Nemoguće je i dalje moguće. A jasna potvrda za to je nemogući Penroseov trougao. Otkriven u prošlom veku, još uvek se često nalazi u naučnoj literaturi. I koliko god iznenađujuće zvučalo, možete ga čak i sami napraviti. I to uopšte nije teško izvesti. Mnogi ljudi koji vole crtati ili sastavljati origami već dugo mogu to raditi.
Značenje Penroseovog trougla
Postoji nekoliko naziva za ovu figuru. Neki to nazivaju nemogućim trouglom, drugi jednostavno tribarom. Ali najčešće možete pronaći definiciju "Penrose trokut".
Pod ovim definicijama razumijemo jednu od glavnih nemogućih figura. Sudeći po imenu, nemoguće je dobiti takvu cifru u stvarnosti. Ali u praksi je dokazano da se to još uvijek može učiniti. Samo što će figura poprimiti oblik trokuta ako je pogledate iz određene tačke pod pravim uglom. Sa svih ostalih strana cifra je sasvim realna. Predstavlja tri ivice kocke. I lako je napraviti takav dizajn.
Istorija otkrića
Penroseov trougao otkrio je davne 1934. švedski umjetnik Oscar Reutersvard. Figura je predstavljena u obliku kockica spojenih zajedno. Kasnije su umjetnika počeli nazivati "ocem nemogućih figura".
Možda bi Reutersvardov crtež ostao malo poznat. Ali 1954. godine švedski matematičar Roger Penrose napisao je rad o nemogućim figurama. Ovo je bilo drugo rođenje trougla. Istina, naučnik je to predstavio u poznatijem obliku. Koristio je grede radije nego kocke. Tri grede su međusobno povezane pod uglom od 90 stepeni. Ono što je takođe bilo drugačije je to što je Reutersvard koristio paralelnu perspektivu dok je crtao. Penrouz je koristio linearnu perspektivu, što je crtež učinilo još nemogućim. Takav trougao objavljen je 1958. godine u jednom od britanskih psiholoških časopisa.
Godine 1961. umjetnik Maurits Escher (Holandija) stvorio je jednu od svojih najpopularnijih litografija, "Vodopad". Nastao je pod utiskom koji je izazvao članak o nemogućim figurama.
Osamdesetih godina prošlog stoljeća, tribari i druge nemoguće figure bile su prikazane na švedskim državnim poštanskim markama. To je trajalo nekoliko godina.
Krajem prošlog stoljeća (tačnije 1999. godine) u Australiji je stvorena aluminijska skulptura koja prikazuje nemogući Penroseov trougao. Dostigao je visinu od 13 metara. Slične skulpture, samo manje veličine, nalaze se u drugim zemljama.
Nemoguće u stvarnosti
Kao što ste mogli pretpostaviti, Penroseov trougao zapravo nije trougao u uobičajenom smislu. Predstavlja tri strane kocke. Ali ako pogledate iz određenog ugla, dobivate iluziju trokuta zbog činjenice da se 2 kuta potpuno poklapaju na ravnini. Najbliži i najudaljeniji uglovi od posmatrača su vizuelno kombinovani.
Ako budete oprezni, možete pretpostaviti da tribar nije ništa drugo do iluzija. Pravi izgled figure može se otkriti njenom sjenom. To pokazuje da uglovi zapravo nisu povezani. I, naravno, sve postaje jasno ako pokupite cifru.
Izrada figure vlastitim rukama
Možete sami sastaviti Penroseov trougao. Na primjer, od papira ili kartona. A dijagrami će vam pomoći u tome. Samo ih trebate odštampati i zalijepiti zajedno. Na Internetu su dostupne dvije sheme. Jedan od njih je malo lakši, drugi je teži, ali popularniji. Oba su prikazana na slikama.
