Taj dio jednačine je izraz u zagradi. Da otvorite zagrade, pogledajte znak ispred zagrada. Ako postoji znak plus, otvaranje zagrada u izrazu neće ništa promijeniti: samo uklonite zagrade. Ako postoji znak minus, prilikom otvaranja zagrada morate promijeniti sve znakove koji su prvobitno bili u zagradama u suprotne. Na primjer, -(2x-3)=-2x+3.
Množenje dvije zagrade.
Ako jednadžba sadrži proizvod dvije zagrade, proširite zagrade prema standardnom pravilu. Svaki pojam u prvoj zagradi se množi sa svakim članom u drugoj zagradi. Rezultirajući brojevi se zbrajaju. U ovom slučaju, proizvod dva „plus” ili dva „minusa” daje terminu znak „plus”, a ako faktori imaju različite predznake, on dobija znak „minus”.
Hajde da razmotrimo.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Otvaranjem zagrada, ponekad podižući izraz na . Formule za kvadrat i kub moraju se znati napamet i zapamtiti.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formule za konstruisanje izraza većeg od tri mogu se napraviti pomoću Pascalovog trougla.
Izvori:
- formula za proširenje zagrada
Matematičke operacije zatvorene u zagradama mogu sadržati varijable i izraze različitog stepena složenosti. Da biste pomnožili takve izraze, morat ćete tražiti rješenje u općem obliku, otvarajući zagrade i pojednostavljujući rezultat. Ako zagrade sadrže operacije bez varijabli, samo sa numeričkim vrijednostima, onda otvaranje zagrada nije potrebno, jer ako imate računar, njegov korisnik ima pristup vrlo značajnim računskim resursima - lakše ih je koristiti nego pojednostaviti izraz.
Instrukcije
Pomnožite uzastopno svaku (ili minus sa ) sadržanu u jednoj zagradi sa sadržajem svih ostalih zagrada ako želite da dobijete rezultat u opštem obliku. Na primjer, neka se originalni izraz zapiše na sljedeći način: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Tada će sekvencijalno množenje (tj. otvaranje zagrada) dati sljedeći rezultat: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Pojednostavite rezultat skraćivanjem izraza. Na primer, izraz dobijen u prethodnom koraku može se pojednostaviti na sledeći način: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Koristite kalkulator ako trebate množenje koji sadrži samo numeričke vrijednosti, bez nepoznatih varijabli. Ugrađeni softver
U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.
Prvo, hajde da definišemo: šta je linearna jednačina i koja se zove najjednostavnija?
Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo do prvog stepena.
Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:
Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije korištenjem algoritma:
- Proširite zagrade, ako ih ima;
- Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
- Navedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
- Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.
Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad nakon svih ovih mahinacija koeficijent varijable $x$ pokaže jednakim nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:
- Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada ispadne nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj strani je broj koji nije nula. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
- Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.
Sada da vidimo kako sve ovo funkcionira na primjerima iz stvarnog života.
Primjeri rješavanja jednačina
Danas imamo posla sa linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.
Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:
- Prije svega, trebate proširiti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
- Zatim kombinirajte slično
- Na kraju, izolujte varijablu, tj. premjestite sve što je povezano s promjenljivom – termine u kojima je sadržana – na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje premjestite na drugu stranu.
Zatim, po pravilu, trebate donijeti slične na svakoj strani rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom “x” i dobićemo konačan odgovor.
U teoriji, ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se prave greške prilikom otvaranja zagrada ili prilikom izračunavanja „plusova“ i „minusa“.
Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Ove suptilnosti ćemo pogledati u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, s najjednostavnijim zadacima.
Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi
Prvo, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:
- Proširite zagrade, ako ih ima.
- Izolujemo varijable, tj. Sve što sadrži "X" pomeramo na jednu stranu, a sve bez "X" na drugu.
- Predstavljamo slične termine.
- Sve dijelimo koeficijentom “x”.
Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, u njoj postoje određene suptilnosti i trikovi, a sada ćemo ih upoznati.
Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi
Zadatak br. 1
Prvi korak zahtijeva da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Napomena: govorimo samo o pojedinačnim terminima. Hajde da to zapišemo:
Slične termine predstavljamo lijevo i desno, ali to je već urađeno ovdje. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite sa koeficijentom:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Tako da smo dobili odgovor.
Zadatak br. 2
U ovom problemu možemo vidjeti zagrade, pa ih proširimo:
I lijevo i desno vidimo približno isti dizajn, ali postupimo po algoritmu, tj. razdvajanje varijabli:
Evo nekoliko sličnih:
Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.
Zadatak br. 3
Treća linearna jednačina je zanimljivija:
\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]
Ovdje postoji nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, već im prethode različiti znakovi. Hajde da ih raščlanimo:
Izvodimo drugi nama već poznat korak:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Hajde da izračunamo:
Izvodimo posljednji korak - podijelimo sve sa koeficijentom “x”:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina
Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, želio bih reći sljedeće:
- Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
- Čak i ako postoje korijeni, među njima može biti nula - u tome nema ništa loše.
Nula je isti broj kao i ostali; ne treba ga ni na koji način diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.
Druga karakteristika je vezana za otvaranje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti pomoću standardnih algoritama: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.
Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i štetne greške u srednjoj školi, kada se takve stvari uzimaju zdravo za gotovo.
Rješavanje složenih linearnih jednadžbi
Pređimo na složenije jednadžbe. Sada će konstrukcije postati složenije i prilikom izvođenja različitih transformacija pojavit će se kvadratna funkcija. Međutim, toga se ne trebamo bojati, jer ako, prema autorovom planu, rješavamo linearnu jednadžbu, onda će se tijekom procesa transformacije sigurno poništiti svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju.
Primjer br. 1
Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:
Sada pogledajmo privatnost:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Evo nekoliko sličnih:
Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, pa ćemo ovo napisati u odgovoru:
\[\varnothing\]
ili nema korijena.
Primjer br. 2
Izvodimo iste radnje. Prvi korak:
Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:
Evo nekoliko sličnih:
Očigledno, ova linearna jednadžba nema rješenja, pa ćemo je napisati na sljedeći način:
\[\varnothing\],
ili nema korijena.
Nijanse rješenja
Obje jednačine su potpuno riješene. Koristeći ova dva izraza kao primjer, još jednom smo se uvjerili da čak ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama možda sve nije tako jednostavno: može postojati ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo korijena. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, obje jednostavno nemaju korijen.
Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih otvoriti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:
Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "X". Napomena: množe se svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva člana i pomnoženi.
I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, možete otvoriti zagradu sa stanovišta činjenice da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije završene, sjetimo se da ispred zagrada stoji znak minus, što znači da sve ispod jednostavno mijenja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".
Isto radimo i sa drugom jednačinom:
Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i opet uče rješavati tako jednostavne jednačine.
Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine usavršiti do automatizma. Više nećete morati da izvodite toliko transformacija svaki put; sve ćete pisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.
Rješavanje još složenijih linearnih jednačina
Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.
Zadatak br. 1
\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:
Učinimo malo privatnosti:
Evo nekoliko sličnih:
Završimo zadnji korak:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Evo našeg konačnog odgovora. I uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništavali, što jednačinu čini linearnom, a ne kvadratnom.
Zadatak br. 2
\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]
Pažljivo izvršimo prvi korak: pomnožimo svaki element iz prve zagrade sa svakim elementom iz druge. Nakon transformacije trebalo bi postojati ukupno četiri nova pojma:
Sada pažljivo izvršimo množenje u svakom članu:
Pomerimo termine sa "X" ulevo, a one bez - udesno:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Evo sličnih pojmova:
Još jednom smo dobili konačan odgovor.
Nijanse rješenja
Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade koje sadrže više od jednog člana, to se radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prve i množimo sa svakim elementom iz drugi; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat, imaćemo četiri mandata.
O algebarskom zbiru
Ovim posljednjim primjerom želio bih podsjetiti studente šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzeti sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju “jedan” dodajemo još jedan broj, odnosno “minus sedam”. Po tome se algebarski zbir razlikuje od običnog aritmetičkog zbira.
Čim, prilikom izvođenja svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.
