Kako izgleda oblik cilindra? Osnovni sažetak iz geometrije na temu "cilindar"

Cilindar (kružni cilindar) je tijelo koje se sastoji od dvije kružnice, spojene paralelnim prevođenjem, i svih segmenata koji povezuju odgovarajuće tačke ovih kružnica. Krugovi se nazivaju baze cilindra, a segmenti koji povezuju odgovarajuće tačke obima krugova nazivaju se generatori cilindra.

Osnove cilindra su jednake i leže u paralelnim ravnima, a generatori cilindra su paralelni i jednaki. Površina cilindra se sastoji od baze i bočne površine. Bočna površina se sastoji od generatrisa.

Cilindar se naziva pravim ako su njegovi generatori okomiti na ravni baze. Cilindar se može smatrati tijelom koje se dobije rotacijom pravougaonika oko jedne od njegovih strana kao ose. Postoje i druge vrste cilindara - eliptični, hiperbolični, parabolični. Prizma se takođe smatra vrstom cilindra.

Slika 2 prikazuje kosi cilindar. Krugovi sa centrima O i O 1 su njegove osnove.

Poluprečnik cilindra je poluprečnik njegove baze. Visina cilindra je udaljenost između ravnina baza. Osa cilindra je prava linija koja prolazi kroz središta baza. Paralelno je sa generatorima. Poprečni presjek cilindra ravninom koja prolazi kroz osu cilindra naziva se aksijalni presjek. Ravan koja prolazi kroz generatricu pravog cilindra i okomita na aksijalni presjek povučen kroz ovu generatricu naziva se tangentna ravan cilindra.

Ravan okomita na osu cilindra siječe njegovu bočnu površinu duž kružnice jednake obimu baze.

Prizma upisana u cilindar je prizma čije su osnove jednaki mnogouglovi upisani u osnovice cilindra. Njegova bočna rebra čine cilindar. Za prizmu se kaže da je opisana oko cilindra ako su njene osnove jednaki poligoni opisani oko baza cilindra. Ravnine njegovih strana dodiruju bočnu površinu cilindra.

Bočna površina cilindra može se izračunati množenjem dužine generatrike s perimetrom presjeka cilindra ravninom okomitom na generatricu.

Bočna površina ravnog cilindra može se naći po njegovom razvoju. Razvoj cilindra je pravougaonik visine h i dužine P, koji je jednak obodu osnove. Stoga je površina bočne površine cilindra jednaka površini njegovog razvoja i izračunava se po formuli:

Konkretno, za desni kružni cilindar:

P = 2πR, i S b = 2πRh.

Ukupna površina cilindra jednaka je zbroju površina njegove bočne površine i njegovih baza.

Za pravi kružni cilindar:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Postoje dvije formule za pronalaženje volumena nagnutog cilindra.

Zapreminu možete pronaći množenjem dužine generatrike s površinom poprečnog presjeka cilindra ravninom koja je okomita na generatricu.

Zapremina nagnutog cilindra jednaka je umnošku površine baze i visine (udaljenost između ravnina u kojima leže baze):

V = Sh = S l sin α,

gdje je l dužina generatrike, a α je ugao između generatrike i ravni baze. Za pravi cilindar h = l.

Formula za pronalaženje zapremine kružnog cilindra je sljedeća:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

gdje je d prečnik baze.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.

Naziv nauke "geometrija" preveden je kao "zemljino merenje". Nastao je zahvaljujući naporima prvih drevnih zemljoposjednika. A dogodilo se ovako: tokom poplava svetog Nila potoci vode ponekad su ispirali granice poljoprivrednih parcela, a nove granice se možda neće poklapati sa starim. Poreze su plaćali seljaci u blagajnu faraona srazmjerno veličini zemljišne parcele. Posebni ljudi su bili uključeni u mjerenje površina obradivog zemljišta unutar novih granica nakon izlivanja. Kao rezultat njihovih aktivnosti nastala je nova nauka koja se razvila u staroj Grčkoj. Tamo je dobila ime i dobila gotovo moderan izgled. Kasnije je termin postao međunarodno ime za nauku o ravnim i trodimenzionalnim figurama.

Planimetrija je grana geometrije koja se bavi proučavanjem ravnih figura. Druga grana nauke je stereometrija, koja ispituje svojstva prostornih (volumetrijskih) figura. Takve brojke uključuju onu opisanu u ovom članku - cilindar.

