tada će se vjerovatnoća odrediti po formuli:

Nezavisni, suprotni i proizvoljni događaji

Međutim, složeniji zadaci počeli su se pojavljivati u otvorenoj banci zadataka. Stoga, skrenimo pažnju čitaoca na druga pitanja koja se proučavaju u teoriji vjerovatnoće.

Događaji A i B nazivaju se nezavisnim ako vjerovatnoća svakog od njih ne zavisi od toga da li se drugi događaj dogodio.

Događaj B se sastoji u tome što se događaj A nije dogodio, tj. događaj B je suprotan događaju A. Vjerovatnoća suprotnog događaja jednaka je jedan minus vjerovatnoća direktnog događaja, tj. .

Teoreme sabiranja i množenja, formule

Za proizvoljne događaje A i B, vjerovatnoća zbira ovih događaja jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća bez vjerovatnoće njihovog zajedničkog događaja, tj. .

Za nezavisne događaje A i B, vjerovatnoća proizvoda ovih događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća, tj. u ovom slučaju .

Posljednje 2 tvrdnje nazivaju se teoreme sabiranja i množenja vjerovatnoća.

Nije uvijek računati broj ishoda tako jednostavno. U nekim slučajevima potrebno je koristiti kombinatoričke formule. Najvažnije je izbrojati broj događaja koji ispunjavaju određene uslove. Ponekad takvi proračuni mogu postati samostalni zadaci.

Na koliko načina može 6 učenika sjesti u 6 praznih mjesta? Prvi učenik će zauzeti bilo koje od 6 mjesta. Svaka od ovih opcija odgovara 5 načina za postavljanje drugog učenika. Za trećeg učenika slobodna su 4 mjesta, za četvrtog - 3, za petog - 2, šesti će zauzeti jedino preostalo mjesto. Da biste pronašli broj svih opcija, morate pronaći proizvod koji je označen simbolom 6! i pročitajte "šest faktorijala".

U opštem slučaju, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj permutacija od n elemenata.U našem slučaju, .

Razmotrimo sada još jedan slučaj sa našim studentima. Na koliko načina 2 učenika mogu sjesti u 6 praznih mjesta? Prvi učenik će zauzeti bilo koje od 6 mjesta. Svaka od ovih opcija odgovara 5 načina za postavljanje drugog učenika. Da biste pronašli broj svih opcija, morate pronaći proizvod.

U opštem slučaju, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj postavljanja n elemenata po k elemenata

U našem slučaju.

I posljednja u ovoj seriji. Na koliko načina postoji izbor 3 od 6 učenika? Prvi učenik se može izabrati na 6 načina, drugi na 5, a treći na 4 načina. Ali među ovim opcijama, ista tri učenika se javljaju 6 puta. Da biste pronašli broj svih opcija, morate izračunati vrijednost: . U opštem slučaju, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj kombinacija elemenata po elementima:

U našem slučaju.

Primjeri rješavanja zadataka sa ispita iz matematike za određivanje vjerovatnoće

Zadatak 1. Iz zbirke, ur. Yashchenko.

Na tanjiru je 30 pita: 3 sa mesom, 18 sa kupusom i 9 sa višnjama. Sasha nasumično bira jednu pitu. Pronađite vjerovatnoću da će on završiti sa trešnjom.

Odgovor: 0.3.

Problem 2. Iz zbirke, ur. Yashchenko.

U svakoj seriji od 1000 sijalica, u prosjeku 20 neispravnih. Pronađite vjerovatnoću da je nasumično odabrana sijalica iz serije dobra.

Rješenje: Broj servisiranih sijalica je 1000-20=980. Tada je vjerovatnoća da će sijalica uzeta nasumično iz serije biti ispravna:

Odgovor: 0,98.

Verovatnoća da učenik U. tačno reši više od 9 zadataka na testu iz matematike je 0,67. Verovatnoća da U. tačno reši više od 8 zadataka je 0,73. Nađi vjerovatnoću da U. tačno riješi tačno 9 zadataka.

Ako zamislimo brojevnu pravu i na njoj označimo tačke 8 i 9, tada ćemo vidjeti da je uslov "U. tačno reši tačno 9 zadataka” je uključeno u uslov „U. ispravno riješiti više od 8 zadataka", ali se ne odnosi na uvjet "W. ispravno riješiti više od 9 problema.

Međutim, uslov „U. ispravno riješiti više od 9 zadataka" sadržano je u uvjetu "U. ispravno riješiti više od 8 zadataka. Dakle, ako označimo događaje: „W. tačno reši tačno 9 zadataka" - do A, "U. tačno riješiti više od 8 zadataka" - do B, "U. ispravno riješi više od 9 problema ”kroz C. Tada će rješenje izgledati ovako:

Odgovor: 0.06.

Na ispitu iz geometrije student odgovara na jedno pitanje sa liste ispitnih pitanja. Vjerovatnoća da je ovo pitanje trigonometrije je 0,2. Vjerovatnoća da je ovo pitanje vanjskih uglova je 0,15. Nema pitanja vezanih za ove dvije teme u isto vrijeme. Odrediti vjerovatnoću da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.

Hajde da razmislimo o tome koje događaje imamo. Nama su data dva nespojiva događaja. Odnosno, ili će se pitanje odnositi na temu "Trigonometrija", ili na temu "Spoljni uglovi". Prema teoremi vjerovatnoće, vjerovatnoća nekompatibilnih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća svakog događaja, moramo pronaći zbir vjerovatnoća ovih događaja, odnosno:

Odgovor: 0,35.

Prostorija je osvetljena fenjerom sa tri lampe. Verovatnoća da jedna lampa pregori u godini je 0,29. Nađite vjerovatnoću da barem jedna lampa ne pregori u toku jedne godine.

Hajde da razmotrimo moguće događaje. Imamo tri sijalice, od kojih svaka može ili ne mora da pregori nezavisno od bilo koje druge sijalice. To su nezavisni događaji.

Zatim navodimo varijante takvih događaja. Prihvatamo oznaku: - sijalica je upaljena, - sijalica je pregorela. I odmah zatim izračunavamo vjerovatnoću događaja. Na primjer, vjerovatnoća događaja u kojem su se dogodila tri nezavisna događaja "sijalica je pregorjela", "sijalica upaljena", "sijalica upaljena": .

Imajte na umu da postoji samo 7 nekompatibilnih događaja koji su nam povoljni. Vjerovatnoća takvih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća svakog od događaja: .

Odgovor: 0,975608.

Još jedan problem možete vidjeti na slici:

Tako smo ti i ja shvatili šta je teorija vjerovatnoće, formule i primjeri rješavanja problema za koje se možete upoznati u verziji ispita.

U njegovom blogu, prijevod sljedećeg predavanja iz kursa "Principi ravnoteže igre" dizajnera igara Jana Schreibera, koji je radio na projektima kao što su Marvel Trading Card Game i Playboy: The Mansion.

Do danas je skoro sve o čemu smo pričali bilo determinističko, a prošle nedelje smo pobliže pogledali tranzitivnu mehaniku, razlažući je sa onoliko detalja koliko mogu da objasnim. Ali do sada nismo obraćali pažnju na druge aspekte mnogih igara, odnosno na nedeterminističke momente - drugim riječima, na slučajnost.

Razumijevanje prirode slučajnosti je veoma važno za dizajnere igara. Mi kreiramo sisteme koji utiču na korisničko iskustvo u datoj igri, tako da moramo znati kako ti sistemi rade. Ako postoji slučajnost u sistemu, moramo razumjeti prirodu te slučajnosti i znati kako je promijeniti da bismo dobili rezultate koji su nam potrebni.

Dice

Počnimo s nečim jednostavnim - bacanjem kockica. Kada većina ljudi pomisli na kocku, pomisli na kockicu sa šest strana poznata kao d6. Ali većina gejmera je videla mnogo drugih kockica: četvorostrane (d4), osmostrane (d8), dvanaestostrane (d12), dvadesetostrane (d20). Ako ste pravi štreber, možda imate negdje kockice od 30 ili 100 zrna.

Ako niste upoznati s ovom terminologijom, d označava kockicu, a broj iza nje je broj njegovih strana. Ako je broj ispred d, onda on označava broj kockica prilikom bacanja. Na primjer, u Monopolu bacate 2d6.

Dakle, u ovom slučaju, izraz "kocka" je konvencionalna oznaka. Postoji ogroman broj drugih generatora slučajnih brojeva koji ne izgledaju kao plastične figure, ali obavljaju istu funkciju - generiraju slučajni broj od 1 do n. Običan novčić se takođe može predstaviti kao diedral d2 kocka.

Vidio sam dva dizajna sedmostrane kocke: jedan je ličio na kocku, a drugi je više ličio na drvenu olovku sa sedam strana. Tetraedarski dreidel, također poznat kao titotum, analog je tetraedarske kosti. Ploča za igru sa strelicom koja se okreće u Chutes & Ladders, gdje rezultat može biti od 1 do 6, odgovara kocku sa šest strana.

Generator slučajnih brojeva u računaru može generisati bilo koji broj od 1 do 19 ako dizajner da takvu naredbu, iako računar nema kockicu sa 19 strana (općenito, govorit ću više o vjerovatnoći dobijanja brojeva na kompjuter sledeće nedelje). Sve ove stavke izgledaju drugačije, ali u stvari su ekvivalentne: imate jednake šanse za svaki od nekoliko mogućih ishoda.

Kockice imaju neke zanimljive osobine o kojima moramo znati. Prvo, vjerovatnoća da dobijete bilo koje od lica je ista (pretpostavljam da bacate običnu geometrijsku kocku). Ako želite znati prosječnu vrijednost bacanja (poznato kao matematičko očekivanje onima koji vole teoriju vjerojatnosti), zbrojite vrijednosti na svim rubovima i podijelite ovaj broj sa brojem ivica.

