Nazad napred
Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati puni obim prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.
Vrsta lekcije: ponavljanje i generalizacija.
Forma lekcije: konsultativni čas.
Ciljevi lekcije:
- obrazovni: ponoviti i generalizirati teorijska znanja na teme: „Geometrijsko značenje izvoda“ i „Primjena izvoda u proučavanju funkcija“; uzeti u obzir sve vrste zadataka B8 sa kojima se susreću na ispitu iz matematike; omogućiti studentima da provjere svoja znanja samostalnim rješavanjem zadataka; naučiti kako se popunjava ispitni formular odgovora;
- razvoj: promovirati razvoj komunikacije kao metode naučnog saznanja, semantičkog pamćenja i dobrovoljne pažnje; formiranje ključnih kompetencija kao što su poređenje, poređenje, klasifikacija objekata, određivanje adekvatnih načina za rješavanje problema učenja na osnovu zadatih algoritama, sposobnost samostalnog djelovanja u situaciji neizvjesnosti, kontrola i evaluacija svojih aktivnosti, pronalaženje i eliminisanje uzroci nastalih poteškoća;
- obrazovni: razvijati komunikativne kompetencije učenika (kultura komunikacije, sposobnost rada u grupama); doprinose razvoju potrebe za samoobrazovanjem.
Tehnologije: razvojno obrazovanje, ICT.
Nastavne metode: verbalno, vizuelno, praktično, problematično.
Oblici rada: individualni, frontalni, grupni.
Edukativno-metodička podrška:
1. Algebra i početak matematičke analize 11. razred: udžbenik. Za opšte obrazovanje Institucije: osnovne i profilne. nivoi / (Ju. M. Koljagin, M.V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin); priredio A. B. Zhizhchenko. - 4. izd. - M.: Obrazovanje, 2011.
2. UPOTREBA: 3000 zadataka sa odgovorima iz matematike. Svi zadaci grupe B / A.L. Semjonov, I.V. Yashchenko i drugi; uredio A.L. Semjonova, I.V. Yashchenko. - M.: Izdavačka kuća "Ispit", 2011.
3. Otvorite banku poslova.
Oprema i materijal za nastavu: projektor, platno, računar za svakog učenika sa instaliranom prezentacijom, ispis memoranduma za sve učenike (Aneks 1) i bodovni list Dodatak 2) .
Preliminarne pripreme za nastavu: kao domaći zadatak učenici se pozivaju da ponove teorijsko gradivo iz udžbenika na teme: „Geometrijsko značenje izvoda“, „Primjena izvoda u proučavanju funkcija“; razred je podijeljen u grupe (po 4 osobe), od kojih svaka ima učenike različitog nivoa.
Objašnjenje za lekciju: Ovaj čas se održava u 11. razredu u fazi ponavljanja i pripreme za ispit. Nastava je usmjerena na ponavljanje i generalizaciju teorijskog materijala, njegovu primjenu u rješavanju ispitnih zadataka. Trajanje nastave - 1,5 sat .
Ova lekcija nije u prilogu udžbenika, pa se može izvoditi uz rad na bilo kojem nastavnom materijalu. Također, ova lekcija se može podijeliti u dvije odvojene i održati kao završne lekcije o temama koje se razmatraju.
Tokom nastave
I. Organizacioni momenat.
II. Lekcija o postavljanju ciljeva.
III. Ponavljanje na temu „Geometrijsko značenje derivacije“.
Usmeni frontalni rad na projektoru (slajdovi br. 3-7)
Grupni rad: rješavanje problema uz savjete, odgovore, uz savjet nastavnika (slajdovi br. 8-17)
IV. Samostalni rad 1.
Učenici samostalno rade na računaru (slajdovi br. 18-26), njihovi odgovori se unose u evaluacioni list. Ako je potrebno, možete poslušati savjet nastavnika, ali u tom slučaju učenik gubi 0,5 bodova. Ako se učenik ranije snađe u radu, tada može izabrati rješavanje dodatnih zadataka iz zbirke, str. 242, 306-324 (dodatni zadaci se posebno vrednuju).
