U prošlom video tutorijalu naučili smo da je stepen određene baze izraz koji je proizvod baze i samog sebe, uzet u iznosu jednakom eksponentu. Proučimo sada neka od najvažnijih svojstava i operacija moći.
Na primjer, pomnožimo dvije različite potencije sa istom bazom:
Pogledajmo ovaj komad u cijelosti:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Izračunavajući vrijednost ovog izraza, dobijamo broj 32. S druge strane, kao što se vidi iz istog primjera, 32 se može predstaviti kao proizvod iste baze (dva), uzete 5 puta. I zaista, ako računate, onda:
Dakle, može se sa sigurnošću zaključiti da:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Ovo pravilo uspješno funkcionira za sve indikatore i sve osnove. Ovo svojstvo množenja stepena proizilazi iz pravila očuvanja značenja izraza tokom transformacija u proizvodu. Za bilo koju bazu a, proizvod dvaju izraza (a) x i (a) y jednak je a (x + y). Drugim riječima, kada se proizvodi bilo koji izraz sa istom bazom, konačni monom ima ukupan stepen formiran zbrajanjem stepena prvog i drugog izraza.
Predstavljeno pravilo također odlično funkcionira kada se množe nekoliko izraza. Glavni uslov je da osnove za sve budu iste. Na primjer:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Nemoguće je sabirati stepene i općenito izvoditi bilo kakve zajedničke akcije snage sa dva elementa izraza, ako su njihove osnove različite.
Kao što pokazuje naš video, zbog sličnosti procesa množenja i dijeljenja, pravila za sabiranje potencija tokom proizvoda savršeno se prenose na postupak dijeljenja. Razmotrite ovaj primjer:
Napravimo transformaciju izraza po članu u puni oblik i smanjimo iste elemente u deljeniku i djelitelju:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Krajnji rezultat ovog primjera nije toliko zanimljiv, jer je već u toku njegovog rješavanja jasno da je vrijednost izraza jednaka kvadratu dva. A to je dvojka koja se dobija oduzimanjem stepena drugog izraza od stepena prvog.
Da bi se odredio stepen količnika, potrebno je od stepena dividende oduzeti stepen delioca. Pravilo djeluje na istoj osnovi za sve svoje vrijednosti i za sve prirodne moći. U apstraktnom obliku imamo:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Definicija za nulti stepen slijedi iz pravila za dijeljenje identičnih baza sa potencijama. Očigledno je sljedeći izraz:
(a) x / (a) x = (a) (x - x) \u003d (a) 0
S druge strane, ako podijelimo na vizualniji način, dobićemo:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Pri redukciji svih vidljivih elemenata razlomka uvijek se dobije izraz 1/1, odnosno jedan. Stoga je općenito prihvaćeno da je svaka baza podignuta na nulti stepen jednaka jedan:
Bez obzira na vrijednost a.
Međutim, bilo bi apsurdno da je 0 (što još uvijek daje 0 za bilo koje množenje) na neki način jednako jedan, tako da izraz poput (0) 0 (nula do nulte stope) jednostavno nema smisla, a formula (a) 0 = 1 dodajte uslov: "ako a nije jednako 0".
Hajde da uradimo vežbu. Nađimo vrijednost izraza:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Pošto je baza svuda ista i jednaka je 34, konačna vrijednost će imati istu bazu sa stepenom (prema gornjim pravilima):
Drugim riječima:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Odgovor: Izraz je jednak jedan.
Lekcija na temu: "Pravila za množenje i dijeljenje potencija sa istim i različitim eksponentima. Primjeri"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 7. razred
Priručnik za udžbenik Yu.N. Makarycheva Priručnik za udžbenik A.G. Mordkovich
Svrha lekcije: naučiti kako izvoditi operacije sa potencijama broja.
Za početak, prisjetimo se koncepta "potencijal broja". Izraz poput $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ može se predstaviti kao $a^n$.
I obrnuto: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Ova jednakost se naziva "bilježenje stepena kao proizvoda". To će nam pomoći da odredimo kako da množimo i dijelimo moći.
Zapamtite:
a- osnova diplome.
n- eksponent.
Ako n=1, što znači broj A uzeti jednom i redom: $a^n= 1$.
Ako n=0, tada $a^0= 1$.
Zašto se to dešava, saznaćemo kada se upoznamo sa pravilima množenja i dijeljenja potencija.
pravila množenja
a) Ako se pomnože potenci sa istom osnovom.Za $a^n * a^m$, zapisujemo stepene kao proizvod: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Slika pokazuje da je broj A su uzeli n+m puta, onda je $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Primjer.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Ovo svojstvo je zgodno koristiti za pojednostavljenje rada pri podizanju broja na veliki stepen.
Primjer.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Ako se stepeni množe s drugom osnovom, ali istim eksponentom.
Za $a^n * b^n$, zapisujemo stepene kao proizvod: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Ako zamijenimo faktore i prebrojimo rezultirajuće parove, dobićemo: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Dakle, $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Primjer.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
pravila podjele
a) Osnova stepena je ista, eksponenti su različiti.Razmislite o dijeljenju stepena sa većim eksponentom dijeljenjem stepena sa manjim eksponentom.
Dakle, neophodno je $\frac(a^n)(a^m)$, Gdje n>m.
Zapisujemo stepene kao razlomak:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Radi praktičnosti, dijeljenje pišemo kao prosti razlomak.Sada smanjimo razlomak.
Ispada: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
znači, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Ovo svojstvo će pomoći da se objasni situacija s podizanjem broja na stepen nule. Pretpostavimo to n=m, tada je $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Primjeri.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Osnove stepena su različite, indikatori su isti.
Recimo da vam treba $\frac(a^n)(b^n)$. Potencije brojeva zapisujemo kao razlomak:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Zamislimo radi praktičnosti.
Koristeći svojstvo razlomaka, dijelimo veliki razlomak na proizvod malih, dobivamo.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Prema tome: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Primjer.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Sabiranje i oduzimanje potencija
Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.
Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.
Odds iste moći istih varijabli može se dodati ili oduzeti.
Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .
Takođe je očigledno da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.
Ali stepeni razne varijable I raznih stepeni identične varijable, moraju se dodati dodavanjem njihovim znakovima.
Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3 .
Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu ni dva puta veći od a, već dvostruko veći od a.
Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Oduzimanje potencij e se sprovode na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.
Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Množenje snage
Brojevi sa stepenom mogu se množiti kao i druge veličine tako što ćete ih pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.
Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.
Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .
Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.
Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.
Dakle, a n .a m = a m+n .
Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n;
A m , uzima se kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;
Zbog toga, potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.
Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti − negativan.
1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj
Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.
Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.
Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Podjela stepena
Brojevi sa stepenom mogu se podijeliti kao i drugi brojevi oduzimanjem od djelitelja ili postavljanjem u obliku razlomka.
Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 je 3 .
Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac $. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.
Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..
Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To jest, $\frac = y$.
I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac = a^n$.
Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepena.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.
Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom
1. Smanjite eksponente u $\frac $ Odgovor: $\frac $.
2. Smanjite eksponente u $\frac$. Odgovor: $\frac $ ili 2x.
3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .
4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.
5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.
6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).
7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .
8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.
svojstva stepena
Podsjećamo vas da u ovoj lekciji razumijemo svojstva stepena sa prirodnim pokazateljima i nulom. Stepenima sa racionalnim pokazateljima i njihovim svojstvima će se govoriti u lekcijama za 8. razred.
Eksponent s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja vam omogućavaju da pojednostavite proračune u primjerima eksponenta.
Nekretnina #1
Proizvod moći
Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se sabiraju.
a m a n \u003d a m + n, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.
Ovo svojstvo snaga također utječe na proizvod tri ili više potencija.
- Pojednostavite izraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Prisutno kao diploma.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Prisutno kao diploma.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Zapišite količnik kao stepen
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Izračunati.
Napominjemo da se u navedenom svojstvu radilo samo o množenju snaga sa istim osnovama.. To se ne odnosi na njihovo dodavanje.
Ne možete zamijeniti zbir (3 3 + 3 2) sa 3 5 . Ovo je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243
Nekretnina #2
Privatne diplome
Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednačinu. Koristimo svojstvo parcijalnih stepeni.
3 8: t = 3 4
Odgovor: t = 3 4 = 81
Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, lako možete pojednostaviti izraze i izvršiti proračune.
Primjer. Pojednostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Primjer. Pronađite vrijednost izraza koristeći svojstva stupnjeva.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Napominjemo da se imovina 2 bavila samo podjelom vlasti po istim osnovama.
Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) sa 4 1 . To je razumljivo ako izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4
Nekretnina #3
Eksponencijacija
Kada se stepen diže na stepen, baza stepena ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.
(a n) m \u003d a n m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.
Podsjećamo vas da se količnik može predstaviti kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na stepen.
Kako množiti moći
Kako množiti moći? Koje snage se mogu množiti, a koje ne? Kako pomnožite broj sa stepenom?
U algebri možete pronaći proizvod potencija u dva slučaja:
1) ako stepeni imaju istu osnovu;
2) ako stepeni imaju iste pokazatelje.
Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza mora ostati ista, a eksponenti se moraju dodati:
Kada se množe stepeni sa istim pokazateljima, ukupni indikator se može izvaditi iz zagrada:
Razmotrite kako množiti moći, na konkretnim primjerima.
Jedinica u eksponentu nije zapisana, ali pri množenju stepeni uzimaju u obzir:
Prilikom množenja, broj stupnjeva može biti bilo koji. Treba imati na umu da ne možete napisati znak množenja prije slova:
U izrazima se prvo izvodi eksponencijacija.
Ako trebate pomnožiti broj sa stepenom, prvo morate izvesti eksponencijaciju, a tek onda - množenje:
Množenje snaga sa istom osnovom
Ovaj video vodič je dostupan uz pretplatu
Da li već imate pretplatu? Da uđem
U ovoj lekciji ćemo naučiti kako množiti potencije sa istom osnovom. Prvo, prisjećamo se definicije stepena i formuliramo teoremu o valjanosti jednakosti . Zatim dajemo primjere njegove primjene na određene brojeve i to dokazujemo. Teoremu ćemo primijeniti i za rješavanje raznih problema.
Tema: Stepen sa prirodnim pokazateljem i njegovim svojstvima
Lekcija: Množenje potencija sa istim osnovama (formula)
1. Osnovne definicije
Osnovne definicije:
n- eksponent,
— n-ti stepen broja.
2. Izjava teoreme 1
Teorema 1. Za bilo koji broj A i bilo koje prirodne n I k jednakost je istinita:
Drugim riječima: ako A- bilo koji broj; n I k prirodni brojevi, onda:
Otuda pravilo 1:
3. Objašnjavanje zadataka
zaključak: specijalni slučajevi su potvrdili tačnost teoreme br. 1. Dokažimo to u opštem slučaju, odnosno za bilo koji A i bilo koje prirodne n I k.
4. Dokaz teoreme 1
Dat je broj A- bilo koji; brojevi n I k- prirodno. dokazati:
Dokaz se zasniva na definiciji stepena.
5. Rješenje primjera pomoću teoreme 1
Primjer 1: Prisutno kao diploma.
Za rješavanje sljedećih primjera koristimo teoremu 1.
i) 
6. Generalizacija teoreme 1
Evo generalizacije:
7. Rješenje primjera koristeći generalizaciju teoreme 1
8. Rješavanje raznih zadataka korištenjem teoreme 1
Primjer 2: Izračunajte (možete koristiti tabelu osnovnih stupnjeva).
A) 
(prema tabeli)
b) 
Primjer 3: Zapiši kao stepen sa osnovom 2.
A) 
Primjer 4: Odredi predznak broja:
, A - negativan jer je eksponent na -13 neparan.
Primjer 5: Zamijenite ( ) sa napajanjem sa bazom r:
Imamo, to jest.
9. Sumiranje
1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 7. 6. izdanje. M.: Prosvetljenje. 2010
1. Školski asistent (izvor).
1. Izrazite kao stepen:
a B C D E) 
3. Zapišite kao stepen sa bazom 2:
4. Odredi predznak broja:
A) 
5. Zamijenite ( ) sa stepenom broja s osnovom r:
a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6
Množenje i podjela potencija sa istim eksponentima
U ovoj lekciji ćemo proučavati množenje potencija sa istim eksponentima. Prvo, prisjetimo se osnovnih definicija i teorema o množenju i dijeljenju potencija sa istim osnovama i podizanju stepena na stepen. Zatim formuliramo i dokazujemo teoreme o množenju i podjeli potencija sa istim eksponentima. A onda ćemo uz njihovu pomoć riješiti niz tipičnih problema.
Podsjetnik na osnovne definicije i teoreme
Evo a- osnova diplome
— n-ti stepen broja.
Teorema 1. Za bilo koji broj A i bilo koje prirodne n I k jednakost je istinita:
Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, eksponenti se sabiraju, baza ostaje nepromijenjena.
Teorema 2. Za bilo koji broj A i bilo koje prirodne n I k, takav da n > k jednakost je istinita:
Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, eksponenti se oduzimaju, a baza ostaje nepromijenjena.
Teorema 3. Za bilo koji broj A i bilo koje prirodne n I k jednakost je istinita:
Sve gore navedene teoreme bile su o moćima sa istim osnove, ova lekcija će razmatrati diplome sa istim indikatori.
Primjeri za množenje potencija sa istim eksponentima
Razmotrite sljedeće primjere:
Napišimo izraze za određivanje stepena.
zaključak: Iz primjera to možete vidjeti 
, ali to još treba dokazati. Formuliramo teoremu i dokazujemo je u općem slučaju, odnosno za bilo koji A I b i bilo koje prirodne n.
Iskaz i dokaz teoreme 4
Za bilo koje brojeve A I b i bilo koje prirodne n jednakost je istinita:
Dokaz Teorema 4 .
Po definiciji stepena:
Dakle, mi smo to dokazali .
Za množenje stepena sa istim eksponentom, dovoljno je pomnožiti baze, a eksponent ostaviti nepromijenjen.
Iskaz i dokaz teoreme 5
Formuliramo teoremu za podjelu potencija sa istim eksponentima.
Za bilo koji broj A I b() i bilo koje prirodne n jednakost je istinita:
Dokaz Teorema 5 .
Zapišimo i po definiciji stepena:
Izjava teorema riječima
Tako da smo to dokazali.
Da biste podijelili stupnjeve sa istim eksponentima jedan na drugi, dovoljno je podijeliti jednu bazu drugom, a eksponent ostaviti nepromijenjen.
Rješenje tipičnih zadataka korištenjem teoreme 4
Primjer 1: Izrazite kao proizvod moći.
Za rješavanje sljedećih primjera koristimo teoremu 4.
Da biste riješili sljedeći primjer, prisjetite se formula:
Generalizacija teoreme 4
Generalizacija teoreme 4:
Rješavanje primjera pomoću generalizirane teoreme 4
Nastavak rješavanja tipičnih problema
Primjer 2: Napišite kao stepen proizvoda.
Primjer 3: Zapiši kao stepen sa eksponentom 2.
Primjeri izračunavanja
Primjer 4: Izračunajte na najracionalniji način.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Koljagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. i dr. Algebra 7 .M .: Obrazovanje. 2006
2. Školski asistent (izvor).
1. Prisutno kao proizvod moći:
A) ; b) ; V) ; G) ;
2. Zapišite kao stepen proizvoda:
3. Napišite u obliku stepena sa indikatorom 2:
4. Izračunajte na najracionalniji način.
Čas matematike na temu "Množenje i podjela potencija"
Odjeljci: Matematika
Pedagoški cilj:
Zadaci:
Jedinice aktivnosti doktrine: određivanje stepena prirodnim pokazateljem; komponente stepena; definicija privatnog; asocijativni zakon množenja.
I. Organizacija demonstracije savladavanja postojećih znanja od strane učenika. (korak 1)
a) Ažuriranje znanja:
2) Formulisati definiciju stepena sa prirodnim indikatorom.
a n \u003d a a a a ... a (n puta)
b k \u003d b b b b a ... b (k puta) Obrazložite svoj odgovor.
II. Organizacija samoprocjene pripravnika po stepenu posjedovanja relevantnog iskustva. (korak 2)
Test za samoispitivanje: (samostalni rad u dvije verzije.)
A1) Izrazite proizvod 7 7 7 7 x x x kao stepen:
A2) Izraziti kao proizvod stepen (-3) 3 x 2
A3) Izračunaj: -2 3 2 + 4 5 3
Broj zadataka na testu biram u skladu sa pripremom razreda.
Za test dajem ključ za samotestiranje. Kriterijum: prošao-neuspeo.
III. Edukativni i praktični zadatak (korak 3) + korak 4. (učenici će sami formulirati svojstva)
U toku rješavanja zadataka 1) i 2) učenici predlažu rješenje, a ja, kao nastavnik, organizujem čas da pronađem način da uprostim potencije pri množenju sa istim osnovama.
Učitelj: smislite način da pojednostavite potencije pri množenju sa istom osnovom.
Na klasteru se pojavljuje unos:
Formulisana je tema lekcije. Množenje moći.
Učitelj: smisli pravilo za podelu stepena sa istim osnovama.
Obrazloženje: koja radnja provjerava podjelu? a 5: a 3 = ? da je a 2 a 3 = a 5
Vraćam se na šemu - klaster i dopunjavam unos - ..prilikom dijeljenja oduzimam i dodajem temu lekcije. ...i podjela stepena.
IV. Saopštavanje studentima granica znanja (kao minimum i kao maksimum).
Učitelj: Zadatak minimuma za današnju lekciju je naučiti kako primijeniti svojstva množenja i dijeljenja potencija sa istim osnovama, a maksimuma: primijeniti množenje i dijeljenje zajedno.
Pišite na tabli : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n
V. Organizacija proučavanja novog gradiva. (korak 5)
a) Prema udžbeniku: br. 403 (a, c, e) zadaci različitog teksta
br.404 (a,e,f) samostalan rad, zatim organizujem međusobnu provjeru, dajem ključeve.
b) Za koju vrijednost m vrijedi jednakost? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Zadatak: smisliti slične primjere za dijeljenje.
c) br. 417 (a), br. 418 (a) Zamke za studente: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.
VI. Sumiranje naučenog, provođenje dijagnostičkog rada (koji podstiče učenike, a ne nastavnike, da proučavaju ovu temu) (korak 6)
dijagnostički rad.
Test(stavite ključeve na poleđinu testa).
Opcije zadatka: predstaviti kao stepen količnik x 15: x 3; predstavljaju kao stepen proizvod (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; za koje je m jednakost a 16 a m = a 32 tačna; naći vrijednost izraza h 0: h 2 sa h = 0,2; izračunaj vrijednost izraza (5 2 5 0) : 5 2 .
Sažetak lekcije. Refleksija. Delim razred u dve grupe.
Pronađite argumente grupe I: u korist poznavanja svojstava stepena, i grupe II - argumente koji će reći da se može i bez svojstava. Slušamo sve odgovore, donosimo zaključke. U narednim lekcijama možete ponuditi statističke podatke i nazvati rubriku „Ne uklapa mi se u glavu!“
VII. Zadaća.
Istorijska referenca. Koji brojevi se nazivaju Fermaovi brojevi.
P.19. #403, #408, #417
rabljene knjige:
Svojstva stupnjeva, formulacije, dokazi, primjeri.
Nakon što se utvrdi stepen broja, logično je govoriti o tome svojstva stepena. U ovom članku ćemo dati osnovne osobine stepena broja, dotičući se svih mogućih eksponenata. Ovdje ćemo dati dokaze svih svojstava stepena, a također ćemo pokazati kako se ova svojstva primjenjuju pri rješavanju primjera.
Navigacija po stranici.
Svojstva stepena sa prirodnim pokazateljima
Po definiciji stepena sa prirodnim eksponentom, snaga a n je proizvod n faktora, od kojih je svaki jednak a . Na osnovu ove definicije i korištenje svojstva množenja realnih brojeva, možemo dobiti i opravdati sljedeće svojstva stepena sa prirodnim eksponentom:
- ako je a>0, onda a n >0 za bilo koje prirodno n;
- ako je a=0, onda je a n =0;
- ako je a 2 m >0, ako je a 2 m−1 n;
- ako su m i n prirodni brojevi takvi da je m>n, tada je za 0m n, a za a>0 tačna nejednakost a m >a n.
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n ;
- ako je n pozitivan cijeli broj, a i b su pozitivni brojevi i a n n i a−n>b−n ;
- ako su m i n cijeli brojevi i m>n , tada je za 0m n i za a>1 nejednakost a m >a n zadovoljena.
Odmah napominjemo da su sve zapisane jednakosti identičan pod navedenim uslovima, a njihovi desni i lijevi dio mogu se zamijeniti. Na primjer, glavno svojstvo razlomka a m a n = a m + n sa pojednostavljenje izrazačesto se koristi u obliku a m+n = a m a n .
Sada pogledajmo svaki od njih detaljno.
Počnimo sa svojstvom proizvoda dva stepena sa istim bazama, koje se zove glavno svojstvo diplome: za bilo koji realan broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n, jednakost a m ·a n =a m+n je tačna.
Hajde da dokažemo glavno svojstvo stepena. Po definiciji stepena sa prirodnim eksponentom, proizvod potencija sa istim osnovama oblika a m a n može se napisati kao proizvod 
. Zbog svojstava množenja, rezultirajući izraz se može zapisati kao 
, a ovaj proizvod je stepen a sa prirodnim eksponentom m+n , odnosno a m+n . Ovim je dokaz završen.
Navedimo primjer koji potvrđuje glavno svojstvo stepena. Uzmimo stepene sa istim bazama 2 i prirodnim potencijama 2 i 3, prema glavnom svojstvu stepena možemo napisati jednakost 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Provjerimo njegovu valjanost, za šta izračunamo vrijednosti izraza 2 2 ·2 3 i 2 5 . Izvodeći eksponencijaciju, imamo 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 i 2 5 =2 2 2 2 2=32 , pošto dobijamo jednake vrijednosti, onda je jednakost 2 2 2 3 = 2 5 je tačno i potvrđuje glavno svojstvo stepena.
Glavno svojstvo stepena zasnovano na svojstvima množenja može se generalizovati na proizvod tri ili više stepeni sa istim bazama i prirodnim eksponentima. Dakle, za bilo koji broj k prirodnih brojeva n 1 , n 2 , …, n k vrijedi jednakost a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Na primjer, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .
Možete preći na sljedeće svojstvo stupnjeva sa prirodnim indikatorom - svojstvo parcijalnih snaga sa istim osnovama: za bilo koji realni broj različit od nule i proizvoljne prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju uslov m>n , jednakost a m:a n =a m−n je tačna.
Prije nego što damo dokaz ovog svojstva, raspravimo značenje dodatnih uvjeta u formulaciji. Uslov a≠0 je neophodan da bi se izbeglo deljenje sa nulom, pošto je 0 n =0, a kada smo se upoznali sa deljenjem, složili smo se da je nemoguće deliti nulom. Uslov m>n se uvodi tako da ne idemo dalje od prirodnih eksponenata. Zaista, za m>n, eksponent a m−n je prirodan broj, inače će biti ili nula (što se dešava kada je m−n) ili negativan broj (što se dešava kada je m m−n a n =a (m−n) + n = a m Iz dobijene jednakosti a m−n a n = a m i iz relacije množenja sa deljenjem proizilazi da je a m−n parcijalni stepen a m i a n. Ovo dokazuje svojstvo parcijalnih stepena sa istim bazama.
Uzmimo primjer. Uzmimo dva stepena sa istim bazama π i prirodnim eksponentima 5 i 2, razmatrano svojstvo stepena odgovara jednakosti π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
Sada razmislite svojstvo stepena proizvoda: prirodni stepen n proizvoda bilo koja dva realna broja a i b jednak je proizvodu stepeni a n i b n , odnosno (a b) n =a n b n .
Zaista, po definiciji stepena sa prirodnim eksponentom, imamo 
. Posljednji proizvod, na osnovu svojstava množenja, može se prepisati kao 
, što je jednako a n b n .
Evo primjera: 
.
Ovo svojstvo se proteže na stepen proizvoda tri ili više faktora. To jest, svojstvo prirodnog stepena n proizvoda k faktora je zapisano kao (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Radi jasnoće, ovo svojstvo prikazujemo na primjeru. Za proizvod tri faktora na stepen 7, imamo .
Sljedeća nekretnina je prirodno dobro: količnik realnih brojeva a i b , b≠0 na prirodni stepen n jednak je količniku potencija a n i b n , odnosno (a:b) n =a n:b n .
Dokaz se može izvesti pomoću prethodnog svojstva. Dakle (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , a iz jednakosti (a:b) n b n =a n slijedi da je (a:b) n količnik od a n do b n .
Zapišimo ovo svojstvo na primjeru određenih brojeva: 
.
Sada da se oglasimo svojstvo eksponencijacije: za bilo koji realan broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n, stepen a m na stepen od n jednak je stepenu a sa eksponentom m·n , odnosno (a m) n =a m·n .
Na primjer, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
Dokaz svojstva moći u stepenu je sljedeći lanac jednakosti: 
.
Razmatrana osobina se može proširiti na stepen unutar stepena u stepenu, itd. Na primjer, za bilo koje prirodne brojeve p, q, r i s, jednakost 
. Radi veće jasnoće, dajmo primjer sa određenim brojevima: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Ostaje da se zadržimo na svojstvima poređenja stupnjeva s prirodnim eksponentom.
Počinjemo dokazivanjem svojstva poređenja nule i stepena s prirodnim eksponentom.
Prvo, hajde da opravdamo da je a n >0 za bilo koji a>0.
Umnožak dva pozitivna broja je pozitivan broj, kao što slijedi iz definicije množenja. Ova činjenica i svojstva množenja omogućavaju nam da tvrdimo da će rezultat množenja bilo kojeg broja pozitivnih brojeva također biti pozitivan broj. A snaga a sa prirodnim eksponentom n je, po definiciji, proizvod n faktora, od kojih je svaki jednak a. Ovi argumenti nam omogućavaju da tvrdimo da je za bilo koju pozitivnu bazu a stepen a n pozitivan broj. Na osnovu dokazanog svojstva 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 i 
.
Sasvim je očigledno da je za bilo koje prirodno n sa a=0 stepen a n nula. Zaista, 0 n =0·0·…·0=0 . Na primjer, 0 3 =0 i 0 762 =0 .
Pređimo na negativne osnove.
Počnimo sa slučajem kada je eksponent paran broj, označimo ga sa 2 m , gdje je m prirodan broj. Onda 
. Prema pravilu množenja negativnih brojeva, svaki od proizvoda oblika a a jednak je proizvodu modula brojeva a i a, što znači da je pozitivan broj. Stoga će i proizvod biti pozitivan. 
i stepen a 2 m. Evo primjera: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .
Konačno, kada je osnova a negativan broj, a eksponent neparan broj 2 m−1, tada 
. Svi proizvodi a·a su pozitivni brojevi, proizvod ovih pozitivnih brojeva je također pozitivan, a njegovo množenje s preostalim negativnim brojem a rezultira negativnim brojem. Na osnovu ovog svojstva, (−5) 3 17 n n je proizvod lijevog i desnog dijela n pravih nejednačina a svojstva nejednačina, nejednakost koja se dokazuje ima oblik a n n . Na primjer, zbog ovog svojstva, nejednakosti 3 7 7 i 
.
Ostaje da se dokaže posljednja od navedenih svojstava potencija sa prirodnim eksponentima. Hajde da to formulišemo. Od dva stepena sa prirodnim pokazateljima i istim pozitivnim osnovama, manji od jednog, veći je stepen čiji je pokazatelj manji; a od dva stepena sa prirodnim pokazateljima i istim osnovama većim od jedan, veći je stepen čiji je pokazatelj veći. Prelazimo na dokaz ovog svojstva.
Dokažimo da za m>n i 0m n . Da bismo to učinili, napišemo razliku a m − a n i uporedimo je sa nulom. Napisana razlika nakon uzimanja n iz zagrada poprimiće oblik a n ·(a m−n −1) . Rezultirajući proizvod je negativan kao proizvod pozitivnog broja a n i negativnog broja a m−n −1 (a n je pozitivan kao prirodni stepen pozitivnog broja, a razlika a m−n −1 je negativna, budući da je m−n >0 zbog početnog uslova m>n , odakle slijedi da je za 0m−n manji od jedan). Dakle, a m − a n m n , što je trebalo dokazati. Na primjer, dajemo ispravnu nejednakost.
Ostaje dokazati drugi dio imovine. Dokažimo da je za m>n i a>1 a m >a n tačno. Razlika a m −a n nakon uzimanja n iz zagrada ima oblik a n ·(a m−n −1) . Ovaj proizvod je pozitivan, jer je za a>1 stepen a n pozitivan broj, a razlika a m−n −1 pozitivan broj, jer je m−n>0 zbog početnog stanja, a za a>1, stepen a m−n je veći od jedan. Dakle, a m − a n >0 i a m >a n, što je trebalo dokazati. Ovo svojstvo ilustruje nejednakost 3 7 >3 2 .
Svojstva stupnjeva s cijelim eksponentima
Kako su pozitivni cijeli brojevi prirodni brojevi, onda se sva svojstva potencija sa pozitivnim cijelim eksponentima potpuno poklapaju sa svojstvima potencija s prirodnim eksponentima navedenim i dokazanim u prethodnom pasusu.
Definisali smo stepen sa negativnim celobrojnim eksponentom, kao i stepen sa nultim eksponentom, tako da sva svojstva stepeni sa prirodnim eksponentima izražena jednakostima ostaju važeća. Dakle, sva ova svojstva vrijede i za nulte eksponente i za negativne eksponente, dok su, naravno, baze stupnjeva različite od nule.
Dakle, za sve realne i različite brojeve a i b, kao i za bilo koje cijele brojeve m i n, vrijedi sljedeće svojstva stupnjeva sa cijelim eksponentima:
Za a=0, potencije a m i a n imaju smisla samo kada su i m i n pozitivni cijeli brojevi, odnosno prirodni brojevi. Dakle, upravo zapisana svojstva vrijede i za slučajeve kada su a=0 i brojevi m i n pozitivni cijeli brojevi.
Svako od ovih svojstava nije teško dokazati, za to je dovoljno koristiti definicije stepena sa prirodnim i celobrojnim eksponentom, kao i svojstva radnji sa realnim brojevima. Kao primjer, dokažimo da svojstvo snage vrijedi i za pozitivne i za nepozitivne cijele brojeve. Da bismo to učinili, moramo pokazati da ako je p nula ili prirodan broj i q je nula ili prirodan broj, onda su jednakosti (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) i (a −p) −q =a (−p) (−q) . Hajde da to uradimo.
Za pozitivne p i q, jednakost (a p) q =a p·q dokazana je u prethodnom pododjeljku. Ako je p=0, onda imamo (a 0) q =1 q =1 i a 0 q =a 0 =1, odakle (a 0) q =a 0 q . Slično, ako je q=0, tada je (a p) 0 =1 i a p 0 =a 0 =1, odakle je (a p) 0 =a p 0 . Ako su i p=0 i q=0 , tada (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0 0 =a 0 =1 , odakle (a 0) 0 =a 0 0 .
Dokažimo sada da je (a −p) q =a (−p) q . Po definiciji stepena s negativnim cijelim eksponentom , onda 
. Po svojstvu količnika u stepenu, imamo 
. Budući da je 1 p =1·1·…·1=1 i , tada . Poslednji izraz je, po definiciji, stepen oblika a −(p q) , koji se, na osnovu pravila množenja, može zapisati kao (−p) q .
Slično 
.
I 
.
Po istom principu mogu se dokazati i sva ostala svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom, zapisanim u obliku jednakosti.
U pretposljednjem od zabilježenih svojstava vrijedi se zadržati na dokazu nejednakosti a −n >b −n, što vrijedi za svaki negativan cijeli broj −n i svaki pozitivan a i b za koji je uvjet a . Zapisujemo i transformiramo razliku između lijevog i desnog dijela ove nejednakosti: 
. Pošto po uslovu a n n , dakle, b n − a n >0 . Proizvod a n ·b n je također pozitivan kao proizvod pozitivnih brojeva a n i b n . Tada je rezultujući razlomak pozitivan kao količnik pozitivnih brojeva b n − a n i a n b n . Dakle, odakle je a −n >b −n, što je trebalo dokazati.
Posljednje svojstvo stupnjeva s cijelim eksponentima dokazuje se na isti način kao i analogno svojstvo stupnjeva s prirodnim eksponentima.
Svojstva potencija sa racionalnim eksponentima
Definisali smo stepen sa razlomačnim eksponentom tako što smo proširili svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom na njega. Drugim riječima, stepeni sa razlomačnim eksponentima imaju ista svojstva kao i stepeni sa celobrojnim eksponentima. naime:
- svojstvo proizvoda snaga sa istom osnovom
za a>0 , i ako i , onda za a≥0 ; - svojstvo parcijalnih snaga sa istim osnovama
za a>0 ; - svojstvo frakcionog proizvoda
za a>0 i b>0, i ako i, onda za a≥0 i (ili) b≥0; - svojstvo kvocijenta u razlomku
za a>0 i b>0, a ako je, onda za a≥0 i b>0; - stepen svojstvo u stepenu
za a>0 , i ako i , onda za a≥0 ; - svojstvo poređenja stepena sa jednakim racionalnim eksponentima: za bilo koje pozitivne brojeve a i b, a 0 vrijedi nejednakost a p p, a za p p >b p ;
- svojstvo poređenja stepena sa racionalnim eksponentima i jednakim bazama: za racionalne brojeve p i q, p>q za 0p q, a za a>0, nejednakost a p >a q .
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- za bilo koje pozitivne brojeve a i b , a 0 vrijedi nejednakost a p p, a za p p >b p ;
- za iracionalne brojeve p i q , p>q za 0p q , a za a>0 nejednakost a p >a q .
Dokaz svojstava stepena sa razlomačnim eksponentom zasniva se na definiciji stepena sa razlomačnim eksponentom, na svojstvima aritmetičkog korena n-tog stepena i na svojstvima stepena sa celobrojnim eksponentom. Hajde da damo dokaz.
Po definiciji stupnja s fractional eksponentom i , Zatim 
. Svojstva aritmetičkog korijena nam omogućavaju da zapišemo sljedeće jednakosti. Dalje, koristeći svojstvo stepena sa celobrojnim eksponentom, dobijamo , odakle, po definiciji stepena sa delimičnim eksponentom, imamo 
, a eksponent dobijenog stepena može se pretvoriti na sljedeći način: . Ovim je dokaz završen.
Drugo svojstvo stepena sa razlomačnim eksponentima dokazuje se na potpuno isti način: 
Ostale jednakosti dokazuju se sličnim principima: 
Prelazimo na dokaz sljedeće osobine. Dokažimo da za bilo koje pozitivne a i b , a 0 vrijedi nejednakost a p p, a za p p >b p . Racionalni broj p zapisujemo kao m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Uslovi p 0 u ovom slučaju će biti ekvivalentni uslovima m 0, respektivno. Za m>0 i am m . Iz ove nejednakosti, po svojstvu korijena, imamo , a pošto su a i b pozitivni brojevi, onda, na osnovu definicije stepena s razlomkom eksponenta, rezultirajuća nejednakost se može prepisati kao , odnosno a p p .
Slično, kada je m m >b m , odakle , odnosno a p >b p .
Ostaje dokazati posljednju od navedenih svojstava. Dokažimo da je za racionalne brojeve p i q p>q za 0p q, a za a>0 nejednakost a p >a q. Racionalne brojeve p i q uvijek možemo svesti na zajednički nazivnik, dobijemo obične razlomke i , gdje su m 1 i m 2 cijeli brojevi, a n prirodan broj. U ovom slučaju, uvjet p>q će odgovarati uvjetu m 1 >m 2, koji slijedi iz pravila za poređenje običnih razlomaka sa istim nazivnicima. Zatim, po svojstvu poređenja stepena sa istim bazama i prirodnim eksponentima, za 0m 1 m 2, i za a>1, nejednakost a m 1 >a m 2 . Ove nejednakosti u smislu svojstava korijena mogu se prepisati kao 
I 
. A definicija stepena sa racionalnim eksponentom omogućava nam da pređemo na nejednakosti i, respektivno. Odavde izvlačimo konačni zaključak: za p>q i 0p q, a za a>0, nejednakost a p >a q.
Svojstva stepeni sa iracionalnim eksponentima
Iz toga kako je definisan stepen sa iracionalnim eksponentom, možemo zaključiti da on ima sva svojstva stepeni sa racionalnim eksponentima. Dakle, za bilo koje a>0, b>0 i iracionalne brojeve p i q vrijedi sljedeće svojstva stepeni sa iracionalnim eksponentima:
Iz ovoga možemo zaključiti da potencije sa bilo kojim realnim eksponentima p i q za a>0 imaju ista svojstva.
- Algebra - 10. razred. Trigonometrijske jednadžbe Lekcija i prezentacija na temu: "Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina" Dodatni materijali Poštovani korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali […]
- Konkurs za poziciju „PRODAVAC – KONSULTANT“ je raspisan: Odgovornosti: prodaja mobilnih telefona i pribora za uslugu mobilnih komunikacija za pretplatnike Beeline, Tele2, MTS povezivanje tarifnih planova i usluga Beeline i Tele2, MTS konsalting […]
- Paralelepiped formule Paralelepiped je poliedar sa 6 strana, od kojih je svaka paralelogram. Kuboid je kvadar čija je svaka strana pravougaonik. Svaki paralelepiped karakteriziraju 3 […]
- PRAVOPIS N I NN U RAZLIČITIM DELOVIMA GOVORA 2. Navedite izuzetke od ovih pravila. 3. Kako razlikovati glagolski pridjev sa sufiksom -n- od participa sa […]
- INSPEKCIJA GOSTEKHNADZORA BRJANSKE REGIJE Potvrda o uplati državne dažbine (Preuzimanje-12,2 kb) Prijave za registraciju za fizička lica (Preuzimanje-12 kb) Prijave za registraciju za pravna lica (Preuzimanje-11,4 kb) 1. Prilikom registracije novog automobila: 1.zahtjev 2.pasoš […]
- Društvo za zaštitu prava potrošača Astana Da biste dobili pin-kod za pristup ovom dokumentu na našoj web stranici, pošaljite SMS poruku sa tekstom zan na broj Pretplatnici GSM operatera (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) slanjem SMS-a na broj, […]
- Usvojiti zakon o rodbinskim imanjima Usvojiti savezni zakon o besplatnoj dodjeli zemljišta svakom građaninu Ruske Federacije ili porodici građana koji na njemu želi izgraditi rodbinsko imanje pod sljedećim uslovima: 1. Zemljište je dodijeljeno za […]
- Pivoev V.M. Filozofija i metodologija nauke: udžbenik za master i postdiplomske studente Petrozavodsk: Izdavačka kuća PetrGU, 2013. - 320 str. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb […]
Članci iz prirodnih i matematičkih nauka
Svojstva potencija sa istom osnovom
Postoje tri svojstva potencija sa istim bazama i prirodnim eksponentima. Ovo
Budi pazljiv! Pravila u vezi sabiranje i oduzimanje moći sa istom bazom ne postoji.
Ova svojstva-pravila pišemo u obliku formula:
Sada ih razmotrite na konkretnim primjerima i pokušajte dokazati.
5 2 × 5 3 = 5 5 - ovdje smo primijenili pravilo; a sada zamislite kako bismo riješili ovaj primjer da ne znamo pravila:
5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - pet na kvadrat je pet puta pet, a kocka je proizvod tri petice. Rezultat je proizvod pet petica, ali ovo je nešto drugo od pet na peti stepen: 5 5 .
