Nemoguće brojke. Nemoguće figure u stvarnom svijetu Nemogući objekt

18.06.2019

Nemoguća figura je jedna od vrsta optičkih iluzija, figura koja na prvi pogled izgleda kao projekcija običnog trodimenzionalnog objekta,

pri pomnijem razmatranju postaju vidljive kontradiktorne veze elemenata figure. Stvara se iluzija o nemogućnosti postojanja takve figure u trodimenzionalnom prostoru.

Nemoguće brojke

Najpoznatije nemoguće figure su nemogući trokut, beskrajno stepenište i nemogući trozubac.

Nemogući Perrose trougao

Iluzija Reutersvarda (Reutersvard, 1934.)

Napominjemo da je promjena u organizaciji figure-tla omogućila percepciju centralno smještene "zvijezde".
_________

Escherova nemoguća kocka

Zapravo, sve nemoguće figure mogu postojati u stvarnom svijetu. Dakle, svi objekti nacrtani na papiru su projekcije trodimenzionalnih objekata, stoga je moguće stvoriti takav trodimenzionalni objekt koji će, kada se projicira na ravan, izgledati nemoguće. Kada se takav objekat posmatra sa određene tačke, on će takođe izgledati nemoguće, ali kada se posmatra sa bilo koje druge tačke, efekat nemogućnosti će se izgubiti.

13-metarska aluminijumska skulptura nemogućeg trougla podignuta je 1999. godine u gradu Pertu (Australija). Ovdje je nemogući trokut prikazan u svom najopštijem obliku - u obliku tri grede spojene jedna na drugu pod pravim uglom.

Đavolja viljuška
Među svim nemogućim figurama, nemogući trozubac („đavolja viljuška“) zauzima posebno mjesto.

Ako desnom stranom trozuba zatvorite rukom, tada ćemo vidjeti vrlo stvarnu sliku - tri okrugla zuba. Ako zatvorimo donji dio trozuba, tada ćemo vidjeti i pravu sliku - dva pravokutna zuba. Ali, ako promatramo cijelu figuru u cjelini, ispada da se tri okrugla zuba postepeno pretvaraju u dva pravokutna.

Dakle, možete vidjeti da su prvi plan i pozadina ovog crteža u sukobu. Odnosno, ono što je prvobitno bilo u prvom planu vraća se nazad, a pozadina (srednji zub) puzi naprijed. Osim promjene prednjeg plana i pozadine, ovaj crtež ima još jedan efekat - ravni rubovi desne strane trozuba postaju okrugli u lijevoj.

Efekat nemogućnosti postiže se činjenicom da naš mozak analizira konturu figure i pokušava izbrojati broj zuba. Mozak upoređuje broj zuba figure u lijevom i desnom dijelu slike, što izaziva osjećaj nemogućnosti figure. Kada bi figura imala znatno veći broj zuba (na primjer, 7 ili 8), tada bi ovaj paradoks bio manje izražen.

Neke knjige tvrde da nemogući trozubac pripada klasi nemogućih figura koje se ne mogu rekreirati u stvarnom svijetu. Zapravo nije. SVE nemoguće figure se mogu vidjeti u stvarnom svijetu, ali će izgledati nemoguće samo sa jedne tačke gledišta.

______________

nemogući slon

Koliko nogu ima slon?

Psiholog sa Stanforda Roger Shepard koristio je ideju trozuba za svoju sliku nemogućeg slona.

______________

Penroseove stepenice(beskrajno stepenište, nemoguće stepenište)

Beskonačne stepenice jedna su od najpoznatijih klasičnih nemogućnosti.

To je dizajn stepenica u kojem će se, u slučaju kretanja duž njega u jednom smjeru (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu na slici prema artiklu), osoba dizati neograničeno, a kada se kreće u suprotnom smjeru, stalno će se spuštati.

Drugim riječima, vidimo stepenište koje vodi, čini se, gore ili dolje, ali u isto vrijeme, osoba koja hoda njime se ne diže i ne spušta. Nakon što je završio svoju vizuelnu rutu, on će biti na početku puta. Da ste zaista morali da hodate uz te merdevine, išli biste i spuštali se besciljno beskonačan broj puta. Možete to nazvati beskrajnim Sizifovim radom!

Otkako su Penroses objavili ovu figuru, ona se pojavljivala u štampi češće od bilo kojeg drugog nemogućeg objekta. "Beskrajno stepenište" se može naći u knjigama o igricama, zagonetkama, iluzijama, udžbenicima iz psihologije i drugim predmetima.

"Uspon i spust"

"Beskrajno stepenište" je uspješno koristio umjetnik Maurits K. Escher, ovoga puta u svojoj šarmantnoj litografiji uspona i spuštanja iz 1960. godine.
Na ovom crtežu, koji odražava sve mogućnosti Penroseove figure, sasvim prepoznatljivo Beskrajno stepenište uredno je upisano u krov manastira. Redovnici sa kapuljačama neprekidno se kreću uz stepenice u smjeru kazaljke na satu i suprotnom smjeru kazaljke na satu. Oni idu jedno prema drugom nemogućim putem. Nikada ne uspijevaju ni gore ni dolje.

U skladu s tim, Beskrajne stepenice su se češće povezivale s Escherom, koji ju je precrtao, nego s Penrosesima, koji su je osmislili.

Koliko ima polica?

Gdje su vrata otvorena?

Van ili unutra?

Nemoguće figure povremeno su se pojavljivale na platnima majstora prošlosti, na primjer, kao što su vješala na slici Pietera Brueghela (Starijeg)
"Svraka na vješalima" (1568.)

__________

Nemoguć arh

Jos de Mey je flamanski umjetnik koji je studirao na Kraljevskoj akademiji likovnih umjetnosti u Gentu (Belgija), a zatim je 39 godina predavao studentima dizajn interijera i boje. Počevši od 1968. godine, crtanje je postalo njegov fokus. Najpoznatiji je po svom pedantnom i realističnom izvođenju nemogućih struktura.

Najpoznatije nemoguće figure u djelima umjetnika Mauricea Eschera. Kada se razmatraju takvi crteži, svaki pojedini detalj izgleda prilično vjerojatan, međutim, kada se pokušava pratiti linija, ispada da ova linija već, na primjer, nije vanjski kut zida, već unutarnji.

"relativnost"

Ova litografija holandskog umjetnika Eschera prvi put je štampana 1953. godine.

Litografija prikazuje paradoksalan svijet u kojem zakoni stvarnosti ne vrijede. Tri realnosti su ujedinjene u jednom svijetu, tri sile gravitacije su usmjerene okomito jedna na drugu.

Stvorena je arhitektonska struktura, stvarnosti su povezane stepenicama. Za ljude koji žive u ovom svijetu, ali na različitim planovima stvarnosti, iste ljestvice će biti usmjerene gore ili dolje.

"vodopad"

Ova litografija holandskog umjetnika Eschera prvi put je štampana u oktobru 1961.

Ovo Escherovo djelo prikazuje paradoks - voda koja pada iz vodopada kontrolira točak koji usmjerava vodu na vrh vodopada. Vodopad ima strukturu "nemogućeg" Penroseovog trougla: litografija je nastala na osnovu članka u British Journal of Psychology.

Dizajn se sastoji od tri prečke postavljene jedna na drugu pod pravim uglom. Vodopad na litografiji radi kao vječni motor. Takođe se čini da su obe kule iste; zapravo onaj desno, jedan sprat ispod lijeve kule.

Pa moderniji rad :o)
Beskrajna fotografija

Nevjerovatna konstrukcija

Šahovska tabla

naopačke slike

Šta vidite: ogromnu vranu sa plijenom ili ribara u čamcu, ribu i ostrvo sa drvećem?

