Ako se zna da je a< А, то а называют približna vrijednost A sa nedostatkom. Ako je a > A, tada se poziva a približna vrijednost A u višku.
Razlika između točne i približne vrijednosti veličine naziva se greška aproksimacije i označava se sa D, tj.
D \u003d A - a (1)
Greška D aproksimacije može biti pozitivna ili negativna.
Da bi se okarakterisala razlika između približne vrednosti neke količine i tačne vrednosti, često je dovoljno navesti apsolutnu vrednost razlike između tačne i približne vrednosti.
Apsolutna vrijednost razlike između približne A i tačna A naziva se brojevne vrijednosti apsolutna greška (greška) aproksimacije i označeno sa D A:
D A = ½ A – A½ (2)
Primjer 1 Prilikom mjerenja linije l koristili ravnalo čija je vrijednost podjele skale 0,5 cm Dobili smo približnu vrijednost za dužinu segmenta A= 204 cm.
Jasno je da se prilikom mjerenja mogu pogriješiti za najviše 0,5 cm, tj. apsolutna greška mjerenja ne prelazi 0,5 cm.
Obično je nepoznata apsolutna greška, jer je nepoznata tačna vrijednost broja A. Dakle, neke procjena apsolutna greška:
D A <= DA prije. (3)
gdje je D prije. – marginalna greška (broj, više nula), koji se postavlja uzimajući u obzir sigurnost s kojom je broj a poznat.
Granična apsolutna greška se također naziva margina greške. Dakle, u datom primjeru,
D prije. = 0,5 cm.
Iz (3) dobijamo:
D A = ½ A – A½<= DA prije. .
A-D A prije. ≤ A≤ A+ D A prije. . (4)
a-D A prije. će biti aproksimacija A sa nedostatkom
a + D A prije – približna vrijednost A u višku. Oni također koriste stenografiju:
A= A±D A prije (5)
Iz definicije granične apsolutne greške slijedi da su brojevi D A prije zadovoljavajući nejednakost (3) biće beskonačan skup. U praksi se trudimo da biramo moguće i manje od brojeva D prije, zadovoljavajući nejednakost D A <= DA prije.
Primjer 2 Odredimo graničnu apsolutnu grešku broja a=3.14, uzeto kao približna vrijednost broja π.
To je poznato 3,14<π<3,15. Otuda to sledi
|A – π |< 0,01.
Broj D se može uzeti kao granična apsolutna greška A = 0,01.
Međutim, ako to uzmemo u obzir 3,14<π<3,142 , onda dobijamo bolju procjenu :D A= 0,002, onda π ≈3,14 ±0,002.
4. Relativna greška (greška). Poznavanje samo apsolutne greške nije dovoljno za karakterizaciju kvaliteta mjerenja.
Neka se, na primjer, prilikom vaganja dva tijela dobiju sljedeći rezultati:
P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.
P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.
Iako su apsolutne greške mjerenja oba rezultata iste, kvalitet mjerenja u prvom slučaju će biti bolji nego u drugom. Karakterizira ga relativna greška.
Relativna greška (greška) aproksimacija broja A naziva se odnos apsolutne greške D a aproksimacija apsolutnoj vrijednosti broja A:
Budući da je tačna vrijednost količine obično nepoznata, ona se zamjenjuje približnom vrijednošću, a zatim:
(7)
Ograničavajuća relativna greška ili granica relativne greške aproksimacije, pozvao broj d i prije.>0, tako da:
d A<= d i prije.(8)
Za graničnu relativnu grešku, očito se može uzeti omjer granične apsolutne greške i apsolutne vrijednosti približne vrijednosti:
(9)
Iz (9) lako se dobija sljedeća važna relacija:
∆i prije. = |a| d i prije.(10)
Granična relativna greška se obično izražava u postocima:
Primjer. Osnova prirodnih logaritama za izračun se uzima jednakom e=2,72. Uzeli smo kao tačnu vrijednost e m = 2,7183. Pronađite apsolutne i relativne greške približnog broja.
D e = ½ e – e t ½=0,0017;
.
Vrijednost relativne greške ostaje nepromijenjena s proporcionalnom promjenom najpribližnijeg broja i njegove apsolutne greške. Dakle, za broj 634,7, izračunat sa apsolutnom greškom D = 1,3, i za broj 6347 sa greškom D = 13, relativne greške su iste: d= 0,2.
Veličina relativne greške može se približno prosuditi po broju istinito smisleno cifre broja.
OKVIRNI BROJEVI I RADNJE NA NJIMA
- Približna vrijednost količine. Apsolutne i relativne greške
Rješenje praktičnih problema u pravilu je povezano s numeričkim vrijednostima veličina. Ove vrijednosti se dobivaju ili kao rezultat mjerenja ili kao rezultat proračuna. U većini slučajeva, vrijednosti količina koje se moraju raditi su približne.
