Ukratko o glavnom

Površina (2019.)

Površina prizme

Postoji li opšta formula? Ne, generalno, ne. Vi samo trebate pronaći područja bočnih strana i sumirati ih.

Formula se može napisati za ravna prizma:

Gdje je obim baze.

Ali ipak, mnogo je lakše u svakom slučaju sabrati sva područja nego zapamtiti dodatne formule. Na primjer, izračunajmo ukupnu površinu pravilne šesterokutne prizme.

Sve bočne strane su pravokutnici. Sredstva.

Ovo je već uzeto u obzir prilikom izračunavanja zapremine.

Tako dobijamo:

Površina piramide

Za piramidu važi i opšte pravilo:

Sada izračunajmo površinu najpopularnijih piramida.

Površina pravilne trouglaste piramide

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka. Moram da nađem i.

Prisjetite se sada toga

Ovo je površina pravokutnog trougla.

I prisjetimo se kako pronaći ovo područje. Koristimo formulu površine:

Imamo "" - ovo, i "" - ovo takođe, eh.

Sad hajde da nađemo.

Koristeći osnovnu formulu površine i Pitagorinu teoremu, nalazimo

pažnja: ako imate pravilan tetraedar (tj.), onda je formula:

Površina pravilne četvorougaone piramide

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka.

U osnovi je kvadrat, i stoga.

Ostaje pronaći područje bočne strane

Površina pravilne šesterokutne piramide.

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica.

Kako pronaći? Šestougao se sastoji od tačno šest identičnih pravilnih trouglova. Već smo tražili površinu pravilnog trokuta prilikom izračunavanja površine pravilne trokutaste piramide, ovdje koristimo pronađenu formulu.

Pa, već smo dva puta tražili područje bočne strane

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, onda ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sada najvažnija stvar.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan položen ispit, za upis na institut na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na ispitu i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebaće ti rješavajte probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu - morate ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije neophodno) i svakako ih preporučujemo.

Da biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - 999 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

U drugom slučaju mi ćemo vam dati simulator "6000 zadataka sa rješenjima i odgovorima, za svaku temu, za sve nivoe složenosti." Definitivno je dovoljno da se uhvatite u koštac sa rješavanjem problema na bilo koju temu.

Zapravo, ovo je mnogo više od samo simulatora - cijeli program obuke. Ako je potrebno, možete ga koristiti i BESPLATNO.

Pristup svim tekstovima i programima je omogućen za cijeli vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati sa teorijom.

“Razumijem” i “Znam kako riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Prije proučavanja pitanja o ovoj geometrijskoj figuri i njenim svojstvima, potrebno je razumjeti neke pojmove. Kada osoba čuje za piramidu, zamišlja ogromne zgrade u Egiptu. Ovako izgledaju najjednostavniji. Ali dolaze u različitim vrstama i oblicima, što znači da će formula za izračunavanje geometrijskih oblika biti drugačija.

Piramida - geometrijska figura, koji označava i predstavlja više lica. Zapravo, ovo je isti poliedar, u čijoj osnovi leži poligon, a na stranama trokuta koji se spajaju u jednoj tački - vrhu. Figura je dva glavna tipa:

• ispravan;
• skraćeno.

U prvom slučaju, baza je pravilan poligon. Ovdje su sve bočne površine jednake između sebe i same figure zadovoljit će oko perfekcioniste.

U drugom slučaju postoje dvije baze - velika na samom dnu i mala između vrha, ponavljajući oblik glavne. Drugim riječima, skraćena piramida je poliedar čiji je presjek formiran paralelno s bazom.