Rasputin i Staljin

Mladost i starost

_________________

Plemenita i kraljica

___________________

Ljuto i smiješno

Osnovna srednja škola GU Osmeryzhskaya

Nemoguće brojke

Smjer: fizičko-matematički

Izvršilac posla : Dippel Sergey, učenik 6. razreda škole Osmeryzh, oblast Pavlodar, okrug Kachirsky, selo Osmeryzhsk

Rukovodilac posla: Dovzhenko Natalya Vladimirovna nastavnik matematike Osmeryzhskaya škola

godina 2013

Sažetak /sažetak/………………………………………………………………………………2

Uvod……………………………………………………………………………………..3

1. Malo istorije …………………………………………………………..………….5

2. Vrste nemogućih figura………………………………………………………………….9

3. Oscar Ruthersvärd – otac nemoguće figure……….…………………..16

4. Nemoguće brojke su moguće!…………………………………………18 5. Primjena nemogućih figura………………………………………………..…… 19

Zaključak…………………………………………………………………………………………….21

Reference……………………………………………………………………………22

Sažetak /sažetak/

Faze projekta:

Faza 1.

Postavljanje problema, postavljanje ciljeva, zadataka informacionog i istraživačkog rada;

Vođenje razgovora o nemogućim brojkama;

Izjava o problemu, motivacija za realizaciju projekta;

Izvođenje preliminarnog rada na temu "Nemoguće brojke";

Diskusija i izrada plana rada u fazama, stvaranje banke ideja i prijedloga. Izbor izvora informacija.

Faza 2. Aktivnosti implementacije projekta.

Informativni i edukativni razgovori;

Rad na pronalaženju informacija;

Eksperimentalni rad;

Pregled literature

Ostvarenje ciljeva

Uvod

Već neko vrijeme me zanimaju takve figure koje na prvi pogled izgledaju obične, ali bolje se vidi da u njima nešto nije u redu. Najveći interes za mene su bile takozvane nemoguće figure, gledajući na koje se čini da ne mogu postojati u stvarnom svijetu. Hteo sam da saznam više o njima.

Unatoč činjenici da su nemoguće figure poznate gotovo od vremena rock umjetnosti, njihovo sistematsko proučavanje počelo je tek sredinom 20. stoljeća, odnosno praktično pred našim očima, a prije toga su ih matematičari odbacivali kao nesretan nesporazum.

Godine 1934. Oscar Reutersvard je slučajno stvorio svoju prvu nemoguću figuru - trokut sastavljen od devet kocki, ali umjesto da nešto popravi, počeo je stvarati druge nemoguće figure jednu za drugom.

Čak i takvi jednostavni volumetrijski oblici kao što su kocka, piramida, paralelepiped mogu se predstaviti kao kombinacija nekoliko figura koje se nalaze na različitim udaljenostima od oka promatrača. U ovom slučaju uvijek treba postojati linija duž koje se slika pojedinačnih dijelova spaja u cjelovitu sliku.

"Nemoguća figura je trodimenzionalni objekt nacrtan na papiru koji ne može postojati u stvarnosti, ali koji se, međutim, može vidjeti kao dvodimenzionalna slika." Ovo je jedan od tipova optičke iluzije, figura koja na prvi pogled izgleda kao projekcija običnog trodimenzionalnog objekta, čijim pažljivim ispitivanjem postaju vidljive kontradiktorne veze elemenata figure. Stvara se iluzija o nemogućnosti postojanja takve figure u trodimenzionalnom prostoru.

Uprkos značajnom broju publikacija o nemogućim brojkama, njihova jasna definicija nije suštinski formulisana. Možete pročitati da sve optičke iluzije vezane za posebnosti naše percepcije svijeta pripadaju nemogućim figurama. S druge strane, osoba vam može pokazati figuru zelene osobe ili sa deset ruku i pet glava i reći da su sve to nemoguće figure. Pritom će biti u pravu. Uostalom, nema zelenih ljudi sa deset nogu. Stoga ćemo pod nemogućim figurama razumijevati ravne slike figura koje čovjek percipira nedvosmisleno, jer su nacrtane bez ljudske percepcije ikakvih dodatnih, zapravo nenacrtanih slika ili izobličenja i koje se ne mogu predstaviti u trodimenzionalnom obliku. Nemogućnost predstavljanja u trodimenzionalnom obliku razumijeva se, naravno, samo direktno, bez uzimanja u obzir mogućnosti upotrebe posebnih sredstava u izradi nemogućih figura, jer se uvijek nemoguća figura može napraviti korištenjem genijalnog sistema proreza. , dodatne potporne elemente i savijanje elemenata figure, a zatim je fotografisanje pod pravim uglom

Preda mnom se postavilo pitanje: "Postoje li nemoguće figure u stvarnom svijetu?"

Ciljevi projekta:

1. Saznajte kako nastaju nerealne figure.

2. Pronađite područja primjene nemogućih figura.

Ciljevi projekta:

1. Proučite literaturu na temu "Nemoguće figure".

2. Napravite klasifikaciju nemogućih figura.

3. Razmotrite načine za konstruisanje nemogućih figura.

4. Kreirajte nemoguću figuru.

Tema mog rada je relevantna jer je razumijevanje paradoksa jedan od znakova vrste kreativnosti koju posjeduju najbolji matematičari, naučnici i umjetnici. Mnoga djela s nerealnim objektima mogu se klasificirati kao "intelektualne matematičke igre". Takav svijet je moguće modelirati samo uz pomoć matematičkih formula, čovjek ga jednostavno nije u stanju zamisliti. A za razvoj prostorne mašte, nemoguće figure su korisne. Čovjek neumorno mentalno stvara oko sebe ono što će mu biti jednostavno i razumljivo. Ne može ni da zamisli da su neki od objekata koji ga okružuju možda „nemogući“. U stvari, svijet je jedan, ali se može posmatrati iz različitih uglova.

Nemoguće brojke

Malo istorije

Nemoguće figure se često nalaze na antičkim gravurama, slikama i ikonama – u nekim slučajevima imamo očigledne greške u prenošenju perspektive, u drugima – s namjernim izobličenjem zbog umjetničke namjere.

Navikli smo da vjerujemo u fotografije (i u manjoj mjeri - u crteže i crteže), naivno vjerujući da one uvijek odgovaraju nekoj vrsti stvarnosti (stvarne ili izmišljene). Primjer prvog je paralelepiped, drugi je vilenjak ili druga fantastična životinja. Odsustvo vilenjaka u području prostora/vremena koje opažamo ne znači da oni ne mogu postojati. Čak i kako mogu (što je lako provjeriti uz pomoć gipsa, plastelina ili papir-mašea). Ali kako nacrtati nešto što uopće ne može biti?! Šta se uopšte ne može izgraditi?

Postoji ogromna klasa takozvanih "nemogućih figura" koje su pogrešno ili namjerno nacrtane s greškama u perspektivi, što rezultira zabavnim vizualnim efektima koji pomažu psiholozima da shvate kako funkcionira (pod)svjesni um.

U srednjovjekovnom japanskom i perzijskom slikarstvu nemogući objekti su sastavni dio orijentalnog umjetničkog stila, koji daje samo opći obris slike, čije detalje "mora" promatrač osmisliti sam, u skladu sa njihove preferencije. Ovdje imamo školu. Pažnju nam skreće arhitektonska struktura u pozadini, čija je geometrijska nedosljednost očigledna. Može se tumačiti i kao unutrašnji zid prostorije i kao vanjski zid zgrade, ali su obje ove interpretacije netačne, jer se radi o ravni koja je i vanjski i vanjski zid, tj. slika prikazuje tipičan nemoguć objekat.

Slike sa iskrivljenom perspektivom nalaze se već na početku prvog milenijuma. Minijatura iz knjige Henrija II, nastala prije 1025. godine i pohranjena u Bavarskoj državnoj biblioteci u Minhenu, prikazuje Madonu s Djetetom. Na slici je prikazan svod koji se sastoji od tri stuba, a srednji stub bi, prema zakonima perspektive, trebalo da se nalazi ispred Madone, ali iza nje, što slici daje efekat nestvarnosti.

