Predavanje: “Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina.”
1 . Eksponencijalne jednadžbe.
Jednačine koje sadrže nepoznanice u eksponentima nazivaju se eksponencijalne jednadžbe. Najjednostavnija od njih je jednačina ax = b, gdje je a > 0, a ≠ 1.
1) Na b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Za b > 0, koristeći monotonost funkcije i teoremu o korijenu, jednačina ima jedinstveni korijen. Da bismo ga pronašli, b mora biti predstavljeno u obliku b = as, ax = bs ó x = c ili x = logab.
Eksponencijalne jednadžbe algebarskim transformacijama dovode do standardnih jednadžbi, koje se rješavaju sljedećim metodama:
1) način svođenja na jednu osnovu;
2) način ocjenjivanja;
3) grafički metod;
4) način uvođenja novih varijabli;
5) metod faktorizacije;
6) eksponencijalne – jednačine stepena;
7) demonstrativna sa parametrom.
2 . Metoda redukcije na jednu bazu.
Metoda se zasniva na sljedećem svojstvu stupnjeva: ako su dva stepena jednaka i njihove baze su jednake, onda su im eksponenti jednaki, tj. treba pokušati svesti jednačinu na oblik
Primjeri. Riješite jednačinu:
1 . 3x = 81;
Predstavimo desnu stranu jednačine u obliku 81 = 34 i napišimo jednačinu koja je ekvivalentna originalnom 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">i prijeđimo na jednadžbu za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4, x = 0,5 Odgovor: 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Imajte na umu da brojevi 0,2, 0,04, √5 i 25 predstavljaju potencije od 5. Iskoristimo ovo i transformiramo originalnu jednačinu na sljedeći način:
,
odakle je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, iz čega nalazimo rješenje x = -1. Odgovor: -1.
5. 3x = 5. Po definiciji logaritma, x = log35. Odgovor: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Prepišimo jednačinu u obliku 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, tj.png" width="181" height="49 src="> Dakle x – 4 =0, x = 4. Odgovor: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Koristeći svojstva stepena, zapisujemo jednačinu u obliku 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, zatim 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, tj. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.
Problemska banka br. 1.
Riješite jednačinu:
Test br. 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez korijena |
1) 7;1 2) bez korijena 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Test #2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) nema korijena 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Metoda ocjenjivanja.
Teorema o korijenu: ako se funkcija f(x) povećava (smanjuje) na intervalu I, broj a je bilo koja vrijednost koju uzima f na ovom intervalu, tada jednačina f(x) = a ima jedan korijen na intervalu I.
Prilikom rješavanja jednadžbi metodom procjene koristi se ova teorema i svojstva monotonosti funkcije.
Primjeri. Riješite jednačine: 1. 4x = 5 – x.
Rješenje. Prepišimo jednačinu kao 4x +x = 5.
1. ako je x = 1, tada je 41+1 = 5, 5 = 5 tačno, što znači da je 1 korijen jednačine.
Funkcija f(x) = 4x – raste na R, a g(x) = x – raste na R => h(x)= f(x)+g(x) raste na R, kao zbir rastućih funkcija, tada je x = 1 jedini korijen jednačine 4x = 5 – x. Odgovor: 1.
2.
Rješenje. Prepišimo jednačinu u formu 
.
1. ako je x = -1, onda 
, 3 = 3 je tačno, što znači da je x = -1 korijen jednačine.
2. dokazati da je on jedini.
3. Funkcija f(x) = - opada na R, a g(x) = - x – opada na R=> h(x) = f(x)+g(x) – opada na R, kao zbir opadajuće funkcije. To znači, prema teoremi o korijenu, x = -1 je jedini korijen jednačine. Odgovor: -1.
Problemska banka br. 2. Riješite jednačinu
a) 4x + 1 = 6 - x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Način uvođenja novih varijabli.
Metoda je opisana u paragrafu 2.1. Uvođenje nove varijable (supstitucija) obično se vrši nakon transformacije (pojednostavljenja) članova jednačine. Pogledajmo primjere.
Primjeri.
R Riješite jednačinu: 1.
.
