Na školskom kursu matematike dijete prvi put čuje izraz „jednačina“. Šta je ovo, hajde da pokušamo da shvatimo zajedno. U ovom članku ćemo pogledati vrste i metode rješenja.
Matematika. Jednačine
Za početak, predlažemo da shvatite sam koncept, šta je to? Kao što mnogi udžbenici matematike kažu, jednačina su neki izrazi između kojih mora postojati znak jednakosti. Ovi izrazi sadrže slova, takozvane varijable, čija se vrijednost mora pronaći.
Ovo je sistemski atribut koji mijenja svoju vrijednost. Dobar primjer varijabli su:
- temperatura zraka;
- visina djeteta;
- težina i tako dalje.
U matematici se označavaju slovima, na primjer, x, a, b, c... Obično matematički zadatak ide ovako: pronađite vrijednost jednačine. To znači da je potrebno pronaći vrijednost ovih varijabli.
Sorte
Jednačina (o čemu smo govorili u prethodnom pasusu) može biti sljedećeg oblika:
- linearno;
- kvadrat;
- kubni;
- algebarski;
- transcendentalno.
Za detaljnije upoznavanje sa svim vrstama, razmotrit ćemo svaku zasebno.
Linearna jednadžba
Ovo je prva vrsta s kojom se upoznaju školarci. Oni se rješavaju prilično brzo i jednostavno. Dakle, šta je linearna jednačina? Ovo je izraz oblika: ah=c. Nije posebno jasno, pa dajmo nekoliko primjera: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Pogledajmo primjere jednadžbi. Da bismo to uradili, moramo prikupiti sve poznate podatke na jednoj strani, a nepoznate na drugoj strani: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Ovdje su korištena elementarna pravila matematike: a*c=e, iz ovoga c=e/a; a=e/c. Da bismo dovršili rješenje jednačine, izvršimo jednu radnju (u našem slučaju dijeljenje) x = 13; x=8; x=5. Ovo su bili primjeri množenja, sada pogledajmo oduzimanje i sabiranje: x+3=9; 10x-5=15. Prenosimo poznate podatke u jednom smjeru: x=9-3; x=20/10. Izvršite posljednju radnju: x=6; x=2.
Moguće su i varijante linearnih jednačina, gdje se koristi više od jedne varijable: 2x-2y=4. Da bi se riješilo potrebno je svakom dijelu dodati 2y, dobijamo 2x-2y + 2y = 4-2y, kao što smo primijetili, na lijevoj strani znaka jednakosti -2y i +2y se poništavaju, ostavljajući nam : 2x = 4 -2u. Poslednji korak je da svaki deo podelimo sa dva, dobijamo odgovor: x je jednako dva minus y.
Problemi sa jednačinama se nalaze čak i na Ahmesovim papirusima. Evo jednog problema: broj i njegov četvrti dio daju 15. Da bismo ga riješili, pišemo sljedeću jednačinu: x plus jedna četvrtina x jednako je petnaest. Vidimo još jedan primjer baziran na rezultatu rješenja, dobijamo odgovor: x=12. Ali ovaj problem se može riješiti na drugi način, naime egipatski ili, kako se drugačije naziva, metodom pretpostavke. Papirus koristi sljedeće rješenje: uzmite četiri i četvrtinu, odnosno jednu. Ukupno daju pet, sada se petnaest mora podijeliti sa zbirom, dobijamo tri, posljednji korak je pomnožiti tri sa četiri. Dobijamo odgovor: 12. Zašto u rješenju dijelimo petnaest sa pet? Tako saznajemo koliko puta petnaest, odnosno rezultat koji treba da dobijemo je manji od pet. Problemi su se rješavali na ovaj način u srednjem vijeku, postao je poznat kao metoda lažne pozicije.
Kvadratne jednadžbe
Pored prethodno razmatranih primjera, postoje i drugi. Koje tačno? Kvadratna jednačina, šta je to? Izgledaju kao sjekira 2 +bx+c=0. Da biste ih riješili, morate se upoznati s nekim konceptima i pravilima.
Prvo, morate pronaći diskriminant koristeći formulu: b 2 -4ac. Postoje tri moguća ishoda odluke:
- diskriminanta je veća od nule;
- manje od nule;
- jednaka nuli.
U prvoj opciji odgovor možemo dobiti iz dva korijena, koji se nalaze prema formuli: -b+-koren diskriminanta podijeljen sa dvostrukim prvim koeficijentom, odnosno 2a.
U drugom slučaju, jednačina nema korijena. U trećem slučaju, korijen se nalazi pomoću formule: -b/2a.
Pogledajmo primjer kvadratne jednadžbe za detaljniji uvod: tri x na kvadrat minus četrnaest x minus pet jednako je nuli. Za početak, kao što je ranije napisano, tražimo diskriminant, u našem slučaju je jednak 256. Imajte na umu da je rezultirajući broj veći od nule, stoga bi trebali dobiti odgovor koji se sastoji od dva korijena. Dobijeni diskriminant zamjenjujemo u formulu za pronalaženje korijena. Kao rezultat, imamo: x je jednako pet i minus jedna trećina.
