Rješenje uradite to pomoću kalkulatora. Zapisujemo proširene i glavne matrice: 
Isprekidana linija razdvaja glavnu matricu A. Nepoznate sisteme zapisujemo odozgo, imajući u vidu moguću permutaciju članova u jednačinama sistema. Određujući rang proširene matrice, istovremeno nalazimo i rang glavne. U matrici B, prvi i drugi stupac su proporcionalni. Od dva proporcionalna stupca samo jedan može pasti u osnovni minor, pa pomaknimo, na primjer, prvi stupac iza isprekidane linije sa suprotnim predznakom. Za sistem, to znači prijenos članova sa x 1 na desnu stranu jednačine. 
Dovodimo matricu u trouglasti oblik. Radit ćemo samo sa redovima, jer množenje reda matrice brojem koji nije nula i dodavanje u drugi red za sistem znači množenje jednačine istim brojem i dodavanje drugoj jednačini, što ne mijenja rješenje sistema . Rad s prvim redom: pomnožite prvi red matrice sa (-3) i dodajte redom drugi i treći red. Zatim pomnožimo prvi red sa (-2) i dodamo ga četvrtom. 
Drugi i treći red su proporcionalni, pa se jedan od njih, na primjer drugi, može precrtati. Ovo je ekvivalentno brisanju druge jednačine sistema, jer je posledica treće. 
Sada radimo s drugom linijom: pomnožite je sa (-1) i dodajte trećoj. 
Isprekidani minor ima najviši red (od svih mogućih minora) i nije nula (jednak je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali), a ovaj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, pa stoga rang A = rangB = 3 .
Minor 
je osnovno. Uključuje koeficijente za nepoznate x 2, x 3, x 4, što znači da su nepoznati x 2, x 3, x 4 zavisni, a x 1, x 5 slobodni.
Transformišemo matricu, ostavljajući samo osnovni minor sa leve strane (što odgovara tački 4 gornjeg algoritma rešenja). 
Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik
Metodom eliminacije nepoznatih nalazimo: 
, ,
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 2, x 3, x 4 kroz slobodne x 1 i x 5, odnosno našli smo opšte rešenje: 
Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobijamo bilo koji broj konkretnih rješenja. Nađimo dva konkretna rješenja:
1) neka je x 1 = x 5 = 0, tada je x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) stavite x 1 = 1, x 5 = -1, zatim x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Tako smo pronašli dva rješenja: (0,1, -3,3,0) - jedno rješenje, (1,4, -7,7, -1) - drugo rješenje.
Primjer 2. Istražiti kompatibilnost, pronaći opšte i jedno posebno rješenje sistema 
Rješenje. Preuredimo prvu i drugu jednačinu tako da u prvoj jednačini imamo jedinicu i napišemo matricu B. 
Dobijamo nule u četvrtoj koloni, koja radi u prvom redu: 
Sada uzmite nule u trećoj koloni koristeći drugi red: 
Treći i četvrti red su proporcionalni, tako da se jedan od njih može precrtati bez promjene ranga:
Pomnožite treći red sa (-2) i dodajte četvrtom: 
Vidimo da su rangovi glavne i proširene matrice 4, a rang se poklapa sa brojem nepoznatih, stoga sistem ima jedinstveno rješenje:
;
x 4 = 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 = 11.
Primjer 3. Ispitajte kompatibilnost sistema i pronađite rješenje ako postoji. 
Rješenje. Sastavljamo proširenu matricu sistema. 
Preuredite prve dvije jednadžbe tako da u gornjem lijevom uglu bude 1:
Pomnožeći prvi red sa (-1), dodajemo ga trećem: 
Pomnožite drugi red sa (-2) i dodajte trećem: 
Sistem je nedosljedan, jer je glavna matrica dobila red koji se sastoji od nula, koji se precrtava kada se rang pronađe, a posljednji red ostaje u proširenoj matrici, odnosno r B > r A .
Vježbajte. Istražite ovaj sistem jednačina radi kompatibilnosti i riješite ga pomoću matričnog računa.
Rješenje
Primjer. Dokazati kompatibilnost sistema linearnih jednačina i rešiti ga na dva načina: 1) Gausovom metodom; 2) Cramerova metoda. (odgovor unesite u obliku: x1,x2,x3)
Rješenje :doc :doc :xls
odgovor: 2,-1,3.
Primjer. Dat je sistem linearnih jednačina. Dokažite njegovu kompatibilnost. Pronađite opšte rešenje sistema i jedno posebno rešenje.
Rješenje
odgovor: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Vježbajte. Pronađite opšta i posebna rješenja za svaki sistem.
Rješenje. Ovaj sistem proučavamo koristeći Kronecker-Capelli teorem.
Zapisujemo proširene i glavne matrice:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Ovdje je matrica A podebljana.
Dovodimo matricu u trouglasti oblik. Radit ćemo samo sa redovima, jer množenje reda matrice brojem koji nije nula i dodavanje u drugi red za sistem znači množenje jednačine istim brojem i dodavanje drugoj jednačini, što ne mijenja rješenje sistema .
Pomnožite 1. red sa (3). Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajmo 2. red na 1.:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Pomnožite 2. red sa (2). Pomnožite treći red sa (-3). Dodajmo 3. red u 2.:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajmo 2. red na 1.:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Odabrani minor ima najveći red (među mogućim minorima) i različit je od nule (jednak je umnošku elemenata na recipročnoj dijagonali), a ovaj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, pa je rangiran( A) = rang(B) = 3 Pošto je rang glavne matrice jednak rangu proširene, tada sistem je kolaborativni.
Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznate x 1, x 2, x 3, što znači da su nepoznati x 1, x 2, x 3 zavisni (osnovni), a x 4, x 5 slobodni.