Penroseov trokut će biti zanimljiv proizvod koji će se svakako svidjeti gostima. Definitivno neće proći nezapaženo. Prvi korak u kreiranju je priprema dijagrama. Prenosi se na papir (karton) pomoću štampača. A onda je sve još jednostavnije. Samo ga trebate izrezati po obodu. Dijagram već sadrži sve potrebne linije. Biće praktičnije raditi sa debljim papirom. Ako je dijagram ispisan na tankom papiru, ali želite nešto deblje, praznina se jednostavno nanosi na odabrani materijal i izrezuje duž konture. Da se dijagram ne bi pomicao, može se učvrstiti spajalicama.
Zatim morate odrediti linije duž kojih će se radni komad savijati. U pravilu se na dijagramu prikazuje isprekidanom linijom. Savijamo dio. Zatim određujemo mjesta koja treba zalijepiti. Premazani su PVA ljepilom. Dio je povezan u jednu figuru.
Dio se može farbati. Ili u početku možete koristiti karton u boji.
Nemogući trougao jedan je od nevjerovatnih matematičkih paradoksa. Kada ga prvi put pogledate, ne možete sumnjati ni na sekundu u njegovo stvarno postojanje. Međutim, ovo je samo iluzija, obmana. A samu mogućnost takve iluzije objasnit će nam matematika!
Otvaranje Penrosesa
Godine 1958. British Journal of Psychology objavio je članak L. Penrosea i R. Penrosea, u kojem su predstavili novu vrstu optičke iluzije, koju su nazvali "nemogući trokut".
Vizuelno nemoguć trokut se percipira kao struktura koja zapravo postoji u trodimenzionalnom prostoru, sačinjena od pravokutnih šipki. Ali ovo je samo optička iluzija. Nemoguće je izgraditi pravi model nemogućeg trougla.
Članak Penrosesa sadržavao je nekoliko opcija za prikaz nemogućeg trougla. - njegova "klasična" prezentacija.
Koji elementi se koriste za konstruisanje nemogućeg trougla?
Tačnije, od kojih elemenata nam se čini da je izgrađen? Dizajn se temelji na pravokutnom kutu, koji se dobiva spajanjem dvije identične pravokutne šipke pod pravim kutom. Potrebna su tri takva ugla, a time i šest komada šipki. Ovi uglovi moraju biti vizuelno "povezani" jedan s drugim na određeni način tako da formiraju zatvoreni lanac. Ono što se dešava je nemoguć trougao.
Postavite prvi ugao u horizontalnu ravan. Na njega ćemo pričvrstiti drugi ugao, usmjeravajući jedan od njegovih rubova prema gore. Konačno, na ovaj drugi ugao pričvršćujemo treći ugao tako da je njegov rub paralelan s originalnom horizontalnom ravninom. U ovom slučaju, dvije ivice prvog i trećeg ugla bit će paralelne i usmjerene u različitim smjerovima.
Ako smatramo da je šipka segment jedinične dužine, tada krajevi šipki prvog ugla imaju koordinate, a, drugog ugla - , i, trećeg - , i. Dobili smo "uvrnutu" strukturu koja zapravo postoji u trodimenzionalnom prostoru.
Sada pokušajmo da ga mentalno sagledamo sa različitih tačaka u prostoru. Zamislite kako to izgleda iz jedne tačke, iz druge, iz treće. Kako se tačka gledanja menja, dve „krajnje“ ivice naših uglova će izgledati kao da se pomeraju jedna u odnosu na drugu. Nije teško pronaći poziciju u kojoj će se povezati.
Ali ako je razmak između rebara mnogo manji od udaljenosti od uglova do tačke iz koje gledamo našu strukturu, tada će oba rebra imati istu debljinu za nas, a javiće se ideja da su ova dva rebra zapravo nastavak jedno od drugog. Ova situacija je prikazana 4.
Usput, ako istovremeno pogledamo odraz strukture u ogledalu, tamo nećemo vidjeti zatvoreni krug.
I sa odabrane tačke posmatranja svojim očima vidimo čudo koje se dogodilo: postoji zatvoreni lanac od tri ugla. Samo nemojte mijenjati svoju tačku posmatranja da se ova iluzija ne uruši. Sada možete nacrtati objekt koji možete vidjeti ili postaviti sočivo fotoaparata na pronađenu tačku i dobiti fotografiju nemogućeg objekta.
