Matematički model se koristi za. Matematičko modeliranje. Oblik i principi predstavljanja matematičkih modela

29.09.2019

Matematički model b je matematički prikaz stvarnosti.

Matematičko modeliranje- proces izgradnje i proučavanja matematičkih modela.

Sve prirodne i društvene nauke koje koriste matematički aparat se, zapravo, bave matematičkim modeliranjem: zamenjuju stvarni objekat njegovim matematičkim modelom, a zatim ga proučavaju.

Definicije.

Nijedna definicija ne može u potpunosti pokriti stvarnu aktivnost matematičkog modeliranja. Uprkos tome, definicije su korisne jer pokušavaju da istaknu najvažnije karakteristike.

Definicija modela prema A. A. Lyapunovu: Modeliranje je indirektno praktično ili teorijsko proučavanje objekta, u kojem se direktno ne proučava predmet koji nas zanima, već neki pomoćni umjetni ili prirodni sistem:

nalazi u nekoj objektivnoj korespondenciji sa spoznajnim objektom;

može ga zamijeniti u određenim aspektima;

koji tokom svog proučavanja na kraju daje informacije o objektu koji se modelira.

Prema udžbeniku Sovjetova i Jakovljeva: „model je objekat-zamena originalnog objekta, koji obezbeđuje proučavanje nekih svojstava originala“. “Zamjena jednog objekta drugim kako bi se dobile informacije o najvažnijim svojstvima originalnog objekta pomoću objekta modela naziva se modeliranje.” „Pod matematičkim modeliranjem podrazumijevat ćemo proces uspostavljanja korespondencije datom realnom objektu nekog matematičkog objekta, koji se naziva matematički model, i proučavanje ovog modela, koji omogućava dobijanje karakteristika stvarnog objekta koji se razmatra. Vrsta matematičkog modela zavisi kako od prirode stvarnog objekta, tako i od zadataka proučavanja objekta i zahtevane pouzdanosti i tačnosti rešavanja ovog problema.”

Prema Samarskom i Mihajlovu, matematički model je „ekvivalent” objekta, koji u matematičkom obliku odražava njegova najvažnija svojstva: zakone kojima se povinuje, veze svojstvene njegovim sastavnim delovima, itd. On postoji u trijadama “ model-algoritam-program” . Nakon kreiranja trijade “model-algoritam-program”, istraživač dobija univerzalni, fleksibilan i jeftin alat, koji se prvo otklanja i testira u probnim računarskim eksperimentima. Nakon što je utvrđena adekvatnost trijade originalnom objektu, s modelom se izvode različiti i detaljni „eksperimenti“ koji daju sva tražena kvalitativna i kvantitativna svojstva i karakteristike objekta.

Prema monografiji Myshkisa: „Pređimo na opštu definiciju. Hajde da istražimo neki skup S svojstava realnog objekta a sa

uz pomoć matematike. Da bismo to uradili, biramo „matematički objekat“ a" - sistem jednačina, ili aritmetičke relacije, ili geometrijske figure, ili kombinaciju oboje, itd. - čije proučavanje pomoću matematike treba da odgovori na postavljena pitanja o svojstva S. U ovim uslovima a" se naziva matematički model objekta a u odnosu na ukupnost S njegovih svojstava".

Prema A. G. Sevostyanovu: „Matematički model je skup matematičkih odnosa, jednačina, nejednakosti, itd., koji opisuju glavne obrasce svojstvene procesu, objektu ili sistemu koji se proučava.”

Nešto manje opštu definiciju matematičkog modela, zasnovanu na idealizaciji „ulaz-izlaz-stanja” pozajmljenoj iz teorije automata, daje Vikirečnik: „Apstraktni matematički prikaz procesa, uređaja ili teorijske ideje; koristi skup varijabli za predstavljanje ulaza, izlaza i internih stanja, i skupove jednačina i nejednakosti da opiše njihove interakcije.”

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: "Jednačina koja izražava ideju."

Formalna klasifikacija modela.

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često izgrađen u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija je:

Linearni ili nelinearni modeli; Koncentrisani ili distribuirani sistemi; Deterministički ili stohastički; Statički ili dinamički; diskretno ili kontinuirano.

i tako dalje. Svaki konstruisani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički,... Naravno, mogući su i mješoviti tipovi: koncentrirani u jednom pogledu, distribuirani modeli u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu na koji je predmet predstavljen.

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

Strukturni modeli predstavljaju objekat kao sistem sa sopstvenim uređajem i mehanizmom funkcionisanja. Funkcionalni modeli ne koriste takve reprezentacije i odražavaju samo spoljašnje percipirano ponašanje objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju se i modelima "crne kutije", a mogući su i kombinovani tipovi modela, koji se ponekad nazivaju i "sivom kutijom".

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja ukazuju na to da se prvo gradi posebna idealna konstrukcija, smisleni model. Ovdje nema utvrđene terminologije, a drugi autori ovaj idealni objekt nazivaju konceptualnim modelom, spekulativnim modelom ili predmodelom. U ovom slučaju, konačna matematička konstrukcija naziva se formalni model ili jednostavno matematički model koji se dobija kao rezultat formalizacije ovog modela sadržaja. Smisleni model se može izgraditi korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna klatna, elastični mediji, itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u oblastima znanja u kojima ne postoje potpuno završene formalizovane teorije, stvaranje smislenih modela postaje mnogo komplikovanije.

Rad R. Peierlsa daje klasifikaciju matematičkih modela koji se koriste u fizici i, šire, u prirodnim naukama. U knjizi A. N. Gorbana i R. G. Khleboprosa ova je klasifikacija analizirana i proširena. Ova klasifikacija je prvenstveno fokusirana na fazu konstruisanja smislenog modela.

Ovi modeli "predstavljaju probni opis fenomena, a autor ili vjeruje u njegovu mogućnost, ili čak smatra da je istinita." Prema R. Peierlsu, na primjer, model Sunčevog sistema prema Ptolomeju i Kopernikanski model, Rutherfordov model atoma i model Velikog praska.

Nijedna hipoteza u nauci ne može se dokazati jednom za svagda. Richard Feynman je to vrlo jasno rekao:

“Uvijek imamo mogućnost da opovrgnemo teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je tačna. Pretpostavimo da ste postavili uspješnu hipotezu, izračunali kuda ona vodi i ustanovili da su sve njene posljedice eksperimentalno potvrđene. Da li to znači da je vaša teorija tačna? Ne, to jednostavno znači da to niste uspjeli opovrgnuti.

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je on privremeno prepoznat kao istinit i da se može koncentrirati na druge probleme. Međutim, to ne može biti poenta istraživanja, već samo privremena pauza: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Fenomenološki model sadrži mehanizam za opisivanje fenomena. Međutim, ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili se ne slaže dobro sa dostupnim teorijama i akumuliranim znanjem o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat i da je potrebno nastaviti potragu za "istinskim mehanizmima". Peierls odnosi, na primjer, kalorični model i kvarkov model elementarnih čestica na drugi tip.

Uloga modela u istraživanju može se vremenom promijeniti, može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se oni nadograđuju na

status hipoteze. Isto tako, nova znanja mogu postupno doći u sukob sa modelima-hipotezama prvog tipa, a mogu se prenijeti na drugi. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici je nastao kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije prešao u prvi tip. Ali eterski modeli su prešli iz tipa 1 u tip 2, i sada su izvan nauke.

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje je drugačije. Peierls razlikuje tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija. Među njima su modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

Ako koristimo model idealnog plina za opisivanje dovoljno razrijeđenih plinova, onda je ovo model tipa 3. Pri većim gustinama plina, također je korisno zamisliti jednostavniju situaciju idealnog plina za kvalitativno razumijevanje i evaluaciju, ali onda je to već tip 4. .

U modelu tipa 4, detalji se odbacuju koji mogu primjetno i ne uvijek kontrolirano utjecati na rezultat. Iste jednadžbe mogu poslužiti kao model tipa 3 ili tipa 4, ovisno o fenomenu koji se model koristi za proučavanje. Dakle, ako se koriste modeli linearnog odziva u nedostatku složenijih modela, onda su to već fenomenološki linearni modeli i pripadaju sljedećem tipu 4.

Primjeri: primjena modela idealnog plina na neidealni, van der Waalsova jednadžba stanja, većina modela fizike čvrstog stanja, tekućine i nuklearne fizike. Put od mikroopisa do svojstava tijela koja se sastoje od velikog broja čestica je veoma dugačak. Mnogi detalji moraju biti izostavljeni. To dovodi do modela 4. tipa.

Heuristički model zadržava samo kvalitativnu sličnost sa stvarnošću i predviđa predviđanja samo "po redu veličine". Tipičan primjer je aproksimacija srednjeg slobodnog puta u kinetičkoj teoriji. Daje jednostavne formule za koeficijente viskoznosti, difuzije, toplotne provodljivosti, u skladu sa realnošću po redu veličine.

Ali kada se gradi nova fizika, daleko je od toga da se odmah dobije model koji daje barem kvalitativan opis objekta - model petog tipa. U ovom slučaju, model se često koristi po analogiji, koji barem na neki način odražava stvarnost.

