Najmanji zajednički višekratnik tri broja. Zajednički djelitelj i višekratnik

Nastavimo raspravu o najmanjem zajedničkom višekratniku koju smo započeli u LCM-u - Najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri. U ovoj temi ćemo pogledati načine kako pronaći LCM za tri ili više broja, analizirat ćemo pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Već smo uspostavili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja. Sada ćemo naučiti kako definirati LCM kroz GCD. Prvo, hajde da shvatimo kako to učiniti za pozitivne brojeve.

Definicija 1

Najmanji zajednički višekratnik možete pronaći kroz najveći zajednički djelitelj koristeći formulu LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Primjer 1

Potrebno je pronaći LCM brojeva 126 i 70.

Rješenje

Uzmimo a = 126 , b = 70 . Zamijenite vrijednosti u formuli za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Pronalazi GCD brojeva 70 i 126. Za ovo nam je potreban Euklid algoritam: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , dakle gcd (126 , 70) = 14 .

Izračunajmo LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odgovor: LCM (126, 70) = 630.

Primjer 2

Pronađite nok brojeva 68 i 34.

Rješenje

GCD je u ovom slučaju lako pronaći, jer je 68 djeljivo sa 34. Izračunajte najmanji zajednički višekratnik koristeći formulu: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odgovor: LCM(68, 34) = 68.

U ovom primjeru koristili smo pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika pozitivnih cijelih brojeva a i b: ako je prvi broj djeljiv drugim, tada će LCM ovih brojeva biti jednak prvom broju.

Pronalaženje LCM-a razlaganjem brojeva u proste faktore

Pogledajmo sada način da pronađemo LCM, koji se zasniva na dekompoziciji brojeva na proste faktore.

Definicija 2

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:

• sačinjavamo proizvod svih prostih faktora brojeva za koje trebamo pronaći LCM;
• iz njihovih dobijenih proizvoda isključujemo sve primarne faktore;
• proizvod koji se dobije nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora biće jednak LCM datih brojeva.

Ovaj način pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika zasniva se na jednakosti LCM (a , b) = a · b: GCM (a, b) . Ako pogledate formulu, bit će vam jasno: proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora koji su uključeni u proširenje ova dva broja. U ovom slučaju, GCD dva broja jednak je proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ova dva broja.

Primjer 3

Imamo dva broja 75 i 210. Možemo ih izdvojiti ovako: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Ako napravite proizvod svih faktora dva originalna broja, dobijete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ako izuzmemo faktore zajedničke za oba broja 3 i 5, dobićemo proizvod sljedećeg oblika: 2 3 5 5 7 = 1050. Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva 441 I 700 , razlažući oba broja u proste faktore.

Rješenje

Nađimo sve proste faktore brojeva datih u uslovu:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dobijamo dva lanca brojeva: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7 .

Proizvod svih faktora koji su učestvovali u ekspanziji ovih brojeva će izgledati ovako: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hajde da pronađemo zajedničke faktore. Ovaj broj je 7. Isključujemo ga iz opšteg proizvoda: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ispostavilo se da je NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odgovor: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Hajde da damo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM dekomponovanjem brojeva na proste faktore.

Definicija 3

Prethodno smo isključili iz ukupnog broja faktora koji su zajednički za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:

• Razložimo oba broja na proste faktore:
• dodaj proizvodu prostih faktora prvog broja faktore koji nedostaju drugog broja;
• dobijamo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.

Primjer 5

Vratimo se na brojeve 75 i 210 , za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Podijelimo ih na jednostavne faktore: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Na proizvod faktora 3, 5 i 5 broj 75 dodaj faktore koji nedostaju 2 I 7 brojevi 210 . Dobijamo: 2 3 5 5 7 . Ovo je LCM brojeva 75 i 210.

Primjer 6

Potrebno je izračunati LCM brojeva 84 i 648.

Rješenje

Hajde da dekomponujemo brojeve iz uslova na proste faktore: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajte proizvodu faktora 2 , 2 , 3 i 7 brojevi 84 nedostajući faktori 2 , 3 , 3 i
3 brojevi 648 . Dobijamo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ovo je najmanji zajednički višekratnik 84 i 648.

odgovor: LCM (84, 648) = 4536.

Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva

Bez obzira s kojim brojevima imamo posla, algoritam naših akcija će uvijek biti isti: stalno ćemo pronaći LCM dva broja. Za ovaj slučaj postoji teorema.

Teorema 1

Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom proračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Pogledajmo sada kako se teorema može primijeniti na specifične probleme.

Primjer 7

Morate izračunati najmanji zajednički višekratnik od četiri broja 140 , 9 , 54 i 250 .

Rješenje

Hajde da uvedemo notaciju: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Počnimo s izračunavanjem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Koristimo Euklidov algoritam da izračunamo GCD brojeva 140 i 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Dobijamo: GCD (140, 9) = 1, LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Dakle, m 2 = 1 260 .

Sada izračunajmo prema istom algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . U toku proračuna dobijamo m 3 = 3 780.

Ostaje nam da izračunamo m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) . Postupamo po istom algoritmu. Dobijamo m 4 \u003d 94 500.

LCM od četiri broja iz primjera uvjeta je 94500.

odgovor: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Kao što vidite, proračuni su jednostavni, ali prilično naporni. Da uštedite vrijeme, možete ići drugim putem.

Definicija 4

Nudimo vam sljedeći algoritam akcija:

• rastaviti sve brojeve na proste faktore;
• proizvodu faktora prvog broja dodajte faktore koji nedostaju iz proizvoda drugog broja;
• dodati faktore trećeg broja koji nedostaju proizvodu dobijenom u prethodnoj fazi, itd.;
• rezultirajući proizvod će biti najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.

Primjer 8

Potrebno je pronaći LCM od pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Rješenje

Razložimo svih pet brojeva na proste faktore: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Prosti brojevi, a to je broj 7, ne mogu se rastaviti u proste faktore. Takvi brojevi se poklapaju sa njihovom dekompozicijom na proste faktore.

Sada uzmimo proizvod prostih faktora 2, 2, 3 i 7 broja 84 i dodajmo im faktore koji nedostaju drugog broja. Rasporedili smo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u proizvodu prvog broja. Stoga ih izostavljamo.

Nastavljamo sa sabiranjem množitelja koji nedostaju. Okrećemo se broju 48, od proizvoda prostih faktora od kojih uzimamo 2 i 2. Zatim dodajemo jednostavan faktor 7 od četvrtog broja i faktore 11 i 13 od petog. Dobijamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik od pet originalnih brojeva.

odgovor: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višestrukog negativnih brojeva

Da bi se pronašao najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva, te brojeve prvo treba zamijeniti brojevima suprotnog predznaka, a zatim izvršiti proračune prema gore navedenim algoritmima.

Primjer 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) i LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Takve radnje su dozvoljene zbog činjenice da ako se to prihvati a I − a- suprotni brojevi
zatim skup višekratnika a poklapa se sa skupom višekratnika broja − a.

Primjer 10

Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 I − 45 .

Rješenje

Hajde da promenimo brojeve − 145 I − 45 na njihove suprotne brojeve 145 I 45 . Sada, koristeći algoritam, izračunavamo LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , nakon što smo prethodno odredili GCD koristeći Euklid algoritam.

Dobijamo da je LCM brojeva − 145 i − 45 jednaki 1 305 .

odgovor: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

drugi broj: b=

Razdjelnik cifara Nema razmaka " ´

rezultat:

Najveći zajednički djelitelj gcd( a,b)=6

Najmanji zajednički višekratnik LCM( a,b)=468

Poziva se najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka najveći zajednički djelitelj(gcd) ovih brojeva. Označava se gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ili hcf(a,b).

Najmanji zajednički višekratnik(LCM) od dva cijela broja a i b je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa a i b bez ostatka. Označava se LCM(a,b) ili lcm(a,b).

Pozivaju se cijeli brojevi a i b coprime ako nemaju zajedničke djelitelje osim +1 i −1.

