Odredite vrstu parcijalne diferencijalne jednadžbe. Parcijalna diferencijalna jednadžba

21.09.2019

Ranije su razmatrane obične diferencijalne jednadžbe. Njihove odluke zavise samo od jedne varijable: ,
itd. U mnogim praktičnim problemima tražene funkcije zavise od nekoliko varijabli, a jednačine koje opisuju takve probleme mogu sadržavati parcijalne izvode traženih funkcija. Zovu se parcijalne diferencijalne jednadžbe.

Na primjer, mnogi problemi u mehanici kontinuuma dovode do rješenja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Ovdje su najčešće tražene funkcije gustina, temperatura, napon itd., čiji su argumenti koordinate razmatrane tačke u prostoru, kao i vrijeme.

Kompletna matematička formulacija problema, zajedno sa diferencijalnim jednadžbama, sadrži i neke dodatne uslove. Ako se rješenje traži u ograničenom području, tada se specificiraju uslovi na njegovoj granici, koji se nazivaju granični (ivni) uvjeti. Takvi problemi se nazivaju problemi graničnih vrijednosti za parcijalne diferencijalne jednadžbe.

Ako je jedna od nezavisnih varijabli u problemu koji se razmatra vrijeme t, tada se u početnom trenutku postavljaju neki uvjeti (na primjer, vrijednosti traženih parametara). , zvani početni uslovi. Problem koji se sastoji od rješavanja jednadžbe pod datim početnim uvjetima naziva se Cauchyjev problem za parcijalnu diferencijalnu jednačinu. U ovom slučaju, problem se rješava u neograničenom prostoru, a granični uvjeti nisu specificirani.

Problemi u čijoj se formulaciji postavljaju granični i početni uvjeti nazivaju se nestacionarni (ili mješoviti) granični problemi. Rezultirajuća rješenja se vremenom mijenjaju.

Dakle, matematički modeli fizičkih i drugih procesa opisani su parcijalnim diferencijalnim jednadžbama. Argumenti funkcija ovih jednačina su prostorne koordinate
i vrijeme .

Jednačine prvog reda. Jednačine prvog reda nazivaju se i transportne jednačine. To se objašnjava činjenicom da takve jednadžbe opisuju procese prijenosa čestica u medijima, širenja poremećaja itd.

Njegovo rješenje je od interesa ne samo sa praktične tačke gledišta; U još većoj mjeri, ova jednadžba je korisna u razvoju i proučavanju diferencijskih shema.

Pretpostavit ćemo da je tražena funkcija zavisi od vremena i jedna prostorna varijabla x. Tada se jednačina linearnog transporta može zapisati kao

Evo - brzina prenosa.

Jednačine drugog reda. Linearna parcijalna diferencijalna jednadžba drugog reda je odnos između funkcije
ili
i njegove parcijalne derivate oblika.

(1)

Ako je promjenjiva funkcija zavisi od I , tada se jednačina može napisati na sljedeći način:

(2)

Ako
, tada se jednačine 1-2 nazivaju homogene, inače nehomogene.

Ako
, tada jednačina (2) pripada klasi eliptičkih jednačina;

Ako
, onda je ovo hiperbolična jednadžba;

Ako
- parabolična jednačina.

Kada
nema konstantan predznak, dobija se jednadžba mješovitog tipa.

Klasične eliptičke jednadžbe uključuju:

Laplaceova jednadžba
, koji se koristi za opisivanje magnetnih i stacionarnih termičkih polja;

Poissonova jednadžba
, koji se koristi u elektrostatici, teoriji elastičnosti i drugim naukama;

Helmholtzova jednadžba
, koji opisuje stabilne oscilatorne procese.

Laplace operater:

u jednodimenzionalnom slučaju
;

u dvodimenzionalnom slučaju
;

u trodimenzionalnom slučaju
.

Među hiperboličkim jednadžbama možemo razlikovati:

Talasne jednadžbe:

jednodimenzionalni
, koji opisuje prisilne vibracije strune;

dvodimenzionalni
, koji opisuje vibracije membrane.

Telegrafska jednadžba, koja opisuje promjenu potencijala u dalekovodima. Evo
- koeficijent samoindukcije, kapacitivnost, otpornost, karakteristike gubitka po jedinici dužine vodova.

Klasične paraboličke jednačine uključuju jednadžbu topline
.

Da bi se pronašlo jedinstveno rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe, potrebno je specificirati početne i granične uvjete. Početni uslovi se obično nazivaju uslovi navedeni u početnom trenutku vremena . Granični uslovi su specificirani za različite vrijednosti prostornih varijabli. Za eliptičke jednadžbe specificirani su samo granični uvjeti, koji se mogu podijeliti u tri klase:

Dirichletovo stanje
- u ovom slučaju, na granici područja G u kojem se traži rješenje, određena je kontinuirana funkcija . U jednodimenzionalnom slučaju, ovaj uslov ima oblik:
I
Gdje
- interval u kojem se traži rješenje jednodimenzionalnog problema;

Neumannovo stanje
- u ovom slučaju, na granici područja G specificira se derivacija smjera vanjska normalna;

Miješano stanje
.

Za paraboličke jednadžbe, pored graničnih uslova, potrebno je odrediti i jedan početni, koji može biti sljedeći:
.

U slučaju hiperboličkih jednačina, početni uslovi mogu biti sljedeći
I
.

Rješenje brojnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi može se dobiti analitički. Jedna od najčešće korišćenih metoda je metoda razdvajanja varijabli (Fourierova metoda). Pogledajmo pobliže ovu metodu.

O metodama rješavanja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.

Rješenje najjednostavnijih problema za parcijalne diferencijalne jednadžbe u brojnim slučajevima može se provesti analitičke metode, razmatrana u relevantnim dijelovima matematike. Ovo se uglavnom odnosi na neke jednačine prvog reda, ali i na jednačine drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Analitičke metode su korisne ne samo zato što omogućavaju dobivanje općih rješenja koja se mogu više puta koristiti. Takođe su od velikog značaja za konstrukciju numeričkih metoda. Testiranje diferencijskih shema na poznatim rješenjima najjednostavnijih jednačina omogućava procjenu ovih shema i otkrivanje njihovih snaga i slabosti.

Među numeričke metode Metode razlika se široko koriste. Oni se zasnivaju na uvođenju određene mreže razlika u regionu koji se razmatra. Vrijednosti izvoda, početni i granični uvjeti izraženi su kroz vrijednosti funkcija u čvorovima mreže, što rezultira sustavom algebarskih jednadžbi koji se naziva diferencijalna shema. Rješavanjem ovog sistema jednadžbi moguće je pronaći vrijednosti mrežnih funkcija u čvorovima mreže koje se približno smatraju jednakim vrijednostima traženih funkcija.

Date jednačine se nazivaju jednačine matematičke fizike. Mnogi primijenjeni problemi svode se na njihovo rješavanje. Prije nego što pređemo na raspravu o numeričkim metodama za rješavanje ovih jednačina, razmotrimo glavna pitanja konstruiranja dijagrama razlika.

2. Uvod u grid metode, koncepte grida, šablona, sloja.

O konstrukciji razlika shema. Kao što je već napomenuto, konstrukcija diferencijalnih shema za rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednačina zasniva se na uvođenju mreže u prostor koji se razmatra. Čvorovi mreže su projektne tačke.

Primjer jednostavnog pravokutnog područja G(x, y) sa granicom G u dvodimenzionalnom slučaju je prikazano na slici 1, A. Stranice pravougaonika
,
podijeljeni su na elementarne segmente po točkama
,
I
,
. Kroz ove tačke su povučene dvije porodice koordinatnih linija
,
formirajući mrežu s pravokutnom ćelijom. Bilo koji čvor ove mreže čiji broj (
), određen koordinatama (
).