Postoji mnogo primjera prisutnosti cilindričnih predmeta u svakodnevnom životu. Gotovo svi rotirajući dijelovi - osovine, čahure, rukavci, osovine itd. - imaju cilindrični (mnogo rjeđe - konusni) oblik. Cilindar se također široko koristi u građevinarstvu: tornjevi, potporni stupovi, ukrasni stupovi. I posuđe, neke vrste ambalaže, cijevi raznih promjera. I na kraju - poznati šeširi, koji su odavno postali simbol muške elegancije. Lista se nastavlja i nastavlja.

Definicija cilindra kao geometrijske figure

Cilindar (kružni cilindar) se obično naziva figura koja se sastoji od dva kruga, koji se, po želji, kombiniraju paralelnim prijevodom. Ovi krugovi su osnove cilindra. Ali linije (ravne segmente) koje povezuju odgovarajuće tačke nazivaju se "generatori".

Važno je da su osnove cilindra uvijek jednake (ako ovaj uvjet nije ispunjen, onda imamo krnji konus, nešto drugo, ali ne i cilindar) i da su u paralelnim ravnima. Segmenti koji povezuju odgovarajuće tačke na kružnicama su paralelni i jednaki.

Skup beskonačnog broja formirajućih elemenata nije ništa drugo do bočna površina cilindra - jedan od elemenata date geometrijske figure. Njegova druga važna komponenta su krugovi o kojima smo gore govorili. Zovu se baze.

Vrste cilindara

Najjednostavniji i najčešći tip cilindra je kružni. Sastoji se od dva pravilna kruga koji djeluju kao baze. Ali umjesto njih mogu biti druge figure.

Osnove cilindara mogu formirati (pored krugova) elipse i druge zatvorene figure. Ali cilindar ne mora nužno imati zatvoreni oblik. Na primjer, baza cilindra može biti parabola, hiperbola ili neka druga otvorena funkcija. Takav cilindar će biti otvoren ili raspoređen.

Prema kutu nagiba cilindara koji formiraju osnove, oni mogu biti ravni ili kosi. Za ravan cilindar, generatrise su striktno okomite na ravan baze. Ako je ovaj ugao drugačiji od 90°, cilindar je nagnut.

Šta je površina revolucije

Ravni kružni cilindar je bez sumnje najčešća površina rotacije koja se koristi u inženjerstvu. Ponekad se iz tehničkih razloga koriste konusne, sferne i neke druge vrste površina, ali 99% svih rotirajućih osovina, osovina itd. izrađuju se u obliku cilindara. Da bismo bolje razumjeli što je okretna površina, možemo razmotriti kako se formira sam cilindar.

Recimo da postoji određena prava linija a, smještena okomito. ABCD je pravougaonik čija jedna stranica (odsječak AB) leži na pravoj a. Ako zakrenemo pravougaonik oko prave linije, kao što je prikazano na slici, zapremina koju će on zauzimati dok se okreće biće naše telo okretanja - pravi kružni cilindar visine H = AB = DC i poluprečnika R = AD = BC.

U ovom slučaju, kao rezultat rotacije figure - pravokutnika - dobiva se cilindar. Rotacijom trougla možete dobiti konus, rotacijom polukruga - loptu itd.

Površina cilindra

Da bi se izračunala površina običnog desnog kružnog cilindra, potrebno je izračunati površine baza i bočnih površina.

Prvo, pogledajmo kako se izračunava bočna površina. Ovo je proizvod obima cilindra i visine cilindra. Opseg je, zauzvrat, jednak dvostrukom proizvodu univerzalnog broja P po poluprečniku kružnice.

Poznato je da je površina kruga jednaka proizvodu P po kvadratnom radijusu. Dakle, dodavanjem formule za površinu bočne površine sa dvostrukim izrazom za površinu baze (postoje ih dvije) i izvođenjem jednostavnih algebarskih transformacija, dobijamo konačni izraz za određivanje površine cilindra.

Određivanje zapremine figure

Volumen cilindra određuje se prema standardnoj shemi: površina baze se množi s visinom.

Dakle, konačna formula izgleda ovako: željena vrijednost je definirana kao proizvod visine tijela univerzalnim brojem P i kvadratom polumjera baze.