Uslovi i oznake

Osnovni pojmovi:

• Pravilan (jednakostranični) trougao Figura sa tri identična ugla i jednakim stranicama. U ovom slučaju svi uglovi su 60 stepeni. Figura je najjednostavniji od pravilnih poliedara. Ako ova figura leži u osnovi, onda će se takav poliedar zvati pravilnim trokutastim. Ako je osnova kvadrat, piramida će se zvati pravilna četvorougaona piramida.
• Vertex- najviša tačka na kojoj se ivice spajaju. Visinu vrha formira prava linija koja izlazi od vrha do osnove piramide.
• rub je jedna od ravni poligona. Može biti u obliku trokuta u slučaju trokutaste piramide ili u obliku trapeza za skraćenu piramidu.
• presjek- ravna figura nastala kao rezultat seciranja. Ne treba se brkati sa sekcijom, jer odeljak takođe pokazuje šta se nalazi iza sekcije.
• Apothem- segment povučen od vrha piramide do njene osnove. To je također visina lica gdje je druga tačka visine. Ova definicija vrijedi samo u odnosu na pravilan poliedar. Na primjer - ako nije skraćena piramida, tada će lice biti trokut. U ovom slučaju, visina ovog trokuta će postati apotema.

Formule površine

Pronađite površinu bočne površine piramide bilo koji tip se može izvesti na nekoliko načina. Ako figura nije simetrična i predstavlja poligon s različitim stranama, tada je u ovom slučaju lakše izračunati ukupnu površinu kroz ukupnost svih površina. Drugim riječima, potrebno je izračunati površinu svakog lica i sabrati ih.

Ovisno o tome koji su parametri poznati, mogu biti potrebne formule za izračunavanje kvadrata, trapeza, proizvoljnog četverokuta itd. Same formule u različitim slučajevima takođe će biti drugačiji.

U slučaju pravilne figure, pronalaženje područja je mnogo lakše. Dovoljno je znati samo nekoliko ključnih parametara. U većini slučajeva, proračuni su potrebni upravo za takve brojke. Stoga će odgovarajuće formule biti navedene u nastavku. U suprotnom, morali biste sve slikati na nekoliko stranica, što će samo zbuniti i zbuniti.

Osnovna formula za proračun bočna površina pravilne piramide će izgledati ovako:

S \u003d ½ Pa (P je perimetar baze i apotema)

Razmotrimo jedan od primjera. Poliedar ima osnovu sa segmentima A1, A2, A3, A4, A5 i svi su jednaki 10 cm. Neka je apotema jednaka 5 cm. Prvo treba pronaći obim. Budući da je svih pet lica baze ista, može se pronaći na sljedeći način: P = 5 * 10 = 50 cm. Zatim primjenjujemo osnovnu formulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na kvadrat .

Bočna površina pravilne trouglaste piramide najlakše izračunati. Formula izgleda ovako:

S =½* ab *3, gdje je a apotema, b je faseta baze. Faktor tri ovdje znači broj lica baze, a prvi dio je površina bočne površine. Razmotrimo primjer. Dat je lik sa apotemom od 5 cm i osnovnom površinom od 8 cm. Računamo: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm na kvadrat.

Bočna površina krnje piramide malo je teže izračunati. Formula izgleda ovako: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, gdje su p_01 i p_02 perimetri baza i apotema. Razmotrimo primjer. Pretpostavimo da su za četverokutnu figuru dimenzije stranica baza 3 i 6 cm, apotema je 4 cm.

Ovdje, za početak, trebali biste pronaći perimetre baza: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Ostaje da zamenimo vrednosti u glavnu formulu i dobijemo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na kvadrat.

Dakle, moguće je pronaći bočnu površinu pravilne piramide bilo koje složenosti. Pazite da ne zbunite ovi proračuni sa ukupnom površinom cijelog poliedra. A ako to i dalje trebate učiniti, dovoljno je izračunati površinu najveće baze poliedra i dodati je površini bočne površine poliedra.

Video

Za konsolidaciju informacija o tome kako pronaći površinu bočne površine različitih piramida, ovaj video će vam pomoći.

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.

Tipični geometrijski problemi u ravni i u trodimenzionalnom prostoru su problemi određivanja površina različitih figura. U ovom članku predstavljamo formulu za površinu bočne površine pravilne četverokutne piramide.

Šta je piramida?