U članku "Uvođenje reda u nemoguće" ( nemoguće.info/english/articles/kulpa/putting-order.html) data je sljedeća definicija nemogućih cifara: " Nemoguća figura je ravan crtež koji ostavlja dojam trodimenzionalnog objekta na način da predmet koji sugerira naša prostorna percepcija ne može postojati, tako da pokušaj njegovog stvaranja dovodi do (geometrijskih) kontradikcija koje su jasno vidljive promatraču.". Otprilike isto su napisali Penroses u svom nezaboravnom članku:" Svaki odvojeni dio figure izgleda kao normalan trodimenzionalni objekt, ali zbog nepravilne povezanosti dijelova figure percepcija figure u potpunosti dovodi do iluzornog efekta nemogućnosti.“, ali niko od njih ne odgovara na pitanje: zašto se sve ovo dešava?

U međuvremenu, sve je jednostavno. Naša percepcija je raspoređena na način da kada obrađujemo dvodimenzionalnu figuru koja ima znakove perspektive (tj. volumetrijski prostor), mozak je percipira kao trodimenzionalnu, birajući najjednostavniji način pretvaranja 2D u 3D, vođen životnim iskustvom , a kao što je gore prikazano, pravi prototipovi "nemogućih" figura su prilično sofisticirane konstrukcije s kojima naša podsvijest nije upoznata, ali čak i nakon što ih upozna, mozak i dalje nastavlja birati najjednostavniju (sa svoje tačke gledišta) opciju transformacije, i tek nakon dužeg treninga, podsvijest konačno "uđe u situaciju" i očigledna abnormalnost "nemogućih figura" nestaje.

Počnimo s onim lakšim. Zamislite sliku (da, da, sliku, a ne kompjuterski generisani fotorealistički crtež) flamanskog umjetnika po imenu Jos de Mey. Pitanje je, kojoj fizičkoj stvarnosti bi to moglo odgovarati?

Na prvi pogled arhitektonska konstrukcija izgleda nemoguća, ali nakon sekunde oklijevanja, svijest pronalazi spasonosnu opciju: cigla je u ravni koja je okomita na posmatrača i počiva na tri stupa čiji se vrhovi kao da se nalaze na jednakoj udaljenosti. od zida, a zapravo je prazan prostor jednostavno "skriven" zbog "uspješno" odabrane projekcije. Nakon što svijest "dešifruje" sliku, ona (i sve njoj slične slike) se percipira kao potpuno normalna i geometrijske kontradikcije nestaju jednako neprimjetno kao što se pojavljuju.

Nemoguća slika Jos de Meya

Razmotrite čuvenu sliku Mauricea Eschera / Mauritsa Eschera "Vodopad" / "Waterfall" i njen pojednostavljeni kompjuterski model, napravljen u fotorealističkom stilu. Na prvi pogled nema paradoksa, pred nama je obična slika koja prikazuje ... crtež vječnog motora!!! Ali na kraju krajeva, kao što je poznato iz školskog kursa fizike, vječni motor je nemoguć! Kako je Escher uspio tako detaljno oslikati ono što uopće ne može biti u prirodi?!

Perpetuum mobile na gravuri "Vodopad" od Eschera.

Kompjuterski model Escherove perpetual motore.

Kada pokušate da napravite motor prema crtežu (ili uz pažljivu analizu ovog drugog), "prevara" odmah iskoči - u trodimenzionalnom prostoru takvi dizajni su geometrijski kontradiktorni i mogu postojati samo na papiru, tj. , na ravni, a iluzija "volumena" se stvara samo zbog znakova perspektive (u ovom slučaju - namjerno iskrivljene) i na satu crtanja za takvo remek-djelo lako ćemo dobiti dvije tačke, ukazujući na greške u projekciji .

Vrste nemogućih figura.

"Nemoguće figure" podijeljene su u 4 grupe. Dakle, prva:

Nevjerovatan trokut - tribar.

Ova figura je možda prvi nemogući objekat objavljen u štampi. Pojavila se 1958. Njegovi autori, otac i sin Lionell i Roger Penrose, genetičar i matematičar, definisali su objekat kao "trodimenzionalnu pravougaonu strukturu". Dobila je i naziv "tribar". Na prvi pogled se čini da je tribar samo slika jednakostraničnog trougla. Ali strane koje se konvergiraju na vrhu crteža izgledaju okomite. U isto vrijeme, lijevo i desno lice na dnu također izgledaju okomite. Ako pogledate svaki detalj posebno, izgleda stvarno, ali, generalno, ova cifra ne može postojati. Nije deformisana, ali pri crtanju su ispravni elementi bili pogrešno spojeni.

Evo još nekoliko primjera nemogućih figura zasnovanih na tribaru.

Trostruko deformisani trougao od 12 kocki

Winged Tribar Triple Domino

Upoznavanje s nemogućim figurama (posebno u predstavi Eschera) je svakako zapanjujuće, ali zbunjuje činjenica da se bilo koja od nemogućih figura može konstruirati u stvarnom trodimenzionalnom svijetu.

Kao što znate, svaka dvodimenzionalna slika je projekcija trodimenzionalne figure na ravan (list papira). Postoji dosta metoda projekcije, ali unutar svake od njih, mapiranje je jedinstveno, odnosno postoji stroga korespondencija između trodimenzionalne figure i njene dvodimenzionalne slike. Međutim, aksonometrijske, izometrijske i druge popularne metode projekcije su jednosmjerne transformacije koje se provode uz gubitak informacija, pa se stoga inverzna transformacija može izvesti na beskonačan broj načina, odnosno beskonačan broj trodimenzionalnih figura odgovara dvije -dimenzionalna slika, a svaki matematičar može lako dokazati da je takva transformacija moguća za bilo koju dvodimenzionalnu sliku. To jest, u stvari, ne postoje nemoguće brojke!

Vratimo se Penroseovom trokutu i pokušamo da napravimo trodimenzionalnu figuru čija bi projekcija na dvodimenzionalnu ravan izgledala kao određena slika. Naravno, ovaj problem se ne može riješiti direktno, ali ako pažljivo razmislite i odaberete pravi kut, onda ... jedna od mogućih opcija prikazana je na slici.

Mogući nemogući Penroseov trougao.

A evo još jednog prikaza od Mathieua Hemakersa. Postoji mnogo mogućih opcija obrnutog mapiranja. Toliko. Beskonačno mnogo!

Sve isti Penroseov trokut iz različitih uglova.

Inače, Penroseov trougao je ovekovečen u obliku statue u Pertu (Australija). Napravljen od strane umjetnika Briana McKaya i arhitekte Ahmada Abasa, podignut je u Claisebrook Parku 1999. godine i sada svi koji prolaze mogu vidjeti sljedeću "nemoguću" figuru.

Perose trokut u Australiji

Ali vrijedi promijeniti ugao gledanja, jer se trokut iz "nemogućeg" pretvara u stvarnu i estetski neatraktivnu strukturu koja nema nikakve veze s trouglovima.

Ovako zapravo izgleda Penroseov trougao.

Endless Stair

Ova figura se najčešće naziva "Beskrajno stepenište", "Vječno stepenište" ili "Penroseovo stepenište" - po njegovom tvorcu. Naziva se i "stalno uzlazni i silazni put".

Ova brojka je prvi put objavljena 1958. Pred nama se pojavljuje stepenište koje vodi, čini se, gore ili dolje, ali u isto vrijeme, osoba koja hoda njime ne diže se i ne pada. Nakon što je završio svoju vizuelnu rutu, on će biti na početku puta.

"Beskrajno stepenište" je uspješno koristio umjetnik Maurits K. Escher, ovoga puta u svojoj litografiji "Uspon i spuštanje", nastaloj 1960. godine.

Stepenište sa četiri ili sedam stepenica. Nastanak ove figure sa velikim brojem koraka autora mogao bi biti inspirisan gomilom običnih željezničkih pragova. Ako ćete se penjati ovim ljestvama, bit ćete suočeni sa izborom: da li ćete se popeti na četiri ili sedam stepenica.