Na kraju, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.
Rješavanje jednadžbi s razlomcima
Da bismo riješili takve zadatke, morat ćemo dodati još jedan korak našem algoritmu. Ali prvo, da vas podsjetim na naš algoritam:
- Otvorite zagrade.
- Odvojene varijable.
- Donesite slične.
- Podijelite omjerom.
Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, ispada da nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak i na lijevoj i na desnoj strani u obje jednačine.
Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može učiniti i prije i nakon prve radnje, odnosno uklanjanje razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:
- Riješite se razlomaka.
- Otvorite zagrade.
- Odvojene varijable.
- Donesite slične.
- Podijelite omjerom.
Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto se to može učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju svi razlomci su brojčani u nazivniku, tj. Svugdje je imenilac samo broj. Stoga, ako pomnožimo obje strane jednadžbe ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.
Primjer br. 1
\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku pomnožiti sa "četiri". Hajde da zapišemo:
\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]
Sada da proširimo:
Izdvajamo varijablu:
Vršimo redukciju sličnih pojmova:
\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Dobili smo konačno rješenje, idemo na drugu jednačinu.
Primjer br. 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Ovdje izvodimo sve iste radnje:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem je riješen.
To je, zapravo, sve što sam vam danas htio reći.
Ključne točke
Ključni nalazi su:
- Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
- Mogućnost otvaranja zagrada.
- Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se smanjiti u procesu daljnjih transformacija.
- Postoje tri vrste korijena u linearnim jednadžbama, čak i one najjednostavnije: jedan korijen, cijela brojevna prava je korijen i nema korijena.
Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu i riješite primjere prikazane tamo. Pratite nas, očekuje vas još mnogo zanimljivosti!
Proširivanje zagrada je vrsta transformacije izraza. U ovom dijelu ćemo opisati pravila za otvaranje zagrada, a također ćemo pogledati najčešće primjere problema.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Šta su otvorne zagrade?
Zagrade se koriste za označavanje redoslijeda u kojem se radnje izvode u numeričkim, literalnim i varijabilnim izrazima. Pogodno je preći sa izraza sa zagradama na identično jednak izraz bez zagrada. Na primjer, zamijenite izraz 2 · (3 + 4) izrazom oblika 2 3 + 2 4 bez zagrada. Ova tehnika se zove otvaranje zagrada.
Definicija 1
Proširivanje zagrada se odnosi na tehnike za uklanjanje zagrada i obično se razmatra u odnosu na izraze koji mogu sadržavati:
- znakovi “+” ili “-” ispred zagrada koje sadrže zbrojeve ili razlike;
- proizvod broja, slova ili više slova i zbroja ili razlike, koji se stavlja u zagrade.
Ovako smo navikli da posmatramo proces otvaranja zagrada u školskom programu. Međutim, niko nas ne brani da na ovu akciju gledamo šire. Otvaranjem zagrada možemo nazvati prijelaz iz izraza koji sadrži negativne brojeve u zagradama u izraz koji nema zagrade. Na primjer, možemo ići od 5 + (− 3) − (− 7) do 5 − 3 + 7. U stvari, ovo je i otvaranje zagrada.
Na isti način možemo zamijeniti proizvod izraza u zagradama oblika (a + b) · (c + d) sa zbirom a · c + a · d + b · c + b · d. Ova tehnika takođe nije u suprotnosti sa značenjem otvaranja zagrada.
Evo još jednog primjera. Možemo pretpostaviti da se bilo koji izrazi mogu koristiti umjesto brojeva i varijabli u izrazima. Na primjer, izraz x 2 · 1 a - x + sin (b) odgovarat će izrazu bez zagrada u obliku x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).
Posebnu pažnju zaslužuje još jedna stvar koja se tiče posebnosti evidentiranja odluka prilikom otvaranja zagrada. Početni izraz možemo napisati u zagradama i rezultat koji se dobije nakon otvaranja zagrada kao jednakost. Na primjer, nakon proširenja zagrada umjesto izraza 3 − (5 − 7) dobijamo izraz 3 − 5 + 7 . Oba ova izraza možemo zapisati kao jednakost 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.