Rice. 1. Pravokutna mreža ( A), 3D mrežasti element ( b)

Mrežni čvorovi koji leže na granici G regije G, nazivaju se granični čvorovi. Svi ostali čvorovi su interni.

Mreže za višedimenzionalna područja se uvode na sličan način. Na sl. 1, b prikazuje mrežasti element u obliku pravokutnog paralelepipeda za trodimenzionalno područje.

Uzorak– kombinacija korištenih čvorova

Budući da su početni i granični uslovi pri postavljanju problema formulisani na granici računskog domena, mogu se smatrati specificiranim na graničnim čvorovima mreže. Ponekad granične točke područja nisu čvorovi mreže, što je slučaj za područja složenog oblika. Tada se ili uvode dodatni čvorovi na sjecištu koordinatnih linija s granicom, ili se granica približno zamjenjuje isprekidanom linijom koja prolazi kroz čvorove blizu granice. Granični uslovi se prenose na ovu izlomljenu liniju.

U brojnim slučajevima, složene krivolinijske regije mogu se svesti na njihov najjednostavniji oblik prelaskom na nove nezavisne varijable. Na primjer, četverokutna površina G, prikazano na sl. 2, može se svesti na jedinični kvadrat G" uvođenjem novih varijabli £, q umjesto #, y koristeći relacije

Potrebno je transformisati jednačine, kao i početne i granične uslove, na nove varijable. U području G" možete unijeti pravokutnu mrežu, dok ste u području G odgovarat će mreži s neravnomjerno raspoređenim čvorovima i zakrivljenim ćelijama,

Ubuduće, pri konstruisanju dijagrama razlika, radi jednostavnosti, koristićemo pravougaone mreže (ili sa ćelijama u obliku pravougaonih paralelepipeda u trodimenzionalnom slučaju), a jednadžbe ćemo pisati u kartezijanskim koordinatama (
). U praksi je potrebno rješavati probleme u različitim krivolinijskim koordinatnim sistemima: polarnim, cilindričnim, sfernim itd. Na primjer, ako je zgodno definirati računsko područje u polarnim koordinatama (
), tada se mreža uvodi u koracima
I
prema radijus vektoru i polarnom uglu.

Ponekad se u jednostavnoj računskoj domeni uvodi neujednačena mreža. Konkretno, u nekim slučajevima je potrebno precizirati čvorove za preciznije proračune u nekim dijelovima regije koja se razmatra. U ovom slučaju, područja koncentracije čvorova su ili unaprijed poznata ili se određuju u procesu rješavanja problema (na primjer, ovisno o gradijentu traženih funkcija).

Da bi se konstruisala dijagramska šema, kao u slučaju običnih diferencijalnih jednačina, parcijalni derivati u jednačini se zamenjuju odnosima konačnih razlika prema određenom šablonu (videti Poglavlje 3, § 1). U ovom slučaju, točne vrijednosti tražene funkcije U zamjenjuju se vrijednostima mrežne funkcije u čvorovima mreže razlika.

Kao primjer, konstruisaćemo neke diferentne šeme za rešavanje jednačine toplote za date početne i granične uslove. Zapišimo mješoviti granični problem u obliku

,(6)

Gdje
- početna raspodjela temperature U(kod t= 0);
- raspodjela temperature na krajevima segmenta koji se razmatra ( X= 0, 1) u bilo kom trenutku t. Imajte na umu da početni i granični uslovi moraju biti konzistentni, tj.

Hajde da uvedemo uniformnu pravougaonu mrežu koristeći koordinatne linije
,
I
,
,I - respektivno, koraci mreže u smjerovima X I t. Vrijednosti funkcije označavamo na čvorovima mreže
. Ove vrijednosti ćemo zamijeniti odgovarajućim vrijednostima mrežne funkcije koji zadovoljavaju shemu razlike.

Zamjenom parcijalnih izvoda željene funkcije u izvornoj jednadžbi (6) korištenjem odnosa konačnih razlika, dobivamo diferencijsku shemu

(7)

Prilikom snimanja ovog dijagrama, šablon prikazan na slici 1 se koristi za svaki čvor. 2, A.

Za istu jednačinu možete konstruirati različite sheme razlika. Konkretno, ako koristite šablon prikazan na sl. 2, b, tada umjesto (7) dobijamo shemu razlike

(8)

U oba slučaja dobija se sistem algebarskih jednadžbi za određivanje vrednosti funkcije mreže na unutrašnjim čvorovima. Vrijednosti u graničnim čvorovima nalaze se iz graničnih uslova

Skup čvorova na t= const, tj. za fiksnu vrijednost , zvao sloj. Šema (7) vam omogućava da sekvencijalno pronađete vrijednosti
,
on
th sloj kroz odgovarajuće vrijednosti on th layer. Takve šeme se nazivaju očigledno.

Za početak brojanja j= 1, potrebno je rješenje na početnom sloju. Određuje se početnim stanjem

Za razliku od eksplicitne sheme, svaka jednadžba razlike (8) sadrži na svakom novom sloju vrijednosti nepoznatih u tri tačke, pa je nemoguće odmah odrediti ove vrijednosti kroz poznato rješenje na prethodnom sloju. Takve šeme se nazivaju implicitno. U ovom slučaju, shema razlike (8) sastoji se od linearnih jednadžbi u tri tačke, odnosno svaka jednačina sadrži nepoznatu funkciju u tri tačke datog sloja. Takvi sistemi linearnih jednadžbi s tridijagonalnom matricom mogu se riješiti metodom sweep-a, kao rezultat toga će se pronaći vrijednosti mrežne funkcije u čvorovima.

Imajte na umu da u razmatranom primjeru dobijamo dvoslojna kola, kada svaka jednadžba razlike uključuje vrijednosti funkcije iz dva sloja - donjeg, na kojem je rješenje već pronađeno, i gornjeg, u čijim čvorovima se rješenje traži.

Koristeći razmatranu metodu konstruisanja šema razlike, kada se pojedinačne parcijalne derivacije uključene u jednačinu zamjenjuju relacijama konačnih razlika za mrežnu funkciju (ili mrežne izraze), mogu se izraditi višeslojne šeme, kao i sheme visokog reda tačnosti. kreiran.

Laplaceova jednadžba. Mnogi stacionarni fizički problemi (proučavanje potencijalnih tokova fluida, određivanje oblika opterećene membrane, problemi toplotne provodljivosti i difuzije u stacionarnim slučajevima, itd.) svode se na rješavanje jednadžbe Poisson vrsta

Ako
, tada se ova jednačina naziva jednačina Laplace. Radi jednostavnosti, razmotrićemo dvodimenzionalnu Laplaceovu jednačinu

Tražit ćemo rješenje ove jednačine za određeno ograničeno područje G promjene nezavisnih varijabli x, y. Granica regije G je zatvorena linija L. Da bismo u potpunosti formulirali problem graničnih vrijednosti, pored Laplaceove jednadžbe, potrebno je specificirati i granični uvjet na granici L. Uzmimo to u formi

Problem koji se sastoji od rješavanja Laplaceove (ili Poissonove) jednadžbe za date vrijednosti željene funkcije na granici računske domene naziva se Dirichletov problem.

Jedan od načina rješavanja stacionarnih eliptičkih problema, uključujući i granične probleme, je da se oni svedu na rješenje nekog fiktivnog nestacionarnog problema (hiperboličkog ili paraboličnog), čije se rješenje nalazi za dovoljno velike vrijednosti. t blizu rješenja prvobitnog problema. Ovo rješenje se zove način uspostavljanja.