Najveći zajednički djelitelj

Neka su data dva pozitivna broja a 1 i a 2 1). Potrebno je pronaći zajednički djelitelj ovih brojeva, tj. pronađite takav broj λ , koji dijeli brojeve a 1 i a 2 u isto vreme. Hajde da opišemo algoritam.

1) U ovom članku, riječ broj će značiti cijeli broj.

Neka a 1 ≥ a 2 i neka

Gdje m 1 , a 3 su neki cijeli brojevi, a 3 <a 2 (ostatak iz divizije a 1 on a 2 bi trebalo biti manje a 2).

Pretvarajmo se to λ deli a 1 i a 2, dakle λ deli m 1 a 2 i λ deli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Tvrdnja 2 članka "Djeljivost brojeva. Znak djeljivosti"). Iz toga slijedi da je svaki zajednički djelitelj a 1 i a 2 je zajednički djelitelj a 2 i a 3 . I obrnuto je tačno ako λ zajednički djelitelj a 2 i a 3 , onda m 1 a 2 i a 1 =m 1 a 2 +a 3 se također dijele na λ . Otuda zajednički djelitelj a 2 i a 3 je također zajednički djelitelj a 1 i a 2. Jer a 3 <a 2 ≤a 1 , onda možemo reći da je rješenje problema nalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 sveden na jednostavniji problem pronalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 2 i a 3 .

Ako a 3 ≠0, onda možemo podijeliti a 2 on a 3 . Onda

,

Gdje m 1 i a 4 su neki cijeli brojevi, ( a 4 ostatak podjele a 2 on a 3 (a 4 <a 3)). Sličnim razmišljanjem dolazimo do zaključka da su zajednički djelitelji brojeva a 3 i a 4 je isto što i zajednički djelitelj brojeva a 2 i a 3 , kao i sa zajedničkim djeliteljima a 1 i a 2. Jer a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... brojevi koji se stalno smanjuju, a budući da postoji konačan broj cijelih brojeva između a 2 i 0, zatim u nekom koraku n, ostatak divizije a n uključeno a n+1 će biti jednako nuli ( a n+2=0).

.

Svaki zajednički djelitelj λ brojevi a 1 i a 2 je također djelitelj brojeva a 2 i a 3 , a 3 i a 4 , .... a n i a n+1 . Vrijedi i obrnuto, zajednički djelitelji brojeva a n i a n+1 su također djelitelji brojeva a n−1 i a n , .... , a 2 i a 3 , a 1 i a 2. Ali zajednički djelitelj a n i a n+1 je broj a n+1 , jer a n i a n+1 su djeljivi sa a n+1 (podsjetite se toga a n+2=0). Dakle a n+1 je također djelitelj brojeva a 1 i a 2 .

Imajte na umu da broj a n+1 je najveći djelitelj broja a n i a n+1 , od najvećeg djelitelja a n+1 je samo po sebi a n+1 . Ako a n + 1 se može predstaviti kao proizvod cijelih brojeva, tada su ovi brojevi također uobičajeni djelitelji brojeva a 1 i a 2. Broj a n+1 se pozivaju najveći zajednički djelitelj brojevi a 1 i a 2 .

Brojevi a 1 i a 2 mogu biti i pozitivni i negativni brojevi. Ako je jedan od brojeva jednak nuli, tada će najveći zajednički djelitelj ovih brojeva biti jednak apsolutnoj vrijednosti drugog broja. Najveći zajednički djelitelj brojeva nula nije definiran.

Gornji algoritam se zove Euklidov algoritam pronaći najveći zajednički djelitelj dva cijela broja.

Primjer pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja

Pronađite najveći zajednički djelitelj dva broja 630 i 434.

• Korak 1. Podijelite broj 630 sa 434. Ostatak je 196.
• Korak 2. Podijelite broj 434 sa 196. Ostatak je 42.
• Korak 3. Podijelite broj 196 sa 42. Ostatak je 28.
• Korak 4. Podijelite broj 42 sa 28. Ostatak je 14.
• Korak 5. Podijelite broj 28 sa 14. Ostatak je 0.

U koraku 5, ostatak dijeljenja je 0. Stoga je najveći zajednički djelitelj brojeva 630 i 434 14. Imajte na umu da su brojevi 2 i 7 također djelitelji brojeva 630 i 434.