Izvođenje radnji sa glomaznim izrazima može zahtijevati snimanje međurezultata. Tada će rješenje imati oblik lanca jednakosti. Na primjer, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 ili 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Pravila za otvaranje zagrada, primjeri
Pogledajmo pravila za otvaranje zagrada.
Za pojedinačne brojeve u zagradama
Negativni brojevi u zagradama se često nalaze u izrazima. Na primjer, (− 4) i 3 + (− 4) . Pozitivni brojevi u zagradama također imaju svoje mjesto.
Hajde da formulišemo pravilo za otvaranje zagrada koje sadrže pojedinačne pozitivne brojeve. Pretpostavimo da je a bilo koji pozitivan broj. Tada možemo zamijeniti (a) sa a, + (a) sa + a, - (a) sa – a. Ako umjesto a uzmemo određeni broj, tada će prema pravilu: broj (5) biti napisan kao 5 , izraz 3 + (5) bez zagrada će poprimiti oblik 3 + 5 , budući da je + (5) zamijenjeno sa + 5 , a izraz 3 + (− 5) je ekvivalentan izrazu 3 − 5 , jer + (− 5) je zamijenjen sa − 5 .
Pozitivni brojevi se obično pišu bez upotrebe zagrada, jer u ovom slučaju zagrade nisu potrebne.
Sada razmotrite pravilo za otvaranje zagrada koje sadrže jedan negativan broj. + (− a) zamenjujemo sa − a, − (− a) se zamjenjuje sa + a. Ako izraz počinje negativnim brojem (− a), koji je napisan u zagradama, tada se zagrade izostavljaju i umjesto toga (− a) ostaci − a.
Evo nekoliko primjera: (− 5) može se napisati kao − 5, (− 3) + 0, 5 postaje − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) postaje 4 − 3 , a − (− 4) − (− 3) nakon otvaranja zagrada poprima oblik 4 + 3, jer − (− 4) i − (− 3) se zamjenjuje sa + 4 i + 3 .
Treba shvatiti da se izraz 3 · (− 5) ne može zapisati kao 3 · − 5. O tome će biti riječi u sljedećim paragrafima.
Hajde da vidimo na čemu se zasnivaju pravila za otvaranje zagrada.
Prema pravilu, razlika a − b jednaka je a + (− b) . Na osnovu svojstava radnji sa brojevima, možemo kreirati lanac jednakosti (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = ašto će biti pošteno. Ovaj lanac jednakosti, na osnovu značenja oduzimanja, dokazuje da je izraz a + (− b) razlika a − b.
Na osnovu svojstava suprotnih brojeva i pravila za oduzimanje negativnih brojeva, možemo reći da je − (− a) = a, a − (− b) = a + b.
Postoje izrazi koji se sastoje od broja, znakova minusa i nekoliko parova zagrada. Korištenje gornjih pravila omogućuje vam da se uzastopno riješite zagrada, krećući se od unutrašnjih prema vanjskim zagradama ili u suprotnom smjeru. Primjer takvog izraza bi bio − (− ((− (5)))) . Otvorimo zagrade, krećući se iznutra prema van: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Ovaj primjer se također može analizirati u suprotnom smjeru: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Ispod a i b se mogu shvatiti ne samo kao brojevi, već i kao proizvoljni numerički ili abecedni izrazi sa znakom "+" ispred koji nisu zbroji ili razlike. U svim ovim slučajevima možete primijeniti pravila na isti način kao što smo to učinili za pojedinačne brojeve u zagradama.
Na primjer, nakon otvaranja zagrada izraz − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z)će imati oblik 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Kako smo to uradili? Znamo da je − (− 2 x) + 2 x, a pošto je ovaj izraz prvi, onda se + 2 x može zapisati kao 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x i − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
U produktima dva broja
Počnimo s pravilom za otvaranje zagrada u proizvodu dva broja.