R. Peierls citira istoriju upotrebe analogija u prvom članku W. Heisenberga o prirodi nuklearnih sila. “Ovo se dogodilo nakon otkrića neutrona, i iako je sam W. Heisenberg shvatio da se jezgra mogu opisati kao da se sastoje od neutrona i protona, još uvijek se nije mogao riješiti ideje da bi se neutron na kraju trebao sastojati od protona i elektrona. . U ovom slučaju je nastala analogija između interakcije u sistemu neutron-proton i interakcije atoma vodika i protona. Upravo ta analogija ga je dovela do zaključka da između neutrona i protona moraju postojati razmjenske sile interakcije, koje su analogne silama izmjene u H − H sistemu, zbog tranzicije elektrona između dva protona. ... Kasnije je ipak dokazano postojanje razmjenskih sila interakcije između neutrona i protona, iako one nisu u potpunosti iscrpljene

interakcija između dvije čestice... Ali, slijedeći istu analogiju, W. Heisenberg je došao do zaključka da ne postoje nuklearne sile interakcije između dva protona i do postulacije odbijanja između dva neutrona. Oba ova potonja nalaza su u suprotnosti sa nalazima kasnijih studija.

A. Ajnštajn je bio jedan od velikih majstora misaonog eksperimenta. Evo jednog od njegovih eksperimenata. Izmišljena je u mladosti i na kraju je dovela do izgradnje specijalne teorije relativnosti. Pretpostavimo da u klasičnoj fizici pratimo svjetlosni val brzinom svjetlosti. Promatraćemo elektromagnetno polje koje se periodično menja u prostoru i konstantno je u vremenu. Prema Maxwellovim jednačinama, to ne može biti. Iz ovoga je mladi Ajnštajn zaključio: ili se zakoni prirode menjaju kada se promeni referentni okvir, ili brzina svetlosti ne zavisi od referentnog okvira. Odabrao je drugu - ljepšu opciju. Još jedan poznati Einsteinov misaoni eksperiment je paradoks Einstein-Podolsky-Rosen.

A evo i tipa 8, koji se široko koristi u matematičkim modelima bioloških sistema.

Ovo su također misaoni eksperimenti sa imaginarnim entitetima, koji pokazuju da je navodni fenomen u skladu s osnovnim principima i interno konzistentan. To je glavna razlika u odnosu na modele tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Jedan od najpoznatijih takvih eksperimenata je geometrija Lobačevskog. Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela hemijskih i bioloških oscilacija, autotalasa, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je zamišljen kao model tipa 7 kako bi se demonstrirala nekonzistentnost kvantne mehanike. Na potpuno neplanski način, na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.

Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od opruge pričvršćene na jednom kraju i tereta mase m pričvršćenog na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se opterećenje može kretati samo u smjeru ose opruge. Hajde da napravimo matematički model ovog sistema. Stanje sistema ćemo opisati rastojanjem x od centra tereta do njegovog ravnotežnog položaja. Interakciju opruge i opterećenja opisujemo koristeći Hookeov zakon, nakon čega koristimo drugi Newtonov zakon da ga izrazimo u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugi izvod od x u odnosu na vrijeme..

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj obrazac se naziva "harmonički oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamičan, koncentrisan, kontinuiran. U procesu njegove izgradnje napravili smo mnoge pretpostavke koje možda nisu istinite u stvarnosti.

U odnosu na stvarnost, to je najčešće model tipa 4, simplifikacija, jer su neke bitne univerzalne karakteristike izostavljene. U nekoj aproksimaciji, takav model prilično dobro opisuje pravi mehanički sistem, jer

odbačeni faktori imaju zanemarljiv uticaj na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih faktora. To će dovesti do novog modela, sa širim opsegom.

Međutim, kada se model usavrši, složenost njegovog matematičkog proučavanja može se značajno povećati i učiniti model praktično beskorisnim. Često vam jednostavniji model omogućava bolje i dublje istraživanje stvarnog sistema od složenijeg.

Ako model harmonijskog oscilatora primenimo na objekte koji su daleko od fizike, njegov značajni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerovatnije ga treba pripisati analogiji tipa 6.

Tvrdi i mekani modeli.

Harmonski oscilator je primjer takozvanog "tvrdog" modela. Dobija se kao rezultat snažne idealizacije realnog fizičkog sistema. Da bismo riješili pitanje njegove primjenjivosti, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Drugim riječima, potrebno je istražiti "meki" model, koji se dobija malom perturbacijom "tvrdog". Može se dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

Ovdje - neka funkcija, koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stupnju njenog rastezanja, ε - neki mali parametar. Eksplicitni oblik funkcije f nas trenutno ne zanima. Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog modela, problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače će primjena rezultata dobivenih u proučavanju krutog modela zahtijevati dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika

Odnosno, oscilacije sa konstantnom amplitudom. Da li iz ovoga slijedi da će pravi oscilator oscilirati neograničeno s konstantnom amplitudom? Ne, jer uzimajući u obzir sistem sa proizvoljno malim trenjem, dobijamo prigušene oscilacije. Ponašanje sistema se kvalitativno promijenilo.

Ako sistem zadrži svoje kvalitativno ponašanje pod malom perturbacijom, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonski oscilator je primjer strukturno nestabilnog sistema. Međutim, ovaj model se može koristiti za proučavanje procesa u ograničenim vremenskim intervalima.

Svestranost modela.

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo univerzalnosti: fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije nivoa tekućine u posudi u obliku slova U, ili promjena jačine struje u oscilatornom kolu. Dakle, proučavajući jedan matematički model, proučavamo odjednom čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja doveo Ludwiga von Bertalanffyja da stvori Opću teoriju sistema.

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

tijela od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija, nakon čega se sastavljaju jednadžbe, usput se neki detalji odbacuju kao beznačajni, vrše se proračuni, upoređuju sa mjerenjima, usavršava se model itd. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne sastavne elemente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan zadatak: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je proučavanje modela kako bi se izvuklo korisno znanje o objektu. Koje statičko opterećenje most može izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje, kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od treperenja - to su tipični primjeri direktnog problema. Formulacija ispravnog direktnog problema zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postave prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je napravljen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. godine u Velikoj Britaniji srušio metalni most preko rijeke Tey, čiji su projektanti napravili model mosta, izračunali ga za 20-struku sigurnosnu granicu za nosivost, ali su zaboravili na vjetrove koji stalno duvaju u tim mostovima. mjesta. I nakon godinu i po dana je propao.

IN U najjednostavnijem slučaju, direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednadžbe.

Inverzni problem: poznat je skup mogućih modela, potrebno je izabrati određeni model na osnovu dodatnih podataka o objektu. Najčešće je struktura modela poznata i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati od dodatnih empirijskih podataka ili zahtjeva za objekt. Dodatni podaci mogu doći nezavisno od procesa rješavanja inverznog problema ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog u toku rješavanja.

Jedan od prvih primjera virtuoznog rješenja inverznog problema uz što potpunije korištenje dostupnih podataka bila je metoda koju je konstruirao I. Newton za rekonstrukciju sila trenja iz uočenih prigušenih oscilacija.

IN Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove nauke je razvoj metoda za snimanje, opisivanje i analizu opservacionih i eksperimentalnih podataka u cilju izgradnje verovatnosnih modela masovnih nasumičnih pojava. One. skup mogućih modela je ograničen vjerojatnosnim modelima. U specifičnim problemima, skup modela je ograničeniji.

Računarski sistemi modeliranja.

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su kompjuterski matematički sistemi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućavaju da kreirate formalne i blok modele jednostavnih i složenih procesa i uređaja i lako mijenjate parametre modela tokom simulacija. Blok modeli su predstavljeni blokovima, čiji je skup i veza određen dijagramom modela.

Dodatni primjeri.

Stopa rasta je proporcionalna trenutnoj veličini populacije. Opisuje se diferencijalnom jednadžbom

gdje je α neki parametar određen razlikom između plodnosti i mortaliteta. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija x = x0 e. Ako stopa nataliteta premašuje stopu smrtnosti, veličina populacije raste neograničeno i vrlo brzo. Jasno je da se to u stvarnosti ne može dogoditi zbog ograničenosti

resurse. Kada se dostigne određena kritična veličina populacije, model prestaje da bude adekvatan, jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Preciznost Malthusovog modela može biti logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom

gdje je xs "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta tačno kompenzirana stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti xs , a ovo ponašanje je strukturno stabilno.

Pretpostavimo da na određenoj teritoriji žive dvije vrste životinja: zečevi i lisice. Neka je broj zečeva x, broj lisica y. Koristeći Malthusov model sa potrebnim korekcijama, uzimajući u obzir ishranu zečeva lisicama, dolazimo do sledećeg sistema koji nosi naziv Lotka-Volterra modela:

Ovaj sistem ima ravnotežno stanje kada je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do fluktuacija u broju zečeva i lisica, slično fluktuacijama u harmonijskom oscilatoru. Kao iu slučaju harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije stanovništva će nestati. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje, Volterra-Lotka model ne daje odgovor: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

Matematički modeli

Matematički model - približan opiopis objekta modeliranja, izražen pomoćuschyu matematički simbolizam.

Matematički modeli su se pojavili zajedno sa matematikom pre mnogo vekova. Ogroman podsticaj razvoju matematičkog modeliranja dala je pojava kompjutera. Upotreba kompjutera omogućila je analizu i primjenu mnogih matematičkih modela koji ranije nisu bili podložni analitičkom istraživanju. Računarski implementiran matematičkimodel neba pozvao kompjuterski matematički model, A izvođenje ciljanih proračuna korištenjem kompjuterskog modela pozvao kompjuterski eksperiment.

