Proširenje funkcije u serije Taylor, Maclaurin i Laurent na mjestu za obuku praktičnih vještina. Ovo proširenje funkcije u niz omogućava matematičarima da procijene približnu vrijednost funkcije u nekom trenutku u njenom domenu definicije. Mnogo je lakše izračunati takvu vrijednost funkcije u odnosu na korištenje Bredisove tablice, koja je toliko irelevantna u doba kompjuterske tehnologije. Proširiti funkciju u Taylorov red znači izračunati koeficijente linearnih funkcija ovog niza i napisati je u ispravnom obliku. Učenici brkaju ova dva niza, ne shvatajući šta je opšti slučaj, a šta poseban slučaj drugog. Podsjetimo jednom za svagda Maclaurinov red je poseban slučaj Taylorovog reda, odnosno ovo je Taylorov red, ali u tački x = 0. Svi kratki unosi za proširenje dobro poznatih funkcija, kao što su e^x, Sin(x), Cos(x) i drugi, ovo su proširenja Taylorovog reda, ali u tački 0 za argument. Za funkcije složenog argumenta, Lorentov red je najčešći problem u TFCT-u, budući da predstavlja dvostrani beskonačan niz. To je zbir dvije serije. Predlažemo da pogledate primjer dekompozicije direktno na web stranici; to je vrlo lako učiniti klikom na “Primjer” s bilo kojim brojem, a zatim na dugme “Rješenje”. Upravo je ovo proširenje funkcije u niz koji je povezan s majorizirajućim nizom koji ograničava izvornu funkciju u određenom području duž ordinatne ose ako varijabla pripada području apscise. Vektorska analiza uspoređuje se s još jednom zanimljivom disciplinom u matematici. Budući da svaki termin treba ispitati, proces zahtijeva dosta vremena. Bilo koji Taylorov niz može biti povezan s Maclaurinovim nizom zamjenom x0 sa nulom, ali za Maclaurinov niz ponekad nije očigledno da se Taylorov red predstavlja obrnuto. Kao da se to ne mora raditi u svom čistom obliku, zanimljivo je za opći samorazvoj. Svaki Laurentov niz odgovara dvostranom beskonačnom nizu stepena u cijelim potencijama z-a, drugim riječima, nizu istog Taylorovog tipa, ali malo drugačijem u izračunavanju koeficijenata. O području konvergencije Laurentove serije ćemo govoriti malo kasnije, nakon nekoliko teorijskih proračuna. Kao iu prošlom veku, postepeno proširenje funkcije u niz teško se može postići jednostavnim dovođenjem pojmova do zajedničkog imenioca, pošto su funkcije u nazivnicima nelinearne. Formulacija problema zahtijeva približan proračun funkcionalne vrijednosti. Razmislite o činjenici da kada je argument Taylorovog reda linearna varijabla, tada se proširenje događa u nekoliko koraka, ali je slika potpuno drugačija kada je argument funkcije koja se proširuje složena ili nelinearna funkcija, tada se proces predstavljanje takve funkcije u nizu stepena je očigledno, jer je, na ovaj način, lako izračunati, iako približnu vrijednost, u bilo kojoj tački u području definicije, sa minimalnom greškom koja ima mali uticaj na dalje proračune. Ovo važi i za Maclaurin seriju. kada je potrebno izračunati funkciju u nultoj tački. Međutim, sam Laurentov niz ovdje je predstavljen ekspanzijom na ravan sa imaginarnim jedinicama. Takođe, ispravno rješenje problema tokom cjelokupnog procesa neće biti bez uspjeha. Ovaj pristup nije poznat u matematici, ali objektivno postoji. Kao rezultat, možete doći do zaključka o takozvanim tačkastim podskupovima, a za proširenje funkcije u nizu morate koristiti metode poznate za ovaj proces, kao što je primjena teorije izvoda. Još jednom se uvjeravamo da je učitelj bio u pravu, koji je iznio svoje pretpostavke o rezultatima postračunarskih proračuna. Napomenimo da Taylorov niz, dobijen po svim kanonima matematike, postoji i definiran je na cijeloj numeričkoj osi, međutim, poštovani korisnici servisa stranice, ne zaboravite tip originalne funkcije, jer može ispasti da je u početku potrebno uspostaviti domen definicije funkcije, odnosno napisati i isključiti iz daljeg razmatranja one tačke u kojima funkcija nije definirana u domeni realnih brojeva. Takoreći, ovo će pokazati vašu efikasnost u rješavanju problema. Konstrukcija Maclaurinove serije sa nultom vrijednošću argumenata neće biti izuzetak od onoga što je rečeno. Proces pronalaženja domena definicije funkcije nije otkazan i ovoj matematičkoj operaciji morate pristupiti sa punom ozbiljnošću. U slučaju Laurentovog niza koji sadrži glavni dio, parametar "a" će se zvati izolirana singularna točka, a Laurentov niz će se proširiti u prsten - to je sjecište područja konvergencije njegovih dijelova, dakle slijedi odgovarajuća teorema. Ali nije sve tako komplikovano kao što se na prvi pogled čini neiskusnom studentu. Proučavajući Taylorov niz, lako možete razumjeti Laurentov niz - generalizirani slučaj za proširenje prostora brojeva. Bilo koje proširenje funkcije u niz može se izvesti samo u točki u domeni definicije funkcije. Svojstva funkcija kao što su periodičnost ili beskonačna diferencijabilnost treba uzeti u obzir. Također predlažemo da koristite tabelu gotovih proširenja elementarnih funkcija Taylorovog niza, budući da se jedna funkcija može predstaviti sa do desetine različitih nizova stepena, što se može vidjeti iz našeg online kalkulatora. Online Maclaurin seriju je lako odrediti, ako koristite jedinstvenu uslugu web stranice, samo trebate unijeti ispravnu napisanu funkciju i dobit ćete predstavljeni odgovor za nekoliko sekundi, garantirano je tačan i u standardnom pisanom obliku. Rezultat možete kopirati direktno u čistu kopiju za predaju nastavniku. Bilo bi ispravno prvo odrediti analitičnost dotične funkcije u prstenovima, a zatim nedvosmisleno reći da je ona proširiva u Lorentov red u svim takvim prstenovima. Važno je ne izgubiti iz vida pojmove Lorentove serije koji sadrže negativne moći. Fokusirajte se na ovo što je više moguće. Dobro iskoristite Laurentov teorem o proširenju funkcije u cjelobrojne stepene.
Ako funkcija f(x) ima derivate svih redova na određenom intervalu koji sadrži tačku a, tada se na nju može primijeniti Taylorova formula:
,
Gdje r n– takozvani preostali član ili ostatak serije, može se procijeniti pomoću Lagrangeove formule:
, gdje je broj x između x i a.
f(x)=
U tački x 0 =
Broj elemenata reda 3 4 5 6 7
Koristite proširenje elementarnih funkcija e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m
Pravila za unos funkcija:
Ako za neku vrijednost X r n→0 at n→∞, tada u granici Taylor formula postaje konvergentna za ovu vrijednost Taylor serija:
,
Dakle, funkcija f(x) može se proširiti u Taylorov red u tački x koja se razmatra ako:
1) ima derivate svih naloga;
2) konstruisani niz konvergira u ovoj tački.
Kada je a = 0 dobijamo niz koji se zove Maclaurin red:
,
Proširenje najjednostavnijih (elementarnih) funkcija u Maclaurin seriji:
Eksponencijalne funkcije
, R=∞
Trigonometrijske funkcije 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx se ne širi po stepenu x, jer ctg0=∞
Hiperboličke funkcije
Logaritamske funkcije
, -1