Pretvarajmo se to a i b su dva pozitivna broja. U ovom slučaju, proizvod dva negativna broja − a i − b oblika (− a) · (− b) možemo zamijeniti sa (a · b) , a proizvode dva broja sa suprotnim predznacima oblika (− a) · b i a · (− b) može se zamijeniti sa (− a b). Množenje minusa sa minusom daje plus, a množenje minusa sa plusom, kao množenje plusa sa minusom daje minus.
Ispravnost prvog dijela napisanog pravila potvrđuje se pravilom za množenje negativnih brojeva. Za potvrdu drugog dijela pravila možemo koristiti pravila za množenje brojeva s različitim predznacima.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer 1
Razmotrimo algoritam za otvaranje zagrada u proizvodu dva negativna broja - 4 3 5 i - 2, oblika (- 2) · - 4 3 5. Da biste to učinili, zamijenite originalni izraz sa 2 · 4 3 5 . Otvorimo zagrade i dobijemo 2 · 4 3 5 .
A ako uzmemo količnik negativnih brojeva (− 4) : (− 2), onda će unos nakon otvaranja zagrada izgledati kao 4:2
Umjesto negativnih brojeva − a i − b može biti bilo koji izrazi sa predznakom minus koji nisu zbroji ili razlike. Na primjer, to mogu biti proizvodi, količniki, razlomci, potenci, korijeni, logaritmi, trigonometrijske funkcije itd.
Otvorimo zagrade u izrazu - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Prema pravilu možemo napraviti sljedeće transformacije: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Izraz (− 3) 2 može se pretvoriti u izraz (− 3 2) . Nakon toga možete proširiti zagrade: − 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Dijeljenje brojeva s različitim predznacima također može zahtijevati preliminarno proširenje zagrada: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 i 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
Pravilo se može koristiti za množenje i dijeljenje izraza s različitim predznacima. Navedimo dva primjera.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2
U proizvodima od tri ili više brojeva
Prijeđimo na proizvode i količnike, koji sadrže veći broj brojeva. Za otvaranje zagrada, ovdje će se primijeniti sljedeće pravilo. Ako postoji paran broj negativnih brojeva, možete izostaviti zagrade i zamijeniti brojeve njihovim suprotnostima. Nakon toga, potrebno je da dobijeni izraz priložite u nove zagrade. Ako postoji neparan broj negativnih brojeva, izostavite zagrade i zamijenite brojeve njihovim suprotnim brojevima. Nakon toga, rezultirajući izraz se mora staviti u nove zagrade i ispred njega staviti znak minus.
Primjer 2
Na primjer, uzmite izraz 5 · (− 3) · (− 2) , koji je proizvod tri broja. Postoje dva negativna broja, stoga izraz možemo napisati kao (5 · 3 · 2), a zatim na kraju otvorite zagrade i dobijete izraz 5 · 3 · 2.
U proizvodu (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) pet brojeva je negativnih. dakle (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Kada smo konačno otvorili zagrade, dobijamo −2,5 3:2 4:1,25:1.
Gornje pravilo se može opravdati na sljedeći način. Prvo, takve izraze možemo prepisati kao proizvod, zamjenjujući dijeljenje množenjem recipročnim brojem. Svaki negativan broj predstavljamo kao proizvod množenog broja i - 1 ili - 1 je zamijenjeno sa (− 1) a.
Koristeći komutativno svojstvo množenja, mijenjamo faktore i prenosimo sve faktore jednake − 1 , na početak izraza. Proizvod parnog broja minus jedan jednak je 1, a proizvod neparnog broja jednak je − 1 , što nam omogućava da koristimo znak minus.
Ako ne bismo koristili pravilo, tada bi lanac radnji za otvaranje zagrada u izrazu - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 izgledao ovako:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Gornje pravilo se može koristiti kada otvarate zagrade u izrazima koji predstavljaju proizvode i količnike sa znakom minus koji nisu zbroji ili razlike. Uzmimo za primjer izraz
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .
Može se svesti na izraz bez zagrada x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.
Proširene zagrade kojima prethodi znak +
Razmislite o pravilu koje se može primijeniti na proširene zagrade kojima prethodi znak plus, a "sadržaj" tih zagrada se ne množi niti dijeli nikakvim brojem ili izrazom.
