Kako pronaći izvod, kako uzeti izvod? U ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći derivate funkcija. Ali prije proučavanja ove stranice, toplo preporučujem da se upoznate s metodološkim materijalom Vruće formule za školski kurs matematike. Referentni priručnik se može otvoriti ili preuzeti na stranici Matematičke formule i tabele. I odatle će nam trebati Tabela derivata, bolje ga je odštampati, često ćete ga morati pozivati, ne samo sada, već i van mreže.
Jesti? Hajde da počnemo. Imam dvije vijesti za vas: dobru i vrlo dobru. Dobra vijest je sljedeća: da biste naučili kako pronaći derivate, ne morate znati i razumjeti šta je derivat. Štaviše, svrsishodnije je kasnije savladati definiciju derivacije funkcije, matematičko, fizičko, geometrijsko značenje derivacije, budući da kvalitetno proučavanje teorije, po mom mišljenju, zahtijeva proučavanje niza druge teme, kao i neka praktična iskustva.
A sada je naš zadatak da tehnički savladamo te iste derivate. Vrlo dobra vijest je da učenje uzimanja derivata nije tako teško; postoji prilično jasan algoritam za rješavanje (i objašnjenje) ovog zadatka; integrale ili granice, na primjer, teže je savladati.
Preporučujem sledeći redosled proučavanja teme:: Prvo, ovaj članak. Zatim morate pročitati najvažniju lekciju Derivat kompleksne funkcije. Ove dvije osnovne klase će preuzeti vaše vještine od nule. Zatim se u članku možete upoznati sa složenijim izvedenicama Složeni derivati. Logaritamski izvod. Ako je traka previsoka, prvo pročitajte stvar Najjednostavniji tipični problemi s izvedenicama. Pored novog materijala, lekcija pokriva i druge, jednostavnije vrste izvedenica, i odlična je prilika da poboljšate svoju tehniku diferencijacije. Osim toga, testni radovi gotovo uvijek sadrže zadatke za pronalaženje izvoda funkcija koje su specificirane implicitno ili parametarski. Postoji i takva lekcija: Derivati implicitnih i parametarski definiranih funkcija.
Pokušaću u pristupačnom obliku, korak po korak, da vas naučim kako pronaći izvode funkcija. Sve informacije su predstavljene detaljno, jednostavnim riječima.
Zapravo, pogledajmo odmah primjer:
Primjer 1
Pronađite izvod funkcije
Rješenje: 
Ovo je jednostavan primjer, pronađite ga u tabeli derivata elementarnih funkcija. Pogledajmo sada rješenje i analiziramo šta se dogodilo? I dogodilo se sljedeće: imali smo funkciju, koja se kao rezultat rješenja pretvorila u funkciju.
Jednostavno rečeno, da biste pronašli derivaciju funkcije, morate je pretvoriti u drugu funkciju prema određenim pravilima. Pogledajte ponovo tablicu izvedenica - tamo se funkcije pretvaraju u druge funkcije. Jedini izuzetak je eksponencijalna funkcija, koja se pretvara u sebe. Operacija pronalaženja derivacije se zove diferencijaciju .
Oznake: Izvod je označen sa ili .
PAŽNJA, VAŽNO! Zaboravljajući staviti potez (gdje je potrebno), ili nacrtati dodatni potez (gdje nije potrebno) - VELIKA GREŠKA! Funkcija i njen derivat su dvije različite funkcije!
Vratimo se našoj tabeli derivata. Iz ove tabele je poželjno zapamtiti: pravila diferencijacije i derivati nekih elementarnih funkcija, posebno:
izvod konstante:
, gdje je konstantan broj;
izvod funkcije stepena:
, posebno: , , .
Zašto pamtiti? Ovo znanje je osnovno znanje o izvedenicama. A ako ne možete odgovoriti na pitanje nastavnika „Koja je derivacija broja?“, onda bi vam se moglo završiti školovanje na fakultetu (lično sam upoznat sa dva slučaja iz stvarnog života). Osim toga, ovo su najčešće formule koje moramo koristiti gotovo svaki put kada naiđemo na derivate.
U stvarnosti su rijetki jednostavni tabelarni primjeri; obično se pri pronalaženju izvoda prvo koriste pravila diferencijacije, a zatim tablica izvoda elementarnih funkcija.
S tim u vezi, prelazimo na razmatranje pravila diferencijacije:
1) Konstantan broj se može (i treba) izvući iz predznaka derivacije
Gdje je konstantan broj (konstanta)
Primjer 2
Pronađite izvod funkcije
Pogledajmo tabelu izvedenica. Derivat kosinusa je tamo, ali imamo .