Neka X je tačna vrijednost neke količine, i X je najbolja od njegovih poznatih približnih vrijednosti. U ovom slučaju, greška (ili greška) aproksimacije X određena je razlikom Xx. Obično znak ove greške nije kritičan, pa se uzima u obzir njena apsolutna vrijednost:
Broj u ovom slučaju se zoveograničavajuća apsolutna greška, ili granica apsolutne greške aproksimacije x.
Dakle, granična apsolutna greška približnog broja X je bilo koji broj koji nije manji od apsolutne greške e x ovog broja.
primjer: Uzmimo broj. Ako pozovešna indikatoru 8-bitnog MK-a, dobijamo aproksimaciju ovog broja: Hajde da pokušamo da izrazimo apsolutnu grešku vrednosti. Dobili smo beskonačan razlomak, neprikladan za praktične proračune. Očigledno je, međutim, da je stoga broj 0,00000006 = 0,6 * 10-7 može se smatrati graničnom apsolutnom greškom aproksimacije koju koristi MC umjesto broja
Nejednakost (2) omogućava uspostavljanje aproksimacija tačne vrijednosti X nedostatkom i viškom:
U mnogim slučajevima, vrijednosti apsolutne greške su ograničenekao i najbolje aproksimacijske vrijednosti X , dobijene u praksi kao rezultat merenja. Neka, na primjer, kao rezultat ponovljenih mjerenja iste količine X dobijene vrijednosti: 5,2; 5.3; 5.4; 5.3. U ovom slučaju, prirodno je uzeti prosječnu vrijednost kao najbolju aproksimaciju izmjerene vrijednosti x = 5.3. Takođe je očigledno da su granične vrednosti količine X u ovom slučaju hoće NG X = 5,2, VG X = 5.4, i granica apsolutne greške X može se definirati kao polovina dužine intervala formiranog graničnim vrijednostima NG X i VG X,
one.
Po apsolutnoj grešci ne može se u potpunosti suditi o tačnosti mjerenja ili proračuna. Kvalitet aproksimacije karakteriše kvantitetrelativna greška,koji je definisan kao omjer grešaka e x modul za vrijednost X (kada je nepoznato, onda na modul aproksimacije X ).
Ograničavajuća relativna greška(ili relativna granica greške)aproksimativni broj je omjer granične apsolutne greške i apsolutne vrijednosti aproksimacije X :
Relativna greška se obično izražava u postocima.
Primjer Definirajmo granične greške broja x=3,14 kao približnu vrijednost π. Pošto je π=3,1415926…., onda je |π-3,14|
- Tačne i značajne brojke. Snimanje približnih vrijednosti
Poziva se cifra broja istinito (u širem smislu), ako njegova apsolutna greška ne prelazi jednu cifru, inkoliko vrijedi ovaj broj.
Primjer. X=6,328 X=0,0007 X
primjer: A). Neka je 0 = 2,91385, u broju A brojevi 2, 9, 1 su tačni u širem smislu.
B) Uzmite kao aproksimaciju broju = 3,141592 ... broju= 3.142. Zatim (sl.) odakle slijedi da su u približnoj vrijednosti = 3,142 sve brojke tačne.
C) Izračunamo količnik tačnih brojeva 3,2 i 2,3 na 8-bitnom MK, dobijemo odgovor: 1,3913043. Odgovor sadrži grešku jer
Rice. Aproksimacija broja π
mreža bitova MK nije odgovarala svim ciframa rezultata i sve cifre počevši od osme su izostavljene. (Lako je provjeriti da je odgovor netačan provjerom dijeljenja množenjem: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Bez poznavanja prave vrijednosti greške, kalkulator u takvoj situaciji uvijek može biti siguran da njegova vrijednost ne prelazi vrijednost greške. sama jedinica najmlađa od onih prikazanih na indikatoru cifre rezultata. Dakle, u dobijenom rezultatu svi brojevi su tačni.
Često se poziva prva odbačena (pogrešna) cifra sumnjivo.
Kaže se da je približan podatak zapisan u redu, ako su svi brojevi u njegovoj evidenciji tačni. Ako je broj ispravno napisan, onda se samo pisanjem kao decimalni razlomak može procijeniti tačnost ovog broja. Neka, na primjer, napišemo približan broj a = 16.784, u kojem su svi brojevi tačni. Iz činjenice da je poslednja cifra 4, koja se nalazi na hiljaditim mestu, tačna, sledi da je apsolutna greška vrednosti A ne prelazi 0,001. To znači da je moguće prihvatiti tj. a = 16,784±0,001.