Posebni slučajevi u kvadratnim jednačinama
Ovo su primjeri u kojima su neke vrijednosti nula (a, b ili c), a moguće i više od jedan.
Na primjer, uzmimo sljedeću jednačinu, koja je kvadratna: dva x na kvadrat jednako je nuli, ovdje vidimo da su b i c jednaki nuli. Hajde da pokušamo da to rešimo, da bismo to uradili, podelimo obe strane jednačine sa dva, imamo: x 2 =0. Kao rezultat, dobijamo x=0.
Drugi slučaj je 16x 2 -9=0. Ovdje samo b=0. Hajde da riješimo jednačinu, prebacimo slobodni koeficijent na desnu stranu: 16x 2 = 9, sada svaki dio podijelimo sa šesnaest: x 2 = devet šesnaestih. Pošto imamo x na kvadrat, korijen od 9/16 može biti negativan ili pozitivan. Odgovor pišemo na sljedeći način: x je plus/minus tri četvrtine.
Drugi mogući odgovor je da jednačina uopće nema korijen. Pogledajmo ovaj primjer: 5x 2 +80=0, ovdje b=0. Da biste riješili, bacite slobodni član na desnu stranu, nakon ovih radnji dobijamo: 5x 2 = -80, sada svaki dio dijelimo sa pet: x 2 = minus šesnaest. Ako kvadriramo bilo koji broj, nećemo dobiti negativnu vrijednost. Stoga je naš odgovor: jednačina nema korijen.
Trinomska ekspanzija
Zadatak kvadratne jednadžbe može zvučati i ovako: faktor kvadratnog trinoma. Ovo se može uraditi korišćenjem sledeće formule: a(x-x 1)(x-x 2). Da biste to učinili, kao iu drugoj verziji zadatka, potrebno je pronaći diskriminant.
Razmotrimo sljedeći primjer: 3x 2 -14x-5, faktor trinoma. Pronalazimo diskriminanta koristeći nam već poznatu formulu, ispostavilo se da je jednako 256. Odmah primjećujemo da je 256 veće od nule, pa će jednadžba imati dva korijena. Nalazimo ih, kao u prethodnom pasusu, imamo: x = pet i minus jedna trećina. Koristimo formulu za faktoring trinoma: 3(x-5)(x+1/3). U drugoj zagradi dobili smo znak jednakosti, jer formula sadrži znak minus, a korijen je također negativan, koristeći osnovna znanja matematike, u zbiru imamo znak plus. Da pojednostavimo, pomnožimo prvi i treći član jednačine da se riješimo razlomka: (x-5)(x+1).
Jednačine se svode na kvadratne
U ovom dijelu ćemo naučiti kako riješiti složenije jednadžbe. Počnimo odmah s primjerom:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Možemo uočiti elemente koji se ponavljaju: (x 2 - 2x), da bismo ga riješili zgodno nam je zamijeniti ga drugom promjenljivom, a zatim odmah riješite uobičajenu kvadratnu jednadžbu. Napominjemo da ćemo u takvom zadatku dobiti četiri korijena, to vas ne bi trebalo plašiti. Označavamo ponavljanje varijable a. Dobijamo: a 2 -2a-3=0. Naš sljedeći korak je pronalaženje diskriminanta nove jednačine. Dobijamo 16, nađemo dva korijena: minus jedan i tri. Sjećamo se da smo izvršili zamjenu, zamijenili ove vrijednosti, kao rezultat imamo jednačine: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Rješavamo ih u prvom odgovoru: x je jednako jedan, u drugom: x je jednako minus jedan i tri. Odgovor pišemo na sljedeći način: plus/minus jedan i tri. Odgovor se po pravilu piše uzlaznim redom.
Kubične jednadžbe
Razmotrimo još jednu moguću opciju. Govorit ćemo o kubičnim jednačinama. Izgledaju ovako: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. U nastavku ćemo pogledati primjere jednadžbi, ali prvo, malo teorije. Mogu imati tri korijena, a postoji i formula za pronalaženje diskriminanta za kubnu jednačinu.
Pogledajmo primjer: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Kako to riješiti? Da bismo to učinili, jednostavno stavimo x iz zagrada: x(3x 2 +4x+2)=0. Sve što treba da uradimo je da izračunamo korene jednačine u zagradama. Diskriminanta kvadratne jednadžbe u zagradama je manja od nule, na osnovu toga izraz ima korijen: x=0.
Algebra. Jednačine
Pređimo na sljedeći prikaz. Sada ćemo se ukratko osvrnuti na algebarske jednačine. Jedan od zadataka je sljedeći: faktor 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Najprikladniji način bi bio sljedeće grupisanje: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Imajte na umu da smo 8x 2 iz prvog izraza predstavili kao zbir 3x 2 i 5x 2. Sada iz svake zagrade izvadimo zajednički faktor 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). Vidimo da imamo zajednički faktor: x na kvadrat plus jedan, vadimo ga iz zagrada: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Dalje proširenje nije moguće jer obje jednačine imaju negativan diskriminant.