Faze kompjuterskog matematičkog mobrisanje prikazano na slici. Prvopozornici - definisanje ciljeva modeliranja. Ovi ciljevi mogu biti različiti:

model je potreban da bi se razumjelo kako određeni objekt funkcionira, kakva je njegova struktura, osnovna svojstva, zakoni razvoja i interakcije
sa spoljnim svetom (razumevanje);
potreban je model kako bi se naučilo kako upravljati objektom (ili procesom) i odrediti najbolje načine upravljanja za date ciljeve i kriterije (upravljanje);
model je potreban kako bi se mogle predvideti direktne i indirektne posledice primene navedenih metoda i oblika uticaja na objekat (prognoza).

Objasnimo primjerima. Neka predmet proučavanja bude interakcija strujanja tekućine ili plina s tijelom koje je prepreka tom strujanju. Iskustvo pokazuje da sila otpora strujanju sa strane tijela raste sa povećanjem brzine strujanja, ali pri nekoj dovoljno velikoj brzini ta sila naglo opada da bi se ponovno povećala s daljnjim povećanjem brzine. Što je uzrokovalo smanjenje sile otpora? Matematičko modeliranje nam omogućava da dobijemo jasan odgovor: u trenutku naglog smanjenja otpora, vrtlozi koji nastaju u strujanju tekućine ili plina iza aerodinamičnog tijela počinju se odvajati od njega i odnijeti ih strujanjem.

Primjer iz potpuno drugačijeg područja: mirno koegzistirajući sa stabilnim brojem populacija dvije vrste jedinki sa zajedničkom prehrambenom bazom, "odjednom" počinju dramatično mijenjati svoj broj. I ovdje matematičko modeliranje omogućava (sa određenim stepenom sigurnosti) da se utvrdi uzrok (ili barem da se pobije određena hipoteza).

Razvoj koncepta upravljanja objektima je još jedan mogući cilj modeliranja. Koji režim leta aviona treba izabrati da bi let bio bezbedan i ekonomski najisplativiji? Kako zakazati stotine vrsta radova na izgradnji velikog objekta da se što prije završi? Mnogi takvi problemi se sistematski pojavljuju pred ekonomistima, dizajnerima i naučnicima.

Konačno, predviđanje posledica određenih uticaja na objekat može biti kako relativno jednostavna stvar u jednostavnim fizičkim sistemima, tako i izuzetno složena - na granici izvodljivosti - u biološkim, ekonomskim, društvenim sistemima. Ako je relativno lako odgovoriti na pitanje o promjeni načina širenja topline u tankom štapu s promjenama njegove sastavne legure, onda je neuporedivo teže ući u trag (predvidjeti) ekološke i klimatske posljedice konstrukcije jedne velike hidroelektrane ili društvene posljedice promjena poreskog zakonodavstva. Možda će i ovdje metode matematičkog modeliranja pružiti značajniju pomoć u budućnosti.

druga faza: definisanje ulaznih i izlaznih parametara modela; podjela ulaznih parametara prema stepenu važnosti uticaja njihovih promjena na izlaz. Ovaj proces se naziva rangiranje, ili podjela po rangu (vidi dolje). „Formalisacija i modeliranje").

Treća faza: konstrukcija matematičkog modela. U ovoj fazi dolazi do prelaska sa apstraktne formulacije modela na formulaciju koja ima specifičan matematički prikaz. Matematički model su jednačine, sistemi jednačina, sistemi nejednačina, diferencijalne jednačine ili sistemi takvih jednačina, itd.

Četvrta faza: izbor metode za proučavanje matematičkog modela. Najčešće se ovdje koriste numeričke metode koje se dobro uklapaju u programiranje. Za rješavanje istog problema u pravilu je pogodno nekoliko metoda, koje se razlikuju po preciznosti, stabilnosti itd. Uspjeh cjelokupnog procesa modeliranja često ovisi o pravilnom izboru metode.

peta faza: razvoj algoritma, kompilacija i otklanjanje grešaka u kompjuterskom programu je proces koji je teško formalizovati. Od programskih jezika, mnogi profesionalci za matematičko modeliranje preferiraju FORTRAN: kako zbog tradicije, tako i zbog nenadmašne efikasnosti kompajlera (za računski rad) i prisutnosti ogromnih, pažljivo ispravljenih i optimiziranih biblioteka standardnih programa matematičkih metoda napisanih na to. U upotrebi su i jezici kao što su PASCAL, BASIC, C, ovisno o prirodi zadatka i sklonostima programera.

Šesta faza: testiranje programa. Rad programa se testira na test problemu sa poznatim odgovorom. Ovo je samo početak procedure testiranja koju je teško opisati na formalno iscrpan način. Obično se testiranje završava kada korisnik, prema svojim profesionalnim karakteristikama, smatra da je program ispravan.

Sedma faza: stvarni računarski eksperiment, tokom kojeg postaje jasno da li model odgovara stvarnom objektu (procesu). Model je dovoljno adekvatan stvarnom procesu ako se neke karakteristike procesa dobijene na računaru poklapaju sa eksperimentalno dobijenim karakteristikama sa datim stepenom tačnosti. Ako model ne odgovara stvarnom procesu, vraćamo se na jednu od prethodnih faza.

Klasifikacija matematičkih modela

Klasifikacija matematičkih modela može se zasnivati na različitim principima. Moguće je klasifikovati modele po granama nauke (matematički modeli u fizici, biologiji, sociologiji itd.). Može se klasifikovati prema primenjenom matematičkom aparatu (modeli zasnovani na upotrebi običnih diferencijalnih jednadžbi, parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, stohastičkih metoda, diskretnih algebarskih transformacija itd.). Konačno, ako pođemo od opštih zadataka modeliranja u različitim naukama, bez obzira na matematički aparat, najprirodnija je sljedeća klasifikacija:

deskriptivni (deskriptivni) modeli;
modeli optimizacije;
višekriterijumski modeli;
modeli igara.

Objasnimo ovo primjerima.

Deskriptivni (deskriptivni) modeli. Na primjer, simulacije kretanja komete koja napada Sunčev sistem napravljene su kako bi se predvidjela njena putanja leta, udaljenost koju će proći od Zemlje itd. U ovom slučaju, ciljevi modeliranja su deskriptivni, jer ne postoji način da se utiče na kretanje komete, da se nešto u njoj promeni.

Optimizacijski modeli koriste se za opisivanje procesa na koje se može utjecati u pokušaju postizanja zadanog cilja. U ovom slučaju, model uključuje jedan ili više parametara na koje se može utjecati. Na primjer, promjenom termičkog režima u žitnici može se postaviti cilj da se izabere takav režim kako bi se postigla maksimalna očuvanost zrna, tj. optimizirati proces skladištenja.

Višekriterijumski modeli. Često je potrebno optimizirati proces u nekoliko parametara istovremeno, a ciljevi mogu biti vrlo kontradiktorni. Na primjer, znajući cijene hrane i potrebe čovjeka za hranom, potrebno je fiziološki pravilno i istovremeno što jeftinije organizirati ishranu velikih grupa ljudi (u vojsci, dječiji ljetni kamp itd.). . Jasno je da se ovi ciljevi uopšte ne poklapaju; pri modeliranju će se koristiti nekoliko kriterija između kojih se mora tražiti balans.

Modeli igara može se odnositi ne samo na kompjuterske igrice, već i na vrlo ozbiljne stvari. Na primjer, prije bitke, ako postoje nepotpune informacije o protivničkoj vojsci, zapovjednik mora izraditi plan: kojim redoslijedom uvesti određene jedinice u bitku itd., uzimajući u obzir moguću reakciju neprijatelja. Postoji poseban dio moderne matematike - teorija igara - koji proučava metode donošenja odluka u uslovima nepotpunih informacija.

U školskom predmetu informatike učenici dobijaju početnu ideju o računarskom matematičkom modeliranju u sklopu osnovnog predmeta. U srednjoj školi, matematičko modeliranje se može detaljnije izučavati u okviru opšteobrazovnog predmeta za nastavu fizike i matematike, kao iu okviru specijalizovanog izbornog predmeta.

Osnovni oblici nastave računarskog matematičkog modeliranja u srednjoj školi su predavanja, laboratorijska i kreditna nastava. Obično rad na kreiranju i pripremi za proučavanje svakog novog modela traje 3-4 lekcije. U toku izlaganja gradiva postavljaju se zadaci koje bi ubuduće učenici trebali sami rješavati, općenito se navode načini njihovog rješavanja. Formuliraju se pitanja čije odgovore treba dobiti prilikom izvršavanja zadataka. Navedena je dodatna literatura koja omogućava dobijanje pomoćnih informacija za uspešnije izvršavanje zadataka.

Oblik organizacije nastave u proučavanju novog gradiva je obično predavanje. Nakon završetka rasprave o sljedećem modelu studenti imaju na raspolaganju potrebne teorijske informacije i set zadataka za dalji rad. U pripremi za zadatak učenici biraju odgovarajuću metodu rješenja, koristeći neko poznato privatno rješenje, testiraju razvijeni program. U slučaju sasvim mogućih poteškoća u obavljanju zadataka, daje se konsultacija, daje se prijedlog da se ovi dijelovi detaljnije razrade u literaturi.