Transformišemo matricu, ostavljajući samo osnovni mol sa leve strane.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Metodom eliminacije nepoznatih nalazimo:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1, x 2, x 3 kroz slobodne x 4, x 5, tj. zajednička odluka:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
neizvjesno, jer ima više od jednog rješenja.
Vježbajte. Riješite sistem jednačina.
Odgovori:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobijamo bilo koji broj konkretnih rješenja. Sistem je neizvjesno
Sistem se zove zglob, ili rješivo ako ima barem jedno rješenje. Sistem se zove nespojivo, ili nerastvorljiv ako nema rješenja.
Definitivno, neodređeno SLAE.
Ako SLAE ima rješenje i jedinstven je, onda se zove siguran a ako rješenje nije jedinstveno, onda neizvjesno.
MATRIČNE JEDNAČINE
Matrice omogućavaju da se ukratko zapiše sistem linearnih jednačina. Neka je zadan sistem od 3 jednadžbe sa tri nepoznate:
Razmotrimo matricu sistema 
i matrične kolone nepoznatih i slobodnih članova 
Hajde da pronađemo proizvod 
one. kao rezultat proizvoda, dobijamo leve strane jednadžbi ovog sistema. Zatim, koristeći definiciju matrične jednakosti, ovaj sistem se može zapisati kao
ili kraće A∙X=B.
Evo matrice A I B poznati su i matrica X nepoznato. Treba je pronaći, jer. njegovi elementi su rješenje ovog sistema. Ova jednačina se zove matrična jednačina.
Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednačina rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednačine na lijevoj strani matricom A-1, inverzno od matrice A: . Zbog A -1 A = E I E∙X=X, tada dobijamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .
Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može naći samo za kvadratne matrice, metoda matrice može riješiti samo one sisteme u kojima broj jednačina je isti kao i broj nepoznatih.
Cramerove formule
Cramerova metoda je da sukcesivno pronalazimo identifikator glavnog sistema, tj. determinanta matrice A: D = det (a i j) i n pomoćne odrednice D i (i= ), koji se dobijaju iz determinante D zamenom i-te kolone sa kolonom slobodnih članova.
Cramerove formule izgledaju ovako: D × x i = D i (i = ).
Iz ovoga slijedi Cramerovo pravilo, koje daje iscrpan odgovor na pitanje kompatibilnosti sistema: ako je glavna determinanta sistema različita od nule, onda sistem ima jedinstveno rješenje, određeno formulama: x i = D i / D.
Ako je glavna determinanta sistema D i sve pomoćne determinante D i = 0 (i= ), onda sistem ima beskonačan broj rješenja. Ako je glavna determinanta sistema D = 0, a barem jedna pomoćna determinanta različita od nule, onda je sistem nekonzistentan.
Teorema (Cramerovo pravilo): Ako je determinanta sistema Δ ≠ 0, onda sistem koji se razmatra ima jedno i samo jedno rješenje, i 
Dokaz: Dakle, razmotrite sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate. Pomnožite 1. jednačinu sistema sa algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednačina - na A21 i 3. - na A 31:
Dodajmo ove jednačine:
Razmotrimo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednačine. Prema teoremi o proširenju determinante u smislu elemenata 1. stupca.
Slično, može se pokazati da i .
Konačno, to je lako uočiti 
Dakle, dobijamo jednakost: . Dakle, .
Jednakosti i se izvode na sličan način, odakle slijedi tvrdnja teoreme.
Kronecker-Capelli teorem.
Sistem linearnih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice.
dokaz: Raspada se u dvije faze.
1. Neka sistem ima rješenje. Pokažimo to.
Neka skup brojeva 
je rješenje za sistem. Označimo sa -tom kolonom matrice, 
. Tada , odnosno stupac slobodnih termina je linearna kombinacija stupaca matrice . Neka . Pretvarajmo se to 
. Onda po 
. Biramo u osnovnom molu. On ima red. Kolona slobodnih članova mora proći kroz ovaj minor, inače će biti osnovni minor matrice. Stupac slobodnih termina u molu je linearna kombinacija stupaca matrice. Na osnovu svojstava determinante , gdje je determinanta koja se dobija iz minora zamjenom stupca slobodnih članova stupcem . Ako je stupac prošao kroz manji M, onda u , bit će dva identična stupca i, prema tome, . Ako kolona nije prošla kroz minor, onda će se razlikovati od minora reda r + 1 matrice samo po redu kolona. Od tada . Dakle, što je u suprotnosti sa definicijom baznog mola. Dakle, pretpostavka da , je netačna.
2. Neka . Pokažimo da sistem ima rješenje. Budući da je , tada je bazni minor matrice osnovni minor matrice . Pustite da stubovi prolaze kroz minor 
. Zatim, prema osnovnoj maloj teoremi u matrici, stupac slobodnih termina je linearna kombinacija naznačenih stupaca:
| (1) |
Postavljamo , , , , i uzimamo preostale nepoznanice jednake nuli. Onda za ove vrednosti dobijamo
Na osnovu jednakosti (1) . Posljednja jednakost znači da je skup brojeva 
je rješenje za sistem. Dokazano je postojanje rješenja.
U sistemu o kome je bilo reči 
, a sistem je konzistentan. U sistemu , , i sistem je nedosljedan.