Jer rešenje U(x,y) naše jednadžbe (2) ne zavisi od vremena, tada ovoj jednačini možemo dodati član jednak nuli (za tačno rješenje) . Tada će jednačina (2) poprimiti oblik

Ovo je nama poznata jednadžba provodljivosti topline za koju su već konstruirane šeme razlika. Ostaje samo postaviti početni uslov. Može se uzeti u gotovo proizvoljnom obliku, u skladu sa graničnim uslovima. Hajde da stavimo

Granični uslov (3) ostaje stacionaran, tj. nezavisan od vremena.

Proces numeričkog rješavanja jednačine (4) sa uslovima (3), (5) sastoji se u prijelazu na
od proizvoljne vrijednosti (5) do željenog stacionarnog rješenja. Brojanje se vrši dok otopina ne dostigne stacionarni način rada. Naravno, ograničeni smo na rješavanje nekih dovoljno velikih , ako se tražene vrijednosti na dva uzastopna sloja poklapaju sa datim stepenom tačnosti.

Metoda uspostavljanja zapravo predstavlja iterativni proces rješavanja problema, a pri svakoj iteraciji se numeričkim rješavanjem nekog pomoćnog problema dobivaju vrijednosti željene funkcije.

Da biste riješili Dirichletov problem, također možete konstruirati diferencijsku shemu aproksimacijom jednačine (2). Uvedimo mrežu u pravougaonoj regiji G koristeći koordinatne linije X= const i y = const. Radi jednostavnosti, prihvatimo vrijednosti koraka u varijablama X I at jednaka h(pretpostavlja se da su stranice područja G srazmjerne). Vrijednosti funkcije U u čvorovima
zamijeniti vrijednostima funkcije mreže . Zatim, aproksimirajući druge izvode u jednačini (2) koristeći relacije konačnih razlika, dobijamo jednačinu razlike (šablon je prikazan na slici):

(6)

Ova jednadžba se može predstaviti kao sistem linearnih algebarskih jednadžbi u vezi sa vrijednostima funkcije mreže u čvorovima. Ovaj sistem se može napisati u obliku

Vrijednosti mrežne funkcije u čvorovima koji se nalaze na granici računske domene mogu se pronaći iz graničnog uvjeta (3):

U teoriji diferencijskih shema dokazuje se da rješenje za konstruirani problem razlike postoji, a sama shema je stabilna.

Svaka jednačina sistema (7) (osim onih koji odgovaraju čvorovima koji se nalaze blizu granica) sadrži pet nepoznanica. Jedna od najčešćih metoda za rješavanje ovog sistema linearnih jednačina je metoda iteracije. Svaku od jednadžbi zapisujemo u dozvoljenom obliku u odnosu na vrijednost u centralnom čvoru (vidi sliku):

Proces iteracije je kontroliran maksimalnom devijacijom M vrijednosti mrežne funkcije u čvorovima za dvije uzastopne iteracije. Ako njegova vrijednost dostigne neki dati mali broj , iteracije se zaustavljaju.

Rješavanje Laplaceove jednadžbe u Mathcadu. Mathcad pruža ugrađene funkcije za rješavanje Laplaceovih i Poissonovih jednačina opusti se I multigrid .

3. Rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi metodom konačnih razlika.

4. Rješavanje eliptičkih, paraboličkih i hiperboličkih jednačina.

5. Nestacionarni problemi.

6. Konstrukcija eksplicitnih i implicitnih dijagrama za jednodimenzionalnu jednačinu topline.

7. Pitanja aproksimacije, stabilnosti i konvergencije.

8. Način rada.

9. Aproksimacija parcijalnih diferencijalnih jednadžbi sistemom običnih diferencijalnih jednadžbi (direktna metoda).

10. Stacionarni problemi, diferencne šeme, proračun za uspostavljanje.

11. Metode varijacije razlike.

12. Metoda konačnih elemenata.

Neka X 1 , X 2 , ..., X n- date funkcije varijabli x 1 , x 2 , ..., x n.

Za rješavanje linearne homogene parcijalne diferencijalne jednadžbe prvog reda:

potrebno je riješiti sistem običnih diferencijalnih jednadžbi (karakteristična jednačina):
:
Zatim morate predstaviti rješenje u obliku:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C 1,
φ 2 (x 1, x 2, ..., x n) = C 2,
..................
φ n- 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C n-1,
gdje su C k konstante.
Tada odmah dobijamo opšte rešenje:
,
gdje je F proizvoljna funkcija od n - 1 argumentima.

Ako trebate dobiti određeno rješenje s određenim graničnim uvjetima, tada trebate zamijeniti vrijednosti varijabli iz graničnih uvjeta u opće rješenje i pronaći oblik funkcije F.

Linearne nehomogene parcijalne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Neka X 1 , X 2 , ..., X n+1- date funkcije varijabli x 1 , x 2 , ..., x n i z.

Za rješavanje linearne nehomogene parcijalne diferencijalne jednadžbe prvog reda:
,
potrebno je riješiti jednačinu karakteristika:
.
Rješenje ovog sistema treba predstaviti u sljedećem obliku:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C 1,
φ 2 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C 2,
..................
φn (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C n.
Nakon čega odmah dobijamo opšti integral u implicitnom obliku:

gdje je F proizvoljna funkcija. Opšti integral se takođe može predstaviti na različite načine, na primer:
φ 1 = F(φ 2, φ 3, ..., φ n),
φ 2 = F(φ 1, φ 3, ..., φ n),
itd.

Primjeri rješenja linearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda

Homogena jednačina

Zadatak

Pronađite opšte rješenje linearne homogene parcijalne diferencijalne jednadžbe prvog reda i riješite Cauchyjev problem sa navedenim graničnim uvjetom:
,
u .

Rješenje

Ovo je linearna homogena parcijalna diferencijalna jednadžba prvog reda. Kreiramo jednačinu karakteristika:

Ova jednačina karakteristika sadrži tri jednačine:
;
;
.
Trebamo izabrati i riješiti bilo koja dva od njih. Zatim će se treći automatski izvršiti.

Odabiremo i rješavamo prvu jednačinu:

Ovdje su varijable već razdvojene, integrirajmo:

Integrali tabele,

Potencirajmo:

Odavde

Ili:

integrirajući faktor. Pomnožite sa x -1 i transformirajte:

Hajde da integrišemo:

Zamenimo prethodno dobijeni izraz C 1 = x y 2:

Opće rješenje originalne parcijalne diferencijalne jednadžbe je:

gdje je F proizvoljna funkcija dva argumenta F(φ 1, φ 2). Nađimo njegov oblik iz graničnog uslova
u .

Razmatramo rješenje na granici.
Stavimo x y = -1:

Odavde

Na granici
.

F (φ 1, φ 2) = φ 1 φ 2.
Ima isti izgled u cijelom regionu.
Zamena
;
,
dobijamo određeno rješenje originalne parcijalne diferencijalne jednadžbe sa datim graničnim uvjetom:

Odgovori

Zajednička odluka:

gdje je F proizvoljna funkcija dva argumenta F (φ 1, φ 2).

Privatno rješenje:

Nehomogena jednadžba

Zadatak

Pronađite površinu koja zadovoljava ovu jednačinu
,
i prolazi kroz dati krug x + y + z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = a 2.

Rješenje

Ovo je linearna nehomogena parcijalna diferencijalna jednadžba prvog reda. Kreiramo jednačinu karakteristika:

Sadrži tri jednačine:
;
;
.
Trebamo izabrati i riješiti bilo koja dva od njih. Tada će treći biti automatski zadovoljen. Odabiremo prvu i drugu jednačinu.