3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Zapišimo dijeljenje kao razlomak:
Može se skratiti: 
Kao rezultat, dobijamo: 
Tako smo dokazali da se prilikom dijeljenja dva stepena s istim osnovama moraju oduzeti njihovi pokazatelji.
Međutim, prilikom dijeljenja, nemoguće je da djelitelj bude jednak nuli (pošto ne možete dijeliti nulom). Osim toga, pošto stupnjeve razmatramo samo sa prirodnim pokazateljima, oduzimanjem indikatora ne možemo dobiti broj manji od 1. Stoga se nameću ograničenja na formulu a m ÷ a n = a m–n: a ≠ 0 i m > n .
Pređimo na treće svojstvo:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8
Napišimo u proširenom obliku:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
Možete doći do ovog zaključka i logičkog zaključivanja. Trebate pomnožiti dva na kvadrat četiri puta. Ali postoje dvije dvojke u svakom kvadratu, tako da će ukupno biti osam dvojki.
scienceland.info
svojstva stepena
Podsjećamo vas da u ovoj lekciji razumijemo svojstva stepena sa prirodnim pokazateljima i nulom. Stepenima sa racionalnim pokazateljima i njihovim svojstvima će se govoriti u lekcijama za 8. razred.
Eksponent s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja vam omogućavaju da pojednostavite proračune u primjerima eksponenta.
Nekretnina #1
Proizvod moći
Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se sabiraju.
a m a n \u003d a m + n, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.
Ovo svojstvo snaga također utječe na proizvod tri ili više potencija.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Napominjemo da se u navedenom svojstvu radilo samo o množenju snaga sa istim osnovama.. To se ne odnosi na njihovo dodavanje.
Ne možete zamijeniti zbir (3 3 + 3 2) sa 3 5 . Ovo je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243
Nekretnina #2
Privatne diplome
Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednačinu. Koristimo svojstvo parcijalnih stepeni.
3 8: t = 3 4
Odgovor: t = 3 4 = 81
Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, lako možete pojednostaviti izraze i izvršiti proračune.
- Primjer. Pojednostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Primjer. Pronađite vrijednost izraza koristeći svojstva stupnjeva.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Napominjemo da se imovina 2 bavila samo podjelom vlasti po istim osnovama.
Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) sa 4 1 . To je razumljivo ako izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4
Nekretnina #3
Eksponencijacija
Kada se stepen diže na stepen, baza stepena ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.
(a n) m \u003d a n m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.
Imajte na umu da se svojstvo br. 4, kao i druga svojstva stupnjeva, također primjenjuje obrnutim redoslijedom.
(a n b n)= (a b) n
To jest, da biste pomnožili stepene sa istim eksponentima, možete pomnožiti baze, a eksponent ostaviti nepromenjenim.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
U složenijim primjerima mogu postojati slučajevi kada se množenje i dijeljenje moraju izvršiti na potencijama s različitim bazama i različitim eksponentima. U tom slučaju savjetujemo vam da učinite sljedeće.
Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Primjer stepenovanja decimalnog razlomka.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Svojstva 5
Moć količnika (razlomaka)
Da biste podigli količnik na stepen, možete podići dividendu i djelitelj odvojeno na ovaj stepen, a prvi rezultat podijeliti s drugim.
(a: b) n \u003d a n: b n, gdje su "a", "b" bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n je bilo koji prirodan broj.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Podsjećamo vas da se količnik može predstaviti kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na stepen.
Množenje i dijeljenje brojeva sa potencijama
Ako trebate podići određeni broj na stepen, možete koristiti tablicu stepena prirodnih brojeva od 2 do 25 u algebri. Sada ćemo detaljnije pogledati svojstva stepeni.
Eksponencijalni brojevi otvaraju velike mogućnosti, omogućavaju nam da množenje pretvorimo u sabiranje, a sabiranje je mnogo lakše od množenja. 
Na primjer, trebamo pomnožiti 16 sa 64. Proizvod množenja ova dva broja je 1024. Ali 16 je 4x4, a 64 je 4x4x4. Dakle 16 puta 64=4x4x4x4x4 što je takođe 1024.
Broj 16 se takođe može predstaviti kao 2x2x2x2, a 64 kao 2x2x2x2x2x2, a ako pomnožimo, opet dobijamo 1024.
A sada koristimo pravilo dizanja broja na stepen. 16=4 2 , ili 2 4 , 64=4 3 , ili 2 6 , dok je 1024=6 4 =4 5 , ili 2 10 .
Stoga se naš problem može napisati na drugi način: 4 2 x4 3 =4 5 ili 2 4 x2 6 =2 10, i svaki put dobijemo 1024.
Možemo riješiti niz sličnih primjera i vidjeti da se množenje brojeva s potencijama smanjuje na sabiranje eksponenata, ili eksponent, naravno, pod uslovom da su baze faktora jednake.
Dakle, možemo, bez množenja, odmah reći da je 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.
Ovo pravilo vrijedi i za dijeljenje brojeva sa potencijama, ali u ovom slučaju, npr eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende. Dakle, 2 5:2 3 =2 2 , što je u običnim brojevima jednako 32:8=4, odnosno 2 2 . Hajde da rezimiramo:
a m x a n = a m + n, a m: a n \u003d a m-n, gdje su m i n cijeli brojevi.
Na prvi pogled može izgledati da je tako množenje i dijeljenje brojeva sa potencijama nije baš zgodno, jer prvo morate predstaviti broj u eksponencijalnom obliku. Nije teško predstaviti brojeve 8 i 16 u ovom obliku, odnosno 2 3 i 2 4, ali kako to učiniti sa brojevima 7 i 17? Ili šta učiniti u onim slučajevima kada se broj može predstaviti u eksponencijalnom obliku, ali su osnove eksponencijalnih izraza brojeva vrlo različite. Na primjer, 8×9 je 2 3 x 3 2 , u kom slučaju ne možemo sabrati eksponente. Ni 2 5 ni 3 5 nije odgovor, niti je odgovor između to dvoje.
Da li se onda uopšte vredi baviti ovom metodom? Definitivno se isplati. Pruža ogromne prednosti, posebno za složene i dugotrajne proračune.
Do sada smo pretpostavljali da je eksponent broj identičnih faktora. U ovom slučaju, minimalna vrijednost eksponenta je 2. Međutim, ako izvršimo operaciju dijeljenja brojeva, odnosno oduzimanja eksponenata, možemo dobiti i broj manji od 2, što znači da nam stara definicija više ne može odgovarati. Pročitajte više u sljedećem članku.
Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje potencija
Sabiranje i oduzimanje potencija
Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.
Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.
Odds iste moći istih varijabli može se dodati ili oduzeti.
Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .
Takođe je očigledno da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.