Napomena: Iako Kronecker-Capelli teorema omogućava da se utvrdi da li je sistem kompatibilan, koristi se prilično rijetko, uglavnom u teorijskim studijama. Razlog je taj što su proračuni koji se vrše pri pronalaženju ranga matrice u osnovi isti kao i proračuni prilikom pronalaženja rješenja sistema. Stoga se obično umjesto pronalaženja i , traži rješenje za sistem. Ako se može pronaći, tada saznajemo da je sistem konzistentan i istovremeno dobijamo svoje rješenje. Ako se rješenje ne može naći, onda zaključujemo da je sistem nekonzistentan.
Algoritam za pronalaženje rješenja proizvoljnog sistema linearnih jednačina (Gaussova metoda)
Neka je dat sistem linearnih jednačina sa nepoznatim. Potrebno je pronaći njegovo generalno rješenje ako je konzistentno ili utvrditi njegovu nedosljednost. Metoda koja će biti predstavljena u ovom odeljku je bliska metodi izračunavanja determinante i metodi pronalaženja ranga matrice. Predloženi algoritam se zove Gaussova metoda ili metoda sukcesivnog uklanjanja nepoznatih.
Napišimo proširenu matricu sistema
Sljedeće operacije s matricama nazivamo elementarnim operacijama:
1. permutacija linija;
2. množenje niza brojem koji nije nula;
3. dodavanje niza sa drugim nizom pomnoženim brojem.
Imajte na umu da se prilikom rješavanja sistema jednačina, za razliku od izračunavanja determinante i pronalaženja ranga, ne može raditi sa stupcima. Ako se sistem jednačina obnovi iz matrice dobijene izvođenjem elementarne operacije, tada će novi sistem biti ekvivalentan originalnom.
Svrha algoritma je, primjenom niza elementarnih operacija na matricu, osigurati da svaki red, osim možda prvog, počinje nulama, a broj nula do prvog elementa različitog od nule u svakom sljedećem red je veći nego u prethodnom.
Korak algoritma je sljedeći. Pronađite prvu kolonu različitu od nule u matrici. Neka to bude stupac sa brojem. Pronalazimo u njemu element različit od nule i mijenjamo liniju sa ovim elementom s prvim redom. Kako ne bismo gomilali dodatne zapise, pretpostavit ćemo da je takva promjena redova u matrici već napravljena, odnosno, . Zatim u drugi red dodajemo prvi pomnožen brojem, u treći red dodajemo prvi pomnožen brojem itd. Kao rezultat, dobijamo matricu
(Prve nulte kolone obično nedostaju.)
Ako matrica ima red sa brojem k, u kojem su svi elementi jednaki nuli, i , tada zaustavljamo izvršavanje algoritma i zaključujemo da je sistem nekonzistentan. Zaista, vraćanjem sistema jednačina iz proširene matrice, dobijamo da će -ta jednačina imati oblik 
Ova jednačina ne zadovoljava nijedan skup brojeva 
.
Matrica se može napisati kao 
S obzirom na matricu, izvodimo opisani korak algoritma. Uzmi matricu
Gdje, . Ova matrica se opet može zapisati kao
i gornji korak algoritma se ponovo primjenjuje na matricu.
Proces se zaustavlja ako se nakon izvršenja sljedećeg koraka nova redukovana matrica sastoji od samo nula ili ako su svi redovi iscrpljeni. Napominjemo da bi zaključak o nekompatibilnosti sistema mogao zaustaviti proces i ranije.
Ako ne bismo smanjili matricu, onda bismo na kraju došli do matrice oblika
Zatim se izvodi takozvani obrnuti prolaz Gausove metode. Na osnovu matrice sastavljamo sistem jednačina. Na lijevoj strani ostavljamo nepoznanice s brojevima koji odgovaraju prvim elementima koji nisu nula u svakom redu, odnosno, . Primetite, to. Preostale nepoznanice se prenose na desnu stranu. Smatrajući da su nepoznanice na desnoj strani neke fiksne veličine, lako je nepoznanice na lijevoj strani izraziti kroz njih.
Sada, dajući proizvoljne vrijednosti nepoznanicama na desnoj strani i izračunavajući vrijednosti varijabli na lijevoj strani, naći ćemo različita rješenja za originalni sistem Ax=b. Za zapisivanje generalnog rješenja potrebno je nepoznanice na desnoj strani bilo kojim redom označiti slovima 
, uključujući one nepoznanice koje nisu eksplicitno ispisane na desnoj strani zbog nultih koeficijenata, a zatim se stupac nepoznatih može napisati kao stupac, gdje je svaki element linearna kombinacija proizvoljnih vrijednosti 
(posebno, samo proizvoljna vrijednost). Ovaj unos će biti opšte rešenje sistema.
Ako je sistem bio homogen, onda se dobija opšte rešenje homogenog sistema. Koeficijenti , uzeti u svakom elementu stupca općeg rješenja, činit će prvo rješenje iz osnovnog sistema rješenja, koeficijenti , drugo rješenje i tako dalje.
Metod 2: Osnovni sistem rješenja homogenog sistema može se dobiti na drugi način. Da biste to učinili, jednoj varijabli, prenesenoj na desnu stranu, mora biti dodijeljena vrijednost 1, a ostatku - nule. Izračunavajući vrijednosti varijabli na lijevoj strani, dobijamo jedno rješenje iz osnovnog sistema. Dodeljivanjem vrednosti 1 drugoj promenljivoj na desnoj strani, a nule ostalima, dobijamo drugo rešenje iz osnovnog sistema i tako dalje.
definicija: sistem se zove zajednički th, ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentno - inače, odnosno u slučaju kada sistem nema rješenja. Pitanje da li sistem ima rješenje ili nema nije povezano samo s omjerom broja jednačina i broja nepoznatih. Na primjer, sistem od tri jednačine sa dvije nepoznate
 |
ima rješenje , pa čak ima i beskonačno mnogo rješenja, ali sistem od dvije jednačine sa tri nepoznanice.