Zbir vrijednosti svih lica za standardnu šestostranu kockicu je 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Podijelite 21 sa brojem lica i dobijete prosječnu vrijednost bacanja: 21 / 6 = 3,5. Ovo je poseban slučaj jer pretpostavljamo da su svi ishodi jednako vjerovatni.

Šta ako imate posebne kockice? Na primjer, vidio sam igru sa šestostranom kockom sa posebnim naljepnicama na licima: 1, 1, 1, 2, 2, 3, tako da se ponaša kao čudna trostrana kocka za koju je vjerovatnije da će baciti broj 1 nego 2, i veća je vjerovatnoća da će baciti 2 nego 3. Koja je prosječna vrijednost bacanja za ovu kockicu? Dakle, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, podijelite sa 6 - dobijete 5/3, ili otprilike 1,66. Dakle, ako imate specijalnu kockicu i igrači bace tri kockice i zatim zbrajaju rezultate, znate da će njihov ukupan broj biti oko 5, i možete uravnotežiti igru na osnovu te pretpostavke.

Kockice i nezavisnost

Kao što sam već rekao, polazimo od pretpostavke da je ispadanje svakog lica jednako vjerovatno. Nije važno koliko kockica bacite ovdje. Svako bacanje kockice je nezavisno, što znači da prethodna bacanja ne utiču na rezultate narednih bacanja. Uz dovoljno pokušaja, sigurno ćete primijetiti niz brojeva - na primjer, bacanje uglavnom viših ili nižih vrijednosti - ili druge karakteristike, ali to ne znači da su kockice "vruće" ili "hladne". Pričaćemo o ovome kasnije.

Ako bacite standardnu šestostranu kockicu i broj 6 se pojavi dva puta zaredom, vjerovatnoća da će rezultat sljedećeg bacanja biti 6 je također 1/6. Vjerovatnoća se ne povećava jer se kockica "zagrijala" ". Istovremeno, vjerovatnoća se ne smanjuje: netačno je tvrditi da je broj 6 već ispao dvaput zaredom, što znači da sada drugo lice mora ispasti.

Naravno, ako bacite kockicu dvadeset puta i svaki put se pojavi broj 6, šansa da se 6 pojavi dvadeset i prvi put je prilično velika: možda imate pogrešnu kockicu. Ali ako je kocka ispravna, vjerovatnoća da se dobije svako lice je ista, bez obzira na rezultate drugih bacanja. Također možete zamisliti da svaki put zamijenimo kockicu: ako se broj 6 baci dvaput zaredom, uklonite „vruću“ kockicu iz igre i zamijenite je novom. Žao mi je ako je neko od vas već znao za ovo, ali morao sam ovo da razjasnim pre nego što nastavim dalje.

Kako napraviti manje-više nasumično bacanje kockica

Razgovarajmo o tome kako postići različite rezultate na različitim kockicama. Ako kockicu bacite samo jednom ili nekoliko puta, igra će izgledati nasumičnije kada kockica ima više rubova. Što češće bacate kockice i što više kockica bacate, rezultati se više približavaju prosjeku.

Na primjer, u slučaju 1d6 + 4 (to jest, ako jednom bacite standardnu šestostranu kocku i rezultatu dodate 4), prosjek će biti broj između 5 i 10. Ako bacite 5d2, prosjek također će biti broj između 5 i 10. Rezultat bacanja 5d2 uglavnom će biti brojevi 7 i 8, rjeđe druge vrijednosti. Ista serija, čak ista prosječna vrijednost (7,5 u oba slučaja), ali je priroda slučajnosti drugačija.

Sačekaj minutu. Nisam li upravo rekao da se kockice ne "zagrevaju" niti "hlade"? A sada kažem: ako bacite mnogo kockica, rezultati bacanja su bliži prosječnoj vrijednosti. Zašto?

Dopusti mi da objasnim. Ako bacite samo jednu kockicu, vjerovatnoća da će se svako lice pojaviti je ista. To znači da ako bacate mnogo kockica tokom vremena, svako lice će se pojaviti otprilike isti broj puta. Što više kockica bacite, to će se ukupan rezultat više približiti prosjeku.

To nije zato što ubačeni broj "uzrokuje" bacanje drugog broja koji još nije ubačen. Jer mali niz bacanja broja 6 (ili 20, ili nekog drugog broja) neće napraviti veliku razliku na kraju ako bacite kocku još deset hiljada puta i to je uglavnom prosjek. Sada ćete imati nekoliko velikih brojeva, a kasnije nekoliko malih - i vremenom će se približiti prosječnoj vrijednosti.

To nije zato što prethodna bacanja utiču na kockice (ozbiljno, kockica je napravljena od plastike, nema mozga da pomisli, "Oh, prošlo je mnogo vremena od kada se pojavila 2"), već zato što se to obično dešava sa puno bacanja.igranje kockica.

Tako da je prilično lako izračunati za jedno nasumično bacanje kockice - barem izračunajte prosječnu vrijednost bacanja. Postoje i načini da izračunate "koliko je nešto slučajno" i kažete da će rezultati bacanja 1d6 + 4 biti "nasumičniji" od 5d2. Za 5d2, valjani rezultati će biti raspoređeni ravnomjernije. Da biste to učinili, morate izračunati standardnu devijaciju: što je veća vrijednost, to će rezultati biti nasumičniji. Ne bih da danas iznosim toliko kalkulacija, kasnije ću objasniti ovu temu.

Jedina stvar koju ću vas zamoliti da zapamtite je da, kao opšte pravilo, što manje kockica bacite, to je više nasumično. A što više strana ima kocka, to je više slučajnosti, jer postoji više mogućih opcija za vrijednost.

Kako izračunati vjerovatnoću pomoću brojanja

Možda se pitate: kako možemo izračunati tačnu vjerovatnoću da će se određeni rezultat pojaviti? U stvari, ovo je veoma važno za mnoge igre: ako u početku bacite kocku, vjerovatno će doći do nekog optimalnog ishoda. Odgovor je: moramo izračunati dvije vrijednosti. Prvo, ukupan broj ishoda pri bacanju kocke, a drugo, broj povoljnih ishoda. Ako drugu vrijednost podijelite s prvom, dobijate željenu vjerovatnoću. Da biste dobili postotak, pomnožite rezultat sa 100.

Primjeri

Evo vrlo jednostavnog primjera. Želite baciti 4 ili više i baciti šestostrani kockicu jednom. Maksimalan broj ishoda je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Od toga su 3 ishoda (4, 5, 6) povoljna. Dakle, da bismo izračunali vjerovatnoću, podijelimo 3 sa 6 i dobijemo 0,5 ili 50%.

Evo primjera koji je malo komplikovaniji. Želite da bacanje 2d6 dobije paran broj. Maksimalan broj ishoda je 36 (6 opcija za svaku kockicu, jedna kocka ne utiče na drugu, tako da pomnožimo 6 sa 6 i dobijemo 36). Poteškoća s ovom vrstom pitanja je u tome što je lako dvaput prebrojati. Na primjer, pri bacanju 2d6, dva su moguća ishoda 3: 1+2 i 2+1. Izgledaju isto, ali razlika je u tome koji je broj prikazan na prvoj kocki, a koji na drugoj.

Također možete zamisliti da su kockice različitih boja: tako, na primjer, u ovom slučaju, jedna kockica je crvena, druga plava. Zatim prebrojite broj mogućih pojavljivanja parnog broja:

2 (1+1);
4 (1+3);
4 (2+2);
4 (3+1);
6 (1+5);
6 (2+4);
6 (3+3);
6 (4+2);
6 (5+1);
8 (2+6);
8 (3+5);
8 (4+4);
8 (5+3);
8 (6+2);
10 (4+6);
10 (5+5);
10 (6+4);
12 (6+6).

Ispostavilo se da postoji 18 opcija za povoljan ishod od 36 - kao iu prethodnom slučaju, vjerovatnoća je 0,5 ili 50%. Možda neočekivano, ali prilično tačno.

Monte Carlo simulacija

Šta ako imate previše kockica za ovu kalkulaciju? Na primjer, želite znati koja je vjerovatnoća da će ukupno 15 ili više doći na bacanje 8d6. Postoji ogroman broj različitih ishoda za osam kockica, a njihovo ručno brojanje bi potrajalo jako dugo - čak i kada bismo mogli pronaći neko dobro rješenje za grupiranje različitih serija bacanja kockica.

U ovom slučaju, najlakši način je da ne računate ručno, već da koristite računar. Postoje dva načina izračunavanja vjerovatnoće na računaru. Prvi način može dobiti tačan odgovor, ali uključuje malo programiranja ili skriptiranja. Računar će pogledati svaku mogućnost, procijeniti i izbrojati ukupan broj iteracija i broj ponavljanja koje odgovaraju željenom rezultatu, a zatim će dati odgovore. Vaš kod bi mogao izgledati otprilike ovako:

Ako niste programer i želite približan odgovor umjesto tačnog, ovu situaciju možete simulirati u Excelu, gdje bacite 8d6 nekoliko hiljada puta i dobijete odgovor. Za roll 1d6 u Excelu koristite formulu =FLOOR(RAND()*6)+1.

Postoji naziv za situaciju kada ne znate odgovor i samo pokušavate mnogo puta - Monte Carlo simulacija. Ovo je odlično rješenje na koje se možete vratiti kada je preteško izračunati vjerovatnoću. Odlična stvar je što u ovom slučaju ne moramo razumjeti kako matematika funkcionira, a znamo da će odgovor biti "prilično dobar", jer, kao što već znamo, što više bacanja, to se rezultat više približava prosječna vrijednost.

Kako kombinovati nezavisna ispitivanja

Ako pitate o višestrukim ponovljenim, ali nezavisnim pokušajima, onda ishod jednog bacanja ne utječe na ishod drugih bacanja. Postoji još jedno jednostavnije objašnjenje za ovu situaciju.

