Kao što se možda sjećate iz školskog programa geometrije, trokut je figura formirana od tri segmenta povezana sa tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji. Trougao formira tri ugla, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trougao se može nazvati i poligon sa tri ugla, odgovor će takođe biti tačan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini uglova na slikama. Dakle, trokuti se razlikuju kao jednakokračni, jednakostrani i razmjerni, kao i pravokutni, oštri i tupi.

Postoji mnogo formula za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako pronaći površinu trokuta, tj. Koju formulu ćete koristiti zavisi od vas. Ali vrijedi napomenuti samo neke od oznaka koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. Dakle, zapamtite:

S je površina trokuta,

a, b, c su stranice trougla,

h je visina trokuta,

R je poluprečnik opisane kružnice,

p je poluperimetar.

Ovdje su osnovne oznake koje bi vam mogle biti korisne ako ste potpuno zaboravili svoj kurs geometrije. Ispod su najrazumljivije i najjednostavnije opcije za izračunavanje nepoznate i tajanstvene površine trokuta. Nije teško i biće korisno kako za potrebe vašeg domaćinstva tako i za pomoć vašoj djeci. Prisjetimo se kako izračunati površinu trokuta što je lakše moguće:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 sq. cm. Zapamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).

Pravokutni trokut i njegova površina.

Pravougli trougao je trougao u kome je jedan ugao jednak 90 stepeni (otuda se naziva pravi). Pravi ugao čine dvije okomite linije (u slučaju trougla, dva okomita segmenta). U pravouglom trouglu može postojati samo jedan pravi ugao, jer... zbir svih uglova bilo kojeg trougla jednak je 180 stepeni. Ispada da bi 2 druga ugla trebala podijeliti preostalih 90 stepeni, na primjer 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjećate se glavne stvari, ostaje samo da saznate kako pronaći površinu pravokutnog trokuta. Zamislimo da imamo takav pravougaoni trougao ispred sebe, a trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najjednostavniji način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U principu, više nema potrebe da se provjerava površina trokuta na druge načine, jer Samo će ovaj biti koristan i pomoći će u svakodnevnom životu. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre uglove.

2. Za druge metode izračunavanja, morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangenta. Procijenite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površine pravokutnog trokuta koje se još uvijek mogu koristiti:

Odlučili smo da koristimo prvu formulu i sa manjim mrljama (nacrtali smo je u svesku i koristili stari lenjir i uglomer), ali smo dobili ispravan izračun:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Dobili smo sljedeće rezultate: 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelija, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokraki trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračunavanja formule za jednakokraki trokut, onda je najlakši način da koristite glavnu i ono što se smatra klasičnom formulom za površinu trokuta.

Ali prvo, prije pronalaženja površine jednakokračnog trokuta, hajde da saznamo o kakvoj se figuri radi. Jednakokraki trokut je trokut u kojem su dvije stranice iste dužine. Ove dvije strane se nazivaju bočne, a treća strana se zove baza. Nemojte brkati jednakokraki trokut sa jednakostraničnim trouglom, tj. pravilan trougao sa sve tri strane jednake. U takvom trokutu nema posebnih sklonosti uglovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, uglovi u osnovi u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od ugla između jednakih stranica. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu; ostaje da saznate koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate:

Instrukcije

Zabave a uglovi se smatraju osnovnim elementima A. Trokut je u potpunosti definiran bilo kojim od njegovih sljedećih osnovnih elemenata: ili tri strane, ili jedna stranica i dva ugla, ili dvije stranice i ugao između njih. Za postojanje trougao dato sa tri strane a, b, c, neophodno je i dovoljno da se zadovolje nejednakosti koje se nazivaju nejednakosti trougao:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Za gradnju trougao na tri strane a, b, c, potrebno je iz tačke C segmenta CB = a šestarom nacrtati krug poluprečnika b. Zatim, na isti način, nacrtajte kružnicu iz tačke B sa poluprečnikom jednakim strani c. Njihova tačka preseka A je treći vrh željenog trougao ABC, gdje je AB=c, CB=a, CA=b - strane trougao. Problem ima , Ako strane a, b, c, zadovoljavaju nejednakosti trougao navedeno u koraku 1.