Rezultirajuća formula, mora se reći, primjenjiva je na rješavanje najneočekivanijih problema. Na isti način kao i zapremina cilindra, na primjer, određuje se volumen električnih instalacija. Ovo može biti potrebno za izračunavanje mase žica.

Jedina razlika u formuli je da umjesto polumjera jednog cilindra postoji prečnik žice ožičenja podijeljen na pola i broj žica u žici se pojavljuje u izrazu N. Također, umjesto visine, koristi se dužina žice. Na ovaj način, volumen "cilindra" se ne izračunava samo po jednom, već po broju žica u pletenici.

Takvi proračuni su često potrebni u praksi. Uostalom, značajan dio posuda za vodu napravljen je u obliku cijevi. I često je potrebno izračunati zapreminu cilindra čak iu domaćinstvu.

Međutim, kao što je već spomenuto, oblik cilindra može biti različit. A u nekim slučajevima je potrebno izračunati koliki je volumen nagnutog cilindra.

Razlika je u tome što se površina baze ne množi s dužinom generatrike, kao u slučaju ravnog cilindra, već s razmakom između ravnina - okomitim segmentom koji je izgrađen između njih.

Kao što se može vidjeti sa slike, takav segment je jednak proizvodu dužine generatrike i sinusa ugla nagiba generatrike prema ravni.

Kako napraviti razvoj cilindra

U nekim slučajevima potrebno je izrezati cilindar. Na slici ispod prikazana su pravila po kojima se konstruira blank za proizvodnju cilindra zadane visine i promjera.

Imajte na umu da je crtež prikazan bez šavova.

Razlike između zakošenog cilindra

Zamislimo određeni pravi cilindar, omeđen s jedne strane ravninom koja je okomita na generatore. Ali ravan koja ograničava cilindar s druge strane nije okomita na generatore i nije paralelna s prvom ravninom.

Na slici je prikazan zakošeni cilindar. Avion A pod određenim uglom, različitim od 90° prema generatorima, siječe figuru.

Ovaj geometrijski oblik se u praksi češće sreće u obliku cevovodnih priključaka (koljena). Ali postoje čak i zgrade izgrađene u obliku zakošenog cilindra.

Geometrijske karakteristike zakošenog cilindra

Nagib jedne od ravnina zakošenog cilindra malo mijenja postupak izračunavanja i površine takve figure i njenog volumena.

Cilindar

Def. Cilindar je tijelo koje se sastoji od dva kruga koja su spojena

paralelna translacija i svi segmenti koji povezuju odgovarajuće tačke

ovi krugovi.

Krugovi se nazivaju osnove cilindra, a segmenti koji povezuju odgovarajuće tačke kružnica ovih kružnica nazivaju se generatori cilindra (slika 1)

pirinač. 1 pic. 2 sl. 3 sl. 4

Svojstva cilindra:

1) Osnove cilindra su jednake i leže u paralelnim ravnima.

2) Generatori cilindra su jednaki i paralelni.

Def. Poluprečnik cilindra je poluprečnik njegove baze.

Def. Visina cilindra je udaljenost između ravnina njegovih baza.

Def. Poprečni presjek cilindra ravninom koja prolazi kroz osu cilindra naziva se aksijalni presjek.

Aksijalni presjek cilindra je pravougaonik sa stranicama 2R i l(u ravnom cilindru l= N) sl. 2

Poprečni presjek cilindra, paralelan njegovoj osi, su pravokutnici (sl. 3).

Presjek cilindra ravninom paralelnom sa bazama - krug jednak bazama (slika 4)

Površina cilindra.

Bočna površina cilindra se sastoji od generatrisa.

Kompletna površina cilindra sastoji se od baze i bočne površine.

S pun = 2 S osnovni + S strana ; S osnovni = P ∙ R 2 ; S strana = 2 P ∙ R ∙HS pun = 2PR ∙(R + N)

Praktični dio:

№1. Poluprečnik cilindra je 3 cm, a visina 5 cm. Nađite površinu aksijalnog presjeka i površinu polu-

na površini cilindra.

№2. Dijagonala aksijalnog presjeka cilindra je nagnuta prema ravni baze pod uglom
i jednaka je 20 cm.Nađite površinu bočne površine cilindra.

№3. Poluprečnik cilindra je 2 cm, a visina 3 cm. Pronađite dijagonalu aksijalnog presjeka cilindra.

№4. Dijagonala aksijalnog presjeka cilindra je jednaka
, formira ugao sa ravninom baze
. Pronađite bočnu površinu cilindra.