Očigledno je da ispravno bilježenje približnih podataka ne samo da dozvoljava, već i obavezuje da se u posljednje cifre upisuju nule ako su te nule izraz tačnih brojeva. Na primjer, u unosu= 109.070 nula na kraju znači da je hiljadito mjesto ispravno i jednako nuli. Granična apsolutna greška vrijednosti, kao što slijedi iz zapisa, može se smatrati.Za poređenje možete vidjeti da je vrijednost c = 109.07 je manje tačan, jer se iz njegove notacije mora pretpostaviti da
Značajne brojkeu zapisu broja nazivaju se sve cifre u njegovom decimalnom prikazu koje se razlikuju od nule, a nule ako se nalaze između značajnih cifara ili stoje na kraju da izraze ispravne znakove.
Primjer a) 0,2409 - četiri značajne brojke; b) 24.09 - četiri značajne brojke; c) 100.700 - šest značajnih cifara.
Izdavanje brojčanih vrijednosti u računaru je po pravilu raspoređeno na način da se nule na kraju unosa broja, čak i ako su tačne, ne prijavljuju. To znači da ako, na primjer, računar pokaže rezultat 247,064, a istovremeno je poznato da osam značajnih cifara mora biti tačno u ovom rezultatu, onda bi rezultirajući odgovor trebalo dopuniti nulama: 247,06400.
U procesu računarstva to se često dešavazaokruživanje brojevaone. zamjenjujući brojeve njihovim vrijednostima s manje značajnih cifara. Prilikom zaokruživanja dolazi do greške, koja se zove greška zaokruživanja. Neka x je dati broj, a x je 1 je rezultat zaokruživanja. Greška zaokruživanja se definira kao modul razlike između stare i nove vrijednosti broja:
U nekim slučajevima, umjesto ∆ env moramo koristiti njegovu gornju granicu.
Primjer Izvršimo akciju 1/6 na 8-bitnom MK-u. Indikator će pokazati broj 0,1666666. Beskonačni decimalni razlomak 0,1(6) je automatski zaokružen na broj cifara koje se uklapaju u MK registar. Istovremeno se može prihvatiti
Poziva se cifra brojatačno u strogom smisluako apsolutna greška ovog broja ne prelazi polovinu jedinice cifre u kojoj se nalazi ovaj broj.
Pravila za pisanje približnih brojeva.
- Približni brojevi su zapisani u obliku x ± x. Zapis X = x ± x znači da nepoznata vrijednost X zadovoljava sljedeće nejednakosti: x- x x
Istovremeno, greška x se preporučuje da se izabere tako da
a) u zapisu x nije bilo više od 1-2 značajne cifre;
b) najmanje značajne cifre u zapisu brojeva x i x se podudara.
primjeri: 23,4±0,2; 2,730±0,017; -6,97 0,10.
- Približan broj se može zapisati bez eksplicitne naznake njegove granične apsolutne greške. U ovom slučaju, samo ispravne cifre (u širem smislu, osim ako nije drugačije navedeno) treba da budu prisutne u njegovom unosu (mantisa). Tada se po samom zapisu broja može suditi o njegovoj tačnosti.
Primjeri. Ako su u broju A = 5,83 svi brojevi tačni u strogom smislu, tada A=0,005. Unos B=3.2 implicira da B=0,1. A iz zapisa S=3.200 možemo zaključiti da C=0,001. Dakle, stavke 3.2 i 3.200 u teoriji približnih proračuna ne znače isto.
Brojevi u zapisu približnog broja, za koje ne znamo da li su tačni ili ne, nazivaju se sumnjivo. Sumnjive brojke (jedna ili dvije) ostavljene su u zapisu o brojevima međurezultata kako bi se održala tačnost proračuna. U konačnom rezultatu sumnjivi brojevi se odbacuju.
Zaokruživanje brojeva.
- pravilo zaokruživanja. Ako najviša odbačena znamenka sadrži cifru manju od pet, tada se sadržaj pohranjenih cifara broja ne mijenja. U suprotnom, jedinica sa istim predznakom kao i sam broj dodaje se najmanje značajnom bitu pohranjenom.
- Prilikom zaokruživanja broja napisan u obliku x± x, njegova granična apsolutna greška raste uzimajući u obzir grešku zaokruživanja.
primjer: Zaokružimo na stotinke broj 4,5371±0,0482. Bilo bi pogrešno zapisati 4,54±0,05, jer je greška zaokruženog broja zbir greške originalnog broja i greške zaokruživanja. U ovom slučaju, jednako je 0,0482 + 0,0029 = 0,0511. Greške uvijek treba zaokružiti naviše, tako da je konačni odgovor 4,54±0,06.
