Sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih zove sistem forme
Gdje aij I b i (i=1,…,m; b=1,…,n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…,x n- nepoznato. U zapisu koeficijenata aij prvi indeks i označava broj jednačine, a drugi j je broj nepoznate na kojoj stoji ovaj koeficijent.
Koeficijenti za nepoznate biće zapisani u obliku matrice 
, koje ćemo nazvati sistemska matrica.
Brojevi na desnoj strani jednadžbe b 1 ,…,b m pozvao besplatni članovi.
Agregat n brojevi c 1 ,…,c n pozvao odluka ovog sistema, ako svaka jednadžba sistema postane jednakost nakon zamjene brojeva u nju c 1 ,…,c n umjesto odgovarajućih nepoznanica x 1 ,…,x n.
Naš zadatak će biti da pronađemo rješenja za sistem. U ovom slučaju mogu se pojaviti tri situacije:
Zove se sistem linearnih jednačina koji ima barem jedno rješenje joint. Inače, tj. ako sistem nema rješenja, onda se zove nekompatibilno.
Razmotrite načine za pronalaženje rješenja za sistem.
MATRIČNA METODA ZA RJEŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA
Matrice omogućavaju da se ukratko zapiše sistem linearnih jednačina. Neka je zadan sistem od 3 jednadžbe sa tri nepoznate:
Razmotrimo matricu sistema 
i matrične kolone nepoznatih i slobodnih članova 
Hajde da pronađemo proizvod
one. kao rezultat proizvoda, dobijamo leve strane jednadžbi ovog sistema. Zatim, koristeći definiciju matrične jednakosti, ovaj sistem se može zapisati kao
ili kraće A∙X=B.
Evo matrice A I B poznati su i matrica X nepoznato. Treba je pronaći, jer. njegovi elementi su rješenje ovog sistema. Ova jednačina se zove matrična jednačina.
Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednačina rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednačine na lijevoj strani matricom A-1, inverzno od matrice A: . Zbog A -1 A = E I E∙X=X, tada dobijamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .
Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može naći samo za kvadratne matrice, metoda matrice može riješiti samo one sisteme u kojima broj jednačina je isti kao i broj nepoznatih. Međutim, matrična notacija sistema je moguća i u slučaju kada broj jednačina nije jednak broju nepoznanica, tada je matrica A nije kvadratna i stoga je nemoguće pronaći rješenje sistema u obliku X = A -1 B.
Primjeri. Rješavanje sistema jednačina.
CRAMEROVO PRAVILO
Razmotrimo sistem od 3 linearne jednadžbe sa tri nepoznate:
Determinanta trećeg reda koja odgovara matrici sistema, tj. sastavljen od koeficijenata na nepoznatim,
pozvao sistemska determinanta.
Sastavljamo još tri determinante na sljedeći način: zamjenjujemo sukcesivno 1, 2 i 3 stupca u determinanti D kolonom slobodnih članova
Tada možemo dokazati sljedeći rezultat.
Teorema (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sistema Δ ≠ 0, onda sistem koji se razmatra ima jedno i samo jedno rješenje, i
Dokaz. Dakle, razmotrite sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate. Pomnožite 1. jednačinu sistema sa algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednačina - na A21 i 3. - na A 31:
Dodajmo ove jednačine:
Razmotrimo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednačine. Po teoremi o proširenju determinante u smislu elemenata 1. stupca
Slično, može se pokazati da i .
Konačno, to je lako uočiti 
Dakle, dobijamo jednakost: .
Dakle, .
Jednakosti i se izvode na sličan način, odakle slijedi tvrdnja teoreme.
Dakle, primjećujemo da ako je determinanta sistema Δ ≠ 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje i obrnuto. Ako je determinanta sistema jednaka nuli, onda sistem ili ima beskonačan skup rješenja ili nema rješenja, tj. nekompatibilno.
Primjeri. Riješite sistem jednačina
GAUSSOVA METODA
Prethodno razmatrane metode mogu se koristiti za rješavanje samo onih sistema u kojima se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznanica, a determinanta sistema mora biti različita od nule. Gaussova metoda je univerzalnija i pogodna je za sisteme s bilo kojim brojem jednačina. Sastoji se u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz jednačina sistema.
Razmotrimo ponovo sistem od tri jednačine sa tri nepoznate:
.
Prvu jednačinu ostavljamo nepromijenjenom, a iz 2. i 3. isključujemo članove koji sadrže x 1. Da bismo to učinili, drugu jednačinu podijelimo sa A 21 i pomnoži sa - A 11, a zatim saberite sa 1. jednačinom. Slično, dijelimo treću jednačinu na A 31 i pomnoži sa - A 11, a zatim ga dodajte prvom. Kao rezultat, originalni sistem će poprimiti oblik:
Sada, iz posljednje jednačine, eliminiramo pojam koji sadrži x2. Da biste to učinili, podijelite treću jednačinu sa , pomnožite sa i dodajte je drugoj. Tada ćemo imati sistem jednačina:
Stoga je iz posljednje jednačine lako pronaći x 3, zatim iz 2. jednačine x2 i konačno od 1. - x 1.
Kada se koristi Gaussova metoda, jednadžbe se mogu zamijeniti ako je potrebno.
Često, umjesto pisanja novog sistema jednačina, oni se ograničavaju na ispisivanje proširene matrice sistema:
a zatim ga dovedite u trouglasti ili dijagonalni oblik koristeći elementarne transformacije.
TO elementarne transformacije matrice uključuju sljedeće transformacije:
- permutacija redova ili kolona;
- množenje niza brojem koji nije nula;
- dodajući u jedan red druge redove.
primjeri: Riješite sisteme jednačina Gaussovom metodom.
Dakle, sistem ima beskonačan broj rješenja.