Kreatori ovog stepeništa su iskoristili prednost paralelnih linija prilikom projektovanja završnih delova blokova koji su na istoj udaljenosti; čini se da su neki blokovi uvrnuti kako bi odgovarali iluziji.

Space fork.

Sljedeća grupa figura pod općim nazivom "Space Fork". Ovom figurom ulazimo u samu srž i suštinu nemogućeg. Možda je ovo najbrojnija klasa nemogućih objekata.

S praktične tačke gledišta, ovaj čudni trozubac ili mehanizam u obliku nosača je apsolutno neprimjenjiv. Neki to jednostavno nazivaju "nesrećnom greškom". Jedan od predstavnika zrakoplovne industrije predložio je korištenje njegovih svojstava u dizajnu međudimenzionalne svemirske viljuške.

Nemoguće kutije

Još jedan nemogući objekat pojavio se 1966. godine u Čikagu kao rezultat originalnih eksperimenata fotografa dr. Charlesa F. Cochrana. Mnogi ljubitelji nemogućih figura eksperimentirali su s Crazy Box. U početku ju je autor nazvao "Free Box" i naveo da je "dizajnirana za transport nemogućih objekata u velikom broju".

Crazy Box je kockasti okvir okrenut naopačke. Neposredni prethodnik Lude kutije bila je Escherova Impossible Box, a njen prethodnik je pak bila Neckerova kocka.

To nije nemoguć objekt, ali je figura u kojoj se parametar dubine može percipirati dvosmisleno.

Kada zavirimo u Neckerovu kocku, primjećujemo da je lice sa tačkom u prvom planu, a zatim u pozadini, skače s jedne pozicije na drugu.

Oscar Rutersvärd - otac nemoguće figure.

"Otac" nemogućih figura je švedski umjetnik Oscar Ruthersvärd. Švedski umjetnik Oskar Rutersvärd, specijalista za stvaranje slika nemogućih figura, tvrdio je da je slabo upućen u matematiku, ali je, ipak, svoju umjetnost podigao na rang nauke, stvarajući čitavu teoriju stvaranja nemogućih figura prema određenom broju obrazaca. .

Par nemogućih figura Oscara Reutersvarda.

Podijelio je figure u dvije glavne grupe. Jednu od njih nazvao je "prave nemoguće brojke". Ovo su dvodimenzionalne slike trodimenzionalnih tijela koje se na papiru mogu bojati i zasjeniti, ali nemaju monolitnu i stabilnu dubinu.

Druga vrsta su sumnjive nemoguće brojke. Ove figure nisu pojedinačna čvrsta tijela. Oni su kombinacija dvije ili više figura. Ne mogu se ni slikati niti na njih stavljati svjetlost i sjene.

Prava nemoguća figura sastoji se od fiksnog broja mogućih elemenata, dok sumnjiva "gubi" određeni broj elemenata ako ih pratite očima.

Jednu verziju ovih nemogućih figura je vrlo lako napraviti, a mnogi od onih koji automatski crtaju geometrijske figure kada razgovaraju telefonom već su to učinili više puta. Potrebno je nacrtati pet, šest ili sedam paralelnih linija, završiti ove linije na različitim krajevima na različite načine - i nemoguća figura je spremna. Ako se, na primjer, nacrta pet paralelnih linija, onda se mogu završiti kao dvije grede s jedne strane i tri s druge.

Na slici vidimo tri varijante sumnjivih nemogućih figura. Na lijevoj strani je tro-sedmogreda izgrađena od sedam linija, u kojoj se tri grede pretvaraju u sedam. Figura u sredini, izgrađena od tri linije, u kojoj se jedna greda pretvara u dvije okrugle grede. Slika na desnoj strani, izgrađena od četiri linije, u kojoj se dvije okrugle grede pretvaraju u dvije grede

Rutersvard je tokom svog života naslikao oko 2.500 figura. Rutersvardove knjige su objavljene na mnogim jezicima, uključujući ruski.

Nemoguće brojke su moguće!

Mnogi ljudi vjeruju da su nemoguće figure zaista nemoguće i da se ne mogu stvoriti u stvarnom svijetu. Ali moramo imati na umu da je svaki crtež na listu papira projekcija trodimenzionalne figure. Stoga, svaka figura nacrtana na komadu papira mora postojati u trodimenzionalnom prostoru. Nemogući objekti na slikama su projekcije trodimenzionalnih objekata, što znači da se objekti mogu realizovati u obliku skulpturalnih kompozicija. Postoji mnogo načina da ih kreirate. Jedna od njih je korištenje zakrivljenih linija kao stranica nemogućeg trougla. Stvorena skulptura samo iz jedne tačke izgleda nemoguće. Od ove tačke zakrivljene strane izgledaju ravno, a cilj će biti postignut - stvara se pravi "nemoguć" objekat.

Ruski umjetnik Anatolij Konenko, naš savremenik, podijelio je nemoguće figure u 2 klase: neke se mogu modelirati u stvarnosti, a druge ne. Modeli nemogućih figura nazivaju se Ames modeli.

Napravio sam svoju nemoguću figuru. Uzeo sam četrdeset i dvije kocke i zalijepio ih, rezultat je kocka u kojoj nedostaje dio ivice. Napominjem da je za stvaranje potpune iluzije potreban pravi ugao gledanja i pravo osvjetljenje.

Svoje nemoguće figure kreiram koristeći savjete O. Rutersvarda. Nacrtao sam sedam paralelnih linija na papiru. Povezao sam ih odozdo isprekidanom linijom, a odozgo sam im dao oblik paralelepipeda. Pogledaj to prvo odozgo, a onda odozdo. Postoji beskonačan broj takvih figura.

Primjena nemogućih figura

Nemoguće figure ponekad pronađu neočekivanu upotrebu. Oskar Rutersvard u svojoj knjizi "Omojliga figurer" govori o upotrebi imp-art crteža za psihoterapiju. Piše da slike sa svojim paradoksima izazivaju iznenađenje, izoštravaju pažnju i želju za dešifrovanjem. Psiholog Roger Shepard koristio je ideju trozuba za svoju sliku nemogućeg slona.

U Švedskoj se koriste u stomatološkoj praksi: gledajući slike u čekaonici, pacijenti se odvraćaju od neugodnih misli ispred ordinacije zubara.

Nemoguće figure inspirisale su umjetnike da stvore potpuno novi smjer u slikarstvu, nazvan nemogućnost. Holandski umjetnik Escher se naziva nemogućim. Njegovo pero pripada poznatim litografijama "Vodopad", "Uspon i spust" i "Belvedere". Umjetnik je koristio efekat "beskrajnog stepeništa" koji je otkrio Rootesward.

U inostranstvu, na ulicama gradova, možemo vidjeti arhitektonska oličenja nemogućih figura.

Najpoznatija upotreba nemogućih figura u popularnoj kulturi je logo Renaulta.

Matematičari kažu da palate, u kojima se možete spustiti stepenicama koje vode gore, mogu postojati. Da biste to učinili, samo trebate izgraditi takvu strukturu ne u trodimenzionalnom, već, recimo, u četverodimenzionalnom prostoru. A u virtuelnom svijetu koji nam otvara moderna kompjuterska tehnologija, tako nešto nije moguće. Tako se danas ostvaruju ideje čovjeka koji je u zoru stoljeća vjerovao u postojanje nemogućih svjetova.

Zaključak.

Nemoguće brojke teraju naš um da prvo sagleda šta ne bi trebalo da bude, a zatim da traži odgovor – šta je učinjeno pogrešno, šta je vrhunac paradoksa. A ponekad nije tako lako pronaći odgovor - on se krije u optičkoj, psihološkoj, logičkoj percepciji crteža.

Razvoj nauke, potreba da se razmišlja na nov način, potraga za ljepotom - svi ovi zahtjevi modernog života tjeraju nas da tražimo nove metode koje mogu promijeniti prostorno razmišljanje i maštu.