№5. Bočna površina cilindra je 15 . Pronađite površinu aksijalnog poprečnog presjeka.

№6. Nađite visinu cilindra ako je površina njegove osnove 1, a stranica S =
.

№7. Dijagonala aksijalnog presjeka cilindra ima dužinu od 8 cm i nagnuta je prema ravni baze pod uglom
. Pronađite ukupnu površinu cilindra.

Cilindrični dimnjak prečnika 65cm ima visinu od 18m. Koliko je lima potrebno za izradu ako se 10% materijala potroši na zakovicu?

Ograničeno cilindričnom površinom i dvije paralelne ravni koje je sijeku.

Povezane definicije

Cilindrična površina- površina dobijena pomeranjem prave linije (generatora), paralelne bilo kojoj datoj, koja siječe krivu liniju (direktor) koja leži neparalelno sa datom ravnom ravninom. Ravne figure nastale presjekom cilindrične površine s dvije paralelne ravni nazivaju se baze cilindara. Cilindrična površina između ravnina baza naziva se bočna površina cilindar. Ako su ravnina baze i ravnina vodilice paralelne, granica baze će se po obliku poklapati sa vodilicom.

Vrste

U većini slučajeva, cilindar označava ravan kružni cilindar, čiji je vodič kružnica, a baze su okomite na generatrisu. Takav cilindar ima os simetrije.

Ostale vrste cilindara - (prema nagibu generatrike) kosi ili nagnuti (ako generatrisa ne dodiruje bazu pod pravim uglom); (prema obliku baze) eliptični, hiperbolični, parabolični.

Prizma je takođe vrsta cilindra - sa bazom u obliku poligona.

Površina cilindra

Bočna površina

Površina bočne površine cilindra jednaka je dužini generatrike, pomnoženoj s perimetrom presjeka cilindra ravninom okomitom na generatrisu.

Bočna površina ravnog cilindra izračunava se iz njegovog razvoja. Razvoj cilindra je pravougaonik sa visinom $h$ i dužina $P$, jednako obodu baze. Stoga je površina bočne površine cilindra jednaka površini njegovog razvoja i izračunava se po formuli:

$S\_b\; =\; P\; h$

Konkretno, za desni kružni cilindar:

$P\; =\; 2\backslash pi\; R$, And $S\_b\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h$

Za nagnuti cilindar, površina bočne površine jednaka je dužini generatrike pomnoženoj s perimetrom presjeka okomitog na generatrisu:

$S\_b\; =\; P\_(\backslash perp)\; h$

Za razliku od volumena, ne postoji jednostavna formula koja izražava površinu bočne površine kosog cilindra kroz parametre baze i visine. Za nagnuti kružni cilindar možete koristiti približne formule za perimetar elipse, a zatim pomnožite rezultirajuću vrijednost s dužinom generatriksa.

Ukupna površina

Ukupna površina cilindra jednaka je zbroju površina njegove bočne površine i njegovih baza.

Za pravi kružni cilindar: $S\_(p)\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h\; +2\; \backslash pi\; R^2\; =\; 2\backslash pi\; R\; (h+R)$

Volumen cilindra

Za nagnuti cilindar postoje dvije formule:

• Volumen je jednak dužini generatrike pomnoženoj s površinom poprečnog presjeka cilindra ravninom okomitom na generatrisu. $V=S\_(\backslash perp)l$,
• Volumen je jednak površini baze pomnoženoj s visinom (razdaljinom između ravnina u kojima leže baze): $V=Sh=Sl\backslash sin(\backslash varphi)$,

Gdje $l$ je dužina generatrise, i $\backslash varphi$- ugao između generatrise i ravni baze. Za pravi cilindar $h=l$.

Za pravi cilindar $\backslash sin(\backslash varphi)=1$, $l=h$ I $S\_(\backslash perp)=S$, a zapremina je jednaka:

• $V=Sl=Sh$

Za kružni cilindar:

$V=\backslash pi\; R^(2)h=\backslash pi\; \backslash frac(d^(2))(4)h$

Gdje d- prečnik osnove.