Sistem linearnih jednačina je unija od n linearnih jednačina, od kojih svaka sadrži k varijabli. Napisano je ovako:
Mnogi, kada se prvi put suoče s višom algebrom, pogrešno vjeruju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem varijabli. U školskoj algebri to je obično slučaj, ali za višu algebru to, općenito govoreći, nije istina.
Rješenje sistema jednačina je niz brojeva (k 1 , k 2 , ..., k n ), koji je rješenje svake jednačine sistema, tj. pri zamjeni u ovu jednačinu umjesto varijabli x 1 , x 2 , ..., x n daje tačnu numeričku jednakost.
Prema tome, riješiti sistem jednačina znači pronaći skup svih njegovih rješenja ili dokazati da je ovaj skup prazan. Budući da broj jednačina i broj nepoznatih možda nisu isti, moguća su tri slučaja:
- Sistem je nekonzistentan, tj. skup svih rješenja je prazan. Prilično rijedak slučaj koji se lako otkriva bez obzira na to kojom metodom se sistem rješava.
- Sistem je konzistentan i definisan, tj. ima tačno jedno rešenje. Klasična verzija, poznata još od škole.
- Sistem je konzistentan i nedefinisan, tj. ima beskonačno mnogo rješenja. Ovo je najteža opcija. Nije dovoljno reći da "sistem ima beskonačan skup rješenja" - potrebno je opisati kako je taj skup uređen.
Varijabla x i se naziva dozvoljenom ako je uključena u samo jednu jednačinu sistema, i to sa koeficijentom 1. Drugim riječima, u preostalim jednačinama koeficijent za varijablu x i mora biti jednak nuli.
Ako u svakoj jednačini odaberemo jednu dozvoljenu varijablu, dobićemo skup dozvoljenih varijabli za cijeli sistem jednačina. Sam sistem, napisan u ovom obliku, takođe će se zvati dozvoljenim. Uopšteno govoreći, jedan te isti početni sistem može se svesti na različite dozvoljene sisteme, ali nas to sada ne zanima. Evo primjera dozvoljenih sistema:
Oba sistema su dozvoljena u odnosu na varijable x 1 , x 3 i x 4 . Međutim, sa istim uspjehom može se tvrditi da je drugi sistem dozvoljen u odnosu na x 1 , x 3 i x 5 . Dovoljno je prepisati najnoviju jednačinu u obliku x 5 = x 4 .
Sada razmotrite opštiji slučaj. Pretpostavimo da imamo k varijabli ukupno, od kojih je r dozvoljeno. Tada su moguća dva slučaja:
- Broj dozvoljenih varijabli r jednak je ukupnom broju varijabli k: r = k. Dobijamo sistem od k jednačina u kojem je r = k dozvoljenih varijabli. Takav sistem je kolaborativan i određen, jer x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k \u003d b k;
- Broj dozvoljenih varijabli r manji je od ukupnog broja varijabli k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Dakle, u gornjim sistemima varijable x 2 , x 5 , x 6 (za prvi sistem) i x 2 , x 5 (za drugi) su slobodne. Slučaj kada postoje slobodne varijable bolje je formulirati kao teorem:
Imajte na umu: ovo je veoma važna tačka! U zavisnosti od toga kako pišete rezultujući sistem, ista varijabla može biti i dozvoljena i slobodna. Većina naprednih nastavnika matematike preporučuje pisanje varijabli leksikografskim redom, tj. rastući indeks. Međutim, ne morate uopće slijediti ovaj savjet.
Teorema. Ako su u sistemu od n jednačina varijable x 1 , x 2 , ..., x r dozvoljene, a x r + 1 , x r + 2 , ..., x k su slobodne, tada:
- Ako postavimo vrijednosti slobodnih varijabli (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), a zatim pronađemo vrijednosti x 1 , x 2 , . .., x r , dobijamo jedno od rješenja.
- Ako su vrijednosti slobodnih varijabli u dva rješenja iste, onda su i vrijednosti dozvoljenih varijabli iste, tj. rješenja su jednaka.
Šta je značenje ove teoreme? Da bi se dobila sva rješenja dozvoljenog sistema jednačina, dovoljno je izdvojiti slobodne varijable. Tada ćemo, dodjeljujući različite vrijednosti slobodnim varijablama, dobiti gotova rješenja. To je sve - na ovaj način možete dobiti sva rješenja sistema. Drugih rješenja nema.
Zaključak: dozvoljeni sistem jednačina je uvijek konzistentan. Ako je broj jednačina u dozvoljenom sistemu jednak broju varijabli, sistem će biti definitivan; ako je manji, biće neodređen.
I sve bi bilo u redu, ali postavlja se pitanje: kako iz originalnog sistema jednačina dobiti riješeno? Za ovo postoji
Definicija. Sistem m jednadžbe sa n nepoznatih u općem obliku zapisuju se na sljedeći način:
Gdje aij su koeficijenti, i b i- trajno.
Rešenja sistema su n brojevi koji, kada se zamijene u sistem, pretvaraju svaku od njegovih jednačina u identitet.
Definicija. Ako sistem ima barem jedno rješenje, onda se ono naziva konzistentnim. Ako sistem nema rješenje, onda se naziva nedosljednim.
Definicija. Sistem se naziva definitivnim ako ima samo jedno rješenje i neodređenim ako ima više od jednog.
Definicija. Za sistem linearnih jednačina, matrica
A = 
naziva se matrica sistema, a matrica
A*= 
naziva se proširena matrica sistema
Definicija. Ako b 1 , b 2 , …,b m = 0, tada se za sistem kaže da je homogen. Komentar. Homogeni sistem je uvek konzistentan, jer uvijek ima nulto rješenje.
Elementarne transformacije sistema.
1. Dodavanje oba dijela jedne jednačine odgovarajućih dijelova druge, pomnožene istim brojem, koji nije jednak nuli.
2. Preuređivanje jednačina po mjestima.
3. Uklanjanje iz sistema jednačina koje su identiteti za sve X.
Cramerove formule.