Kako razlikovati nešto zavisno i nezavisno? U principu, ako možete izolovati svako bacanje (ili niz bacanja) kocke kao poseban događaj, onda je to nezavisno. Na primjer, bacamo 8d6 i želimo baciti ukupno 15. Ovaj događaj se ne može podijeliti na nekoliko neovisnih bacanja kockica. Da biste dobili rezultat, izračunate zbir svih vrijednosti, tako da rezultat bačen na jednoj kockici utječe na rezultate koji bi trebali baciti na druge.

Evo primjera nezavisnog bacanja: igrate kockice i bacate šestostrane kockice nekoliko puta. Prvo bacanje mora baciti 2 ili više da biste ostali u igri. Za drugu rolnu - 3 ili više. Treća zahtijeva 4 ili više, četvrta 5 ili više, a peta 6. Ako je svih pet bacanja uspješnih, pobjeđujete. U ovom slučaju, sva bacanja su nezavisna. Da, ako jedno bacanje ne uspije, to će utjecati na ishod cijele igre, ali jedno bacanje ne utječe na drugo. Na primjer, ako je vaše drugo bacanje kockica jako dobro, to ne znači da će sljedeće bacanje biti jednako dobro. Stoga možemo razmotriti vjerovatnoću svakog bacanja kocke posebno.

Ako imate nezavisne vjerovatnoće i želite da znate kolika je vjerovatnoća da će se svi događaji dogoditi, odredite svaku pojedinačnu vjerovatnoću i pomnožite ih. Drugi način: ako koristite veznik “i” da opišete nekoliko uslova (na primjer, kolika je vjerovatnoća da će se dogoditi neki slučajni događaj i neki drugi nezavisni slučajni događaj?) – izračunajte pojedinačne vjerovatnoće i pomnožite ih.

Nije važno šta mislite - nikada ne sabirajte nezavisne verovatnoće. Ovo je uobičajena greška. Da biste razumjeli zašto je to pogrešno, zamislite situaciju u kojoj bacate novčić i želite znati kolika je vjerovatnoća da dobijete glavu dvaput zaredom. Verovatnoća ispadanja sa svake strane je 50%. Ako zbrojite ove dvije vjerovatnoće, dobijate 100% šanse da dobijete glave, ali znamo da to nije istina, jer bi se mogla pojaviti dva uzastopna repa. Ako umjesto toga pomnožite dvije vjerovatnoće, dobićete 50% * 50% = 25% - što je tačan odgovor za izračunavanje vjerovatnoće da dobijete glave dva puta zaredom.

Primjer

Vratimo se igri šestostranih kockica, gdje prvo treba baciti broj veći od 2, pa više od 3 - i tako dalje do 6. Koje su šanse da u datoj seriji od pet bacanja svi da li će ishodi biti povoljni?

Kao što je već spomenuto, ovo su nezavisna ispitivanja, tako da izračunavamo vjerovatnoću za svako pojedinačno bacanje, a zatim ih množimo. Verovatnoća da će ishod prvog bacanja biti povoljan je 5/6. Drugi - 4/6. Treći - 3/6. Četvrti - 2/6, peti - 1/6. Sve rezultate množimo jedni s drugima i dobijemo oko 1,5%. Pobjede u ovoj igri su prilično rijetke, tako da ako dodate ovaj element svojoj igri, trebat će vam prilično veliki džekpot.

Negacija

Evo još jednog korisnog savjeta: ponekad je teško izračunati vjerovatnoću da će se događaj dogoditi, ali je lakše odrediti šanse da se događaj neće dogoditi. Na primjer, pretpostavimo da imamo drugu igru: bacate 6d6 i pobjeđujete ako barem jednom bacite 6. Kolika je vjerovatnoća pobjede?

U ovom slučaju postoji mnogo opcija koje treba razmotriti. Moguće je da će jedan broj 6 ispasti, odnosno broj 6 će pasti na jednu od kockica, a brojevi od 1 do 5 pasti na ostale, tada postoji 6 opcija koja će od kockica imati a 6. Možete dobiti broj 6 na dvije kockice, ili tri, ili čak i više, i svaki put ćete morati napraviti poseban proračun, tako da se ovdje lako možete zbuniti.

Ali pogledajmo problem s druge strane. Gubite ako nijedna kocka ne baci 6. U ovom slučaju imamo 6 nezavisnih pokušaja. Vjerovatnoća da će svaka kockica baciti broj koji nije 6 je 5/6. Pomnožite ih - i dobijete oko 33%. Dakle, vjerovatnoća gubitka je jedan prema tri. Stoga je vjerovatnoća pobjede 67% (ili dva do tri).

Iz ovog primjera je očito da ako izračunavate vjerovatnoću da se događaj neće dogoditi, trebate oduzeti rezultat od 100%. Ako je vjerovatnoća pobjede 67%, onda je vjerovatnoća gubitka 100% minus 67%, odnosno 33%, i obrnuto. Ako je teško izračunati jednu vjerovatnoću, ali je lako izračunati suprotnu, izračunajte suprotnu, a zatim oduzmite ovaj broj od 100%.

Uslovi povezivanja za jedan nezavisni test

Rekao sam malo ranije da nikada ne treba zbrajati vjerovatnoće u nezavisnim ispitivanjima. Postoje li slučajevi u kojima je moguće sabrati vjerovatnoće? Da, u jednoj konkretnoj situaciji.

Ako želite da izračunate vjerovatnoću više nepovezanih povoljnih ishoda u istom ispitivanju, zbrojite vjerovatnoće svakog povoljnog ishoda. Na primjer, vjerovatnoća bacanja 4, 5 ili 6 na 1d6 jednaka je zbiru vjerovatnoće bacanja 4, vjerovatnoće bacanja 5 i vjerovatnoće bacanja 6. Ova situacija se može predstaviti na sljedeći način: ako koristite veznik "ili" u pitanju o vjerovatnoći (na primjer, kolika je vjerovatnoća određenog ishoda jednog slučajnog događaja?) - izračunajte pojedinačne vjerovatnoće i zbrojite ih.

Imajte na umu: kada izračunate sve moguće ishode igre, zbir vjerovatnoća njihovog nastupa mora biti jednak 100%, inače je vaš proračun pogrešno napravljen. Ovo je dobar način da provjerite svoje proračune. Na primjer, analizirali ste vjerovatnoću da dobijete sve kombinacije u pokeru. Ako zbrojite sve rezultate koje dobijete, trebali biste dobiti točno 100% (ili barem vrijednost prilično blizu 100%: ako koristite kalkulator, može doći do male greške zaokruživanja, ali ako zbrajate tačne brojke rukom, sve bi trebalo da se zbroji. ). Ako se zbir ne zbroji, onda najvjerovatnije niste uzeli u obzir neke kombinacije ili ste pogrešno izračunali vjerovatnoće nekih kombinacija, te je potrebno izračune ponovo provjeriti.

Nejednake vjerovatnoće

Do sada smo pretpostavljali da svako lice matrice ispada na istoj frekvenciji, jer matrica tako funkcionira. Ali ponekad se možete susresti sa situacijom u kojoj su mogući različiti ishodi i različite šanse za ispad.

Na primjer, u jednom od dodataka kartaškoj igri Nuclear War nalazi se polje za igru sa strelicom, koja određuje rezultat lansiranja rakete. Najčešće nanosi normalnu štetu, veću ili manju, ali ponekad se šteta udvostruči ili utrostruči, ili raketa eksplodira na lansirnoj rampi i naudi vam, ili se dogodi neki drugi događaj. Za razliku od table sa strelicama u Chutes & Ladders ili A Game of Life, rezultati table u Nuklearnom ratu nisu jednako vjerovatni. Neki dijelovi igrališta su veći i strelica se na njima zaustavlja mnogo češće, dok su drugi dijelovi vrlo mali i strelica se na njima rijetko zaustavlja.

Dakle, na prvi pogled kost izgleda otprilike ovako: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - već smo pričali o tome, to je nešto poput ponderisanog 1d3. Dakle, sve ove isječke treba podijeliti na jednake dijelove, pronaći najmanju jedinicu mjere, djelitelj, kojoj je sve višestruko, a zatim prikazati situaciju u obliku d522 (ili nekom drugom), gdje je skup kockica lica će predstavljati istu situaciju, ali sa više ishoda. Ovo je jedan od načina rješavanja problema, i tehnički je izvodljiv, ali postoji lakša opcija.

Vratimo se na naše standardne šestostrane kocke. Rekli smo da da biste izračunali prosječnu vrijednost bacanja za normalnu kocku, trebate zbrojiti vrijednosti svih lica i podijeliti ih brojem lica, ali kako se točno vrši izračun? Možete to izraziti drugačije. Za kocku sa šest strana, vjerovatnoća da će se svako lice pojaviti je tačno 1/6. Sada pomnožimo ishod svakog aspekta sa vjerovatnoćom tog ishoda (u ovom slučaju 1/6 za svaki aspekt), a zatim zbrojimo rezultirajuće vrijednosti. Dakle, zbrajanje (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), dobijamo isti rezultat (3.5) kao u prethodnom proračunu. Zapravo, izračunavamo ovo svaki put: svaki ishod množimo vjerovatnoćom tog ishoda.

Možemo li napraviti isti proračun za strelicu na tabli za igru u Nuklearnom ratu? Naravno da možemo. A ako zbrojimo sve pronađene rezultate, dobićemo prosječnu vrijednost. Sve što treba da uradimo je da izračunamo verovatnoću svakog ishoda za strelicu na polju za igru i pomnožimo sa vrednošću ishoda.