Penrozeovi su bili prvi koji su se zainteresovali za ovaj fenomen. Iskoristili su mogućnosti koje se pojavljuju kada se trodimenzionalni prostor i trodimenzionalni objekti preslikavaju na dvodimenzionalnu ravan i skrenuli pažnju na neke nesigurnosti u dizajnu - otvorena struktura od tri ugla može se percipirati kao zatvoreno kolo.
Dokaz nemogućnosti Penroseovog trougla
Analizirajući karakteristike dvodimenzionalne slike trodimenzionalnih objekata na ravni, shvatili smo kako karakteristike ovog prikaza vode do nemogućeg trougla. Možda će nekoga zanimati čisto matematički dokaz.
Izuzetno je lako dokazati da nemoguć trougao ne postoji, jer je svaki njegov ugl pravi, a njihov zbir je 270 stepeni umesto „pozicioniranih“ 180 stepeni.
Štaviše, čak i ako posmatramo nemoguć trougao zalijepljen iz uglova manjih od 90 stepeni, onda u ovom slučaju možemo dokazati da nemoguć trougao ne postoji.
Vidimo tri ravne ivice. Seku se u parovima duž pravih linija. Ravnine koje sadrže ova lica su ortogonalne u parovima, tako da se sijeku u jednoj tački.
Osim toga, linije međusobnog presjeka ravnina moraju prolaziti kroz ovu tačku. Zbog toga se prave 1, 2, 3 moraju seći u jednoj tački.
Ali to nije istina. Stoga je predstavljeni dizajn nemoguć.
"Nemoguća" umjetnost
Sudbina ove ili one ideje - naučne, tehničke, političke - zavisi od mnogih okolnosti. I ne manje od svega, zavisi od toga u kojoj će tačno formi ova ideja biti predstavljena, u kojoj će se formi pojaviti široj javnosti. Hoće li utjelovljenje biti suhoparno i teško uočljivo, ili će, obrnuto, manifestacija ideje biti svijetla, privući našu pažnju čak i protiv naše volje.
Nemogući trougao ima srećnu sudbinu. Godine 1961. holandski umjetnik Moritz Escher završio je litografiju koju je nazvao Vodopad. Umjetnik je prešao dug, ali brz put od same ideje nemogućeg trougla do njegovog zadivljujućeg umjetničkog utjelovljenja. Prisjetimo se da se članak Penrosesa pojavio 1958. godine.
"Vodopad" je zasnovan na dva prikazana nemoguća trougla. Jedan trougao je veliki, a drugi trougao se nalazi unutar njega. Može se činiti da su prikazana tri identična nemoguća trougla. Ali ovo nije poenta; predstavljeni dizajn je prilično složen.
Na prvi pogled, njegova apsurdnost neće biti svima odmah vidljiva, jer je svaka prikazana veza moguća. kako kažu, lokalno, odnosno na maloj površini crteža, takav dizajn je izvediv... Ali općenito je nemoguće! Njegovi pojedinačni komadi se ne uklapaju, ne slažu jedan s drugim.
A da bismo ovo razumjeli, moramo uložiti određene intelektualne i vizualne napore.
Idemo na putovanje kroz aspekte strukture. Ovaj put je izvanredan po tome što duž njega, kako nam se čini, nivo u odnosu na horizontalnu ravan ostaje nepromijenjen. Krećući se ovom stazom, niti idemo gore niti silazimo.
I sve bi bilo u redu, poznato, da na kraju puta – naime na tački – ne bismo otkrili da smo se, u odnosu na početnu, polaznu tačku, nekako uspravili okomito na neki misteriozan, nezamisliv način!