Ova metoda je takođe primenljiva samo u slučaju sistema linearnih jednačina, gde se broj varijabli poklapa sa brojem jednačina.
Teorema. Sistem od n jednačina sa n nepoznatih
ako determinanta matrice sistema nije jednaka nuli, tada sistem ima jedinstveno rješenje i ovo rješenje se nalazi po formulama: x i = Gdje D = det A, A D i je determinanta matrice dobijene iz matrice sistema promjenom stupca i besplatni članovi kolone b i.
D i = 
Primjer. Pronađite rješenje za sistem jednačina: 
D \u003d = 5 (4 - 9) + (2 - 12) - (3 - 8) = -25 - 10 + 5 \u003d -30;
D 1 = \u003d (28 - 48) - (42 - 32) = -20 - 10 = -30.
D 2 == 5 (28 - 48) - (16 - 56) = -100 + 40 = -60.
D 3 = \u003d 5 (32 - 42) + (16 - 56) = -50 - 40 = -90.
Napomena 1. Ako je sistem homogen, tj. b i = 0, tada za D¹0 sistem ima jedinstveno nulto rješenje x 1 = x 2 = ... \u003d x n = 0.
Napomena 2. At D=0 Sistem ima beskonačan broj rješenja.
Metoda inverzne matrice.
Matrična metoda je primjenjiva za rješavanje sistema jednačina gdje je broj jednačina jednak broju nepoznatih.
Neka je zadan sistem jednačina: Napravimo matrice:
A= 
- matrica koeficijenata za varijable ili sistemska matrica;
B = - matrica-kolona slobodnih članova;
X = - matrica - kolona nepoznatih.
Tada se sistem jednačina može napisati: A×X = B. Pomnožite na lijevoj strani obje strane jednakosti sa A -1: A -1 ×A×X = A -1 ×B pošto A -1 × A \u003d E, To E × X \u003d A -1 × B, tada je tačna sljedeća formula:
X \u003d A -1 × B
Stoga je za primjenu ove metode potrebno pronaći inverzna matrica.
Primjer. Riješite sistem jednačina:
X = , B = , A =
Pronađite inverznu matricu A -1.
D = det A = 5(4-9) + 1(2 - 12) - 1(3 - 8) = -25 - 10 +5 = -30≠0 ⇒ inverzna matrica postoji.
M 11 = ; M21 = ; M 31 = ;
M 12 = M 22 = M 32 =
M 13 = M 23 = M 33 =
A -1 = 
;
provjerimo:
A×A -1 = 
=E.
Pronalazimo X matricu.
X \u003d \u003d A -1 B \u003d × = 
.
Imamo sistemska rješenja: x=1; y=2; z = 3.
4. Gaussova metoda.
Pustite sistem m linearne jednačine sa n nepoznato:
Pod pretpostavkom da je u sistemu koeficijent a 11 se razlikuje od nule (ako to nije slučaj, onda jednačina s koeficijentom različitom od nule na x 1). Transformišemo sistem na sledeći način: prvu jednačinu ostavljamo nepromenjenom, a nepoznanicu isključujemo iz svih ostalih jednačina x 1 koristeći ekvivalentne transformacije kao što je gore opisano.
U rezultirajućem sistemu
,
pod pretpostavkom da (što se uvijek može dobiti preuređivanjem jednačina ili članova unutar jednačina), prve dvije jednačine sistema ostavljamo nepromijenjene, a iz preostalih jednačina, koristeći drugu jednačinu, koristeći elementarne transformacije, isključujemo nepoznatu x 2. U novoprimljenom sistemu
pod uslovom, prve tri jednačine ostavljamo nepromijenjene, a iz svih ostalih, koristeći treću jednačinu, elementarne transformacije isključuju nepoznatu x 3 .
Ovaj proces se nastavlja sve dok se ne realizuje jedan od tri moguća slučaja:
1) ako kao rezultat dođemo do sistema čija jedna od jednačina ima nulte koeficijente za sve nepoznate i slobodan član različit od nule, onda je originalni sistem nekonzistentan;
2) ako se kao rezultat transformacija dobije sistem sa matricom trouglastih koeficijenata, onda je sistem kompatibilan i određen;
3) ako se dobije stepenasti sistem koeficijenata (a nije ispunjen uslov iz stava 1), onda je sistem konzistentan i neodređen.
Razmotrite kvadratni sistem :
(1)
Ovaj sistem ima koeficijent a 11 se razlikuje od nule. Ako ovaj uslov nije zadovoljen, da bi se dobio, bilo bi potrebno preurediti jednačine, stavljajući prvo jednačinu za koju je koeficijent na x 1 nije jednako nuli.
Hajde da izvršimo sledeće transformacije sistema:
1) jer a 11 ¹0, prvu jednačinu ostavljamo nepromijenjenom;
2) umesto druge jednačine pišemo jednačinu dobijenu oduzimanjem prve pomnožene sa 4 od druge jednačine;
3) umesto treće jednačine upisujemo razliku između treće i prve, pomnoženu sa 3;
4) umjesto četvrte jednačine pišemo razliku između četvrte i prve, pomnoženu sa 5.
Dobijeni novi sistem je ekvivalentan originalnom i ima nulte koeficijente u svim jednačinama, osim u prvoj, na x 1 (ovo je bio cilj transformacija 1 - 4): 
(2)
Za gornju transformaciju i za sve dalje transformacije ne treba potpuno prepisivati cijeli sistem, kao što je upravo učinjeno. Početni sistem se može predstaviti kao matrica
. (3)
Matrica (3) se zove proširena matrica za originalni sistem jednačina. Ako iz proširene matrice uklonimo stupac slobodnih članova, dobićemo matrica sistemskih koeficijenata, koji se ponekad naziva jednostavno sistemska matrica.