Ovako izgrađena površina S trougao ABC sa poznatim stranicama a, b, c izračunava se pomoću Heronove formule:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
gdje su a, b, c stranice trougao, p – poluperimetar.
p = (a+b+c)/2

Ako je trokut jednakostraničan, to jest, sve su mu stranice jednake (a=b=c). trougao izračunato po formuli:
S=(a^2 v3)/4

Ako je trokut pravougao, odnosno jedan od njegovih uglova jednak je 90°, a stranice koje ga tvore su kraci, treća stranica je hipotenuza. U ovom slučaju kvadrat jednak je proizvodu nogu podijeljen sa dva.
S=ab/2

Naći kvadrat trougao, možete koristiti jednu od mnogih formula. Odaberite formulu ovisno o tome koji su podaci već poznati.

Trebaće ti

• poznavanje formula za pronalaženje površine trokuta

Instrukcije

Ako znate veličinu jedne od stranica i vrijednost visine spuštene na ovu stranu iz ugla suprotnog njoj, tada možete pronaći površinu koristeći sljedeće: S = a*h/2, gdje je S površina trokuta, a je jedna od stranica trokuta, a h - visina, na stranu a.

Poznata je metoda za određivanje površine trokuta ako su poznate njegove tri strane. To je Heronova formula. Da bi se pojednostavilo njegovo snimanje, uvodi se srednja vrijednost - poluperimetar: p = (a+b+c)/2, gdje je a, b, c - . Tada je Heronova formula sljedeća: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ eksponencijacija.

Pretpostavimo da poznajete jednu od stranica trougla i tri ugla. Tada je lako pronaći površinu trokuta: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), gdje je β ugao nasuprot stranice a, a α i γ su uglovi susjedni strani.

Video na temu

Bilješka

Najopštija formula koja je prikladna za sve slučajeve je Heronova formula.

Izvori:

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta na osnovu tri strane

Pronalaženje površine trokuta jedan je od najčešćih problema u školskoj planimetriji. Poznavanje tri strane trokuta je dovoljno za određivanje površine bilo kojeg trokuta. U posebnim slučajevima jednakostraničnih trouglova, dovoljno je znati dužine dvije, odnosno jedne stranice.

Trebaće ti

• dužine stranica trouglova, Heronova formula, kosinusni teorem

Instrukcije

Heronova formula za površinu trokuta je sljedeća: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ako zapišemo poluperimetar p, dobijamo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Možete izvesti formulu za površinu trokuta iz razmatranja, na primjer, primjenom teoreme kosinusa.

Prema kosinusnom teoremu, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Koristeći uvedene notacije, one se takođe mogu napisati u obliku: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dakle, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Površina trokuta se također nalazi po formuli S = a*c*sin(ABC)/2 koristeći dvije stranice i ugao između njih. Sinus ugla ABC se može izraziti kroz njega koristeći osnovni trigonometrijski identitet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Zamjenom sinusa u formulu za površinu i ispisivanjem , možete doći do formule za površinu trokuta ABC.

Video na temu

Da biste izvršili popravke, možda će biti potrebno izmjeriti kvadrat zidovi To olakšava izračunavanje potrebne količine boje ili tapeta. Za mjerenja je najbolje koristiti mjernu traku ili mjernu traku. Merenja treba izvršiti nakon toga zidovi bili su izravnani.

Trebaće ti

• -rulet;
• -merdevine.

Instrukcije

Brojati kvadrat zidova, morate znati tačnu visinu plafona, a također izmjeriti dužinu duž poda. To se radi na sljedeći način: uzmite centimetar i položite ga preko postolja. Obično centimetar nije dovoljan za cijelu dužinu, pa ga pričvrstite u kut, a zatim ga odmotajte do maksimalne dužine. U ovom trenutku olovkom stavite oznaku, zapišite dobijeni rezultat i izvršite daljnja mjerenja na isti način, počevši od posljednje točke mjerenja.

Standardni stropovi su 2 metra 80 centimetara, 3 metra i 3 metra 20 centimetara, ovisno o kući. Ako je kuća izgrađena prije 50-ih godina, tada je najvjerovatnije stvarna visina nešto niža od naznačene. Ako kalkulišete kvadrat za popravke, onda mala zaliha neće škoditi - razmotrite na osnovu standarda. Ako još uvijek trebate znati pravu visinu, izvršite mjerenja. Princip je sličan mjerenju dužine, ali će vam trebati ljestve.