Po pravilu se zagrade, zajedno sa znakom ispred njih, izostavljaju, a znaci svih pojmova u zagradi su sačuvani. Ako nema znaka ispred prvog člana u zagradi, onda morate staviti znak plus.
Primjer 3
Na primjer, dajemo izraz (12 − 3 , 5) − 7 . Izostavljanjem zagrada zadržavamo predznake pojmova u zagradi i stavljamo znak plus ispred prvog člana. Unos će izgledati kao (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. U datom primjeru nije potrebno stavljati znak ispred prvog člana, jer je + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.
Primjer 4
Pogledajmo još jedan primjer. Uzmimo izraz x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x i izvršimo radnje s njim x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Evo još jednog primjera proširenja zagrada:
Primjer 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Kako se proširuju zagrade ispred znaka minus?
Razmotrimo slučajeve u kojima se ispred zagrada nalazi znak minus, a koji se ne množe (ili dijele) ni sa jednim brojem ili izrazom. Prema pravilu otvaranja zagrada kojima prethodi znak "-", zagrade sa znakom "-" se izostavljaju, a znaci svih pojmova unutar zagrada su obrnuti.
Primjer 6
npr.:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Izrazi s varijablama mogu se pretvoriti korištenjem istog pravila:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
dobijamo x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .
Otvaranje zagrada pri množenju broja sa zagradama, izrazi sa zagradama
Ovdje ćemo pogledati slučajeve kada trebate proširiti zagrade koje su pomnožene ili podijeljene nekim brojem ili izrazom. Formule oblika (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) ili b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Gdje a 1 , a 2 , … , a n i b su neki brojevi ili izrazi.
Primjer 7
Na primjer, proširimo zagrade u izrazu (3 − 7) 2. Prema pravilu možemo izvršiti sljedeće transformacije: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Dobijamo 3 · 2 − 7 · 2 .
Otvarajući zagrade u izrazu 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, dobijamo 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Množenje zagrada sa zagradama
Razmotrimo proizvod dvije zagrade oblika (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Ovo će nam pomoći da dobijemo pravilo za otvaranje zagrada kada izvodimo množenje zagrada po zagrada.
Da bismo riješili dati primjer, označavamo izraz (b 1 + b 2) kao b. Ovo će nam omogućiti da koristimo pravilo za množenje zagrade izrazom. Dobijamo (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Izvođenjem obrnute zamjene b pomoću (b 1 + b 2), ponovo primijeni pravilo množenja izraza zagradom: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Zahvaljujući nizu jednostavnih tehnika, možemo doći do zbroja proizvoda svakog od članova iz prve zagrade sa svakim od članova iz druge zagrade. Pravilo se može proširiti na bilo koji broj pojmova unutar zagrada.
Hajde da formulišemo pravila za množenje zagrada zagradama: da biste pomnožili dva zbroja zajedno, potrebno je da pomnožite svaki od članova prvog zbira sa svakim od članova drugog zbira i saberete rezultate.
Formula će izgledati ovako:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Proširimo zagrade u izrazu (1 + x) · (x 2 + x + 6) To je proizvod dva zbroja. Zapišimo rješenje: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Vrijedi posebno spomenuti one slučajeve u kojima se u zagradama nalazi znak minus zajedno sa znakovima plus. Na primjer, uzmite izraz (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Prvo, predstavimo izraze u zagradama kao sume: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Sada možemo primijeniti pravilo: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Otvorimo zagrade: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Proširivanje zagrada u proizvodima višestrukih zagrada i izraza
Ako u izrazu postoje tri ili više izraza u zagradama, zagrade se moraju otvarati uzastopno. Morate započeti transformaciju stavljanjem prva dva faktora u zagrade. Unutar ovih zagrada možemo izvršiti transformacije u skladu sa pravilima o kojima smo gore govorili. Na primjer, zagrade u izrazu (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
Izraz sadrži tri faktora odjednom (2 + 4) , 3 i (5 + 7 8) . Otvaraćemo zagrade redom. Stavimo prva dva faktora u drugu zagradu, koju ćemo učiniti crvenim radi jasnoće: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
U skladu s pravilom za množenje zagrade brojem, možemo izvršiti sljedeće radnje: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Pomnožite zagradu po zagradu: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Zagrada u naturi
Stupnjevi, čije su osnove neki izrazi napisani u zagradama, sa prirodnim eksponentima mogu se smatrati proizvodom nekoliko zagrada. Štaviše, prema pravilima iz prethodna dva stava, mogu se pisati i bez ovih zagrada.