Sistem (2) odgovara proširenoj matrici
.
Transformirajmo ovu matricu na sljedeći način:
1) prve dvije linije ćemo ostaviti nepromijenjene, budući da je element a 22 nije nula;
2) umjesto trećeg reda upisujemo razliku između drugog reda i udvostručene trećine;
3) četvrti red se zamjenjuje razlikom udvostručenog drugog reda i četvrtog reda pomnoženog sa 5.
Rezultat je matrica koja odgovara sistemu čija je nepoznata x 1 je isključen iz svih jednačina osim prve i nepoznate x 2 - iz svih jednačina osim prve i druge:
.
Sada eliminišemo nepoznato x 3 iz četvrte jednačine. Da bismo to učinili, transformiramo posljednju matricu na sljedeći način:
1) prva tri reda će ostati nepromijenjena, jer a 33 № 0;
2) četvrti red zamjenjuje se razlikom između trećeg, pomnoženog sa 39, i četvrtog: 
.
Rezultirajuća matrica odgovara sistemu
. (4)
Iz posljednje jednačine ovog sistema dobijamo x 4 = 2. Zamjenom ove vrijednosti u treću jednačinu dobijamo x 3 = 3. Sada iz druge jednačine slijedi da x 2 = 1, a od prvog - x 1 = -1. Očigledno je da je dobijeno rješenje jedinstveno (pošto je vrijednost x 4, dakle x 3, itd.).
definicija: Nazovimo kvadratnu matricu, koja ima brojeve različite od nule na glavnoj dijagonali, a nule ispod glavne dijagonale, trouglasta matrica.
Matrica koeficijenata sistema (4) je trouglasta matrica.
komentar: Ako se uz pomoć elementarnih transformacija matrica koeficijenata kvadratnog sistema može svesti na trouglastu matricu, onda je sistem konzistentan i određen.
Razmotrimo još jedan primjer: 
. (5)
Izvršimo sljedeće transformacije proširene matrice sistema:
1) ostaviti prvi red nepromenjen;
2) umjesto drugog reda upisujemo razliku između drugog reda i dva puta prvog;
3) umjesto trećeg reda upisujemo razliku između trećeg reda i trostrukog prvog;
4) četvrti red se zamenjuje razlikom između četvrtog i prvog;
5) peti red se zamjenjuje razlikom između petog reda i dva puta prvog.
Kao rezultat transformacija, dobijamo matricu
.
Ostavljajući prva dva reda ove matrice nepromijenjene, svodimo je elementarnim transformacijama na sljedeći oblik:
.
Ako sada, slijedeći Gaussovu metodu, koja se naziva i metodom sukcesivnog eliminacije nepoznatih, koristeći treći red, dovedemo koeficijente od nule do nule x 3 u četvrtom i petom redu, zatim nakon dijeljenja svih elemenata drugog reda sa 5 i dijeljenja svih elemenata trećeg reda sa 2, dobijamo matricu
.
Svaki od posljednja dva reda ove matrice odgovara jednadžbi 0 x 1 +0x 2 +0x 3 +0x 4 +0x 5 = 0. Ovu jednačinu zadovoljava bilo koji skup brojeva x 1 ,x 2, ¼, x 5 i treba ga ukloniti iz sistema. Dakle, sistem sa upravo dobijenom proširenom matricom je ekvivalentan sistemu sa proširenom matricom oblika
. (6)
Zadnji red ove matrice odgovara jednadžbi
x 3 – 2x 4 + 3x 5 = -4. Ako je nepoznato x 4 i x 5 daje proizvoljne vrijednosti: x 4 = Od 1; x 5 = Od 2, onda iz poslednje jednačine sistema koja odgovara matrici (6), dobijamo x 3 = –4 + 2Od 1 – 3Od 2. Zamjenjivanje izraza x 3 ,x 4 , i x 5 u drugu jednačinu istog sistema, dobijamo x 2 = –3 + 2Od 1 – 2Od 2. Sada iz prve jednačine možemo dobiti x 1 = 4 – Od 1+ Od 2. Konačno rješenje sistema je predstavljeno u obliku 
.
Razmotrimo pravougaonu matricu A, koji ima broj kolona m veći od broja redova n. Takva matrica A nazovimo stupio.
Očigledno, matrica (6) je matrica koraka.
Ako se, kada se primjenjuju ekvivalentne transformacije na sistem jednačina, barem jedna jednačina svede na oblik
0x 1 + 0x 2 + ¼0 x n = bj (bj ¹ 0),
onda je sistem nekonzistentan ili nekonzistentan, jer nema skupa brojeva x 1 , x 2, ¼, x n ne zadovoljava ovu jednačinu.
Ako se pri transformaciji proširene matrice sistema matrica koeficijenata svede na stepenasti oblik i sistem se ne pokaže nekonzistentan, onda je sistem konzistentan i neodređen, odnosno ima beskonačno mnogo rješenja.
U potonjem sistemu sva rješenja se mogu dobiti davanjem specifičnih numeričkih vrijednosti parametrima Od 1 I Od 2.
definicija: One varijable čiji se koeficijenti nalaze na glavnoj dijagonali matrice koraka (to znači da su ti koeficijenti različiti od nule) nazivaju se o main. U gornjem primjeru, ovo su nepoznanice x 1 , x 2 , x 3 . Ostale varijable se pozivaju minor. U gornjem primjeru, ovo su varijable x 4 , i x 5 . Neprimarnim varijablama može se dodijeliti bilo koja vrijednost ili se mogu izraziti kroz parametre, kao što je učinjeno u posljednjem primjeru.