Transcendentalne jednadžbe
Predlažemo da se bavite sljedećom vrstom. To su jednadžbe koje sadrže transcendentalne funkcije, naime logaritamske, trigonometrijske ili eksponencijalne. Primjeri: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 i tako dalje. Kako se rješavaju naučit ćete na kursu trigonometrije.
Funkcija
Posljednji korak je razmatranje koncepta jednadžbe funkcije. Za razliku od prethodnih opcija, ovaj tip nije riješen, već se na osnovu njega gradi graf. Da biste to učinili, vrijedi dobro analizirati jednadžbu, pronaći sve potrebne točke za konstrukciju i izračunati minimalne i maksimalne točke.
Linearne jednadžbe. Rješenje, primjeri.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Linearne jednadžbe.
Linearne jednačine nisu najteža tema u školskoj matematici. Ali postoje neki trikovi koji mogu zbuniti čak i obučenog učenika. Hajde da to shvatimo?)
Obično se linearna jednačina definira kao jednadžba oblika:
sjekira + b = 0 Gdje a i b– bilo koji broj.
2x + 7 = 0. Evo a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Ovdje a=0,1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Ovdje a=12, b=1/2
Ništa komplikovano, zar ne? Pogotovo ako ne primjećujete riječi: "gdje su a i b bilo koji brojevi"... A ako primijetite i nemarno razmislite o tome?) Uostalom, ako a=0, b=0(da li su mogući brojevi?), onda dobijamo smiješan izraz:
Ali to nije sve! ako, recimo, a=0, A b=5, Ispostavilo se da je ovo nešto potpuno neobično:
Što je dosadno i podriva samopouzdanje u matematiku, da...) Pogotovo na ispitima. Ali od ovih čudnih izraza morate pronaći i X! Koji uopšte ne postoji. I, iznenađujuće, ovaj X je vrlo lako pronaći. Naučićemo to da radimo. U ovoj lekciji.
Kako prepoznati linearnu jednačinu po izgledu? Zavisi od izgleda.) Trik je u tome da linearne jednadžbe nisu samo jednadžbe oblika sjekira + b = 0 , ali i sve jednadžbe koje se transformacijama i simplifikacijama mogu svesti na ovaj oblik. I ko zna da li pada ili ne?)
U nekim slučajevima može se jasno prepoznati linearna jednačina. Recimo, ako imamo jednačinu u kojoj postoje samo nepoznanice prvog stepena i brojevi. A u jednačini nema razlomci podijeljeni sa nepoznato , važno je! I podjela po broj, ili brojčani razlomak - to je dobrodošlo! Na primjer:
Ovo je linearna jednadžba. Ovdje postoje razlomci, ali nema x u kvadratu, kocki, itd., i nema x u nazivnicima, tj. br podjela sa x. A evo jednačine
ne može se nazvati linearnim. Ovdje su svi X u prvom stepenu, ali ih ima podjela po izrazu sa x. Nakon pojednostavljenja i transformacija, možete dobiti linearnu jednačinu, kvadratnu jednačinu ili bilo šta što želite.
Ispada da je nemoguće prepoznati linearnu jednačinu u nekom komplikovanom primjeru dok je gotovo ne riješite. Ovo je uznemirujuće. Ali u zadacima se po pravilu ne pitaju za oblik jednačine, zar ne? Zadaci traže jednačine odlučiti. Ovo me čini srećnom.)
Rješavanje linearnih jednadžbi. Primjeri.
Cjelokupno rješenje linearnih jednačina sastoji se od identičnih transformacija jednačina. Inače, ove transformacije (njih dvije!) su osnova rješenja sve matematičke jednačine. Drugim riječima, rješenje bilo koji jednadžba počinje upravo ovim transformacijama. U slučaju linearnih jednadžbi, ono (rešenje) se zasniva na ovim transformacijama i završava se punim odgovorom. Ima smisla pratiti vezu, zar ne?) Štaviše, tamo postoje i primjeri rješavanja linearnih jednačina.
Prvo, pogledajmo najjednostavniji primjer. Bez ikakvih zamki. Pretpostavimo da trebamo riješiti ovu jednačinu.
x - 3 = 2 - 4x
Ovo je linearna jednadžba. Svi X su u prvom stepenu, nema podjele na X. Ali, u stvari, nije nam važno kakva je to jednačina. Moramo to riješiti. Shema je ovdje jednostavna. Sakupite sve sa X-ovima na lijevoj strani jednadžbe, sve bez X-ova (brojeva) na desnoj strani.
Da biste to učinili, morate izvršiti transfer - 4x na lijevu stranu, uz promjenu znaka, naravno, i - 3 - nadesno. Usput, ovo je prva identična transformacija jednačina. Iznenađen? To znači da niste pratili link, ali uzalud...) Dobijamo:
x + 4x = 2 + 3
Evo sličnih, smatramo:
Šta nam je potrebno za potpunu sreću? Da, tako da je čisto X na lijevoj strani! Pet je na putu. Riješite se petorice uz pomoć druga identična transformacija jednačina. Naime, obje strane jednačine podijelimo sa 5. Dobijamo gotov odgovor:
Elementarni primjer, naravno. Ovo je za zagrevanje.) Nije baš jasno zašto sam se setio identičnih transformacija ovde? UREDU. Uzmimo bika za rogove.) Odlučimo nešto solidnije.