Proučivši literaturu o ovoj temi, uspio sam odgovoriti na pitanje „Postoje li nemoguće figure u stvarnom svijetu?“ Shvatio sam da je nemoguće moguće i da se nestvarne figure mogu napraviti vlastitim rukama. Napravio sam Amesov model Impossible Cube. Nakon što sam pogledao načine kako da napravim nemoguće figure, uspio sam nacrtati svoje nemoguće figure. Uspio sam to pokazati

zaključak: Sve nemoguće figure mogu postojati u stvarnom svijetu.

Postoji mnogo više područja u kojima će se koristiti nemoguće figure.

Dakle, možemo reći da je svijet nemogućih figura izuzetno zanimljiv i raznolik. Proučavanje nemogućih figura je veoma važno u smislu geometrije. Rad se može koristiti na časovima matematike za razvoj prostornog mišljenja učenika. Za kreativne ljude koji su skloni izumima, nemoguće figure su svojevrsna poluga za stvaranje nečeg novog, neobičnog.

Bibliografija

Levitin Karl Geometrijska rapsodija. - M.: Znanje, 1984, -176 str.

Penrose L., Penrose R. Nemogući objekti, Kvant, br. 5,1971, str.26

Reutersvärd O. Nemoguće brojke. – M.: Stroyizdat, 1990, 206 str.

Tkacheva M.V. Rotirajuće kocke. - M.: Drfa, 2002. - 168 str.

Internet resursi:

http://wikipedia.tomsk.ru

http://www.konenko.net/imp.htm

http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/

Nemoguće je šta
to ne moze postojati...
ili se desi...

Svrha lekcije: razvoj trodimenzionalne vizije učenika; sposobnost da se objasni nemogućnost postojanja određene figure sa gledišta geometrije; razvoj interesovanja za predmet.

Oprema: novine bazirane na materijalima sa sajta "Nemogući svet" (Internet), alati za konstruisanje figura, geometrijske figure, ilustracije nemogućih figura.

Tokom nastave:

Uvod:
Ljudi su se kroz istoriju susreli sa optičkim iluzijama ove ili one vrste. Dovoljno je prisjetiti se fatamorgane u pustinji, iluzija koje stvaraju svjetlost i sjenka, kao i relativnog kretanja. Nadaleko je poznat sljedeći primjer: mjesec, koji se diže s horizonta, čini se da je mnogo veći nego što je visoko na nebu. Sve su ovo samo neke od zanimljivih pojava koje se dešavaju u prirodi. Kada su ove pojave, koje varaju vid i um, prvi put uočene, počele su da uzburkavaju maštu ljudi.

Od davnina, optičke iluzije su korištene za pojačavanje utjecaja umjetničkih djela ili poboljšanje izgleda arhitektonskih kreacija. Stari Grci koristili su optičke iluzije kako bi usavršili izgled svojih velikih hramova. U srednjem vijeku u slikarstvu se ponekad koristila pomjerena perspektiva. Kasnije su mnoge druge iluzije korištene u grafici. Među njima, jedinstvena i relativno nova vrsta optičke iluzije poznata je kao "nemogući objekti".

Jedna od važnih vještina za ljude koji rade u tehničkom polju je sposobnost percipiranja trodimenzionalnih objekata u dvodimenzionalnoj ravni. Impossible Objects je izgrađen oko trikova sa perspektivom i dubinom unutar 2D prostora. Nemogući u realnom trodimenzionalnom prostoru, utiču na naš vid zbog pomerene perspektive, manipulacije dubinom i ravninom, varljivih optičkih nagoveštaja, nedoslednosti u planovima, igre svetlosti i senke, nejasnih veza, zbog netačnih i kontradiktornih pravaca i veza, promenjenog koda tačke i dr. „trikove“ kojima grafičar pribegava.

Namjerna upotreba nemogućih objekata u dizajnu datira još iz antičkih vremena, prije pojave klasične perspektive. Umjetnici su pokušali pronaći nova rješenja. Primjer je prikaz Blagovijesti iz 15. stoljeća na fresci katedrale Svete Marije u holandskom gradu Bredi. Slika prikazuje arhanđela Gabrijela koji donosi vijest Mariji o njenom budućem Sinu. Freska je uokvirena sa dva luka koja su naizmjenično oslonjena na tri stupa. Međutim, treba obratiti pažnju na srednju kolonu. Za razliku od ostalih, ona nestaje u pozadini iza peći. S praktične tačke gledišta, umjetnik je ovu "nemogućnost" iskoristio kao posebnu tehniku kako bi izbjegao podjelu scene na dvije polovine.

Primjer takvog luka prikazan je na sl. 1

"Nemoguće figure" podijeljene su u 4 grupe. Pokušajmo sada analizirati glavne figure iz svake grupe. Dakle, prva:

Učenik 1:

Nevjerovatan trokut - tribar.

Odredite šta je geometrijski nemoguće.

(Na prvi pogled se čini da je tribar samo slika jednakostraničnog trougla. Ali strane koje se konvergiraju na vrhu crteža izgledaju okomite. U isto vrijeme, lijevo i desno lice na dnu također izgledaju okomite. Ako pogledate svaki detalj posebno, čini se realnim, ali općenito ova brojka ne može postojati. Nije deformisana, ali su ispravni elementi bili pogrešno spojeni prilikom crtanja.)

Evo još nekoliko primjera nemogućih figura zasnovanih na tribaru. Pokušajte objasniti njihovu nemogućnost.

Trostruko deformisana tribara

Trougao od 12 kockica

Krilati tribar

trostruka domino

Učenik 2:

Endless Stair

Ova figura se najčešće naziva "Beskrajno stepenište", "Vječno stepenište" ili "Penroseovo stepenište" - po njegovom tvorcu. Naziva se i "stalno uzlazni i silazni put".

"Beskrajno stepenište" je uspješno koristio umjetnik Maurits K. Escher, ovoga puta u svojoj litografiji "Uspon i spuštanje", nastaloj 1960. godine.

Stepenište sa četiri ili sedam stepenica.

Nastanak ove figure sa velikim brojem koraka autora mogao bi biti inspirisan gomilom običnih željezničkih pragova. Ako ćete se penjati ovim ljestvama, bit ćete suočeni sa izborom: da li ćete se popeti na četiri ili sedam stepenica.

Pokušajte objasniti koja su svojstva koristili kreatori ovog stepeništa.

(Kreatori ovog stepeništa su iskoristili prednost paralelnih linija prilikom projektovanja završnih delova blokova koji su na istoj udaljenosti; čini se da se neki blokovi uvijaju kako bi se uklopili u iluziju).

Predlaže se da se pogleda druga brojka. Steped wall.

Učenik 3:

Sljedeća grupa figura pod općim nazivom "Space Fork". Ovom figurom ulazimo u samu srž i suštinu nemogućeg. Možda je ovo najbrojnija klasa nemogućih objekata.

Ovaj ozloglašeni nemoguć objekat sa tri (ili dva?) zupca postao je popularan među inženjerima i entuzijastima slagalica 1964. godine. Prva publikacija posvećena neobičnoj figuri pojavila se u decembru 1964. godine. Autor je to nazvao "Zagrada koja se sastoji od tri elementa." Uočavanje i rješavanje (ako je moguće) nesklada u ovoj novoj vrsti dvosmislene figure zahtijeva stvarnu promjenu vizualne fiksacije. S praktične tačke gledišta, ovaj čudni trozubac ili mehanizam u obliku nosača je apsolutno neprimjenjiv. Neki to jednostavno nazivaju "nesrećnom greškom". Jedan od predstavnika zrakoplovne industrije predložio je korištenje njegovih svojstava u dizajnu međudimenzionalne svemirske viljuške.

Kula sa četiri dvostruka stupa.

Učenik 4:

Crazy Box je kockasti okvir okrenut naopačke. Neposredni prethodnik Lude kutije bila je Escherova Impossible Box, a njen prethodnik je pak bila Neckerova kocka.

To nije nemoguć objekt, ali je figura u kojoj se parametar dubine može percipirati dvosmisleno.

