Eksponencijalna funkcija
Funkcija oblika y = a x , gdje je a veće od nule, a a nije jednako jedan naziva se eksponencijalna funkcija. Glavna svojstva eksponencijalne funkcije:
1. Domen eksponencijalne funkcije bit će skup realnih brojeva.
2. Opseg eksponencijalne funkcije će biti skup svih pozitivnih realnih brojeva. Ponekad se ovaj skup označava kao R+ radi kratkoće.
3. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a veća od jedan, tada će funkcija rasti u cijelom domenu definicije. Ako eksponencijalna funkcija za bazu a zadovoljava sljedeći uvjet 0
4. Važiće sva osnovna svojstva stepeni. Glavna svojstva stupnjeva su predstavljena sljedećim jednakostima:
a x *a y = a (x+y) ;
(a x )/(a y ) = a (x-y) ;
(a*b) x = (a x )*(a y );
(a/b) x = a x /b x ;
(a x ) y = a (x*y) .
Ove jednakosti će vrijediti za sve realne vrijednosti x i y.
5. Graf eksponencijalne funkcije uvijek prolazi kroz tačku sa koordinatama (0;1)
6. U zavisnosti od toga da li se eksponencijalna funkcija povećava ili smanjuje, njen graf će imati jedan od dva tipa.
Sljedeća slika prikazuje graf rastuće eksponencijalne funkcije: a>0.
Sljedeća slika je graf opadajuće eksponencijalne funkcije: 0
I graf rastuće eksponencijalne funkcije i graf opadajuće eksponencijalne funkcije, prema svojstvu opisanom u petom paragrafu, prolaze kroz tačku (0; 1).
7. Eksponencijalna funkcija nema tačke ekstrema, odnosno nema minimum i maksimum tačke funkcije. Ako razmotrimo funkciju na bilo kojem određenom segmentu, tada će funkcija uzeti minimalne i maksimalne vrijednosti na krajevima ovog intervala.
8. Funkcija nije parna ili neparna. Eksponencijalna funkcija je opća funkcija. To se može vidjeti i iz grafikona, nijedan od njih nije simetričan ni oko Oy ose ni oko ishodišta.
Logaritam
Logaritmi su oduvijek smatrani teškom temom u školskom kursu matematike. Postoji mnogo različitih definicija logaritma, ali iz nekog razloga većina udžbenika koristi najsloženiju i najnesretniju od njih.
Logaritam ćemo definirati jednostavno i jasno. Kreirajmo tabelu za ovo:
Dakle, imamo moći dvojke. Ako uzmete broj iz donje linije, onda možete lako pronaći stepen na koji morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stepen. To se vidi iz tabele.
A sada - u stvari, definicija logaritma:
Definicija
Logaritam osnova a iz argumenta x je snaga do koje se broj mora podići a da dobijem broj x.
Oznaka
log a x = b
gdje je a baza, x je argument, b Šta je tačno logaritam.
Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Može i logirati 2 64 = 6, jer je 2 6 = 64.
Operacija pronalaženja logaritma broja prema datoj bazi se zovelogaritam . Dakle, dodajmo novi red u našu tabelu:
Nažalost, svi logaritmi se ne razmatraju tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tabeli, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Takvi brojevi se nazivaju iracionalni: brojevi iza decimalnog zareza mogu se pisati neograničeno i nikada se ne ponavljaju. Ako se ispostavi da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga ovako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Važno je shvatiti da je logaritam izraz sa dvije varijable (bazom i argumentom). U početku, mnogi ljudi brkaju gdje je osnova i gdje je argument. Da biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:
Pred nama nije ništa drugo do definicija logaritma. Zapamtite: logaritam je potencija , na koju morate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na stepen - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispostavilo se da je baza uvijek na dnu! Ovo divno pravilo govorim svojim učenicima već na prvom času - i nema zabune.
Shvatili smo definiciju - ostaje da naučimo kako računati logaritme, tj. oslobodite se znaka "log". Za početak, napominjemo da Iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:
Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. Ovo proizilazi iz definicije stepena pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
Baza mora biti različita od jedinice, budući da je jedinica za bilo koju snagu i dalje jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje „na koju snagu se mora podići da bi se dobilo dva“. Ne postoji takva diploma!