V. Međusobna provjera.
Učenici razmjenjuju evaluacijske listove, provjeravaju rad drugarice, daju bodove (slajd br. 27)
VI. Korekcija znanja.
VII. Ponavljanje na temu “Primjena derivacije u proučavanju funkcija”
Usmeni frontalni rad na projektoru (slajdovi br. 28-30)
Grupni rad: rješavanje zadataka uz upite, odgovore, uz savjet nastavnika (slajdovi br. 31-33)
VIII. Samostalni rad 2.
Učenici samostalno rade na računaru (slajdovi br. 34-46), svoje odgovore upisuju u list za odgovore. Ako je potrebno, možete poslušati savjet nastavnika, ali u tom slučaju učenik gubi 0,5 bodova. Ako se učenik ranije nosi sa radom, tada može izabrati rješavanje dodatnih zadataka iz zbirke, str. 243-305 (dodatni zadaci se posebno vrednuju).
IX. Međusobna verifikacija.
Učenici razmjenjuju evaluacijske listove, provjeravaju rad drugarice, daju bodove (slajd br. 47).
X. Korekcija znanja.
Učenici ponovo rade u svojim grupama, raspravljaju o rješenju, ispravljaju greške.
XI. Rezimirajući.
Svaki učenik izračunava svoje bodove i stavlja ocjenu na evaluacijski list.
Učenici predaju nastavniku evaluacijski listić i rješenje dodatnih zadataka.
Svaki učenik dobija dopis (slajd br. 53-54).
XII. Refleksija.
Od učenika se traži da procijene svoje znanje odabirom jedne od rečenica:
- Imam sve!!!
- Moramo riješiti još par primjera.
- Ko je smislio ovu matematiku!
XIII. Zadaća.
Za domaći zadatak učenici se pozivaju da izaberu rješavanje zadataka iz zbirke, str. 242-334, kao i iz otvorene banke zadataka.
Na slici je prikazan graf funkcije y = f (x) i tangente na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f (x) u tački x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title=" Na slici je grafikon funkcije y = f (x ) i prikazana je tangenta na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f (x) u tački x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="Na slici je prikazan graf funkcije y = f (x) i tangente na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f (x) u tački x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f (x), definirane na intervalu (-1; 17). Naći intervale opadajuće funkcije f(x). U svom odgovoru napišite dužinu najvećeg od njih. f(x) 
0 na intervalu, zatim funkcija f (x) "title=" Slika prikazuje grafik funkcije y = f (x). Pronađite među tačkama x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 i x 7 su tačke u kojima je derivacija funkcije f (x) pozitivna. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih tačaka. Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada funkcija f (x)" class="link_thumb"> 8 !} Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x). Pronađite među tačkama x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 one tačke u kojima je derivacija funkcije f (x) pozitivna. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih bodova. Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada funkcija f(x) raste na ovom intervalu. Odgovor: 2 0 na intervalu, zatim funkcija f(x)"> 0 na intervalu, zatim funkcija f(x) raste na ovom intervalu. Odgovor: 2"> 0 na intervalu, zatim funkcija f(x)" title= " Na grafu funkcije y = f (x) prikazana je slika. Pronađite među tačkama x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 te tačke u kojoj je derivacija funkcije f (x) pozitivna Upišite u odgovor broj pronađenih tačaka Ako je f (x) > 0 na intervalu, onda funkcija f(x)"> title="Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x). Pronađite među tačkama x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 one tačke u kojima je derivacija funkcije f (x) pozitivna. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih bodova. Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada funkcija f(x)"> !}
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f (x), definirane na intervalu (-9; 2). U kojoj tački segmenta -8; -4 funkcija f(x) uzima najveću vrijednost? Na segmentu -8; -4f(x) 
Funkcija y = f(x) definirana je na intervalu (-5; 6). Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x). Pronađite među tačkama x 1, x 2, ..., x 7 one tačke u kojima je izvod funkcije f (x) jednak nuli. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih bodova. Odgovor: 3 tačke x 1, x 4, x 6 i x 7 su ekstremne tačke. U tački x 4 nema f(x)
Literatura 4 Algebra i početak časa analize. Udžbenik za obrazovne ustanove osnovni nivo / Sh. A. Alimov i drugi, - M.: Obrazovanje, Semenov A. L. Jedinstveni državni ispit: 3000 zadataka iz matematike. - M.: Izdavačka kuća "Ispit", Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. Vizuelni vodič za algebru i počeci analize sa primjerima za 7-11 razred. - M .: Ileksa, Elektronski izvor Otvorena banka USE zadataka.