Da bismo došli do ovog paradoksalnog rezultata, moramo izabrati upravo ovu putanju, a takođe pratiti nivo u odnosu na horizontalnu ravan... Nije lak zadatak. U svojoj odluci Escher je pritekla u pomoć...vode. Prisjetimo se pjesme o pokretu iz prekrasnog vokalnog ciklusa Franca Schuberta "The Beautiful Miller's Wife":
I prvo u mašti, a zatim pod rukom divnog majstora, gole i suhe građevine pretvaraju se u akvadukte kroz koje teku čisti i brzi potoci vode. Njihovo kretanje zarobi naš pogled i sada, protiv naše volje, jurimo nizvodno, prateći sve zavoje i zavoje staze, padamo niz tok, padamo na oštrice vodenog mlina, pa opet jurimo nizvodno...
Zaobiđemo ovu stazu jednom, dvaput, tri puta... i tek tada shvatimo: krećući se dole, nekako se fantastično dižemo na vrh! Prvobitno iznenađenje se razvija u neku vrstu intelektualne nelagode. Čini se da smo postali žrtva neke praktične šale, predmet neke šale koju još nismo razumjeli.
I opet ponavljamo ovu stazu čudnim kanalom, sada polako, oprezno, kao da se plašimo trika iz paradoksalne slike, kritički sagledavajući sve što se dešava na ovoj misterioznoj stazi.
Pokušavamo razotkriti misteriju koja nas je zadivila, a iz njenog zatočeništva ne možemo pobjeći sve dok ne pronađemo skriveno proljeće koje leži u njegovoj osnovi i dovede nezamislivi vihor u neprekidni pokret.
Umjetnik nam posebno naglašava i nameće percepciju svoje slike kao slike stvarnih trodimenzionalnih objekata. Volumetričnost je naglašena slikom vrlo stvarnih poliedara na kulama, opekom sa najpreciznijim prikazom svake cigle u zidovima akvadukta, te uzdižućim terasama sa vrtovima u pozadini. Sve je osmišljeno da uvjeri gledaoca u realnost onoga što se dešava. A zahvaljujući umjetnosti i izvrsnoj tehnologiji, ovaj cilj je postignut.
Kada se izvučemo iz zarobljeništva u koje pada naša svest, počinjemo da upoređujemo, kontrastiramo, analiziramo, otkrivamo da se osnova, izvor ove slike krije u karakteristikama dizajna.
I dobili smo još jedan - "fizički" dokaz nemogućnosti "nemogućeg trougla": da takav trokut postoji, postojao bi i Escherov "Vodopad", koji je u suštini vječni motor. Ali vječni motor je nemoguć, stoga je nemoguć i „nemogući trougao“. A možda je ovaj “dokaz” najuvjerljiviji.
Šta je Moritza Ešera učinilo fenomenom, jedinstvenim koji nije imao očigledne prethodnike u umetnosti i koji se ne može imitirati? Ovo je kombinacija ravni i volumena, pozorna pažnja na bizarne forme mikrosvijeta - žive i nežive, na neobične točke gledišta na obične stvari. Glavni efekat njegovih kompozicija je efekat pojave nemogućih odnosa između poznatih objekata. Na prvi pogled, ove situacije mogu i uplašiti i nasmejati vas. Možete radosno gledati zabavu koju umjetnik nudi, ili možete ozbiljno uroniti u dubine dijalektike.
Moritz Escher je pokazao da je svijet možda potpuno drugačiji od onoga kako ga mi vidimo i navikli smo da ga percipiramo – samo ga trebamo pogledati iz drugog, novog ugla!
Moritz Escher
Moritz Ešer je imao više sreće kao naučnik nego kao umetnik. Njegove gravure i litografije smatrane su ključevima za dokaz teorema ili originalnih protuprimjera koji su prkosili zdravom razumu. U najgorem slučaju, smatrani su odličnim ilustracijama za naučne rasprave o kristalografiji, teoriji grupa, kognitivnoj psihologiji ili kompjuterskoj grafici. Moritz Escher je radio na polju odnosa između prostora, vremena i njihovog identiteta, koristeći osnovne uzorke mozaika i primjenjujući transformacije na njih. Ovo je veliki majstor optičkih iluzija. Escherove gravure ne prikazuju svijet formula, već ljepotu svijeta. Njihov intelektualni sastav radikalno je suprotan nelogičnim kreacijama nadrealista.