Rješavamo jednačinu:

Pomnožite sa 2 z i integrirajte:

Integrali tabele,

Potencirajmo:

Odavde
x = C 1g

Zamenimo drugu jednačinu:

Ili:

To onda primjećujemo

Ovo je linearna jednadžba. Rješavamo korištenjem faktora integracije. Podijelite sa y 2 i transformirajte:

Hajde da integrišemo:

Zamijenimo ranije dobiveni izraz i transformiramo:

Dakle, pronašli smo dva integrala jednadžbe karakteristika:

Radi pogodnosti daljih proračuna, imajte na umu da je i funkcija konstante konstantna. Stoga integrale zapisujemo u obliku:

Opšti integral originalne parcijalne diferencijalne jednadžbe ima oblik:
F (φ 1, φ 2) = 0
Ali, budući da je F proizvoljna funkcija od dva argumenta, opći integral se također može napisati u obliku:
φ 1 = F(φ 2),
gdje je F proizvoljna funkcija jednog argumenta.

Nađimo oblik ove funkcije, razmatra rešenje na granici.
Na granici, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Iz jednadžbe x + y + z = 0, z = - (x+y). Zamijenite u x 2 + y 2 + z 2 = a 2 i transformirajte:
x2+y2+ (x + y) 2 = a 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = a 2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = a 2
Dijeljenjem sa y 2, imamo

Dakle, na granici smo pronašli:

.
Zamenimo u izraz opšteg integrala:
φ 1 = F(φ 2)
.
Hajde da napravimo zamenu
:
.

Dakle, otkrili smo da na granici funkcija F ima oblik:
.
Dakle, ima isti izgled u cijelom regionu
.
Zamijenimo izraze za φ 1 i φ 2:

.
Pomnožimo sa 2 y 2.

U nastavku ćemo pretpostaviti da je čitalac već upoznat sa osnovama teorije običnih diferencijalnih jednadžbi, odnosno jednačinama koje povezuju nepoznatu funkciju jedne nezavisne varijable, njenih derivata i same nezavisne varijable. Daćemo samo najosnovnije informacije.

Diferencijalna jednadžba prvog reda oblika ima beskonačan broj rješenja određenih formulom koja sadrži jednu proizvoljnu konstantu: . Slično, opće rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda sadrži dvije proizvoljne konstante: Izolacija određenog rješenja može se obaviti specificiranjem početnih uslova, koji za jednadžbu drugog reda obično imaju oblik Zamjena ovih vrijednosti u opće rješenje i u njen izvod, dobijamo dvije jednadžbe za pronalaženje proizvoljnih konstanti Q i C. Ako je desna strana jednadžbe - funkcija - kontinuirana u određenom susjedstvu vrijednosti i tamo ima kontinuirane parcijalne derivacije, tada postoji jedinstveni parcijalni rješenje koje zadovoljava date početne uslove (teorema postojanja i jedinstvenosti rješenja).

U budućnosti će se posebno često susresti linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Za homogenu jednačinu

opće rješenje je linearna kombinacija njegova dva posebna rješenja

rješenja samo ako su ova rješenja linearno nezavisna (tj. gdje je k konstanta):

Opće rješenje nehomogene jednačine

je zbir bilo kojeg njegovog posebnog rješenja i opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe.

Ova knjiga će proučavati parcijalne diferencijalne jednadžbe, odnosno jednačine koje uključuju nepoznatu funkciju nekoliko varijabli i njene parcijalne derivate. Obično se morate baviti jednadžbama za funkcije dvije ili tri nezavisne varijable. Evo primjera takvih jednadžbi - nezavisne varijable, u - nepoznata funkcija):

Prvi red sadrži jednadžbe koje sadrže samo parcijalne izvode prvog reda. Takve jednačine se nazivaju jednadžbe prvog reda. Prema tome, jednačine napisane u drugom redu su primjeri jednačina drugog reda.

Mi uopće ne postavljamo sebi zadatak proučavanja metoda za rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi općenito. Razmotrićemo samo one specifične jednadžbe (pa čak ni tada ne sve) koje su bitne za fiziku, mehaniku i tehnologiju. Upravo se te jednadžbe nazivaju diferencijalnim jednadžbama matematičke fizike.

Prvo ćemo se bez dokaza upoznati s najjednostavnijim svojstvima parcijalnih diferencijalnih jednačina; Pretpostavit ćemo da nepoznata funkcija i ovisi o dvije varijable x i y.

Uzmimo jednačinu

Jasno je da željena funkcija ne zavisi od varijable već može biti bilo koja funkcija od y.

Zaista, diferenciranjem funkcije s obzirom na dobivamo nulu, što znači da je jednakost (1) zadovoljena. Prema tome, rješenje (2) jednačine (1) sadrži jednu proizvoljnu funkciju . Ovo je fundamentalna razlika između rješenja parcijalne diferencijalne jednadžbe prvog reda i općeg rješenja obične diferencijalne jednadžbe prvog reda, koja sadrži samo proizvoljnu konstantu. Po analogiji, rješenje (2) koje sadrži jednu proizvoljnu funkciju nazvat ćemo općim rješenjem jednačine (1).

Razmotrimo složeniju jednačinu

gdje je data funkcija. Sve funkcije koje zadovoljavaju jednadžbu (3) imaju oblik

gdje je proizvoljna funkcija od Ovo se može provjeriti diferenciranjem obje strane jednakosti (4) ali y. Pronađeno rješenje jednačine (3) ovisi o jednoj proizvoljnoj funkciji, odnosno općenito je.

Lako je provjeriti da jednadžba ima opće rješenje , gdje je proizvoljna diferencijabilna funkcija.

Za ovo, prisjetimo se pravila za diferenciranje složene funkcije nekoliko varijabli (vidi paragraf 116). Ako je , gdje su funkcije varijabli onda

Slične formule vrijede za derivate u odnosu na. U ovom slučaju, broj međuargumenata, kao i broj nezavisnih varijabli, može biti bilo koji.

U našem primjeru, gdje . Zbog toga

Zamjenom ovih izraza u jednačinu dobijamo identičnost

Na isti način, može se provjeriti da li jednadžba ima opće rješenje, a da jednačina ima općenito rješenje, gdje je proizvoljna diferencijabilna funkcija.

Razmotrimo sada jednadžbe drugog reda. Neka

Stavimo Tada će jednačina (5) poprimiti oblik . Opće rješenje jednadžbe će biti proizvoljna funkcija. Vraćajući se na funkciju i, opet dobijamo jednačinu prvog reda

Prema (4), njeno opće rješenje bit će funkcija

Budući da je proizvoljna funkcija od y, njen integral je također proizvoljna funkcija, koju označavamo sa . Kao rezultat, dobili smo rješenje u formi

gdje su proizvoljne diferencibilne funkcije. Lako je provjeriti da funkcija (6) zaista zadovoljava jednačinu (5).

Do sada još nismo postavili pitanje iznalaženja konkretnih rješenja. Kasnije će biti pojašnjeno koje dodatne uvjete treba postaviti da bi se uz njihovu pomoć moglo izdvojiti određeno rješenje, odnosno funkciju koja zadovoljava i diferencijalnu jednadžbu i dodatne uvjete.

Ispostavilo se da diferencijalne jednadžbe matematičke fizike, koje ćemo proučavati u budućnosti, imaju dosta zajedničkog jedna s drugom: sve su drugog reda i linearne u odnosu na nepoznatu funkciju i njene parcijalne derivate.

Najčešće su svi koeficijenti funkcije i njeni derivati konstantni brojevi. Opći oblik takvih jednadžbi za funkciju u, ovisno o dvije varijable x i y, je sljedeći:

gdje su A, B, C, D, E i F konstantni brojevi, a desna strana je data funkcija varijabli x i y.