Hajde da damo strogu geometrijsku definiciju piramide. Pretpostavimo da postoji neki poligon sa n strana i n uglova. Biramo proizvoljnu tačku u prostoru koja neće biti u ravni navedenog n-ugla i povezujemo je sa svakim vrhom poligona. Dobićemo figuru koja ima neki volumen, a koja se zove n-kutna piramida. Na primjer, na slici ispod pokažemo kako izgleda petougaona piramida.

Dva važna elementa svake piramide su njena osnova (n-ugao) i vrh. Ovi elementi su međusobno povezani sa n trouglova, koji generalno nisu jednaki jedan drugom. Okomito spušteno od vrha do baze naziva se visina figure. Ako siječe bazu u geometrijskom centru (poklapa se sa centrom mase poligona), tada se takva piramida naziva prava linija. Ako je, pored ovog uslova, osnova pravilan poligon, onda se cijela piramida naziva pravilnom. Na slici ispod prikazano je kako izgledaju pravilne piramide sa trouglastim, četverouglastim, peterokutnim i šesterokutnim osnovama.

Površina piramide

Prije nego što pređemo na pitanje površine bočne površine pravilne četverokutne piramide, treba se detaljnije zadržati na konceptu same površine.

Kao što je gore spomenuto i prikazano na slikama, svaka piramida je formirana skupom lica ili stranica. Jedna strana je baza, a n strana su trouglovi. Površina cijele figure je zbir površina svake njene strane.

Pogodno je proučavati površinu na primjeru rasklapanja figure. Skeniranje za pravilnu četvorougaonu piramidu prikazano je na slikama ispod.

Vidimo da je njegova površina jednaka zbroju četiri površine identičnih jednakokračnih trokuta i površine kvadrata.

Ukupna površina svih trokuta koji čine stranice figure naziva se površina bočne površine. Zatim ćemo pokazati kako to izračunati za pravilnu četverokutnu piramidu.

Bočna površina pravougaone pravilne piramide

Da bismo izračunali površinu bočne površine navedene figure, ponovo se okrećemo gore navedenom potezu. Pretpostavimo da znamo stranu kvadratne baze. Označimo ga simbolom a. Može se vidjeti da svaki od četiri identična trougla ima osnovu dužine a. Da biste izračunali njihovu ukupnu površinu, morate znati ovu vrijednost za jedan trokut. Iz kursa geometrije je poznato da je površina trokuta S t jednaka umnošku osnove i visine, koju treba podijeliti na pola. To je:

Gdje je h b visina jednakokračnog trougla povučena do osnove a. Za piramidu, ova visina je apotema. Sada ostaje da se dobijeni izraz pomnoži sa 4 da dobijete površinu S b bočne površine za dotičnu piramidu:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Ova formula sadrži dva parametra: apotemu i stranu baze. Ako je ovo drugo poznato u većini uslova problema, onda se prvo mora izračunati znajući druge veličine. Evo formula za izračunavanje apoteme h b za dva slučaja:

• kada je poznata dužina bočnog rebra;
• kada je poznata visina piramide.

Ako dužinu bočne ivice (stranicu jednakokračnog trokuta) označimo simbolom L, tada je apotema h b određena formulom:

h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).

Ovaj izraz je rezultat primjene Pitagorine teoreme za trokut bočne površine.

Ako je visina h piramide poznata, onda se apotema h b može izračunati na sljedeći način:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Također nije teško dobiti ovaj izraz ako uzmemo u obzir pravokutni trokut unutar piramide koju čine katete h i a / 2 i hipotenuza h b.

Pokazat ćemo kako primijeniti ove formule rješavanjem dva zanimljiva problema.

Problem sa poznatom površinom

Poznato je da je površina bočne površine četverokutnika 108 cm 2 . Potrebno je izračunati vrijednost dužine njene apoteme h bi ako je visina piramide 7 cm.