Takva ograničenja pozvao važeći raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Primetite to nema ograničenja u broju b (vrijednost logaritma) se ne preklapa. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1 .
Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema su već uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada logaritamske jednačine i nejednakosti uđu u igru, DHS zahtjevi će postati obavezni. Zaista, u osnovi i argumentu mogu biti vrlo jake konstrukcije, koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.
Sad uzeti u obzir generala šema za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:
Submit Foundation a i argument x kao stepen sa najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimalnih razlomaka;
Odlučite se za varijablu b jednačina: x = a b ;
Primljen broj b će biti odgovor.
To je sve! Ako se pokaže da je logaritam iracionalan, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan je vrlo relevantan: to smanjuje vjerovatnoću greške i uvelike pojednostavljuje proračune. Slično i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će višestruko manje grešaka.
Pogledajmo kako ova shema funkcionira na konkretnim primjerima:
Izračunajte logaritam: log 5 25
Predstavimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
Napravimo i riješimo jednačinu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Dobio odgovor: 2.
Izračunaj logaritam:
Predstavimo bazu i argument kao stepen tri: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 -1 = (3 4) -1 = 3 -4;
Napravimo i riješimo jednačinu:
Dobio odgovor: -4.
−4
Izračunajte logaritam: log 4 64
Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Napravimo i riješimo jednačinu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Dobio odgovor: 3.
Izračunajte logaritam: log 16 1
Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Napravimo i riješimo jednačinu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Dobio odgovor: 0.
Izračunajte logaritam: log 7 14
Predstavimo bazu i argument kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
Iz prethodnog stava proizilazi da se logaritam ne uzima u obzir;
Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.
dnevnik 7 14
Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako se uvjeriti da broj nije tačan stepen drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga razložite na osnovne faktore. Ako postoje najmanje dva različita faktora u ekspanziji, broj nije točna snaga.
Saznajte da li su tačne potencije broja: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tačan stepen, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije tačan stepen jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tačan stepen;
35 = 7 5 - opet nije tačan stepen;
14 \u003d 7 2 - opet nije tačan stepen;
8, 81 - tačan stepen; 48, 35, 14 - br.
Imajte na umu da su sami prosti brojevi uvijek tačni potenci sami za sebe.
Decimalni logaritam
Neki logaritmi su toliko česti da imaju poseban naziv i oznaku.
Definicija
Decimalni logaritam iz argumenta x je logaritam bazi 10, tj. stepen na koji trebate podići broj 10 da biste dobili broj x.
Oznaka
lg x
Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.
Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput „Pronađi lg 0,01“, znajte da ovo nije greška u kucanju. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x
Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.
prirodni logaritam
Postoji još jedan logaritam koji ima svoju notaciju. U određenom smislu, to je čak i važnije od decimalnog. Ovo je prirodni logaritam.
Definicija
prirodni logaritam iz argumenta x je osnovni logaritam e , tj. snaga do koje se broj mora podići e da dobijem broj x.
Oznaka
ln x
Mnogi će se pitati: koji je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova tačna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Evo samo prvih brojeva:
e = 2,718281828459...
Nećemo se upuštati u to šta je ovaj broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da e je osnova prirodnog logaritma:
ln x = log e x
Tako je ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.
Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.
Osnovna svojstva logaritama
Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali kako logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovnim svojstvima.
Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.
Sabiranje i oduzimanje logaritama
Razmotrimo dva logaritma sa istom bazom: log a x i log a y . Tada se mogu sabirati i oduzimati i:
log sjekira +log a y = log a ( x · y );
log sjekira −log a y = log a ( x : y ).
dakle, zbir logaritama jednak je logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam količnika. Imajte na umu: ključna stvar ovdje su iste baze. Ako su osnove različite, ova pravila ne funkcionišu!
Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju " "). Pogledajte primjere - i pogledajte:
Pronađite vrijednost izraza: log 6 4 + log 6 9.
Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Pronađite vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.
Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Pronađite vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.
Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, ta kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.
Uklanjanje eksponenta iz logaritma
Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Onda eksponent ovog stepena može se izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:
Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.
Naravno sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0 možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.