Još jedan primjer

Pomenuti način izračunavanja prosjeka je također prikladan ako su rezultati jednako vjerovatni, ali imaju različite prednosti - na primjer, ako bacite kockicu i dobijete više na nekim licima od drugih. Na primjer, uzmimo igru koja se dešava u kazinu: stavite opkladu i bacate 2d6. Ako se pojave tri broja male vrijednosti (2, 3, 4) ili četiri velike vrijednosti (9, 10, 11, 12), dobit ćete iznos jednak vašoj opkladi. Brojevi s najnižom i najvećom vrijednošću su posebni: ako dođe do 2 ili 12, dobit ćete dvostruko više od vaše opklade. Ako se pojavi bilo koji drugi broj (5, 6, 7, 8) izgubit ćete opkladu. Ovo je prilično jednostavna igra. Ali kolika je vjerovatnoća pobjede?

Počnimo s brojanjem koliko puta možete pobijediti. Maksimalan broj ishoda na bacanju 2d6 je 36. Koliki je broj povoljnih ishoda?

Postoji 1 opcija koja baca 2 i 1 opcija koja baca 12.
Postoje 2 opcije za 3 i 2 opcije za 11.
Postoje 3 opcije za 4 i 3 opcije za 10.
Postoje 4 opcije koje bacaju 9.

Sumirajući sve opcije, dobijamo 16 povoljnih ishoda od 36. Dakle, u normalnim uslovima ćete pobediti 16 puta od 36 mogućih - verovatnoća pobede je nešto manja od 50%.

Ali dva puta od tih šesnaest dobit ćete duplo više - to je kao da dobijete dva puta. Ako igrate ovu igru 36 puta, kladeći se svaki put po 1$, a svaki od svih mogućih ishoda dođe jednom, osvajate ukupno 18$ (u stvari pobjeđujete 16 puta, ali dva se računaju kao dvije pobjede). ). Ako igrate 36 puta i osvojite 18 dolara, ne znači li to da su vjerovatnoće jednake?

Uzmi si vremena. Ako izbrojite koliko puta možete izgubiti, dobijate 20, a ne 18. Ako igrate 36 puta, kladeći se svaki put od 1$, dobit ćete ukupno 18$ kada se sve kvote ispadnu. Ali izgubit ćete ukupno 20 dolara na svih 20 loših ishoda. Kao rezultat toga, malo ćete zaostati: gubite u prosjeku 2 USD neto na svakih 36 utakmica (možete reći i da gubite u prosjeku 1/18 USD dnevno). Sada vidite kako je lako pogriješiti u ovom slučaju i pogrešno izračunati vjerovatnoću.

permutacija

Do sada smo pretpostavljali da redosled kojim se brojevi bacaju nije bitan prilikom bacanja kockica. Bacanje 2 + 4 je isto kao i bacanje 4 + 2. U većini slučajeva ručno brojimo broj povoljnih ishoda, ali ponekad je ova metoda nepraktična i bolje je koristiti matematičku formulu.

Primjer ove situacije je iz igre s kockicama Farkle. Za svaku novu rundu bacate 6d6. Ako imate sreće i ispadnu svi mogući ishodi 1-2-3-4-5-6 (Straight), dobit ćete veliki bonus. Kolika je vjerovatnoća da će se to dogoditi? U ovom slučaju postoji mnogo opcija za gubitak ove kombinacije.

Rješenje je sljedeće: na jednoj od kockica (i samo na jednoj) treba da ispadne broj 1. Koliko opcija da broj 1 ispadne na jednoj kocki? Postoji 6 opcija, pošto ima 6 kockica, a broj 1 može pasti na bilo koju od njih. Prema tome, uzmite jednu kocku i ostavite je sa strane. Sada bi na jednu od preostalih kockica trebao pasti broj 2. Za to postoji 5 opcija. Uzmite još jednu kocku i ostavite je sa strane. Tada 4 preostale kockice mogu pasti na 3, 3 preostale kockice mogu pasti na 4, a 2 preostale kockice mogu pasti na 5. Kao rezultat, ostaje vam jedna kocka na kojoj je broj 6 bi trebalo da padne (u ovom drugom slučaju, kocka je samo jedna kost i nema izbora).

Da bismo izbrojali broj povoljnih ishoda za direktnu kombinaciju, množimo sve različite nezavisne opcije: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - čini se da postoji prilično veliki broj opcija za da se pojavi ova kombinacija.

Da bismo izračunali vjerovatnoću dobivanja prave kombinacije, trebamo podijeliti 720 sa brojem svih mogućih ishoda za bacanje 6d6. Koliki je broj svih mogućih ishoda? Svaka kocka može baciti 6 lica, tako da množimo 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (mnogo veći broj od prethodnog). Podijelimo 720 sa 46656 i dobijemo vjerovatnoću jednaku oko 1,5%. Ako ste dizajnirali ovu igru, bilo bi korisno da to znate kako biste mogli kreirati odgovarajući sistem bodovanja. Sada razumijemo zašto u Farkleu dobijate tako veliki bonus ako pogodite direktnu kombinaciju: ova situacija je prilično rijetka.

Rezultat je zanimljiv i iz još jednog razloga. Primjer pokazuje kako rijetko u kratkom periodu ispadne rezultat koji odgovara vjerovatnoći. Naravno, ako bismo bacili nekoliko hiljada kockica, različite strane kockice bi se često pojavile. Ali kada bacimo samo šest kockica, gotovo se nikada ne dogodi da se svaka kockica ispadne. Postaje jasno da je suludo očekivati da će sada ispasti lice koje još nije bilo, jer "broj 6 odavno nismo izbacili". Vidi, tvoj generator slučajnih brojeva je pokvaren.

Ovo nas dovodi do uobičajene zablude da se svi ishodi javljaju istom brzinom u kratkom vremenskom periodu. Ako bacimo kocku nekoliko puta, učestalost svakog od lica neće biti ista.

Ako ste ikada ranije radili na online igrici sa nekom vrstom generatora slučajnih brojeva, onda ste najvjerovatnije naišli na situaciju da igrač piše tehničkoj podršci sa pritužbom da generator slučajnih brojeva ne prikazuje slučajne brojeve. Do ovog zaključka je došao jer je ubio 4 čudovišta zaredom i dobio 4 potpuno iste nagrade, a ove nagrade bi trebale pasti samo 10% vremena, tako da se to očigledno gotovo nikada ne bi smjelo dogoditi.

Radiš matematiku. Vjerovatnoća je 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, odnosno 1 ishod od 10 hiljada je prilično rijedak slučaj. To je ono što igrač pokušava da vam kaže. Postoji li problem u ovom slučaju?

Sve zavisi od okolnosti. Koliko igrača je sada na vašem serveru? Pretpostavimo da imate prilično popularnu igru i svaki dan je igra 100.000 ljudi. Koliko igrača će ubiti četiri čudovišta zaredom? Vjerovatno sve, nekoliko puta dnevno, ali pretpostavimo da polovina njih samo trguje različitim predmetima na aukcijama, ćaska na RP serverima ili se bavi drugim igrama - dakle samo polovina njih lovi čudovišta. Kolika je vjerovatnoća da će neko dobiti istu nagradu? U ovoj situaciji možete očekivati da će se to dogoditi barem nekoliko puta dnevno.

Uzgred, zato se čini da svakih nekoliko sedmica neko dobije na lutriji, čak i ako to nikada niste bili vi ili neko koga poznajete. Ako dovoljno ljudi igra redovno, velike su šanse da će negdje biti barem jedan sretnik. Ali ako sami igrate lutriju, malo je vjerovatno da ćete dobiti, veća je vjerovatnoća da ćete biti pozvani da radite u Infinity Wardu.

Mape i ovisnost

Razgovarali smo o nezavisnim događajima, kao što je bacanje kocke, a sada znamo mnogo moćnih alata za analizu slučajnosti u mnogim igrama. Proračun vjerovatnoće je malo složeniji kada je u pitanju izvlačenje karata iz špila, jer svaka karta koju izvadimo utiče na one koje ostanu u špilu.

Ako imate standardni špil od 52 karte, izvučete 10 srca iz njega i želite da znate vjerovatnoću da će sljedeća karta biti iste boje - vjerovatnoća se promijenila u odnosu na original jer ste već uklonili jednu srčanu kartu iz paluba. Svaka karta koju uklonite mijenja vjerovatnoću da se sljedeća karta pojavi u špilu. U ovom slučaju, prethodni događaj utječe na sljedeći, pa ga nazivamo zavisnim od vjerovatnoće.

Imajte na umu da kada kažem "karte" mislim na bilo koju mehaničku igru koja ima skup objekata i vi uklonite jedan od objekata bez da ga zamijenite. “Špil karata” je u ovom slučaju analogan vreći čipsa iz koje se vadi jedan žeton, ili urni iz koje se vade šarene kuglice (nikada nisam vidio igre sa urnom iz koje bi se vadile šarene kuglice van, ali nastavnici teorije vjerovatnoće o čemu je iz nekog razloga ovaj primjer poželjniji).

Svojstva zavisnosti

Želeo bih da pojasnim da kada su u pitanju karte, pretpostavljam da izvlačite karte, gledate ih i vadite iz špila. Svaka od ovih radnji je važno svojstvo. Kad bih imao špil od, recimo, šest karata numeriranih od 1 do 6, promiješao bih ih i izvukao jednu kartu, a zatim ponovo promiješao svih šest karata - ovo bi bilo slično bacanju šestostrane kocke, jer jedan rezultat nema utječe ovdje za sljedeće. A ako izvučem karte i ne zamijenim ih, onda izvlačenjem 1 karte povećavam vjerovatnoću da sljedeći put izvučem kartu sa brojem 6. Vjerovatnoća će se povećavati dok na kraju ne izvučem ovu kartu ili promiješam špil.