Za praktični dio nastave računarskog modeliranja najrelevantniji je metod projekata. Zadatak je formulisan za studenta u formi obrazovnog projekta i izvodi se kroz nekoliko časova, a glavni organizacioni oblik u ovom slučaju je rad u računarskoj laboratoriji. Učenje modeliranja koristeći metodu projekta učenja može se implementirati na različitim nivoima. Prvi je prikaz problema procesa implementacije projekta, koji vodi nastavnik. Drugi je implementacija projekta od strane učenika pod vodstvom nastavnika. Treći je samostalna realizacija obrazovnog istraživačkog projekta od strane studenata.

Rezultate rada treba prikazati u numeričkom obliku, u obliku grafikona, dijagrama. Ako je moguće, proces se prikazuje na ekranu računara u dinamici. Po završetku proračuna i prijema rezultata, oni se analiziraju, upoređuju sa poznatim činjenicama iz teorije, potvrđuje se pouzdanost i vrši smisleno tumačenje, što se naknadno odražava u pisanom izvještaju.

Ako rezultati zadovoljavaju učenika i nastavnika, onda rad broji završena, a njena završna faza je izrada izvještaja. Izvještaj sadrži kratke teorijske podatke o temi koja se proučava, matematičku formulaciju problema, algoritam rješenja i njegovu opravdanost, kompjuterski program, rezultate programa, analizu rezultata i zaključaka, listu literature.

Kada su svi izvještaji sastavljeni, na ispitnoj sesiji studenti sastavljaju kratke izvještaje o obavljenom radu, brane svoj projekat. Ovo je efikasan oblik izvještaja projektnog tima razredu, uključujući postavljanje problema, izgradnju formalnog modela, odabir metoda za rad sa modelom, implementaciju modela na računaru, rad sa gotovim modelom, interpretaciju rezultata, prognoziranje. Kao rezultat, studenti mogu dobiti dvije ocjene: prvu - za razradu projekta i uspješnost njegove odbrane, drugu - za program, optimalnost njegovog algoritma, interfejsa itd. Ocjene studenti dobijaju i na ispitima iz teorije.

Osnovno pitanje je koje alate koristiti u školskom kursu informatike za matematičko modeliranje? Kompjuterska implementacija modela može se izvesti:

korištenje proračunske tablice (obično MS Excel);
kreiranjem programa u tradicionalnim programskim jezicima (Pascal, BASIC, itd.), kao i u njihovim modernim verzijama (Delphi, Visual
Basic for Application, itd.);
korištenjem posebnih softverskih paketa za rješavanje matematičkih problema (MathCAD, itd.).

Na nivou osnovne škole, čini se da je prvi lijek poželjniji. Međutim, u srednjoj školi, kada je programiranje, uz modeliranje, ključna tema informatike, poželjno ga je uključiti kao alat za modeliranje. U procesu programiranja studentima postaju dostupni detalji matematičkih procedura; štaviše, jednostavno su prisiljeni da ih savladaju, a to doprinosi i matematičkom obrazovanju. Što se tiče upotrebe posebnih softverskih paketa, to je prikladno u profilnom kursu informatike kao dopuna drugim alatima.

Vježbajte :

Navedite ključne koncepte.

BILJEŠKE S PREDAVANJA

Po stopi

"Matematičko modeliranje mašina i transportnih sistema"

Predmet se bavi pitanjima koja se odnose na matematičko modeliranje, sa oblikom i principom predstavljanja matematičkih modela. Razmatraju se numeričke metode za rješavanje jednodimenzionalnih nelinearnih sistema. Istaknuta su pitanja kompjuterskog modeliranja i računskog eksperimenta. Razmatraju se metode obrade podataka dobijenih kao rezultat naučnih ili industrijskih eksperimenata; istraživanje različitih procesa, identifikacija obrazaca u ponašanju objekata, procesa i sistema. Razmatraju se metode interpolacije i aproksimacije eksperimentalnih podataka. Razmatraju se pitanja vezana za kompjutersku simulaciju i rješavanje nelinearnih dinamičkih sistema. Posebno se razmatraju metode numeričke integracije i rješavanja običnih diferencijalnih jednadžbi prvog, drugog i višeg reda.

Predavanje: Matematičko modeliranje. Oblik i principi predstavljanja matematičkih modela

Predavanje se bavi opštim pitanjima matematičkog modeliranja. Data je klasifikacija matematičkih modela.

Računari su čvrsto ušli u naše živote i praktično ne postoji takva oblast ljudske aktivnosti u kojoj se računari ne bi koristili. Računari se danas široko koriste u procesu stvaranja i istraživanja novih mašina, novih tehnoloških procesa i traženja njihovih optimalnih opcija; u rješavanju ekonomskih problema, u rješavanju problema planiranja i upravljanja proizvodnjom na različitim nivoima. Stvaranje velikih objekata u raketnoj industriji, avionogradnji, brodogradnji, kao i projektovanje brana, mostova i sl., uglavnom je nemoguće bez upotrebe računara.

Za korištenje računara u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti "preveden" na formalni matematički jezik, tj. za stvarni objekat, proces ili sistem, mora se izgraditi njegov matematički model.

Riječ "model" dolazi od latinskog modus (kopija, slika, obris). Modeliranje je zamjena nekog objekta A drugim objektom B. Zamijenjeni objekt A naziva se original ili objekt modeliranja, a zamjena B naziva se model. Drugim riječima, model je objekt-zamjena originalnog objekta, pružajući proučavanje nekih svojstava originala.

Svrha modeliranja je da se dobiju, obrađuju, prezentiraju i koriste informacije o objektima koji su u interakciji jedni s drugima i vanjskim okruženjem; a model ovdje djeluje kao sredstvo za poznavanje svojstava i obrazaca ponašanja objekta.

Modeliranje se široko koristi u različitim oblastima ljudske aktivnosti, posebno u oblastima dizajna i menadžmenta, gde su procesi donošenja efektivnih odluka na osnovu dobijenih informacija posebni.

Model se uvijek gradi sa određenim ciljem na umu, koji utiče na to koja svojstva objektivne pojave su značajna, a koja nisu. Model je, takoreći, projekcija objektivne stvarnosti sa određene tačke gledišta. Ponekad, ovisno o ciljevima, možete dobiti brojne projekcije objektivne stvarnosti koje dolaze u sukob. To je tipično, po pravilu, za složene sisteme, u kojima svaka projekcija izdvaja ono što je bitno za određenu svrhu iz skupa nebitnih.

Teorija modeliranja je grana nauke koja proučava načine proučavanja svojstava originalnih objekata na osnovu njihove zamjene drugim modelskim objektima. Teorija sličnosti je u osnovi teorije modeliranja. Prilikom modeliranja ne dolazi do apsolutne sličnosti, već se samo nastoji osigurati da model dovoljno dobro odražava proučavanu stranu funkcionisanja objekta. Apsolutna sličnost se može dogoditi samo kada se jedan objekt zamijeni drugim potpuno istim.

Svi modeli se mogu podijeliti u dvije klase:

1. pravi,

2. savršeno.

Zauzvrat, pravi modeli se mogu podijeliti na:

1. prirodni,

2. fizički,

3. matematički.

Idealni modeli se mogu podijeliti na:

1. vizuelni,

2. kultni,

3. matematički.

Realni modeli pune skale su stvarni objekti, procesi i sistemi na kojima se izvode naučni, tehnički i industrijski eksperimenti.

Pravi fizički modeli su makete, modeli koji reproduciraju fizička svojstva originala (kinematički, dinamički, hidraulički, termički, električni, svjetlosni modeli).

Pravi matematički su analogni, strukturni, geometrijski, grafički, digitalni i kibernetički modeli.

Idealni vizuelni modeli su dijagrami, karte, crteži, grafovi, grafovi, analozi, strukturni i geometrijski modeli.

Idealni modeli znakova su simboli, abeceda, programski jezici, uređena notacija, topološka notacija, mrežna reprezentacija.

Idealni matematički modeli su analitički, funkcionalni, simulacijski, kombinovani modeli.

U gornjoj klasifikaciji, neki modeli imaju dvostruku interpretaciju (na primjer, analogni). Svi modeli, osim onih u punoj skali, mogu se kombinovati u jednu klasu mentalnih modela, jer oni su proizvod čovjekovog apstraktnog mišljenja.

Zaustavimo se na jednoj od najuniverzalnijih vrsta modeliranja - matematičkom, koja u korespondenciju sa simuliranim fizičkim procesom stavlja sistem matematičkih odnosa, čije rješenje vam omogućava da dobijete odgovor na pitanje o ponašanju objekta bez stvaranje fizičkog modela, koji se često pokaže skupim i neefikasnim.

Matematičko modeliranje je način proučavanja stvarnog objekta, procesa ili sistema zamjenom istih matematičkim modelom koji je pogodniji za eksperimentalno istraživanje korištenjem kompjutera.

Matematički model je približna reprezentacija stvarnih objekata, procesa ili sistema, izražena matematičkim terminima i zadržavajući bitne karakteristike originala. Matematički modeli u kvantitativnom obliku, uz pomoć logičkih i matematičkih konstrukcija, opisuju glavna svojstva objekta, procesa ili sistema, njegove parametre, unutrašnje i eksterne veze.

U opštem slučaju, matematički model realnog objekta, procesa ili sistema predstavlja se kao sistem funkcionala

F i (X,Y,Z,t)=0,

gdje je X vektor ulaznih varijabli, X= t ,

Y - vektor izlaznih varijabli, Y= t ,

Z - vektor vanjskih utjecaja, Z= t ,

t - vremenska koordinata.