Pronađite vrijednost izraza: log 7 49 6 .
Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Pronađite vrijednost izraza:
Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:
Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.
Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log 2 7. Pošto je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.
Prelazak na novu osnovu
Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?
Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:
Teorema
Neka logaritam logira sjekira . Zatim za bilo koji broj c tako da je c > 0 i c ≠ 1, jednakost je tačna:
Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:
Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.
Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.
Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:
Pronađite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.
Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Sada okrenimo drugi logaritam:
Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.
Pronađite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.
Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:
Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:
Osnovni logaritamski identitet
Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:
U prvom slučaju broj n postaje eksponent argumenta. Broj n može biti apsolutno bilo šta, jer je to samo vrijednost logaritma.
Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:osnovni logaritamski identitet.
Zaista, šta će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stepen da broj b u ovom stepenu daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi ga "zakače".
Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.
Zadatak
Pronađite vrijednost izraza:
Rješenje
Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:
200
Ako neko nije upoznat ovo je bio pravi zadatak sa ispita :)
Logaritamska jedinica i logaritamska nula
U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.
log a a = 1 je logaritamska jedinica. Zapamtite jednom za svagda: logaritam na bilo koju bazu a iz ove baze je sama jedna.
log a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo šta, ali ako je argument jedan - logaritam je nula! Jer a 0 = 1 je direktna posljedica definicije.
To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni!
Koncentracija pažnje:
Definicija. Funkcija vrsta se zove eksponencijalna funkcija .
Komentar. Osnovno isključenje a brojevi 0; 1 i negativne vrijednosti a objašnjeno sljedećim okolnostima:
Sam analitički izraz sjekira u tim slučajevima zadržava svoje značenje i može se naići u rješavanju problema. Na primjer, za izraz x y dot x = 1; y = 1 ulazi u raspon prihvatljivih vrijednosti.
Konstruirajte grafove funkcija: i .
 |
 |
| Graf eksponencijalne funkcije | |
| y= a x, a > 1 | y= a x , 0< a < 1 |
 |
 |
Svojstva eksponencijalne funkcije
| Svojstva eksponencijalne funkcije | y= a x, a > 1 | y= a x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Raspon vrijednosti funkcije | ||
| 3. Intervali poređenja sa jedinicom | at x> 0, a x > 1 | at x > 0, 0< a x < 1 |
| at x < 0, 0< a x < 1 | at x < 0, a x > 1 | |
| 4. Parno, neparno. | Funkcija nije ni parna ni neparna (opća funkcija). | |
| 5. Monotonija. | monotono raste za R | monotono opada za R |
| 6. Ekstremi. | Eksponencijalna funkcija nema ekstreme. | |
| 7.Asimptota | Osa O x je horizontalna asimptota. | |
| 8. Za sve stvarne vrijednosti x I y; |  |
|
Kada se tabela popuni, zadaci se rešavaju paralelno sa popunjavanjem.
Zadatak broj 1. (Pronaći domenu funkcije).
Koje vrijednosti argumenata su važeće za funkcije:
Zadatak broj 2. (Pronaći opseg funkcije).
Slika prikazuje graf funkcije. Odredite opseg i opseg funkcije:
 |
 |
 |
 |
Zadatak broj 3. (Ukazati na intervale poređenja sa jedinicom).
Uporedite svaku od sljedećih moći s jednom:
Zadatak broj 4. (Proučiti funkciju za monotonost).
Uporedite realne brojeve po veličini m I n ako:
Zadatak broj 5. (Proučiti funkciju za monotonost).
Donesite zaključak o osnovi a, Ako:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x
Kako su grafovi eksponencijalnih funkcija jedni u odnosu na druge za x > 0, x = 0, x< 0?
U jednoj koordinatnoj ravni iscrtani su grafovi funkcija:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .
Kako su grafovi eksponencijalnih funkcija jedni u odnosu na druge za x > 0, x = 0, x< 0?
| Broj
jedna od najvažnijih konstanti u matematici. Po definiciji, to jednaka granici niza
sa neograničenim
povećanje n
. Oznaka e uveden Leonhard Euler
1736. Prve 23 cifre ovog broja izračunao je u decimalnim zapisima, a sam broj je dobio ime po Napieru "broj koji nije ravnopravan".