Na primjer, evo jednadžbe:
Gdje da počnemo? Sa X-ovima - lijevo, bez X-a - desno? Moglo bi biti tako. Malim koracima duž dugog puta. Ili možete to učiniti odmah, na univerzalan i moćan način. Ako, naravno, imate identične transformacije jednačina u svom arsenalu.
Postavljam vam ključno pitanje: Šta vam se najviše ne sviđa kod ove jednačine?
95 od 100 ljudi će odgovoriti: razlomci ! Odgovor je tačan. Pa hajde da ih se riješimo. Stoga odmah počinjemo sa druga transformacija identiteta. Čime je potrebno pomnožiti razlomak s lijeve strane tako da se nazivnik potpuno smanji? Tako je, u 3. A desno? Sa 4. Ali matematika nam omogućava da pomnožimo obje strane sa isti broj. Kako možemo izaći? Pomnožimo obje strane sa 12! One. na zajednički imenilac. Tada će se i tri i četiri smanjiti. Ne zaboravite da svaki dio trebate pomnožiti u potpunosti. Evo kako izgleda prvi korak:
Proširivanje zagrada:
Bilješka! Brojač (x+2) Stavio sam to u zagrade! To je zato što se pri množenju razlomaka množi cijeli brojilac! Sada možete smanjiti razlomke:
Proširite preostale zagrade:
Nije primjer, već čisto zadovoljstvo!) Prisjetimo se sada čarolije iz osnovne škole: sa X - lijevo, bez X - desno! I primijenite ovu transformaciju:
Evo nekoliko sličnih:
I podijelite oba dijela sa 25, tj. ponovo primijeni drugu transformaciju:
To je sve. odgovor: X=0,16
Imajte na umu: da bismo originalnu zbunjujuću jednadžbu doveli u lijep oblik, koristili smo dva (samo dva!) transformacije identiteta– prevođenje lijevo-desno sa promjenom predznaka i množenjem-dijeljenjem jednačine istim brojem. Ovo je univerzalna metoda! Na ovaj način ćemo raditi sa bilo koji jednačine! Apsolutno bilo koga. Zato stalno zamorno ponavljam ove identične transformacije.)
Kao što vidite, princip rješavanja linearnih jednadžbi je jednostavan. Uzimamo jednačinu i pojednostavljujemo je koristeći identične transformacije dok ne dobijemo odgovor. Ovdje su glavni problemi u proračunima, a ne u principu rješenja.
Ali... U procesu rješavanja najelementarnijih linearnih jednačina ima takvih iznenađenja da vas mogu dovesti u jaku omamljenost...) Na sreću, takva iznenađenja mogu biti samo dva. Nazovimo ih posebnim slučajevima.
Posebni slučajevi u rješavanju linearnih jednačina.
Prvo iznenađenje.
Pretpostavimo da naiđete na vrlo osnovnu jednačinu, nešto poput:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Pomalo dosadno, pomeramo ga sa X ulevo, bez X - udesno... Sa promenom predznaka sve je savršeno... Dobijamo:
2x-5x+3x=5-2-3
Računamo, i... ups!!! Dobijamo:
Ova jednakost sama po sebi nije sporna. Nula je zaista nula. Ali X nedostaje! I moramo napisati u odgovoru, čemu je x jednako? Inače, rješenje se ne računa, zar ne...) Zastoj?
Miran! U takvim sumnjivim slučajevima, najopštija pravila će vas spasiti. Kako riješiti jednačine? Šta znači riješiti jednačinu? Ovo znači, pronađite sve vrijednosti x koje će nam, kada se zamijene u originalnu jednadžbu, dati tačnu jednakost.
Ali mi imamo istinsku jednakost već dogodilo! 0=0, koliko tačnije?! Ostaje da shvatimo pri čemu se to događa. U koje se vrijednosti X mogu zamijeniti original jednadžba ako su ova x hoće li oni i dalje biti svedeni na nulu? Hajde?)
Da!!! X-ovi se mogu zamijeniti bilo koji! koje želite? Najmanje 5, najmanje 0,05, najmanje -220. I dalje će se smanjiti. Ako mi ne vjerujete, možete provjeriti.) Zamijenite bilo koju vrijednost X u original jednačinu i izračunaj. Sve vreme ćete dobijati čistu istinu: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tako dalje.
Evo vašeg odgovora: x - bilo koji broj.
Odgovor se može napisati različitim matematičkim simbolima, suština se ne mijenja. Ovo je potpuno tačan i potpun odgovor.
Drugo iznenađenje.
Uzmimo istu elementarnu linearnu jednačinu i promijenimo samo jedan broj u njoj. Evo šta ćemo odlučiti:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Nakon istih identičnih transformacija, dobijamo nešto intrigantno:
Volim ovo. Riješili smo linearnu jednačinu i dobili smo čudnu jednakost. U matematičkom smislu, dobili smo lažna jednakost. Ali jednostavno rečeno, to nije istina. Rave. Ali ipak, ova glupost je vrlo dobar razlog za ispravno rješenje jednadžbe.)