Zapisujemo formulu za površinu S b bočne površine kroz visinu. Imamo:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Ovdje smo jednostavno zamijenili odgovarajuću formulu apoteme u izraz za S b . Kvadirajmo obje strane jednadžbe:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

Da bismo pronašli vrijednost a, vršimo promjenu varijabli:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Sada zamjenjujemo poznate vrijednosti i rješavamo kvadratnu jednačinu:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Napisali smo samo pozitivan korijen ove jednadžbe. Tada će stranice osnove piramide biti jednake:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Da biste dobili dužinu apoteme, samo koristite formulu:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) = √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.

Bočna površina Keopsove piramide

Odredimo vrijednost bočne površine za najveću egipatsku piramidu. Poznato je da u njegovoj osnovi leži kvadrat sa dužinom stranice od 230.363 metara. Visina konstrukcije je prvobitno bila 146,5 metara. Zamijenimo ove brojeve u odgovarajuću formulu za S b , dobićemo:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a = 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Pronađena vrijednost je nešto veća od površine 17 fudbalskih terena.

Koji oblik nazivamo piramidom? Prvo, to je poliedar. Drugo, u osnovi ovog poliedra nalazi se proizvoljan mnogokut, a stranice piramide (bočne strane) nužno imaju oblik trokuta koji se konvergiraju u jednom zajedničkom vrhu. Sada, nakon što smo se pozabavili pojmom, hajde da saznamo kako pronaći površinu piramide.

Jasno je da se površina takvog geometrijskog tijela sastoji od zbira površina baze i cijele njegove bočne površine.

Izračunavanje površine osnove piramide

Izbor formule za proračun ovisi o obliku poligona koji leži u osnovi naše piramide. Može biti ispravan, odnosno sa stranicama iste dužine, ili netačan. Hajde da razmotrimo obe opcije.

U osnovi je pravilan poligon

Iz školskog kursa se zna:

• površina kvadrata će biti jednaka dužini njegove stranice na kvadrat;
• Površina jednakostraničnog trokuta jednaka je kvadratu njegove stranice podijeljen sa 4 puta kvadratnim korijenom od tri.

Ali postoji i opća formula za izračunavanje površine bilo kojeg pravilnog poligona (Sn): trebate pomnožiti vrijednost perimetra ovog poligona (P) s polumjerom kruga upisanog u njega (r), i zatim podijelite rezultat sa dva: Sn=1/2P*r .

Osnova je nepravilan poligon.

Šema za pronalaženje njegove površine je da prvo podijelite cijeli poligon na trokute, izračunate površinu svakog od njih koristeći formulu: 1/2a * h (gdje je a osnova trokuta, h visina spušten na ovu bazu), zbrojite sve rezultate.

Bočna površina piramide

Sada izračunajmo površinu bočne površine piramide, tj. zbir površina svih njegovih strana. Ovdje također postoje 2 opcije.

1. Neka nam je proizvoljna piramida, tj. onaj čija je osnova nepravilan mnogougao. Zatim biste trebali posebno izračunati površinu svakog lica i dodati rezultate. Budući da stranice piramide, po definiciji, mogu biti samo trouglovi, proračun se zasniva na gore navedenoj formuli: S=1/2a*h.
2. Neka je naša piramida ispravna, tj. u njegovoj osnovi leži pravilan poligon, a projekcija vrha piramide je u njegovom središtu. Zatim, za izračunavanje površine bočne površine (Sb), dovoljno je pronaći polovinu proizvoda opsega osnovnog poligona (P) i visine (h) stranice (isto za sva lica) : Sb \u003d 1/2 P * h. Opseg poligona se određuje zbrajanjem dužina svih njegovih stranica.

Ukupna površina pravilne piramide nalazi se zbrajanjem površine njene osnove sa površinom cijele bočne površine.

Primjeri

Na primjer, izračunajmo algebarski površine nekoliko piramida.

Površina trouglaste piramide

U osnovi takve piramide nalazi se trokut. Prema formuli So \u003d 1 / 2a * h, nalazimo površinu baze. Primjenjujemo istu formulu da pronađemo površinu svakog lica piramide, također trokutastog oblika, i dobijemo 3 područja: S1, S2 i S3. Površina bočne površine piramide je zbir svih površina: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Zbrajanjem površina stranica i baze, dobivamo ukupnu površinu željene piramide: Sp = So + Sb.