Važna je i činjenica da gledamo karte. Ako izvadim kartu iz špila i ne pogledam je, neću imati dodatne informacije i zapravo se vjerovatnoća neće promijeniti. Ovo može zvučati nelogično. Kako jednostavno okretanje karte magično može promijeniti šanse? Ali to je moguće jer možete izračunati vjerovatnoću za nepoznate stavke samo na osnovu onoga što znate.

Na primjer, ako promiješate standardni špil karata, otkrijete 51 kartu i nijedna od njih nije kraljica trefa, onda možete biti 100% sigurni da je preostala karta kraljica trefa. Ako promiješate standardni špil karata i izvučete 51 kartu ne gledajući ih, tada je vjerovatnoća da je preostala karta kraljica trefa i dalje 1/52. Kako otvarate svaku karticu, dobijate više informacija.

Izračunavanje vjerovatnoće za zavisne događaje slijedi iste principe kao i za nezavisne događaje, osim što je malo komplikovanije, jer se vjerovatnoće mijenjaju kada otkrijete karte. Dakle, trebate pomnožiti mnogo različitih vrijednosti, umjesto da množite istu vrijednost. U stvari, to znači da moramo spojiti sve proračune koje smo uradili u jednu kombinaciju.

Primjer

Promiješate standardni špil od 52 karte i izvučete dvije karte. Kolika je vjerovatnoća da ćete izvaditi par? Postoji nekoliko načina za izračunavanje ove vjerovatnoće, ali je možda najjednostavniji sljedeći: kolika je vjerovatnoća da nakon izvlačenja jedne karte nećete moći izvući par? Ova vjerovatnoća je nula, tako da nije bitno koju ćete prvu kartu izvući, sve dok se poklapa s drugom. Nije bitno koju kartu prvo izvučemo, još uvijek imamo priliku izvući par. Stoga je vjerovatnoća vađenja para nakon vađenja prve kartice 100%.

Kolika je vjerovatnoća da će druga karta odgovarati prvoj? U špilu je ostala 51 karta, a 3 od njih odgovaraju prvoj karti (zapravo bi bilo 4 od 52, ali ste već uklonili jednu od odgovarajućih karata kada ste izvukli prvu kartu), tako da je vjerovatnoća 1/ 17. Dakle, sledeći put kada momak preko puta vas za stolom igra Texas Hold'em, on kaže: „Kul, još jedan par? Danas imam sreće“, znaćete da sa velikom verovatnoćom blefira.

Šta ako dodamo dva džokera, tako da imamo 54 karte u špilu i želimo da znamo kolika je verovatnoća da izvučemo par? Prva karta može biti džoker, a onda će u špilu biti samo jedna karta koja odgovara, a ne tri. Kako pronaći vjerovatnoću u ovom slučaju? Dijelimo vjerovatnoće i množimo svaku mogućnost.

Naša prva karta može biti džoker ili neka druga karta. Verovatnoća izvlačenja džokera je 2/54, verovatnoća da se izvuče neka druga karta je 52/54. Ako je prva karta džoker (2/54), onda je vjerovatnoća da će druga karta odgovarati prvoj iznosi 1/53. Pomnožimo vrijednosti (možemo ih pomnožiti jer su to zasebni događaji i želimo da se oba događaja dese) i dobijemo 1/1431 - manje od jedne desetine procenta.

Ako prvo izvučete neku drugu kartu (52/54), vjerovatnoća da se poklapa druga karta je 3/53. Pomnožimo vrijednosti i dobijemo 78/1431 (nešto više od 5,5%). Šta da radimo sa ova dva rezultata? One se ne seku, a mi želimo da znamo verovatnoću svakog od njih, pa sumiramo vrednosti. Dobijamo konačni rezultat 79/1431 (još uvijek oko 5,5%).

Ako želimo biti sigurni u tačnost odgovora, mogli bismo izračunati vjerovatnoću svih drugih mogućih ishoda: izvlačenje džokera i nepoklapanje druge karte ili izvlačenje neke druge karte i nepoklapanje druge karte. Sumirajući ove vjerovatnoće i vjerovatnoću pobjede, dobili bismo tačno 100%. Ovdje neću iznositi matematiku, ali možete pokušati s matematikom da provjerite.

Paradoks Monty Halla

Ovo nas dovodi do prilično dobro poznatog paradoksa koji mnoge zbunjuje, Monty Hall paradoksa. Paradoks je dobio ime po voditelju TV emisije Hajde da se dogovorimo.Za one koji ovu TV emisiju nikada nisu gledali, reći ću da je to bilo suprotno od Cijena je prava.

U The Price Is Right, domaćin (ranije ga je vodio Bob Barker, a sada Drew Carey? Nema veze) je vaš prijatelj. On želi da osvojite novac ili cool nagrade. Pokušava vam pružiti svaku priliku za pobjedu, sve dok možete pogoditi koliko sponzorirani predmeti zapravo vrijede.

Monty Hall se ponašao drugačije. Bio je kao zli blizanac Boba Barkera. Njegov cilj je bio da izgledaš kao idiot na nacionalnoj televiziji. Ako ste bili u emisiji, on je bio vaš protivnik, igrali ste protiv njega i šanse su bile u njegovu korist. Možda sam previše oštar, ali gledajući emisiju u koju ćete vjerovatnije ući ako nosite smiješan kostim, upravo na to dolazim.

Jedan od najpoznatijih memova emisije bio je ovaj: ispred vas su troja vrata, vrata broj 1, vrata broj 2 i vrata broj 3. Jedna vrata možete izabrati besplatno. Iza jednog od njih je veličanstvena nagrada - na primjer, novi automobil. Iza druga dva vrata nema nagrada, obje nemaju vrijednost. Oni bi trebali da vas ponize, pa iza njih nije ništa, već nešto glupo, na primjer, koza ili ogromna tuba paste za zube - sve samo ne novi auto.

Odabereš jedna od vrata, Monty će ih otvoriti kako bi ti rekao da li si pobijedio ili ne... ali čekaj. Prije nego saznamo, hajde da pogledamo jedna od onih vrata koja niste odabrali. Monty zna iza kojih vrata je nagrada, i uvijek može otvoriti vrata koja nemaju nagradu iza sebe. “Da li birate vrata broj 3? Onda otvorimo vrata broj 1 da pokažemo da iza njih nema nagrade." A sada vam iz velikodušnosti nudi mogućnost da odabrana vrata broj 3 zamijenite za ono što se nalazi iza vrata broj 2.

U ovom trenutku postavlja se pitanje vjerovatnoće: da li ova prilika povećava vašu vjerovatnoću za pobjedu ili je smanjuje ili ostaje nepromijenjena? Kako misliš?

Tačan odgovor: mogućnost odabira drugih vrata povećava šansu za pobjedu sa 1/3 na 2/3. Ovo je nelogično. Ako se do sada niste susreli s ovim paradoksom, onda najvjerovatnije razmišljate: čekajte, kako je: otvaranjem jednih vrata magično smo promijenili vjerovatnoću? Kao što smo vidjeli na primjeru mapa, upravo to se događa kada dobijemo više informacija. Očigledno, kada odaberete prvi put, vjerovatnoća pobjede je 1/3. Kada se jedna vrata otvore, to uopće ne mijenja vjerovatnoću pobjede za prvi izbor: vjerovatnoća je i dalje 1/3. Ali vjerovatnoća da su druga vrata ispravna je sada 2/3.

Pogledajmo ovaj primjer s druge strane. Vi birate vrata. Vjerovatnoća za pobjedu je 1/3. Predlažem da promijenite druga dva vrata, što Monty Hall radi. Naravno, on otvara jedna od vrata da pokaže da iza toga nema nagrade, ali to uvijek može, tako da to zapravo ništa ne mijenja. Naravno, poželećete da izaberete drugačija vrata.

Ako ne razumijete pitanje i trebate uvjerljivije objašnjenje, kliknite na ovaj link da biste otišli na sjajnu malu Flash aplikaciju koja će vam omogućiti da detaljnije istražite ovaj paradoks. Možete početi sa oko 10 vrata, a zatim postepeno prelaziti na igru sa troje vrata. Tu je i simulator u kojem možete igrati sa bilo kojim brojem vrata od 3 do 50 ili pokrenuti nekoliko hiljada simulacija i vidjeti koliko biste puta pobijedili da ste igrali.

Odaberite jedno od tri vrata - vjerovatnoća pobjede je 1/3. Sada imate dvije strategije: promijeniti izbor nakon otvaranja pogrešnih vrata ili ne. Ako ne promijenite svoj izbor, tada će vjerovatnoća ostati 1/3, jer je izbor samo u prvoj fazi i morate odmah pogoditi. Ako se promijeniš, onda možeš pobijediti ako prvo izabereš pogrešna vrata (onda otvore još jedna pogrešna, ostaje prava - promijeniš odluku, samo je uzmeš). Vjerovatnoća da na početku odaberete pogrešna vrata je 2/3 - pa ispada da promjenom odluke udvostručujete vjerovatnoću pobjede.
Primjedba nastavnika više matematike i stručnjaka za balans igre Maxima Soldatova - naravno, Schreiber je nije imao, ali bez nje je prilično teško razumjeti ovu magičnu transformaciju

Ponovno razmatranje Monty Hall paradoksa

Što se tiče same emisije, čak i ako Monty Hallovi rivali nisu bili dobri u matematici, on je bio dobar u tome. Evo šta je uradio da malo promeni igru. Ako ste izabrali vrata iza kojih je bila nagrada, sa vjerovatnoćom od 1/3, on vam je uvijek nudio opciju da odaberete druga vrata. Odabereš auto i onda ga zameniš za kozu i izgledaš prilično glupo - što je upravo ono što ti treba, jer je Hall na neki način zao tip.

Ali ako odaberete vrata koja nemaju nagradu, on će vam samo pola vremena ponuditi druga vrata, ili će vam samo pokazati vašu novu kozu i vi ćete napustiti pozornicu. Hajde da analiziramo ovu novu igru u kojoj Monty Hall može odlučiti hoće li vam ponuditi priliku da odaberete druga vrata ili ne.

