Sada da se pozabavimo množenje i dijeljenje.
Recimo da trebamo pomnožiti +3 sa -4. Kako uraditi?
Hajde da razmotrimo jedan takav slučaj. Tri osobe su se zadužile i svaka je imala po 4 dolara duga. Koliki je ukupan dug? Da biste ga pronašli, potrebno je da saberete sva tri duga: 4 dolara + 4 dolara + 4 dolara = 12 dolara. Odlučili smo da se sabiranje tri broja 4 označi kao 3x4. Pošto je u ovom slučaju riječ o dugu, ispred 4 stoji znak “-”. Znamo da je ukupan dug $12, tako da naš problem sada postaje 3x(-4)=-12.
Isti rezultat ćemo dobiti ako, prema problemu, svako od četiri osobe ima dug od 3 dolara. Drugim riječima, (+4)x(-3)=-12. A pošto poredak faktora nije bitan, dobijamo (-4)x(+3)=-12 i (+4)x(-3)=-12.
Hajde da sumiramo rezultate. Kada pomnožite jedan pozitivan broj i jedan negativan broj, rezultat će uvijek biti negativan broj. Brojčana vrijednost odgovora bit će ista kao u slučaju pozitivnih brojeva. Proizvod (+4)x(+3)=+12. Prisustvo znaka "-" utiče samo na znak, ali ne utiče na brojčanu vrednost.
Kako pomnožiti dva negativna broja?
Nažalost, vrlo je teško doći do odgovarajućeg primjera iz stvarnog života na ovu temu. Lako je zamisliti dug od 3 ili 4 dolara, ali je apsolutno nemoguće zamisliti -4 ili -3 osobe koje su se zadužile.
Možda ćemo krenuti drugim putem. Kod množenja, kada se promijeni predznak jednog od faktora, mijenja se predznak proizvoda. Ako promijenimo predznake oba faktora, moramo promijeniti dva puta radni znak, prvo s pozitivnog na negativno, a zatim obrnuto, od negativnog na pozitivno, odnosno proizvod će imati početni predznak.
Stoga je sasvim logično, iako malo čudno, da (-3) x (-4) = +12.
Sign position kada se pomnoži mijenja se ovako:
- pozitivan broj x pozitivan broj = pozitivan broj;
- negativan broj x pozitivan broj = negativan broj;
- pozitivan broj x negativan broj = negativan broj;
- negativan broj x negativan broj = pozitivan broj.
Drugim riječima, množenjem dva broja sa istim predznacima, dobijamo pozitivan broj. Množenjem dva broja sa različitim predznacima, dobijamo negativan broj.
Isto pravilo vrijedi i za radnju suprotnu množenju - za.
To možete lako provjeriti pokretanjem inverzne operacije množenja. U svakom od gornjih primjera, ako pomnožite količnik s djeliteljem, dobit ćete dividendu i uvjerite se da ima isti predznak, na primjer (-3)x(-4)=(+12).
Budući da zima dolazi, vrijeme je da razmislite u šta ćete obući svog gvozdenog konja kako se ne biste okliznuli na ledu i osjećali samopouzdanje na zimskim cestama. Možete, na primjer, kupiti gume Yokohama na web stranici: mvo.ru ili nekim drugim, glavna stvar je da su visokog kvaliteta, više informacija i cijena možete saznati na web stranici Mvo.ru.
U ovom članku ćemo se pozabaviti množenje brojeva sa različitim predznacima. Ovdje ćemo prvo formulirati pravilo za množenje pozitivnih i negativnih brojeva, opravdati ga, a zatim razmotriti primjenu ovog pravila pri rješavanju primjera.
Navigacija po stranici.
Pravilo za množenje brojeva sa različitim predznacima
Množenje pozitivnog broja negativnim, kao i negativnog broja pozitivnim, izvodi se na sljedeći način: pravilo za množenje brojeva sa različitim predznacima: da biste pomnožili brojeve sa različitim predznacima, morate pomnožiti i staviti znak minus ispred rezultirajućeg proizvoda.
Zapišimo ovo pravilo u obliku slova. Za svaki pozitivan realni broj a i svaki negativan realni broj −b, jednakost a·(−b)=−(|a|·|b|) , kao i za negativan broj −a i pozitivan broj b jednakost (−a)·b=−(|a|·|b|) .
Pravilo za množenje brojeva sa različitim predznacima je u potpunosti usklađeno svojstva operacija sa realnim brojevima. Zaista, na njihovoj osnovi je lako pokazati da za realne i pozitivne brojeve a i b postoji lanac jednakosti oblika a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, što dokazuje da su a·(−b) i a·b suprotni brojevi, što implicira jednakost a·(−b)=−(a·b) . I iz toga slijedi valjanost dotičnog pravila množenja.