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Ovaj sistem je uvijek konzistentan jer ima trivijalno rješenje x 1 =…=x n =0
Da bi postojala netrivijalna rješenja, to je neophodno i dovoljno
uslovi r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.
Th Skup SLAE rješenja formira linearni prostor dimenzija (n-r). To znači da su proizvod njegovog rješenja brojem, kao i zbir i linearna kombinacija konačnog broja njegovih rješenja rješenja ovog sistema. Prostor linearnog rješenja bilo koje SLAE je podprostor prostora R n .
Bilo koji skup (n-r) linearno nezavisnih rješenja SLAE (koji je osnova u prostoru rješenja) naziva se fundamentalni skup rješenja (FSR).
Neka su h 1 ,…,h r osnovne nepoznate, h r +1 ,…,h n slobodne nepoznate. Slobodnim varijablama zauzvrat dajemo sljedeće vrijednosti:
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Formira linearni prostor S (prostor rješenja), koji je podprostor u R n (n je broj nepoznatih), i dims=k=n-r, gdje je r rang sistema. Osnova u prostoru odlučivanja (x (1) ,…, x (k) ) naziva se osnovni sistem odlučivanja, i opšte rešenje ima oblik:
X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R
- Sistemi m linearne jednačine sa n nepoznato.
Rješavanje sistema linearnih jednačina je takav skup brojeva ( x 1 , x 2 , …, x n), zamjenom koje u svaku od jednačina sistema dobija se tačna jednakost.
Gdje a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n su koeficijenti sistema;
b i , i = 1, …, m- slobodni članovi;
x j , j = 1, …, n- nepoznato.
Gornji sistem se može napisati u matričnom obliku: A X = B,
Gdje ( A|B) je glavna matrica sistema;
A— proširena matrica sistema;
X— kolona nepoznatih;
B je kolona slobodnih članova.
Ako je matrica B nije nulta matrica ∅, onda se ovaj sistem linearnih jednačina naziva nehomogenim.
Ako je matrica B= ∅, onda se ovaj sistem linearnih jednačina naziva homogenim. Homogeni sistem uvek ima nulto (trivijalno) rešenje: x 1 = x 2 = ..., x n = 0.
Zajednički sistem linearnih jednačina je sistem linearnih jednačina koji ima rješenje.
Nekonzistentan sistem linearnih jednačina je sistem linearnih jednačina koji nema rješenja.
Određeni sistem linearnih jednačina je sistem linearnih jednačina koji ima jedinstveno rješenje.
Neodređeni sistem linearnih jednačina je sistem linearnih jednačina koji ima beskonačan broj rješenja. - Sistemi od n linearnih jednačina sa n nepoznatih
Ako je broj nepoznanica jednak broju jednadžbi, tada je matrica kvadratna. Matrična determinanta naziva se glavna determinanta sistema linearnih jednačina i označava se simbolom Δ.
Cramer metoda za rešavanje sistema n linearne jednačine sa n nepoznato.
Cramerovo pravilo.
Ako glavna determinanta sistema linearnih jednadžbi nije jednaka nuli, tada je sistem konzistentan i definisan, a jedino rešenje se izračunava korišćenjem Cramerove formule:
gde su Δ i determinante dobijene iz glavne determinante sistema Δ zamenom i kolonu slobodnih članova. . - Sistemi od m linearnih jednačina sa n nepoznatih
Kronecker-Cappelli teorema.
Da bi ovaj sistem linearnih jednadžbi bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice sistema, rang(Α) = rang(Α|B).
Ako rang(Α) ≠ rang(Α|B), onda sistem očito nema rješenja.
Ako rang(Α) = rang(Α|B), tada su moguća dva slučaja:
1) rang(Α) = n(na broj nepoznatih) - rješenje je jedinstveno i može se dobiti po Cramerovim formulama;
2) rang (Α)< n − postoji beskonačno mnogo rješenja. - Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina
Hajde da sastavimo proširenu matricu ( A|B) datog sistema koeficijenata na nepoznatom i desnom dijelu.
Gaussova metoda ili metoda eliminacije nepoznatih sastoji se u smanjenju proširene matrice ( A|B) uz pomoć elementarnih transformacija preko njegovih redova u dijagonalni oblik (u gornji trouglasti oblik). Vraćajući se na sistem jednačina, sve nepoznanice su određene.
Elementarne transformacije na nizovima uključuju sljedeće:
1) zamena dva reda;
2) množenje niza brojem koji nije 0;
3) dodavanje niza drugog niza pomnoženog proizvoljnim brojem;
4) odbacivanje null stringa.
Proširena matrica svedena na dijagonalni oblik odgovara linearnom sistemu ekvivalentnom datom, čije rješenje ne izaziva poteškoće. . - Sistem homogenih linearnih jednačina.
Homogeni sistem ima oblik:
odgovara matričnoj jednačini A X = 0.
1) Homogeni sistem je uvek konzistentan, jer r(A) = r(A|B), uvijek postoji nulto rješenje (0, 0, …, 0).
2) Da bi homogeni sistem imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da r = r(A)< n , što je ekvivalentno Δ = 0.
3) Ako r< n , tada je Δ = 0, tada postoje slobodne nepoznanice c 1 , c 2 , …, c n-r, sistem ima netrivijalna rješenja, a ima ih beskonačno mnogo.
4) Opšte rješenje X at r< n može se napisati u matričnom obliku na sljedeći način:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
gdje su rješenja X 1 , X 2 , …, X n-r formiraju fundamentalni sistem rješenja.