Vrijeme je da upotrijebimo pravilo, iz predznaka derivacije uzimamo konstantni faktor:
Sada pretvaramo naš kosinus prema tabeli:
Pa, preporučljivo je malo "pročešljati" rezultat - stavite znak minus na prvo mjesto, istovremeno se riješite zagrada:
2) Derivat zbira jednak je zbiru izvoda
Primjer 3
Pronađite izvod funkcije
Hajde da odlučimo. Kao što ste vjerovatno već primijetili, prvi korak koji se uvijek izvodi pri pronalaženju derivacije je da cijeli izraz stavimo u zagrade i stavimo prost u gornjem desnom kutu:
Primijenimo drugo pravilo:
Imajte na umu da za diferencijaciju svi korijeni i stupnjevi moraju biti predstavljeni u obliku, a ako su u nazivniku, onda ih pomaknite prema gore. O tome kako se to radi govori se u mojim nastavnim materijalima.
Sada se prisjetimo prvog pravila diferencijacije - uzimamo konstantne faktore (brojeve) izvan znaka derivacije:
Obično se tokom rješavanja ova dva pravila primjenjuju istovremeno (kako se ne bi ponovo pisao dugi izraz).
Sve funkcije koje se nalaze ispod poteza su elementarne tablične funkcije; pomoću tablice vršimo transformaciju:
Možete ostaviti sve kako jeste, pošto više nema poteza, a derivat je pronađen. Međutim, ovakvi izrazi obično pojednostavljuju:
Preporučljivo je sve potencije tipa ponovo predstaviti u obliku korijena; stepene s negativnim eksponentima treba vratiti na nazivnik. Iako to ne morate da radite, to neće biti greška.
Primjer 4
Pronađite izvod funkcije 
Pokušajte sami riješiti ovaj primjer (odgovor na kraju lekcije). Zainteresovani mogu koristiti i intenzivni kurs u pdf formatu, što je posebno važno ako imate vrlo malo vremena na raspolaganju.
3) Derivat proizvoda funkcija
Čini se da analogija sugerira formulu ...., ali iznenađenje je da:
Ovo je neobično pravilo (kao, u stvari, i drugi) slijedi iz derivativne definicije. Ali za sada ćemo se zadržati na teoriji – sada je važnije naučiti kako riješiti:
Primjer 5
Pronađite izvod funkcije
Ovdje imamo proizvod dvije funkcije ovisno o .
Prvo primjenjujemo naše čudno pravilo, a zatim transformiramo funkcije koristeći tablicu izvedenica:
Tesko? Nimalo, sasvim dostupno čak i za čajnik.
Primjer 6
Pronađite izvod funkcije 
Ova funkcija sadrži zbir i proizvod dvije funkcije - kvadratnog trinoma i logaritma. Iz škole pamtimo da množenje i dijeljenje imaju prednost nad sabiranjem i oduzimanjem.
I ovdje je isto. KAO PRVO koristimo pravilo diferencijacije proizvoda:
Sada za zagradu koristimo prva dva pravila:
Kao rezultat primjene pravila diferencijacije ispod poteza, ostaju nam samo elementarne funkcije; koristeći tablicu derivacija, pretvaramo ih u druge funkcije:
Spreman.
Uz određeno iskustvo u pronalaženju izvedenica, čini se da jednostavni derivati ne moraju biti tako detaljno opisani. Uglavnom se o njima odlučuje usmeno i to se odmah zapisuje 
.
Primjer 7
Pronađite izvod funkcije 
Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije)
4) Derivat kvocijentnih funkcija
Otvorio se otvor na plafonu, ne brinite, kvar je.
Ali ovo je surova realnost: 
Primjer 8
Pronađite izvod funkcije
Šta ovdje nedostaje – zbir, razlika, proizvod, razlomak… Od čega da počnem?! Postoje sumnje, nema sumnje, ali, U svakom slučaju Prvo nacrtajte zagrade i stavite crtu gore desno:
Sada pogledamo izraz u zagradama, kako ga možemo pojednostaviti? U ovom slučaju uočavamo faktor, koji je, prema prvom pravilu, preporučljivo staviti van predznaka derivacije.