Pomnožite rezultirajuće pokazatelje - to je kvadrat tvoj zidovi. Istina, prilikom slikanja ili za slikanje potrebno je oduzeti kvadrat otvori za vrata i prozore. Da biste to učinili, položite centimetar duž otvora. Ako govorimo o vratima koja ćete naknadno promijeniti, nastavite s uklanjanjem okvira vrata, uzimajući u obzir samo kvadrat direktno na sam otvor. Površina prozora izračunava se duž perimetra njegovog okvira. Poslije kvadrat Izračunati prozor i vrata, oduzmite rezultat od ukupne rezultirajuće površine prostorije.

Imajte na umu da mjerenje dužine i širine prostorije provode dvije osobe, što olakšava fiksiranje centimetra ili trake i, u skladu s tim, dobivanje preciznijeg rezultata. Izvedite isto mjerenje nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje dobijete tačni.

Video na temu

Pronalaženje zapremine trougla je zaista netrivijalan zadatak. Činjenica je da je trokut dvodimenzionalna figura, tj. leži u potpunosti u jednoj ravni, što znači da jednostavno nema zapreminu. Naravno, ne možete pronaći nešto što ne postoji. Ali nemojmo odustati! Možemo prihvatiti sljedeću pretpostavku: volumen dvodimenzionalne figure je njena površina. Tražićemo površinu trougla.

Trebaće ti

• list papira, olovka, ravnalo, kalkulator

Instrukcije

Nacrtajte na komad papira pomoću ravnala i olovke. Pažljivim ispitivanjem trougla možete se uvjeriti da on zaista nema trokut, jer je nacrtan na ravni. Označite stranice trougla: neka jedna strana bude strana "a", druga strana "b", a treća strana "c". Označite vrhove trougla slovima "A", "B" i "C".

Izmjerite bilo koju stranu trokuta ravnalom i zapišite rezultat. Nakon toga, vratite okomicu na izmjerenu stranu od vrha nasuprot njoj, takva okomica će biti visina trokuta. U slučaju prikazanom na slici, okomita "h" se vraća na stranu "c" iz vrha "A". Izmjerite rezultujuću visinu ravnalom i zapišite rezultat mjerenja.

Možda će vam biti teško vratiti tačnu okomicu. U ovom slučaju, trebali biste koristiti drugu formulu. Izmjerite sve strane trougla pomoću ravnala. Nakon toga izračunajte poluperimetar trokuta "p" dodavanjem rezultirajućih dužina stranica i dijeljenjem njihovog zbroja na pola. Imajući na raspolaganju vrijednost poluperimetra, možete koristiti Heronovu formulu. Da biste to učinili, morate uzeti kvadratni korijen sljedećeg: p(p-a)(p-b)(p-c).

Dobili ste potrebnu površinu trokuta. Problem nalaženja zapremine trougla nije rešen, ali kao što je već pomenuto, zapremina nije. Možete pronaći volumen koji je u suštini trokut u trodimenzionalnom svijetu. Ako zamislimo da je naš originalni trokut postao trodimenzionalna piramida, tada će volumen takve piramide biti proizvod dužine njene osnove na površinu trokuta koji smo dobili.

Bilješka

Što pažljivije mjerite, to će vaši proračuni biti precizniji.

Izvori:

• Kalkulator “Sve za sve” - portal za referentne vrijednosti
• volumen trougla u 2019

Tri tačke koje jedinstveno definišu trougao u Dekartovom koordinatnom sistemu su njegovi vrhovi. Znajući njihov položaj u odnosu na svaku od koordinatnih osa, možete izračunati sve parametre ove ravne figure, uključujući one ograničene njenim perimetrom kvadrat. To se može učiniti na nekoliko načina.