Osnovne varijable su jedinstveno izražene u terminima neosnovnih varijabli.
definicija: Ako se neosnovnim varijablama daju određene numeričke vrijednosti i glavne varijable se izraze kroz njih, tada se rezultirajuće rješenje naziva privatna odluka.
definicija: Ako su nebazične varijable izražene u terminima parametara, tada se dobija rješenje koje se zove opšte rešenje.
definicija: Ako su svim neprimarnim varijablama date nula vrijednosti, tada se poziva rezultirajuće rješenje osnovni.
komentar: Isti sistem se ponekad može svesti na različite skupove osnovnih varijabli. Tako, na primjer, možete zamijeniti 3. i 4. stupac u matrici (6). Tada će glavne varijable biti x 1 , x 2 ,x 4 , a manji - x 3 i x 5 .
definicija: Ako se dva različita skupa osnovnih varijabli dobiju različitim načinima nalaženja rješenja za isti sistem, onda ti skupovi nužno sadrže isti broj varijabli tzv. sistemski rang.
Razmotrimo još jedan sistem koji ima beskonačno mnogo rješenja: 
.
Izvršimo transformaciju proširene matrice sistema pomoću Gaussove metode:
.
Kao što vidite, nismo dobili matricu koraka, ali posljednja matrica se može transformirati zamjenom trećeg i četvrtog stupca: 
.
Ova matrica je već postupna. Sistem koji mu odgovara ima dvije manje varijable - x 3 , x 5 i tri glavna - x 1 , x 2 , x 4 . Rješenje originalnog sistema predstavljeno je u sljedećem obliku:
Evo primjera sistema koji nema rješenje:
.
Transformišemo matricu sistema prema Gaussovom metodu:
.
Zadnji red posljednje matrice odgovara nerješivoj jednadžbi 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1. Stoga je originalni sistem nedosljedan.
Predavanje broj 3.
Tema: Vektori. Skalarni, vektorski i mješoviti proizvod vektora
1. Koncept vektora. Kolinarnost, ortogonalnost i komplanarnost vektora.
2. Linearni rad na vektorima.
3. Tačkasti proizvod vektora i njegova primjena
4. Unakrsni proizvod vektora i njegova primjena
5. Mješoviti proizvod vektora i njegova primjena
1. Pojam vektora Kolinarnost, ortogonalnost i komplanarnost vektora.
| |
Oznaka: , ,
definicija: Dužina ili modul vektora je broj jednak dužini segmenta AB koji predstavlja vektor.
definicija: Vektor se naziva nultom ako su početak i kraj vektora isti.
definicija: Vektor jedinične dužine naziva se jedinični vektor. definicija: Vektori se nazivaju kolinearni ako leže na istoj liniji ili na paralelnim linijama. ( || ).
komentar:
1. Kolinearni vektori mogu biti usmjereni jednako ili suprotno.
2. Nulti vektor se smatra kolinearnim bilo kom vektoru.
definicija: Za dva vektora se kaže da su jednaka ako su kolinearna,
imaju isti smjer i istu dužinu ( = )
Međutim, u praksi su rasprostranjena još dva slučaja:
– Sistem je nekonzistentan (nema rješenja);
Sistem je konzistentan i ima beskonačno mnogo rješenja.
Bilješka : izraz "dosljednost" podrazumijeva da sistem ima barem neko rješenje. U nizu zadataka potrebno je preliminarno ispitati kompatibilnost sistema, kako to učiniti - pogledajte članak na matrični rang.
Za ove sisteme koristi se najuniverzalnija od svih metoda rješenja - Gaussova metoda. Zapravo, "školska" metoda će također dovesti do odgovora, ali u višoj matematici uobičajeno je koristiti Gaussovu metodu sukcesivnog eliminacije nepoznanica. Oni koji nisu upoznati sa algoritmom Gaussove metode, neka prvo prouče lekciju Gaussova metoda za lutke.
Same transformacije elementarne matrice su potpuno iste, razlika će biti u kraju rješenja. Prvo, razmotrite nekoliko primjera u kojima sistem nema rješenja (nedosljedno).
Primjer 1
Šta vam odmah upada u oči u ovom sistemu? Broj jednačina je manji od broja varijabli. Ako je broj jednačina manji od broja varijabli, tada možemo odmah reći da je sistem ili nekonzistentan ili da ima beskonačno mnogo rješenja. I ostaje samo da se sazna.
Početak rješenja je sasvim običan - pišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u postupni oblik:
(1) Na gornjem lijevom koraku trebamo dobiti +1 ili -1. U prvoj koloni nema takvih brojeva, tako da preuređivanje redova neće raditi. Jedinica će se morati organizirati samostalno, a to se može učiniti na nekoliko načina. Uradio sam ovo: prvom redu dodajte treći red, pomnožen sa -1.
(2) Sada dobijamo dvije nule u prvoj koloni. U drugi red dodajemo prvi red pomnožen sa 3. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 5.
(3) Nakon što je transformacija obavljena, uvijek je preporučljivo vidjeti da li je moguće pojednostaviti rezultirajuće nizove? Može. Drugu liniju dijelimo sa 2, istovremeno dobivajući željeni -1 na drugom koraku. Treći red podijelite sa -3.
(4) Dodajte drugi red u treći red.
Vjerovatno su svi obratili pažnju na lošu liniju, koja se pokazala kao rezultat elementarnih transformacija: 
. Jasno je da to ne može biti tako. Zaista, prepisujemo rezultujuću matricu 
nazad na sistem linearnih jednačina: 
Ako se kao rezultat elementarnih transformacija dobije niz oblika, gdje je broj različit od nule, onda je sistem nekonzistentan (nema rješenja) .
Kako snimiti kraj zadatka? Nacrtajmo bijelom kredom: "kao rezultat elementarnih transformacija dobija se linija oblika, gdje" i dajemo odgovor: sistem nema rješenja (nedosljedno).