Otkad ste došli ovdje, vjerovatno ste već vidjeli ovu formulu u udžbeniku
i napravi facu ovako:
Prijatelju, ne brini! U stvari, sve je jednostavno nečuveno. Sigurno ćete sve razumjeti. Samo jedan zahtjev - pročitajte članak polako, pokušajte razumjeti svaki korak. Napisao sam najjednostavnije i jasnije moguće, ali ipak morate razumjeti ideju. I svakako riješite zadatke iz članka.
Šta je složena funkcija?
Zamislite da se selite u drugi stan i da pakujete stvari u velike kutije. Pretpostavimo da trebate prikupiti neke male predmete, na primjer, školski materijal za pisanje. Ako ih samo bacite u ogromnu kutiju, između ostalog će se izgubiti. Da biste to izbjegli, prvo ih stavite, na primjer, u vrećicu, koju zatim stavite u veliku kutiju, nakon čega je zatvorite. Ovaj „složeni“ proces predstavljen je na dijagramu ispod:
Čini se, kakve veze ima matematika s tim? Da, uprkos činjenici da je složena funkcija formirana na POTPUNO ISTI način! Samo mi ne “pakujemo” sveske i olovke, već \(x\), dok su “paketi” i “kutije” različiti.
Na primjer, uzmimo x i "upakujemo" ga u funkciju:
Kao rezultat, dobijamo, naravno, \(\cosx\). Ovo je naša "vreća stvari". Sada ga stavimo u "kutiju" - upakirajte ga, na primjer, u kubičnu funkciju.
Šta će se na kraju dogoditi? Da, tako je, postojaće "vreća stvari u kutiji", odnosno "kosinus od X u kocki".
Rezultirajući dizajn je složena funkcija. Po tome se razlikuje od jednostavnog NEKOLIKO “utjecaja” (paketa) se primjenjuje na jedan X u nizu i ispada kao da je “funkcija od funkcije” - “pakovanje unutar pakovanja”.
U školskom kursu postoji vrlo malo vrsta ovih „paketa“, samo četiri:
Hajdemo sada da "upakujemo" X prvo u eksponencijalnu funkciju sa bazom 7, a zatim u trigonometrijsku funkciju. Dobijamo:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
Sada hajde da dvaput "upakujemo" x u trigonometrijske funkcije, prvo u, a zatim u:
\(x → sinx → cotg (sinx)\)
Jednostavno, zar ne?
Sada sami napišite funkcije, gdje je x:
- prvo se „pakuje“ u kosinus, a zatim u eksponencijalnu funkciju sa bazom \(3\);
- prvo na peti stepen, a zatim na tangentu;
- prvo na logaritam na osnovu \(4\)
, zatim na stepen \(-2\).
Odgovore na ovaj zadatak potražite na kraju članka.
Možemo li "spakovati" X ne dva, već tri puta? Nema problema! I četiri, i pet, i dvadeset i pet puta. Evo, na primjer, funkcije u kojoj je x "upakovano" \(4\) puta:
\(y=5^(\log_2(\sin(x^4)))\)
Ali takve formule se neće naći u školskoj praksi (učenici imaju više sreće - njihova može biti komplikovanija☺).
"Raspakivanje" složene funkcije
Pogledajte ponovo prethodnu funkciju. Možete li shvatiti redoslijed "pakiranja"? U šta je X ubačen prvo, u šta onda i tako do samog kraja. To jest, koja funkcija je ugniježđena unutar koje? Uzmite komad papira i zapišite šta mislite. To možete učiniti lancem sa strelicama kako smo gore napisali ili na bilo koji drugi način.
Sada je tačan odgovor: prvo, x je "upakovano" u \(4\)-tu potenciju, zatim je rezultat upakovan u sinus, on je zauzvrat stavljen u logaritam na osnovu \(2\) , i na kraju je cijela ova konstrukcija nabijena u petice.
Odnosno, potrebno je da odmotate sekvencu OBRATNIM REDOM. A evo i nagoveštaja kako da to učinite lakše: odmah pogledajte X – trebalo bi da plešete od njega. Pogledajmo nekoliko primjera.
Na primjer, evo sljedeće funkcije: \(y=tg(\log_2x)\). Gledamo X - šta se prvo događa s njim? Oduzeto od njega. I onda? Uzima se tangenta rezultata. Redosled će biti isti:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
Drugi primjer: \(y=\cos((x^3))\). Hajde da analiziramo - prvo smo kockali X, a zatim uzeli kosinus rezultata. To znači da će niz biti: \(x → x^3 → \cos((x^3))\). Obratite pažnju, funkcija je slična onoj prvoj (gdje ima slike). Ali ovo je potpuno drugačija funkcija: ovdje u kocki je x (to jest, \(\cos((x·x·x)))\), a tamo u kocki je kosinus \(x\) ( odnosno \(\cos x·\cosx·\cosx\)). Ova razlika proizlazi iz različitih sekvenci "pakiranja".