Hajde da prepišemo jednačinu drugačije: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj.png" width="210" height = "45">
Rješenje. Zapišimo jednačinu drugačije: 
Označimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nije prikladno.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionalna jednadžba. Napominjemo da 
Rješenje jednadžbe je x = 2,5 ≤ 4, što znači da je 2,5 korijen jednačine. Odgovor: 2.5.
Rješenje. Prepišimo jednačinu u obliku i obje strane podijelimo sa 56x+6 ≠ 0. Dobijamo jednačinu
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">
Korijeni kvadratne jednadžbe su t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Rješenje . Prepišimo jednačinu u formu
i primijetiti da je to homogena jednačina drugog stepena.
Podijelimo jednačinu sa 42x, dobijamo 
Zamijenimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Odgovor: 0; 0.5.
Problemska banka br. 3. Riješite jednačinu
b) 
G) 
Test br. 3 sa izborom odgovora. Minimalni nivo.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) nema korijena 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) nema korijena 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Test br. 4 sa izborom odgovora. Opšti nivo.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) nema korijena |
5. Metoda faktorizacije.
1. Riješite jednačinu: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Rješenje..png" width="169" height="69"> , odakle
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Rješenje. Uzmimo 6x na lijevoj strani jednadžbe, a 2x na desnoj strani. Dobijamo jednačinu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Pošto je 2x >0 za sve x, možemo podijeliti obje strane ove jednadžbe sa 2x bez straha od gubitka rješenja. Dobijamo 3x = 1— x = 0.
3. 
Rješenje. Jednačinu rješavamo faktoringom.
Odaberimo kvadrat binoma 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 je korijen jednadžbe.
Jednadžba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Test br. 6 Opšti nivo.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Eksponencijalno – jednadžbe snage.
Uz eksponencijalne jednačine su takozvane jednadžbe eksponencijalne snage, odnosno jednačine oblika (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Ako je poznato da je f(x)>0 i f(x) ≠ 1, onda se jednačina, kao i eksponencijalna, rješava izjednačavanjem eksponenata g(x) = f(x).
Ako uvjet ne isključuje mogućnost f(x)=0 i f(x)=1, tada moramo uzeti u obzir ove slučajeve prilikom rješavanja eksponencijalne jednadžbe.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Rješenje. x2 +2x-8 – ima smisla za bilo koji x, jer je polinom, što znači da je jednačina ekvivalentna ukupnosti
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Eksponencijalne jednadžbe s parametrima.
1. Za koje vrijednosti parametra p jednačina 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) ima jedinstveno rješenje?
Rješenje. Uvedemo zamjenu 2x = t, t > 0, tada će jednačina (1) poprimiti oblik t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Diskriminanta jednačine (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Jednačina (1) ima jedinstveno rješenje ako jednačina (2) ima jedan pozitivan korijen. To je moguće u sljedećim slučajevima.
1. Ako je D = 0, odnosno p = 1, tada će jednačina (2) dobiti oblik t2 – 2t + 1 = 0, dakle t = 1, dakle, jednačina (1) ima jedinstveno rješenje x = 0.
2. Ako je p1, onda je 9(p – 1)2 > 0, tada jednačina (2) ima dva različita korijena t1 = p, t2 = 4p – 3. Uslove problema zadovoljava skup sistema
Zamjenom t1 i t2 u sisteme imamo
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Rješenje. Neka 
tada će jednačina (3) dobiti oblik t2 – 6t – a = 0. (4)
Nađimo vrijednosti parametra a za koje barem jedan korijen jednadžbe (4) zadovoljava uvjet t > 0.