Pretpostavimo da on slijedi ovaj algoritam: ako odaberete vrata s nagradom, on vam uvijek nudi mogućnost da odaberete druga vrata, u suprotnom će vam jednako vjerovatno ponuditi da odaberete druga vrata ili vam dati kozu. Kolika je vjerovatnoća da dobijete?

U jednoj od tri opcije odmah birate vrata iza kojih se nalazi nagrada, a domaćin vas poziva da odaberete drugu.

Od preostale dvije opcije od tri (inicijalno birate vrata bez nagrade), u polovini slučajeva domaćin će vam ponuditi da promijenite odluku, au drugoj polovini slučajeva neće.

Pola od 2/3 je 1/3, odnosno u jednom od tri ćete dobiti kozu, u jednom od tri ćete izabrati pogrešna vrata i domaćin će vam ponuditi da odaberete druga, a u jedan slučaj od tri izabraćeš ispravna vrata, ali on opet nudi druga.

Ako voditelj ponudi da odaberemo druga vrata, već znamo da se jedan od tri slučaja kada nam da kozu i mi odemo nije dogodio. Ovo je korisna informacija: to znači da su se naše šanse za pobjedu promijenile. Dva od tri slučaja u kojima imamo izbor: u jednom slučaju to znači da smo tačno pogodili, a u drugom slučaju da smo pogrešno pogodili, pa ako nam je uopšte ponuđen izbor, onda je verovatnoća da dobijemo 1 /2 , a matematički je svejedno da li ćete ostati pri svom izboru ili odabrati druga vrata.

Kao i poker, to je psihološka igra, a ne matematička. Zašto ti je Monty ponudio izbor? Misli li da si ti prostakluk koji ne zna da je odabir drugih vrata “prava” odluka i da će se tvrdoglavo držati svog izbora (ipak je psihološki teža situacija kada izabereš auto pa ga izgubiš) ?

Ili ti on, odlučivši da si pametan i izabereš druga vrata, nudi ovu šansu, jer zna da si u početku dobro pogodio i padao na udicu? Ili je možda neuobičajeno ljubazan i tjera vas da učinite nešto korisno za vas, jer dugo nije davao automobile, a proizvođači kažu da je publici dosadno, te bi bilo bolje da uskoro date veliku nagradu kako bi da li je rejting opao?

Tako Monty ponekad uspeva da ponudi izbor, dok ukupna verovatnoća pobede ostaje jednaka 1/3. Zapamtite da je vjerovatnoća da ćete odmah izgubiti 1/3. Postoji 1/3 šanse da ćete pogoditi odmah, a 50% tih puta ćete pobijediti (1/3 x 1/2 = 1/6).

Vjerovatnoća da ćete u početku pogrešno pogoditi, ali onda imati priliku da odaberete druga vrata je 1/3, au polovini ovih slučajeva ćete pobijediti (također 1/6). Zbrojite dvije nezavisne mogućnosti pobjede i dobićete vjerovatnoću od 1/3, tako da nije važno da li ćete ostati na svom izboru ili odabrati druga vrata - ukupna vjerovatnoća vaše pobjede u igri je 1/3.

Vjerovatnoća ne postaje veća nego u situaciji kada ste pogodili vrata, a domaćin vam jednostavno pokazao šta je iza njih, a da vam nije ponudio da odaberete druga. Poenta prijedloga nije da se promijeni vjerovatnoća, već da se proces donošenja odluka učini zabavnijim za gledanje televizije.

Inače, ovo je jedan od razloga zašto poker može biti tako zanimljiv: u većini formata između rundi, kada se oklade (na primjer, flop, turn i river u Texas Hold'emu), karte se postepeno otkrivaju, i ako na početku igre imate jednu šansu za pobjedu, onda se nakon svake runde klađenja, kada se otvori više karata, ova vjerovatnoća se mijenja.

Paradoks dječaka i djevojčice

Ovo nas dovodi do još jednog dobro poznatog paradoksa koji ima tendenciju da zbuni sve, paradoksa dječaka i djevojčice. Jedina stvar o kojoj danas pišem nije direktno vezana za igre (mada pretpostavljam da vas samo moram potaknuti da kreirate odgovarajuću mehaniku igre). Ovo je više zagonetka, ali zanimljiva, a da biste je riješili, morate razumjeti uslovnu vjerovatnoću o kojoj smo gore govorili.

Zadatak: Imam drugaricu sa dvoje djece, barem jedno od njih je djevojčica. Kolika je vjerovatnoća da je i drugo dijete djevojčica? Pretpostavimo da su u svakoj porodici šanse da se dobiju devojčica i dečak 50/50, a to važi za svako dete.

U stvari, neki muškarci imaju više sperme sa X hromozomom ili Y hromozomom u spermi, tako da izgledi malo variraju. Ako znate da je jedno dijete djevojčica, šansa da dobijete drugu djevojčicu je nešto veća, a postoje i druga stanja, poput hermafroditizma. Ali da bismo riješili ovaj problem, nećemo to uzeti u obzir i pretpostaviti da je rođenje djeteta samostalan događaj i da su rođenje dječaka i djevojčice podjednako vjerojatni.

Pošto govorimo o šansi 1/2, intuitivno očekujemo da će odgovor biti 1/2 ili 1/4, ili neki drugi višekratnik od dva u nazivniku. Ali odgovor je 1/3. Zašto?

Poteškoća u ovom slučaju je što informacije kojima raspolažemo smanjuju broj mogućnosti. Pretpostavimo da su roditelji obožavatelji Ulice Sezam i bez obzira na pol djece dali su im imena A i B. U normalnim uslovima, postoje četiri jednako vjerovatne mogućnosti: A i B su dva dječaka, A i B su dvije djevojčice, A je dječak i B je djevojčica, A je djevojčica i B je dječak. Pošto znamo da je barem jedno dijete djevojčica, možemo isključiti mogućnost da su A i B dva dječaka. Dakle, preostale su nam tri mogućnosti - i dalje jednako vjerovatne. Ako su sve mogućnosti podjednako vjerovatne i postoje tri, onda je vjerovatnoća svake od njih 1/3. Samo u jednoj od ove tri opcije su obe dece devojčice, tako da je odgovor 1/3.

I opet o paradoksu dječaka i djevojčice

Rješenje problema postaje još nelogičnije. Zamislite da moj prijatelj ima dvoje djece, a jedno od njih je djevojčica koja je rođena u utorak. Pretpostavimo da je pod normalnim uslovima podjednako verovatno da će se dete roditi svakog od sedam dana u nedelji. Kolika je vjerovatnoća da je i drugo dijete djevojčica?

Možda mislite da bi odgovor i dalje bio 1/3: šta znači utorak? Ali u ovom slučaju, intuicija nas iznevjerava. Odgovor je 13/27, što ne samo da nije intuitivno, već je vrlo čudno. Šta je u ovom slučaju?

Zapravo, utorak mijenja vjerovatnoću jer ne znamo koja je beba rođena u utorak, ili su možda oboje rođene u utorak. U ovom slučaju koristimo se istom logikom: računamo sve moguće kombinacije kada je barem jedno dijete djevojčica koja je rođena u utorak. Kao u prethodnom primjeru, pretpostavimo da se djeca zovu A i B. Kombinacije izgledaju ovako:

A je djevojčica koja je rođena u utorak, B je dječak (u ovoj situaciji postoji 7 mogućnosti, po jedna za svaki dan u sedmici kada je dječak mogao biti rođen).
B - devojčica rođena u utorak, A - dečak (takođe 7 mogućnosti).
A je djevojčica koja je rođena u utorak, B je djevojčica koja je rođena drugog dana u sedmici (6 mogućnosti).
B - djevojčica koja je rođena u utorak, A - djevojčica koja nije rođena u utorak (takođe 6 vjerovatnoća).
A i B su dvije djevojčice koje su rođene u utorak (1 mogućnost, na ovo treba obratiti pažnju da ne bi brojali dva puta).

Sumiramo i dobijemo 27 različitih podjednako mogućih kombinacija rađanja djece i dana sa barem jednom mogućnošću da se djevojčica rodi u utorak. Od toga je 13 mogućnosti kada se rode dvije djevojčice. Također izgleda potpuno nelogično - čini se da je ovaj zadatak izmišljen samo da izazove glavobolju. Ako ste još uvijek zbunjeni, web stranica teoretičara igara Jespera Juhla ima dobro objašnjenje za ovo.

Ako trenutno radite na igrici

Ako postoji slučajnost u igri koju dizajnirate, ovo je odlična prilika da je analizirate. Odaberite bilo koji element koji želite analizirati. Prvo se zapitajte kakva je vjerovatnoća da će dati element biti u kontekstu igre.

Na primjer, ako pravite RPG i razmišljate o tome kolika je vjerovatnoća da će igrač pobijediti čudovište u borbi, zapitajte se koji postotak pobjeda vam odgovara. Obično, u slučaju RPG-ova za konzole, igrači se jako uznemire kada izgube, pa je bolje da gube rijetko - 10% vremena ili manje. Ako ste RPG dizajner, vjerojatno znate bolje od mene, ali morate imati osnovnu ideju o tome kolika bi vjerovatnoća trebala biti.

Zatim se zapitajte da li su vaše vjerovatnoće zavisne (kao kod karata) ili nezavisne (kao kod kockica). Razgovarajte o svim mogućim ishodima i njihovim vjerovatnoćama. Uvjerite se da je zbir svih vjerovatnoća 100%. I, naravno, uporedite svoje rezultate sa vašim očekivanjima. Da li je moguće bacati kockice ili izvlačiti karte kako ste namjeravali, ili je jasno da vrijednosti treba podesiti. I, naravno, ako pronađete nedostatke, možete koristiti iste proračune da odredite koliko vam je potrebno da promijenite vrijednosti.