Izgradnja matematičkog modela sastoji se u određivanju odnosa između određenih procesa i pojava, stvaranju matematičkog aparata koji omogućava kvantitativno i kvalitativno izražavanje odnosa između određenih procesa i pojava, između fizičkih veličina od interesa za specijaliste i faktora koji utiču na konačni rezultat.

Obično ih ima toliko da nije moguće uvesti cijeli njihov skup u model. Prilikom konstruisanja matematičkog modela, prije istraživanja, postavlja se zadatak da se identifikuju i iz razmatranja izuzmu faktori koji ne utiču bitno na konačni rezultat (matematički model obično uključuje znatno manji broj faktora nego što je to u stvarnosti). Na osnovu eksperimentalnih podataka postavljaju se hipoteze o odnosu između veličina koje izražavaju konačni rezultat i faktora koji se unose u matematički model. Takva veza se često izražava sistemima diferencijalnih jednačina u parcijalnim derivatima (na primjer, u problemima mehanike čvrste tvari, tekućine i plina, teorije filtracije, provođenja toplote, teorije elektrostatičkih i elektrodinamičkih polja).

Krajnji cilj ove faze je formulacija matematičkog problema, čije rješenje, s potrebnom tačnošću, izražava rezultate koji su od interesa za specijaliste.

Oblik i principi predstavljanja matematičkog modela zavise od mnogih faktora.

Prema principima konstrukcije, matematički modeli se dijele na:

1. analitički;

2. imitacija.

U analitičkim modelima, procesi funkcionisanja stvarnih objekata, procesa ili sistema zapisani su u obliku eksplicitnih funkcionalnih zavisnosti.

Analitički model je podijeljen na tipove ovisno o matematičkom problemu:

1. jednadžbe (algebarske, transcendentalne, diferencijalne, integralne),

2. aproksimacijski problemi (interpolacija, ekstrapolacija, numerička integracija i diferencijacija),

3. problemi optimizacije,

4. stohastički problemi.

Međutim, kako objekt modeliranja postaje složeniji, izgradnja analitičkog modela postaje nerješiv problem. Tada je istraživač primoran koristiti simulacijsko modeliranje.

U simulacionom modeliranju, funkcionisanje objekata, procesa ili sistema opisuje se skupom algoritama. Algoritmi oponašaju stvarne elementarne pojave koje čine proces ili sistem zadržavajući svoju logičku strukturu i slijed u vremenu. Simulacijsko modeliranje omogućava da se iz početnih podataka dobiju informacije o stanjima procesa ili sistema u određenim vremenskim momentima, ali je teško predvidjeti ponašanje objekata, procesa ili sistema. Možemo reći da su simulacijski modeli kompjuterski bazirani računarski eksperimenti sa matematičkim modelima koji simuliraju ponašanje stvarnih objekata, procesa ili sistema.

U zavisnosti od prirode proučavanih realnih procesa i sistema, matematički modeli mogu biti:

1. deterministički,

2. stohastički.

U determinističkim modelima pretpostavlja se da nema slučajnih uticaja, da su elementi modela (varijable, matematički odnosi) prilično dobro uspostavljeni i da se ponašanje sistema može precizno odrediti. Prilikom konstruisanja determinističkih modela najčešće se koriste algebarske jednadžbe, integralne jednadžbe i matrična algebra.

Stohastički model uzima u obzir slučajnu prirodu procesa u objektima i sistemima koji se proučavaju, što se opisuje metodama teorije vjerovatnoće i matematičke statistike.

Prema vrsti ulaznih informacija, modeli se dijele na:

1. kontinuirano,

2. diskretno.

Ako su informacije i parametri kontinuirani, a matematički odnosi stabilni, onda je model kontinuiran. I obrnuto, ako su informacije i parametri diskretni, a veze nestabilne, onda je i matematički model diskretan.

Prema ponašanju modela u vremenu, dijele se na:

1. statički,

2. dinamičan.

Statički modeli opisuju ponašanje objekta, procesa ili sistema u bilo kojem trenutku. Dinamički modeli odražavaju ponašanje objekta, procesa ili sistema tokom vremena.

Prema stepenu korespondencije između matematičkog modela i stvarnog objekta, procesa ili sistema, matematički modeli se dijele na:

1. izomorfan (isti oblik),

2. homomorfni (različiti oblikom).

Model se naziva izomorfnim ako postoji potpuna korespondencija element po element između njega i stvarnog objekta, procesa ili sistema. Homomorfno - ako postoji korespondencija samo između najznačajnijih komponenti objekta i modela.

U budućnosti, za kratku definiciju tipa matematičkog modela u gornjoj klasifikaciji, koristićemo sljedeću notaciju:

prvo slovo:

D - deterministički,

C - stohastički.

Drugo pismo:

H - kontinuirano,

D - diskretno.

Treće pismo:

A - analitičko,

I - imitacija.

1. Ne postoji (tačnije, ne uzima se u obzir) uticaj slučajnih procesa, tj. deterministički model (D).

2. Informacije i parametri su kontinuirani, tj. model - kontinuirani (H),

3. Funkcionisanje modela koljenastog mehanizma opisano je u obliku nelinearnih transcendentalnih jednačina, tj. model - analitički (A)

2. Predavanje: Osobine građenja matematičkih modela

Predavanje opisuje proces izgradnje matematičkog modela. Dat je verbalni algoritam procesa.

Matematički modeli u kvantitativnom obliku, uz pomoć logičkih i matematičkih konstrukcija, opisuju glavna svojstva objekta, procesa ili sistema, njegove parametre, unutrašnje i eksterne veze.

Da biste napravili matematički model, potrebno vam je:

1. pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;

2. istaći njegove najznačajnije karakteristike i svojstva;

3. definisati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne karakteristike i svojstva objekta;

4. opisati zavisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sistema od vrijednosti varijabli koristeći logičke i matematičke odnose (jednačine, jednakosti, nejednačine, logičke i matematičke konstrukcije);

5. istaći unutrašnje veze objekta, procesa ili sistema koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije;

6. odrediti vanjske odnose i opisati ih korištenjem ograničenja, jednačina, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija.

Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sistema i sastavljanja njihovog matematičkog opisa, uključuje i:

1. konstrukcija algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sistema;

2. provjeru adekvatnosti modela i objekta, procesa ili sistema na osnovu računskog i prirodnog eksperimenta;

3. prilagođavanje modela;

4. korištenje modela.

Matematički opis procesa i sistema koji se proučavaju zavisi od:

1. priroda realnog procesa ili sistema i sastavlja se na osnovu zakona fizike, hemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.

2. potrebna pouzdanost i tačnost proučavanja i proučavanja realnih procesa i sistema.

U fazi izbora matematičkog modela utvrđuju se: linearnost i nelinearnost objekta, procesa ili sistema, dinamičnost ili statičnost, stacionarnost ili nestacionarnost, kao i stepen determinisanosti objekta ili procesa pod studija. U matematičkom modeliranju, namjerno se apstrahuje od specifične fizičke prirode objekata, procesa ili sistema i uglavnom se fokusira na proučavanje kvantitativnih zavisnosti između veličina koje opisuju ove procese.

Matematički model nikada nije potpuno identičan predmetu, procesu ili sistemu. Na osnovu pojednostavljenja, idealizacije, to je približan opis objekta. Stoga su rezultati dobijeni analizom modela približni. Njihova tačnost je određena stepenom adekvatnosti (korespondencije) modela i objekta.

Izgradnja matematičkog modela obično počinje izgradnjom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje, njegova korespondencija s objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Morate odrediti površinu stola. Obično se za to mjere njegova dužina i širina, a zatim se dobiveni brojevi množe. Takav elementarni postupak zapravo znači sljedeće: stvarni objekt (ploha stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom – pravokutnikom. Dimenzije dobivene kao rezultat mjerenja dužine i širine površine stola pripisuju se pravokutniku, a površina takvog pravokutnika se približno uzima kao željena površina stola.

Međutim, model pravougaonika stola je najjednostavniji, najgrublji model. Uz ozbiljniji pristup problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine tablice, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu izvršiti na sljedeći način: izmjerite dužine suprotnih strana stola, kao i dužine njegovih dijagonala i uporedite ih međusobno. Ako su, uz traženi stepen tačnosti, dužine suprotnih strana i dužine dijagonala u paru jednake, tada se površina stola zaista može smatrati pravougaonikom. U suprotnom, model pravougaonika će morati biti odbačen i zamijenjen općim modelom četverougla. Uz veći zahtjev za preciznošću, možda će biti potrebno dodatno precizirati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje uglova stola.

Koristeći ovaj jednostavan primjer, pokazalo se da matematički model nije jednoznačno određen objektom, procesom ili sistemom koji se proučava. Za istu tabelu možemo prihvatiti ili model pravougaonika, ili složeniji model opšteg četvorougla, ili četvorougao sa zaobljenim uglovima. Izbor jednog ili drugog modela određen je zahtjevom tačnosti. Sa sve većom preciznošću, model se mora komplikovati, uzimajući u obzir nove i nove karakteristike objekta, procesa ili sistema koji se proučava.

Razmotrimo još jedan primjer: proučavanje kretanja koljenastog mehanizma (slika 2.1).

Rice. 2.1.