Opet razmišljamo na osnovu opštih pravila. Ono što će nam dati x, kada se zameni u originalnu jednačinu istinito jednakost? Da, nijedan! Ne postoje takvi X-ovi. Šta god da ubacite, sve će se smanjiti, samo će gluposti ostati.)
Evo vašeg odgovora: nema rješenja.
Ovo je također potpuno potpun odgovor. U matematici se takvi odgovori često nalaze.
Volim ovo. Sada se nadam da vas nestanak X-ova u procesu rješavanja bilo koje (ne samo linearne) jednačine neće nimalo zbuniti. Ovo je već poznata stvar.)
Sada kada smo riješili sve zamke u linearnim jednačinama, ima smisla riješiti ih.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.
Prvo, hajde da definišemo: šta je linearna jednačina i koja se zove najjednostavnija?
Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo do prvog stepena.
Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:
Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije korištenjem algoritma:
- Proširite zagrade, ako ih ima;
- Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
- Navedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
- Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.
Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad nakon svih ovih mahinacija koeficijent varijable $x$ pokaže jednakim nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:
- Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada ispadne nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj strani je broj koji nije nula. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
- Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.
Sada da vidimo kako sve ovo funkcionira na primjerima iz stvarnog života.
Primjeri rješavanja jednačina
Danas imamo posla sa linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.
Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:
- Prije svega, trebate proširiti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
- Zatim kombinirajte slično
- Na kraju, izolujte varijablu, tj. premjestite sve što je povezano s promjenljivom – termine u kojima je sadržana – na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje pomjerite na drugu stranu.
Zatim, po pravilu, trebate donijeti slične sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom “x” i dobićemo konačni odgovor.
U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se prave greške prilikom otvaranja zagrada ili prilikom izračunavanja „plusova“ i „minusa“.
Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Ove suptilnosti ćemo pogledati u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, s najjednostavnijim zadacima.
Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi
Prvo, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:
- Proširite zagrade, ako ih ima.
- Izolujemo varijable, tj. Sve što sadrži "X" pomeramo na jednu stranu, a sve bez "X" na drugu.
- Predstavljamo slične termine.
- Sve dijelimo koeficijentom “x”.
Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, u njoj postoje određene suptilnosti i trikovi, a sada ćemo ih upoznati.
Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi
Zadatak br. 1
Prvi korak zahtijeva da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Napomena: govorimo samo o pojedinačnim terminima. Hajde da to zapišemo:
Slične termine predstavljamo lijevo i desno, ali to je već urađeno ovdje. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite sa koeficijentom:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Tako da smo dobili odgovor.
Zadatak br. 2
U ovom problemu možemo vidjeti zagrade, pa ih proširimo:
I lijevo i desno vidimo približno isti dizajn, ali postupimo po algoritmu, tj. razdvajanje varijabli:
Evo nekoliko sličnih:
Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.
Zadatak br. 3
Treća linearna jednačina je zanimljivija:
\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]
Ovdje postoji nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, već im prethode različiti znakovi. Hajde da ih raščlanimo:
Izvodimo drugi nama već poznat korak:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Hajde da izračunamo:
Izvodimo posljednji korak - podijelimo sve sa koeficijentom “x”:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina
Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, želio bih reći sljedeće:
- Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
- Čak i ako postoje korijeni, među njima može biti nula - u tome nema ništa loše.
Nula je isti broj kao i ostali; ne treba ga ni na koji način diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.
Druga karakteristika je vezana za otvaranje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti pomoću standardnih algoritama: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.
Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i štetne greške u srednjoj školi, kada se takve stvari uzimaju zdravo za gotovo.
Rješavanje složenih linearnih jednadžbi
Pređimo na složenije jednadžbe. Sada će konstrukcije postati složenije i prilikom izvođenja različitih transformacija pojavit će se kvadratna funkcija. Međutim, toga se ne trebamo bojati, jer ako, prema autorovom planu, rješavamo linearnu jednadžbu, onda će se tijekom procesa transformacije sigurno poništiti svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju.
Primjer br. 1
Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:
Sada pogledajmo privatnost:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Evo nekoliko sličnih:
Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, pa ćemo ovo napisati u odgovoru:
\[\varnothing\]
ili nema korijena.
Primjer br. 2
Izvodimo iste radnje. Prvi korak:
Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:
Evo nekoliko sličnih:
Očigledno, ova linearna jednadžba nema rješenja, pa ćemo je napisati na sljedeći način:
\[\varnothing\],
ili nema korijena.
Nijanse rješenja
Obje jednačine su potpuno riješene. Koristeći ova dva izraza kao primjer, još jednom smo se uvjerili da čak ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama možda sve nije tako jednostavno: može postojati ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo korijena. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, obje jednostavno nemaju korijen.
Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih otvoriti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:
Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "X". Napomena: množe se svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva člana i pomnoženi.