Površina četvorougaone piramide

Bočna površina je zbroj 4 člana: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, od kojih se svaki izračunava pomoću formule površine trokuta. A područje baze će se morati tražiti, ovisno o obliku četverokuta - ispravnom ili nepravilnom. Ukupna površina piramide se ponovo dobija sabiranjem površine osnove i ukupne površine date piramide.

Uputstvo

Prije svega, vrijedno je razumjeti da je bočna površina piramide predstavljena s nekoliko trokuta, čija se područja mogu pronaći pomoću različitih formula, ovisno o poznatim podacima:

S \u003d (a * h) / 2, gdje je h visina spuštena na stranu a;

S = a*b*sinβ, gdje su a, b stranice trougla, a β ugao između ovih stranica;

S \u003d (r * (a + b + c)) / 2, gdje su a, b, c stranice trokuta, a r polumjer kružnice upisane u ovaj trokut;

S \u003d (a * b * c) / 4 * R, gdje je R polumjer trokuta opisanog oko kruga;

S = (a * b) / 2 \u003d r² + 2 * r * R (ako je trokut pravokutni);

S = S = (a²*√3)/4 (ako je trokut jednakostraničan).

Zapravo, ovo su samo najosnovnije poznate formule za pronalaženje površine trokuta.

Nakon što smo izračunali, koristeći gornje formule, površine svih trokuta koji su lica piramide, možemo početi izračunavati površinu ove piramide. To se radi krajnje jednostavno: trebate zbrojiti površine svih trokuta koji čine bočnu površinu piramide. Ovo se može izraziti u formuli poput ove:

Sp = ΣSi, gdje je Sp bočna površina, Si je površina i-tog trougla, koji je dio njegove bočne površine.

Radi veće jasnoće, možemo uzeti u obzir mali primjer: data je pravilna piramida, čije su bočne strane formirane jednakostraničnim trokutima, a u njenoj osnovi leži kvadrat. Dužina ivice ove piramide je 17 cm. Potrebno je pronaći površinu bočne površine ove piramide.

Rješenje: poznata je dužina ivice ove piramide, poznato je da su njena lica jednakostranični trouglovi. Dakle, možemo reći da su sve strane svih trokuta bočne površine 17 cm. Stoga, da biste izračunali površinu bilo kojeg od ovih trokuta, morat ćete primijeniti formulu:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Poznato je da u osnovi piramide leži kvadrat. Dakle, jasno je da postoje četiri data jednakostranična trougla. Tada se površina bočne površine piramide izračunava na sljedeći način:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Odgovor: Bočna površina piramide je 500,548 cm².

Prvo izračunamo površinu bočne površine piramide. Bočna površina je zbir površina svih bočnih strana. Ako imate posla s pravilnom piramidom (tj. onom koja se zasniva na pravilnom poligonu, a vrh je projektovan u centar ovog poligona), tada je za izračunavanje cijele bočne površine dovoljno pomnožiti obim osnovicu (tj. zbir dužina svih strana poligona koji leži na bazi piramide) sa visinom bočne strane (inače zvanom apotema) i rezultujuću vrijednost podijelite sa 2: Sb = 1 / 2P * h, gdje je Sb površina bočne površine, P je obim baze, h je visina bočne površine (apotema).

Ako imate proizvoljnu piramidu ispred sebe, tada ćete morati posebno izračunati površine svih lica, a zatim ih zbrojiti. Budući da su bočne strane piramide trokuti, koristite formulu za površinu trokuta: S=1/2b*h, gdje je b osnova trokuta, a h visina. Kada se izračunaju površine svih lica, ostaje samo da ih saberemo kako bismo dobili površinu bočne površine piramide.

Zatim morate izračunati površinu baze piramide. Izbor formule za izračunavanje zavisi od toga koji poligon leži u osnovi piramide: ispravan (odnosno onaj čije sve strane imaju istu dužinu) ili netačan. Površina pravilnog poligona može se izračunati množenjem perimetra sa radijusom kruga upisanog u poligon i dijeljenjem rezultirajuće vrijednosti sa 2: Sn=1/2P*r, gdje je Sn površina poligon, P je perimetar, a r polumjer kružnice upisane u poligon.