Primjer Pustite unutra približna vrijednost a = 16.395 sve brojke su tačne u širem smislu. Hajde da zaokružimo i na stotinke: a 1 = 16,40. Greška zaokruživanja Da biste pronašli ukupnu grešku,mora se dodati s greškom originalne vrijednosti a 1 što se u ovom slučaju može naći iz uslova da su sve cifre u zapisu A tačno: = 0,001. Dakle, . Iz ovoga proizilazi da u vrijednost a 1 = 16,40 broj 0 nije striktno tačan.
- Izračunavanje grešaka aritmetičkih operacija
1. Sabiranje i oduzimanje. Granična apsolutna greška algebarske sume je zbir odgovarajućih grešaka članova:
F.1 (X+Y) = X + Y , (X-Y) = X + Y .
Primjer. Dati su približni brojevi X = 34,38 i Y = 15,23, sve brojke su tačne u strogom smislu. Nađi (X-Y) i (X-Y). Prema formuli F.1 dobijamo:
(X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.
Relativnu grešku dobijamo po formuli relacije:
2. Množenje i dijeljenje. Ako je X Y
F.2 (X Y) = (X/Y) = X + Y.
Primjer. Pronađite (X Y) i (X·Y) za brojeve iz prethodnog primjera. Prvo, koristeći formulu F.2, nalazimo (XY):
(X Y)= X + Y=0,00015+0,00033=0,00048
Sada (X Y) nalazimo koristeći formulu relacije:
(X Y) = |X Y| (X Y) \u003d | 34,38 -15,23 | 0,00048 0,26 .
3. Eksponencijacija i ekstrakcija korijena. Ako je X
F.Z
4. Funkcija jedne varijable.
Neka je analitička funkcija f(x) i približni broj c ± With. Zatim, označavajući sa mali prirast argumenta, možete napisati
Ako je f "(c) 0, zatim prirast funkcije f(s+ ) - f(c) može se procijeniti njegovim diferencijalom:
f(c+ ) - f(c) f "(c) .
Ako je greška c je dovoljno mali, konačno dobijamo sljedeću formulu:
F.4 f (c) \u003d | f "(c) | s.
Primjer. S obzirom na f (x) = arcsin x, c = 0,5, c = 0,05. Izračunati f(s).
Primjenjujemo formulu F.4:
itd. |
5. Funkcija više varijabli.
Za funkciju nekoliko varijabli f(x1, ... , xn) sa xk= ck ± ck formula slična F.4 je važeća:
F.5 f(c1, ... ,sn) l df(c1, ... ,sn) | = |f "x1 (s1)|· s1+... + |f "xn (sn)|· sn.
Primjer Neka je x = 1,5, tj. uključeni svi brojevi X istina u strogom smislu. Izračunajte vrijednost tg x . Uz pomoć MK dobijamo: tgl,5 = 14,10141994. Da bismo odredili tačne brojeve u rezultatu, procjenjujemo njegovu apsolutnu grešku: iz toga slijedi da se u rezultirajućoj vrijednosti tgl,5 ni jedna cifra ne može smatrati ispravnom.
- Metode za procjenu greške približnih proračuna
Postoje stroge i nestroge metode za procjenu tačnosti rezultata proračuna.
1. Rigorozna metoda završne procjene. Ako se približni proračuni izvode prema relativno jednostavnoj formuli, onda koristeći formule F.1-F.5 i formule povezivanja grešaka, možete izvesti formulu za konačnu grešku u proračunu. Izvođenje formule i procjena greške proračuna uz njenu pomoć su suština ove metode.
Primjer vrijednosti a = 23,1 i b = 5,24 su dati brojevi koji su tačni u strogom smislu. Izračunajte vrijednost izraza
Uz pomoć MC dobijamo B = 0,2921247. Koristeći formule za relativne greške kvocijenta i proizvoda, pišemo:
One.
Koristeći MK, dobijamo 5, što daje. To znači da su kao rezultat dvije cifre nakon decimalnog zareza tačne u strogom smislu: B=0,29±0,001.
2. Metoda strogog obračuna grešaka korak po korak. Ponekad pokušaj da se primeni konačna metoda procene vodi do preterano glomazne formule. U ovom slučaju bi možda bilo prikladnije koristiti ovu metodu. Ona leži u činjenici da se tačnost svake računske operacije posebno procjenjuje korištenjem istih formula F.1-F.5 i formula povezivanja.
3. Metoda za brojanje tačnih cifara. Ova metoda nije stroga. Procjena tačnosti koju daje nije u principu zagarantovana (za razliku od rigoroznih metoda), ali je prilično pouzdana u praksi. Suština metode leži u činjenici da se nakon svake računske operacije u rezultirajućem broju, broj točnih znamenki određuje prema sljedećim pravilima.