Uvedimo funkciju f(t) = t2 – 6t – a. Mogući su sljedeći slučajevi.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Slučaj 2. Jednačina (4) ima jedinstveno pozitivno rješenje ako
D = 0, ako je a = – 9, tada će jednačina (4) dobiti oblik (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Slučaj 3. Jednačina (4) ima dva korijena, ali jedan od njih ne zadovoljava nejednakost t > 0. To je moguće ako
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Dakle, za a 0, jednadžba (4) ima jedan pozitivan korijen 
. Tada jednačina (3) ima jedinstveno rješenje 
Kada a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
ako a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ako je a = – 9, onda je x = – 1;
ako je a 0, onda
Uporedimo metode za rješavanje jednačina (1) i (3). Imajte na umu da je pri rješavanju jednadžbe (1) svedeno na kvadratnu jednačinu, čiji je diskriminanta savršen kvadrat; Dakle, korijeni jednadžbe (2) su odmah izračunati korištenjem formule za korijene kvadratne jednadžbe, a zatim su izvedeni zaključci u vezi s tim korijenima. Jednadžba (3) je svedena na kvadratnu jednačinu (4), čiji diskriminanta nije savršen kvadrat, stoga je pri rješavanju jednadžbe (3) preporučljivo koristiti teoreme o lokaciji korijena kvadratnog trinoma i grafički model. Imajte na umu da se jednadžba (4) može riješiti korištenjem Vietine teoreme.
Hajde da rešimo složenije jednačine.
Problem 3: Riješite jednačinu 
Rješenje. ODZ: x1, x2.
Hajde da predstavimo zamenu. Neka je 2x = t, t > 0, tada će kao rezultat transformacija jednadžba dobiti oblik t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Nađimo vrijednosti a za koje je barem jedan korijen od jednačina (*) zadovoljava uslov t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Odgovor: ako je a > – 13, a 11, a 5, onda ako je a – 13,
a = 11, a = 5, tada nema korijena.
Bibliografija.
1. Guzejev temelji obrazovne tehnologije.
2. Guzejevska tehnologija: od recepcije do filozofije.
M. “Direktor škole” br. 4, 1996
3. Guzejev i organizacioni oblici obuke.
4. Guzejev i praksa integralne obrazovne tehnologije.
M. “Narodno obrazovanje”, 2001
5. Guzeev iz oblika lekcije - seminar.
Matematika u školi br. 2, 1987. str. 9 – 11.
6. Seleuko obrazovne tehnologije.
M. “Narodno obrazovanje”, 1998
7. Episheva školarci da studiraju matematiku.
M. "Prosvjeta", 1990
8. Ivanova priprema nastavu - radionice.
Matematika u školi br. 6, 1990. str. 37-40.
9. Smirnovov model nastave matematike.
Matematika u školi br. 1, 1997. str. 32-36.
10. Tarasenko načini organizovanja praktičnog rada.
Matematika u školi br. 1, 1993. str. 27 - 28.
11. O jednoj od vrsta individualnog rada.
Matematika u školi br. 2, 1994, str. 63 – 64.
12. Khazankin kreativne sposobnosti školaraca.
Matematika u školi br. 2, 1989. str. 10.
13. Scanavi. Izdavač, 1997
14. i dr. Algebra i počeci analize. Didaktički materijali za
15. Krivonogov zadaci iz matematike.
M. “Prvi septembar”, 2002
16. Čerkasov. Priručnik za srednjoškolce i
upis na univerzitete. “A S T - press škola”, 2002
17. Zhevnyak za one koji ulaze na univerzitete.
Minsk i Ruska Federacija “Pregled”, 1996
18. Napisano D. Pripremamo se za ispit iz matematike. M. Rolf, 1999
19. itd. Učenje rješavanja jednačina i nejednačina.
M. "Intelekt - Centar", 2003
20. itd. Obrazovni materijali i materijali za obuku za pripremu za EGE.
M. "Inteligencija - Centar", 2003. i 2004.
21 i dr. CMM opcije. Centar za testiranje Ministarstva odbrane Ruske Federacije, 2002, 2003.
22. Goldbergove jednadžbe. "Kvant" br. 3, 1971
23. Volovich M. Kako uspješno predavati matematiku.
Matematika, 1997. br. 3.
24 Okunev za lekciju, djeco! M. Obrazovanje, 1988
25. Yakimanskaya - orijentirano učenje u školi.
26. Liimets rad u nastavi. M. Znanje, 1975
U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na rješavanje složenijih eksponencijalnih jednadžbi i podsjetiti se osnovnih teorijskih principa u vezi s eksponencijalnom funkcijom.
1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije, metode rješavanja najjednostavnijih eksponencijalnih jednačina
Prisjetimo se definicije i osnovnih svojstava eksponencijalne funkcije. Rješenje svih eksponencijalnih jednačina i nejednačina zasniva se na ovim svojstvima.
Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stepen, a ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y je zavisna varijabla, funkcija.
Rice. 1. Grafikon eksponencijalne funkcije
Grafikon prikazuje rastuće i opadajuće eksponente, ilustrujući eksponencijalnu funkciju s bazom većom od jedan i manjom od jedan, ali većom od nule.
Obje krive prolaze kroz tačku (0;1)
Svojstva eksponencijalne funkcije:
Domen: ;
Raspon vrijednosti: ;
Funkcija je monotona, raste sa, opada sa.
Monotona funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti s jednom vrijednošću argumenta.
Kada se argument poveća od minus do plus beskonačno, funkcija raste od nule, uključujući, na plus beskonačno. Naprotiv, kada se argument povećava od minus do plus beskonačno, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do nule, uključujući.
2. Rješavanje standardnih eksponencijalnih jednačina
Podsjetimo vas kako riješiti najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe. Njihovo rješenje je bazirano na monotonosti eksponencijalne funkcije. Gotovo sve složene eksponencijalne jednadžbe mogu se svesti na takve jednačine.
Jednakost eksponenata sa jednakim bazama je posledica svojstva eksponencijalne funkcije, odnosno njene monotonosti.
Metoda rješenja:
Izjednačiti osnove stepeni;
Izjednačite eksponente.
Prijeđimo na složenije eksponencijalne jednadžbe, naš cilj je svaku od njih svesti na najjednostavniju.
Riješimo se korijena s lijeve strane i dovedemo stupnjeve na istu bazu:
Da bi se složena eksponencijalna jednačina svela na jednostavnu, često se koristi promjena varijabli.
Koristimo svojstvo snage:
Predstavljamo zamjenu. Neka onda 
Pomnožimo rezultirajuću jednačinu sa dva i pomjerimo sve članove na lijevu stranu:
Prvi korijen ne zadovoljava raspon vrijednosti y, pa ga odbacujemo. Dobijamo:
Smanjimo stepene na isti indikator:
Hajde da predstavimo zamjenu:
Neka onda 
. Sa takvom zamjenom, očito je da y poprima striktno pozitivne vrijednosti. Dobijamo:
Znamo kako riješiti takve kvadratne jednadžbe, možemo zapisati odgovor:
Da biste bili sigurni da su korijeni ispravno pronađeni, možete provjeriti prema Vietinom teoremu, odnosno pronaći zbir korijena i njihovog proizvoda i provjeriti s odgovarajućim koeficijentima jednadžbe.
Dobijamo:
3. Metodologija rješavanja homogenih eksponencijalnih jednačina drugog stepena
Proučimo sljedeće važne vrste eksponencijalnih jednačina:
Jednačine ovog tipa nazivaju se homogenima drugog stepena u odnosu na funkcije f i g. Na njegovoj lijevoj strani nalazi se kvadratni trinom u odnosu na f sa parametrom g ili kvadratni trinom u odnosu na g sa parametrom f.
Metoda rješenja:
Ova jednačina se može riješiti kao kvadratna jednačina, ali je lakše to učiniti drugačije. Postoje dva slučaja za razmatranje:
U prvom slučaju dobijamo
U drugom slučaju, imamo pravo podijeliti najvećim stepenom i dobiti:
Potrebno je uvesti promjenu varijabli, dobijamo kvadratnu jednačinu za y:
Napomenimo da funkcije f i g mogu biti bilo koje, ali nas zanima slučaj kada su to eksponencijalne funkcije.
4. Primjeri rješavanja homogenih jednačina
Premjestimo sve članove na lijevu stranu jednačine:
Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju striktno pozitivne vrijednosti, imamo pravo da odmah podijelimo jednačinu sa , bez razmatranja slučaja kada:
Dobijamo:
Hajde da predstavimo zamjenu: 
(prema svojstvima eksponencijalne funkcije)
Dobili smo kvadratnu jednačinu:
Određujemo korijene prema Vietinoj teoremi:
Prvi korijen ne zadovoljava raspon vrijednosti y, odbacujemo ga, dobijamo:
Koristimo svojstva stupnjeva i sve stepene svesti na jednostavne baze:
Lako je uočiti funkcije f i g:
Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju striktno pozitivne vrijednosti, imamo pravo da odmah podijelimo jednadžbu sa , bez razmatranja slučaja kada .