Imajte na umu da priroda i ponašanje rješenja ove jednadžbe značajno zavise od njenih koeficijenata. O tome ćemo govoriti u zaključku, nakon što se upoznamo s najjednostavnijim jednadžbama tipa (7) i metodama za njihovo rješavanje 1).

Parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda Predavanje br. 3-4

Predmet : Parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda.

pitanja:

1. Opšti oblik jednačine drugog reda. Linearne parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda. Linearne homogene i linearne nehomogene jednadžbe.

2. Svojstva rješenja linearnih homogenih i linearnih nehomogenih jednačina.

3. Klasifikacija diferencijalnih jednačina drugog reda.

4. Svođenje linearne jednadžbe na kanonski oblik: hiperbolički tip, parabolički tip i eliptični tip.

5. Izjava glavnih problema za linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Jednačina oblika

je diferencijalna jednadžba drugog reda sa željenom funkcijom z iz dvije varijable X I at.

Jednačine matematičke fizike, za razliku od parcijalnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda opšteg oblika (3.1), su linearno, tj. linearno zavise od željene funkcije i njenih parcijalnih izvoda. Na primjer, u slučaju dvije nezavisne varijable one imaju oblik

Jednačina (3.2) se naziva homogenom ako
. Ako
, tada se jednačina (3.2) naziva nehomogenom.

Označimo lijevu stranu jednačine (3.2) sa
, tada se (3.2) može zapisati kao:

. (3.3)

Odgovarajuća homogena jednačina ima oblik

. (3.4)

- linearni diferencijalni operator. Provjerite svojstva linearnosti operatora
.

Iz svojstava linearnosti operatora
Sljedeće izjave direktno slijede:

Teorema 3.1. Ako
je rješenje linearne homogene jednadžbe (3.4), zatim funkcija
je također rješenje jednačine (3.4), gdje je WITH– proizvoljna konstanta.

Teorema 3.2. Ako
I
- rješenja linearne homogene jednadžbe (3.4), zatim zbir
+

Posljedica. Linearna kombinacija sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima k rješenja jednadžbe (3.4)
je također rješenje ove jednačine.

Za razliku od običnih linearnih homogenih diferencijalnih jednadžbi, koje imaju konačan broj linearno nezavisnih parcijalnih rješenja, čija linearna kombinacija daje opće rješenje ove jednačine, parcijalne diferencijalne jednadžbe mogu imati beskonačan broj linearno nezavisnih parcijalnih rješenja.

Na primjer. Jednačina

ima opšte rešenje
, pa će njegova rješenja biti, na primjer, funkcije
.

Za linearnu nehomogenu

. (3.5)

jednadžbi, tačne su sljedeće tvrdnje:

Teorema 3.3. Ako
je rješenje linearne nehomogene jednadžbe (3.5), i
- rješenje odgovarajuće homogene jednačine (3.4), zbir
je također rješenje nehomogene jednačine (3.5).

Teorema 3.4. Ako
- rješenje jednačine
, A
- rješenja jednadžbe
, zatim zbroj
+
je rješenje jednačine
.

Hajde da razmotrimo klasifikacija diferencijalne jednadžbe drugog reda sa dvije nezavisne varijable.

Definicija. Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda (3.2) u nekom domenu
na površini xOy pozvao

Najjednostavnija jednačina hiperboličkog tipa je valna jednačina

Javlja se kod problema vezanih za oscilatorne procese.

Najjednostavnija jednačina eliptičkog tipa je Laplaceova jednačina

Do integracije ove jednačine dolazi se prilikom proučavanja stacionarnih procesa.

Najjednostavnija jednačina paraboličkog tipa je toplotna jednačina (Fourierova jednačina)

Često se susreće prilikom proučavanja procesa toplinske provodljivosti i difuzije.

Kasnije ćemo detaljnije pogledati ove jednačine.

Kurs matematičke fizike takođe proučava talasnu jednačinu, Laplasovu jednačinu i Fourierovu jednačinu opšteg oblika:

,
,

,
.

Svedujmo jednačinu (3.2) na kanonski oblik u dovoljno maloj okolini bilo koje tačke u kojoj je ova jednačina data. Pretpostavimo da su koeficijenti A, IN I WITH u jednačini (3.2) pripadaju klasi
u nekom kraju i nigde u njemu nestaju istovremeno. Za određenost, možemo pretpostaviti da
u ovoj blizini. Zaista, u suprotnom može ispasti tako
, ali onda zamjena mjesta X I at, dobijamo jednačinu za koju
. Ako A I WITH istovremeno nestati u nekom trenutku
u blizini ove tačke. U ovom slučaju, nakon dijeljenja sa 2 IN jednadžba (3.2) će već imati kanonski oblik:

Pređimo sada na nove varijable

,

,
, (3.6)

Stoga će jednačina (3.2) poprimiti oblik

Mi zahtijevamo da funkcije
I
postaviti koeficijente na nulu
I
, tj. zadovoljio jednačine:

Jer
, onda su ove jednačine ekvivalentne linearnim jednačinama

,
, (3.7)

Gdje
,
,
.

Kao što smo primetili, u zavisnosti od Moguća su tri tipa jednačina. Razmotrimo ova tri slučaja odvojeno.

U ovom slučaju, jednačina (3.2) se svodi na kanonski oblik:

. (3.8)

Zamjena varijabli
,
dovodi jednačinu (3.2) u drugi, ekvivalentni, kanonski oblik:

. (3.9)

Da bismo dokazali reprezentaciju (3.8), pokazujemo da postoji barem jedan par rješenja I jednačine (3.7) koje zadovoljavaju uslove (3.6). Prvo uspostavimo vezu između ovih rješenja i karakteristika jednačine (3.2).

Pretpostavimo da postoje rješenja jednadžbi (3.7) takva da
,
u susjedstvu koje se razmatra, zatim krivulje

definirati dvije porodice karakteristika jednačine (3.2). Dokažimo sada sljedeću pomoćnu tvrdnju.

Lemma. Neka funkcija
takav da
. U cilju porodice krivulja
Određene karakteristike jednačine (3.2), potrebno je i dovoljno da izraz
bio je opšti integral jedne od običnih diferencijalnih jednačina

,
. (3.10)

Jednačine (3.10) se nazivaju diferencijalne jednadžbe karakteristika jednačina (3.2).

Dokaz. 1. Dokažimo neophodnost. Neka
- porodica karakteristika jednačine (3.2). Od uslova
proizilazi da ova porodica ispunjava određeni kvart D, kroz svaku tačku kroz koju prolazi jedna i samo jedna karakteristika. Neka
. Tada, ako u transformaciji (3.6) uzmemo npr.
, tada u ovom susjedstvu funkcija
će zadovoljiti jednačinu

Pošto je za svaku karakteristiku relacija važeća

,
,

onda zato
, dobijamo

, ili
,

one.
je opšti integral prve od jednačina (3.10). Potreba je dokazana.

2. Dokažimo dovoljnost. Neka
je opšti integral jedne od jednačina (3.10), na primjer, prve od njih. Po definiciji, to znači da ako je funkcija
je rješenje ove jednačine

dakle, razlikovanje posljednjeg identiteta u odnosu na X, imaće

a samim tim i na svakoj liniji
relacija važi

. (3.11)

Ali prema teoremi postojanja i jedinstvenosti rješenja za obične diferencijalne jednadžbe, jedna integralna kriva prolazi kroz svaku tačku iz susjedstva koje se razmatra
ovu jednačinu. Dakle, jednačina (3.11) je zadovoljena u svim tačkama okoline koja se razmatra. I pošto po uslovu
,
, zatim krive
su karakteristike jednačine (3.2). Lema je dokazana.