I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, možete otvoriti zagradu sa stanovišta činjenice da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije završene, sjetimo se da ispred zagrada stoji znak minus, što znači da sve ispod jednostavno mijenja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".
Isto radimo i sa drugom jednačinom:
Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i opet uče rješavati tako jednostavne jednačine.
Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine usavršiti do automatizma. Više nećete morati da izvodite toliko transformacija svaki put; sve ćete pisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.
Rješavanje još složenijih linearnih jednačina
Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.
Zadatak br. 1
\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:
Učinimo malo privatnosti:
Evo nekoliko sličnih:
Završimo zadnji korak:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Evo našeg konačnog odgovora. I uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništavali, što jednačinu čini linearnom, a ne kvadratnom.
Zadatak br. 2
\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]
Pažljivo izvršimo prvi korak: pomnožimo svaki element iz prve zagrade sa svakim elementom iz druge. Nakon transformacije trebalo bi postojati ukupno četiri nova pojma:
Sada pažljivo izvršimo množenje u svakom članu:
Pomerimo termine sa "X" ulevo, a one bez - udesno:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Evo sličnih pojmova:
Još jednom smo dobili konačan odgovor.
Nijanse rješenja
Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade koje sadrže više od jednog člana, to se radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prve i množimo sa svakim elementom iz drugi; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat toga, imaćemo četiri mandata.
O algebarskom zbiru
Ovim posljednjim primjerom želio bih podsjetiti studente šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzeti sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju “jedan” dodajemo još jedan broj, odnosno “minus sedam”. Po tome se algebarski zbir razlikuje od običnog aritmetičkog zbira.
Čim, prilikom izvođenja svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.
Na kraju, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.
Rješavanje jednadžbi s razlomcima
Da bismo riješili takve zadatke, morat ćemo dodati još jedan korak našem algoritmu. Ali prvo, da vas podsjetim na naš algoritam:
- Otvorite zagrade.
- Odvojene varijable.
- Donesite slične.
- Podijelite omjerom.
Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, ispada da nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak i na lijevoj i na desnoj strani u obje jednačine.
Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može učiniti i prije i nakon prve radnje, odnosno uklanjanje razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:
- Riješite se razlomaka.
- Otvorite zagrade.
- Odvojene varijable.
- Donesite slične.
- Podijelite omjerom.
Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto se to može učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju svi razlomci su brojčani u nazivniku, tj. Svugdje je imenilac samo broj. Stoga, ako pomnožimo obje strane jednadžbe ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.
Primjer br. 1
\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku pomnožiti sa "četiri". Hajde da zapišemo:
\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]
Sada da proširimo:
Izdvajamo varijablu:
Vršimo redukciju sličnih pojmova:
\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Dobili smo konačno rješenje, idemo na drugu jednačinu.
Primjer br. 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Ovdje izvodimo sve iste radnje:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem je riješen.
To je, zapravo, sve što sam vam danas htio reći.
Ključne točke
Ključni nalazi su:
- Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
- Mogućnost otvaranja zagrada.
- Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se smanjiti u procesu daljnjih transformacija.
- Postoje tri vrste korijena u linearnim jednadžbama, čak i one najjednostavnije: jedan korijen, cijela brojevna prava je korijen i nema korijena.
Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu i riješite primjere prikazane tamo. Pratite nas, očekuje vas još mnogo zanimljivosti!
obično, jednačine pojavljuju se u problemima u kojima je potrebno pronaći određenu količinu. Jednačina vam omogućava da formulišete problem na jeziku algebre. Nakon što smo riješili jednačinu, dobijamo vrijednost željene veličine, koja se naziva nepoznata. “Andrej ima nekoliko rubalja u novčaniku. Ako pomnožite ovaj broj sa 2, a zatim oduzmete 5, dobićete 10. Koliko novca Andrej ima?” Označimo nepoznatu količinu novca sa x i napišimo jednačinu: 2x-5=10.
Pricati o načini rješavanja jednačina, prvo morate definirati osnovne koncepte i upoznati se s općeprihvaćenim notacijama. Za različite vrste jednačina postoje različiti algoritmi za njihovo rješavanje. Najlakši način za rješavanje jednačina je prvog stepena sa jednom nepoznatom. Mnogi ljudi su iz škole upoznati sa formulom za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Tehnike više matematike pomoći će vam u rješavanju jednačina višeg reda. Skup brojeva na kojima je definirana jednačina usko je povezan s njenim rješenjima. Zanimljiv je i odnos između jednačina i grafova funkcija, jer je grafičko predstavljanje jednadžbi od velike pomoći u njihovom rješavanju.
Opis. Jednačina je matematička jednakost s jednom ili više nepoznatih veličina, na primjer 2x+3y=0.
Pozivaju se izrazi na obje strane znaka jednakosti leva i desna strana jednačine. Slova latinice označavaju nepoznanice. Iako nepoznanica može biti proizvoljan, u nastavku ćemo govoriti samo o jednačinama s jednom nepoznanicom, koju ćemo označiti sa x.