Ali stepeni razne varijable I raznih stepeni identične varijable, moraju se dodati dodavanjem njihovim znakovima.
Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3 .
Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu ni dva puta veći od a, već dvostruko veći od a.
Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Oduzimanje potencij e se sprovode na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.
Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Množenje snage
Brojevi sa stepenom mogu se množiti kao i druge veličine tako što ćete ih pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.
Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.
Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .
Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.
Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.
Dakle, a n .a m = a m+n .
Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n;
A m , uzima se kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;
Zbog toga, potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.
Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti − negativan.
1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj
Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.
Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.
Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Podjela stepena
Brojevi sa stepenom mogu se podijeliti kao i drugi brojevi oduzimanjem od djelitelja ili postavljanjem u obliku razlomka.
Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 je 3 .
Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac $. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.
Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..
Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To jest, $\frac = y$.
I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac = a^n$.
Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepena.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.
Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom
1. Smanjite eksponente u $\frac $ Odgovor: $\frac $.
2. Smanjite eksponente u $\frac$. Odgovor: $\frac $ ili 2x.
3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .
4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.
5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.
6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).
7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .
8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.
Stepen i njegova svojstva. Prosječan nivo.
Želite li testirati svoju snagu i saznati rezultat koliko ste spremni za Jedinstveni državni ispit ili OGE?
Stepen naziva se izraz oblika: , gdje je: 
Stepen sa cjelobrojnim eksponentom
stepen, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).
Stepen sa racionalnim eksponentom
stepen, čiji su indikator negativni i razlomci.
Stepen sa iracionalnim eksponentom
stepen čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.
Svojstva diploma
Karakteristike stepena.
Koliki je stepen broja?
Eksponencijacija je ista matematička operacija kao sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.
Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.
Počnimo sa sabiranjem.
Nema tu šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svaka ima dvije boce kole. Koliko kole? Tako je - 16 boca.
Sada množenje.
Isti primjer sa colom može se napisati na drugačiji način: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.
Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…
Evo tablice množenja. Ponovi.
I još jedna, ljepša:
I koje su još lukave trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.
Podizanje broja na stepen.
Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da ovaj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen. I takve probleme rješavaju u mislima - brže, lakše i bez grešaka.
Da biste to učinili, trebate samo zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte mi, to će vam mnogo olakšati život.
Uzgred, zašto se zove drugi stepen kvadrat brojevi, a treći kocka? Šta to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.
Primjer iz stvarnog života #1.
Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.
Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar po metar. Bazen je u vašem dvorištu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.
Možete jednostavno izbrojati bockanjem prsta da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako su vaše pločice metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takvu pločicu? Pločica će radije biti cm po cm, a onda će vas mučiti "brojanje prstom". Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Množenjem sa, dobijate pločice ().
Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili sam po sebi da bismo odredili površinu dna bazena? Šta to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku eksponencijalnosti. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je podizanje na stepen puno lakše i također je manje grešaka u proračunima Za ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset do drugog stepena će biti (). Ili možete reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.
Primjer iz stvarnog života #2.
Evo zadatka za vas, prebrojite koliko je polja na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja. Na jednoj strani ćelija i na drugoj također. Da biste prebrojali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam, ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Uzmi ćelije. () Pa?
Primjer iz stvarnog života #3.
Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Zapremine i tečnosti se, inače, mjere u kubnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine jedan metar i duboko metar i pokušajte izračunati koliko kocki dimenzija metar sa metar će ući u vaš bazen.
Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri… dvadeset dva, dvadeset tri… Koliko je ispalo? Niste se izgubili? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da kako biste izračunali volumen bazena, morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?
Zamislite sada koliko su matematičari lijeni i lukavi ako to čine previše lakim. Sveo sve na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... A šta to znači? To znači da možete koristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:
Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.
Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili klošari i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam prave probleme, evo još par primjera iz života.
Primjer iz stvarnog života #4.
Imate milion rubalja. Na početku svake godine zaradite još milion za svaki milion. Odnosno, svaki vaš milion na početku svake godine se udvostruči. Koliko ćeš novca imati za godine? Ako sada sjedite i "brojite prstom", onda ste vrlo vrijedna osoba i.. glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - šta je bilo, još dvije, treće godine ... Stanite! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na peti stepen je milion! Zamislite sad da imate konkurenciju i onaj ko brže računa dobit će ove milione... Vrijedi li pamtiti stepene brojeva, šta mislite?
Primjer iz života br. 5.
Imaš milion. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milion. Odlično je zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prva godina - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, četvrti stepen je milion. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.
Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.
Termini i koncepti.
Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - ovo je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako za pamćenje...
Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu stepena? Još jednostavniji je broj koji je na dnu, u osnovi.
Evo jedne slike da budete sigurni.
Pa, generalno, da bi se generalizovao i bolje zapamtio... Stepen sa osnovom "" i indikatorom "" čita se kao "u stepenu" i piše se na sledeći način:
"Stepen broja sa prirodnim pokazateljem"
Verovatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta jeste prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste u brojanju prilikom nabrajanja predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Ne kažemo ni "jedna trećina" ni "nula zapeta pet desetina". Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?
Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. A šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.
Svi razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši preci su otkrili da nemaju dovoljno prirodnih brojeva za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalni brojevi… Zanimljivo, zar ne?
Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, onda ćete dobiti iracionalan broj.
Stepen sa prirodnim pokazateljem
Hajde da definišemo pojam stepena, čiji je eksponent prirodan broj (tj. ceo broj i pozitivan).
- Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
- Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
- Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:
Definicija. Povećati broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.
Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4 .
Odds iste moći istih varijabli može se dodati ili oduzeti.
Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .
Takođe je očigledno da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.
Ali stepeni razne varijable I raznih stepeni identične varijable, moraju se dodati dodavanjem njihovim znakovima.
Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3 .
Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu ni dva puta veći od a, već dvostruko veći od a.
Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Oduzimanje potencij e se sprovode na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.
Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Množenje snage
Brojevi sa stepenom mogu se množiti kao i druge veličine tako što ćete ih pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.
Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.
Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .
Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.
Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.
Dakle, a n .a m = a m+n .
Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n;
A m , uzima se kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;
Zbog toga, potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.
Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ovo pravilo važi i za brojeve čiji su eksponenti - negativan.
1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj
Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.
Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.
Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Podjela stepena
Brojevi sa stepenom mogu se podijeliti kao i drugi brojevi oduzimanjem od djelitelja ili postavljanjem u obliku razlomka.
Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 je 3 .
Ili:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac(a^5)(a^3)$. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.
Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..
Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To jest, $\frac(yyy)(yy) = y$.
I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepena.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.
Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom
1. Smanjite eksponente u $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odgovor: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Smanjite eksponente u $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odgovor: $\frac(2x)(1)$ ili 2x.
3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .
4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.
5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.
6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).
7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .
8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.
9. Podijelite (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.