Skraćena piramida je poliedar formiran od piramide i njenog presjeka paralelnog s bazom. Pronalaženje površine bočne površine piramide uopće nije teško. Vrlo je jednostavno: površina je jednaka umnošku polovine zbira baza po. Razmotrimo primjer izračunavanja bočne površine. Recimo da je data pravilna piramida. Dužine osnove su b=5 cm, c=3 cm Apotema a=4 cm Da biste pronašli površinu bočne površine piramide, prvo morate pronaći obim osnova. U velikoj bazi to će biti jednako p1=4b=4*5=20 cm. U manjoj bazi formula će biti sljedeća: p2=4c=4*3=12 cm. Dakle, površina će biti jednako: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.

Ako nepravilan poligon leži u podnožju piramide, da biste izračunali površinu cijele figure, prvo ćete morati razbiti poligon na trokute, izračunati površinu svakog od njih, a zatim dodati. U drugim slučajevima, da biste pronašli bočnu površinu piramide, morate pronaći površinu svake njene bočne površine i dodati rezultate. U nekim slučajevima, zadatak pronalaženja bočne površine piramide može se olakšati. Ako je jedna bočna strana okomita na bazu, ili su dvije susjedne bočne strane okomite na bazu, tada se osnova piramide smatra ortogonalnom projekcijom dijela njene bočne površine, a povezuju se formulama.

Da biste završili izračunavanje površine piramide, dodajte površine bočne površine i osnove piramide.

Piramida je poliedar, čija je jedna strana (baza) proizvoljan poligon, a preostale strane (stranice) su trouglovi koji imaju . Prema broju uglova baze, piramide su trokutaste (tetraedar), četvorougaone i tako dalje.

Piramida je poliedar sa osnovom u obliku mnogougla, a preostale strane su trokuti sa zajedničkim vrhom. Apotema je visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena s njenog vrha.

Piramida je poliedar čija je osnova poligon, a bočne strane su trouglovi koji imaju jedan zajednički vrh. Square površine piramide jednak zbiru površina bočne strane površine i osnove piramide.

Trebaće ti

• Papir, olovka, kalkulator

Uputstvo

Prvo izračunajte površinu stranice površine . Bočna površina je zbir svih bočnih strana. Ako imate posla s pravilnom piramidom (tj. onom koja sadrži pravilan poligon, a vrh je projektovan u središte ovog poligona), onda da biste izračunali cijeli bočni površine dovoljno je pomnožiti obim baze (tj. zbir dužina svih strana mnogougla koji leže u bazi piramide) visinom bočne strane (inače zvanom) i podijelite rezultirajuću vrijednost sa 2: Sb = 1 / 2P * h, gdje je Sb površina bočne strane površine, P - perimetar osnove, h - visina bočne strane (apotema).

Ako imate proizvoljnu piramidu ispred sebe, tada ćete morati izračunati površine svih lica, a zatim ih sabrati. Jer bočna lica piramide su , koristite formulu za površinu trokuta: S=1/2b*h, gdje je b osnova trokuta, a h visina. Kada se izračunaju površine svih lica, ostaje samo da ih saberemo kako bismo dobili bočnu površinu površine piramide.

Zatim morate izračunati površinu baze piramide. Izbor za izračunavanje je da li poligon leži u osnovi piramide: ispravan (tj. onaj čije su sve stranice iste dužine) ili. Square Pravilan poligon se može izračunati množenjem perimetra sa radijusom kruga upisanog u poligon i dijeljenjem rezultirajuće vrijednosti sa 2: Sn=1/2P*r, gdje je Sn površina poligona, P je perimetar, a r je polumjer kružnice upisane u poligon.

Ako je u bazi piramide leži nepravilan poligon, a zatim da biste izračunali površinu cijele figure, opet morate razbiti poligon u trokute, izračunati površinu svake, a zatim dodati.