Treba napomenuti da navedeno pravilo za množenje brojeva sa različitim predznacima vrijedi i za realne i za racionalne i za cijele brojeve. Ovo proizilazi iz činjenice da operacije s racionalnim i cijelim brojevima imaju ista svojstva koja su korištena u prethodnom dokazu.
Jasno je da se množenje brojeva sa različitim predznacima prema rezultujućem pravilu svodi na množenje pozitivnih brojeva.
Ostaje samo razmotriti primjere primjene rastavljenog pravila množenja pri množenju brojeva s različitim predznacima.
Primjeri množenja brojeva s različitim predznacima
Pogledajmo nekoliko rješenja primjeri množenja brojeva sa različitim predznacima. Počnimo s jednostavnim slučajem da se fokusiramo na korake pravila, a ne na složenost računanja.
Primjer.
Pomnožite negativan broj −4 sa pozitivnim brojem 5.
Rješenje.
Prema pravilu za množenje brojeva sa različitim predznacima, prvo trebamo pomnožiti apsolutne vrijednosti izvornih faktora. Modul od −4 je 4, a modul od 5 je 5, a množenjem prirodnih brojeva 4 i 5 dobije se 20. Konačno, ostaje da stavimo znak minus ispred rezultirajućeg broja, imamo −20. Time je množenje završeno.
Ukratko, rješenje se može napisati na sljedeći način: (−4)·5=−(4·5)=−20.
odgovor:
(−4)·5=−20.
Kada množite razlomke s različitim predznacima, morate znati množiti obične razlomke, množiti decimale i njihove kombinacije s prirodnim i mješovitim brojevima.
Primjer.
Pomnožite brojeve s različitim predznacima 0, (2) i .
Rješenje.
Pretvaranjem periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak, kao i pretvaranjem iz mješovitog broja u nepravilan razlomak, iz originalnog proizvoda 
doći ćemo do proizvoda običnih razlomaka s različitim predznacima oblika . Ovaj proizvod, prema pravilu množenja brojeva s različitim predznacima, jednak je . Sve što ostaje je da pomnožimo obične razlomke u zagradama, imamo 
.
U ovoj lekciji ćemo pregledati pravila za sabiranje pozitivnih i negativnih brojeva. Također ćemo naučiti kako množiti brojeve različitim predznacima i naučiti pravila znakova za množenje. Pogledajmo primjere množenja pozitivnih i negativnih brojeva.
Svojstvo množenja nulom ostaje istinito u slučaju negativnih brojeva. Nula pomnožena bilo kojim brojem jednaka je nuli.
Bibliografija
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija. 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - M.: Obrazovanje, 1989.
- Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za predmet matematike za 5-6 razred. - M.: ZŠ MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - M.: ZŠ MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Udžbenik-sagovornik za 5-6 razred srednje škole. - M.: Obrazovanje, Biblioteka nastavnika matematike, 1989.
Zadaća
- Internet portal Mnemonica.ru ().
- Internet portal Youtube.com ().
- Internet portal School-assistant.ru ().
- Internet portal Bymath.net ().
Tabela 5
Tabela 6
Uz malo natezanja, isto objašnjenje vrijedi i za proizvod 1-5, ako pretpostavimo da je "zbir" iz jednog
pojam je jednak ovom terminu. Ali proizvod 0 5 ili (-3) 5 ne može se objasniti na ovaj način: šta znači zbir nula ili minus tri člana?
Međutim, možete preurediti faktore
Ako želimo da se proizvod ne mijenja kada se faktori preurede - kao što je bio slučaj sa pozitivnim brojevima - onda moramo pretpostaviti da
Pređimo sada na proizvod (-3) (-5). Koliko je to jednako: -15 ili +15? Obje opcije imaju razlog. S jedne strane, minus u jednom faktoru već čini proizvod negativnim – tim prije bi trebao biti negativan ako su oba faktora negativna. S druge strane, u tabeli. 7 već ima dva minusa, ali samo jedan plus, a “pravedno rečeno” (-3)-(-5) treba da bude jednako +15. Dakle, šta biste preferirali?
Tabela 7
Naravno, neće vas zbuniti takva priča: iz školskog kursa matematike ste čvrsto naučili da minus po minus daje plus. Ali zamislite da vas mlađi brat ili sestra pita: zašto? Šta je ovo - hir učitelja, naredba viših autoriteta ili teorema koja se može dokazati?
Obično se pravilo množenja negativnih brojeva objašnjava primjerima poput onog prikazanog u tabeli. 8.