5) Osnovni sistem rješenja može se dobiti iz opšteg rješenja homogenog sistema:
,
ako sekvencijalno pretpostavimo da su vrijednosti parametara (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Dekompozicija opšteg rešenja u terminima fundamentalnog sistema rešenja je zapis općeg rješenja kao linearne kombinacije rješenja koja pripadaju osnovnom sistemu.
Teorema. Da bi sistem linearnih homogenih jednadžbi imao rešenje različito od nule, neophodno je i dovoljno da je Δ ≠ 0.
Dakle, ako je determinanta Δ ≠ 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje.
Ako je Δ ≠ 0, onda sistem linearnih homogenih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.
Teorema. Da bi homogeni sistem imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da r(A)< n .
Dokaz:
1) r ne može biti više n(rang matrice ne prelazi broj kolona ili redova);
2) r< n , jer Ako r=n, tada je glavna determinanta sistema Δ ≠ 0, i, prema Cramerovim formulama, postoji jedinstveno trivijalno rješenje x 1 = x 2 = ... = x n = 0, što je u suprotnosti sa uslovom. znači, r(A)< n .
Posljedica. Da bi bio homogen sistem n linearne jednačine sa n nepoznanica ima rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da je Δ = 0.
Sistemi jednačina se široko koriste u ekonomskoj industriji u matematičkom modeliranju različitih procesa. Na primjer, kod rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili smještaja opreme.
Sistemi jednačina se koriste ne samo u oblasti matematike, već iu fizici, hemiji i biologiji, kada se rešavaju problemi određivanja veličine populacije.
Sistem linearnih jednačina je pojam za dvije ili više jednačina sa više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednačine postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.
Linearna jednačina
Jednačine oblika ax+by=c nazivaju se linearne. Oznake x, y su nepoznanice, čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednačine.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem njenog grafika izgledat će kao prava linija, čije su sve točke rješenje polinoma.
Vrste sistema linearnih jednačina
Najjednostavniji su primjeri sistema linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.
F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.
Riješite sistem jednačina - to znači pronaći takve vrijednosti (x, y) za koje sistem postaje istinska jednakost, ili utvrditi da ne postoje odgovarajuće vrijednosti za x i y.
Par vrijednosti (x, y), napisan kao koordinate tačke, naziva se rješenjem sistema linearnih jednadžbi.
Ako sistemi imaju jedno zajedničko rješenje ili ne postoji rješenje, nazivaju se ekvivalentnim.
Homogeni sistemi linearnih jednačina su sistemi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka "jednako" ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sistem nije homogen.
Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada bi trebalo govoriti o primjeru sistema linearnih jednačina sa tri ili više varijable.
Suočeni sa sistemima, školarci pretpostavljaju da se broj jednačina nužno mora podudarati sa brojem nepoznanica, ali to nije tako. Broj jednačina u sistemu ne zavisi od varijabli, može ih biti proizvoljno veliki broj.
Jednostavne i složene metode za rješavanje sistema jednačina
Ne postoji opšti analitički način rješavanja ovakvih sistema, sve metode su bazirane na numeričkim rješenjima. Školski predmet matematike detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko sabiranje, supstitucija, kao i grafička i matrična metoda, rješenje Gaussovom metodom.
Osnovni zadatak u nastavi metoda rješavanja je naučiti kako pravilno analizirati sistem i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sistem pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe primjene određene metode.
Rješenje primjera sistema linearnih jednačina 7. razreda opšteobrazovnog programa prilično je jednostavno i detaljno je objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike, ovom dijelu se posvećuje dovoljno pažnje. Rješenje primjera sistema linearnih jednačina po metodi Gauss-a i Cramera detaljnije se proučava na prvim kursevima visokoškolskih ustanova.
Rješenje sistema metodom supstitucije
Radnje metode zamjene imaju za cilj izražavanje vrijednosti jedne varijable kroz drugu. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednačinu, a zatim se svodi na jedan oblik varijable. Akcija se ponavlja u zavisnosti od broja nepoznatih u sistemu
Dajemo primjer sistema linearnih jednadžbi 7. klase metodom zamjene:
Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena kroz F(X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednačinu sistema umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednačini . Rješenje ovog primjera ne izaziva poteškoće i omogućava vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.
Nije uvijek moguće riješiti primjer sistema linearnih jednačina zamjenom. Jednačine mogu biti složene i izraz varijable u terminima druge nepoznate bit će previše glomazan za dalje proračune. Kada postoji više od 3 nepoznate u sistemu, rešenje zamene je takođe nepraktično.
Rješenje primjera sistema linearnih nehomogenih jednadžbi:
Rješenje korištenjem algebarskog sabiranja
Prilikom traženja rješenja sistema metodom sabiranja vrši se sabiranje član po član i množenje jednačina različitim brojevima. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednačina sa jednom promenljivom.
Primjena ove metode zahtijeva praksu i promatranje. Nije lako riješiti sistem linearnih jednadžbi metodom sabiranja s brojem varijabli 3 ili više. Algebarsko sabiranje je korisno kada jednadžbe sadrže razlomke i decimalne brojeve.
Algoritam akcije rješenja:
- Pomnožite obje strane jednačine nekim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
- Dodajte rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznatih.
- Zamijenite rezultirajuću vrijednost u 2. jednadžbu sistema da biste pronašli preostalu varijablu.
Metoda rješenja uvođenjem nove varijable
Nova varijabla se može uvesti ako sistem treba da pronađe rješenje za najviše dvije jednačine, broj nepoznatih također ne smije biti veći od dvije.
Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednačina se rješava s obzirom na unesenu nepoznatu, a rezultirajuća vrijednost se koristi za određivanje originalne varijable.
Iz primjera se može vidjeti da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sistema na standardni kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.
Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta koristeći dobro poznatu formulu: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željeni diskriminant, b, a, c su množitelji polinoma. U datom primjeru, a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminanta veća od nule, postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminanta manja od nule, postoji samo jedno rješenje: x= -b / 2*a.
Rješenje za rezultirajuće sisteme nalazi se metodom sabiranja.
Vizuelna metoda za rješavanje sistema
Pogodno za sisteme sa 3 jednačine. Metoda se sastoji u crtanju grafikona svake jednačine uključene u sistem na koordinatnoj osi. Koordinate tačaka preseka krivih biće opšte rešenje sistema.
Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja sistema linearnih jednadžbi na vizuelni način.
Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaku liniju su konstruirane dvije tačke, vrijednosti varijable x su odabrane proizvoljno: 0 i 3. Na osnovu vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Tačke sa koordinatama (0, 3) i (3, 0) označene su na grafikonu i povezane linijom.
Koraci se moraju ponoviti za drugu jednačinu. Tačka preseka pravih je rešenje sistema.
U sljedećem primjeru potrebno je pronaći grafičko rješenje za sistem linearnih jednačina: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.
Kao što se vidi iz primjera, sistem nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne seku se cijelom dužinom.
Sistemi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruišu, postaje očigledno da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći da li sistem ima rješenje ili ne, uvijek je potrebno izgraditi graf.
Matrica i njene varijante
Matrice se koriste za kratko zapisivanje sistema linearnih jednačina. Matrica je posebna vrsta tabele ispunjene brojevima. n*m ima n - redova i m - kolona.
Matrica je kvadratna kada je broj kolona i redova jednak. Matrica-vektor je matrica sa jednim stupcem sa beskonačno mogućim brojem redova. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se identitet.
Inverzna matrica je takva matrica, kada se pomnoži s kojom se originalna pretvara u jediničnu, takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu.
Pravila za transformaciju sistema jednačina u matricu
Što se tiče sistema jednačina, koeficijenti i slobodni članovi jednačina zapisuju se kao brojevi matrice, jedna jednačina je jedan red matrice.
Red matrice se naziva ne-nula ako barem jedan element reda nije jednak nuli. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.
Kolone matrice moraju striktno odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer prvi, koeficijent nepoznatog y - samo u drugi.
Prilikom množenja matrice svi elementi matrice se sukcesivno množe brojem.
Opcije za pronalaženje inverzne matrice
Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 inverzna matrica i |K| - matrična determinanta. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sistem ima rješenje.
Determinanta se lako izračunava za matricu dva po dva, potrebno je samo pomnožiti elemente dijagonalno jedan s drugim. Za opciju "tri po tri" postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog reda i svake kolone kako se brojevi stupaca i redova elemenata ne bi ponavljali u proizvodu.
Rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom
Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućava smanjenje glomaznih unosa pri rješavanju sistema sa velikim brojem varijabli i jednačina.
U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni članovi.
Rješenje sistema Gaussovom metodom
U višoj matematici Gaussova metoda se proučava zajedno sa Cramer metodom, a proces pronalaženja rješenja za sisteme naziva se Gauss-Cramerova metoda rješavanja. Ove metode se koriste za pronalaženje varijabli sistema sa velikim brojem linearnih jednačina.
Gausova metoda je vrlo slična rješenjima zamjene i algebarskog sabiranja, ali je sistematičnija. U školskom predmetu se koristi Gausovo rješenje za sisteme od 3 i 4 jednačine. Svrha metode je da se sistem dovede u oblik obrnutog trapeza. Algebarskim transformacijama i supstitucijama, vrijednost jedne varijable se nalazi u jednoj od jednadžbi sistema. Druga jednačina je izraz sa 2 nepoznate, a 3 i 4 - sa 3 i 4 varijable, respektivno.
Nakon dovođenja sistema u opisani oblik, dalje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednačine sistema.
U školskim udžbenicima za 7. razred primjer Gaussovog rješenja je opisan na sljedeći način:
Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) su dobijene dvije jednačine 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješenje bilo koje od jednadžbi će vam omogućiti da saznate jednu od varijabli x n.
Teorema 5, koja se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednačina sistema zamijeni ekvivalentnom, onda će i rezultirajući sistem biti ekvivalentan izvornom.
Gaussovu metodu teško je razumjeti učenicima srednjih škola, ali je jedan od najzanimljivijih načina da se razvije domišljatost djece koja studiraju u naprednom studijskom programu na časovima matematike i fizike.
Radi lakšeg snimanja proračuna, uobičajeno je učiniti sljedeće:
Koeficijenti jednadžbi i slobodni termini su zapisani u obliku matrice, pri čemu svaki red matrice odgovara jednoj od jednačina sistema. odvaja lijevu stranu jednačine od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednačina u sistemu.
Prvo zapisuju matricu s kojom će raditi, a zatim sve radnje koje se izvode s jednim od redova. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka "strelica" i nastavlja izvoditi potrebne algebarske operacije dok se ne postigne rezultat.
Kao rezultat toga, treba dobiti matricu u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se svodi na jedan oblik. Ne smijemo zaboraviti napraviti proračune sa brojevima obje strane jednačine.
Ova notacija je manje glomazna i omogućava vam da vas ne ometa navođenje brojnih nepoznanica.
Besplatna primjena bilo koje metode rješenja zahtijevat će pažnju i određeno iskustvo. Ne primjenjuju se sve metode. Neki načini pronalaženja rješenja su poželjniji u određenom području ljudske djelatnosti, dok drugi postoje u svrhu učenja.
Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) je nesumnjivo najvažnija tema kursa linearne algebre. Ogroman broj zadataka iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ovi faktori objašnjavaju razlog za kreiranje ovog članka. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete
- odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
- proučavati teoriju odabrane metode,
- riješite svoj sistem linearnih jednačina, detaljno razmotrivši rješenja tipičnih primjera i zadataka.
Kratak opis materijala članka.
Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo neke oznake.
Zatim se razmatraju metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo, hajde da se fokusiramo na Cramerovu metodu, drugo, pokazaćemo matričnu metodu za rešavanje ovakvih sistema jednačina, i treće, analiziraćemo Gaussov metod (metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.
Nakon toga prelazi se na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, u kojima se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema degenerirana. Hajde da formulišemo Kronecker - Capelli teorem, koji nam omogućava da uspostavimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (u slučaju njihove kompatibilnosti) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.
Obavezno se zadržite na strukturi opšteg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažimo kako se opšte rešenje SLAE piše pomoću vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.
U zaključku razmatramo sisteme jednačina koji se svode na linearne, kao i različite probleme u čijem rješavanju nastaju SLAE.
Navigacija po stranici.
Definicije, koncepti, oznake.
Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika
Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni članovi (također realni ili kompleksni brojevi).
Ovaj oblik SLAE se zove koordinata.
IN matrični oblik ovaj sistem jednačina ima oblik ,
Gdje 
- glavna matrica sistema, - matrica-kolona nepoznatih varijabli, - matrica-kolona slobodnih članova.
Ako matrici A kao (n + 1)-ti stupac dodamo matricu-kolona slobodnih termina, onda dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvojen je okomitom linijom od ostalih kolona, tj. 
Rješavanjem sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli, koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli također se pretvara u identitet.
Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.
Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove nekompatibilno.
Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, onda - neizvjesno.
Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli 
, tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.
Rješenje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.
Ako je broj sistemskih jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada ćemo takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sistema sve nepoznate varijable su jednake nuli.
Takve SLAE smo počeli učiti u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine i tako dalje. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.
Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.
Rješavanje sistema linearnih jednačina Cramerovom metodom.
Hajde da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina 
u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.
Neka je determinanta glavne matrice sistema, i 
su determinante matrica koje se dobivaju iz A zamjenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih članova: 
Uz takvu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju po formulama Cramerove metode kao 
. Ovako se Cramerovom metodom pronalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi.
Primjer.
Cramer metoda 
.
Rješenje.
Glavna matrica sistema ima oblik 
. Izračunajte njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak): 
Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.
Sastavite i izračunajte potrebne determinante 
(determinanta se dobije zamjenom prvog stupca u matrici A kolonom slobodnih članova, determinanta - zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih članova, - zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih članova ): 
Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula 
:
odgovor:
Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj sistemskih jednačina veći od tri.
Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.
Budući da je , tada je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica . Ako oba dijela jednakosti pomnožimo sa lijevo, onda ćemo dobiti formulu za pronalaženje matrice stupaca nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom.
Primjer.
Riješi sistem linearnih jednačina matrična metoda.
Rješenje.
Prepisujemo sistem jednadžbi u matričnom obliku: 
Jer
tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sistema se može naći kao 
.
Napravimo inverznu matricu koristeći matricu algebarskih komplemenata elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak): 
Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice 
na matrici-koloni slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak): 
odgovor:
ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Glavni problem u pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom je složenost nalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.
Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.
Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli 
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.
Suština Gaussove metode sastoji se u sukcesivnom isključivanju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednačini. Takav proces transformacije jednadžbi sistema za uzastopno eliminisanje nepoznatih varijabli naziva se direktna Gaussova metoda. Nakon završetka napredovanja Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednačine, x n-1 se izračunava iz pretposljednje jednačine koristeći ovu vrijednost, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.
Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.
Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Nepoznatu varijablu x 1 izuzimamo iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da biste to uradili, dodajte prvu jednačinu pomnoženu sa drugoj jednačini sistema, dodajte prvu pomnoženu sa trećoj jednačini, i tako dalje, dodajte prvu pomnoženu sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik 
gdje , a 
.
Do istog rezultata bismo došli ako bismo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.
Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema, koji je označen na slici 
Da biste to uradili, dodajte drugo pomnoženo sa trećoj jednačini sistema, dodajte drugo pomnoženo sa četvrtoj jednačini, i tako dalje, dodajte drugo pomnoženo sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik 
gdje , a 
. Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.
Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, postupajući na sličan način sa dijelom sistema označenim na slici 
Dakle, nastavljamo direktni tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik 
Od ovog trenutka počinjemo obrnutim tokom Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačina.
Primjer.
Riješi sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.
Rješenje.
Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, oba dijela druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa: 
Sada isključujemo x 2 iz treće jednačine dodavanjem lijevog i desnog dijela druge jednadžbe, pomnoženih sa: 
Na ovome je završen kurs naprijed Gaussove metode, počinjemo obrnuti kurs.
Iz posljednje jednadžbe rezultirajućeg sistema jednačina nalazimo x 3: 
Iz druge jednačine dobijamo .
Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time završavamo obrnuti tok Gaussove metode.
odgovor:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.
U opštem slučaju, broj jednačina sistema p ne poklapa se sa brojem nepoznatih varijabli n:
Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se također odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i degenerirana.
Kronecker-Capelli teorem.
Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Daje se odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekompatibilan Kronecker–Capelli teorem:
da bi sistem od p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n ) bio konzistentan potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, odnosno Rank( A)=Rang(T) .
Razmotrimo kao primjer primjenu Kronecker-Cappellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.
Primjer.
Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima 
rješenja.
Rješenje.
. Koristimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda 
različito od nule. Idemo preko maloletnika trećeg reda koji ga okružuju: 
Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je dva.