Koprosti brojevi

Definicija 1. Neka je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2 je jednako jedan. Tada se ovi brojevi pozivaju koprosti brojevi koji nemaju zajednički djelitelj.

Teorema 1. Ako a 1 i a 2 relativno prosta broja, i λ neki broj, zatim bilo koji zajednički djelitelj brojeva λa 1 i a 2 je također zajednički djelitelj brojeva λ I a 2 .

Dokaz. Razmotrimo Euklidov algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 (vidi gore).

.

Iz uslova teoreme slijedi da je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2 , i stoga a n i a n+1 je 1. tj. a n+1=1.

Pomnožimo sve ove jednakosti sa λ , Onda

.

Neka je zajednički djelitelj a 1 λ I a 2 je δ . Onda δ ulazi kao faktor u a 1 λ , m 1 a 2 λ i u a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Vidi "Djeljivost brojeva", izjava 2). Dalje δ ulazi kao faktor u a 2 λ I m 2 a 3 λ , pa stoga ulazi kao faktor u a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Ovakvim rasuđivanjem u to smo uvjereni δ ulazi kao faktor u a n−1 λ I m n−1 a n λ , a samim tim i u a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Jer a n+1 =1, onda δ ulazi kao faktor u λ . Otuda broj δ je zajednički djelitelj brojeva λ I a 2 .

Razmotrimo posebne slučajeve teoreme 1.

Posljedica 1. Neka a I c prosti brojevi su relativno b. Zatim njihov proizvod ac je prost broj u odnosu na b.

Zaista. Iz teoreme 1 ac I b imaju iste zajedničke djelitelje kao c I b. Ali brojevi c I b coprime, tj. imaju jedan zajednički djelitelj 1. Tada ac I b također imaju jedan zajednički djelitelj 1. Dakle ac I b obostrano jednostavno.

Posljedica 2. Neka a I b koprosti brojevi i neka b deli ak. Onda b deli i k.

Zaista. Iz uslova tvrdnje ak I b imaju zajednički djelitelj b. Na osnovu teoreme 1, b mora biti zajednički djelitelj b I k. Dakle b deli k.

Korolar 1 se može generalizovati.

Posljedica 3. 1. Neka brojevi a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m su prosti u odnosu na broj b. Onda a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , proizvod ovih brojeva je prost u odnosu na broj b.

2. Neka imamo dva reda brojeva

tako da je svaki broj u prvom redu prost u odnosu na svaki broj u drugom redu. Zatim proizvod

Potrebno je pronaći takve brojeve koji su djeljivi sa svakim od ovih brojeva.

Ako je broj djeljiv sa a 1 , onda izgleda sa 1, gdje s neki broj. Ako q je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2, dakle

Gdje s 1 je neki cijeli broj. Onda

je najmanji zajednički umnožak brojeva a 1 i a 2 .

a 1 i a 2 zajedno prost, zatim najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2:

Pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Iz navedenog slijedi da je bilo koji višekratnik brojeva a 1 , a 2 , a 3 mora biti višekratnik brojeva ε I a 3 i obrnuto. Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε I a 3 je ε 1 . Nadalje, višestruki brojevi a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti višekratnik brojeva ε 1 i a 4 . Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε 1 i a 4 je ε 2. Tako smo saznali da su svi višekratnici brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m se poklapaju sa višekratnicima nekog određenog broja ε n , koji se naziva najmanji zajednički višekratnik datih brojeva.

U konkretnom slučaju kada su brojevi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m koprost, tada najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 kao što je gore prikazano ima oblik (3). Dalje, pošto a 3 prosti u odnosu na brojeve a 1 , a 2, dakle a 3 je prost relativni broj a 1 · a 2 (Korolar 1). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 ,a 2 ,a 3 je broj a 1 · a 2 · a 3 . Argumentirajući na sličan način, dolazimo do sljedećih tvrdnji.

Izjava 1. Najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je jednako njihovom proizvodu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m .

Izjava 2. Bilo koji broj koji je djeljiv sa svakim koprostim brojevima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je također djeljiv njihovim umnoškom a 1 · a 2 · a 3 ··· a m .