Tabela 8
Može se drugačije objasniti. Napišimo brojeve u nizu
Zapišimo sada iste brojeve pomnožene sa 3:
Lako je primijetiti da je svaki broj za 3 veći od prethodnog. Zapišimo sada iste brojeve obrnutim redoslijedom (počevši, na primjer, s 5 i 15):
Štaviše, ispod broja -5 nalazio se broj -15, tako da je 3 (-5) = -15: plus po minus daje minus.
Sada ponovimo isti postupak, množeći brojeve 1,2,3,4,5 ... sa -3 (već znamo da plus sa minusom daje minus):
Svaki sljedeći broj u donjem redu je za 3 manji od prethodnog.. Zapišite brojeve obrnutim redoslijedom
i nastavi:
Ispod broja -5 nalazi se 15, dakle (-3) (-5) = 15.
Možda bi ova objašnjenja zadovoljila vašeg mlađeg brata ili sestru. Ali imate pravo pitati kako stvari zaista stoje i da li je moguće dokazati da je (-3) (-5) = 15?
Ovdje je odgovor da možemo dokazati da (-3) (-5) mora biti jednako 15 ako želimo da obična svojstva sabiranja, oduzimanja i množenja ostanu istinita za sve brojeve, uključujući i negativne. Nacrt ovog dokaza je sljedeći.
Hajde da prvo dokažemo da je 3 (-5) = -15. Šta je -15? Ovo je suprotan broj od 15, odnosno broj koji kada se doda 15 daje 0. Dakle, moramo dokazati da
U ovom članku ćemo formulirati pravilo za množenje negativnih brojeva i dati objašnjenje za njega. Proces množenja negativnih brojeva će biti detaljno razmotren. Primjeri pokazuju sve moguće slučajeve.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Množenje negativnih brojeva
Definicija 1Pravilo za množenje negativnih brojeva je da je za množenje dva negativna broja potrebno pomnožiti njihove module. Ovo pravilo je zapisano na sljedeći način: za sve negativne brojeve – a, - b, ova jednakost se smatra istinitom.
(- a) · (- b) = a · b.
Gore je pravilo za množenje dva negativna broja. Na osnovu njega dokazujemo izraz: (- a) · (- b) = a · b. Članak o množenju brojeva sa različitim predznacima kaže da su jednakosti a · (- b) = - a · b važeće, kao i (- a) · b = - a · b. To proizlazi iz svojstva suprotnih brojeva, zbog čega će se jednakosti pisati na sljedeći način:
(- a) · (- b) = (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b.
Ovdje možete jasno vidjeti dokaz pravila za množenje negativnih brojeva. Na osnovu primjera jasno je da je proizvod dva negativna broja pozitivan broj. Kada se množe moduli brojeva, rezultat je uvijek pozitivan broj.
Ovo pravilo je primjenjivo za množenje realnih, racionalnih i cijelih brojeva.
Pogledajmo sada primjere množenja dva negativna broja detaljno. Prilikom izračunavanja morate koristiti gore napisano pravilo.
Primjer 1
Pomnožite brojeve - 3 i - 5.
Rješenje.
Apsolutna vrijednost dva broja koja se množe jednaka je pozitivnim brojevima 3 i 5. Njihov proizvod rezultira 15. Iz toga slijedi da je proizvod datih brojeva 15
Zapišimo ukratko samo množenje negativnih brojeva:
(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15
Odgovor: (- 3) · (- 5) = 15.
Prilikom množenja negativnih racionalnih brojeva, koristeći opisano pravilo, možete se mobilizirati za množenje razlomaka, množenje mješovitih brojeva, množenje decimala.
Primjer 2
Izračunajte proizvod (- 0 , 125) · (- 6) .
Rješenje.
Koristeći pravilo za množenje negativnih brojeva, dobijamo da je (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. Da biste dobili rezultat, morate pomnožiti decimalni razlomak prirodnim brojem stupaca. izgleda ovako:
Otkrili smo da će izraz imati oblik (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.
Odgovor: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.
U slučaju kada su faktori iracionalni brojevi, onda se njihov proizvod može zapisati kao numerički izraz. Vrijednost se izračunava samo kada je to potrebno.
Primjer 3
Potrebno je pomnožiti negativno - 2 sa nenegativnim log 5 1 3.
Rješenje
Pronalaženje modula zadatih brojeva:
2 = 2 i log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .
Prateći pravila za množenje negativnih brojeva, dobijamo rezultat - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Ovaj izraz je odgovor.
odgovor: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .
Da biste nastavili proučavati temu, morate ponoviti odjeljak o množenju realnih brojeva.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter