Krive drugog reda na ravni su linije definisane jednadžbama u kojima je varijabla koordinata x I y sadržani su u drugom stepenu. To uključuje elipsu, hiperbolu i parabolu.
Opšti oblik jednadžbe krivulje drugog reda je sljedeći:
Gdje A, B, C, D, E, F- brojevi i najmanje jedan od koeficijenata A, B, C nije jednako nuli.
Prilikom rješavanja zadataka sa krivuljama drugog reda najčešće se uzimaju u obzir kanonske jednadžbe elipse, hiperbole i parabole. Lako je prijeći na njih iz općih jednačina; tome će biti posvećen primjer 1 zadataka s elipsama.
Elipsa data kanonskom jednadžbom
Definicija elipse. Elipsa je skup svih tačaka ravni za koje je zbir udaljenosti do tačaka koje se nazivaju žarišta konstantna vrijednost veća od udaljenosti između žarišta.
Fokusi su prikazani kao na slici ispod.
Kanonska jednadžba elipse ima oblik:
Gdje a I b (a > b) - dužine poluosi, odnosno polovina dužina segmenata odsječenih elipsom na koordinatnoj osi.
Prava linija koja prolazi kroz žarišta elipse je njena osa simetrije. Druga osa simetrije elipse je prava linija koja prolazi kroz sredinu segmenta okomita na ovaj segment. Dot O presek ovih linija služi kao centar simetrije elipse ili jednostavno centar elipse.
Os apscise elipse seče u tačkama ( a, O) I (- a, O), a osa ordinata je u tačkama ( b, O) I (- b, O). Ove četiri tačke se nazivaju vrhovi elipse. Segment između vrhova elipse na x-osi naziva se njena velika os, a na osi ordinata - njena mala os. Njihovi segmenti od vrha do centra elipse nazivaju se polu-ose.
Ako a = b, tada jednadžba elipse poprima oblik . Ovo je jednadžba kružnice s polumjerom a, a krug je poseban slučaj elipse. Elipsa se može dobiti iz kruga poluprečnika a, ako ga komprimirate u a/b puta duž ose Oy .
Primjer 1. Provjerite da li je prava data općom jednadžbom 
, elipsa.
Rješenje. Transformišemo opštu jednačinu. Koristimo prijenos slobodnog člana na desnu stranu, dijeljenje jednačine po član istim brojem i smanjenje razlomaka:
Odgovori. Jednačina dobijena kao rezultat transformacija je kanonska jednačina elipse. Dakle, ova linija je elipsa.
Primjer 2. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako su njene poluose 5, odnosno 4.
Rješenje. Gledamo formulu za kanonsku jednadžbu elipse i zamjene: velika poluos je a= 5, poluosa je b= 4 . Dobijamo kanonsku jednačinu elipse:
Tačke i , označene zelenom bojom na glavnoj osi, gdje
su pozvani trikovi.
pozvao ekscentričnost elipsa.
Stav b/a karakteriše "spljoštenost" elipse. Što je ovaj odnos manji, to je elipsa više izdužena duž glavne ose. Međutim, stupanj izduženja elipse češće se izražava kroz ekscentricitet, formula za koju je gore navedena. Za različite elipse, ekscentricitet varira od 0 do 1, uvijek ostaje manji od jedinice.
Primjer 3. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako je udaljenost između žarišta 8 i glavne ose 10.
Rješenje. Hajde da napravimo nekoliko jednostavnih zaključaka:
Ako je glavna os jednaka 10, tada je njena polovina, tj. a = 5 ,
Ako je udaljenost između žarišta 8, onda je broj cžarišnih koordinata jednaka je 4.
Zamjenjujemo i izračunavamo:
Rezultat je kanonska jednadžba elipse:
Primjer 4. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako je njena glavna os 26, a ekscentricitet .
Rješenje. Kao što slijedi i iz veličine glavne ose i iz jednadžbe ekscentriciteta, velika poluos elipse a= 13. Iz jednačine ekscentriciteta izražavamo broj c, potrebno za izračunavanje dužine male poluose:
.
Izračunavamo kvadrat dužine male poluose:
Sastavljamo kanonsku jednačinu elipse:
Primjer 5. Odrediti žarište elipse dato kanonskom jednačinom.
Rješenje. Nađi broj c, koji određuje prve koordinate žarišta elipse:
.
Dobijamo fokuse elipse:
Primjer 6. Fokusi elipse nalaze se na osi Ox simetrično oko porekla. Sastavite kanonsku jednačinu elipse ako:
1) udaljenost između fokusa je 30, a glavna os je 34
2) mala osa 24, a jedan od fokusa je u tački (-5; 0)
3) ekscentricitet, a jedno od žarišta je u tački (6; 0)
Nastavimo zajedno rješavati probleme elipse
Ako je proizvoljna tačka elipse (označena zelenom bojom u gornjem desnom dijelu elipse na crtežu) i udaljenost do te točke od žarišta, tada su formule za udaljenosti sljedeće:
Za svaku tačku koja pripada elipsi, zbir udaljenosti od žarišta je konstantna vrijednost jednaka 2 a.
Prave definirane jednadžbama
su pozvani ravnateljice elipsa (na crtežu su crvene linije duž ivica).
Iz gornje dvije jednačine slijedi da za bilo koju tačku elipse
,
gdje i su udaljenosti ove točke do direktrisa i .
Primjer 7. Zadana elipsa. Napišite jednačinu za njegove direktrise.
Rješenje. Gledamo jednadžbu direktrise i nalazimo da trebamo pronaći ekscentricitet elipse, tj. Za to imamo sve podatke. Računamo:
.
Dobijamo jednačinu direktrisa elipse:
Primjer 8. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako su njena žarišta tačke, a direktrise prave.