Ako je prema uslovu potrebno ISTRAŽITI sistem radi kompatibilnosti, onda je potrebno izdati rješenje u solidnijem stilu koje uključuje koncept rang matrice i Kronecker-Capelli teorem.
Imajte na umu da ovdje nema obrnutog kretanja Gaussovog algoritma - nema rješenja i jednostavno se nema šta pronaći.
Primjer 2
Riješiti sistem linearnih jednačina 
Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Opet, podsjećam vas da se vaša putanja rješenja može razlikovati od mog puta rješenja, Gaussov algoritam nema jaku "rigidnost".
Još jedna tehnička karakteristika rješenja: elementarne transformacije se mogu zaustaviti Odjednom, čim red kao , gdje . Razmotrimo uslovni primjer: pretpostavimo da nakon prve transformacije dobijemo matricu 
. Matrica još nije svedena na stepenasti oblik, ali nema potrebe za daljim elementarnim transformacijama, jer se pojavila linija oblika, gdje je . Treba odmah odgovoriti da je sistem nekompatibilan.
Kada sistem linearnih jednačina nema rješenja, to je gotovo dar, jer se dobije kratko rješenje, ponekad doslovno u 2-3 koraka.
Ali sve je na ovom svijetu izbalansirano, a problem u kojem sistem ima beskonačno mnogo rješenja samo je duži.
Primjer 3
Riješiti sistem linearnih jednačina 
Postoje 4 jednačine i 4 nepoznanice, tako da sistem može imati jedno rješenje, ili nema rješenja, ili imati beskonačno mnogo rješenja. Šta god da je bilo, ali Gaussova metoda će nas u svakom slučaju dovesti do odgovora. U tome leži njegova svestranost.
Početak je opet standardan. Pišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka: 
To je sve, a ti si se uplašio.
(1) Imajte na umu da su svi brojevi u prvoj koloni djeljivi sa 2, tako da je 2 u redu na gornjoj lijevoj prečki. U drugi red dodajemo prvi red, pomnožen sa -4. Trećem redu dodajemo prvi red, pomnožen sa -2. Četvrtom redu dodajemo prvi red, pomnožen sa -1.
Pažnja! Mnogi mogu biti u iskušenju iz četvrtog reda oduzimati prva linija. To se može učiniti, ali nije neophodno, iskustvo pokazuje da se vjerovatnoća greške u proračunima povećava nekoliko puta. Samo zbrojite: četvrtom redu dodajte prvi red, pomnožen sa -1 - upravo!
(2) Zadnja tri reda su proporcionalna, dva se mogu brisati.
Ovdje je opet potrebno pokazati povećana pažnja, ali jesu li linije zaista proporcionalne? Za reosiguranje (posebno za čajnik) ne bi bilo suvišno drugi red pomnožiti sa -1, a četvrti red podijeliti sa 2, što će rezultirati tri identična reda. I tek nakon toga uklonite dva od njih.
Kao rezultat elementarnih transformacija, proširena matrica sistema se svodi na stepenasti oblik: 
Prilikom izvršavanja zadatka u svesci, preporučljivo je da iste bilješke napravite olovkom radi preglednosti.
Prepisujemo odgovarajući sistem jednačina: 
„Uobičajeno“ jedino rešenje sistema ovde ne miriše. Ne postoji ni loša linija. To znači da je ovo treći preostali slučaj - sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Ponekad je, pod uslovom, potrebno istražiti kompatibilnost sistema (tj. dokazati da rješenje uopće postoji), o tome možete pročitati u posljednjem pasusu članka Kako pronaći rang matrice? Ali za sada, hajde da razložimo osnove:
Beskonačan skup rješenja sistema ukratko je zapisan u obliku tzv opšte sistemsko rešenje .
Opće rješenje sistema ćemo pronaći koristeći Gaussovu metodu obrnutog kretanja.
Prvo moramo odrediti koje varijable imamo osnovni i koje varijable besplatno. Nije potrebno zamarati se terminima linearne algebre, dovoljno je zapamtiti da ih ima bazne varijable I slobodne varijable.
Osnovne varijable uvijek "sjede" striktno na koracima matrice.
U ovom primjeru, osnovne varijable su i
Slobodne varijable su sve preostali varijable koje nisu dobile korak. U našem slučaju postoje dvije od njih: - slobodne varijable.
Sada ti treba Sve bazne varijable express samo kroz slobodne varijable.
Obrnuti potez Gaussovog algoritma tradicionalno radi odozdo prema gore.
Iz druge jednačine sistema izražavamo osnovnu varijablu:
Sada pogledajte prvu jednačinu: 
. Prvo u njega zamjenjujemo pronađeni izraz: 
Ostaje da izrazimo osnovnu varijablu u terminima slobodnih varijabli: 
Rezultat je ono što vam treba - Sve osnovne varijable ( i ) su izražene samo kroz slobodne varijable: 
Zapravo, opće rješenje je spremno: 
Kako napisati generalno rješenje?
Slobodne varijable se upisuju u generalno rješenje "sami" i striktno na svojim mjestima. U ovom slučaju, slobodne varijable treba napisati na drugoj i četvrtoj poziciji: 
.
Rezultirajući izrazi za osnovne varijable 
i očigledno treba da bude napisano na prvoj i trećoj poziciji: 
Davanje besplatnih varijabli proizvoljne vrijednosti, ima ih beskonačno mnogo privatne odluke. Najpopularnije vrijednosti su nule, jer je određeno rješenje najlakše dobiti. Zamjena u općem rješenju: 
je privatna odluka.
Jedan je još jedan slatki par, da ga zamenimo u opšte rešenje: 
je još jedno posebno rješenje.