Višekratnik broja je broj koji je djeljiv datim brojem bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) grupe brojeva je najmanji broj koji je jednako djeljiv sa svakim brojem u grupi. Da biste pronašli najmanji zajednički umnožak, morate pronaći proste faktore datih brojeva. Također, LCM se može izračunati korištenjem niza drugih metoda koje su primjenjive na grupe od dva ili više brojeva.

Koraci

Serija višestrukih

Pogledaj ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su data dva broja koja su oba manja od 10. Ako su dati veliki brojevi, koristite drugu metodu.

• Na primjer, pronađite najmanji zajednički umnožak brojeva 5 i 8. To su mali brojevi, pa se ova metoda može koristiti.

1. Višekratnik broja je broj koji je djeljiv datim brojem bez ostatka. Više brojeva se može naći u tablici množenja.

   • Na primjer, brojevi koji su višestruki od 5 su: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapišite niz brojeva koji su višekratnici prvog broja. Uradite to pod višekratnicima prvog broja da biste uporedili dva reda brojeva.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 8 su: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Pronađite najmanji broj koji se pojavljuje u oba niza višekratnika. Možda ćete morati da napišete duge nizove umnožaka da biste pronašli zbir. Najmanji broj koji se pojavljuje u oba niza višekratnika je najmanji zajednički višekratnik.

   • Na primjer, najmanji broj koji se pojavljuje u nizu višekratnika 5 i 8 je 40. Prema tome, 40 je najmanji zajednički višekratnik 5 i 8.

   Primena faktorizacije

   1. Pogledaj ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su data dva broja koja su oba veća od 10. Ako su dati manji brojevi, koristite drugu metodu.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84. Svaki od brojeva je veći od 10, tako da se ovaj metod može koristiti.

   2. Faktorizirajte prvi broj. Odnosno, trebate pronaći takve proste brojeve, kada se pomnožite, dobijete dati broj. Nakon što ste pronašli proste faktore, zapišite ih kao jednakost.

      • Na primjer, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta 10=20) I 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta (\mathbf (5) )=10). Dakle, prosti činioci broja 20 su brojevi 2, 2 i 5. Zapišite ih kao izraz: .

   3. Faktori drugi broj u proste faktore. Uradite to na isti način kao što ste rastavili na faktore prvi broj, odnosno pronađite takve proste brojeve koji će, kada se pomnože, dobiti ovaj broj.

      • Na primjer, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\puta 6=42) I 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\puta (\mathbf (2) )=6). Dakle, prosti činioci broja 84 su brojevi 2, 7, 3 i 2. Zapišite ih kao izraz: .

   4. Zapišite faktore zajedničke za oba broja. Napišite takve faktore kao operaciju množenja. Dok zapisujete svaki faktor, precrtajte ga u oba izraza (izrazi koji opisuju dekompoziciju brojeva na proste faktore).

      • Na primjer, zajednički faktor za oba broja je 2, pa napišite 2 × (\displaystyle 2\puta) i precrtaj 2 u oba izraza.
      • Zajednički faktor za oba broja je još jedan faktor 2, pa napišite 2 × 2 (\displaystyle 2\puta 2) i precrtajte drugo 2 u oba izraza.

   5. Dodajte preostale faktore operaciji množenja. To su faktori koji nisu precrtani u oba izraza, odnosno faktori koji nisu zajednički za oba broja.

      • Na primjer, u izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\puta 2\puta 5) obje dvije (2) su precrtane jer su zajednički faktori. Faktor 5 nije precrtan, pa zapišite operaciju množenja na sljedeći način: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5)
      • U izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\puta 7\puta 3\puta 2) obje dvojke (2) su također precrtane. Faktori 7 i 3 nisu precrtani, pa zapišite operaciju množenja na sljedeći način: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5\puta 7\puta 3).

   6. Izračunajte najmanji zajednički višekratnik. Da biste to učinili, pomnožite brojeve u pismenoj operaciji množenja.

      • Na primjer, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5\puta 7\puta 3=420). Dakle, najmanji zajednički višekratnik 20 i 84 je 420.