11.1. Osnovni koncepti
Razmotrimo linije definisane jednadžbama drugog stepena u odnosu na trenutne koordinate
Koeficijenti jednačine su realni brojevi, ali barem jedan od brojeva A, B ili C nije nula. Takve linije se nazivaju linije (krive) drugog reda. U nastavku će se utvrditi da jednačina (11.1) definira kružnicu, elipsu, hiperbolu ili parabolu na ravni. Prije nego pređemo na ovu tvrdnju, proučimo svojstva navedenih krivulja.
11.2. Circle
Najjednostavnija kriva drugog reda je krug. Podsjetimo da je krug polumjera R sa centrom u tački skup svih tačaka M ravni koje zadovoljavaju uvjet . Neka tačka u pravougaonom koordinatnom sistemu ima koordinate x 0, y 0 i - proizvoljnu tačku na kružnici (vidi sliku 48).
Tada iz uslova dobijamo jednačinu
(11.2)
Jednačina (11.2) je zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na datoj kružnici, a ne zadovoljavaju je koordinate bilo koje tačke koja ne leži na kružnici.
Jednačina (11.2) se zove kanonska jednadžba kruga
Konkretno, postavljanjem i , dobijamo jednačinu kružnice sa centrom u početku 
.
Jednačina kružnice (11.2) nakon jednostavnih transformacija poprimiće oblik . Kada uporedimo ovu jednačinu sa opštom jednačinom (11.1) krive drugog reda, lako je uočiti da su za jednačinu kružnice zadovoljena dva uslova:
1) koeficijenti za x 2 i y 2 su međusobno jednaki;
2) ne postoji član koji sadrži proizvod xy trenutnih koordinata.
Razmotrimo inverzni problem. Stavljajući vrijednosti i u jednačinu (11.1), dobijamo
Hajde da transformišemo ovu jednačinu:
(11.4)
Iz toga slijedi da jednačina (11.3) definira krug pod uslovom 
. Njegov centar je u tački 
, i radijus
.
Ako 
, tada jednačina (11.3) ima oblik
.
Zadovoljavaju ga koordinate jedne tačke 
. U ovom slučaju kažu: „krug je degenerisan u tačku“ (ima nulti poluprečnik).
Ako 
, tada jednačina (11.4), a samim tim i ekvivalentna jednačina (11.3), neće definirati nijednu liniju, jer je desna strana jednačine (11.4) negativna, a lijeva nije negativna (recimo: „imaginarni krug“).
11.3. Elipsa
Jednadžba kanonske elipse
Elipsa je skup svih tačaka ravni, zbir udaljenosti od svake od njih do dvije date tačke ove ravni, tzv. trikovi , je konstantna vrijednost veća od udaljenosti između žarišta.
Označimo fokuse sa F 1 I F 2, udaljenost između njih je 2 c, a zbir udaljenosti od proizvoljne tačke elipse do žarišta - u 2 a(vidi sliku 49). Po definiciji 2 a > 2c, tj. a
> c.
Za izvođenje jednačine elipse biramo koordinatni sistem tako da se žarišta F 1 I F 2 leži na osi, a ishodište se poklapa sa sredinom segmenta Ž 1 Ž 2. Tada će fokusi imati sljedeće koordinate: i .
Neka je proizvoljna tačka elipse. Tada, prema definiciji elipse, tj.
Ovo je, u suštini, jednačina elipse.
Pretvorimo jednačinu (11.5) u jednostavniji oblik na sljedeći način:
Jer a>With, To . Hajde da stavimo
(11.6)
Tada će posljednja jednadžba poprimiti oblik ili
(11.7)
Može se dokazati da je jednačina (11.7) ekvivalentna izvornoj jednačini. To se zove kanonska jednadžba elipse .
Elipsa je kriva drugog reda.
Proučavanje oblika elipse pomoću njene jednadžbe
Utvrdimo oblik elipse koristeći njenu kanonsku jednadžbu.
1. Jednačina (11.7) sadrži x i y samo u parnim stepenima, pa ako tačka pripada elipsi, tada joj pripadaju i tačke ,,. Iz toga slijedi da je elipsa simetrična u odnosu na ose i, kao i u odnosu na tačku koja se naziva središte elipse.
2. Naći tačke preseka elipse sa koordinatnim osa. Stavljajući , nalazimo dvije točke i , u kojima os siječe elipsu (vidi sliku 50). Stavljajući u jednačinu (11.7) nalazimo tačke presjeka elipse sa osom: i . Poeni A 1 ,
A 2 , B 1, B 2 su pozvani vrhove elipse. Segmenti A 1 A 2 I B 1 B 2, kao i njihove dužine 2 a i 2 b nazivaju se u skladu s tim velike i male ose elipsa. Brojevi a I b nazivaju se velikim i malim osovinske osovine elipsa.
3. Iz jednačine (11.7) slijedi da svaki član na lijevoj strani ne prelazi jedan, tj. dešavaju se nejednakosti i ili i. Prema tome, sve tačke elipse leže unutar pravougaonika formiranog od pravih linija.
4. U jednačini (11.7), zbir nenegativnih članova i jednak je jedan. Shodno tome, kako se jedan član povećava, drugi će se smanjivati, odnosno ako se povećava, smanjuje se i obrnuto.
Iz navedenog proizilazi da elipsa ima oblik prikazan na sl. 50 (ovalna zatvorena kriva).
Više informacija o elipsi
Oblik elipse zavisi od omjera. Kada se elipsa pretvori u krug, jednadžba elipse (11.7) poprima oblik . Omjer se često koristi za karakterizaciju oblika elipse. Omjer polovice udaljenosti između žarišta i velike poluose elipse naziva se ekscentricitet elipse, a o6o se označava slovom ε („epsilon“):
sa 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде
Ovo pokazuje da što je manji ekscentricitet elipse, to će elipsa biti manje spljoštena; ako postavimo ε = 0, tada se elipsa pretvara u krug.