Neckerovu kocku je prvi opisao 1832. godine švicarski kristalograf Lewis A. Necker, koji je primijetio da kristali ponekad vizualno mijenjaju oblik kada ih pogledate. Kada zavirimo u Neckerovu kocku, primjećujemo da je lice sa tačkom u prvom planu, a zatim u pozadini, skače s jedne pozicije na drugu.

Još nekoliko nemogućih cifara.

Učitelj:

Sada pokušajte sami stvoriti neku nemoguću figuru.

Čas se završava tako što učenici pokušavaju sami nacrtati nemoguću figuru.

Na prvi pogled se čini da nemoguće figure mogu postojati samo u avionu. Zapravo, nevjerovatne figure se mogu utjeloviti u trodimenzionalnom prostoru, ali za "isti efekat" potrebno ih je sagledati s određene tačke.

Iskrivljena perspektiva je česta pojava u antičkom slikarstvu. Negdje je to bilo zbog nesposobnosti umjetnika da izgrade sliku, negdje - znak ravnodušnosti prema realizmu, koji je bio draži od simbolizma. Materijalni svijet je dijelom rehabilitiran u renesansi. Renesansni majstori počeli su istraživati perspektivu i otkrili igre s prostorom.

Jedna od slika nemoguće figure datira iz 16. stoljeća - na slici Pietera Brueghela Starijeg "Četrdeset na vješalima" ista vješala izgledaju sumnjivo.

Velika slava stigla je do nemogućih ličnosti dvadesetog veka. Švedski umjetnik Oskar Rutesvard je 1934. godine naslikao trougao sastavljen od kocki "Opus 1", a nekoliko godina kasnije - "Opus 2B", u kojem se smanjio broj kocki. Sam umjetnik napominje da najvrednije u razvoju figura, koji je poduzeo još u školskim godinama, ne treba smatrati stvaranje samih crteža, već sposobnost razumijevanja da je ono što je nacrtano paradoksalno i suprotno zakoni euklidske geometrije.

Moja prva nemoguća figura pojavila se slučajno, kada sam 1934. godine, na svom posljednjem času u gimnaziji, “zagrebao” u udžbenik latinske gramatike, crtajući u njemu geometrijske figure.
Oscar Rutesward "Nemoguće figure"

Pedesetih godina dvadesetog stoljeća britanski matematičar Roger Penrose objavio je članak posvećen posebnostima percepcije prostornih oblika prikazanih na ravni. Članak je objavljen u British Journal of Psychology, koji mnogo govori o prirodi nemogućih figura. Glavna stvar u njima nije čak ni paradoksalna geometrija, već kako naš um percipira takve pojave. Po pravilu, potrebno je nekoliko sekundi da shvatite šta tačno „ne valja“ sa figurom.

Zahvaljujući Rogeru Penroseu, ove figure su posmatrane sa stanovišta nauke, kao objekti sa posebnim topološkim karakteristikama. Australijska skulptura, o kojoj je gore bilo riječi, samo je nemogući Penroseov trokut, u kojem su sve komponente stvarne, ali slika ne odgovara integritetu koji može postojati u trodimenzionalnom svijetu. Penroseov trougao obmanjuje lažnom perspektivom.

Misteriozne figure postale su izvor inspiracije i za fizičare i matematičare i umjetnike. Inspiriran Penroseovim člankom, grafičar Maurits Escher stvorio je nekoliko litografija koje su ga proslavile kao iluzionistu, a potom je nastavio eksperimentirati s prostornim izobličenjima na ravni.

Impossible Fork

Nemogući trozubac, blivet ili čak, kako ga još nazivaju, "đavolja viljuška", je figura sa tri okrugla zupca na jednom kraju i pravougaonim na drugom kraju. Ispostavilo se da je predmet sasvim normalan u desnom i lijevom dijelu, ali u kompleksu se ispostavlja da je jednolično ludilo.

Ovaj efekat se postiže zbog činjenice da je teško nedvosmisleno reći gdje je prvi plan, a gdje pozadina.

Iracionalna kocka

Nemoguća kocka (također poznata kao Escherova kocka) pojavila se na litografiji Belvedere Mauritsa Eschera. Čini se da samo postojanje ove kocke krši sve osnovne geometrijske zakone. Odgovor je, kao i uvijek s nemogućim figurama, prilično jednostavan: ljudsko oko nastoji da percipira dvodimenzionalne slike kao trodimenzionalne objekte.

U međuvremenu, u tri dimenzije, nemoguća kocka bi izgledala ovako, a iz određene tačke bi izgledala isto kao na slici iznad.

Nemoguće figure su od velikog interesa za psihologe, kognitivne naučnike i evolucione biologe, pomažući da se sazna više o našoj viziji i prostornom rasuđivanju. Danas kompjuterske tehnologije, virtuelna stvarnost i projekcije proširuju mogućnosti, tako da se kontradiktorni objekti mogu posmatrati sa novim interesovanjem.

Pored klasičnih primjera koje smo naveli, postoje mnoge druge opcije za nemoguće figure, a umjetnici i matematičari smišljaju nove paradoksalne opcije. Skulptori i arhitekti koriste rješenja koja mogu izgledati nevjerovatna, iako njihov izgled ovisi o smjeru pogleda gledatelja (kao što je Escher obećao – relativnost!).

Ne morate biti profesionalni arhitekta da biste se okušali u stvaranju volumetrijskih nemogućnosti. Postoje origami nemogućih figura - ovo se može ponoviti kod kuće preuzimanjem praznine.

Korisni resursi

Nemogući svijet - resurs na ruskom i engleskom sa poznatim slikama, stotinama primjera nemogućih figura i programima za samostalno stvaranje nevjerovatnog.
M.C. Escher - službena stranica M.K. Escher, osnovana od strane MC Escher Company (engleski i holandski).
- djela umjetnika, članci, biografija (ruski jezik).

Slika 1.

Ovo je nemoguć tribar. Ovaj crtež nije ilustracija prostornog objekta, jer takav objekat ne može postojati. Naše OKO prihvata ovu činjenicu i sam objekat bez poteškoća. Možemo iznijeti niz argumenata u odbranu nemogućnosti objekta.Na primjer, lice C leži u horizontalnoj ravni, dok je lice A nagnuto prema nama, a lice B nagnuto od nas, a ako je lice A i B odstupaju jedno od drugog, ne mogu se sastati na vrhu slike, kao što vidimo u ovom slučaju. Možemo primijetiti da tribar čini zatvoreni trougao, sve tri grede su okomite jedna na drugu, a zbir njenih unutrašnjih uglova je 270 stepeni, što je nemoguće. U pomoć se možemo pozvati na osnovne principe stereometrije, naime da se tri neparalelne ravni uvijek susreću u istoj tački. Međutim, na slici 1 vidimo sljedeće:

Tamno siva ravan C se susreće sa ravninom B; raskrsnica - l;
Tamno siva ravan C susreće se sa svetlosivom ravninom A; raskrsnica - m;
Bijela ravan B susreće svijetlosivu ravan A; raskrsnica - n;
Raskrsnice l, m, n seku u tri različite tačke.

Dakle, dotična figura ne zadovoljava jednu od osnovnih tvrdnji stereometrije, da se tri neparalelne ravni (u ovom slučaju A, B, C) moraju sresti u jednoj tački.

Da rezimiramo: koliko god naše razmišljanje bilo složeno ili jednostavno, OKO nam signalizira kontradikcije bez ikakvog objašnjenja sa svoje strane.

Nemogući tri-bar je paradoksalan u nekoliko aspekata. Oku je potreban delić sekunde da prenese poruku: "Ovo je zatvoreni objekat koji se sastoji od tri prečke." Trenutak kasnije slijedi: "Ovaj objekt ne može postojati...". Treća poruka bi se mogla pročitati kao: "...i stoga je prvi utisak bio pogrešan." U teoriji, takav objekt bi se trebao razbiti na mnogo linija koje nemaju smislenu vezu jedna s drugom i više se ne skupljaju u obliku tribra. Međutim, to se ne dešava i OKO ponovo signalizira: "Ovo je predmet, tribar." Ukratko, zaključak je da je i objekt i ne-objekt, i to je prvi paradoks. Oba tumačenja podjednako vrijede, kao da je OKO ostavilo konačnu presudu višeg organa.