Na osnovu dokazane leme, opšti integrali jednadžbi (3.10):

, And

takav da
,
,
, definiraju dvije porodice karakteristika jednačine (3.2). Štaviše, pošto
, onda
, i

T Dakle, porodice karakteristika
,
formiraju porodice koordinatnih linija i funkcija
I
mogu se uzeti kao nove varijable. Štaviše, u jednačini (*) koeficijenti
I
će biti jednaka nuli i

Dakle, dijeljenje jednačine (*) sa 2
, dobijamo jednačinu u kanonskom obliku (3.8).

Jednačina (3.2) se svodi na kanonski oblik

Pošto u nekom kraju
, To
, stoga se diferencijalne jednadžbe (3.7) poklapaju i jednake su

Shodno tome, dobili smo jednu porodicu karakteristika
jednačina (3.2), određena lemom, opštim integralom jednačine

tako da
I
. Za drugu familiju koordinatnih linija biramo prave
. Kao rezultat toga, promjena varijabli

,
,

, ,
.

Dijeljenje jednačine (*) sa koeficijentom
, dobijamo jednačinu u kanonskom obliku.

Ako su šanse A, IN I WITH u jednačini (3.2) su analitičke funkcije u okolini određene tačke. Tada se ova jednadžba svodi na kanonski oblik

U ovom slučaju, koeficijenti I jednadžbe (3.7) su analitičke funkcije, i to realne
:
. Iz teoreme Kovalevske slijedi da u dovoljno malom susjedstvu postoji analitičko rješenje
jednačine

zadovoljavajući uslov
. Hajde sada da stavimo

,
, (3.12)

Gdje
- funkcija složeno povezana sa
. Funkcija
zadovoljava drugu jednačinu iz (3.7):

od funkcije
zadovoljava prvu jednačinu iz (3.7), tj.

Pošto funkcije
I
analitički, dakle
i njihov jakobijanski

Stoga funkcije
I
mogu se uzeti kao nove varijable. Po konstrukciji funkcija
zadovoljava jednačinu

Izolirajmo realne i imaginarne dijelove i prelazeći na nove varijable koristeći formule (3.12) dobićemo

Uzimajući u obzir formule za koeficijente
mi to shvatamo
I
u varijablama
I
. Sledeće, jer
I
, To
. Dijeljenje jednadžbe (*) sa
, dovedimo ga u kanonski oblik

Izjava glavnih problema za linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Za potpuni opis određenog fizičkog procesa potrebno je, pored same jednačine koja opisuje ovaj proces, navesti početno stanje ovog procesa (početne uslove) i režim na granici tog područja.
, u kojoj se ovaj proces odvija (granični uslovi). To je zbog nejedinstvenosti rješenja diferencijalnih jednačina. Na primjer, za parcijalne diferencijalne jednadžbe, rješenje ovisi o proizvoljnim funkcijama. Stoga je za odabir rješenja koje opisuje stvarni fizički proces potrebno postaviti dodatne uslove. Takvi dodatni uvjeti su granični uvjeti (početni i granični). Odgovarajući zadatak se zove problem graničnih vrijednosti.

Postoje tri glavna tipa graničnih problema za diferencijalne jednadžbe:

Problemi mehanike kontinuuma opisani su sistemima parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, za koje su postavljeni granični i početni uslovi - formulisani su granični problemi. Čak i za jednačine koje su vrlo slične po obliku, svojstva rješenja mogu se značajno razlikovati. Stoga se posebna pažnja u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednadžbi pridaje klasifikaciji – njihovom kombinovanju u tipove ili klase, unutar kojih su svojstva rješenja i karakteristike formulacije graničnih problema slična.

Razmotrimo klasifikaciju na primjeru jednačine drugog reda s dvije nezavisne varijable. Jednadžbe ovog tipa počele su se proučavati u matematičkom opisu niza fizičkih problema, a ova grana matematike počela se nazivati matematička fizika, i linearne parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda - jednačine matematičke fizike. Imajte na umu da se samo u posebnim slučajevima problemi kretanja plina ili tekućine ili problemi provođenja topline svode na jednačinu ovog tipa. Međutim, čak i ovaj jednostavan primjer otkriva gotovo sve karakteristike svojstvene složenijim problemima.

Dakle, razmotrimo parcijalnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda (redoslijed diferencijalne jednadžbe određen je redoslijedom najviše derivacije uključene u nju) s dvije nezavisne varijable:

Ako A,IN, SA - samo funkcije X I y, a / je linearna funkcija njegovih argumenata i,di/dh , di/du , tada je jednadžba (1.1). linearno. Za linearne jednadžbe razvijene su matematičke teorije koje omogućavaju donošenje općih kvalitativnih zaključaka o rješenju i konstruiranje metoda rješenja. U mnogim praktičnim slučajevima, opravdan sistem pretpostavki i pretpostavki omogućava da se matematički model procesa svede na linearni sistem ili linearnu jednačinu. Konkretno, linearna jednačina oblika (1.1) opisuje potencijalni tok fluida, stacionarno dvodimenzionalno temperaturno polje, širenje talasa u elastičnom mediju i mnogi drugi fizički problemi, i to je najdetaljnije proučavano. Ali u većini slučajeva, praktični problemi se opisuju nelinearnim jednadžbama, čija opća teorija nema još stvoreno.

Ako se nelinearnost jednačine sastoji samo u činjenici da su koef A, B, C zavisi od nepoznatog rešenja I i (ili) njegove niže derivacije (u ovom slučaju prve derivacije), onda takva nelinearnost lokalno ne utiče previše na rješenje u odnosu na linearni slučaj. Jednačine s nelinearnostima ovog tipa nazivaju se kvazilinearno.Često se za analizu kvazilinearnih jednačina koristi metoda „zamrzavanja“ koeficijenata, čime se problem svodi na linearni slučaj. Ovaj pristup se koristi i za kvalitativnu analizu rješenja i za konstruiranje algoritama numeričkog rješenja. Imajte na umu da su aerogasdinamički problemi opisani sistemom kvazilinearnih jednačina.

Jednačina (1.1) se može svesti na ekvivalentan sistem diferencijalnih jednačina prvog reda. Da bismo to učinili, uvodimo notaciju za prve izvode željene funkcije s obzirom na nezavisne varijable R = di/dh I q = di/du i napišite dotičnu jednačinu koristeći ove oznake. Kao rezultat, dolazimo do sistema od tri jednačine prvog reda za tri nepoznate funkcije μ, R I q:

Imajte na umu da inverzno djelovanje (svođenje sistema jednačina prvog reda na jednu jednačinu) nije uvijek izvodljivo.

Jedan od najvažnijih koncepata u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednadžbi je koncept karakteristika. Prvi put se pojavio u radovima G. Mongea kada je proučavao jednačine koje opisuju oblik površina.

Rice. 1.1.

Da bismo pojednostavili naknadne proračune, uvodimo sljedeću notaciju za druge izvode funkcije I :

Hajde da sada definišemo Cauchyjev problem za jednačinu drugog reda. Pustite na liniji at = y(x) date su vrijednosti željene funkcije i njenih prvih derivata:

Gdje A - prirodna koordinata krive. Postavimo sada sljedeći problem: da li je moguće, znajući vrijednosti funkcije i njenih prvih izvoda na krivulji y(x), postaviti vrijednosti funkcije u tačkama uz ovu krivu? Zadatak se zove Cauchyjev problem za jednačinu (1.1).