Zauzvrat, rang proširene matrice 
je jednako tri, pošto je minor trećeg reda 
različito od nule.
dakle, Rang(A) , dakle, prema Kronecker-Capellijevoj teoremi, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.
odgovor:
Ne postoji sistem rješenja.
Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.
Ali kako pronaći rješenje SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?
Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog minora matrice i teorema o rangu matrice.
Zove se minor najvišeg reda matrice A, osim nule osnovni.
Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko osnovnih minora; uvijek postoji jedan osnovni minor.
Na primjer, razmotrite matricu 
.
Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.
Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule 
Maloljetnici 
nisu osnovne, jer su jednake nuli.
Teorema o rangu matrice.
Ako je rang matrice reda p prema n r, tada se svi elementi redova (i stupaca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata redova (i stupaca) ) koji čine osnovni mol.
Šta nam daje teorema o rangu matrice?
Ako smo Kronecker-Capellijevom teoremom utvrdili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji osnovni minor glavne matrice sistema (njegov red je jednak r), a iz sistema isključujemo sve jednačine koje ne odgovaraju formiraju izabrani osnovni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).
Kao rezultat, nakon odbacivanja prekomjernih jednačina sistema moguća su dva slučaja.
Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.
Primjer.
.
Rješenje.
Rang glavne matrice sistema 
je jednako dva, pošto je minor drugog reda 
različito od nule. Prošireni matrični rang 
je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda jednak nuli 
a minor drugog reda razmatranog iznad je različit od nule. Na osnovu Kronecker-Capelli teoreme, može se tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.
Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine: 
Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju osnovnog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice: 
Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Rešimo ga Cramerovom metodom: 
odgovor:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Ako je broj jednačina r u rezultirajućem SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n , tada ostavljamo članove koji čine osnovni minor u lijevom dijelu jednačine, a preostale članove prenosimo u desne dijelove jednadžbe sistema sa suprotnim predznakom.
Nepoznate varijable (ima ih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbe nazivaju se main.
Nepoznate varijable (ima ih n - r) koje su završile na desnoj strani se pozivaju besplatno.
Sada pretpostavljamo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli na jedinstven način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE Cramer metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.
Uzmimo primjer.
Primjer.
Riješiti sistem linearnih algebarskih jednadžbi 
.
Rješenje.
Pronađite rang glavne matrice sistema 
metodom graničnih maloljetnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao minor prvog reda koji nije nula. Počnimo tražiti minor drugog reda različit od nule koji okružuje ovaj minor: 
Tako smo pronašli minor koji nije nula drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda: 
Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.
Pronađeni minor trećeg reda različit od nule će se uzeti kao osnovni.
Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor: 
Članove koji učestvuju u osnovnom molu ostavljamo na lijevoj strani jednadžbe sistema, a ostale sa suprotnim predznacima prenosimo na desnu stranu: 
Dajemo slobodne nepoznate varijable x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno uzimamo 
, gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE ima oblik 
Dobijeni elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi rješavamo Cramerovom metodom: 
Dakle, .
U odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.
odgovor:
Gdje su proizvoljni brojevi.
Sažmite.
Da bismo riješili sistem linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, prvo saznajemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker-Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekonzistentan.
Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo osnovni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog osnovnog minora.
Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje se može naći bilo kojom metodom koja nam je poznata.
Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, onda ostavljamo članove sa glavnim nepoznatim varijablama na lijevoj strani jednadžbe sistema, preostale članove prenosimo na desnu stranu i dodjeljujemo proizvoljne vrijednosti na slobodne nepoznate varijable. Iz rezultujućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznate varijable Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.
Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.
Koristeći Gaussovu metodu, može se riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez njihovog preliminarnog ispitivanja kompatibilnosti. Proces uzastopne eliminacije nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nekonzistentnosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga i pronalaženje.
Sa stanovišta računskog rada, Gausova metoda je poželjnija.
Njen detaljan opis i analizirane primjere pogledajte u članku Gausova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.
Snimanje opšteg rešenja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sistema korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.
U ovom dijelu ćemo se fokusirati na zajedničke homogene i nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi koje imaju beskonačan broj rješenja.
Hajde da se prvo pozabavimo homogenim sistemima.
Fundamentalni sistem odlučivanja Homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.
Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su matrice stupaca dimenzije n sa 1 ) , onda je opšte rešenje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rešenja sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima S 1 , S 2 , …, S (n-r), odnosno .
Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?
Značenje je jednostavno: formula specificira sva moguća rješenja originalnog SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , prema formuli koju će dobiti jedno od rješenja originalne homogene SLAE.
Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo postaviti sva rješenja ovog homogenog SLAE kao .
Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.
Biramo osnovni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i prenosimo na desnu stranu jednačina sistema suprotnih predznaka sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable. Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, Cramerovom metodom. Tako će se dobiti X (1) – prvo rješenje fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznate, onda ćemo dobiti X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama damo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, onda ćemo dobiti X (n-r) . Tako će se konstruisati osnovni sistem rešenja homogene SLAE i njegovo opšte rešenje se može zapisati u obliku .
Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno kao
Pogledajmo primjere.
Primjer.
Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi 
.
Rješenje.
Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Nađimo rang glavne matrice metodom rubnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Pronađite granični minor drugog reda koji nije nula: 
Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom: 
Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice dva. Uzmimo osnovni mol. Radi jasnoće, napominjemo elemente sistema koji ga čine: 
Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju osnovnog mola, stoga se može isključiti: 
Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:
Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ovog SLAE sastoji se od dva rješenja, budući da originalni SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njegovog osnovnog minora je dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a zatim pronađemo glavne nepoznanice iz sistema jednačina 
.