Zadaća

Vaš "domaći zadatak" ove sedmice će vam pomoći da usavršite svoje vještine vjerovatnoće. Ovdje su dvije igre s kockicama i kartaška igra koju morate analizirati korištenjem vjerovatnoće, kao i čudna mehanika igre koju sam jednom razvio na kojoj ćete testirati Monte Carlo metodu.

Igra #1 - Zmajeve kosti

Ovo je igra s kockicama koju smo moje kolege i ja jednom smislili (zahvaljujući Jebu Havensu i Jesse Kingu) - ona namjerno oduva ljude svojim vjerovatnoćama. Ovo je jednostavna kazino igra pod nazivom "Dragon Dice" i to je takmičenje kockarskih kockica između igrača i ustanove.

Dobijate redovnu kockicu 1d6. Cilj igre je baciti broj veći od broja kuće. Tomu se daje nestandardni 1d6 - isti kao i tvoj, ali na jednom od njegovih lica umjesto jednog - lik zmaja (dakle, kazino ima kockicu zmaja-2-3-4-5-6). Ako institucija dobije zmaja, automatski pobjeđuje, a vi gubite. Ako oba dobiju isti broj, neriješeno je i ponovo bacate kockice. Onaj ko ubaci najveći broj pobjeđuje.

Naravno, nije sve u potpunosti u korist igrača, jer kazino ima prednost u vidu lica zmaja. Ali da li je zaista tako? To je ono što morate izračunati. Ali prvo provjerite svoju intuiciju.

Recimo da je pobjeda 2 prema 1. Dakle, ako pobijedite, zadržavate svoju opkladu i dobijate dupli iznos. Na primjer, ako se kladite na 1$ i pobijedite, zadržavate taj dolar i dobijate još 2$ na vrhu, za ukupno 3$. Ako izgubite, gubite samo svoju opkladu. Da li bi igrao? Da li intuitivno osjećate da je vjerovatnoća veća od 2 prema 1 ili još uvijek mislite da je manja? Drugim riječima, u prosjeku u 3 utakmice, da li očekujete pobjedu više od jednom, manje ili jednom?

Kada maknete intuiciju s puta, primijenite matematiku. Postoji samo 36 mogućih pozicija za obje kockice, tako da ih možete lako prebrojati. Ako niste sigurni u vezi ove ponude 2 prema 1, razmislite o ovome: Recimo da ste igrali igru 36 puta (kladite se 1 USD svaki put). Za svaku pobedu dobijate 2$, za svaki gubitak gubite 1$, a remi ništa ne menja. Izbrojite sve svoje vjerovatne pobjede i poraze i odlučite hoćete li izgubiti neki dolar ili dobiti. Zatim se zapitajte koliko se vaša intuicija pokazala ispravnom. I onda shvati kakav sam negativac.

I, da, ako ste već razmišljali o ovom pitanju - namjerno vas zbunjujem iskrivljavajući stvarnu mehaniku igre kockicama, ali sam siguran da ovu prepreku možete prevladati samo dobrim razmišljanjem. Pokušajte sami riješiti ovaj problem.

Igra #2 - Roll of Luck

Ovo je igra s kockicama koja se zove Roll of Luck (također Birdcage jer se ponekad kockice ne bacaju već stavljaju u veliki žičani kavez, koji podsjeća na Bingo kavez). Igra je jednostavna, u osnovi se svodi na ovo: Kladite se, recimo, na 1 $ na broj između 1 i 6. Zatim bacate 3d6. Za svaku kocku koja pogodi vaš broj, dobijate 1 dolar (i zadržavate svoju originalnu opkladu). Ako vaš broj ne padne ni na jednu kocku, kazino će dobiti vaš dolar, a vi ništa. Dakle, ako se kladite na 1 i dobijete 1 na lice tri puta, dobijate 3$.

Intuitivno se čini da su u ovoj utakmici šanse izjednačene. Svaka kockica je pojedinačna šansa za pobjedu 1 prema 6, tako da su vaše šanse za pobjedu 3 prema 6 na zbir tri bacanja. Imajte na umu, naravno, da slažete tri odvojene kocke i da vam je dozvoljeno dodati samo ako mi govorimo o odvojenim dobitnim kombinacijama istih kockica. Nešto što ćete morati umnožiti.

Nakon što izračunate sve moguće ishode (vjerovatno je lakše napraviti u Excelu nego ručno, ima ih 216), igra na prvi pogled i dalje izgleda parno-neparno. U stvari, kazino je i dalje vjerojatnije da će pobijediti – koliko više? Konkretno, koliko novca očekujete da ćete izgubiti u prosjeku po rundi igre?

Sve što trebate učiniti je sabrati pobjede i poraze svih 216 rezultata, a zatim podijeliti sa 216, što bi trebalo biti prilično lako. Ali kao što vidite, postoji nekoliko zamki u koje možete upasti, zbog čega vam kažem da ako mislite da postoji jednaka šansa za pobjedu u ovoj igri, pogrešno ste razumjeli.

Igra #3 - 5 Card Stud

Ako ste se već zagrijali za prethodne igre, hajde da proverimo šta znamo o uslovnoj verovatnoći koristeći ovu kartašku igru kao primer. Zamislimo poker sa špilom od 52 karte. Zamislimo i stud sa 5 karata gdje svaki igrač dobije samo 5 karata. Ne možete odbaciti kartu, ne možete izvući novu, nema uobičajenog špila - dobijate samo 5 karata.

Royal flush je 10-J-Q-K-A u jednoj ruci, ukupno četiri, tako da postoje četiri moguća načina da dobijete royal flush. Izračunajte vjerovatnoću da ćete dobiti jednu od ovih kombinacija.

Moram vas upozoriti na jednu stvar: zapamtite da ovih pet karata možete izvući bilo kojim redoslijedom. Odnosno, u početku možete izvući keca ili desetku, nije važno. Dakle, kada radite svoje kalkulacije, imajte na umu da zapravo postoji više od četiri načina da dobijete royal flush, pod pretpostavkom da su karte podijeljene po redu.

Igra #4 - MMF lutrija

Četvrti zadatak neće biti tako lako riješiti metodama o kojima smo danas govorili, ali možete lako simulirati situaciju pomoću programiranja ili Excela. Upravo na primjeru ovog problema možete razraditi metodu Monte Carlo.

Ranije sam spomenuo igru Chron X na kojoj sam nekada radio, a postojala je i jedna vrlo zanimljiva karta - lutrija MMF-a. Evo kako je to funkcioniralo: koristili ste ga u igrici. Nakon završetka runde, karte su preraspodijeljene i postojala je 10% šansa da će karta biti van igre i da će nasumični igrač dobiti 5 od svake vrste resursa koji ima žeton na toj kartici. Karta je stavljena u igru bez ijednog žetona, ali svaki put kada je ostala u igri na početku sljedeće runde, dobijala je jedan žeton.

Dakle, postojala je šansa od 10% da ćete ga staviti u igru, runda će se završiti, karta će napustiti igru i niko neće dobiti ništa. Ako ne bude (sa 90% šanse), postoji 10% šanse (u stvari 9%, pošto je to 10% od 90%) da će ona napustiti igru u sljedećem krugu i neko će dobiti 5 resursa. Ako karta izađe iz igre nakon jedne runde (10% od 81% dostupnih, dakle vjerovatnoća je 8,1%), neko će dobiti 10 jedinica, drugu rundu - 15, još 20 i tako dalje. Pitanje: koja je očekivana vrijednost broja resursa koje ćete dobiti od ove kartice kada konačno izađe iz igre?

Obično bismo pokušali riješiti ovaj problem izračunavanjem vjerovatnoće svakog ishoda i množenjem sa brojem svih ishoda. Postoji 10% šanse da ćete dobiti 0 (0,1 * 0 = 0). 9% da ćete dobiti 5 jedinica resursa (9% * 5 = 0,45 resursa). 8,1% onoga što dobijete je 10 (8,1% * 10 = 0,81 resursa - općenito, očekivana vrijednost). I tako dalje. A onda bismo sve sumirali.

I sada vam je problem očigledan: uvijek postoji šansa da karta ne izađe iz igre, može ostati u igri zauvijek, beskonačan broj rundi, tako da ne postoji način da se izračuna bilo kakva vjerovatnoća. Metode koje smo danas naučili ne dozvoljavaju nam da izračunamo beskonačnu rekurziju, pa ćemo je morati stvoriti umjetno.

Ako ste dovoljno dobri u programiranju, napišite program koji će simulirati ovu karticu. Trebali biste imati vremensku petlju koja dovodi varijablu na početnu poziciju nule, pokazuje nasumični broj i sa 10% šanse da varijabla izađe iz petlje. U suprotnom, dodaje se 5 varijabli i petlja se ponavlja. Kada konačno izađe iz petlje, povećajte ukupan broj probnih izvođenja za 1 i ukupan broj resursa (za koliko ovisi o tome gdje se varijabla zaustavila). Zatim resetirajte varijablu i počnite ispočetka.

Pokrenite program nekoliko hiljada puta. Na kraju, podijelite ukupne resurse sa ukupnim brojem trčanja - ovo je vaša očekivana vrijednost Monte Carlo metode. Pokrenite program nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje dobijete otprilike isti. Ako je širenje još uvijek veliko, povećajte broj ponavljanja u vanjskoj petlji dok ne počnete dobivati podudaranja. Možete biti sigurni da će sve brojke koje završite biti približno tačne.

Ako ste novi u programiranju (čak i ako jeste), evo male vježbe za testiranje vaših Excel vještina. Ako ste dizajner igara, ove vještine nikada neće biti suvišne.