Da biste dobili rješenje u tački A/ uz krivu, možete koristiti serijsko proširenje rješenja oko određene točke O koja leži na krivulji za specificiranje početnih podataka y(x). Ova ekspanzija ima oblik

Imajte na umu da se u ovoj ekspanziji ne možemo ograničiti samo na linearne termine – prisustvo drugih izvoda je obavezno. To je zbog činjenice da originalna diferencijalna jednadžba nameće ograničenja na druge izvode. Ako ih izostavimo u ekspanziji (1.2), izgubit će se cjelokupni fizički sadržaj fenomena koji se razmatra, u kojem odnos drugih derivata (neka vrsta „zakrivljenosti“) određuje suštinu opisanog procesa. .

Koristeći ovaj izraz za dobivanje rješenja u tački M povezana sa mogućnošću određivanja derivata koji su u njemu uključeni. Prve derivacije su poznate iz početnih uslova navedenih na krivulji početnih podataka. Ovo posljednje se mora odrediti na neki način, nakon čega se izraz (1.2) može koristiti za dobivanje rješenja u tački M. Može se pokazati da se nakon određivanja drugih izvoda mogu izračunati i viši izvodnici, pa će se time riješiti pitanje povećanja tačnosti izraza (1.2) povećanjem broja ekspanzijskih članova.

Da bismo odredili druge izvode, možemo koristiti podatke date na krivulji. Povećanja prvih izvoda duž krivulje će se napisati na sljedeći način:

Imajte na umu da u ovim izrazima dx I dy su međusobno povezani i njihov odnos je određen nagibom krive dy/dx = y"(x).

Ova dva izraza koji se odnose na tri nepoznate druge derivacije, potrebno je dodati originalnu diferencijalnu jednačinu, koja će nam omogućiti da dobijemo linearni sistem za vrijednosti drugih izvoda u tački M krivo y(x):

Pitanje određivanja drugih izvoda i time vraćanja rješenja u tačkama uz početnu krivu podataka vezano je za mogućnost rješavanja linearnog sistema (1.3). Ako determinanta ovog sistema nije jednaka nuli, onda ima jedinstveno rješenje, izvode r, s, t a izraz (1.2) se može koristiti za predviđanje rješenja u tačkama u području koje leže izvan linije početnih podataka y = y(x).

U istom slučaju, kada determinanta sistema (1.3) nestane:

sistem linearnih jednačina postaje degenerisan, ne dozvoljavajući određivanje drugih izvoda. Ako se rješenje ne može pronaći, tada će u principu biti nemoguće pomjeriti se sa krive početnih podataka na susjedne točke regije.

Proširujući determinantu (1.4) dobijamo uslov njenog nestanka:

koja se može napisati kao diferencijalna jednadžba riješena s obzirom na izvod dy/dx oblik:

Iz ove relacije jasno je da izvorni problem postaje nerješiv ako ugaoni koeficijent krive poprimi neku posebnu vrijednost, izraženu kroz koeficijente izvorne diferencijalne jednadžbe. Ovaj poseban pravac se zove karakteristika, i kriva, tangenta na koju u svakoj tački uzima karakterističan smjer, - karakteristika parcijalna diferencijalna jednadžba. Kao što vidimo, obična diferencijalna jednadžba (1.5) određuje polje karakterističnih pravaca, a njen integral određuje karakteristične linije.

Ako se ove krive koriste kao linije za zadavanje početnih podataka, onda se rješenje ne može nastaviti na susjedne točke regije, pa su takve krive od velike važnosti u analizi svojstava diferencijalnih jednadžbi i konstruiranju računskih algoritama za njihovo rješavanje.

Klasifikacija jednačine (1.1) zasniva se na prisustvu njenih karakteristika. Kao što se može vidjeti iz (1.5), originalna jednačina u svakoj tački svog domena definicije može imati ili dva karakteristična smjera, ili jedan, ili uopće nema karakteristike. Odlučujući faktor u ovom pitanju je znak diskriminatorno jednačina - radikalni izraz IN 2 - AC.

Ako U 2 - AC eliptični, ili pripada eliptičnog tipa.

Ako B 2 - AC = Oh, onda postoji jedna porodica karakteristika. U ovom slučaju se kaže da je jednačina (1.1). parabolic. ili pripada paraboličnog tipa.

Ako B 2 - AC> 0, tada postoje dvije različite porodice karakteristika i jednačina (1.1) jeste hiperbolično ili pripada hiperboličkog tipa.

Budući da je tip jednadžbe povezan sa vrijednostima koeficijenata diferencijalne jednadžbe, jednadžba s promjenjivim koeficijentima u različitim dijelovima domene definicije može pripadati različitim tipovima. Takve jednačine se nazivaju jednačine mješovito tip.

Na prvi pogled izgleda čudno zašto se za određivanje vrste diferencijalne jednadžbe koristi terminologija koja se odnosi na konusne presjeke - algebarske krive drugog reda: elipsa, parabola i hiperbola. Veza je u tome da fundamentalnu ulogu u teoriji jednadžbi oblika (1.1) ima posebno konstruisani algebarski izraz, kvadratni oblik, čiji su koeficijenti koeficijenti izvorne jednačine. Za jednačinu (1.1) ona ima oblik Ah 2 +2Bhu+Su 2 i može se svesti na kanonski oblik, koji će, ovisno o vrijednostima koeficijenata, imati oblik elipse, parabole ili hiperbole, što objašnjava korištenu terminologiju.

Imajte na umu da smo za klasifikaciju koristili linearnu jednačinu drugog reda, ali se analiza karakteristika može primijeniti na druge jednačine i sisteme.

Slična razmatranja čine osnovu za klasifikaciju sistema diferencijalnih jednačina, koja se zasniva na karakterističnim svojstvima – početku kompletnog skupa karakteristika (hiperbolički sistemi) ili odsustvu realnih karakteristika (eliptični sistemi). Tip jednadžbe određuje opću prirodu njenog rješenja, ovisnost rješenja o ulaznim podacima i, kao posljedicu, metode za dobivanje numeričkih rješenja graničnih problema. U našem kursu ćemo se više puta vraćati na analizu karakterističnih svojstava proučavanih matematičkih modela mehanike kontinuuma.

Hajde da damo nekoliko komentara na koje ranije nismo obraćali pažnju.

Napomena 1. Invarijantnost karakterističnih pravaca. Može se dokazati da karakteristike ostaju invarijantne prema transformacijama nezavisnih varijabli. Odnosno, karakteristični pravci ne zavise od izbora koordinatnog sistema u koji zapisujemo originalnu jednačinu, i od različitih transformacija nezavisnih varijabli. Ovi pravci su određeni samo osobinama fenomena koji se proučava, a koji je opisan njegovim matematičkim modelom diferencijalnom jednačinom. U tom smislu, karakteristike određuju neke posebne pravce u prostoru – „vlastite“ pravce datog problema. Posebno napominjemo da je iz analize diferencijalne jednadžbe bilo moguće odrediti karakteristične pravce. Stoga je dobijanje karakterističnih pravaca povezano sa pisanjem matematičkog modela u obliku diferencijalne jednadžbe (kasnije ćemo vidjeti da postoje i drugi oblici pisanja matematičkih modela, na primjer, u obliku integralnih relacija).

Napomena 2. Definicija viših izvoda. U primjeru koji smo konstruirali, za nastavak rješenja do tačaka uz pravu za specifikaciju početnih podataka, korištene su izvodnice do drugog reda uključujući. Pokažimo da ako se kao početna linija podataka koristi nekarakteristična kriva, tačnost odnosa može se povećati koliko god se želi izračunavanjem najviših izvoda rješenja i na taj način nastavljanjem niza.