Broj e igra posebnu ulogu u matematičkoj analizi. Eksponencijalna funkcija sa bazom e, naziva eksponent i označeno y = e x. Prvi znaci brojevi e lako za pamćenje: dva, zarez, sedam, godina rođenja Lava Tolstoja - dva puta, četrdeset pet, devedeset, četrdeset pet. |
 |
Zadaća:
Kolmogorov, str.35; br. 445-447; 451; 453.
Ponovite algoritam za konstruisanje grafova funkcija koji sadrže promenljivu pod znakom modula.
1. Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika y(x) \u003d a x, ovisno o eksponentu x, s konstantnom vrijednošću baze stepena a, gdje je a > 0, a ≠ 0, xϵR (R je skup realnih brojeva).
Razmislite graf funkcije ako baza ne zadovoljava uvjet: a>0
aa< 0
Ako a< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Ako je a = 0 - funkcija y = je definirana i ima konstantnu vrijednost 0
c) a \u003d 1
Ako je a = 1 - funkcija y = je definirana i ima konstantnu vrijednost 1
Domena funkcije (OOF) Područje dozvoljenih vrijednosti funkcije (ODZ) 3. Nule funkcije (y = 0) 4. Tačke presjeka sa y-osom (x = 0) 5. Povećajuća, opadajuća funkcija Ako je , tada se funkcija f(x) povećava 6. Parne, neparne funkcije Funkcija y = nije simetrična oko ose 0y i oko ishodišta, stoga nije ni parna ni neparna. (opća funkcija) 7. Funkcija y \u003d nema ekstreme 8. Svojstva stepena sa realnim eksponentom: Neka je a > 0; a≠1 Tada za xϵR; yϵR: Svojstva monotonosti stepena: ako onda Ako je a> 0, onda . 9. Relativna lokacija funkcije Što je baza a veća, to je bliže x i y osi a > 1, a = 20 Primjer 1
Lekcija #2
Tema: Eksponencijalna funkcija, njena svojstva i graf. Cilj: Provjerite kvalitetu asimilacije koncepta "eksponencijalne funkcije"; formirati vještine prepoznavanja eksponencijalne funkcije, korištenja njenih svojstava i grafova, naučiti učenike da koriste analitičke i grafičke oblike zapisivanja eksponencijalne funkcije; obezbijediti radno okruženje u učionici. Oprema: tabla, posteri Obrazac za lekciju: učionica Vrsta lekcije: praktična nastava Vrsta lekcije: lekcija obuke vještina Plan lekcije 1. Organizacioni momenat 2. Samostalni rad i provjera domaćeg zadatka 3. Rješavanje problema 4. Sumiranje 5. Domaći Tokom nastave. 1. Organizacioni momenat
: Zdravo. Otvorite sveske, zapišite današnji datum i temu lekcije "Eksponencijalna funkcija". Danas ćemo nastaviti proučavati eksponencijalnu funkciju, njena svojstva i graf. 2. Samostalni rad i provjera domaćeg zadatka
.