Napišite recenziju o članku "Cilindar"

Bilješke

Izvod koji karakteriše Cilindar

„Paris la capitale du monde... [Pariz je glavni grad sveta...]“, rekao je Pjer završavajući svoj govor.
Kapetan je pogledao Pjera. Imao je naviku da stane usred razgovora i pažljivo pogleda nasmejanim, privrženim očima.
- Eh bien, si vous ne m"aviez pas dit que vous etes Russe, j"aurai parie que vous etes Parisien. Vous avez ce je ne sais, quoi, ce... [Pa, da mi nisi rekao da si Rus, kladio bih se da si Parižanin. Ima nešto u tebi, ovo...] - i, izrekavši ovaj kompliment, opet je šutke pogledao.
"J"ai ete a Paris, j"y ai passe des annees, [bio sam u Parizu, proveo sam čitave godine tamo", rekao je Pjer.
– Oh ca se voit bien. Pariz!.. Un homme qui ne connait pas Paris, est un sauvage. Un Parisien, ca se poslao deux lieux. Paris, s"est Talma, la Duschenois, Potier, la Sorbonne, les boulevards", i primetivši da je zaključak slabiji od prethodnog, žurno je dodao: "Il n"y a qu"un Paris au monde. Vous avez ete a Paris et vous etes reste Busse. Eh bien, je ne vous en estime pas moins. [Oh, očigledno je. Pariz!.. Čovek koji ne poznaje Pariz je divljak. Parižanina možete prepoznati na dve milje. Pariz. Pariz! je Talma, Duchesnois, Potier, Sorbona, bulevari... Samo je jedan Pariz na celom svetu. Bili ste u Parizu i ostali ste Rus. Pa, ja vas ništa manje poštujem zbog toga.]
Pod uticajem vina koje je pio i nakon dana provedenih u samoći sa svojim tmurnim mislima, Pjer je doživeo nehotično zadovoljstvo u razgovoru sa ovim vedrim i dobrodušnim čovekom.
– Pour en revenir a vos dames, on les dit bien belles. Quelle fichue idee d"aller s"enterrer dans les steppes, quand l"armee francaise est a Moscou. Quelle chance elles ont manque celles la. Vos moujiks c"est autre chose, mais voua autres gens civilises vous con devitreez mi . Nous avons pris Vienne, Berlin, Madrid, Napulj, Rim, Varsovie, toutes les capitales du monde... On nous craint, mais on nous aime. Nous sommes bons a connaitre. Et puis l "Empereur! [Ali da se vratimo vašim damama: kažu da su veoma lepe. Kakva glupa ideja da odete i zakopate se u stepi kada je francuska vojska u Moskvi! Propustili su divnu priliku. Vaši ljudi ,shvatam,ali vi ste ljudi obrazovani-trebali ste nas poznavati bolje od ovoga.Uzeli smo Bec,Berlin,Madrid,Napulj,Rim,Varsavu,sve prestonice sveta.Boje nas se,ali nas vole.Ne Ne škodi da nas bolje upoznam. A onda car...] - počeo je, ali ga je Pjer prekinuo.
"L"Empereur", ponovio je Pjer, a lice mu je odjednom dobilo tužan i postiđen izraz. "Est ce que l"Empereur?.. [Car... Šta je car?..]
- L"Empereur? C"est la generosite, la clemence, la justice, l"ordre, le genie, voila l"Empereur! C "est moi, Ram ball, qui vous le dit. Tel que vous me voyez, j" etais son ennemi il y a encore huit ans. Mon pere a ete comte emigre... Mais il m"a vaincu, cet homme. Il m"a empoigne. Je n"ai pas pu resister au spectacle de grandeur et de gloire dont il couvrait la France. Quand j"ai compris ce qu"il voulait, quand j"ai vu qu"il nous faisait une litiere de lauriers, voyez vous, je me suis dit: voila un souverain, et je me suis donne a lui. Eh voila! Oh, oui, mon cher, c"est le plus grand homme des siecles passes et a venir. [Car? Ovo je velikodušnost, milost, pravda, red, genijalnost - to je car! Ja, Rambal, ti govorim. Kako me vidite, bio sam mu neprijatelj prije osam godina. Moj otac je bio grof i emigrant. Ali on me je pobedio, ovaj čovek. Zauzeo me je. Nisam mogao odoljeti spektaklu veličine i slave kojim je prekrio Francusku. Kad sam shvatio šta hoće, kad sam vidio da nam sprema lovoriku, rekao sam sebi: evo ga suveren i predao sam mu se. I tako! O da, draga moja, ovo je najveći čovek prošlih i budućih vekova.]