Za kinematičku analizu ovog mehanizma, prije svega, potrebno je izgraditi njegov kinematički model. Za ovo:

1. Mehanizam zamjenjujemo njegovom kinematičkom šemom, gdje su sve karike zamijenjene krutim karikama;

2. Koristeći ovu šemu izvodimo jednačinu kretanja mehanizma;

3. Diferencirajući potonje, dobijamo jednačine brzina i ubrzanja, koje su diferencijalne jednadžbe 1. i 2. reda.

Napišimo ove jednačine:

gdje je C 0 krajnja desna pozicija klizača C:

r je poluprečnik radilice AB;

l je dužina klipnjače BC;

- ugao rotacije poluge;

Rezultirajuće transcendentalne jednadžbe predstavljaju matematički model gibanja ravnog aksijalnog koljenastog mehanizma zasnovan na sljedećim pojednostavljujućim pretpostavkama:

1. Nisu nas zanimali konstruktivni oblici i raspored masa uključenih u mehanizam tijela, te smo sva tijela mehanizma zamijenili segmentima linija. Zapravo, sve karike mehanizma imaju masu i prilično složen oblik. Na primjer, klipnjača je složena montažna veza, čiji će oblik i dimenzije, naravno, utjecati na kretanje mehanizma;

2. prilikom konstruisanja matematičkog modela kretanja mehanizma koji se razmatra, takođe nismo uzeli u obzir elastičnost tela uključenih u mehanizam, tj. sve karike su smatrane kao apstraktna apsolutno kruta tijela. U stvarnosti, sva tijela uključena u mehanizam su elastična tijela. Kada se mehanizam kreće, oni će se nekako deformirati, u njima se mogu čak pojaviti i elastične vibracije. Sve će to, naravno, uticati i na kretanje mehanizma;

3. nismo uzeli u obzir grešku izrade karika, praznine u kinematičkim parovima A, B, C itd.

Stoga je važno još jednom naglasiti da što su zahtjevi za tačnost rezultata rješavanja problema veći, to je veća potreba da se prilikom konstruiranja matematičkog modela uzmu u obzir karakteristike objekta, procesa ili sistema koji se proučava. Međutim, važno je stati ovdje na vrijeme, jer se složeni matematički model može pretvoriti u težak zadatak.

Model se najjednostavnije gradi kada su dobro poznati zakoni koji određuju ponašanje i svojstva objekta, procesa ili sistema, a postoji dosta praktičnog iskustva u njihovoj primjeni.

Komplikovanija situacija nastaje kada je naše znanje o objektu, procesu ili sistemu koji se proučava nije dovoljno. U ovom slučaju, prilikom konstruisanja matematičkog modela, potrebno je napraviti dodatne pretpostavke koje su u prirodi hipoteza, takav model se naziva hipotetički. Zaključci izvedeni iz proučavanja takvog hipotetičkog modela su uslovni. Da bi se potvrdili zaključci, potrebno je uporediti rezultate proučavanja modela na kompjuteru sa rezultatima eksperimenta punog opsega. Dakle, pitanje primjenjivosti određenog matematičkog modela na proučavanje predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra nije matematičko pitanje i ne može se riješiti matematičkim metodama.

Glavni kriterij istine je eksperiment, praksa u najširem smislu riječi.

Izgradnja matematičkog modela u primijenjenim problemima jedna je od najsloženijih i najodgovornijih faza rada. Iskustvo pokazuje da u mnogim slučajevima odabir pravog modela znači više od pola rješavanja problema. Teškoća ove faze je u tome što zahtijeva kombinaciju matematičkog i specijalnog znanja. Stoga je veoma važno da matematičari pri rješavanju primijenjenih problema imaju posebna znanja o objektu, a njihovi partneri specijalisti određenu matematičku kulturu, istraživačko iskustvo u svojoj oblasti, poznavanje računara i programiranja.

Predavanje 3. Računarsko modeliranje i računski eksperiment. Rješavanje matematičkih modela

Računarsko modeliranje kao nova metoda naučnog istraživanja zasniva se na:

1. izgradnja matematičkih modela za opisivanje procesa koji se proučavaju;

2. korištenje najnovijih kompjutera velike brzine (milioni operacija u sekundi) i sposobnih za vođenje dijaloga sa osobom.

Suština kompjuterske simulacije je sljedeća: na osnovu matematičkog modela izvodi se niz računskih eksperimenata uz pomoć kompjutera, tj. proučavaju se svojstva objekata ili procesa, pronalaze njihovi optimalni parametri i načini rada, usavršava se model. Na primjer, ako imate jednadžbu koja opisuje tok određenog procesa, možete promijeniti njegove koeficijente, početne i granične uslove i istražiti kako će se objekt ponašati u ovom slučaju. Štaviše, moguće je predvidjeti ponašanje objekta u različitim uvjetima.

Računarski eksperiment omogućava zamjenu skupog eksperimenta punog opsega kompjuterskim proračunima. Omogućava u kratkom vremenu i bez značajnih materijalnih troškova da se izvrši proučavanje velikog broja opcija za projektovani objekat ili proces za različite načine njegovog rada, što značajno smanjuje vreme potrebno za razvoj složenih sistema i njihovo uvođenje. u proizvodnju.

Kompjutersko modeliranje i računarski eksperiment kao nova metoda naučnog istraživanja čini neophodnim unapređenje matematičkog aparata koji se koristi u konstrukciji matematičkih modela, omogućava, korišćenjem matematičkih metoda, usavršavanje i usložnjavanje matematičkih modela. Najperspektivnije za izvođenje računskog eksperimenta je njegova upotreba za rješavanje velikih znanstvenih, tehničkih i društveno-ekonomskih problema našeg vremena (projektovanje reaktora za nuklearne elektrane, projektovanje brana i hidroelektrana, magnetohidrodinamičkih pretvarača energije, te u oblasti ekonomije). - izrada balansiranog plana za industriju, regiju, za državu, itd.).

U nekim procesima u kojima je eksperiment punog opsega opasan po život i zdravlje ljudi, kompjuterski eksperiment je jedini mogući (termonuklearna fuzija, istraživanje svemira, projektovanje i istraživanje hemijskih i drugih industrija).

Da bi se provjerila adekvatnost matematičkog modela i stvarnog objekta, procesa ili sistema, rezultati istraživanja na računaru upoređuju se s rezultatima eksperimenta na eksperimentalnom uzorku punog opsega. Rezultati verifikacije se koriste za korekciju matematičkog modela ili se rešava pitanje primenljivosti konstruisanog matematičkog modela na projektovanje ili proučavanje datih objekata, procesa ili sistema.

U zaključku, još jednom naglašavamo da kompjuterska simulacija i računski eksperiment omogućavaju da se proučavanje "nematematičkog" objekta svede na rješenje matematičkog problema. To otvara mogućnost korištenja dobro razvijenog matematičkog aparata za njegovo proučavanje u kombinaciji sa moćnom kompjuterskom tehnologijom. Ovo je osnova za korištenje matematike i kompjutera za poznavanje zakona stvarnog svijeta i njihovu primjenu u praksi.

U zadacima projektovanja ili proučavanja ponašanja realnih objekata, procesa ili sistema, matematički modeli su po pravilu nelinearni, jer moraju odražavati stvarne fizičke nelinearne procese koji se dešavaju u njima. Istovremeno, parametri (varijable) ovih procesa su međusobno povezani fizičkim nelinearnim zakonima. Stoga se u problemima projektovanja ili proučavanja ponašanja realnih objekata, procesa ili sistema najčešće koriste matematički modeli tipa DND.

Prema klasifikaciji datoj u predavanju 1:

D - model je deterministički, nema (tačnije, ne uzima se u obzir) uticaja slučajnih procesa.

H - model je kontinuiran, informacije i parametri su kontinuirani.

A - analitički model, funkcionisanje modela je opisano u obliku jednačina (linearni, nelinearni, sistemi jednačina, diferencijalne i integralne jednačine).

Dakle, izgradili smo matematički model razmatranog objekta, procesa ili sistema, tj. prikazao primijenjeni problem kao matematički. Nakon toga počinje druga faza rješavanja primijenjenog problema - traženje ili razvoj metode za rješavanje formulisanog matematičkog problema. Metoda bi trebala biti prikladna za implementaciju na računaru, osigurati potreban kvalitet rješenja.

Sve metode za rješavanje matematičkih problema mogu se podijeliti u 2 grupe:

1. tačne metode rješavanja problema;

2. numeričke metode za rješavanje problema.

U egzaktnim metodama za rješavanje matematičkih problema, odgovor se može dobiti u obliku formula.

Na primjer, izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe:

ili, na primjer, izračunavanje derivacijskih funkcija:

ili izračunavanje određenog integrala:

Međutim, zamjenom brojeva u formulu kao konačnih decimalnih razlomaka, i dalje dobivamo približne vrijednosti rezultata.

Za većinu problema koji se susreću u praksi, tačne metode rješenja su ili nepoznate ili daju vrlo glomazne formule. Međutim, oni nisu uvijek neophodni. Primijenjeni problem se može smatrati praktično riješenim ako ga možemo riješiti sa potrebnim stepenom tačnosti.

Za rješavanje takvih problema razvijene su numeričke metode u kojima se rješavanje složenih matematičkih problema svodi na sekvencijalno izvršavanje velikog broja jednostavnih aritmetičkih operacija. Direktan razvoj numeričkih metoda pripada računskoj matematici.