Cilj: provjeriti kvalitetu asimilacije koncepta "eksponencijalne funkcije" i provjeriti ispunjenost teorijskog dijela domaće zadaće Metoda: test zadatak, frontalni pregled Kao domaći zadatak dobili ste brojeve iz zadataka i pasus iz udžbenika. Nećemo sada provjeravati izvršenje brojeva iz udžbenika, ali ćete sveske predati na kraju časa. Sada će teorija biti testirana u obliku malog testa. Zadatak je isti za sve: dobivate popis funkcija, morate saznati koje su od njih indikativne (podvuci ih). A pored eksponencijalne funkcije treba da napišete da li raste ili opada. Opcija 1 Odgovori B)
D) - eksponencijalna, opadajuća Opcija 2 Odgovori D) - eksponencijalna, opadajuća D)
- indikativno, povećanje Opcija 3 Odgovori A)
- indikativno, povećanje B)
- eksponencijalna, opadajuća Opcija 4 Odgovori A)
- eksponencijalna, opadajuća IN)
- indikativno, povećanje Sada se prisjetimo zajedno koja se funkcija naziva eksponencijalna? Funkcija oblika , gdje i , naziva se eksponencijalna funkcija. Koji je opseg ove funkcije? Svi realni brojevi. Koliki je raspon eksponencijalne funkcije? Svi pozitivni realni brojevi. Smanjuje se ako je baza veća od nule, ali manja od jedan. Kada se eksponencijalna funkcija smanjuje na svojoj domeni? Povećava se ako je baza veća od jedan. 3. Rješavanje problema
Target: formirati vještine prepoznavanja eksponencijalne funkcije, korištenja njenih svojstava i grafova, naučiti učenike da koriste analitičke i grafičke forme snimanja eksponencijalne funkcije Metoda: demonstracija nastavnika rješavanja tipičnih zadataka, usmeni rad, rad za tablom, rad u svesci, razgovor nastavnika sa učenicima. Svojstva eksponencijalne funkcije mogu se koristiti kada se uspoređuju 2 ili više brojeva. Na primjer: br. 000. Uporedite vrijednosti i ako a) - IN) - G) - - Br. 000. Uporedite brojeve: a) i Dakle, funkcija se onda povećava Zašto? Povećanje funkcije i Dakle, funkcija je tada opadajuća Obje funkcije rastu u cijelom svom domenu definicije, budući da su eksponencijalne s bazom većom od jedan. Šta to znači? Gradimo grafikone: Koja funkcija brže raste pri težnji https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> Koja funkcija se brže smanjuje pri težnji https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> Na intervalu, koja od funkcija ima najveću vrijednost u određenoj tački? D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Prvo, hajde da saznamo opseg ovih funkcija. Da li poklopiti? Da, domen ovih funkcija su svi realni brojevi. Imenujte opseg svake od ovih funkcija. Opseg ovih funkcija se poklapa: svi pozitivni realni brojevi. Odredite vrstu monotonosti svake od funkcija. Sve tri funkcije se smanjuju u cijeloj svojoj domeni definicije, jer su eksponencijalne s bazom manjom od jedan i većom od nule. Koja je singularna tačka grafa eksponencijalne funkcije? Šta to znači? Bez obzira na osnovu stepena eksponencijalne funkcije, ako je eksponent 0, tada je vrijednost ove funkcije 1. Gradimo grafikone: Hajde da analiziramo grafikone. Koliko presječnih tačaka imaju grafovi funkcija? Koja funkcija se brže smanjuje pri težnji? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif Koja funkcija raste brže kada težite? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif Na intervalu, koja od funkcija ima najveću vrijednost u određenoj tački? Na intervalu, koja od funkcija ima najveću vrijednost u određenoj tački? Zašto eksponencijalne funkcije s različitim bazama imaju samo jednu točku presjeka? Eksponencijalne funkcije su striktno monotone u cijelom svom domenu definicije, tako da se mogu sjeći samo u jednoj tački. Sljedeći zadatak će se fokusirati na korištenje ovog svojstva. № 000. Pronađite najveću i najmanju vrijednost date funkcije na datom intervalu a). Podsjetimo da striktno monotona funkcija uzima svoje minimalne i maksimalne vrijednosti na krajevima danog intervala. A ako se funkcija povećava, tada će njena najveća vrijednost biti na desnom kraju segmenta, a najmanja na lijevom kraju segmenta (demonstracija na posteru, koristeći eksponencijalnu funkciju kao primjer). Ako je funkcija opadajuća, tada će njena najveća vrijednost biti na lijevom kraju segmenta, a najmanja na desnom kraju segmenta (demonstracija na posteru, koristeći eksponencijalnu funkciju kao primjer). Funkcija se povećava, jer će stoga najmanja vrijednost funkcije biti u tački https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Tačke b) Učenici rješavaju zadatak u svojoj svesci Opadajuća funkcija Opadajuća funkcija Povećanje funkcije - № 000. Pronađite najveću i najmanju vrijednost date funkcije na datom intervalu a) 
2. Razmotrite eksponencijalnu funkciju detaljnije:
0
Ako je , tada se funkcija f(x) smanjuje
Funkcija y= , na 0
Ovo slijedi iz svojstava monotonosti stepena sa realnim eksponentom.
b > 0; b≠1
Na primjer:
Eksponencijalna funkcija je kontinuirana u bilo kojoj tački ϵ R.