P.1 . Prilikom sabiranja i oduzimanja približnih brojeva, kao rezultat, te brojeve treba smatrati ispravnim, čija decimalna mjesta odgovaraju tačnim brojevima u svim terminima. Brojke svih ostalih cifara, osim najznačajnijih, moraju se zaokružiti u svim izrazima prije obavljanja sabiranja ili oduzimanja.
P.2. Prilikom množenja i dijeljenja približnih brojeva, kao rezultat, onoliko značajnih cifara treba smatrati tačnim koliko ima približnih podataka s najmanjim brojem tačnih značajnih cifara. Prije izvođenja ovih koraka, među približnim podacima, trebate odabrati broj s najmanje značajnih znamenki i zaokružiti preostale brojeve tako da imaju samo jednu značajnu cifru više od njega.
P.Z. Prilikom kvadriranja ili kubiranja, kao i kod vađenja kvadratnog ili kubnog korijena, kao rezultat, onoliko značajnih znamenki treba smatrati tačnim koliko je bilo ispravnih značajnih cifara u originalnom broju.
P.4. Broj tačnih cifara kao rezultat izračunavanja funkcije zavisi od vrijednosti modula derivacije i od broja valjanih cifara u argumentu. Ako je modul derivacije blizak broju 10k (k je cijeli broj), tada je kao rezultat broj tačnih znamenki u odnosu na zarez k manji (ako je k negativan, onda više) nego što je bio u argumentu . U ovom laboratorijskom radu, radi određenosti, prihvatit ćemo konvenciju da se modul razmatra kao derivacija blizu 10k ako vrijedi sljedeća nejednakost:
0.2 10K 2 10k .
P.5. U međurezultatima, pored tačnih brojki, treba ostaviti jednu sumnjivu cifru (preostale sumnjive brojke se mogu zaokružiti) kako bi se održala tačnost proračuna. U konačnom rezultatu ostaju samo tačni brojevi.
Proračuni granične metode
Ako trebate imati apsolutno zagarantovana ograničenja na moguće vrijednosti izračunate vrijednosti, koristi se posebna metoda izračuna - metoda granica.
Neka je f(x, y) - funkcija koja je kontinuirana i monotona u nekom rasponu dopuštenih vrijednosti argumenata x i y. Treba dobiti njegovu vrijednost f(a, b), gdje su a i b približne vrijednosti argumenata, a pouzdano se zna da
NG a a a; NG b VG b. |
Ovdje su NG, VG oznake donje i gornje granice vrijednosti parametara. Dakle, pitanje je pronaći stroge granice vrijednosti f(a, b), sa poznatim granicama vrijednosti a i b.
Pretpostavimo da je funkcija f(x, y) povećava za svaki od argumenata x i y . Onda
f (NG a, NG b f(a,b) f (SH a SH b).
Neka je f(x, y) povećava argumentaciju X i opadajući u argumentu at . Zatim nejednakost
Sahalin region
"Stručna škola br. 13"
Metodičko uputstvo za samostalan rad studenata
Aleksandrovsk-Sahalinski
Približne vrijednosti količina i aproksimacijske greške: Metoda spec. / Comp.
GBOU NPO "Strukovna škola br. 13", - Aleksandrovsk-Sakhalinsky, 2012.
Metodička uputstva su namenjena studentima svih struka koji izučavaju predmet matematike
Predsjednik MK
Približna vrijednost količine i aproksimacijske greške.
U praksi gotovo nikad ne znamo tačne vrijednosti količina. Nijedna vaga, ma koliko tačna, ne pokazuje tačno težinu; bilo koji termometar pokazuje temperaturu s jednom ili drugom greškom; nijedan ampermetar ne može dati tačna očitavanja struje itd. Osim toga, naše oko nije u stanju apsolutno ispravno očitati očitavanja mjernih instrumenata. Stoga, umjesto da se bavimo pravim vrijednostima količina, primorani smo da operišemo s njihovim približnim vrijednostima.
Činjenica da A" je približna vrijednost broja A , piše kako slijedi:
a ≈ a" .
Ako A" je približna vrijednost količine A , onda razlika Δ = aa" pozvao greška aproksimacije*.
* Δ - grčko pismo; čitaj: delta. Slijedi još jedno grčko pismo ε (čitaj: epsilon).
Na primjer, ako se broj 3,756 zamijeni njegovom približnom vrijednošću od 3,7, tada će greška biti jednaka: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Ako uzmemo 3,8 kao približnu vrijednost, tada će greška biti jednaka: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.