Stepen jednačine je maksimalna snaga do koje se nepoznato može podići. Na primjer,
$3x^4+6x-1=0$ je jednačina četvrtog stepena, $x-4x^2+6x=8$ je jednačina drugog stepena.
Pozivaju se brojevi kojima se množi nepoznato koeficijenti. U prethodnom primjeru, nepoznata na četvrti stepen ima koeficijent 3. Ako je, kada se x zamijeni ovim brojem, data jednakost zadovoljena, onda se kaže da ovaj broj zadovoljava jednačinu. To se zove rješavanje jednačine, ili njegov korijen. Na primjer, 3 je korijen, ili rješenje, jednadžbe 2x+8=14, budući da je 2*3+8=6+8=14.
Rješavanje jednačina. Recimo da želimo riješiti jednačinu 2x+5=11.
Možete zamijeniti neku vrijednost x u nju, na primjer x=2. Zamijenite x sa 2 i dobijete: 2*2+5=4+5=9.
Ovdje nešto nije u redu jer smo na desnoj strani jednačine trebali dobiti 11. Pokušajmo x=3: 2*3+5=6+5=11.
Odgovor je tačan. Ispada da ako nepoznata ima vrijednost 3, onda jednakost je zadovoljena. Stoga smo pokazali da je broj 3 rješenje jednačine.
Metoda koju smo koristili za rješavanje ove jednačine se zove metod selekcije. Očigledno je nezgodno koristiti. Štaviše, ne može se čak ni nazvati metodom. Da biste to potvrdili, samo pokušajte to primijeniti na jednadžbu oblika $x^4-5x^2+16=2365$.
Metode rješenja. Postoje takozvana „pravila igre“ s kojima će biti korisno upoznati se. Naš cilj je odrediti vrijednost nepoznate koja zadovoljava jednačinu. Stoga je neophodno na neki način identificirati nepoznato. Da biste to učinili, potrebno je prenijeti članove jednačine iz jednog dijela u drugi. Prvo pravilo za rješavanje jednačina je...
1. Prilikom premeštanja člana jednačine iz jednog dela u drugi, njegov predznak se menja u suprotan: plus se menja u minus i obrnuto. Razmotrimo kao primjer jednačinu 2x+5=11. Pomjerimo 5 s lijeve strane na desnu: 2x=11-5. Jednačina će postati 2x=6.
Pređimo na drugo pravilo.
2. Obje strane jednačine se mogu pomnožiti i podijeliti brojem koji nije jednak nuli. Primijenimo ovo pravilo na našu jednačinu: $x=\frac62=3$. Na lijevoj strani jednakosti ostao je samo nepoznati x, pa smo pronašli njegovu vrijednost i riješili jednačinu.
Upravo smo pogledali najjednostavniji problem - linearna jednačina sa jednom nepoznatom. Jednačine ovog tipa uvijek imaju rješenje, štoviše, uvijek se mogu riješiti najjednostavnijim operacijama: sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Nažalost, nisu sve jednačine tako jednostavne. Štaviše, njihov stepen složenosti raste veoma brzo. Na primjer, jednačine drugog stepena može lako riješiti svaki srednjoškolac, ali se metode rješavanja sistema linearnih jednačina ili jednačina viših stupnjeva izučavaju samo u srednjoj školi.
Matematičke jednačine nisu samo korisne - one mogu biti i lijepe. I mnogi naučnici priznaju da često vole određene formule ne samo zbog njihove funkcionalnosti, već i zbog njihove forme, određene posebne poezije. Postoje one jednačine koje su poznate širom svijeta, kao što je E = mc^2. Druge nisu toliko rasprostranjene, ali ljepota jednadžbe ne ovisi o njenoj popularnosti.
Opća teorija relativnosti
Gore opisanu jednačinu formulisao je Albert Ajnštajn 1915. godine kao deo svoje inovativne opšte teorije relativnosti. Teorija je zapravo revolucionirala svijet nauke. Nevjerovatno je kako jedna jednačina može opisati apsolutno sve što je okolo, uključujući prostor i vrijeme. U njemu je oličen sav pravi Ajnštajnov genij. To je vrlo elegantna jednadžba koja sažeto opisuje kako je sve oko vas povezano – na primjer, kako prisustvo Sunca u galaksiji savija prostor i vrijeme tako da se Zemlja okreće oko njega.
Standardni model
Standardni model je još jedna od najvažnijih teorija fizike; on opisuje sve elementarne čestice koje čine svemir. Postoje različite jednačine koje mogu opisati ovu teoriju, ali jednačina koja se najčešće koristi je ona Lagranža, francuskog matematičara i astronoma iz 18. stoljeća. Uspješno je opisao apsolutno sve čestice i sile koje na njih djeluju, osim gravitacije. Ovo takođe uključuje nedavno otkriveni Higsov bozon. Potpuno je kompatibilan sa kvantnom mehanikom i opštom relativnošću.
Matematička analiza
Dok prve dvije jednadžbe opisuju specifične aspekte svemira, ova jednadžba se može koristiti u svim mogućim situacijama. Osnovna teorema računa čini osnovu matematičke metode poznate kao račun i povezuje njene dvije glavne ideje - koncept integrala i koncept derivacije. Matematička analiza nastala je u antičko doba, ali je sve teorije spojio Isak Njutn u 17. veku – koristio ih je da izračuna i opiše kretanje planeta oko Sunca.