Druga paradoksalna osobina nemogućeg trokraka proizilazi iz razmatranja njegove konstrukcije. Ako je traka A usmjerena prema nama, a traka B usmjerena od nas, a ipak se susreću, tada ugao koji formiraju mora ležati na dva mjesta u isto vrijeme, jedno bliže posmatraču, a jedno dalje. (Isto se odnosi i na druga dva ugla jer objekt ostaje istog oblika kada se drugi ugao okrene prema gore.)

Slika 2. Bruno Ernst, fotografija nemogućeg tri-bara, 1985
Slika 3. Gerard Traarbach, "Perfect timing", ulje na platnu, 100x140 cm, 1985, štampano revers
Slika 4. Dirk Huiser, "Kocka", irizirani sitotisak, 48x48 cm, 1984.

Realnost nemogućih objekata

Jedno od najtežih pitanja o nemogućim figurama tiče se njihove realnosti: da li one zaista postoje ili ne? Naravno, crtež nemogućeg trokrake postoji i to se ne dovodi u pitanje. Međutim, u isto vrijeme, nema sumnje da trodimenzionalni oblik koji nam predstavlja OKO, kao takav, ne postoji u okolnom svijetu. Iz tog razloga odlučili smo razgovarati o nemogućem objekata a ne o nemogućem figure(iako su pod ovim imenom na engleskom poznatiji). Čini se da je ovo zadovoljavajuće rješenje ove dileme. Pa ipak, kada, na primjer, pažljivo ispitamo nemogući tribar, njegova prostorna stvarnost nastavlja da nas zbunjuje.

Suočeni s predmetom rastavljenim na odvojene dijelove, gotovo je nemoguće povjerovati da jednostavnim spajanjem šipki i kockica zajedno možete dobiti željenu nemoguću trostruku šipku.

Slika 3 je posebno atraktivna za stručnjake za kristalografiju. Predmet izgleda kao kristal koji polako raste, kocke se ubacuju u postojeću kristalnu rešetku bez narušavanja ukupne strukture.

Fotografija na slici 2 je stvarna, iako je tri-bar, sastavljen od kutija cigara i fotografisan iz određenog ugla, nestvaran. Ovo je vizualna šala koju je kreirao Roger Penrose, koautor prvog članka i Impossible Tribar.

Slika 5

Na slici 5 prikazana je tribrava sastavljena od numerisanih blokova dimenzija 1x1x1 dm. Jednostavnim prebrojavanjem blokova možemo saznati da je zapremina figure 12 dm 3, a površina 48 dm 2.

Slika 6
Slika 7

Na sličan način možemo izračunati udaljenost koju će bubamara preći duž tribra (slika 7). Centralna tačka svake šipke je numerisana, a smer kretanja je označen strelicama. Tako je površina tribara predstavljena kao dugačak kontinuirani put. Bubamara mora završiti četiri puna kruga prije nego što se vrati na svoju početnu tačku.

Slika 8

Možda ćete početi da sumnjate da nemoguća tri-bara ima neke tajne na svojoj nevidljivoj strani. Ali lako se može nacrtati prozirna nemoguća trokraka (slika 8). U ovom slučaju, sve četiri strane su vidljive. Međutim, objekat i dalje izgleda sasvim stvarno.

Postavimo ponovo pitanje: šta zapravo čini tribar figurom koja se može tumačiti na toliko načina. Treba imati na umu da OKO obrađuje sliku nemogućeg objekta iz mrežnice na isti način kao slike običnih objekata - stolice ili kuće. Rezultat je "prostorna slika". U ovoj fazi nema razlike između nemogućeg tri-bara i obične stolice. Dakle, nemogući tribar postoji u dubinama našeg mozga na istom nivou kao i svi drugi objekti koji nas okružuju. Neuspjeh oka da potvrdi trodimenzionalnu "vitalnost" trokrake u stvarnosti ni na koji način ne umanjuje činjenicu da je u našoj glavi prisutna nemoguća trokraka.

U prvom poglavlju naišli smo na nemoguć objekat čije je tijelo nestajalo u nigdje. U crtežu olovkom "Putnički voz" (sl. 11), Fons de Vogelaere je suptilno iskoristio isti princip sa ojačanim stubom na levoj strani slike. Ako pratimo kolonu od vrha do dna, ili zatvorimo dno slike, vidjet ćemo kolonu koju podupiru četiri stuba (od kojih su samo dva vidljiva). Međutim, ako pogledate istu kolonu odozdo, vidjet ćete prilično širok otvor kroz koji može proći vlak. Čvrsti kameni blokovi su istovremeno... tanji od vazduha!

Ovaj objekat je dovoljno jednostavan za kategorizaciju, ali se ispostavi da je prilično složen kada ga počnemo analizirati. Istraživači kao što je Broydrick Thro su pokazali da sam opis ovog fenomena dovodi do kontradikcija. Sukob na jednoj od granica. OKO prvo izračunava konture, a zatim prikuplja oblike iz njih. Zabuna nastaje kada putanje imaju dvije svrhe odjednom u dva različita oblika ili dijela oblika, kao na slici 11.

Slika 9

Slična situacija se događa na slici 9. Na ovoj slici, linija konture l pojavljuje se i kao granica oblika A i kao granica oblika B. Međutim, to nije granica oba oblika u isto vrijeme. Ako vaše oči prvo gledaju vrh crteža, a zatim, gledajući dolje, liniju lće se percipirati kao granica oblika A i tako će ostati sve dok se ne utvrdi da je A otvorena figura. U ovom trenutku, OKO nudi drugu interpretaciju linije l, naime da je to granica oblika B. Ako pogledamo natrag prema gore l, onda se vraćamo na prvu interpretaciju.

Kad bi to bila jedina nejasnoća, onda bismo mogli govoriti o piktografskoj dvojnoj figuri. Ali zaključak je kompliciran dodatnim faktorima, kao što je fenomen nestajanja figure u pozadini, a posebno prostorna reprezentacija figure OKOM. S tim u vezi, već sada možete drugačije pogledati slike 7,8 i 9 iz poglavlja 1. Iako se čini da su ove vrste figura pravi prostorni objekti, možemo ih privremeno nazvati nemogućim objektima i opisati (ali ne i objasniti) u sljedećim općim terminima: OKO izračunava iz ovih objekata dva različita međusobno isključiva trodimenzionalna oblika koja ipak postoje istovremeno. To se može vidjeti na slici 11 u onome što nam se čini kao monolitni stup. Međutim, pri ponovnom ispitivanju čini se da je otvoren, sa prostranim otvorom u sredini kroz koji, kao što je prikazano na slici, može proći voz.

Slika 10. Arthur Stibbe, "Sprijeda i iza", karton/akril, 50x50 cm, 1986.
Slika 11. Fons de Vogelaere, "Putnički voz", crtež olovkom, 80x98 cm, 1984.

Nemogući objekat kao paradoks

Slika 12. Oscar Reutersvärd, "Japonska perspektiva br. 274 dda", crtež tušem u boji, 74x54 cm

Na početku ovog poglavlja vidjeli smo nemogući objekt kao trodimenzionalni paradoks, odnosno sliku čiji su stereografski elementi u međusobnom sukobu. Prije nego što dublje istražimo ovaj paradoks, potrebno je razumjeti postoji li nešto poput slikovnog paradoksa. U stvari, postoji - pomislite na sirene, sfinge i druga fantastična bića koja se često nalaze u vizualnim umjetnostima srednjeg vijeka i rane renesanse. Ali u ovom slučaju nije rad OKA ono što je narušeno takvom piktografskom jednadžbom kao što je žena + riba = sirena, već naše znanje (posebno poznavanje biologije), prema kojem je takva kombinacija neprihvatljiva. Samo tamo gdje su prostorni podaci na snimku retine u suprotnosti jedni s drugima, "automatska" obrada podataka od strane OKA ne uspijeva. OKO nije spremno za obradu tako čudnog materijala, a svjedoci smo novog vizuelnog iskustva za nas.