Prvo, razmotrimo pitanje određivanja trećih derivata, koje ćemo shodno tome i označavati Q = u xxx R = u xxy, S== i huu, T = i y yy. Pošto, po uslovu, kriva nije karakteristika, onda na osnovu prethodne analize na krivulji početnih podataka y(x) pored vrijednosti m, p, navedenih iz početnih uslova q izračunate su i druge derivacije r, .s t. Stoga je za treće izvode moguće ispisati sistem relacija koji ih određuju iz diferencijala drugih izvoda duž prave y(x) :

Dodavanjem ovog sistema originalne jednačine (1.1), diferencirane u odnosu na X, dobijamo linearni sistem

Lako je potvrditi da ima isti uslov nedegeneracije kao sistem linearnih jednačina u analizi karakteristika.

Da bismo to učinili, prilikom izračunavanja determinante matrice, razložit ćemo je na elemente posljednje kolone. Determinanta trećeg reda, koja stoji na jedinom elementu različitom od nule, poklapaće se sa determinantom matrice u problemu analize karakteristika.

Dakle, za bilo koju nekarakterističnu krivu, rješenja trećeg izvoda se nalaze iz podataka datih na ovoj krivulji. Nastavljajući na ovaj način, mogu se pronaći sljedeći najviši članovi ekspanzije i time povećati red točnosti reprezentacije rješenja.

Napomena 3. Uslovi konzistentnosti na karakteristikama. IN

Ako je za jednačinu (1.1) definirana karakteristika, tada za prirast derivacija rješenja p, q Duž krivulje se nameću dodatni uslovi. Zaista, jednakost determinante (1.4) nuli znači linearnu zavisnost jednačina uključenih u (1.3). Iz linearne algebre je poznato da da bi degenerisani sistem bio rješiv, rang sistema mora biti jednak rangu njegove proširene matrice. Drugim riječima, potrebno je da sve determinante trećeg reda proširene matrice

bile jednake nuli. Lako je pokazati da ovaj uslov, zajedno sa prethodno dobijenom relacijom za karakteristike (1-5), dovodi do sledeća dva uslova koji moraju biti zadovoljeni duž karakteristika:

Ovi uslovi se nazivaju uslovi na karakteristike ili uslovimacoeAiecmnocmu. Oni igraju važnu ulogu kako u proučavanju kvalitativnih svojstava rješenja tako iu konstrukciji algoritama za numeričko rješavanje problema.

1 Često je zgodno formulisati hiperbolički problem u smislu skupa njegovih karakteristika i relacija diferencijalne kompatibilnosti koje su važeće za ove karakteristike. Imajte na umu da se u slučaju dvije nezavisne varijable, problem transformira u sistem običnih jednačina koje definiraju karakteristične krive i obične diferencijalne jednadžbe koje odgovaraju uvjetima kompatibilnosti.

Napomena 4. Fizičko značenje karakteristika. U jednadžbama u kojima prostorne varijable djeluju kao nezavisne varijable, karakteristike određuju područje utjecaja tačaka. Poznato iz plinske dinamike nadzvučnih stacionarnih strujanja Mahov konus I Mahova linija spadaju u ovaj niz pojmova.

Ako je vrijeme jedna od nezavisnih varijabli - varijabla hiperboličnosti - karakteristike izražavaju konačnost brzine širenja signala i na taj način kontroliraju uzročno-posljedične veze u sistemu koji se razmatra. Karakteristike u ovom slučaju su usko povezane sa mogućnošću širenja talasa sa konačnom brzinom.

Navedimo primjere diferencijalnih jednadžbi različitih tipova.

Primjer 1. Poissonova jednadžba}:

Ako je / = 0, onda se ova jednačina naziva Laplaceova jednačina. Evo A = WITH = 1, IN= Oh, B 2 - AC= -1, tj. to je jednadžba eliptičkog tipa koja se često nalazi u aplikacijama fizike. On opisuje probleme potencijalnog kretanja fluida, filtracije u poroznim tijelima, probleme magneto- i elektrostatike, stacionarnu raspodjelu temperature u tijelu, raspodjelu napona u nekim problemima linearne teorije elastičnosti itd.

Sljedeći najjednostavniji eliptički d'Alembert-Eulerov sistem je ekvivalentan Laplaceovoj jednadžbi (ponekad se ove jednačine nazivaju Cauchy-Riemannove jednačine):

Laplaceova jednačina se može proširiti na slučaj tri (ili više) nezavisnih varijabli:

1 Poisson Simeon Denis(Poisson S.D., 1781-1840) - francuski matematičar, fizičar i mehaničar. Njegov rad je odigrao važnu ulogu u razvoju moderne nauke: u teoriji vjerovatnoće, matematičkoj fizici, teoriji elastičnosti i mehanici fluida. Pomenutu jednačinu izveo je Poisson proučavajući niz problema u teoriji gravitacionog privlačenja (memoari „O privlačenju sferoida“, 1835).

Diferencijalni operator D = d 2 / dx 2 + d 2 /d 2 + d 2 / dg 2 pozvao Laplace operater.

Primjer 2. Jednačina toplinske provodljivosti. Jednodimenzionalno nestacionarno temperaturno polje u mediju sa konstantnim termofizičkim karakteristikama opisuje se jednadžbom

u kojoj je koeficijent toplotne difuzivnosti A mora zadovoljiti uslov a > 0.

Ovdje umjesto varijable at unesena varijabla t- vrijeme koje odgovara fizičkom sadržaju zadataka opisanih jednadžbom. Koeficijenti uključeni u jednačinu jednaki su: A = 1, B = 0, WITH = 0, IN 2 - AC= 0, tj. Ova jednačina je paraboličnog tipa. Takve jednadžbe opisuju nestacionarnu raspodjelu temperature u problemima toplinske provodljivosti, difuzije inertne nečistoće, širenja elektromagnetnih valova u provodnim medijima, kretanja viskoznog fluida u graničnom sloju tijela itd.

II Primer 3. Talasna jednadžba.Širenje ravnog talasa sa konstantnom brzinom s u izotropnom mediju opisuje se linearnom jednodimenzionalnom talasnom jednačinom

u kojoj je os X odgovara smjeru prostiranja talasa.

Evo A =Cq, C = 1, IN= 0, ovo je hiperbolična jednadžba. Primjer najjednostavnijeg hiperboličkog sistema je ekvivalentni (1.11) sistem

Jednačine ovog tipa opisuju širenje oscilacija u kontinuiranim medijima, elektromagnetne oscilacije i nadzvučni tok idealnog plina.

Gore navedeni primjeri pokazuju tri glavna tipa jednadžbi u matematičkoj fizici. Razlika u njima je zbog razlike u fizičkim procesima koje opisuju. Jednačine paraboličkog i hiperboličkog tipa opisuju nestacionarni proces. To znači da je rješenje u trenutku t stanje u prethodnim trenucima vremena utiče, ali naredni događaji ne mogu uticati ni na koji način. Jednadžbe hiperboličkog tipa također mogu opisati stabilne procese; u ovom slučaju, granični uvjet utječe na rješenje samo u jednom smjeru (u odnosu na varijablu koja je analog vremena), a jedna od prostornih koordinata je analog vrijeme. Primjer takvog hiperboličkog problema je nadzvučno, stabilno kretanje plina. Dakle, paraboličke i hiperboličke jednačine su povezane sa regionima „otvorenim“ u jednom pravcu, a nezavisna varijabla koja odgovara ovom pravcu je analog vremena.

U slučaju eliptičkih problema, rješenje u nekoj tački domene je pod utjecajem graničnih uvjeta specificiranih na cijeloj zatvorenoj granici domene.