Neka je M(x;y) proizvoljna tačka elipse sa fokusima F 1 i F 2 (vidi sliku 51). Dužine segmenata F 1 M = r 1 i F 2 M = r 2 nazivaju se žarišnim polumjerima tačke M. Očigledno,
Formule vrijede
Direktne linije se nazivaju
Teorema 11.1. Ako je udaljenost od proizvoljne tačke elipse do nekog fokusa, d je udaljenost od iste tačke do direktrise koja odgovara ovom fokusu, tada je omjer konstantna vrijednost jednaka ekscentricitetu elipse:
Iz jednakosti (11.6) slijedi da je . Ako, onda jednačina (11.7) definira elipsu, čija glavna osa leži na Oy osi, a mala osa na Ox osi (vidi sliku 52). Fokusi takve elipse su u tačkama i , gdje 
.
11.4. Hiperbola
Kanonička hiperbola jednadžba
Hiperbola je skup svih tačaka ravni, modul razlike rastojanja od svake od njih do dve date tačke ove ravni, tzv. trikovi , je konstantna vrijednost manja od udaljenosti između žarišta.
Označimo fokuse sa F 1 I F 2 udaljenost između njih je 2s, i modul razlike u udaljenosti od svake tačke hiperbole do žarišta kroz 2a. A-prioritet 2a < 2s, tj. a < c.
Za izvođenje jednadžbe hiperbole biramo koordinatni sistem tako da su fokusi F 1 I F 2 leži na osi, a ishodište se poklapa sa sredinom segmenta Ž 1 Ž 2(vidi sliku 53). Tada će žarišta imati koordinate i
Neka je proizvoljna tačka hiperbole. Zatim, prema definiciji hiperbole 
ili , tj. Nakon pojednostavljenja, kao što je učinjeno prilikom izvođenja jednačine elipse, dobijamo
jednadžba kanonske hiperbole
(11.9)
(11.10)
Hiperbola je linija drugog reda.
Proučavanje oblika hiperbole pomoću njene jednadžbe
Uspostavimo oblik hiperbole koristeći njenu kakoničnu jednadžbu.
1. Jednačina (11.9) sadrži x i y samo u parnim stepenima. Prema tome, hiperbola je simetrična oko osi i , kao i oko točke, koja se zove centar hiperbole.
2. Naći tačke preseka hiperbole sa koordinatnim osa. Stavljajući u jednačinu (11.9), nalazimo dvije točke presjeka hiperbole sa osom: i. Stavljajući u (11.9), dobijamo , što ne može biti. Dakle, hiperbola ne siječe osu Oy.
Tačke se zovu vrhovi hiperbole i segment
realna osa , segment - realna polu-osa hiperbola.
Segment koji povezuje tačke se zove imaginarne ose , broj b - imaginarna polu-osa . Pravougaonik sa stranicama 2a I 2b pozvao osnovni pravougaonik hiperbole .
3. Iz jednačine (11.9) slijedi da minus nije manji od jedan, tj. da ili . To znači da se tačke hiperbole nalaze desno od prave (desna grana hiperbole) i levo od prave (lijeva grana hiperbole).
4. Iz jednačine (11.9) hiperbole jasno je da kada raste, raste. Ovo proizilazi iz činjenice da razlika održava konstantnu vrijednost jednaku jedan.
Iz navedenog proizilazi da hiperbola ima oblik prikazan na slici 54 (kriva koja se sastoji od dvije neograničene grane).
Asimptote hiperbole
Prava L se naziva asimptota 
neograničene krive K ako rastojanje d od tačke M krive K do ove prave teži nuli kada je udaljenost tačke M duž krive K od početka neograničena. Slika 55 daje ilustraciju koncepta asimptote: prava L je asimptota za krivu K.
Pokažimo da hiperbola ima dvije asimptote:
(11.11)
Kako su prave (11.11) i hiperbola (11.9) simetrične u odnosu na koordinatne ose, dovoljno je uzeti u obzir samo one tačke navedenih linija koje se nalaze u prvoj četvrtini.
Uzmimo tačku N na pravoj koja ima istu apscisu x kao tačka na hiperboli 
(vidi sliku 56) i pronađite razliku ΜΝ između ordinata prave linije i grane hiperbole:
Kao što vidite, kako se x povećava, nazivnik razlomka se povećava; brojilac je konstantna vrijednost. Dakle, dužina segmenta 
ΜΝ teži nuli. Pošto je MΝ veće od udaljenosti d od tačke M do prave, onda d teži nuli. Dakle, prave su asimptote hiperbole (11.9).
Prilikom konstruisanja hiperbole (11.9), preporučljivo je prvo konstruisati glavni pravougaonik hiperbole (vidi sliku 57), povući prave linije koje prolaze kroz suprotne vrhove ovog pravougaonika - asimptote hiperbole i označiti vrhove i , hiperbole.
Jednačina jednakostranične hiperbole.
čije su asimptote koordinatne ose
Hiperbola (11.9) se naziva jednakostranična ako su njene poluose jednake (). Njegova kanonska jednadžba
(11.12)
Asimptote jednakostranične hiperbole imaju jednačine i stoga su simetrale koordinatnih uglova.
Razmotrimo jednačinu ove hiperbole u novom koordinatnom sistemu (vidi sliku 58), dobijenom iz starog rotacijom koordinatnih osa za ugao. Koristimo formule za rotiranje koordinatnih osa:
Zamjenjujemo vrijednosti x i y u jednadžbu (11.12):
Jednačina jednakostranične hiperbole, za koju su ose Ox i Oy asimptote, imat će oblik .
Više informacija o hiperboli
Ekscentričnost hiperbola (11.9) je omjer udaljenosti između žarišta i vrijednosti realne ose hiperbole, označene sa ε:
Budući da je za hiperbolu , ekscentricitet hiperbole veći od jedan: . Ekscentricitet karakterizira oblik hiperbole. Zaista, iz jednakosti (11.10) slijedi da, tj. I 
.
Iz ovoga se vidi da što je manji ekscentricitet hiperbole, to je manji omjer njenih poluosi, a samim tim i njen glavni pravougaonik više je izdužen.
Ekscentricitet jednakostranične hiperbole je . stvarno,
Fokalni radijusi 
I 
za tačke desne grane hiperbole imaju oblik i , a za levu granu - 
I 
.
Direktne linije nazivaju se direktrisama hiperbole. Budući da je za hiperbolu ε > 1, onda . To znači da se desna direktrisa nalazi između centra i desnog vrha hiperbole, lijeva - između centra i lijevog vrha.
Directrise hiperbole imaju isto svojstvo kao i direktrise elipse.
Krivulja definirana jednadžbom je također hiperbola, čija se realna os 2b nalazi na osi Oy, a imaginarna osa 2 a- na osi Ox. Na slici 59 prikazan je kao isprekidana linija.
Očigledno je da hiperbole imaju zajedničke asimptote. Takve hiperbole se nazivaju konjugate.
11.5. Parabola
Kanonska parabola jednadžba
Parabola je skup svih tačaka ravni, od kojih je svaka jednako udaljena od date tačke, koja se zove fokus, i date prave koja se zove direktrisa. Udaljenost od fokusa F do direktrise naziva se parametar parabole i označava se sa p (p > 0).
Za izvođenje jednačine parabole biramo koordinatni sistem Oxy tako da os Ox prolazi kroz fokus F okomito na direktrisu u smjeru od direktrise do F, a ishodište koordinata O nalazi se u sredini između fokus i direktrisa (vidi sliku 60). U odabranom sistemu fokus F ima koordinate , a jednadžba direktrise ima oblik , ili .
1. U jednačini (11.13) varijabla y se pojavljuje u parnom stepenu, što znači da je parabola simetrična oko ose Ox; Osa Ox je osa simetrije parabole.
2. Kako je ρ > 0, iz (11.13) slijedi da je . Prema tome, parabola se nalazi desno od ose Oy.
3. Kada imamo y = 0. Dakle, parabola prolazi kroz ishodište.
4. Kako se x neograničeno povećava, modul y također raste beskonačno. Parabola ima oblik (oblik) prikazan na slici 61. Tačka O(0; 0) naziva se vrh parabole, odsječak FM = r se naziva fokalni polumjer tačke M.
Jednadžbe , , ( p>0) također definiraju parabole, one su prikazane na slici 62
Lako je pokazati da je graf kvadratnog trinoma, gdje su , B i C bilo koji realni brojevi, parabola u smislu gore navedene definicije.
11.6. Opšta jednadžba linija drugog reda
Jednadžbe krivulja drugog reda sa osama simetrije paralelnim sa koordinatnim osa
Nađimo prvo jednačinu elipse sa centrom u tački, čije su osi simetrije paralelne koordinatnim osama Ox i Oy, a poluose su jednake a I b. Postavimo u centar elipse O 1 početak novog koordinatnog sistema čije ose i poluose a I b(vidi sliku 64):
Konačno, parabole prikazane na slici 65 imaju odgovarajuće jednačine.
Jednačina
Jednačine elipse, hiperbole, parabole i jednadžbe kruga nakon transformacija (otvorite zagrade, pomaknite sve članove jednadžbe na jednu stranu, dovedite slične članove, uvedite nove oznake za koeficijente) mogu se napisati pomoću jedne jednadžbe formu
pri čemu koeficijenti A i C nisu u isto vrijeme jednaki nuli.
Postavlja se pitanje: da li svaka jednadžba oblika (11.14) određuje jednu od krivulja (krug, elipsa, hiperbola, parabola) drugog reda? Odgovor je dat sljedećom teoremom.
Teorema 11.2. Jednačina (11.14) uvijek definira: ili krug (za A = C), ili elipsu (za A C > 0), ili hiperbolu (za A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
Opća jednačina drugog reda
Razmotrimo sada opštu jednačinu drugog stepena sa dve nepoznanice:
Razlikuje se od jednačine (11.14) po prisustvu člana sa proizvodom koordinata (B¹ 0). Moguće je, rotiranjem koordinatnih osa za ugao a, transformisati ovu jednačinu tako da član sa proizvodom koordinata izostane.
Korištenje formula rotacije osi
Izrazimo stare koordinate u terminima novih:
Odaberemo ugao a tako da koeficijent za x" · y" postane nula, tj. da je jednakost
Dakle, kada se ose zarotiraju za ugao a koji zadovoljava uslov (11.17), jednačina (11.15) se svodi na jednačinu (11.14).
Zaključak: opšta jednačina drugog reda (11.15) definira na ravni (osim slučajeva degeneracije i raspadanja) sljedeće krive: kružnica, elipsa, hiperbola, parabola.
Napomena: Ako je A = C, onda jednačina (11.17) postaje besmislena. U ovom slučaju, cos2α = 0 (vidi (11.16)), tada je 2α = 90°, tj. α = 45°. Dakle, kada je A = C, koordinatni sistem treba rotirati za 45°.
Elipsa je geometrijski lokus tačaka na ravni, zbir rastojanja od svake do dve date tačke F_1, a F_2 je konstantna vrednost (2a), veća od udaljenosti (2c) između ovih datih tačaka (sl. 3.36, a). Ova geometrijska definicija izražava fokalno svojstvo elipse.
Fokalno svojstvo elipse
Tačke F_1 i F_2 se nazivaju fokusi elipse, udaljenost između njih 2c=F_1F_2 je žižna daljina, sredina O segmenta F_1F_2 je centar elipse, broj 2a je dužina glavne ose elipse elipse (prema tome, broj a je velika poluosa elipse). Segmenti F_1M i F_2M koji povezuju proizvoljnu tačku M elipse sa njenim žarištima nazivaju se fokalni radijusi tačke M. Segment koji spaja dvije tačke elipse naziva se tetiva elipse.
Omjer e=\frac(c)(a) naziva se ekscentricitet elipse. Iz definicije (2a>2c) slijedi da je 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Geometrijska definicija elipse, izražavajući njegovo fokalno svojstvo, ekvivalentno je njegovoj analitičkoj definiciji - liniji datoj kanonskom jednadžbom elipse:
Zaista, hajde da uvedemo pravougaoni koordinatni sistem (slika 3.36c). Uzimamo centar O elipse kao ishodište koordinatnog sistema; uzimamo pravu liniju koja prolazi kroz žarišta (fokalnu os ili prvu os elipse) kao osu apscise (pozitivni smjer na njoj je od tačke F_1 do tačke F_2); uzmimo pravu liniju okomitu na fokalnu osu i koja prolazi kroz centar elipse (druga os elipse) kao ordinatnu os (smjer na ordinatnoj osi je odabran tako da je pravokutni koordinatni sistem Oxy pravi) .
Kreirajmo jednačinu za elipsu koristeći njenu geometrijsku definiciju, koja izražava fokalno svojstvo. U odabranom koordinatnom sistemu određujemo koordinate žarišta F_1(-c,0),~F_2(c,0). Za proizvoljnu tačku M(x,y) koja pripada elipsi imamo:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Zapisujući ovu jednakost u koordinatnom obliku, dobijamo:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Pomjerimo drugi radikal na desnu stranu, kvadriramo obje strane jednadžbe i donosimo slične članove:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Dijeljenjem sa 4 kvadriramo obje strane jednadžbe:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Nakon što je odredio b=\sqrt(a^2-c^2)>0, dobijamo b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dijelimo obje strane sa a^2b^2\ne0, dolazimo do kanonske jednadžbe elipse:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Stoga je odabrani koordinatni sistem kanonski.
Ako se žarišta elipse poklapaju, onda je elipsa kružnica (sl. 3.36,6), pošto je a=b. U ovom slučaju, svaki pravougaoni koordinatni sistem sa ishodištem u tački biće kanonski O\ekviv. F_1\ekviv. F_2, a jednačina x^2+y^2=a^2 je jednačina kružnice sa centrom u tački O i polumjerom jednakim a.
Provodeći rezonovanje obrnutim redoslijedom, može se pokazati da sve tačke čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (3.49), a samo one, pripadaju lokusu tačaka koji se naziva elipsa. Drugim riječima, analitička definicija elipse je ekvivalentna njenoj geometrijskoj definiciji, koja izražava fokalno svojstvo elipse.
Direktorijsko svojstvo elipse
Direktrise elipse su dvije prave linije koje idu paralelno sa ordinatnom osom kanonskog koordinatnog sistema na istoj udaljenosti \frac(a^2)(c) od nje. Kod c=0, kada je elipsa kružnica, nema direktrisa (možemo pretpostaviti da su direktrise u beskonačnosti).
Elipsa sa ekscentricitetom 0
U stvari, na primjer, za fokus F_2 i direktrisu d_2 (slika 3.37,6) uvjet \frac(r_2)(\rho_2)=e može se napisati u koordinatnom obliku:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\desno)
Oslobađanje od iracionalnosti i zamena e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dolazimo do jednadžbe kanonske elipse (3.49). Slično razmišljanje se može izvesti za fokus F_1 i direktora d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Jednačina elipse u polarnom koordinatnom sistemu
Jednačina elipse u polarnom koordinatnom sistemu F_1r\varphi (sl. 3.37, c i 3.37 (2)) ima oblik
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
gdje je p=\frac(b^2)(a) fokalni parametar elipse.
U stvari, izaberemo lijevi fokus F_1 elipse kao pol polarnog koordinatnog sistema, a zrak F_1F_2 kao polarnu osu (slika 3.37, c). Tada za proizvoljnu tačku M(r,\varphi), prema geometrijskoj definiciji (fokalno svojstvo) elipse, imamo r+MF_2=2a. Izražavamo rastojanje između tačaka M(r,\varphi) i F_2(2c,0) (vidi paragraf 2 napomene 2.8):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(poravnano)
Stoga, u koordinatnom obliku, jednadžba elipse F_1M+F_2M=2a ima oblik
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Izoliramo radikal, kvadriramo obje strane jednadžbe, dijelimo sa 4 i predstavljamo slične pojmove:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Izrazite polarni polumjer r i izvršite zamjenu e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Geometrijsko značenje koeficijenata u jednadžbi elipse
Nađimo tačke preseka elipse (videti sliku 3.37a) sa koordinatnim osama (vrhovima elipse). Zamjenom y=0 u jednačinu, nalazimo točke presjeka elipse sa apscisnom osom (sa fokalnom osom): x=\pm a. Dakle, dužina segmenta žižne ose unutar elipse jednaka je 2a. Ovaj segment, kao što je gore navedeno, naziva se glavna osa elipse, a broj a je velika poluosa elipse. Zamjenom x=0 dobijamo y=\pm b. Dakle, dužina segmenta druge ose elipse koja se nalazi unutar elipse jednaka je 2b. Ovaj segment se naziva mala osa elipse, a broj b je poluos elipse.
stvarno, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, a jednakost b=a dobija se samo u slučaju c=0, kada je elipsa kružnica. Stav k=\frac(b)(a)\leqslant1 naziva se omjer kompresije elipse.
Napomene 3.9
1. Prave linije x=\pm a,~y=\pm b ograničavaju glavni pravougaonik na koordinatnoj ravni, unutar koje se nalazi elipsa (vidi sliku 3.37, a).
2. Elipsa se može definirati kao lokus tačaka dobijen kompresijom kruga na njegov prečnik.
Zaista, neka je jednadžba kruga u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy x^2+y^2=a^2. Kada se komprimuje na x-osu sa koeficijentom 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Zamjenom kružnica x=x" i y=\frac(1)(k)y" u jednačinu dobijamo jednačinu za koordinate slike M"(x",y") tačke M(x,y) ) : (x")^2+(\lijevo(\frac(1)(k)\cdot y"\desno)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} budući da je b=k\cdot a . Ovo je kanonska jednadžba elipse. 3. Koordinatne ose (kanonskog koordinatnog sistema) su ose simetrije elipse (koje se nazivaju glavne ose elipse), a njen centar je centar simetrije. Zaista, ako tačka M(x,y) pripada elipsi . tada tačke M"(x,-y) i M""(-x,y), simetrične tački M u odnosu na koordinatne ose, takođe pripadaju istoj elipsi. 4. Iz jednadžbe elipse u polarnom koordinatnom sistemu r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vidi sliku 3.37, c), geometrijsko značenje žarišnog parametra je razjašnjeno - ovo je polovina dužine tetive elipse koja prolazi kroz njen fokus okomito na fokalnu osu ( r = p na \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ekscentricitet e karakteriše oblik elipse, odnosno razliku između elipse i kružnice. Što je veće e, to je elipsa izduženija, a što je e bliže nuli, to je elipsa bliža krugu (slika 3.38a). Zaista, uzimajući u obzir da je e=\frac(c)(a) i c^2=a^2-b^2, dobijamo E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\desno )\^2=1-k^2,
!} gdje je k omjer kompresije elipse, 0 6. Jednačina \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 at a
7. Jednačina \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiše elipsu sa centrom u tački O"(x_0,y_0), čije su ose paralelne sa koordinatnim osa (slika 3.38, c). Ova jednačina se svodi na kanonsku pomoću paralelnog prevođenja (3.36). Kada je a=b=R jednačina (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje krug radijusa R sa centrom u tački O"(x_0,y_0) . Parametrijska jednadžba elipse u kanonskom koordinatnom sistemu ima oblik \begin(slučajevi)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(slučajevi)0\leqslant t<2\pi.
Zaista, zamjenom ovih izraza u jednačinu (3.49), dolazimo do glavnog trigonometrijskog identiteta \cos^2t+\sin^2t=1 . Primjer 3.20. Nacrtajte elipsu \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 u kanonskom koordinatnom sistemu Oxy. Pronađite polu-ose, žižnu daljinu, ekscentricitet, kompresiju, fokusni parametar, jednačine direktrise. Rješenje. Upoređujući datu jednačinu sa kanonskom, određujemo poluose: a=2 - velika poluosa, b=1 - mala poluosa elipse. Gradimo glavni pravougaonik sa stranicama 2a=4,~2b=2 sa centrom na početku (slika 3.39). S obzirom na simetriju elipse, uklapamo je u glavni pravougaonik. Ako je potrebno, odredite koordinate nekih tačaka elipse. Na primjer, zamjenom x=1 u jednadžbu elipse, dobijamo \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Dakle, tačke sa koordinatama \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- pripadaju elipsi. Izračunavanje omjera kompresije k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); žižna daljina 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekscentričnost e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fokalni parametar p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Sastavljamo jednadžbe direktrisa: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Elipsa je geometrijski lokus tačaka na ravni, zbir rastojanja od svake do dve date tačke F_1, a F_2 je konstantna vrednost (2a), veća od udaljenosti (2c) između ovih datih tačaka (sl. 3.36, a). Ova geometrijska definicija izražava fokalno svojstvo elipse. Tačke F_1 i F_2 se nazivaju fokusi elipse, udaljenost između njih 2c=F_1F_2 je žižna daljina, sredina O segmenta F_1F_2 je centar elipse, broj 2a je dužina glavne ose elipse elipse (prema tome, broj a je velika poluosa elipse). Segmenti F_1M i F_2M koji povezuju proizvoljnu tačku M elipse sa njenim žarištima nazivaju se fokalni radijusi tačke M. Segment koji spaja dvije tačke elipse naziva se tetiva elipse. Omjer e=\frac(c)(a) naziva se ekscentricitet elipse. Iz definicije (2a>2c) slijedi da je 0\leqslant e<1
. При e=0
, т.е. при c=0
, фокусы F_1
и F_2
, а также центр O
совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a
(рис.3.36,6). Geometrijska definicija elipse, izražavajući njegovo fokalno svojstvo, ekvivalentno je njegovoj analitičkoj definiciji - liniji datoj kanonskom jednadžbom elipse: Zaista, hajde da uvedemo pravougaoni koordinatni sistem (slika 3.36c). Uzimamo centar O elipse kao ishodište koordinatnog sistema; uzimamo pravu liniju koja prolazi kroz žarišta (fokalnu os ili prvu os elipse) kao osu apscise (pozitivni smjer na njoj je od tačke F_1 do tačke F_2); uzmimo pravu liniju okomitu na fokalnu osu i koja prolazi kroz centar elipse (druga os elipse) kao ordinatnu os (smjer na ordinatnoj osi je odabran tako da je pravokutni koordinatni sistem Oxy pravi) . Kreirajmo jednačinu za elipsu koristeći njenu geometrijsku definiciju, koja izražava fokalno svojstvo. U odabranom koordinatnom sistemu određujemo koordinate žarišta F_1(-c,0),~F_2(c,0). Za proizvoljnu tačku M(x,y) koja pripada elipsi imamo: \vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a. Zapisujući ovu jednakost u koordinatnom obliku, dobijamo: \sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a. Pomjerimo drugi radikal na desnu stranu, kvadriramo obje strane jednadžbe i donosimo slične članove: (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx. Dijeljenjem sa 4 kvadriramo obje strane jednadžbe: a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2). Nakon što je odredio b=\sqrt(a^2-c^2)>0, dobijamo b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dijelimo obje strane sa a^2b^2\ne0, dolazimo do kanonske jednadžbe elipse: \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1. Stoga je odabrani koordinatni sistem kanonski. Ako se žarišta elipse poklapaju, onda je elipsa kružnica (sl. 3.36,6), pošto je a=b. U ovom slučaju, svaki pravougaoni koordinatni sistem sa ishodištem u tački biće kanonski O\ekviv. F_1\ekviv. F_2, a jednačina x^2+y^2=a^2 je jednačina kružnice sa centrom u tački O i polumjerom jednakim a. Provodeći rezonovanje obrnutim redoslijedom, može se pokazati da sve tačke čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (3.49), a samo one, pripadaju lokusu tačaka koji se naziva elipsa. Drugim riječima, analitička definicija elipse je ekvivalentna njenoj geometrijskoj definiciji, koja izražava fokalno svojstvo elipse. Direktrise elipse su dvije prave linije koje idu paralelno sa ordinatnom osom kanonskog koordinatnog sistema na istoj udaljenosti \frac(a^2)(c) od nje. Kod c=0, kada je elipsa kružnica, nema direktrisa (možemo pretpostaviti da su direktrise u beskonačnosti). Elipsa sa ekscentricitetom 0 U stvari, na primjer, za fokus F_2 i direktrisu d_2 (slika 3.37,6) uvjet \frac(r_2)(\rho_2)=e može se napisati u koordinatnom obliku: \sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\desno) Oslobađanje od iracionalnosti i zamena e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dolazimo do jednadžbe kanonske elipse (3.49). Slično razmišljanje se može izvesti za fokus F_1 i direktora d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e. Jednačina elipse u polarnom koordinatnom sistemu F_1r\varphi (sl. 3.37, c i 3.37 (2)) ima oblik r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi) gdje je p=\frac(b^2)(a) fokalni parametar elipse. U stvari, izaberemo lijevi fokus F_1 elipse kao pol polarnog koordinatnog sistema, a zrak F_1F_2 kao polarnu osu (slika 3.37, c). Tada za proizvoljnu tačku M(r,\varphi), prema geometrijskoj definiciji (fokalno svojstvo) elipse, imamo r+MF_2=2a. Izražavamo udaljenost između tačaka M(r,\varphi) i F_2(2c,0) (vidi): \begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(poravnano) Stoga, u koordinatnom obliku, jednadžba elipse F_1M+F_2M=2a ima oblik r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a. Izoliramo radikal, kvadriramo obje strane jednadžbe, dijelimo sa 4 i predstavljamo slične pojmove: r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2. Izrazite polarni polumjer r i izvršite zamjenu e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a): r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), Q.E.D. Nađimo tačke preseka elipse (videti sliku 3.37a) sa koordinatnim osama (vrhovima elipse). Zamjenom y=0 u jednačinu, nalazimo točke presjeka elipse sa apscisnom osom (sa fokalnom osom): x=\pm a. Dakle, dužina segmenta žižne ose unutar elipse jednaka je 2a. Ovaj segment, kao što je gore navedeno, naziva se glavna osa elipse, a broj a je velika poluosa elipse. Zamjenom x=0 dobijamo y=\pm b. Dakle, dužina segmenta druge ose elipse koja se nalazi unutar elipse jednaka je 2b. Ovaj segment se naziva mala osa elipse, a broj b je poluos elipse. stvarno, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, a jednakost b=a dobija se samo u slučaju c=0, kada je elipsa kružnica. Stav k=\frac(b)(a)\leqslant1 naziva se omjer kompresije elipse. Napomene 3.9 1. Prave linije x=\pm a,~y=\pm b ograničavaju glavni pravougaonik na koordinatnoj ravni, unutar koje se nalazi elipsa (vidi sliku 3.37, a). 2. Elipsa se može definirati kao lokus tačaka dobijen kompresijom kruga na njegov prečnik. Zaista, neka je jednadžba kruga u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy x^2+y^2=a^2. Kada se komprimuje na x-osu sa koeficijentom 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Zamjenom kružnica x=x" i y=\frac(1)(k)y" u jednačinu dobijamo jednačinu za koordinate slike M"(x",y") tačke M(x,y) ) : (x")^2+(\lijevo(\frac(1)(k)\cdot y"\desno)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} budući da je b=k\cdot a . Ovo je kanonska jednadžba elipse. 3. Koordinatne ose (kanonskog koordinatnog sistema) su ose simetrije elipse (koje se nazivaju glavne ose elipse), a njen centar je centar simetrije. Zaista, ako tačka M(x,y) pripada elipsi . tada tačke M"(x,-y) i M""(-x,y), simetrične tački M u odnosu na koordinatne ose, takođe pripadaju istoj elipsi. 4. Iz jednadžbe elipse u polarnom koordinatnom sistemu r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vidi sliku 3.37, c), geometrijsko značenje žarišnog parametra je razjašnjeno - ovo je polovina dužine tetive elipse koja prolazi kroz njen fokus okomito na fokalnu osu (r=p pri \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ekscentricitet e karakteriše oblik elipse, odnosno razliku između elipse i kružnice. Što je veće e, to je elipsa izduženija, a što je e bliže nuli, to je elipsa bliža krugu (slika 3.38a). Zaista, uzimajući u obzir da je e=\frac(c)(a) i c^2=a^2-b^2, dobijamo e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\desno )\^2=1-k^2,
!} gdje je k omjer kompresije elipse, 0 6. Jednačina \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 at a 7. Jednačina \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiše elipsu sa centrom u tački O"(x_0,y_0), čije su ose paralelne sa koordinatnim osa (slika 3.38, c). Ova jednačina se svodi na kanonsku pomoću paralelnog prevođenja (3.36). Kada je a=b=R jednačina (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje krug radijusa R sa centrom u tački O"(x_0,y_0) . Parametrijska jednadžba elipse u kanonskom koordinatnom sistemu ima oblik \begin(slučajevi)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(slučajevi)0\leqslant t<2\pi.