Ako je a0, eksponencijalna funkcija poprima oblik blizak y = 0.
Ako je a1, onda dalje od osi x i y i graf poprima oblik blizak funkciji y = 1.
Plot y=
..gif" width="37" height="20 src=">, onda je ovo prilično težak posao: morali bismo uzeti kubni korijen od 3 i 9, i uporediti ih. Ali znamo da se povećava, ovo je u svom redu znači da kada se argument povećava, vrijednost funkcije raste, odnosno da nam je dovoljno da međusobno uporedimo vrijednosti argumenata i, očito, da 
(može se demonstrirati na posteru sa rastućom eksponencijalnom funkcijom). I uvijek kada rješavate takve primjere, prvo odredite bazu eksponencijalne funkcije, uporedite sa 1, odredite monotonost i pređite na poređenje argumenata. U slučaju opadajuće funkcije: kako se argument povećava, vrijednost funkcije opada, pa se predznak nejednakosti mijenja pri prelasku sa nejednakosti argumenata na nejednakost funkcija. Zatim usmeno rješavamo: b) 
, V) 
d) sami rješavajte sveske, mi ćemo to usmeno provjeriti.
najveća vrijednost funkcije na segmentu
najmanja vrijednost funkcije na segmentu
najmanja vrijednost funkcije na segmentu
najveća vrijednost funkcije na segmentu
. Ovaj zadatak je skoro isti kao i prethodni. Ali ovdje nije dat segment, već zraka. Znamo da se funkcija povećava i da nema ni najveću ni najmanju vrijednost na cijeloj brojevnoj pravoj https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, i teži na , tj. na zraku, funkcija na teži 0, ali nema svoju najmanju vrijednost, ali ima najveću vrijednost u tački 
. Tačke b) 
, V) 
, G) 
Rešite svoje sveske, mi ćemo to usmeno proveriti.
Pronađite vrijednost izraza za različite racionalne vrijednosti varijable x=2; 0; -3; -
Napomena, bez obzira koji broj zamijenimo umjesto varijable x, uvijek možete pronaći vrijednost ovog izraza. Dakle, razmatramo eksponencijalnu funkciju (y jednako tri na x potenciju), definiranu na skupu racionalnih brojeva: .
Napravimo graf ove funkcije tako što ćemo napraviti tablicu njenih vrijednosti.
Nacrtajmo glatku liniju koja prolazi kroz ove tačke (slika 1)
Koristeći graf ove funkcije, razmotrite njena svojstva:
3. Povećava se na cijelom području definicije.
- rasponu od nule do plus beskonačnosti.
8. Funkcija je konveksna prema dolje.
Ako se u jednom koordinatnom sistemu grade grafovi funkcija; y=(y je jednako dva na x potenciju, y je jednako pet na x potenciju, y je jednako sedam na x potenciju), možete vidjeti da imaju ista svojstva kao y=(y je jednako tri na x potenciju) ( Slika .2), to jest, sve funkcije oblika y = (y je jednako a na stepen x, sa većim od jedan) će imati takva svojstva
Nacrtajmo funkciju:
1. Sastavljanje tabele njenih vrednosti.
Dobijene tačke označavamo na koordinatnoj ravni.
Nacrtajmo glatku liniju koja prolazi kroz ove tačke (slika 3).
Koristeći graf ove funkcije, ukazujemo na njena svojstva:
1. Područje definicije je skup svih realnih brojeva.
2. Nije ni paran ni neparan.
3. Opada u cijelom domenu definicije.
4. Nema ni najveću ni najmanju vrijednost.
5. Ograničeno odozdo, ali nije ograničeno odozgo.
6. Kontinuirano u cijelom domenu definicije.
7. raspon vrijednosti od nule do plus beskonačnost.