Posljednji primjer (sa važnim informacijama): \(y=\sin((2x+5))\). Jasno je da su ovdje prvo radili aritmetičke operacije sa x, a zatim uzeli sinus rezultata: \(x → 2x+5 → \sin((2x+5))\). I ovo je važna stvar: uprkos činjenici da aritmetičke operacije nisu funkcije same po sebi, ovdje također djeluju kao način „pakiranja“. Udubimo se malo dublje u ovu suptilnost.
Kao što sam rekao gore, u jednostavnim funkcijama x se „pakuje“ jednom, a u složenim funkcijama - dva ili više. Štaviše, bilo koja kombinacija jednostavnih funkcija (tj. njihov zbroj, razlika, množenje ili dijeljenje) je također jednostavna funkcija. Na primjer, \(x^7\) je jednostavna funkcija, kao i \(ctg x\). To znači da su sve njihove kombinacije jednostavne funkcije:
\(x^7+ ctg x\) - jednostavno,
\(x^7· krevetac x\) – jednostavno,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – jednostavno, itd.
Međutim, ako se na takvu kombinaciju primijeni još jedna funkcija, ona će postati složena funkcija, jer će postojati dva “paketa”. Pogledajte dijagram:
Ok, samo naprijed. Napišite redoslijed funkcija "omotavanja":
\(y=cos((sinx))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg(11^x)\)
\(y=log_2(1+x)\)
Odgovori su opet na kraju članka.
Unutrašnje i eksterne funkcije
Zašto trebamo razumjeti ugniježđenje funkcija? Šta nam ovo daje? Činjenica je da bez takve analize nećemo moći pouzdano pronaći derivate funkcija o kojima je bilo riječi.
A da bismo nastavili dalje, trebat će nam još dva koncepta: unutrašnje i vanjske funkcije. Ovo je vrlo jednostavna stvar, štoviše, u stvari, već smo ih analizirali iznad: ako se sjetimo naše analogije na samom početku, onda je unutrašnja funkcija „paket“, a vanjska funkcija je „kutija“. One. ono u šta je X prvo "umotano" je interna funkcija, a ono u šta je unutrašnja funkcija "umotana" je već eksterna. Pa, jasno je zašto - ona je napolju, znači eksterna.
U ovom primjeru: \(y=tg(log_2x)\), funkcija \(\log_2x\) je interna, i 
- eksterni.
A u ovome: \(y=\cos((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je interno, i 
- eksterni.
Završite posljednju praksu analize složenih funkcija i konačno prijeđimo na ono zbog čega smo svi započeli - naći ćemo derivate složenih funkcija:
Popunite prazna polja u tabeli:
Derivat kompleksne funkcije
Bravo za nas, konačno smo došli do "šefa" ove teme - zapravo derivata složene funkcije, a konkretno do one jako strašne formule s početka članka.☺
\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)
Ova formula glasi ovako:
Izvod kompleksne funkcije jednak je umnošku izvoda eksterne funkcije u odnosu na konstantnu unutrašnju funkciju i izvod unutrašnje funkcije.
I odmah pogledajte dijagram raščlanjivanja, prema riječima, tako da shvatite šta da radite s čime:
Nadam se da termini „derivacija“ i „proizvod“ ne izazivaju nikakve poteškoće. "Složena funkcija" - već smo to riješili. Kvaka je u „derivatu eksterne funkcije u odnosu na konstantnu unutrašnju funkciju“. Šta je to?
Odgovor: Ovo je uobičajena derivacija eksterne funkcije, u kojoj se mijenja samo vanjska funkcija, a unutrašnja ostaje ista. Još uvijek nije jasno? U redu, upotrijebimo primjer.
Neka nam je funkcija \(y=\sin(x^3)\). Jasno je da je unutrašnja funkcija ovdje \(x^3\), a eksterna 
. Nađimo sada derivaciju eksterijera u odnosu na konstantnu unutrašnjost.
Derivacija formule za izvod funkcije stepena (x na stepen a). Razmatraju se derivati iz korijena x. Formula za izvod funkcije snage višeg reda. Primjeri izračunavanja derivata.
Derivat x na stepen a jednak je a puta x na stepen minus jedan:
(1)
.