Zaista, zamjenom ovih izraza u jednačinu (3.49), dolazimo do glavnog trigonometrijskog identiteta \cos^2t+\sin^2t=1. Primjer 3.20. Nacrtajte elipsu \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 u kanonskom koordinatnom sistemu Oxy. Pronađite polu-ose, žižnu daljinu, ekscentricitet, kompresiju, fokusni parametar, jednačine direktrise. Rješenje. Upoređujući datu jednačinu sa kanonskom, određujemo poluose: a=2 - velika poluosa, b=1 - mala poluosa elipse. Gradimo glavni pravougaonik sa stranicama 2a=4,~2b=2 sa centrom na početku (slika 3.39). S obzirom na simetriju elipse, uklapamo je u glavni pravougaonik. Ako je potrebno, odredite koordinate nekih tačaka elipse. Na primjer, zamjenom x=1 u jednadžbu elipse, dobijamo \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Dakle, tačke sa koordinatama \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- pripadaju elipsi. Izračunavanje omjera kompresije k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); žižna daljina 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekscentričnost e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fokalni parametar p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Sastavljamo jednadžbe direktrisa: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Definicija. Elipsa je geometrijsko mjesto tačaka na ravni, od kojih je zbir udaljenosti svake od dvije date tačke ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost (pod uvjetom da je ta vrijednost veća od udaljenosti između žarišta) . Označimo žarišta rastojanjem između njih - sa , a konstantnu vrijednost jednaku zbroju udaljenosti od svake tačke elipse do žarišta sa (prema uslovu). Konstruirajmo Dekartov koordinatni sistem tako da su fokusi na osi apscisa, a ishodište koordinata se poklapa sa sredinom segmenta (slika 44). Tada će fokusi imati sljedeće koordinate: lijevi fokus i desni fokus. Izvedemo jednačinu elipse u koordinatnom sistemu koji smo odabrali. U tu svrhu razmotrite proizvoljnu tačku elipse. Po definiciji elipse, zbir udaljenosti od ove tačke do žarišta jednak je: Koristeći formulu za rastojanje između dve tačke, dobijamo Da bismo pojednostavili ovu jednačinu, zapisujemo je u obliku Zatim kvadriranjem obe strane jednačine dobijamo ili, nakon očiglednih pojednostavljenja: Sada ponovo kvadriramo obje strane jednadžbe, nakon čega imamo: ili, nakon identičnih transformacija: Pošto je, prema uslovu u definiciji elipse, broj pozitivan. Hajde da uvedemo notaciju Tada će jednačina poprimiti sljedeći oblik: Prema definiciji elipse, koordinate bilo koje njene tačke zadovoljavaju jednačinu (26). Ali jednačina (29) je posljedica jednačine (26). Shodno tome, zadovoljavaju ga i koordinate bilo koje tačke elipse. Može se pokazati da koordinate tačaka koje ne leže na elipsi ne zadovoljavaju jednačinu (29). Dakle, jednačina (29) je jednačina elipse. Zove se kanonska jednadžba elipse. Utvrdimo oblik elipse koristeći njenu kanonsku jednadžbu. Prije svega, obratimo pažnju na činjenicu da ova jednadžba sadrži samo parne potencije x i y. To znači da ako bilo koja tačka pripada elipsi, onda ona takođe sadrži tačku simetričnu tačku u odnosu na osu apscise, i tačku simetričnu sa tačkom u odnosu na osu ordinate. Dakle, elipsa ima dvije međusobno okomite ose simetrije, koje se u našem odabranom koordinatnom sistemu poklapaju sa koordinatnim osa. Ose simetrije elipse ćemo od sada zvati osi elipse, a tačku njihovog preseka središtem elipse. Osa na kojoj se nalaze žarišta elipse (u ovom slučaju osa apscise) naziva se fokalna os. Prvo odredimo oblik elipse u prvoj četvrtini. Da bismo to učinili, riješimo jednačinu (28) za y: Očigledno je da ovdje , budući da y uzima imaginarne vrijednosti. Kako povećavate od 0 do a, y se smanjuje sa b na 0. Dio elipse koji leži u prvoj četvrtini bit će luk omeđen tačkama B (0; b) i koji leži na koordinatnim osa (slika 45). Koristeći sada simetriju elipse, dolazimo do zaključka da elipsa ima oblik prikazan na sl. 45. Tačke preseka elipse sa osama nazivaju se vrhovi elipse. Iz simetrije elipse proizilazi da, pored vrhova, elipsa ima još dva vrha (vidi sliku 45). Segmenti i spojni suprotni vrhovi elipse, kao i njihove dužine, nazivaju se velika i mala osa elipse, respektivno. Brojevi a i b nazivaju se glavna i mala poluos elipse, respektivno. Omjer polovice udaljenosti između žarišta i velike poluose elipse naziva se ekscentricitet elipse i obično se označava slovom: Budući da je , ekscentricitet elipse manji od jedinice: Ekscentricitet karakterizira oblik elipse. Zaista, iz formule (28) proizlazi da što je manji ekscentricitet elipse, to se njena mala poluos b manje razlikuje od velike poluose a, odnosno, manje je izdužena elipsa (duž žižne ose). U graničnom slučaju, rezultat je krug radijusa a: , ili . Istovremeno, čini se da se žarišta elipse spajaju u jednoj tački - centru kruga. Ekscentricitet kruga je nula: Veza između elipse i kruga može se uspostaviti i sa druge tačke gledišta. Pokažimo da se elipsa sa poluosama a i b može smatrati projekcijom kružnice poluprečnika a. Razmotrimo dvije ravni P i Q koje tvore između sebe takav ugao a, za koji (Sl. 46). Konstruirajmo koordinatni sistem u ravni P, au Q ravni sistem Oxy sa zajedničkim ishodištem O i zajedničkom osom apscise koja se poklapa sa linijom preseka ravnina. Razmotrimo kružnicu u ravni P sa centrom u početku i poluprečnikom jednakim a. Neka je proizvoljno odabrana tačka na kružnici, njena projekcija na Q ravan i neka je projekcija tačke M na osu Ox. Pokažimo da tačka leži na elipsi sa poluosama a i b.Parametrijska jednadžba elipse
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!
Fokalno svojstvo elipse
Direktorijsko svojstvo elipse
Jednačina elipse u polarnom koordinatnom sistemu
Geometrijsko značenje koeficijenata u jednadžbi elipse
Parametrijska jednadžba elipse