Slika 13a. Harry Turner, crtež iz serije "Paradoksalni obrasci", miješana tehnika, 1973-78.
Slika 13b. Harry Turner, "Korner", mješoviti mediji, 1978

Prostorne informacije sadržane u slici sa retine (kada gledamo samo jednim okom) možemo podijeliti u dvije klase - prirodne i kulturne. Prvi razred sadrži informacije na koje ne utiče kulturno okruženje čoveka, a koje se nalaze i na slikama. Takva prava "neiskvarena priroda" uključuje sljedeće:

Objekti iste veličine izgledaju manji što su udaljeniji. Ovo je osnovni princip linearne perspektive, koji je igrao glavnu ulogu u vizuelnoj umetnosti od renesanse;
Predmet koji djelomično blokira drugi objekt nam je bliži;
Predmeti ili dijelovi objekta povezani jedni s drugima nalaze se na istoj udaljenosti od nas;
Objekti koji su relativno udaljeni od nas biće manje prepoznatljivi i biće skriveni plavom izmaglicom prostorne perspektive;
Strana objekta na koju pada svjetlost svjetlija je od suprotne strane, a sjene su usmjerene u suprotnom smjeru od izvora svjetlosti.

Slika 14. Zenon Kulpa, "Nemoguće figure", mastilo/papir, 30x21 cm, 1980.

U kulturnom okruženju, sljedeća dva faktora igraju važnu ulogu u našem uvažavanju prostora. Ljudi su kreirali svoj životni prostor na način da njime dominiraju pravi uglovi. Naša arhitektura, namještaj i mnogi alati su u suštini sastavljeni od pravokutnika. Možemo reći da smo spakovali naš svijet u pravougaoni koordinatni sistem, u svijet pravih linija i uglova.

Slika 15. Mitsumasa Anno, "Presjek kocke"
Slika 16. Mitsumasa Anno, "Komplikovana drvena slagalica"
Slika 17. Monika Buch, Plava kocka, akril/drvo, 80x80 cm, 1976.

Dakle, naša druga klasa prostornih informacija - kulturnih, je jasna i razumljiva:

Površina je ravan koja se nastavlja sve dok nam drugi detalji ne kažu da nije završila;
Uglovi pod kojima se susreću tri ravnine određuju tri glavna pravca, pa stoga cik-cak linije mogu ukazivati na širenje ili kontrakciju.

Slika 18. Tamas Farcas, "Kristal", irisirani print, 40x29 cm, 1980.
Slika 19. Frans Erens, akvarel, 1985

U našem kontekstu, razlika između prirodnog i kulturnog okruženja je vrlo korisna. Naš vizuelni osećaj je evoluirao u prirodnom okruženju, a takođe ima neverovatnu sposobnost da precizno i precizno obrađuje prostorne informacije iz kulturne kategorije.

Nemogući objekti (barem većina njih) postoje zbog prisutnosti međusobno kontradiktornih prostornih iskaza. Na primjer, na slici Jos de Meya "Dvostruko čuvana kapija zimske Arkadije" (sl. 20), ravna površina koja čini gornji dio zida raspada se u nekoliko ravnina na različitim udaljenostima od posmatrača. Utisak različitih udaljenosti stvaraju i dijelovi figure koji se preklapaju u "Ispred i iza" Arthura Stibbea (sl. 10), što je u suprotnosti s pravilom ravne površine. Na crtežu akvarela Fransa Erensa (sl. 19.) polica, prikazana u perspektivi, sa opadajućim krajem nam govori da se nalazi horizontalno, udaljava se od nas, a pričvršćena je i za nosače na način da da bude vertikalno. Na slici „Pet nosilaca“ Fonsa de Vogelera (sl. 21) bićemo preplavljeni brojem stereografskih paradoksa. Iako slika ne sadrži paradoksalna preklapanja objekata, u njoj ima mnogo paradoksalnih veza. Zanimljiv je način na koji je centralna figura povezana sa plafonom. Pet figura koje podupiru plafon povezuju parapet i plafon sa toliko paradoksalnih veza da OKO ide u beskrajnu potragu za tačkom iz koje će ih bolje videti.

Slika 20. Jos de Mey, "Dvostrano čuvana kapija zimske Arkadije", platno/akril, 60x70 cm, 1983.
Slika 21. Fons de Vogelaere, "Pet nositelja", crtež olovkom, 80x98 cm, 1985.

Možda mislite da je sa svakim mogućim tipom stereografskog elementa koji se pojavljuje na slici relativno lako sastaviti sistematski pregled nemogućih figura:

One koje sadrže elemente perspektive koji su u međusobnom sukobu;
One u kojima su elementi perspektive u sukobu sa prostornim informacijama naznačenim elementima koji se preklapaju;
itd.

Međutim, uskoro ćemo otkriti da nećemo moći pronaći postojeće primjere za mnoge od ovih sukoba, dok će neke nemoguće objekte biti teško uklopiti u takav sistem. Međutim, takva klasifikacija će nam omogućiti da otkrijemo još mnogo do sada nepoznatih tipova nemogućih objekata.

Slika 22. Shigeo Fukuda, "Slike iluzije", sitotisak, 102x73 cm, 1984.

Definicije

Da zaključimo ovo poglavlje, pokušajmo definirati nemoguće objekte.

U mojoj prvoj publikaciji o slikama sa nemogućim objektima, M.K. Eschera, koji se pojavio oko 1960. godine, došao sam do sljedeće formulacije: mogući objekt se uvijek može smatrati projekcijom – reprezentacijom trodimenzionalnog objekta. Međutim, u slučaju nemogućih objekata ne postoji trodimenzionalni objekat čija je reprezentacija data projekcija, te u ovom slučaju nemogući objekt možemo nazvati iluzornom predstavom. Ova definicija nije samo nepotpuna, već je i netačna (na to ćemo se vratiti u 7. poglavlju), budući da se odnosi samo na matematičku stranu nemogućih objekata.

Slika 23. Oscar Reutersvärd, "Kubična organizacija prostora", crtež tušem u boji, 29x20,6 cm.
U stvarnosti, ovaj prostor nije popunjen jer veće kocke nisu povezane sa manjim kockama.

Zeno Kulpa nudi sljedeću definiciju: slika nemogućeg objekta je dvodimenzionalna figura koja daje utisak postojećeg trodimenzionalnog objekta, a ta figura ne može postojati na način na koji je mi prostorno tumačimo; pa svaki pokušaj njegovog stvaranja dovodi do (prostornih) kontradikcija, koje su jasno vidljive gledaocu.

Kulpina posljednja primjedba sugerira jedan praktičan način da saznate je li objekt nemoguć ili ne: samo pokušajte da ga sami stvorite. Uskoro ćete vidjeti, možda čak i prije početka izgradnje, da to nećete moći.

Više bih volio definiciju koja naglašava da OKO, kada analizira nemogući objekat, dolazi do dva oprečna zaključka. Ova definicija mi se više sviđa, jer obuhvata razloge za ove međusobno suprotstavljene zaključke, a osim toga pojašnjava činjenicu da nemogućnost nije matematičko svojstvo figure, već svojstvo gledateljeve interpretacije figure.

Na osnovu ovoga predlažem sljedeću definiciju:

Nemogući objekat ima dvodimenzionalni prikaz, koji OKO tumači kao trodimenzionalni objekat, a istovremeno OKO utvrđuje da ovaj objekat ne može biti trodimenzionalan, jer su prostorne informacije sadržane na slici kontradiktorne.

Slika 24. Oscar Reutersväird, "Nemoguće četiri prečke sa prečkama"
Slika 25. Bruno Ernst, "Mješovite iluzije", fotografija, 1985.