U praksi se najčešće koristi greška aproksimacije Δ
, i apsolutna vrijednost ove greške | Δ
|. U nastavku ćemo ovu apsolutnu vrijednost greške jednostavno pozvati kao apsolutna greška. Smatra se da je jedna aproksimacija bolja od druge ako je apsolutna greška prve aproksimacije manja od apsolutne greške druge aproksimacije. Na primjer, aproksimacija 3,8 za broj 3,756 je bolja od aproksimacije 3,7, jer za prvu aproksimaciju
|Δ
| = | - 0,044| =0,044, a za drugi | Δ
| = |0,056| = 0,056.
Broj A" A doε , ako je apsolutna greška ove aproksimacije manja odε :
|aa" | < ε .
Na primjer, 3.6 je aproksimacija od 3.671 sa 0.1, jer |3.671 - 3.6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.
Isto tako, -3/2 se može smatrati aproksimacijom od -8/5 do 1/5, jer
< A , To A" naziva se približna vrijednost broja A sa nedostatkom.
Ako A" > A , To A" naziva se približna vrijednost broja A u višku.
Na primjer, 3,6 je približna vrijednost od 3,671 sa nedostatkom, budući da je 3,6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .
Ako bismo umjesto brojeva A I b zbrojite njihove približne vrijednosti A" I b" , zatim rezultat a" + b" će biti približna vrijednost sume a + b . Postavlja se pitanje: kako procijeniti tačnost ovog rezultata ako je poznata tačnost aproksimacije svakog člana? Rješenje ovog i sličnih problema zasniva se na sljedećem svojstvu apsolutne vrijednosti:
|a + b | < |a | + |b |.
Apsolutna vrijednost zbira bilo koja dva broja ne prelazi zbir njihovih apsolutnih vrijednosti.
Greške
Razlika između tačnog broja x i njegove približne vrijednosti a naziva se greška ovog približnog broja. Ako je poznato da | | x - a |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.
Omjer apsolutne greške i modula približne vrijednosti naziva se relativna greška približne vrijednosti. Relativna greška se obično izražava u postocima.
Primjer. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.
stvarno,
|1 - 20| = |-19| = 19,
|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,
Vježbe za samostalan rad.
1. S kojom tačnošću se dužine mogu mjeriti običnim ravnalom?
2. Koliko je tačan sat?
3. Znate li sa kojom tačnošću se tjelesna težina može mjeriti na modernim električnim vagama?
4. a) Koje su granice broja A , ako je njegova približna vrijednost unutar 0,01 jednaka 0,99?
b) Koje su granice broja A , ako je njegova manjkava približna vrijednost do 0,01 0,99?
c) Koji je raspon broja? A , ako je njegova približna vrijednost s viškom do 0,01 0,99?
5 . Koji je približan broj π ≈ 3,1415 je bolje: 3,1 ili 3,2?
6. Može li se približna vrijednost određenog broja sa tačnošću od 0,01 smatrati približnom vrijednošću istog broja sa tačnošću od 0,1? I obrnuto?
7. Na brojevnoj liniji, pozicija tačke koja odgovara broju A . Tačka na ovoj liniji:
a) položaj svih tačaka koje odgovaraju približnim vrijednostima broja A sa nedostatkom sa tačnošću od 0,1;
b) položaj svih tačaka koje odgovaraju približnim vrijednostima broja A više sa tačnošću od 0,1;
c) položaj svih tačaka koje odgovaraju približnim vrijednostima broja A sa tačnošću od 0,1.
8. U kom slučaju je apsolutna vrijednost zbira dva broja:
a) manji od zbira apsolutnih vrijednosti ovih brojeva;
b) jednak je zbiru apsolutnih vrijednosti ovih brojeva?
9. Dokažite nejednakosti:
a) | a-b | < |a| + |b |; b)* | a - b | > ||A | - | b ||.
Kada se u ovim formulama pojavljuje znak jednakosti?
književnost:
1. Cipele (osnovni nivo) 10-11 ćelija. - M., 2012
2. Bašmakov, 10 ćelija. Zbirka zadataka. - M: Izdavački centar "Akademija", 2008
3., Mordkovich: Referentni materijali: Knjiga za studente.-2. izd.-M.: Prosvjeta, 1990.
4. Enciklopedijski rječnik mladog matematičara / Kom. .-M.: Pedagogija, 1989
U praktičnim aktivnostima čovjek mora mjeriti različite količine, uzimati u obzir materijale i proizvode rada i vršiti različite proračune. Rezultati raznih mjerenja, brojanja i proračuna su brojevi. Brojevi dobijeni kao rezultat mjerenja, samo približno, sa određenim stepenom tačnosti, karakteriziraju željene vrijednosti. Precizna mjerenja su nemoguća zbog nepreciznosti mjernih instrumenata, nesavršenosti naših organa vida, a sami mjereni objekti nam ponekad ne dozvoljavaju da s bilo kakvom točnošću odredimo njihovu vrijednost.