Lako je vidjeti da sistem jednačina ima beskonačno mnogo rješenja(pošto možemo dati slobodne varijable bilo koji vrijednosti)
Svaki određeno rješenje mora zadovoljiti svakome sistemska jednačina. Ovo je osnova za “brzu” provjeru ispravnosti rješenja. Uzmite, na primjer, određeno rješenje i zamijenite ga u lijevu stranu svake jednačine u originalnom sistemu: 
Sve se mora spojiti. I sa bilo kojim posebnim rješenjem koje dobijete, sve bi također trebalo konvergirati.
Ali, strogo govoreći, provjera određenog rješenja ponekad vara; neko posebno rješenje može zadovoljiti svaku jednačinu sistema, a samo opšte rješenje je zapravo pogrešno pronađeno.
Stoga je provjera općeg rješenja temeljitija i pouzdanija. Kako provjeriti rezultirajuće opće rješenje 
?
Lako je, ali prilično zamorno. Moramo uzeti izraze osnovni varijable, u ovom slučaju 
i , i zamijenite ih u lijevu stranu svake jednadžbe sistema.
Na lijevoj strani prve jednadžbe sistema: 
Na lijevoj strani druge jednačine sistema: 
Dobije se desna strana originalne jednadžbe.
Primjer 4
Rešite sistem Gaussovom metodom. Pronađite opće rješenje i dva privatna rješenja. Provjerite cjelokupno rješenje. 
Ovo je "uradi sam" primjer. Ovdje je, inače, opet broj jednačina manji od broja nepoznatih, što znači da je odmah jasno da će sistem biti ili nekonzistentan ili sa beskonačnim brojem rješenja. Šta je važno u samom procesu odlučivanja? Pažnja i opet pažnja. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
I još par primjera za učvršćivanje materijala
Primjer 5
Riješiti sistem linearnih jednačina. Ako sistem ima beskonačno mnogo rješenja, pronađite dva posebna rješenja i provjerite opće rješenje 
Rješenje: Napišemo proširenu matricu sistema i uz pomoć elementarnih transformacija dovedemo je u formu koraka: 
(1) Dodajte prvi red u drugi red. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 2. U četvrti red dodajemo prvi red pomnožen sa 3.
(2) Trećem redu dodajte drugi red, pomnožen sa -5. Četvrtom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa -7.
(3) Treći i četvrti red su isti, jedan od njih brišemo.
Evo jedne takve ljepote: 
Bazične varijable sjede na stepenicama, tako da su osnovne varijable.
Postoji samo jedna slobodna varijabla koja nije dobila korak:
Obrnuti potez:
Osnovne varijable izražavamo u terminima slobodne varijable:
Iz treće jednačine: 
Razmotrimo drugu jednačinu i zamijenimo pronađeni izraz u nju: 
Razmotrimo prvu jednačinu i zamijenimo pronađene izraze iu nju: 
Da, kalkulator koji broji obične razlomke je i dalje zgodan.
Dakle, generalno rješenje je: 
Još jednom, kako se to dogodilo? Slobodna varijabla je sama na svom pravom četvrtom mjestu. Rezultirajući izrazi za osnovne varijable , također su zauzeli svoja redna mjesta.
Hajde da odmah proverimo opšte rešenje. Posao za crnce, ali ja sam to već uradio, pa uhvati =)
Zamjenjujemo tri heroja , , u lijevu stranu svake jednadžbe sistema:
Dobivene su odgovarajuće desne strane jednadžbi, pa je opće rješenje pronađeno ispravno.
Sada iz pronađenog opšteg rješenja 
dobijamo dva konkretna rješenja. Kuvar je jedina besplatna varijabla. Ne morate da razbijate glavu.
Neka onda 
je privatna odluka.
Neka , Tada je još jedno posebno rješenje.
Odgovori: Zajednička odluka: 
, posebna rješenja: 
, .
Uzalud sam se setio crnaca ovde ... ...jer su mi u glavi dolazili razni sadistički motivi i setio sam se poznate fotožabe, na kojoj pripadnici Kju Kluks klana u belim kombinezonima trče po terenu za crnim fudbalerom . Sjedim i tiho se smijem. Znate koliko ometa…
Mnogo matematike je štetno, pa sličan završni primjer za nezavisno rješenje.
Primjer 6
Naći opće rješenje sistema linearnih jednačina. 
Već sam provjerio generalno rješenje, odgovoru se može vjerovati. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja, glavno je da se opća rješenja poklapaju.
Vjerovatno su mnogi primijetili neugodan momenat u rješenjima: vrlo često, tokom obrnutog toka Gaussove metode, morali smo petljati s običnim razlomcima. U praksi je to tačno, slučajevi u kojima nema razlomaka su mnogo rjeđi. Budite spremni psihički, i što je najvažnije, tehnički.
Zadržat ću se na nekim karakteristikama rješenja koje nisu pronađene u riješenim primjerima.
Opće rješenje sistema ponekad može uključivati konstantu (ili konstante), na primjer: . Ovdje je jedna od osnovnih varijabli jednaka konstantnom broju: . Nema ničeg egzotičnog u ovome, dešava se. Očigledno je da će u ovom slučaju svako određeno rješenje sadržavati peticu na prvoj poziciji.
Rijetko, ali postoje sistemi u kojima broj jednačina je veći od broja varijabli. Gaussova metoda radi u najtežim uslovima, potrebno je mirno dovesti proširenu matricu sistema u stepenasti oblik prema standardnom algoritmu. Takav sistem može biti nekonzistentan, može imati beskonačno mnogo rješenja i, što je čudno, može imati jedinstveno rješenje.
Primjer 1. Naći opće rješenje i neko posebno rješenje sistemaRješenje uradite to pomoću kalkulatora. Zapisujemo proširene i glavne matrice: 
Isprekidana linija razdvaja glavnu matricu A. Nepoznate sisteme zapisujemo odozgo, imajući u vidu moguću permutaciju članova u jednačinama sistema. Određujući rang proširene matrice, istovremeno nalazimo i rang glavne. U matrici B, prvi i drugi stupac su proporcionalni. Od dva proporcionalna stupca samo jedan može pasti u osnovni mol, pa pomaknimo, na primjer, prvi stupac iza isprekidane linije sa suprotnim predznakom. Za sistem, to znači prijenos članova sa x 1 na desnu stranu jednačine. 