Sada će vam funkcije if i rand biti vrlo korisne. Rand ne zahtijeva vrijednosti, on samo proizvodi nasumični decimalni broj između 0 i 1. Obično ga kombiniramo s podom i plusima i minusima da simuliramo bacanje kocke, što sam ranije spomenuo. Međutim, u ovom slučaju ostavljamo samo 10% šanse da će kartica napustiti igru, tako da možemo samo provjeriti je li rand manji od 0,1 i ne brinuti više o tome.

Ako ima tri vrijednosti. Redom, uslov koji je tačan ili ne, zatim vrednost koja se vraća ako je uslov tačan i vrednost koja se vraća ako je uslov netačan. Dakle, sljedeća funkcija će vratiti 5% vremena, a 0 ostalih 90% vremena: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Postoji mnogo načina za postavljanje ove naredbe, ali ja bih koristio ovu formulu za ćeliju koja predstavlja prvi krug, recimo da je to ćelija A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Ovdje koristim negativnu varijablu što znači "ova kartica nije napustila igru i još uvijek nije dala nikakve resurse". Dakle, ako je prva runda gotova i karta nije u igri, A1 je 0; inače je -1.

Za sljedeću ćeliju koja predstavlja drugi krug: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Dakle, ako se prva runda završi i karta odmah napusti igru, A1 je 0 (broj resursa) i ova ćelija će jednostavno kopirati tu vrijednost. Inače, A1 je -1 (karta još nije izašla iz igre), a ova ćelija se nastavlja nasumično kretati: 10% vremena vraća 5 jedinica resursa, ostatak vremena će njena vrijednost i dalje biti - 1. Ako ovu formulu primijenimo na dodatne ćelije, dobićemo dodatne runde, a s kojom god ćeliju završite, dobit ćete konačni rezultat (ili -1 ako karta nije izašla iz igre nakon svih rundi koje ste odigrali).

Uzmite ovaj red ćelija, koji je jedini krug sa ovom karticom, i kopirajte i zalijepite nekoliko stotina (ili hiljada) redova. Možda nećemo moći da uradimo beskonačan test za Excel (postoji ograničen broj ćelija u tabeli), ali barem možemo pokriti većinu slučajeva. Zatim odaberite jednu ćeliju u koju ćete staviti prosjek rezultata svih rundi - Excel ljubazno pruža funkciju prosjek() za to.

Na Windows-u, barem možete pritisnuti F9 da ponovo izračunate sve nasumične brojeve. Kao i prije, uradite ovo nekoliko puta i provjerite da li ćete dobiti iste vrijednosti. Ako je širina prevelika, udvostručite broj trčanja i pokušajte ponovo.

Neriješeni problemi

Ako ste slučajno diplomirani iz teorije vjerovatnoće i navedeni problemi vam se čine previše laki - evo dva problema o kojima se godinama češkam po glavi, ali, nažalost, nisam toliko dobar u matematici da bih ih riješio.

Neriješen problem #1: Lutrija MMF-a

Prvi neriješeni problem je prethodni domaći zadatak. Lako mogu koristiti Monte Carlo metodu (koristeći C++ ili Excel) i biti siguran u odgovor na pitanje "koliko resursa će igrač dobiti", ali ne znam tačno kako da dam tačan matematički dokaziv odgovor (ovo je beskonačan niz).

Neriješen problem #2: Sekvence oblika

Ovaj zadatak (takođe daleko prevazilazi zadatke koji se rješavaju na ovom blogu) mi je bacio poznati igrač prije više od deset godina. Dok je igrao blackjack u Vegasu, primijetio je jednu zanimljivu osobinu: izvlačeći karte iz cipela od 8 špilova, vidio je deset komada u nizu (karta za komad ili lice je 10, Joker, King ili Queen, tako da ih ima ukupno 16 u standardni špil od 52 karte ili 128 u cipeli od 416 karata).

Kolika je vjerovatnoća da ova cipela sadrži najmanje jednu sekvencu od deset ili više komada? Pretpostavimo da su promešani iskreno, slučajnim redosledom. Ili, ako želite, kolika je vjerovatnoća da nigdje ne postoji niz od deset ili više oblika?

Možemo pojednostaviti zadatak. Ovdje je niz od 416 dijelova. Svaki dio je 0 ili 1. Postoji 128 jedinica i 288 nula nasumično razbacanih po nizu. Koliko postoji načina za nasumično preplitanje 128 jedinica sa 288 nula, i koliko puta će postojati barem jedna grupa od deset ili više jedinica na ove načine?

Svaki put kada sam krenuo u rješavanje ovog problema, činilo mi se lako i očigledno, ali čim sam se upustio u detalje, odjednom se raspao i činio se jednostavno nemogućim.

Zato nemojte žuriti da izbacujete odgovor: sedite, dobro razmislite, proučite uslove, pokušajte da ubacite realne brojeve, jer su svi ljudi sa kojima sam razgovarao o ovom problemu (uključujući nekoliko diplomiranih studenata koji rade u ovoj oblasti) reagovali mnogo na isti način: "Potpuno je očigledno... oh ne, čekaj, uopšte nije očigledno." To je slučaj kada nemam metodu za izračunavanje svih opcija. Naravno, mogao bih grubo forsirati problem preko kompjuterskog algoritma, ali bi bilo mnogo zanimljivije saznati matematički način za njegovo rješavanje.

Želite li znati koje su matematičke šanse da vaša opklada bude uspješna? Onda imamo dvije dobre vijesti za vas. Prvo: da biste izračunali prohodnost, ne morate vršiti složene proračune i trošiti puno vremena. Dovoljno je koristiti jednostavne formule za koje će vam trebati nekoliko minuta za rad. Drugo, nakon čitanja ovog članka, lako ćete moći izračunati vjerovatnoću da prođete bilo koju od vaših transakcija.

Da biste ispravno odredili prohodnost, morate poduzeti tri koraka:

Izračunajte procenat vjerovatnoće ishoda nekog događaja prema kladioničarskoj kancelariji;
Izračunajte sami vjerovatnoću iz statističkih podataka;
Saznajte vrijednost opklade s obzirom na obje vjerovatnoće.

Razmotrimo detaljno svaki od koraka, koristeći ne samo formule, već i primjere.

Brzi prolaz

Izračunavanje vjerovatnoće ugrađene u kvote klađenja

Prvi korak je saznati s kojom vjerovatnoćom kladionica procjenjuje šanse za određeni ishod. Uostalom, jasno je da kladionice ne klade kvote tek tako. Za to koristimo sljedeću formulu:

PB=(1/K)*100%,

gdje je P B vjerovatnoća ishoda prema kladionici;

K - kladioničarske kvote na ishod.

Recimo da je kvota 4 za pobedu londonskog Arsenala u duelu protiv Bajerna.To znači da se verovatnoća njegove pobede KK smatra (1/4) * 100% = 25%. Ili Đoković igra protiv Juga. Množilac za Novakovu pobedu je 1,2, njegove šanse su jednake (1/1,2)*100%=83%.

Ovako sama kladionica procjenjuje šanse za uspjeh svakog igrača i tima. Nakon što smo završili prvi korak, prelazimo na drugi.

Proračun vjerovatnoće događaja od strane igrača

Druga tačka našeg plana je naša vlastita procjena vjerovatnoće događaja. Budući da ne možemo matematički uzeti u obzir parametre kao što su motivacija, ton igre, koristit ćemo pojednostavljeni model i koristiti samo statistiku prethodnih susreta. Za izračunavanje statističke vjerovatnoće ishoda koristimo formulu:

PI\u003d (UM / M) * 100%,

GdjePI- vjerovatnoća događaja prema igraču;

UM - broj uspješnih utakmica u kojima se takav događaj održao;

M je ukupan broj utakmica.

Da bi bilo jasnije, navedimo primjere. Andy Murray i Rafael Nadal odigrali su 14 mečeva. U 6 od njih zabilježeno je ukupno manje od 21 utakmice, u 8 - ukupno više. Potrebno je saznati vjerovatnoću da će se sljedeći meč odigrati za ukupno više: (8/14)*100=57%. Valensija je na Mestalli protiv Atletica odigrala 74 utakmice u kojima je ostvarila 29 pobjeda. Verovatnoća pobede Valensije: (29/74)*100%=39%.

A to svi znamo samo zahvaljujući statistici prethodnih utakmica! Naravno, takva vjerovatnoća se ne može izračunati za neki novi tim ili igrača, pa je ova strategija klađenja pogodna samo za utakmice u kojima se protivnici ne sastaju prvi put. Sada znamo kako odrediti klađenje i vlastite vjerovatnoće ishoda, i imamo sve znanje da pređemo na posljednji korak.

Određivanje vrijednosti opklade

Vrijednost (vrijednost) opklade i prolaznost su u direktnoj vezi: što je veća vrijednost, veća je šansa za prolaz. Vrijednost se izračunava na sljedeći način:

V=PI*K-100%,

gdje je V vrijednost;

P I - vjerovatnoća ishoda prema boljem;

K - kladioničarske kvote na ishod.

Recimo da želimo da se kladimo da će Milan dobiti meč protiv Rome i izračunali smo da je verovatnoća pobede crveno-crnih 45%. Kladionica nam nudi koeficijent 2,5 za ovaj ishod. Da li bi takva opklada bila vredna? Izvodimo proračune: V = 45% * 2,5-100% = 12,5%. Odlično, imamo vrijednu opkladu sa dobrim šansama za prolaz.

Uzmimo drugi slučaj. Marija Šarapova igra protiv Petre Kvitove. Želimo da se dogovorimo da Maria pobedi, što prema našim proračunima ima 60% verovatnoće. Kladionice nude množitelj od 1,5 za ovaj ishod. Odredite vrijednost: V=60%*1,5-100=-10%. Kao što vidite, ova opklada nema nikakvu vrijednost i treba je suzdržati.