Tako je, na primjer, poznato da je dužina Sueckog kanala 160 km, udaljenost željeznicom od Moskve do Lenjingrada je 651 km. Ovdje imamo rezultate mjerenja sa preciznošću do jednog kilometra. Ako je, na primjer, dužina pravougaonog dijela 29 m, širina 12 m, tada su, vjerovatno, mjerenja obavljena s tačnošću do metra, a dijelovi metra su zanemareni,
Prije nego što izvršite bilo kakvo mjerenje, potrebno je odlučiti s kojom tačnošću se ono treba izvesti, tj. koje ulomke mjerne jedinice treba uzeti u obzir, a koje zanemariti.
Ako postoji neka vrijednost A,čija je prava vrijednost nepoznata, a približna vrijednost (aproksimacija) ove vrijednosti je jednaka X, oni pišu sjekira.
Uz različita mjerenja iste količine, dobićemo različite aproksimacije. Svaka od ovih aproksimacija će se razlikovati od prave vrijednosti izmjerene vrijednosti, jednaka je npr. A, za neki iznos, koji ćemo pozvati greška. Definicija. Ako je broj x približna vrijednost (aproksimacija) neke veličine, čija je prava vrijednost jednaka broju A, zatim modul razlike brojeva, A I X pozvao apsolutna greška data aproksimacija i označena a x: ili jednostavno a. Dakle, po definiciji,
a x = a-x (1)
Iz ove definicije proizilazi da
a = x a x (2)
Ako se zna o kojoj količini je riječ, onda u notaciji a x index A je izostavljen i jednakost (2) se piše na sljedeći način:
a = x x (3)
Budući da je prava vrijednost željene vrijednosti najčešće nepoznata, nemoguće je pronaći apsolutnu grešku u aproksimaciji ove vrijednosti. U svakom konkretnom slučaju može se naznačiti samo pozitivan broj, veći od kojeg ova apsolutna greška ne može biti. Ovaj broj se zove granica apsolutne greške aproksimacije količine a i označeno h a. Dakle, ako x je proizvoljna aproksimacija vrijednosti a za dati postupak za dobivanje aproksimacija, tada
a x = a-x h a (4)
Iz navedenog slijedi da ako h a je granica apsolutne greške aproksimacije veličine A, zatim bilo koji broj veći od h a, također će biti granica apsolutne greške aproksimacije količine A.
U praksi je uobičajeno da se za granicu apsolutne greške bira najmanji broj koji zadovoljava nejednakost (4).
Rješavanje nejednakosti a-x h a mi to shvatamo A sadržane unutar granica
x-h a a x + h a (5)
Rigorozniji koncept granice apsolutne greške može se dati na sljedeći način.
Neka X- mnoge moguće aproksimacije X količine A za datu proceduru za dobijanje aproksimacije. Zatim bilo koji broj h, zadovoljavajući uslov a-x h a za bilo koji xX, naziva se granica apsolutne greške aproksimacija iz skupa X. Označiti sa h a najmanji poznati broj h. Ovaj broj h a i u praksi se bira kao granica apsolutne greške.
Apsolutna greška aproksimacije ne karakteriše kvalitet merenja. Zaista, ako mjerimo bilo koju dužinu s točnošću od 1 cm, onda kada je u pitanju određivanje dužine olovke, to će biti loša tačnost. Ako s preciznošću od 1 cm odredite dužinu ili širinu odbojkaškog terena, onda će to biti visoka preciznost.
Da bi se okarakterisala tačnost merenja, uvodi se koncept relativne greške.
Definicija. Ako a x: postoji apsolutna greška aproksimacije X neka količina, čija je prava vrijednost jednaka broju A, zatim omjer a x modulu broja X naziva se relativna greška aproksimacije i označava se a x ili x.
Dakle, po definiciji,
Relativna greška se obično izražava u postocima.
Za razliku od apsolutne greške, koja je najčešće dimenzionalna veličina, relativna greška je bezdimenzionalna veličina.
U praksi se ne razmatra relativna greška, već takozvana granica relativne greške: takav broj E a, koja ne može biti veća od relativne greške aproksimacije željene vrijednosti.
dakle, a x E a .
Ako h a-- granica apsolutne greške aproksimacija količine A, To a x h a i stoga
Očigledno, bilo koji broj E, zadovoljavajući uvjet, bit će granica relativne greške. U praksi je obično poznata neka aproksimacija X količine A i granica apsolutne greške. Zatim broj
Tačne i približne vrijednosti količina
U većini slučajeva, brojčani podaci u problemima su približni. U uvjetima zadataka nailaze se i na tačne vrijednosti, na primjer, rezultati brojanja malog broja objekata, neke konstante itd.