Instrukcije

Koristite Heronovu formulu za izračunavanje površine trougao. Uključuje dimenzije tri strane figure, pa počnite svoje proračune sa . Dužina svake strane mora biti jednaka korijenu zbira kvadrata dužina njenih projekcija na koordinatne ose. Ako označimo koordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y₃,Z₃), dužine njihovih stranica mogu se izraziti na sljedeći način: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Da biste pojednostavili proračune, uvedite pomoćnu varijablu - poluperimetar (P). Iz činjenice da je ovo polovina zbira dužina svih strana: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Trokut je najjednostavniji geometrijski lik koji se sastoji od tri strane i tri vrha. Zbog svoje jednostavnosti, trokut se od davnina koristio za vršenje raznih mjerenja, a danas figura može biti korisna za rješavanje praktičnih i svakodnevnih problema.

Karakteristike trougla

Broj se koristi za proračune od davnina, na primjer, geodeti i astronomi rade sa svojstvima trouglova kako bi izračunali površine i udaljenosti. Lako je izraziti površinu bilo kojeg n-ugla kroz površinu ove figure, a ovo svojstvo koristili su drevni znanstvenici za izvođenje formula za površine poligona. Konstantan rad sa trouglovima, posebno pravouglim, postao je osnova za čitavu granu matematike - trigonometriju.

Geometrija trougla

Osobine geometrijske figure proučavane su od davnina: najranije informacije o trokutu pronađene su u egipatskim papirusima prije 4000 godina. Zatim je lik proučavan u staroj Grčkoj, a najveći doprinos geometriji trougla dali su Euklid, Pitagora i Heron. Proučavanje trougla nikada nije prestalo, a u 18. veku Leonhard Ojler je uveo koncept ortocentra figure i Ojlerovog kruga. Na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće, kada se činilo da se o trouglu zna apsolutno sve, Frank Morley je formulirao teoremu o trisektorima uglova, a Waclaw Sierpinski je predložio fraktalni trokut.

Postoji nekoliko vrsta ravnih trokuta koji su nam poznati iz školskih predmeta geometrije:

• akutni - svi uglovi figure su oštri;
• tup - figura ima jedan tupi ugao (više od 90 stepeni);
• pravougaoni - figura sadrži jedan pravi ugao jednak 90 stepeni;
• jednakokračan - trokut sa dvije jednake stranice;
• jednakostraničan - trokut sa svim jednakim stranama.
• U stvarnom životu postoje razne vrste trokuta, a u nekim slučajevima možda ćemo morati izračunati površinu geometrijske figure.

Površina trougla

Površina je procjena koliki dio ravnine figura obuhvata. Površina trokuta se može pronaći na šest načina, koristeći stranice, visinu, uglove, polumjer upisane ili opisane kružnice, kao i korištenjem Heronove formule ili izračunavanjem dvostrukog integrala duž linija koje graniče ravninu. Najjednostavnija formula za izračunavanje površine trokuta je:

gdje je a stranica trougla, h njegova visina.

Međutim, u praksi nam nije uvijek zgodno pronaći visinu geometrijske figure. Algoritam našeg kalkulatora vam omogućava da izračunate površinu znajući:

• tri strane;
• dvije strane i ugao između njih;
• jedna strana i dva ugla.

Da bismo odredili površinu kroz tri strane, koristimo Heronovu formulu:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

gdje je p poluperimetar trougla.

Površina na dvije strane i kut izračunava se pomoću klasične formule:

S = a × b × sin(alfa),

gdje je alfa ugao između stranica a i b.

Da bismo odredili površinu u smislu jedne strane i dva ugla, koristimo odnos koji:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Pomoću jednostavne proporcije određujemo dužinu druge stranice, nakon čega izračunavamo površinu koristeći formulu S = a × b × sin(alfa). Ovaj algoritam je potpuno automatizovan i potrebno je samo da unesete navedene varijable i dobijete rezultat. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz života

Ploče za popločavanje

Recimo da želite popločati pod trokutastim pločicama, a da biste odredili količinu potrebnog materijala, morate znati površinu jedne pločice i površinu poda. Pretpostavimo da trebate obraditi 6 kvadratnih metara površine pomoću pločice čije su dimenzije a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Očigledno, da bi izračunao površinu trokuta, kalkulator koristi Heronovu formulu i daje rezultat:

Dakle, površina jednog elementa pločice bit će 0,021 kvadratni metar, a za poboljšanje poda trebat će vam 6/0,021 = 285 trokuta. Brojevi 20, 21 i 29 čine pitagorine trostruke brojeve koji zadovoljavaju . I tako je, naš kalkulator je izračunao i sve uglove trougla, a gama ugao je tačno 90 stepeni.