Idite na youtube kanal naše web stranice da budete u toku sa svim novim video lekcijama.
Prvo, prisjetimo se osnovnih formula snaga i njihovih svojstava.
Proizvod broja a javlja se na sebi n puta, ovaj izraz možemo zapisati kao a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe– ovo su jednadžbe u kojima su varijable u stepenu (ili eksponentima), a baza je broj.
Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:
U ovom primjeru, broj 6 je baza; uvijek je na dnu i varijabla x stepen ili mera.
Navedimo više primjera eksponencijalnih jednačina.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Pogledajmo sada kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?
Uzmimo jednostavnu jednačinu:
2 x = 2 3
Ovaj primjer se može riješiti čak i u vašoj glavi. Može se vidjeti da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate staviti broj 3 umjesto x.
Sada da vidimo kako formalizirati ovu odluku:
2 x = 2 3
x = 3
Da bismo riješili takvu jednačinu, uklonili smo se identične osnove(odnosno dvojke) i zapisao šta je ostalo, to su stepeni. Dobili smo odgovor koji smo tražili.
Sada da rezimiramo našu odluku.
Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto da li jednadžba ima baze na desnoj i lijevoj strani. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što baze postanu iste, izjednačiti stepena i riješi rezultirajuću novu jednačinu.
Sada da riješimo neke primjere:
Počnimo s nečim jednostavnim.
Osnove na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da bazu možemo odbaciti i izjednačiti njihove potencije.
x+2=4 Pokazala se najjednostavnija jednačina.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2
U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite: 3 i 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Prvo, pomerimo devetku na desnu stranu, dobićemo:
Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2. Koristimo formulu snage (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Dobijamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Sada je jasno da su na lijevoj i desnoj strani baze iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stepene.
3x=2x+16 dobijamo najjednostavniju jednačinu
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.
Pogledajmo sljedeći primjer:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Prije svega, gledamo baze, baze dva i četiri. I trebamo da budu isti. Transformišemo četiri koristeći formulu (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
A koristimo i jednu formulu a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Dodajte u jednačinu:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Naveli smo primjer iz istih razloga. Ali smetaju nam drugi brojevi 10 i 24. Šta da radimo s njima? Ako bolje pogledate možete vidjeti da na lijevoj strani imamo 2 2x ponovljeno, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Izračunajmo izraz u zagradama:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Cijelu jednačinu podijelimo sa 6:
Zamislimo 4=2 2:
2 2x = 2 2 baze su iste, odbacujemo ih i izjednačavamo stepene.
2x = 2 je najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.
Rešimo jednačinu:
9 x – 12*3 x +27= 0
Pretvorimo:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dobijamo jednačinu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Naše baze su iste, jednake su 3. U ovom primjeru možete vidjeti da prva tri ima stepen dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju, možete riješiti metoda zamjene. Broj zamjenjujemo najmanjim stepenom:
Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Zamijenjujemo sve stupnjeve sa x-ovima u jednadžbi sa t:
t 2 - 12t+27 = 0
Dobijamo kvadratnu jednačinu. Rešavamo kroz diskriminant, dobijamo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Vraćanje na varijablu x.
Uzmi t 1:
t 1 = 9 = 3 x
To je,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog od t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.
Na web stranici možete postaviti sva pitanja koja imate u odjeljku POMOĆ ODLUČITI, mi ćemo vam svakako odgovoriti.
Pridružite se grupi
Eksponencijalne jednadžbe su one u kojima je nepoznata sadržana u eksponentu. Najjednostavnija eksponencijalna jednačina ima oblik: a x = a b, gdje je a> 0, a 1, x je nepoznato.
Glavna svojstva potencija kojima se eksponencijalne jednačine transformišu: a>0, b>0.
Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednadžbi koriste se i sljedeća svojstva eksponencijalne funkcije: y = a x, a > 0, a1:
Da biste broj predstavili kao stepen, koristite osnovni logaritamski identitet: b = , a > 0, a1, b > 0.