Holandski umjetnik Moritz Cornelius Escher rođen je 17. juna 1898. godine u pokrajini Holandiji. Kuća u kojoj je Escher rođen je danas muzej.
Od 1907. Moritz je studirao stolariju i svirao klavir i učio u srednjoj školi. Moritzove ocjene iz svih predmeta su bile loše, izuzev crtanja. Učitelj likovne kulture primijetio je dječakov talenat i naučio ga da radi gravure na drvetu.
Godine 1916. Escher je završio svoj prvi grafički rad, gravuru na ljubičastom linoleumu - portret njegovog oca G. A. Eschera. Posjećuje atelje umjetnika Gerta Stiegemanna, koji je imao štampariju. Na ovoj presi su štampane prve Escherove gravure.
Godine 1918-1919, Escher je pohađao tehničku školu u holandskom gradu Delftu. Dobija odgodu vojnog roka kako bi nastavio studije, ali zbog lošeg zdravlja Moritz nije uspio da se nosi sa nastavnim planom i programom i izbačen je. Kao rezultat toga, nikada nije dobio visoko obrazovanje. Studira na Školi za arhitekturu i ornament u gradu Harlemu, gdje uzima časove crtanja kod Samuela Geserina de Mesquitea, koji je utjecao na Escherov život i rad.
Godine 1921. porodica Escher je posjetila Rivijeru i Italiju. Fasciniran vegetacijom i cvijećem mediteranske klime, Moritz je napravio detaljne crteže kaktusa i stabala maslina. Skicirao je mnoge skice planinskih pejzaža, koje su kasnije bile osnova njegovih radova. Kasnije će se stalno vraćati u Italiju, koja će mu služiti kao izvor inspiracije.
Escher počinje eksperimentirati u novom smjeru za sebe; čak i tada se u njegovim radovima nalaze zrcalne slike, kristalne figure i sfere.
Kraj dvadesetih se pokazao kao vrlo plodan period za Moritza. Njegov rad je prikazan na mnogim izložbama u Holandiji, a do 1929. njegova popularnost je dostigla takav nivo da je u jednoj godini održano pet samostalnih izložbi u Holandiji i Švajcarskoj. U tom periodu su Escherove slike prvi put nazvane mehaničkim i "logičkim".
Asher mnogo putuje. Živi u Italiji i Švicarskoj, Belgiji. Proučava maurske mozaike, izrađuje litografije i gravure. Na osnovu putopisnih skica stvara svoju prvu sliku nemoguće stvarnosti, Mrtvu prirodu sa ulicom.
Krajem tridesetih Escher nastavlja eksperimente s mozaicima i transformacijama. On stvara mozaik u obliku dvije ptice koje lete jedna prema drugoj, što je činilo osnovu slike „Dan i noć“.
U maju 1940. godine nacisti su okupirali Holandiju i Belgiju, a 17. maja Brisel je ušao u okupacionu zonu, u kojoj su tada živjeli Escher i njegova porodica. Pronalaze kuću u Varni i useljavaju se u februaru 1941. Ašer će živeti u ovom gradu do kraja svojih dana.
Godine 1946. Escher se počeo zanimati za tehnologiju duboke štampe. I iako je ova tehnologija bila mnogo složenija od one koju je Escher ranije koristio i zahtijevala je više vremena za kreiranje slike, rezultati su bili impresivni - fine linije i precizan prikaz senki. Jedno od najpoznatijih radova u tehnici duboke štampe, “Kap rose”, završeno je 1948. godine.
Godine 1950. Moritz Escher je stekao popularnost kao predavač. Zatim, 1950. godine, njegova prva lična izložba održana je u Sjedinjenim Državama i njegovi radovi su počeli da se kupuju. Dana 27. aprila 1955. Moritz Escher je proglašen vitezom i postao plemić.
Sredinom 50-ih Escher je kombinovao mozaike sa figurama koje se protežu u beskonačnost.
Početkom 60-ih godina objavljena je prva knjiga sa Escherovim djelima, Grafiek en Tekeningen, u kojoj je 76 djela komentirao sam autor. Knjiga je pomogla u stjecanju razumijevanja među matematičarima i kristalografima, uključujući neke u Rusiji i Kanadi.