Derivat n-tog korijena od x na m-tu potenciju je:
(2)
.
Derivacija formule za izvod funkcije stepena
Slučaj x > 0
Razmotrimo funkciju stepena varijable x s eksponentom a:
(3)
.
Ovdje je a proizvoljan realan broj. Hajde da prvo razmotrimo slučaj.
Da bismo pronašli derivaciju funkcije (3), koristimo svojstva funkcije stepena i transformiramo je u sljedeći oblik:
.
Sada pronalazimo derivat koristeći:
;
.
Evo.
Formula (1) je dokazana.
Derivacija formule za izvod korena stepena n od x na stepen od m
Sada razmotrite funkciju koja je korijen sljedećeg oblika:
(4)
.
Da bismo pronašli derivaciju, transformiramo korijen u funkciju stepena:
.
Upoređujući sa formulom (3) vidimo da
.
Onda
.
Koristeći formulu (1) nalazimo izvod:
(1)
;
;
(2)
.
U praksi nema potrebe za pamćenjem formule (2). Mnogo je zgodnije prvo transformisati korijene u funkcije stepena, a zatim pronaći njihove derivate pomoću formule (1) (vidi primjere na kraju stranice).
Slučaj x = 0
Ako je , tada je funkcija snage definirana za vrijednost varijable x = 0
. Nađimo derivaciju funkcije (3) na x = 0
. Da bismo to učinili, koristimo definiciju derivata:
.
Zamenimo x = 0
:
.
U ovom slučaju, pod izvodom podrazumijevamo desnu granicu za koju .
Tako smo pronašli:
.
Iz ovoga je jasno da za , .
U , .
U , .
Ovaj rezultat se također dobija iz formule (1):
(1)
.
Prema tome, formula (1) vrijedi i za x = 0
.
Slučaj x< 0
Razmotrimo ponovo funkciju (3):
(3)
.
Za određene vrijednosti konstante a definira se i za negativne vrijednosti varijable x. Naime, neka je a racionalan broj. Tada se može predstaviti kao nesvodljivi razlomak:
,
gdje su m i n cijeli brojevi koji nemaju zajednički djelitelj.
Ako je n neparno, tada je funkcija stepena također definirana za negativne vrijednosti varijable x. Na primjer, kada je n = 3
i m = 1
imamo kubni korijen od x:
.
Također je definiran za negativne vrijednosti varijable x.
Nađimo derivaciju funkcije stepena (3) za i za racionalne vrijednosti konstante a za koju je definirana. Da bismo to učinili, predstavimo x u sljedećem obliku:
.
onda ,
.
Izvod pronalazimo postavljanjem konstante izvan znaka izvoda i primjenom pravila za diferenciranje kompleksne funkcije:
.
Evo. Ali
.
Od tada
.
Onda
.
Odnosno, formula (1) važi i za:
(1)
.
Derivati višeg reda
Sada hajde da pronađemo izvode višeg reda funkcije stepena
(3)
.
Već smo pronašli derivat prvog reda:
.
Uzimajući konstantu a izvan predznaka derivacije, nalazimo izvod drugog reda:
.
Slično, nalazimo derivate trećeg i četvrtog reda:
;
.
Iz ovoga je jasno da derivat proizvoljnog n-tog reda ima sljedeći oblik:
.
primeti, to ako je a prirodan broj, tada je n-ti izvod konstantan:
.
Tada su svi naredni derivati jednaki nuli:
,
u .
Primjeri izračunavanja derivata
Primjer
Pronađite izvod funkcije:
.
Rješenje
Pretvorimo korijene u stepene:
;
.
Tada originalna funkcija poprima oblik:
.
Pronalaženje derivata moći:
;
.
Derivat konstante je nula:
.
Definicija. Neka je funkcija \(y = f(x) \) definirana u određenom intervalu koji sadrži tačku \(x_0\) unutar sebe. Dajmo argumentu inkrement \(\Delta x \) tako da ne napušta ovaj interval. Nađimo odgovarajući prirast funkcije \(\Delta y \) (kada se krećemo od tačke \(x_0 \) do tačke \(x_0 + \Delta x \)) i sastavimo relaciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Ako postoji ograničenje za ovaj omjer na \(\Delta x \rightarrow 0\), tada se navedena granica naziva derivacija funkcije\(y=f(x) \) u tački \(x_0 \) i označimo \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Simbol y se često koristi za označavanje izvoda. Imajte na umu da je y" = f(x) nova funkcija, ali prirodno povezana sa funkcijom y = f(x), definiranom u svim točkama x u kojima postoji gornja granica. Ova funkcija se zove ovako: derivacija funkcije y = f(x).