Školski zadatak

U školskom zadatku morate pronaći površinu trougla, znajući da je stranica a = 5 cm, a uglovi alfa i beta 30 odnosno 50 stepeni. Da bismo ručno riješili ovaj problem, prvo bismo pronašli vrijednost stranice b koristeći proporciju omjera stranica i sinusa suprotnih uglova, a zatim bismo odredili površinu pomoću jednostavne formule S = a × b × sin(alfa). Uštedimo vreme, unesite podatke u formu kalkulatora i dobijte trenutni odgovor

Kada koristite kalkulator, važno je ispravno naznačiti uglove i stranice, inače će rezultat biti netačan.

Zaključak

Trokut je jedinstvena figura koja se nalazi i u stvarnom životu i u apstraktnim proračunima. Koristite naš online kalkulator da odredite površinu trokuta bilo koje vrste.

Područje trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su pogodni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, kutove ili veličine. Formule su predstavljene u obliku slike, sa objašnjenjima za njihovu primjenu ili opravdanjem njihove ispravnosti. Takođe, posebna slika prikazuje korespondenciju između slovnih simbola u formulama i grafičkih simbola na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva (jednakokraki, pravokutni, jednakostranični), možete koristiti formule date u nastavku, kao i dodatne posebne formule koje vrijede samo za trokute sa ovim svojstvima:

• "Formula za površinu jednakostraničnog trougla"

Formule površine trougla

Objašnjenja za formule:
a, b, c- dužine stranica trougla čiju površinu želimo pronaći
r- poluprečnik kružnice upisane u trokut
R- poluprečnik kružnice opisane oko trougla
h- visina trougla spuštena na stranu
str- poluoblast trokuta, 1/2 zbroja njegovih strana (perimetar)
α - ugao nasuprot stranice a trougla
β - ugao nasuprot stranice b trougla
γ - ugao nasuprot stranice c trougla
h a, h b , h c- visina trougla spuštena na stranice a, b, c

Imajte na umu da date oznake odgovaraju gornjoj slici, tako da će vam prilikom rješavanja stvarnog geometrijskog problema biti vizualno lakše zamijeniti ispravne vrijednosti na pravim mjestima u formuli.

• Površina trougla je polovina proizvoda visine trokuta i dužine stranice za koju se ta visina spušta(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logički. Visina spuštena na bazu podijelit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih sagradite u pravougaonik dimenzija b i h, tada će očito površina ovih trokuta biti jednaka točno polovini površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trougla je polovina proizvoda njegovih dviju stranica i sinusa ugla između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Iako se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Ako s ugla B spustimo visinu na stranicu b, ispada da je proizvod stranice a i sinusa ugla γ, prema svojstvima sinusa u pravokutnom trokutu, jednak visini trokuta koji smo nacrtali , što nam daje prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trougla kroz rad polovina poluprečnika kružnice koja je u nju upisana zbirom dužina svih njegovih stranica(Formula 3), jednostavno rečeno, morate pomnožiti poluperimetar trokuta polumjerom upisane kružnice (ovo je lakše zapamtiti)
• Površina proizvoljnog trokuta može se naći dijeljenjem proizvoda svih njegovih strana sa 4 poluprečnika kružnice opisane oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta kroz dužine njegovih stranica i njegovog poluperimetra (pola zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz dužine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa uglova koji su susjedni ovoj strani podijeljenog dvostrukim sinusom ugla suprotnog od ove stranice (Formula 7)
• Površina proizvoljnog trokuta može se naći kao proizvod dva kvadrata kruga opisanog oko njega sinusima svakog od njegovih uglova. (Formula 8)
• Ako su poznate dužine jedne stranice i vrijednosti dva susjedna ugla, tada se površina trokuta može naći kao kvadrat ove stranice podijeljen dvostrukim zbrojem kotangensa ovih uglova (formula 9)
• Ako je poznata samo dužina svake od visina trokuta (Formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna dužinama ovih visina, kao prema Heronovoj formuli
• Formula 11 vam omogućava da izračunate površina trokuta na osnovu koordinata njegovih vrhova, koji su specificirani kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se rezultirajuća vrijednost mora uzeti po modulu, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja geometrijskih zadataka za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti problem geometrije koji ovdje nije sličan, pišite o tome na forumu. U rješenjima, umjesto simbola "kvadratnog korijena", može se koristiti funkcija sqrt(), u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama.Ponekad se za jednostavne radikalne izraze može koristiti simbol √

Zadatak. Pronađite površinu za koju su date dvije stranice i ugao između njih

Stranice trougla su 5 i 6 cm, a ugao između njih je 60 stepeni. Pronađite površinu trokuta.

Rješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se naći kroz dužine dvije stranice i sinus ugla između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Pošto imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), možemo samo zamijeniti vrijednosti iz uslova problema u formulu:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

U tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija naći ćemo i zamijeniti vrijednost sinusa 60 stupnjeva u izraz. Bit će jednak korijenu tri puta dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovori: 7,5 √3 (u zavisnosti od zahtjeva nastavnika, vjerovatno možete ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Nađite površinu jednakostraničnog trougla

Nađite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom 3 cm.

Rješenje .

Površina trokuta se može pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a = b = c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta ima oblik:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovori: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine prilikom promjene dužine stranica

Koliko puta će se povećati površina trokuta ako se stranice povećaju za 4 puta?

Rješenje.

Pošto su nam dimenzije stranica trougla nepoznate, da bismo riješili problem pretpostavit ćemo da su dužine stranica respektivno jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, naći ćemo površinu datog trougla, a zatim ćemo pronaći površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trouglova će nam dati odgovor na problem.

U nastavku dajemo tekstualno objašnjenje rješenja problema korak po korak. Međutim, na samom kraju, ovo isto rješenje je predstavljeno u prikladnijoj grafičkoj formi. Zainteresovani mogu odmah preći na rješenja.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teorijskom dijelu lekcije). izgleda ovako:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi red slike ispod)

Dužine stranica proizvoljnog trougla određene su varijablama a, b, c.
Ako se stranice povećaju za 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može izvaditi iz zagrada iz sva četiri izraza prema općim pravilima matematike.
Onda

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - na trećem redu slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Kvadratni korijen broja 256 je savršeno izvučen, pa hajde da ga izvadimo ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vidi peti red slike ispod)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u zadatku, samo trebamo podijeliti površinu rezultirajućeg trokuta s površinom originalnog.
Odredimo omjere površina tako što ćemo izraze podijeliti jedni s drugima i smanjiti rezultujući razlomak.

Koncept područja

Koncept površine bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s likom kao što je kvadrat. Za jediničnu površinu bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Radi potpunosti, podsjetimo se dva osnovna svojstva za pojam područja geometrijskih figura.

Nekretnina 1: Ako su geometrijske figure jednake, onda su i njihove površine jednake.

Nekretnina 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štoviše, površina originalne figure jednaka je zbroju površina svih njenih sastavnih figura.

Pogledajmo primjer.

Primjer 1

Očigledno, jedna od stranica trougla je dijagonala pravougaonika, čija jedna strana ima dužinu od $5$ (pošto ima $5$ ćelija), a druga je $6$ (pošto ima $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovini takvog pravokutnika. Površina pravougaonika je

Tada je površina trokuta jednaka

Odgovor: 15$.

Zatim ćemo razmotriti nekoliko metoda za pronalaženje površina trokuta, odnosno pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i površinu jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta koristeći njegovu visinu i osnovu

Teorema 1

Površina trokuta može se naći kao polovina proizvoda dužine stranice i visine te stranice.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ dužina stranice, $h$ je visina povučena do nje.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $ABC$ u kojem je $AC=α$. Visina $BH$ je povučena na ovu stranu, koja je jednaka $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravougaonika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravougaonika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Onda

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Dakle, tražena površina trokuta, po svojstvu 2, jednaka je

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema je dokazana.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na donjoj slici ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnova ovog trougla je $9$ (pošto je $9$ $9$ kvadrata). Visina je također 9$. Tada, prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Odgovor: 40,5$.

Heronova formula

Teorema 2

Ako su nam date tri stranice trougla $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može naći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ označava poluperimetar ovog trougla.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ABH$ dobijamo

Iz trougla $CBH$, prema Pitagorinoj teoremi, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobijamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Pošto je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, što znači

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$