8. Funkcija je konveksna prema dolje.
Slično, ako se u jednom koordinatnom sistemu grade grafovi funkcija; y=(y je jednaka jednoj sekundi stepenu x, y je jednako jednoj petini x stepenu, y je jednako jednoj sedmini x stepenu), možete videti da imaju ista svojstva kao y=(y je jednako jednoj trećini snaga x). x) (slika 4), to jest, sve funkcije oblika y = (y je jednako jednoj podijeljenoj sa a na stepen x, s većim od nule, ali manjim od jedan) će imaju takva svojstva
Napravimo grafove funkcija u jednom koordinatnom sistemu
to znači da će grafovi funkcija y \u003d y \u003d (y je jednako a na potenciju x, a y jednako jednom podijeljenom sa a na stepen x) također biti simetrični za istu vrijednost a .
Sažimamo ono što je rečeno dajući definiciju eksponencijalne funkcije i naznačavajući njena glavna svojstva:
definicija: Funkcija oblika y \u003d, gdje je (y jednako a na stepen x, gdje je a pozitivan i različit od jedan), naziva se eksponencijalna funkcija.
Potrebno je zapamtiti razlike između eksponencijalne funkcije y= i funkcije stepena y=, a=2,3,4,…. i slušno i vizuelno. Eksponencijalna funkcija X je stepen, a za funkciju stepena X je osnova.
Primjer 1: Riješite jednačinu (tri na stepen x jednako je devet)
(y je jednako tri na stepen x i y je devet) sl.7
Imajte na umu da imaju jednu zajedničku tačku M (2; 9) (em sa koordinatama dva; devet), što znači da će apscisa tačke biti korijen ove jednačine. To jest, jednačina ima jedan korijen x = 2.
Primjer 2: Riješite jednačinu
U jednom koordinatnom sistemu ćemo konstruisati dva grafikona funkcije y = (y je jednako pet na stepen x, a y je jednako jednoj dvadeset petoj) Sl.8. Grafovi se sijeku u jednoj tački T (-2; (te sa koordinatama minus dva; jedan dvadeset peti). Dakle, korijen jednadžbe je x \u003d -2 (broj minus dva).
Primjer 3: Riješite nejednačinu
U jednom koordinatnom sistemu konstruišemo dva grafikona funkcije y \u003d
(y je jednako tri na stepen od x i y je jednako dvadeset sedam).
Slika 9. Grafikon funkcije nalazi se iznad grafika funkcije y=kada
x Prema tome, rješenje nejednakosti je interval (od minus beskonačno do tri)
Primjer 4: Riješite nejednačinu
U jednom koordinatnom sistemu ćemo konstruisati dva grafikona funkcije y = (y je jednako jednoj četvrtini na stepen x, a y je jednako šesnaest). (Sl. 10). Grafovi se sijeku u jednoj tački K (-2;16). To znači da je rješenje nejednakosti interval (-2; (od minus dva do plus beskonačno), jer se graf funkcije y \u003d nalazi ispod grafa funkcije na x
Naše razmišljanje nam omogućava da potvrdimo valjanost sljedećih teorema:
Terem 1: Ako je istina ako i samo ako je m=n.
Teorema 2: Ako je istinito ako i samo ako, onda je nejednakost istinita ako i samo ako (Sl. *)
Teorema 4: Ako je tačna ako i samo ako (Sl.**), nejednakost je tačna ako i samo ako Teorema 3: Ako je istinita ako i samo ako je m=n.
Primjer 5: Iscrtajte funkciju y=
Mi modificiramo funkciju primjenom svojstva stepena y=
Napravimo dodatni koordinatni sistem iu novom koordinatnom sistemu iscrtaćemo funkciju y = (y je jednako dva na x potenciju) Sl.11.
Primjer 6: Riješite jednačinu
U jednom koordinatnom sistemu konstruišemo dva grafikona funkcije y \u003d
(Y je jednako sedam na stepen x i Y je jednako osam minus x) Sl.12.
Grafovi se seku u jednoj tački E (1; (e sa koordinatama jedan; sedam). Dakle, koren jednačine je x = 1 (x jednako jedan).
Primjer 7: Riješite nejednačinu
U jednom koordinatnom sistemu konstruišemo dva grafikona funkcije y \u003d
(Y je jednako jednoj četvrtini na stepen x, a Y je jednako x plus pet). Graf funkcije y= nalazi se ispod grafika funkcije y=x+5 at, rješenje nejednakosti je interval x (od minus jedan do plus beskonačno).