Pitagorina teorema
Dobra stara jednadžba svima poznata izražava poznatu Pitagorinu teoremu, koju svi školarci uče na časovima geometrije. Ova formula opisuje da je u bilo kojem pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze, najduže od svih stranica (c), jednak zbiru kvadrata druge dvije strane, kateta (a i b). Kao rezultat, jednačina izgleda ovako: a^2 + b^2 = c^2. Ova teorema iznenađuje mnoge početnike matematičara i fizičara kada tek uče u školi i još ne znaju šta im novi svijet sprema.
1 = 0.999999999….
Ova jednostavna jednadžba pokazuje da je broj 0,999, sa beskonačnim brojem devetki nakon decimalnog zareza, zapravo jednak jedan. Ova jednadžba je izvanredna jer je izuzetno jednostavna, nevjerovatno vizualna, ali ipak uspijeva mnoge iznenaditi i zadiviti. Neki ljudi ne mogu vjerovati da je to zapravo istina. Štaviše, sama jednadžba je lijepa - njena lijeva strana predstavlja najjednostavniju osnovu matematike, a desna krije tajne i misterije beskonačnosti.
Specijalna teorija relativnosti
Albert Ajnštajn ponovo pravi listu, ovaj put sa svojom specijalnom teorijom relativnosti, koja opisuje kako vreme i prostor nisu apsolutni koncepti, već relativni u odnosu na brzinu posmatrača. Ova jednadžba pokazuje kako se vrijeme „širi“, usporavajući se više što se brže kreće. Zapravo, jednadžba nije tako komplikovana, jednostavni derivati, linearna algebra. Međutim, ono što predstavlja je potpuno nov način gledanja na svijet.
Ojlerova jednačina
Ova jednostavna formula uključuje osnovno znanje o prirodi sfera. Kaže da ako isečete sferu i dobijete lica, ivice i vrhove, onda ako uzmete F kao broj lica, E kao broj ivica i V kao broj vrhova, onda ćete uvek dobiti istu stvar : V - E + F = 2. Upravo ovako izgleda ova jednačina. Nevjerovatna stvar je da bez obzira koji sferni oblik uzmete - bilo da se radi o tetraedru, piramidi ili bilo kojoj drugoj kombinaciji lica, ivica i vrhova, uvijek ćete dobiti isti rezultat. Ova kombinatorika govori ljudima nešto fundamentalno o sfernim oblicima.
Euler-Lagrangeova jednadžba i Noetherov teorem
Ovi koncepti su prilično apstraktni, ali vrlo moćni. Najzanimljivije je da je ovaj novi način razmišljanja o fizici uspio preživjeti nekoliko revolucija u ovoj nauci, poput otkrića kvantne mehanike, teorije relativnosti i tako dalje. Ovdje L označava Lagrangeovu jednačinu, koja je mjera energije u fizičkom sistemu. A rješavanje ove jednačine će vam reći kako će se određeni sistem razvijati tokom vremena. Varijacija Lagrangeove jednadžbe je Noetherova teorema, koja je fundamentalna za fiziku i ulogu simetrije. Suština teoreme je da ako je vaš sistem simetričan, onda se primjenjuje odgovarajući zakon održanja. U stvari, glavna ideja ove teoreme je da se zakoni fizike primjenjuju posvuda.
Jednačina renormalizacijske grupe
Ova jednačina se naziva i Callan-Symanczykova jednačina prema njenim tvorcima. To je vitalna osnovna jednačina napisana 1970. godine. Služi da pokaže kako su naivna očekivanja razbijena u kvantnom svijetu. Jednačina također ima mnogo primjena za procjenu mase i veličine protona i neutrona koji čine jezgro atoma.
Jednačina minimalne površine
Ova jednadžba nevjerovatno izračunava i kodira one prekrasne filmove sapuna koji se formiraju na žici kada se umoči u vodu sa sapunom. Ova se jednadžba, međutim, jako razlikuje od uobičajenih linearnih jednadžbi iz istog polja, na primjer, jednačina topline, formiranja valova i tako dalje. Ova jednadžba je nelinearna i uključuje utjecaj vanjskih sila i izvedenih proizvoda.
Ojlerova linija
Uzmite bilo koji trokut, nacrtajte najmanji krug koji može uključivati trokut i pronađite njegovo središte. Pronađite centar mase trokuta - tačku koja bi omogućila trokutu da balansira, na primjer, na vrhu olovke ako se može izrezati iz papira. Nacrtajte tri visine ovog trougla (prave koje bi bile okomite na stranice trougla iz kojeg su povučene) i pronađite njihovu točku presjeka. Suština teoreme je da će sve tri tačke biti na istoj pravoj liniji, što je upravo ono što je Ojlerova prava linija. Teorema sadrži svu ljepotu i moć matematike, otkrivajući zadivljujuće obrasce u najjednostavnijim stvarima.