Za završetak izračuna površine površine piramide, presavijte kvadratnu stranu površine i osnove piramide.

Povezani video zapisi

Poligon je geometrijska figura konstruisana zatvaranjem polilinije. Postoji nekoliko vrsta poligona, koji se razlikuju ovisno o broju vrhova. Površina se izračunava za svaki tip poligona na određene načine.

Uputstvo

Pomnožite dužine stranica ako trebate izračunati površinu kvadrata ili pravokutnika. Ako trebate znati površinu pravokutnog trokuta, dopunite ga u pravougaonik, izračunajte njegovu površinu i podijelite je sa dva.

Koristite sljedeću metodu za izračunavanje površine, ako figura nema više od 180 stepeni (konveksan poligon), dok su svi njeni vrhovi u koordinatnoj mreži i ne sijeku se.
Opišite pravougaonik oko takvog poligona tako da su njegove stranice paralelne sa linijama mreže (koordinatnim osa). U ovom slučaju, barem jedan od vrhova poligona mora biti vrh pravokutnika.

Dvije baze mogu imati samo skraćenu piramide. U ovom slučaju, druga baza se sastoji od presjeka paralelnog s većom bazom piramide. Pronađite jedan od osnove moguće ako je poznato ili linearni elementi drugog.

Trebaće ti

• - svojstva piramide;
• - trigonometrijske funkcije;
• - sličnost figura;
• - pronalaženje područja poligona.

Uputstvo

Ako je osnova pravilan trougao, pronađite ga kvadrat, množenjem kvadrata stranice kvadratnim korijenom od 3 podijeljeno sa 4. Ako je baza kvadrat, podignite njegovu stranu na drugi stepen. Općenito, za bilo koji pravilan poligon, primijenite formulu S=(n/4) a² ctg(180º/n), gdje je n broj stranica pravilnog poligona, a a dužina njegove stranice.

Pronađite stranu manje baze koristeći formulu b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n). Ovdje je a veća baza, h je visina skraćenog dijela piramide, α je diedarski ugao u njegovoj osnovi, n je broj strana osnove(to je isto). Nađite površinu druge baze na isti način kao i prva, koristeći dužinu njene stranice S = (n / 4) b² ctg (180º / n) u formuli.

Ako su baze druge vrste poligona, sve strane jednog od poligona osnove, i jedna od strana druge, a zatim izračunajte preostale stranice kao slične. Na primjer, stranice veće baze su 4, 6, 8 cm. Veća stranica manje baze je 4 cm. Izračunajte faktor proporcionalnosti, 4/8 = 2 (uzimamo stranice u svakoj od osnove), i izračunaj ostale stranice 6/2=3 cm, 4/2=2 cm Dobijamo stranice 2, 3, 4 cm na manjoj osnovici stranice. Sada ih izračunajte kao površine trouglova.

Ako je omjer odgovarajućih elemenata u skraćenom poznat, onda je omjer površina osnoveće biti jednak omjeru kvadrata ovih elemenata. Na primjer, ako su relevantne strane poznate osnove a i a1, zatim a²/a1²=S/S1.

Ispod području piramide obično se odnosi na područje njegove bočne ili pune površine. U osnovi ovog geometrijskog tijela leži poligon. Bočne strane su trouglastog oblika. Imaju zajednički vrh, koji je takođe vrh piramide.

Trebaće ti

• - papir;
• - olovka;
• - kalkulator;
• - piramida sa datim parametrima.

Uputstvo

Razmotrite piramidu datu u zadatku. Odredite da li u njegovoj osnovi leži pravilan ili nepravilan poligon. Ispravan ima sve strane jednake. Površina u ovom slučaju jednaka je polovini umnoška perimetra i polumjera. Pronađite obim množenjem dužine stranice l brojem stranica n, tj. P=l*n. Površina baze može se izraziti formulom So = 1 / 2P * r, gdje je P perimetar, a r polumjer upisane kružnice.

Opseg i površina nepravilnog poligona se izračunavaju drugačije. Stranice su različite dužine. To