Razmotrite proces transformacije izraza (a + b + c) 2 . Može se napisati kao proizvod dvije zagrade (a + b + c) · (a + b + c). Pomnožimo zagradu po zagradu i dobijemo a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Pogledajmo još jedan primjer:
Primjer 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Dijeljenje zagrada brojem i zagrada zagradama
Dijeljenje zagrade brojem zahtijeva da se svi pojmovi u zagradi podijele brojem. Na primjer, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Dijeljenje se prvo može zamijeniti množenjem, nakon čega možete koristiti odgovarajuće pravilo za otvaranje zagrada u proizvodu. Isto pravilo vrijedi kada se zagrada dijeli zagradom.
Na primjer, trebamo otvoriti zagrade u izrazu (x + 2) : 2 3 . Da biste to učinili, prvo zamijenite dijeljenje množenjem s recipročnim brojem (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Pomnožite zagradu brojem (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Evo još jednog primjera dijeljenja zagradama:
Primjer 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Zamijenimo dijeljenje množenjem: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Učinimo množenje: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Redoslijed otvaranja zagrada
Sada razmotrimo redoslijed primjene pravila o kojima smo gore govorili u općim izrazima, tj. u izrazima koji sadrže zbrojeve sa razlikama, proizvode sa količnikima, zagrade u prirodnom stepenu.
Procedura:
- prvi korak je podizanje zagrada na prirodnu snagu;
- u drugoj fazi vrši se otvaranje zagrada u radovima i količnikima;
- Posljednji korak je otvaranje zagrada u zbrojima i razlikama.
Razmotrimo redosled akcija na primeru izraza (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformirajmo iz izraza 3 · (− 2) : (− 4) i 6 · (− 7) , koji bi trebao poprimiti oblik (3 2:4) i (− 6 · 7) . Zamjenom dobijenih rezultata u originalni izraz dobijamo: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Otvorite zagrade: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
Kada se radi o izrazima koji sadrže zagrade unutar zagrada, zgodno je izvršiti transformacije radeći iznutra prema van.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
„Uvodne zagrade“ - udžbenik matematike, 6. razred (Vilenkin)
Kratki opis:
U ovom odjeljku ćete naučiti kako proširiti zagrade u primjerima. čemu služi? Sve je za isto kao i prije - da vam bude lakše i jednostavnije da brojite, da manje griješite, a idealno (san vašeg profesora matematike) da sve riješite bez greške.
Već znate da se zagrade stavljaju u matematičku notaciju ako se dva matematička znaka pojave u nizu, ako želimo prikazati kombinaciju brojeva, njihovo pregrupisavanje. Proširivanje zagrada znači uklanjanje nepotrebnih znakova. Na primjer: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Sjećate li se distributivnog svojstva množenja u odnosu na sabiranje? Zaista, u tom primjeru smo se također riješili zagrada da bismo pojednostavili proračune. Imenovano svojstvo množenja se također može primijeniti na četiri, tri, pet ili više članova. Na primjer: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Jeste li primijetili da kada otvorite zagrade, brojevi u njima ne mijenjaju predznak ako je broj ispred zagrada pozitivan? Na kraju krajeva, petnaest je pozitivan broj. A ako riješite ovaj primjer: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Ispred zagrada smo imali negativan broj minus petnaest, kada smo otvorili zagrade svi brojevi su počeli da menjaju svoj predznak u drugi – suprotno – od plusa u minus.
Na osnovu gornjih primjera mogu se navesti dva osnovna pravila za otvaranje zagrada:
1. Ako ispred zagrada imate pozitivan broj, onda se nakon otvaranja zagrada svi predznaci brojeva u zagradama ne mijenjaju, već ostaju potpuno isti kao što su bili.