Geometrijsko značenje derivacije je kako slijedi. Ako je moguće nacrtati tangentu na graf funkcije y = f(x) u tački sa apscisom x=a, koja nije paralelna sa y-osi, tada f(a) izražava nagib tangente :
\(k = f"(a)\)
Pošto je \(k = tg(a) \), onda je jednakost \(f"(a) = tan(a) \) tačna.
Protumačimo sada definiciju derivacije sa stanovišta približnih jednakosti. Neka funkcija \(y = f(x)\) ima izvod u određenoj tački \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znači da je blizu tačke x približna jednakost \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), tj. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Smisaono značenje rezultirajuće približne jednakosti je sljedeće: prirast funkcije je „gotovo proporcionalan“ prirastu argumenta, a koeficijent proporcionalnosti je vrijednost derivacije u datoj tački x. Na primjer, za funkciju \(y = x^2\) vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ako pažljivo analiziramo definiciju derivacije, otkrićemo da ona sadrži algoritam za njeno pronalaženje.
Hajde da to formulišemo.
Kako pronaći derivaciju funkcije y = f(x)?
1. Popravite vrijednost \(x\), pronađite \(f(x)\)
2. Dajte argumentu \(x\) povećanje \(\Delta x\), idite na novu tačku \(x+ \Delta x \), pronađite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Pronađite prirast funkcije: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Kreirajte relaciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Izračunajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ova granica je derivacija funkcije u tački x.
Ako funkcija y = f(x) ima izvod u tački x, onda se naziva diferencijabilna u tački x. Poziva se postupak za pronalaženje izvoda funkcije y = f(x). diferencijaciju funkcije y = f(x).
Razgovarajmo o sljedećem pitanju: kako su kontinuitet i diferencijabilnost funkcije u nekoj tački međusobno povezani?
Neka je funkcija y = f(x) diferencijabilna u tački x. Tada se tangenta može povući na graf funkcije u tački M(x; f(x)), i, podsjetimo, kutni koeficijent tangente je jednak f"(x). Takav graf se ne može „lomiti“ u tački M, tj. funkcija mora biti kontinuirana u tački x.
To su bili „praktični“ argumenti. Hajde da damo rigoroznije rezonovanje. Ako je funkcija y = f(x) diferencijabilna u tački x, tada vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Ako u ovoj jednakosti \(\Delta x \) teži nuli, tada će \(\Delta y \) težiti nuli, a to je uslov za kontinuitet funkcije u tački.
dakle, ako je funkcija diferencijabilna u tački x, tada je u toj tački kontinuirana.
Obrnuta izjava nije tačna. Na primjer: funkcija y = |x| je kontinuirano svuda, posebno u tački x = 0, ali tangenta na graf funkcije u “tački spajanja” (0; 0) ne postoji. Ako se u nekom trenutku tangenta ne može povući na graf funkcije, onda izvod ne postoji u toj tački.
Još jedan primjer. Funkcija \(y=\sqrt(x)\) je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, uključujući u tački x = 0. A tangenta na graf funkcije postoji u bilo kojoj tački, uključujući i tačku x = 0 Ali u ovoj tački tangenta se poklapa sa y-osom, tj. okomita je na osu apscise, njena jednadžba ima oblik x = 0. Takva prava linija nema koeficijent ugla, što znači da je \(f "(0)\) ne postoji.
Dakle, upoznali smo se sa novim svojstvom funkcije - diferencijabilnošću. Kako se iz grafa funkcije može zaključiti da je diferencibilna?
Odgovor je zapravo dat gore. Ako je u nekom trenutku moguće povući tangentu na graf funkcije koja nije okomita na osu apscise, tada je funkcija diferencibilna. Ako u nekom trenutku tangenta na graf funkcije ne postoji ili je okomita na osu apscise, tada funkcija nije diferencibilna.
Pravila diferencijacije
Operacija pronalaženja derivacije se zove diferencijaciju. Prilikom izvođenja ove operacije često morate raditi s količnikima, zbrojima, produktima funkcija, kao i "funkcijama funkcija", odnosno složenim funkcijama. Na osnovu definicije derivacije, možemo izvesti pravila diferencijacije koja olakšavaju ovaj rad. Ako je C konstantan broj i f=f(x), g=g(x) su neke diferencibilne funkcije, onda je sljedeće istinito pravila diferencijacije:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$