Derivat funkcije $y = f(x)$ u datoj tački $h_0$ je granica omjera prirasta funkcije i odgovarajućeg prirasta njenog argumenta, pod uslovom da potonji teži nuli:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
Diferencijacija je operacija pronalaženja derivacije.
Tablica izvoda nekih elementarnih funkcija
| Funkcija | Derivat |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
Osnovna pravila diferencijacije
1. Derivat zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) izvoda
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Pronađite izvod funkcije $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$
Izvod zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) izvoda.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. Derivat proizvoda
$(f(x) g(x))"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
Pronađite izvod $f(x)=4x cosx$
$f"(x)=(4x)" cosx+4x (cosx)"=4 cosx-4x sinx$
3. Derivat količnika
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
Pronađite izvod $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)" e^x-5x^5 (e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4 e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. Derivat kompleksne funkcije jednak je umnošku izvoda eksterne funkcije i izvoda unutrašnje funkcije
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x) (5x)"=-sin(5x) 5= -5sin(5x)$
Fizičko značenje izvedenice
Ako se materijalna tačka kreće pravolinijski i njene koordinate se mijenjaju ovisno o vremenu prema zakonu $x(t)$, tada je trenutna brzina ove tačke jednaka derivaciji funkcije.
Tačka se kreće duž koordinatne linije prema zakonu $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, gdje je $x(t)$ koordinata u trenutku $t$. U kom trenutku će brzina tačke biti jednaka 12$?
1. Brzina je derivacija od $x(t)$, pa hajde da nađemo derivaciju date funkcije
$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$
2. Da bismo pronašli u kom trenutku u vremenu $t$ je brzina bila jednaka $12$, sastavljamo i rješavamo jednačinu:
Geometrijsko značenje izvedenice
Podsjetimo da se jednadžba prave linije koja nije paralelna sa koordinatnim osa može napisati kao $y = kx + b$, gdje je $k$ nagib prave linije. Koeficijent $k$ jednak je tangenti nagiba između prave i pozitivnog smjera $Ox$ ose.
Derivat funkcije $f(x)$ u tački $x_0$ jednak je nagibu $k$ tangente na graf u datoj tački:
Stoga možemo napraviti opštu jednakost:
$f"(x_0) = k = tgα$
Na slici se tangenta funkcije $f(x)$ povećava, pa je koeficijent $k > 0$. Pošto je $k > 0$, onda je $f"(x_0) = tgα > 0$. Ugao $α$ između tangente i pozitivnog pravca $Ox$ je oštar.
Na slici je tangenta funkcije $f(x)$ opadajuća, pa stoga koeficijent $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
Na slici je tangenta funkcije $f(x)$ paralelna sa $Ox$ osi, pa je koeficijent $k = 0$, dakle $f"(x_0) = tg α = 0$. Tačka $ x_0$ na kojoj je $f "(x_0) = 0$, pozvan ekstrem.
Na slici je prikazan grafik funkcije $y=f(x)$ i tangenta na ovaj graf nacrtana u tački sa apscisom $x_0$. Pronađite vrijednost derivacije funkcije $f(x)$ u tački $x_0$.
Tangenta na graf raste, dakle, $f"(x_0) = tg α > 0$
Da bismo pronašli $f"(x_0)$, nalazimo tangentu nagiba između tangente i pozitivnog smjera ose $Ox$. Da bismo to učinili, kompletiramo tangentu na trokut $ABC$.
Pronađite tangentu ugla $BAC$. (Tangens oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i susjednog kraka.)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25$
$f"(x_0) = tg VI = 0,25 $
Odgovor: 0,25 dolara
Izvod se također koristi za pronalaženje intervala rastućih i opadajućih funkcija:
Ako je $f"(x) > 0$ na intervalu, tada funkcija $f(x)$ raste na ovom intervalu.
Ako je $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Na slici je prikazan graf funkcije $y = f(x)$. Pronađite među tačkama $h_1,h_2,h_3…h_7$ one tačke u kojima je derivacija funkcije negativna.
Kao odgovor, zapišite broj podataka.