   Pronalaženje zajedničkih djelitelja

   1. Nacrtajte mrežu kao što biste to učinili za igru ​​tic-tac-toe. Takva mreža se sastoji od dvije paralelne linije koje se sijeku (pod pravim uglom) s dvije druge paralelne prave. Ovo će rezultirati tri reda i tri kolone (rešetka liči na znak #). Upišite prvi broj u prvi red i drugu kolonu. Upišite drugi broj u prvi red i treću kolonu.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik 18 i 30. U prvi red i drugu kolonu upišite 18, a u prvi red i treću kolonu upišite 30.

   2. Pronađite djelitelj zajednički za oba broja. Zapišite to u prvi red i prvu kolonu. Bolje je tražiti proste djelitelje, ali to nije preduvjet.

      • Na primjer, 18 i 30 su parni brojevi, pa je njihov zajednički djelitelj 2. Dakle, napišite 2 u prvom redu i prvoj koloni.

   3. Podijelite svaki broj sa prvim djeliteljem. Upišite svaki količnik ispod odgovarajućeg broja. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja.

      • Na primjer, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), pa napiši 9 ispod 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), pa napiši 15 ispod 30.

   4. Pronađite djelitelj zajednički za oba količnika. Ako ne postoji takav djelitelj, preskočite sljedeća dva koraka. U suprotnom, zapišite djelitelj u drugom redu i prvoj koloni.

      • Na primjer, 9 i 15 su djeljivi sa 3, pa upišite 3 u drugi red i prvi stupac.

   5. Podijelite svaki količnik sa drugim djeliteljem. Zapišite svaki rezultat dijeljenja pod odgovarajućim količnikom.

      • Na primjer, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), pa upiši 3 ispod 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), pa napiši 5 ispod 15.

   6. Ako je potrebno, dopunite mrežu dodatnim ćelijama. Ponavljajte gornje korake dok količniki ne budu imali zajednički djelitelj.

   7. Zaokružite brojeve u prvom stupcu i posljednjem redu mreže. Zatim napišite označene brojeve kao operaciju množenja.

      • Na primjer, brojevi 2 i 3 su u prvom stupcu, a brojevi 3 i 5 su u posljednjem redu, pa napišite operaciju množenja ovako: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5).

   8. Pronađite rezultat množenja brojeva. Ovo će izračunati najmanji zajednički višekratnik od dva data broja.

      • Na primjer, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puts 5=90). Dakle, najmanji zajednički višekratnik 18 i 30 je 90.

   Euklidov algoritam

   1. Zapamtite terminologiju povezanu s operacijom podjele. Dividenda je broj koji se dijeli. Delitelj je broj kojim se dijeli. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja. Ostatak je broj koji ostaje kada se podijele dva broja.

      • Na primjer, u izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) odmor. 3:
        15 je djeljivo
        6 je djelitelj
        2 je privatno
        3 je ostatak.

Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo biste trebali odrediti značenje pojma "višestruko".

Višekratnik A je prirodan broj koji je bez ostatka djeljiv sa A. Dakle, 15, 20, 25 i tako dalje se mogu smatrati višekratnicima broja 5.

Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.

Zajednički višekratnik prirodnih brojeva je broj koji je djeljiv s njima bez ostatka.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodni broj koji je jednako djeljiv sa svim ovim brojevima.

Da biste pronašli NOC, možete koristiti nekoliko metoda.

Za male brojeve zgodno je ispisati u red sve višekratnike ovih brojeva dok se među njima ne pronađe zajednički. Višestruki se u zapisu označavaju velikim slovom K.

Na primjer, višekratnici od 4 mogu se napisati ovako:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ovaj unos se izvodi na sljedeći način:

LCM(4, 6) = 24

Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugi način za izračunavanje LCM.

Za izvršenje zadatka potrebno je predložene brojeve rastaviti na proste faktore.

Prvo morate napisati proširenje najvećeg broja u redu, a ispod njega - ostatak.

U proširenju svakog broja može postojati različit broj faktora.

Na primjer, razložimo brojeve 50 i 20 u proste faktore.