Da biste označili približnu vrijednost broja, koristite znak približne jednakosti; čitati ovako: “približno jednako” (ne treba čitati: “približno jednako”).
Otkrivanje prirode numeričkih podataka važan je pripremni korak u rješavanju bilo kojeg problema.
Sljedeće smjernice mogu vam pomoći da prepoznate točne i približne vrijednosti brojeva:
| Tačne vrijednosti | Približne vrijednosti |
| 1. Vrijednosti većeg broja faktora konverzije za prijelaz iz jedne mjerne jedinice u drugu (1m = 1000 mm; 1h = 3600 s) Mnogi faktori konverzije su izmjereni i izračunati sa tako velikom (metrološkom) tačnošću da je praktično sada se smatraju tačnim. | 1. Većina vrijednosti matematičkih veličina navedenih u tabelama (korijeni, logaritmi, vrijednosti trigonometrijskih funkcija, kao i vrijednost broja i baze prirodnih logaritama koji se koriste u praksi (broj e)) |
| 2. Faktori skale. Ako je, na primjer, poznato da je razmjer 1:10000, tada se brojevi 1 i 10000 smatraju točnima. Ako je naznačeno da u 1 cm ima 4 m, tada su 1 i 4 tačne dužine | 2. Rezultati mjerenja. (Neke osnovne konstante: brzina svjetlosti u vakuumu, gravitacijska konstanta, naboj i masa elektrona, itd.) Tabelarne vrijednosti fizičkih veličina (gustina tvari, tačke topljenja i ključanja itd.) |
| 3. Tarife i cijene. (trošak 1 kWh električne energije je tačna vrijednost cijene) | 3. Projektni podaci su također približni, jer oni su postavljeni s određenim odstupanjima, koja su normalizirana GOST-ovima. (Na primjer, prema standardu, dimenzije cigle: dužina 250 6 mm, širina 120 4 mm, debljina 65 3 mm) Ista grupa približnih brojeva uključuje dimenzije preuzete sa crteža |
| 4. Uslovne vrijednosti količina (Primjeri: temperatura apsolutne nule -273,15 C, normalni atmosferski pritisak 101325 Pa) | |
| 5. Koeficijenti i eksponenti koji se nalaze u fizičkim i matematičkim formulama (;%; itd.). | |
| 6. Rezultati brojanja artikala (broj baterija u bateriji; broj kartona mlijeka proizvedenih u tvornici i broji fotoelektričnim brojačem) | |
| 7. Zadate vrijednosti veličina (Na primjer, u zadatku „Pronađi periode oscilovanja klatna dužine 1 i 4 m“, brojevi 1 i 4 se mogu smatrati tačnim vrijednostima dužine klatna) |
Završeno sljedeće zadatke, napišite odgovor u obliku tabele:
1. Navedite koje su od datih vrijednosti tačne, a koje su približne:
1) Gustina vode (4 C)………..…………………………………..…1000 kg/m 3
2) Brzina zvuka (0 S)…………………………………………………….332 m/s
3) Specifični toplotni kapacitet vazduha…………………………………1,0 kJ/(kg∙K)
4) Tačka ključanja vode………………………………………………………….100 C
5) Avogadrova konstanta…………………………………………………..6.02∙10 23 mol -1
6) Relativna atomska masa kiseonika……………………………………..16
2. Pronađite tačne i približne vrijednosti u uvjetima sljedećih zadataka:
1) U parnoj mašini, bronzani kalem, čija je dužina i širina 200 odnosno 120 mm, doživljava pritisak od 12 MPa. Pronađite silu potrebnu za pomicanje kalema preko površine od livenog gvožđa cilindra. Koeficijent trenja je 0,10.
2) Odredite otpor žarne niti električne lampe prema sljedećim podacima za označavanje: "220V, 60 W".
3. Koje ćemo odgovore – tačne ili približne – dobiti pri rješavanju sljedećih zadataka?
1) Kolika je brzina tijela koje slobodno pada na kraju 15. sekunde, s obzirom na tačno određeni vremenski interval?
2) Kolika je brzina remenice ako je njen prečnik 300 mm, a brzina rotacije 10 o/min? Podaci se smatraju tačnim.
3) Odrediti modul sile. Skala 1 cm - 50N.
4) Odrediti koeficijent statičkog trenja za tijelo koje se nalazi na kosoj ravni, ako tijelo počne jednoliko da klizi po kosini na = 0,675, gdje je ugao nagiba ravni.