Zadaci i testovi na temu "Eksponencijalne jednadžbe"
- Eksponencijalne jednadžbe
Lekcije: 4 Zadaci: 21 Testovi: 1
- Eksponencijalne jednadžbe - Važne teme za recenziranje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike
Zadaci: 14
- Sistemi eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi - Eksponencijalne i logaritamske funkcije 11. razred
Lekcije: 1 Zadaci: 15 Testovi: 1
- §2.1. Rješavanje eksponencijalnih jednačina
Lekcije: 1 Zadaci: 27
- §7 Eksponencijalne i logaritamske jednačine i nejednačine - Odjeljak 5. Eksponencijalne i logaritamske funkcije, ocjena 10
Lekcije: 1 Zadaci: 17
Da biste uspješno riješili eksponencijalne jednadžbe, morate znati osnovna svojstva potencija, svojstva eksponencijalne funkcije i osnovni logaritamski identitet.
Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednadžbi koriste se dvije glavne metode:
- prelazak sa jednačine a f(x) = a g(x) na jednačinu f(x) = g(x);
- uvođenje novih linija.
Primjeri.
1. Jednačine svedene na najjednostavnije. Rješavaju se svođenjem obje strane jednadžbe na stepen s istom bazom.
3 x = 9 x – 2.
Rješenje:
3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.
odgovor: 4.
2. Jednačine se rješavaju vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada.
Rješenje:
3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.
odgovor: 3.
3. Jednačine riješene promjenom varijable.
Rješenje:
2 2x + 2 x – 12 = 0
Označavamo 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Jednačina nema rješenja, jer 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.
odgovor: dnevnik 2 3.
4. Jednačine koje sadrže potencije sa dvije različite (međusobno nesvodljive) baze.
3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.
3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.
odgovor: 2.
5. Jednačine koje su homogene u odnosu na a x i b x.
Opšti oblik: .
9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.
Rješenje:
3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Označimo (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½. 
odgovor: log 3/2 2; - log 3/2 2.
U fazi pripreme za završni test srednjoškolci treba da usavrše svoje znanje o temi „Eksponencijalne jednačine“. Iskustvo proteklih godina pokazuje da ovakvi zadaci kod školaraca izazivaju određene poteškoće. Dakle, srednjoškolci, bez obzira na stepen pripremljenosti, trebaju temeljito savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja ovakvih jednačina. Nakon što su naučili da se nose s ovom vrstom problema, maturanti mogu računati na visoke ocjene prilikom polaganja Jedinstvenog državnog ispita iz matematike.
Pripremite se za ispitno testiranje sa Shkolkovom!
Prilikom pregleda materijala koji su obradili, mnogi učenici se suočavaju s problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednačina. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a odabir potrebnih informacija o nekoj temi na internetu traje dugo.
Obrazovni portal Shkolkovo poziva studente da koriste našu bazu znanja. Implementiramo potpuno novu metodu pripreme za završni test. Učenjem na našoj web stranici moći ćete prepoznati nedostatke u znanju i obratiti pažnju na one zadatke koji izazivaju najveće poteškoće.
Nastavnici Školkova prikupili su, sistematizirali i predstavili sav materijal potreban za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita u najjednostavnijem i najpristupačnijem obliku.
Osnovne definicije i formule su predstavljene u odeljku „Teorijska pozadina“.
Kako biste bolje razumjeli gradivo, preporučujemo da vježbate ispunjavanje zadataka. Pažljivo pregledajte primjere eksponencijalnih jednačina s rješenjima predstavljenim na ovoj stranici da biste razumjeli algoritam proračuna. Nakon toga, nastavite sa izvršavanjem zadataka u odjeljku “Direktoriji”. Možete početi s najjednostavnijim zadacima ili ići direktno na rješavanje složenih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili . Baza vježbi na našoj web stranici se stalno dopunjuje i ažurira.
One primjere s indikatorima koji su vam izazvali poteškoće možete dodati u „Favorite“. Na ovaj način možete ih brzo pronaći i razgovarati o rješenju sa svojim učiteljem.
Da biste uspješno položili Jedinstveni državni ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!