U avgustu 1960. Escher je održao predavanje o kristalografiji na Kembridžu. Matematički i kristalografski aspekti Escherovog rada postaju veoma popularni.
Godine 1970, nakon nove serije operacija, Escher se preselio u novu kuću u Larenu, koja je uključivala studio, ali ga je loše zdravlje spriječilo da mnogo radi.
Godine 1971. Moritz Escher je umro u 73. godini. Escher je poživio dovoljno dugo da vidi The World of M. C. Escher preveden na engleski i bio je vrlo zadovoljan time.
Na web stranicama matematičara i programera mogu se naći razne nemoguće slike. Najkompletnija verzija od onih koje smo pogledali, po našem mišljenju, je web stranica Vlada Aleksejeva
Ova stranica ne predstavlja samo dobro poznate slike, uključujući i one M. Eschera, već i animirane slike, smiješne crteže nemogućih životinja, novčiće, marke itd. Ova stranica je živa, povremeno se ažurira i dopunjava nevjerojatnim crtežima.
Izmišljeno je nekoliko nemogućih figura - ljestve, trokut i X-zub. Ove brojke su zapravo trodimenzionalna slika su sasvim stvarni. Ali kada umjetnik projektuje volumen na papir, objekti se čine nemogućim. Trougao, koji se još naziva i "tribar", postao je divan primjer kako nemoguće postaje moguće kada se potrudite.
Sve ove brojke su prekrasne iluzije. Dostignuća ljudskog genija koriste umjetnici koji slikaju u imp art stilu.
Ništa nije nemoguće. Ovo se može reći za Penroseov trokut. Ovo je geometrijski nemoguća figura čiji se elementi ne mogu povezati. Na kraju krajeva, nemogući trougao je postao moguć. Švedski slikar Oscar Reutersvard je 1934. godine upoznao svijet sa nemogućim trouglom napravljenim od kocki. O. Reutersvard se smatra otkrićem ove vizuelne iluzije. U čast ovog događaja, ovaj crtež je kasnije odštampan na švedskoj poštanskoj marki.
A 1958. godine matematičar Roger Penrose objavio je u engleskom časopisu publikaciju o nemogućim figurama. On je bio taj koji je stvorio naučni model iluzije. Roger Penrose je bio nevjerovatan naučnik. Vodio je istraživanja u teoriji relativnosti, kao i fascinantnoj kvantnoj teoriji. Zajedno sa S. Hawkingom dobio je Vukovu nagradu.
Poznato je da je umjetnik Maurits Escher, pod utiskom ovog članka, naslikao svoje nevjerovatno djelo - litografiju "Vodopad". Ali da li je moguće napraviti Penroseov trougao? Kako to učiniti, ako je moguće?
Tribar i stvarnost
Iako se figura smatra nemogućom, napraviti Penroseov trokut vlastitim rukama lako je kao ljuštenje krušaka. Može se napraviti od papira. Ljubitelji origamija jednostavno nisu mogli zanemariti tribar i ipak su pronašli način da stvore i drže u svojim rukama stvar koja se ranije činila izvan mašte naučnika.
Međutim, varaju nas vlastite oči kada gledamo projekciju trodimenzionalnog objekta iz tri okomite linije. Posmatrač misli da vidi trougao, iako u stvari ne vidi.
Geometrijski zanati
Tribar trougao, kao što je rečeno, zapravo nije trougao. Penroseov trougao je iluzija. Samo pod određenim uglom predmet izgleda kao jednakostranični trokut. Međutim, predmet u svom prirodnom obliku su 3 lica kocke. U takvoj izometrijskoj projekciji na ravnini se poklapaju 2 ugla: onaj koji je najbliži posmatraču i najudaljeniji.
Optička iluzija se, naravno, brzo otkriva čim podignete ovaj predmet. Sjena također otkriva iluziju, jer sjena tribara jasno pokazuje da se uglovi u stvarnosti ne poklapaju.
Tribar od papira. Šema
Kako napraviti Penroseov trokut vlastitim rukama od papira? Ima li šema za ovaj model? Danas su izmišljena 2 rasporeda kako bi se presavio takav nemoguć trougao. Osnovna geometrija vam tačno govori kako da presavijete objekat.
Da biste presavili Penroseov trokut vlastitim rukama, morat ćete izdvojiti samo 10-20 minuta. Morate pripremiti ljepilo, makaze za nekoliko rezova i papir na kojem je ispisan dijagram.
Iz takvog blanka dobija se najpopularniji nemogući trokut. Origami zanat nije previše težak za napraviti. Stoga će sigurno uspjeti prvi put, čak i za školarca koji je tek počeo da uči geometriju.
Kao što vidite, ispada da je to vrlo lijep zanat. Drugi komad izgleda drugačije i savija se drugačije, ali sam Penroseov trokut na kraju izgleda isto.
Koraci za kreiranje Penroseovog trokuta od papira.
Odaberite jedan od 2 prazna mjesta koja vam odgovaraju, kopirajte datoteku i odštampajte. Ovdje dajemo primjer drugog modela rasporeda, koji je malo jednostavniji.
Sama origami praznina "Tribar" već sadrži sve potrebne savjete. Zapravo, upute za krug nisu potrebne. Dovoljno je samo da ga preuzmete na debeli papirni medij, inače će biti nezgodno raditi i figura neće uspjeti. Ako ne možete odmah ispisati na kartonu, tada morate pričvrstiti skicu na novi materijal i izrezati crtež duž konture. Radi praktičnosti, možete pričvrstiti spajalicama.
Šta dalje? Kako savijati Penroseov trokut vlastitim rukama korak po korak? Morate slijediti ovaj akcioni plan:
- Koristeći poleđinu makaza, nacrtajte linije gdje trebate savijati, prema uputama. Savijte sve linije
- Vršimo rezove gdje je potrebno.
- Koristeći PVA, lijepimo one komadiće koji su namijenjeni da dio drže zajedno u jednu cjelinu.
Gotovi model se može prefarbati u bilo koju boju, ili možete unaprijed uzeti karton u boji za rad. Ali čak i ako je predmet napravljen od bijelog papira, svejedno, svako ko prvi put uđe u vašu dnevnu sobu sigurno će biti obeshrabren takvim zanatom.
Crtanje trougla
Kako nacrtati Penroseov trougao? Ne vole svi da rade origami, ali mnogi ljudi vole da crtaju.
Za početak nacrtajte običan kvadrat bilo koje veličine. Zatim se iznutra nacrta trokut čija je osnova donja strana kvadrata. U svaki kut je postavljen mali pravougaonik čije su sve strane izbrisane; Ostaju samo one stranice koje su susjedne trokutu. Ovo je neophodno kako bi se osiguralo da su linije ravne. Rezultat je trokut sa skraćenim uglovima.
Sljedeća faza je slika druge dimenzije. S lijeve strane gornjeg donjeg ugla povlači se strogo ravna linija. Ista linija se povlači počevši od donjeg lijevog ugla, a malo nije dovedena do prve linije 2. dimenzije. Druga linija se povlači iz desnog ugla paralelno sa donjom stranom glavne figure.
Posljednja faza je crtanje treće unutar druge dimenzije koristeći još tri male linije. Male linije počinju od linija druge dimenzije i upotpunjuju sliku trodimenzionalnog volumena.
Ostale Penroseove figure
Koristeći istu analogiju, možete nacrtati druge oblike - kvadrat ili šesterokut. Iluzija će se održati. Ali ipak, ove brojke više nisu tako nevjerovatne. Takvi poligoni jednostavno izgledaju vrlo uvrnuti. Moderna grafika omogućava stvaranje zanimljivijih verzija poznatog trokuta.
Osim trougla, svjetski poznato je i Penroseovo stepenište. Ideja je da se prevari oko, čineći da izgleda da se osoba neprekidno diže nagore kada se kreće u smeru kazaljke na satu, i naniže kada se kreće suprotno.