Dovodimo matricu u trouglasti oblik. Radit ćemo samo sa redovima, jer množenje reda matrice brojem koji nije nula i dodavanje u drugi red za sistem znači množenje jednačine istim brojem i dodavanje drugoj jednačini, što ne mijenja rješenje sistema . Rad s prvim redom: pomnožite prvi red matrice sa (-3) i dodajte redom drugi i treći red. Zatim pomnožimo prvi red sa (-2) i dodamo ga četvrtom. 
Drugi i treći red su proporcionalni, pa se jedan od njih, na primjer drugi, može precrtati. Ovo je ekvivalentno brisanju druge jednačine sistema, jer je posledica treće. 
Sada radimo s drugom linijom: pomnožite je sa (-1) i dodajte trećoj. 
Isprekidani minor ima najviši red (od svih mogućih minora) i nije nula (jednak je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali), a ovaj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, pa stoga rang A = rangB = 3 .
Minor 
je osnovno. Uključuje koeficijente za nepoznate x 2, x 3, x 4, što znači da su nepoznati x 2, x 3, x 4 zavisni, a x 1, x 5 slobodni.
Transformišemo matricu, ostavljajući samo osnovni minor sa leve strane (što odgovara tački 4 gornjeg algoritma rešenja). 
Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik
Metodom eliminacije nepoznatih nalazimo: 
, ,
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 2, x 3, x 4 kroz slobodne x 1 i x 5, odnosno našli smo opšte rešenje: 
Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobijamo bilo koji broj konkretnih rješenja. Nađimo dva konkretna rješenja:
1) neka je x 1 = x 5 = 0, tada je x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) stavite x 1 = 1, x 5 = -1, zatim x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Tako smo pronašli dva rješenja: (0,1, -3,3,0) - jedno rješenje, (1,4, -7,7, -1) - drugo rješenje.
Primjer 2. Istražiti kompatibilnost, pronaći opšte i jedno posebno rješenje sistema 
Rješenje. Preuredimo prvu i drugu jednačinu tako da u prvoj jednačini imamo jedinicu i napišemo matricu B. 
Dobijamo nule u četvrtoj koloni, koja radi u prvom redu: 
Sada uzmite nule u trećoj koloni koristeći drugi red: 
Treći i četvrti red su proporcionalni, tako da se jedan od njih može precrtati bez promjene ranga:
Pomnožite treći red sa (-2) i dodajte četvrtom: 
Vidimo da su rangovi glavne i proširene matrice 4, a rang se poklapa sa brojem nepoznatih, stoga sistem ima jedinstveno rješenje:
;
x 4 = 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 = 11.
Primjer 3. Ispitajte kompatibilnost sistema i pronađite rješenje ako postoji. 
Rješenje. Sastavljamo proširenu matricu sistema. 
Preuredite prve dvije jednadžbe tako da u gornjem lijevom uglu bude 1:
Pomnožeći prvi red sa (-1), dodajemo ga trećem: 
Pomnožite drugi red sa (-2) i dodajte trećem: 
Sistem je nekonzistentan, jer je glavna matrica dobila red koji se sastoji od nula, koji se precrtava kada se rang pronađe, a posljednji red ostaje u proširenoj matrici, odnosno r B > r A .
Vježbajte. Istražite ovaj sistem jednačina radi kompatibilnosti i riješite ga pomoću matričnog računa.
Rješenje
Primjer. Dokazati kompatibilnost sistema linearnih jednačina i rešiti je na dva načina: 1) Gaussovom metodom; 2) Cramerova metoda. (odgovor unesite u obliku: x1,x2,x3)
Rješenje :doc :doc :xls
odgovor: 2,-1,3.
Primjer. Dat je sistem linearnih jednačina. Dokažite njegovu kompatibilnost. Pronađite opšte rešenje sistema i jedno posebno rešenje.
Rješenje
odgovor: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Vježbajte. Pronađite opšta i posebna rješenja za svaki sistem.
Rješenje. Ovaj sistem proučavamo koristeći Kronecker-Capelli teorem.
Zapisujemo proširene i glavne matrice:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Ovdje je matrica A podebljana.
Dovodimo matricu u trouglasti oblik. Radit ćemo samo sa redovima, jer množenje reda matrice brojem koji nije nula i dodavanje u drugi red za sistem znači množenje jednačine istim brojem i dodavanje drugoj jednačini, što ne mijenja rješenje sistema .
Pomnožite 1. red sa (3). Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajmo 2. red na 1.:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Pomnožite 2. red sa (2). Pomnožite treći red sa (-3). Dodajmo 3. red u 2.:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajmo 2. red na 1.:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Izabrani minor ima najveći red (među mogućim minorima) i različit je od nule (jednak je umnošku elemenata na recipročnoj dijagonali), a ovaj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, stoga rangiran( A) = rang(B) = 3 Pošto je rang glavne matrice jednak rangu proširene, tada sistem je kolaborativni.
Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznate x 1, x 2, x 3, što znači da su nepoznati x 1, x 2, x 3 zavisni (osnovni), a x 4, x 5 slobodni.
Transformišemo matricu, ostavljajući samo osnovni mol sa leve strane.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Metodom eliminacije nepoznatih nalazimo:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1, x 2, x 3 kroz slobodne x 4, x 5, tj. zajednička odluka:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
neizvjesno, jer ima više od jednog rješenja.
Vježbajte. Riješite sistem jednačina.
Odgovori:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobijamo bilo koji broj konkretnih rješenja. Sistem je neizvjesno