Primjer numeričke metode je metoda pravokutnika za približnu integraciju, koja ne zahtijeva izračunavanje antiderivata za integrand. Umjesto integrala, izračunava se konačni kvadraturni zbir:

x 1 =a - donja granica integracije;

x n+1 =b – gornja granica integracije;

n je broj segmenata na koje je podijeljen interval integracije (a,b);

je dužina elementarnog segmenta;

f(x i) je vrijednost integranda na krajevima elementarnih segmenata integracije.

Što je veći broj segmenata n na koje je podijeljen interval integracije, približno rješenje je bliže pravom, tj. što je rezultat tačniji.

Dakle, u primijenjenim zadacima, kako kada se koriste metode egzaktnog rješenja, tako i kada se koriste metode numeričkog rješenja, rezultati proračuna su približni. Važno je samo osigurati da se greške uklapaju u potrebnu tačnost.

Numeričke metode za rješavanje matematičkih problema bile su poznate već dugo, čak i prije pojave računara, ali su se rijetko koristile i to samo u relativno jednostavnim slučajevima zbog izuzetne složenosti proračuna. Široka upotreba numeričkih metoda postala je moguća zahvaljujući kompjuterima.

Prema udžbeniku Sovetova i Jakovljeva: "model (lat. modulus - mjera) je objekt-zamjena originalnog objekta, koji omogućava proučavanje nekih svojstava originala." (str. 6) “Zamjena jednog objekta drugim kako bi se uz pomoć modela objekta dobile informacije o najvažnijim svojstvima originalnog objekta naziva se modeliranje.” (str. 6) „Pod matematičkim modeliranjem shvatićemo proces uspostavljanja korespondencije datom realnom objektu nekog matematičkog objekta, koji se naziva matematički model, i proučavanje ovog modela, koji omogućava dobijanje karakteristika stvarnog objekta koji se razmatra . Vrsta matematičkog modela zavisi kako od prirode stvarnog objekta tako i od zadataka proučavanja objekta i od potrebne pouzdanosti i tačnosti rešavanja ovog problema.

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: „Jednačina koja izražava ideju».

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često izgrađen u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija je:

i tako dalje. Svaki konstruisani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički,... Naravno, mogući su i mešoviti tipovi: koncentrisani u jednom pogledu (u smislu parametara), distribuirani modeli u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu na koji je objekat predstavljen

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

Strukturni ili funkcionalni modeli

Strukturni modeli predstavljaju objekat kao sistem sa sopstvenim uređajem i mehanizmom funkcionisanja. funkcionalni modeli ne koriste takve reprezentacije i odražavaju samo spoljašnje percipirano ponašanje (funkcionisanje) objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju ih i modelima "crne kutije". Mogući su i kombinovani tipovi modela, koji se ponekad nazivaju "modeli" siva kutija».

Sadržajni i formalni modeli

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja ukazuju da se prvo gradi posebna idealna konstrukcija, tj. model sadržaja. Ovdje nema utvrđene terminologije, a drugi autori ovaj objekt nazivaju idealnim konceptualni model , spekulativni model ili premodel. U ovom slučaju se zove konačna matematička konstrukcija formalni model ili samo matematički model dobijen kao rezultat formalizacije ovog modela sadržaja (predmodela). Smisleni model se može izgraditi korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna klatna, elastični mediji, itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u oblastima znanja u kojima ne postoje potpuno završene formalizovane teorije (najveća oštrica fizike, biologije, ekonomije, sociologije, psihologije i većine drugih oblasti), stvaranje smislenih modela je dramatično složenije.

Smislena klasifikacija modela

Nijedna hipoteza u nauci ne može se dokazati jednom za svagda. Richard Feynman je to vrlo jasno rekao:

“Uvijek imamo mogućnost da opovrgnemo teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je tačna. Pretpostavimo da ste postavili uspješnu hipotezu, izračunali kuda ona vodi i ustanovili da su sve njene posljedice eksperimentalno potvrđene. Da li to znači da je vaša teorija tačna? Ne, to jednostavno znači da to niste uspjeli opovrgnuti.

Tip 2: Fenomenološki model (ponašati se kao da…)

Uloga modela u istraživanju može se vremenom mijenjati, može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se promovišu u status hipoteze. Isto tako, nova znanja mogu postupno doći u sukob sa modelima-hipotezama prvog tipa, a mogu se prenijeti na drugi. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici je nastao kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije prešao u prvi tip. Ali eterski modeli su prešli iz tipa 1 u tip 2, i sada su izvan nauke.

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje je drugačije. Peierls razlikuje tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Tip 3: Aproksimacija (nešto se smatra veoma velikim ili veoma malim)

Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

A evo i tipa 8, koji se široko koristi u matematičkim modelima bioloških sistema.

Tip 8: Demonstracija mogućnosti (glavna stvar je pokazati unutrašnju konzistentnost mogućnosti)

Ovo su također misaoni eksperimenti. sa imaginarnim entitetima koji to pokazuju navodni fenomen u skladu sa osnovnim principima i interno konzistentan. To je glavna razlika u odnosu na modele tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Jedan od najpoznatijih ovih eksperimenata je geometrija Lobačevskog (Lobačevski ju je nazvao "imaginarna geometrija"). Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela hemijskih i bioloških oscilacija, autotalasa, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je zamišljen kao model tipa 7 kako bi se demonstrirala nekonzistentnost kvantne mehanike. Na potpuno neplanski način, na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.

Primjer

Razmotrimo mehanički sistem koji se sastoji od opruge pričvršćene na jednom kraju i tereta mase, pričvršćenog na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se opterećenje može kretati samo u smjeru ose opruge (na primjer, kretanje se događa duž šipke). Hajde da napravimo matematički model ovog sistema. Stanje sistema ćemo opisati rastojanjem od centra opterećenja do njegovog ravnotežnog položaja. Opišimo interakciju opruge i opterećenja pomoću Hookeov zakon() nakon čega koristimo drugi Newtonov zakon da ga izrazimo u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugi izvod od s obzirom na vrijeme: .

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj obrazac se naziva "harmonički oscilator".

U odnosu na stvarnost, najčešće se radi o modelu tipa 4. pojednostavljenje(„izostavljamo neke detalje radi jasnoće“), budući da su neke bitne univerzalne karakteristike (na primjer, disipacija) izostavljene. U nekoj aproksimaciji (recimo, dok je odstupanje opterećenja od ravnoteže malo, sa malim trenjem, ne predugo i podložan određenim drugim uslovima), takav model prilično dobro opisuje stvarni mehanički sistem, budući da su odbačeni faktori imaju zanemariv uticaj na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih faktora. To će dovesti do novog modela, sa širim (iako opet ograničenim) opsegom.

Tvrdi i mekani modeli

Ovdje - neka funkcija, koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stupnju njenog istezanja - neki mali parametar. Eksplicitni oblik funkcije nas trenutno ne zanima. Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog modela (bez obzira na eksplicitni oblik remetalnih faktora, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače će primjena rezultata dobivenih u proučavanju krutog modela zahtijevati dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika , odnosno oscilacije sa konstantnom amplitudom. Da li iz ovoga slijedi da će pravi oscilator oscilirati neograničeno s konstantnom amplitudom? Ne, jer uzimajući u obzir sistem sa proizvoljno malim trenjem (uvek prisutno u realnom sistemu), dobijamo prigušene oscilacije. Ponašanje sistema se kvalitativno promijenilo.

Ako sistem zadrži svoje kvalitativno ponašanje pod malom perturbacijom, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonski oscilator je primjer strukturno nestabilnog (nehrapavog) sistema. Međutim, ovaj model se može koristiti za proučavanje procesa u ograničenim vremenskim intervalima.

Univerzalnost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo univerzalnost: fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije nivoa tekućine u posudi u obliku oblika ili promjena jačine struje u oscilatornom kolu. Dakle, proučavajući jedan matematički model, proučavamo odjednom čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja doveo Ludwiga von Bertalanffyja da stvori "Opću teoriju sistema".

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo, potrebno je osmisliti osnovnu shemu objekta koji se modelira, reproducirati ga u okviru idealizacije ove nauke. Dakle, vagon se pretvara u sistem ploča i složenijih tijela napravljenih od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustina, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se sastavljaju jednačine, a neki detalji se odbacuju. kao beznačajan na putu., vrše se proračuni, upoređuju se sa mjerenjima, model se dorađuje i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne sastavne elemente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan problem: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je proučavanje modela kako bi se izvuklo korisno znanje o objektu. Koje statičko opterećenje most može izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika, ili na prolazak voza različitim brzinama), kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri direktnog zadatka. Postavljanje ispravnog direktnog problema (postavljanje ispravnog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postave prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je napravljen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. u Velikoj Britaniji srušio metalni most preko rijeke Tey, čiji su projektanti izgradili model mosta, izračunali ga za 20-struku granicu sigurnosti za nosivost, ali su zaboravili na vjetrove koji stalno duvaju. ta mjesta. I nakon godinu i po dana je propao.

U najjednostavnijem slučaju (jedna oscilatorna jednadžba, na primjer), direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednačine.

Inverzni problem: poznato je mnogo mogućih modela, potrebno je odabrati određeni model na osnovu dodatnih podataka o objektu. Najčešće je struktura modela poznata i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati u dodatnim empirijskim podacima, ili u zahtjevima za objekt ( projektantski zadatak). Dodatni podaci mogu doći bez obzira na proces rješavanja inverznog problema ( pasivno posmatranje) ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tokom rješenja ( aktivni nadzor).

Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove nauke je razvoj metoda za snimanje, opisivanje i analizu opservacionih i eksperimentalnih podataka u cilju izgradnje verovatnosnih modela masovnih nasumičnih pojava. One. skup mogućih modela je ograničen vjerojatnosnim modelima. U specifičnim problemima, skup modela je ograničeniji.

Sistemi kompjuterske simulacije

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su kompjuterski matematički sistemi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućavaju da kreirate formalne i blok modele jednostavnih i složenih procesa i uređaja i lako mijenjate parametre modela tokom simulacija. Block Models predstavljeni su blokovima (najčešće grafičkim), čiji su skup i veza specificirani dijagramom modela.

Dodatni primjeri

Malthusov model

Stopa rasta je proporcionalna trenutnoj veličini populacije. Opisuje se diferencijalnom jednadžbom

gdje je određeni parametar određen razlikom između nataliteta i stope smrtnosti. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija. Ako stopa nataliteta premašuje stopu smrtnosti (), veličina populacije se povećava neograničeno i vrlo brzo. Jasno je da se to u stvarnosti ne može dogoditi zbog ograničenih resursa. Kada se dostigne određena kritična veličina populacije, model prestaje da bude adekvatan, jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Preciznost Malthusovog modela može biti logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom

gdje je "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta tačno kompenzirana stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti i ovo ponašanje je strukturno stabilno.

sistem grabežljivac-plijen

Recimo da na određenom području žive dvije vrste životinja: zečevi (jedu biljke) i lisice (jedu zečeve). Neka je broj zečeva, broj lisica. Koristeći Malthusov model sa potrebnim korekcijama, uzimajući u obzir ishranu zečeva lisicama, dolazimo do sledećeg sistema koji nosi naziv modeli sa tacnama - Volterra:

Ovaj sistem ima ravnotežno stanje u kojem je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do fluktuacija u broju zečeva i lisica, slično fluktuacijama u harmonijskom oscilatoru. Kao iu slučaju harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse potrebne zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije stanovništva će nestati. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje, Volterra-Lotka model ne daje odgovor: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

Bilješke

"Matematički prikaz stvarnosti" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mihajlov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. - 2. izdanje, ispravljeno. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Modeliranje tehnoloških procesa: udžbenik / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. - M.: Laka i prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
Vikirječnik: matematički modeli
CliffsNotes.com. Glosar nauke o Zemlji. 20. septembar 2010
Model redukcije i pristupi grubog zrnatosti za fenomene više razmjera, Springer, Complexity serija, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4
“Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom, u zavisnosti od toga koji – linearni ili nelinearni – matematički aparat, koje – linearne ili nelinearne – matematičke modele koristi. ... ne poričući ovo drugo. Moderni fizičar, kada bi slučajno redefinirao tako važan entitet kao što je nelinearnost, najvjerovatnije bi postupio drugačije, i, preferirajući nelinearnost kao važniju i uobičajeniju od dvije suprotnosti, definisao bi linearnost kao "ne-ne- linearnost". Danilov Yu. A., Predavanja o nelinearnoj dinamici. Elementarni uvod. Sinergetika: od prošlosti do serije budućnosti. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
„Dinamički sistemi modelovani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednačina nazivaju se paušalnim ili tačkastim sistemima. Oni su opisani korištenjem konačno-dimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Jedan te isti sistem pod različitim uslovima može se smatrati ili koncentrisanim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sistema su parcijalne diferencijalne jednačine, integralne jednačine ili obične jednačine kašnjenja. Broj stepeni slobode distribuiranog sistema je beskonačan, a za određivanje njegovog stanja potreban je beskonačan broj podataka. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, br. 11, str. 77-84.
“U zavisnosti od prirode proučavanih procesa u sistemu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističko i stohastičko, statičko i dinamičko, diskretno, kontinuirano i diskretno-kontinuirano. Determinističko modeliranje prikazuje determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja odsustvo bilo kakvih slučajnih uticaja; stohastičko modeliranje prikazuje probabilističke procese i događaje. … Statičko modeliranje se koristi za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku, dok dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tokom vremena. Diskretno modeliranje služi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno kontinuirano modeliranje vam omogućava da reflektujete kontinuirane procese u sistemima, a diskretno-kontinuirano modeliranje se koristi za slučajeve u kojima želite da istaknete prisustvo i diskretnih i kontinuiranih procesa. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Obično matematički model odražava strukturu (uređenje) objekta koji se modelira, svojstva i međusobne veze komponenti ovog objekta koje su bitne za potrebe proučavanja; takav model se naziva strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira – na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje – onda se naziva funkcionalnom ili, figurativno, crnom kutijom. Mogući su i kombinovani modeli. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
„Očigledna, ali najvažnija početna faza izgradnje ili odabira matematičkog modela je da se što jasnije o objektu koji se modelira i da se na osnovu neformalnih diskusija usavrši njegov sadržajni model. U ovoj fazi ne treba štedjeti vrijeme i napore, od toga umnogome ovisi uspjeh cjelokupne studije. Više puta se dešavalo da se značajan rad utrošen na rješavanje matematičkog problema pokazao nedjelotvornim ili čak uzaludan zbog nedovoljne pažnje ovoj strani stvari. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
« Opis konceptualnog modela sistema. U ovoj podfazi izgradnje modela sistema: a) konceptualni model M se opisuje apstraktnim terminima i konceptima; b) opis modela je dat koristeći tipične matematičke šeme; c) hipoteze i pretpostavke su konačno prihvaćene; d) izbor postupka za aproksimaciju stvarnih procesa prilikom izgradnje modela je utemeljen. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Primijenjena matematika: Predmet, logika, karakteristike pristupa. Sa primjerima iz mehanike: Udžbenik. - 3. izd., Rev. i dodatne - M.: URSS, 2006. - 376 str. ISBN 5-484-00163-3, Poglavlje 2.

vektor ulaznih varijabli, X= t,

Y - vektor izlaznih varijabli, Y= t,

Z - vektor spoljnih uticaja, Z= t,

t - vremenska koordinata.

Zgrada matematički model sastoji se u utvrđivanju veza između određenih procesa i pojava, stvaranju matematičkog aparata koji omogućava da se kvantitativno i kvalitativno izrazi odnos između određenih procesa i pojava, između fizičkih veličina od interesa za specijaliste i faktora koji utiču na konačni rezultat.

Obično ih ima toliko da nije moguće uvesti cijeli njihov skup u model. Prilikom izgradnje matematički model prije studije postavlja se zadatak identificirati i isključiti iz razmatranja faktore koji ne utječu bitno na konačni rezultat ( matematički model obično uključuje mnogo manji broj faktora nego u stvarnosti). Na osnovu eksperimentalnih podataka postavljaju se hipoteze o odnosu između veličina koje izražavaju konačni rezultat i faktora uvedenih u matematički model. Takav odnos se često izražava sistemima diferencijala parcijalne diferencijalne jednadžbe(na primjer, u problemima mehanike čvrstog tijela, tekućine i plina, teoriji filtracije, provodljivosti topline, teoriji elektrostatičkih i elektrodinamičkih polja).

Krajnji cilj ove faze je formulacija matematičkog problema, čije rješenje, s potrebnom tačnošću, izražava rezultate koji su od interesa za specijaliste.

Forma i principi prezentacije matematički model zavisi od mnogo faktora.

Po principima gradnje matematički modeli podijeljen u:

analitički;
imitacija.

U analitičkim modelima, procesi funkcionisanja stvarnih objekata, procesa ili sistema zapisani su u formi eksplicitnog funkcionalne zavisnosti.

Analitički model je podijeljen na tipove ovisno o matematičkom problemu:

jednadžbe (algebarske, transcendentalne, diferencijalne, integralne),
problemi aproksimacije (interpolacija, ekstrapolacija, numerička integracija I diferencijaciju),
problemi optimizacije,
stohastički problemi.

Međutim, kako objekt modeliranja postaje složeniji, izgradnja analitičkog modela postaje nerješiv problem. Tada je istraživač primoran da koristi simulacijsko modeliranje.

IN simulacijsko modeliranje funkcionisanje objekata, procesa ili sistema opisano je skupom algoritama. Algoritmi oponašaju stvarne elementarne fenomene koji čine proces ili sistem dok ih održavaju logička struktura i sekvenciranje tokom vremena. Simulacija omogućava vam da dobijete informacije o izvornim podacima stanja procesa ili sistema u određenim trenucima vremena, međutim, predviđanje ponašanja objekata, procesa ili sistema je ovdje teško. Može se reći da simulacijski modeli- ovo su kompjuterski kompjuterski eksperimenti With matematički modeli, imitirajući ponašanje stvarnih objekata, procesa ili sistema.

U zavisnosti od prirode proučavanih realnih procesa i sistema matematički modeli može biti:

deterministički,
stohastički.

Stohastički model uzima u obzir slučajnu prirodu procesa u objektima i sistemima koji se proučavaju, što se opisuje metodama teorije vjerovatnoće i matematičke statistike.

Prema vrsti ulaznih informacija, modeli se dijele na:

kontinuirano,
diskretno.

Prema ponašanju modela u vremenu, dijele se na:

statično,
dinamičan.

Statički modeli opisuju ponašanje objekta, procesa ili sistema u bilo kojem trenutku. Dinamički modeli odražavaju ponašanje objekta, procesa ili sistema tokom vremena.

Prema stepenu korespondencije između