U proširenju manjeg broja treba podvući faktore koji nedostaju u proširenju prvog najvećeg broja, a zatim im ih dodati. U prikazanom primjeru nedostaje dvojka.

Sada možemo izračunati najmanji zajednički višekratnik 20 i 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tako će proizvod prostih faktora većeg broja i faktora drugog broja, koji nisu uključeni u dekompoziciju većeg broja, biti najmanji zajednički višekratnik.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, sve ih treba razložiti na proste faktore, kao u prethodnom slučaju.

Kao primjer, možete pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dakle, samo dvije dvojke iz dekompozicije šesnaest nisu uključene u faktorizaciju većeg broja (jedna je u dekompoziciji dvadeset četiri).

Stoga ih je potrebno dodati u dekompoziciju većeg broja.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Postoje posebni slučajevi određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od ovih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.

Na primjer, NOC od dvanaest i dvadeset četiri bi bili dvadeset četiri.

Ako je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik koprostih brojeva koji nemaju iste djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom proizvodu.

Na primjer, LCM(10, 11) = 110.

Ali mnogi prirodni brojevi su jednako djeljivi s drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv (za 12 je 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji brojeva. Delitelj prirodnog broja a je prirodan broj koji dijeli dati broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva faktora naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke djelitelje. Ovo su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a I b je broj kojim su oba data broja djeljiva bez ostatka a I b.

zajednički višestruki nekoliko brojeva naziva se broj koji je djeljiv sa svakim od ovih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim j zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, u ovom slučaju to je 90. Ovaj broj se zove najmanjezajednički višekratnik (LCM).

LCM je uvijek prirodan broj, koji mora biti veći od najvećeg broja za koji je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

komutativnost:

asocijativnost:

Konkretno, ako su i koprosti brojevi , tada:

Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja m I n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m I n. Štaviše, skup zajedničkih višekratnika m,n poklapa se sa skupom višekratnika za LCM( m,n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teoretskih funkcija brojeva.

dakle, Čebiševljeva funkcija. i:

Ovo slijedi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je poznat najveći zajednički djelitelj, možete koristiti njegov odnos s LCM:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

Gdje p 1 ,...,p k su razni prosti brojevi, i d 1 ,...,d k I e 1 ,...,ek su nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nula ako odgovarajući prosti broj nije u proširenju).

Zatim LCM ( a,b) se izračunava po formuli:

Drugim riječima, LCM ekspanzija sadrži sve proste faktore koji su uključeni u barem jednu od proširenja brojeva a, b, a uzima se najveći od dva eksponenta ovog faktora.

Primjer:

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika nekoliko brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračunavanja LCM-a dva broja:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastavljaju brojeve na proste faktore;

- prenesite najveće proširenje na faktore željenog proizvoda (umnožak faktora najvećeg broja datih), a zatim dodajte faktore iz proširenja ostalih brojeva koji se ne javljaju u prvom broju ili se nalaze u njemu manji broj puta;

- rezultirajući proizvod prostih faktora će biti LCM datih brojeva.

Bilo koja dva ili više prirodnih brojeva imaju svoj LCM. Ako brojevi nisu višestruki jedan od drugog ili nemaju iste faktore u ekspanziji, tada je njihov LCM jednak proizvodu ovih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjeni su faktorom 3 (broj 21), rezultirajući proizvod (84) će biti najmanji broj koji je djeljiv sa 21 i 28.

Prosti faktori najvećeg broja 30 dopunjeni su faktorom 5 od broja 25, rezultirajući proizvod 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je svim datim brojevima bez ostatka. Ovo je najmanji mogući proizvod (150, 250, 300...) čiji su svi dati brojevi višekratnici.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti, pa je njihov LCM jednak proizvodu datih brojeva.

pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, morate sve ove brojeve pomnožiti zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički umnožak (LCM) nekoliko brojeva trebate:

1) predstavljaju svaki broj kao proizvod njegovih prostih faktora, na primjer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapisati sve proste djelioce (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) izabrati najveći stepen svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) pomnožite ove moći.

Primjer. Pronađite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Rješenje. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Zapisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.