2. Ako ispred zagrada imate negativan broj, onda se nakon otvaranja zagrada znak minus više ne piše, a predznaci svih apsolutnih brojeva u zagradama odjednom se mijenjaju u suprotne.
Na primjer: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Hajde da malo zakomplikujemo naše primjere: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Primijetili ste da smo prilikom otvaranja druge zagrade pomnožili sa 2, ali su znakovi ostali isti kao što su bili. Evo primjera: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, u ovom primjeru broj dva je negativan, nalazi se ispred zagrade stoje sa predznakom minus, pa smo prilikom otvaranja promijenili predznake brojeva u suprotne (devet je bilo sa plusom, postalo minus, osam je bilo sa minusom, postalo plus).
U ovoj lekciji ćete naučiti kako transformirati izraz koji sadrži zagrade u izraz bez zagrada. Naučit ćete kako otvoriti zagrade kojima prethode znak plus i znak minus. Sjetit ćemo se kako otvoriti zagrade koristeći distributivni zakon množenja. Razmatrani primjeri omogućit će vam da povežete novi i prethodno proučeni materijal u jedinstvenu cjelinu.
Tema: Rješavanje jednačina
Lekcija: Proširene zagrade
Kako proširiti zagrade kojima prethodi znak "+". Koristeći asocijativni zakon sabiranja.
Ako nekom broju trebate dodati zbir dva broja, ovom broju možete prvo dodati prvi član, a zatim drugi.
Lijevo od znaka jednakosti je izraz sa zagradama, a desno izraz bez zagrada. To znači da je pri pomicanju s lijeve strane jednakosti na desnu došlo do otvaranja zagrada.
Pogledajmo primjere.
Primjer 1. 
Otvaranjem zagrada promijenili smo redoslijed radnji. Postalo je zgodnije brojati.
Primjer 2. 
Primjer 3.
Imajte na umu da smo u sva tri primjera jednostavno uklonili zagrade. Hajde da formulišemo pravilo:
Komentar.
Ako je prvi član u zagradama nepotpisan, onda se mora napisati sa znakom plus.
Možete slijediti primjer korak po korak. Prvo, dodajte 445 na 889. Ova radnja se može izvesti mentalno, ali nije lako. Otvorimo zagrade i vidimo da će izmijenjena procedura značajno pojednostaviti proračune.
Ako slijedite naznačenu proceduru, prvo morate od 512 oduzeti 345, a zatim rezultatu dodati 1345. Otvaranjem zagrada promijenit ćemo postupak i značajno pojednostaviti proračune.
Ilustrirajući primjer i pravilo.
Pogledajmo primjer: . Vrijednost izraza možete pronaći dodavanjem 2 i 5, a zatim uzimanjem rezultirajućeg broja sa suprotnim predznakom. Dobijamo -7.
S druge strane, isti rezultat se može dobiti dodavanjem suprotnih brojeva originalnim.
Hajde da formulišemo pravilo:
Primjer 1. 
Primjer 2.
Pravilo se ne mijenja ako u zagradama nisu dva, već tri ili više pojmova.
Primjer 3. 
Komentar. Znakovi su obrnuti samo ispred pojmova.
Da bismo otvorili zagrade, u ovom slučaju moramo zapamtiti distributivno svojstvo.
Prvo pomnožite prvu zagradu sa 2, a drugu sa 3.
Prvoj zagradi prethodi znak "+", što znači da se znakovi moraju ostaviti nepromijenjeni. Drugom znaku prethodi znak "-", stoga sve znakove treba promijeniti u suprotne
Bibliografija
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - Prosvjeta, 1989.
- Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za 5-6 razred matematike - ZŠ MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - ZŠ MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Udžbenik-sagovornik za 5-6 razred srednje škole. Biblioteka nastavnika matematike. - Prosvjeta, 1989.
- Online testovi iz matematike ().
- Možete preuzeti one navedene u klauzuli 1.2. knjige().
Zadaća
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link vidi 1.2)
- Domaći: br. 1254, br. 1255, br. 1256 (b, d)
- Ostali zadaci: br. 1258(c), br. 1248