Kontinuirano stepenište je najpoznatije po povezanosti sa slikom M. Eschera „Uspon i spuštanje“. Zanimljivo je da kada čovjek pređe sva 4 kata ovog iluzornog stepeništa, on uvijek završi tamo gdje je krenuo.
Postoje i drugi poznati objekti koji obmanjuju ljudski um, kao što je nemogući blok. Ili kutija napravljena po istim zakonima iluzije sa rubovima koji se ukrštaju. Ali svi ovi objekti su već izmišljeni na osnovu članka izuzetnog naučnika - Rogera Penrosea.
Nemogući trougao u Pertu
Odaje se počast figuri nazvanoj po matematičaru. Njoj je podignut spomenik. 1999. godine u jednom od gradova Australija (Perth) ugrađen je veliki Penrose trougao od aluminijuma, koji je visok 13 metara. Turisti uživaju u slikanju pored aluminijumskog giganta. Ali ako odaberete drugačiji ugao za fotografiju, obmana postaje očigledna.
Pozdrav dragi čitaoci blog stranice. Rustam Zakirov je u kontaktu i imam još jedan članak za vas, čija je tema kako nacrtati Penroseov trokut. Danas želim da vam pokažem kako je lako i jednostavno nacrtati nemogući trougao. Nacrtaćemo dva crteža ovog trougla, jedan će biti običan, a drugi će biti pravi 3D crtež. I sve će to biti iznenađujuće jednostavno. Možete dobiti pravi 3D crtež ovog trougla. Sumnjam da će vam se to još igdje pokazati, pa pročitajte članak do kraja i vrlo pažljivo.
Za naše crteže, kao i uvijek, trebat će nam: komad papira, jednostavne olovke (po mogućnosti jedna "srednja", "druga meka") i nekoliko olovaka u boji ili flomastera.
Kako lako nacrtati bilo koji 3D crtež.
Ovaj nemogući trougao sam izvukao iz ove obične slike, koju sam jednostavno našao na internetu. Evo je.
I onda sam ga za par minuta konvertovao u 3D uz pomoć . Na ovaj način možete pretvoriti gotovo svaku sliku u 3D. Ako želite učiti na isti način, kliknite ovdje.
I prelazimo na naš crtež.
Nacrtajte pravilan uzorak trougla.
KORAK 1. Prevodimo sa ekrana monitora.
Da biste nacrtali trokut, morat ćete uraditi sljedeće. Uzmete svoj komad papira i naslonite ga na trougao na ekranu monitora i jednostavno ga prevedete.
A pošto naš trougao nije nimalo složen, dovoljno je staviti samo glavne tačke u sve njegove uglove.
A onda gledamo original i povezujemo ove točke pomoću ravnala. Imam ga ovako.
Naš trougao je spreman. Možete ga ostaviti i ovako, ali hajde da ga još malo ukrasimo. Ovo sam uradila koristeći olovke u boji. Nakon što smo u potpunosti ukrasili naš trokut, ponovo ga u potpunosti ocrtavamo jednostavnom mekom olovkom.
U ovom trenutku, naš uobičajeni Penroseov trokut je potpuno spreman i prelazimo na isti trokut.
Nacrtajte 3D crtež trougla.
KORAK 1. Mi prevodimo.
Nastavljamo prema istoj shemi kao i kod običnog uzorka. Dajem vam gotov trougao, već preveden u 3D format. Evo ga.
A ti to prevedi. Sve radimo isto kao i sa običnim uzorkom. Uzimate svoj list papira, prislonite ga na ekran monitora, list papira svijetli kroz njega i jednostavno prebacujete gotov 3D crtež na svoj list papira.
Ovo mi se desilo.
Veličina trokuta se može povećati ili smanjiti. Da biste to učinili, trebate samo promijeniti skalu vašeg monitora. Držite pritisnut taster Ctrl i okrenite točkić miša.
Možemo sa sigurnošću reći da je naš 3D crtež već spreman. Trebalo mi je oko 3 minute. U principu, ovdje možemo sigurno završiti, ali hajde da još malo ukrasimo naš trokut.